Bioelectricidad y Biomagnetismo

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Contenido Campos Magn´eticos

Bioelectricidad y Biomagnetismo

Universidad Antonio Nari˜no

30 de abril de 2014

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Contenido

1

Campos Magn´ eticos

Campos Magn´ eticos y Fuerzas Magn´ eticas Movimiento de una carga en un campo magn´ etico Fuerza magn´ etica sobre una corriente

Momento dipolar magn´ etico

Campo magn´ etico genereado por una corriente

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Campos Magnéticos y Fuerzas Magnéticas Movimiento de una carga en un campo magnético Fuerza magnética sobre una corriente

Momento dipolar magn´etico

Campo magn´etico genereado por una corriente

Este cap´ıtulo est´ a patrocinado por:

Nikola Tesla (1856-1943).

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Este cap´ıtulo est´ a patrocinado por:

Nikola Tesla (1856-1943).

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Este cap´ıtulo est´ a patrocinado por:

Nikola Tesla (1856-1943).

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Campos Magn´ eticos y Fuerzas Magn´ eticas

Fuerza magn´etica.

La fuerza magnética sobre una part´ıcula con carga eléctrica q producida por un campo magnético ~B obedece las siguientes propiedades:

Es proporcional a la carga q.

Si la velocidad de la part´ıcula est´a en la misma direcci´ıon de el campo ~B, la fuerza sobre la carga es nula.

Su magnitud es proporcional a la velocidad ~v de la part´ıcula. Su magnitud es proporcional al campo magn´etico ~B.

Si la velocidad de la part´ıcula es perpendicular al campo ~B, la fuerza sobre la carga es Fm= qvB.

La dirección de la fuerza es perpendicular a la velocidad y al campo magnético. Todas estas propiedades se pueden resumir en la fórmula:

F~m= q~v × ~B, [B] = N.s C .m = Kg

C .s ≡ T (Teslas)

T = 10⁴G , G=Gauss (B_Tierra≈ 0,5G )

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Campos Magn´ eticos y Fuerzas Magn´ eticas

Fuerza magnética.La fuerza magnética sobre una part´ıcula con carga eléctrica q producida por un campo magnético ~B obedece las siguientes propiedades:

F~m= q~v × ~B, [B] = N.s C .m = Kg

C .s ≡ T (Teslas)

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Campos Magn´ eticos y Fuerzas Magn´ eticas

F~m= q~v × ~B, [B] = N.s C .m = Kg

C .s ≡ T (Teslas)

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Campos Magn´ eticos y Fuerzas Magn´ eticas

F~m= q~v × ~B, [B] = N.s C .m = Kg

C .s ≡ T (Teslas)

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Campos Magn´ eticos y Fuerzas Magn´ eticas

Su magnitud es proporcional a la velocidad ~v de la part´ıcula.

Su magnitud es proporcional al campo magn´etico ~B.

F~m= q~v × ~B, [B] = N.s C .m = Kg

C .s ≡ T (Teslas)

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Campos Magn´ eticos y Fuerzas Magn´ eticas

F~m= q~v × ~B, [B] = N.s C .m = Kg

C .s ≡ T (Teslas)

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Campos Magn´ eticos y Fuerzas Magn´ eticas

F~m= q~v × ~B, [B] = N.s C .m = Kg

C .s ≡ T (Teslas)

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Campos Magn´ eticos y Fuerzas Magn´ eticas

La direcci´on de la fuerza es perpendicular a la velocidad y al campo magn´etico.

Todas estas propiedades se pueden resumir en la f´ormula:

F~m= q~v × ~B, [B] = N.s C .m = Kg

C .s ≡ T (Teslas)

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Campos Magn´ eticos y Fuerzas Magn´ eticas

F~m= q~v × ~B,

[B] = N.s C .m = Kg

C .s ≡ T (Teslas)

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Campos Magn´ eticos y Fuerzas Magn´ eticas

F~m= q~v × ~B, [B] = N.s C .m = Kg

C .s ≡ T (Teslas)

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Campos Magn´ eticos y Fuerzas Magn´ eticas

F~m= q~v × ~B, [B] = N.s C .m = Kg

C .s ≡ T (Teslas)

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Campos Magn´ eticos y Fuerzas Magn´ eticas

Propiedades del producto vectorial y la fuerza magn´etica.

~Fm= q~v × ~B Magnitud | ~Fm|= q | ~v × ~B |= qv .B sin θ

Direcci´on: Se determina con la regla de la mano derecha.

x

y

i ^j

k z

El producto vectorial NO es conmutativo:

~

v × ~B = −~B × ~v Tabla de productos

vectoriales en los vectores unitarios î, ˆj , ˆk: î × ˆj = ˆk ; ˆj × ˆk = î ; ˆk × î = ˆj ˆj × î = −ˆk ; ˆk × ˆj = −î ; î × ˆk = −ˆj

ˆi × ˆi = ˆj × ˆj = ˆk × ˆk = 0

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Campos Magn´ eticos y Fuerzas Magn´ eticas

x

y

i ^j

k z

~

ˆi × ˆi = ˆj × ˆj = ˆk × ˆk = 0

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Campos Magn´ eticos y Fuerzas Magn´ eticas

x

y

i ^j

k z

~

v × ~B = −~B × ~v

Tabla de productos

ˆi × ˆi = ˆj × ˆj = ˆk × ˆk = 0

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Campos Magn´ eticos y Fuerzas Magn´ eticas

x

y

i ^j

k z

~

vectoriales en los vectores unitarios ˆi, ˆj , ˆk:

î × ˆj = ˆk ; ˆj × ˆk = î ; ˆk × î = ˆj ˆj × î = −ˆk ; ˆk × ˆj = −î ; î × ˆk = −ˆj

ˆi × ˆi = ˆj × ˆj = ˆk × ˆk = 0

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Movimiento de una carga en un campo magn´ etico

Cargas en un campo magn´etico

Propiedades del movimiento de una carga en un campo magnético constante: La fuerza magnética sobre la part´ıcula es perpendicular a la velocidad. La rapidez de la part´ıcula no cambia, pero su dirección si cambia. La trayectoria de la part´ıcula es circular.

Suponiendo que ~v y ~B son perpendiculares

Fm= qvB = ma = mv² r r : radio de la trayectoria.

Relaci´on carga-masa:

q m= v

rB

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Movimiento de una carga en un campo magn´ etico

Propiedades del movimiento de una carga en un campo magn´etico constante:

La fuerza magn´etica sobre la part´ıcula es perpendicular a la velocidad.

La rapidez de la part´ıcula no cambia, pero su direcci´on si cambia. La trayectoria de la part´ıcula es circular.

q m= v

rB

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Movimiento de una carga en un campo magn´ etico

La rapidez de la part´ıcula no cambia, pero su direcci´on si cambia.

La trayectoria de la part´ıcula es circular. Suponiendo que ~v y ~B son perpendiculares

q m= v

rB

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Movimiento de una carga en un campo magn´ etico

La trayectoria de la part´ıcula es circular.

Fm= qvB = ma =

mv² r r : radio de la trayectoria.

q m= v

rB

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Movimiento de una carga en un campo magn´ etico

La trayectoria de la part´ıcula es circular.

q m= v

rB

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Movimiento de una carga en un campo magn´ etico

Ejemplos de movimiento de una carga en un campo magn´etico

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Movimiento de una carga en un campo magn´ etico

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Movimiento de una carga en un campo magn´ etico

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Espectr´ ometro de masas

El espectr´ometro de masas es un dispositivo utilizado para determinar masas y abundancias relativas de iones.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fuente de iones Detector

B

r v

V

Los iones son acelerados desde el reposo a trav´es de una diferencia de potencial V .

Por conservación de la energ´ıa, la energ´ıa potencial eléctrica U = qV es transformada totalemente en energ´ıa cinética K = mv²/2.

U = K ⇒ qV =mv² 2 ⇒ v =

2qV m

1/2

Masa de un ion en el espectr´ometro

m = qr² 2V

! B²

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Espectr´ ometro de masas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B

r v

V

Los iones son acelerados desde el reposo a través de una diferencia de potencial V . Por conservación de la energ´ıa, la energ´ıa potencial eléctrica U = qV es transformada totalemente en energ´ıa cinética K = mv²/2.

U = K

⇒ qV =mv² 2 ⇒ v =

2qV m

1/2

m = qr² 2V

! B²

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Espectr´ ometro de masas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B

r v

V

U = K ⇒ qV =mv²

2 ⇒

v =

2qV m

1/2

m = qr² 2V

! B²

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Espectr´ ometro de masas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B

r v

V

U = K ⇒ qV =mv² 2 ⇒ v =

2qV m

1/2

m = qr² 2V

! B²

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Espectr´ ometro de masas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B

r v

V

U = K ⇒ qV =mv² 2 ⇒ v =

2qV m

1/2

qr²!

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Fuerza magn´ etica sobre una corriente

Fuerza sobre una corriente en un alambre abierto.Si en vez de una carga puntual q desplazandose a una velocidad ~v , se tiene una flujo de carga ∆q desplazandose a una velocidad promedio ~vpsobre un alambre de longitud ~L la fuerza que actua sobre este alambre se calcula de la siguiente forma

~Fm= ∆q~vp× ~B = ∆q∆~x

∆t × ~B

=∆q

∆t∆~x × ~B = I~L × ~B

Fuerza sobre una corriente cerrada.La fuerza

magn´etica sobre un lazo genera un torque sobre la corriente.

τ = ILBw 2 + ILBw

2 = ILwB = IAB = µB µ = IA es elmomento dipolar magn´etico. Cuando el ´angulo entre ~µ y ~B es diferente de π/2:

~ τ = ~µ × ~B

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Fuerza magn´ etica sobre una corriente

~Fm= ∆q~vp× ~B = ∆q∆~x

∆t × ~B =∆q

∆t∆~x × ~B

= I~L × ~B

τ = ILBw 2 + ILBw

2 = ILwB = IAB = µB µ = IA es elmomento dipolar magn´etico. Cuando el ´angulo entre ~µ y ~B es diferente de π/2:

~ τ = ~µ × ~B

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Fuerza magn´ etica sobre una corriente

~Fm= ∆q~vp× ~B = ∆q∆~x

∆t × ~B =∆q

∆t∆~x × ~B = I~L × ~B

τ = ILBw 2 + ILBw

2 = ILwB = IAB = µB µ = IA es elmomento dipolar magn´etico.

Cuando el ´angulo entre ~µ y ~B es diferente de π/2:

~ τ = ~µ × ~B

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Fuerza magn´ etica sobre una corriente

~Fm= ∆q~vp× ~B = ∆q∆~x

∆t × ~B =∆q

∆t∆~x × ~B = I~L × ~B

τ = ILBw 2 + ILBw

2 = ILwB = IAB = µB µ = IA es elmomento dipolar magn´etico.

Cuando el ´angulo entre ~µ y ~B es diferente de π/2:

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Momento dipolar magn´ etico

El momento dipolar magn´etico depende de la corriente y de la forma geom´etica del lazo que encierra la corriente

µ = IA Si la corriente est´a formada por N vueltas:

µ = NIA

La dirección del momento dipolar magnético se calcula de acuerdo a la regla de la mano derecha siguiendo la orientación de la corriente

I µ

Energ´ıa de un dipolo magnético.El torque producido por la fuerza magnética efectua un trabajo W sobre el dipolo magnético:

∆W = τ ∆θ ⇒ Um= −µB cos θ = −~µ · ~B

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Momento dipolar magn´ etico

El momento dipolar magn´etico depende de la corriente y de la forma geom´etica del lazo que encierra la corriente

µ = IA Si la corriente est´a formada por N vueltas:

µ = NIA

La dirección del momento dipolar magnético se calcula de acuerdo a la regla de la mano derecha siguiendo la orientación de la corriente

I µ

Energ´ıa de un dipolo magnético.El torque producido por la fuerza magnética efectua un trabajo W sobre el dipolo magnético:

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Campo magn´ etico generado por una corriente rectilinea

Las corrientes el´ecticas generan campos magn´eticos. Oersted 1820.

El campo magn´etico generado por un alambre largo a lo largo del cual circula una corriente el´ectrica I es proporcional a la corriente e inversamente proporcional a la distancia r perpendicular al alambre

B =µ0

2π I

r ; µ0= 4π × 10⁻⁷T .m/A

permeabilidad del vacio

I

Β r

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Campo magn´ etico generado por una corriente rectilinea

B =µ0

2π I

r ; µ0= 4π × 10⁻⁷T .m/A permeabilidad del vacio

I

Β r

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Campo magn´ etico generado por una corriente rectilinea

B =µ0

2π I

r ; µ0= 4π × 10⁻⁷T .m/A permeabilidad del vacio

I

Β r

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Campo magn´ etico generado por un aro de corriente

El campo magnético generado por un aro a lo largo del cual circula una corriente eléctrica I está dado por la expresión

Beje central=µ0

2 Ia²

r³ =µ0

2 Ia² (a²+ R²)^3/2

a r R

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Campo magn´ etico en el interior de un solenoide

El campo magnético generado en el interior de un solenoide por el cual circula una corriente eléctrica I está dado por la expresión

Beje central= µ0

N LI = µ0nI

N es el n´umero de espiras y L es la longitud del solenoide. n es la densidad de espiras por unidad de longitud

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Campo magn´ etico generado por un im´ an

El campo magn´etico generado por las corrientes internas de un im´an es semejante al campo generado por un aro de corriente

N S

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Origen del campo magn´ etico de un im´ an

El origen del campo magnético en el interior de un imán son las corrientes eléctricas generadas por dipolos magnéticos microscópicos en el material del cual

está constituido el imán. Si los dipolos microscópicos están alineados, el resultado es que el material presenta un momento dipolar neto permanente y un campo magnético permanente.

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Magnetismo en la materia

DiamagnetismoMateriales que no tienen electrones sin pareja. El momento magn´etico de los electrones no produce ning´un efecto.

ParamagnetismoMateriales que tienen electrones sin pareja. Cuando un campo magnético se aplica sobre estos materiales, los momentos magnéticos de estos electrones sin pareja tienden a alinearse con el campo magnético.

FerromagnetismoComo en el caso anterior, son materiales que tienen electrones sin pareja. Adicionalmente los momentos magn´eticos de estos electrones tienden a estar alineados entre ellos. Esta tendencia produce un momento dipolar neto permanentes aun cuando no haya un campo magn´etico externo aplicado sobre el material.

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Magnetismo en la materia

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