Clase-64 Permutaciones y Combinaciones:
Se define previamente "n" factorial, el que se denota como n!; donde:
n! = n(n-1)(n-2)(n-3)...1 En particular, se define 0!= 1
Ejemplo: Al calcular:
(a) 3! = (b) 4! = (c) 6! =
Permutaciones o Variaciones:
Una permutación de n objetos diferentes tomados de r en r atiende a todas las formas de ordenar r objetos entre n dados.
Ejemplos:
(a) Las permutaciones de las letras a,b,c tomadas de dos en dos son:
(b) Las permutaciones de las letras a,b,c tomadas de tres en tres son:
El número de permutaciones de n objetos diferentes tomados de r en r se representa por nPr y viene dado por:
)!
r n (
! r n
nP
Verifiquemos el número de permutaciones del ejemplo anterior; así en
(a) 3P2 = (b) 3P3 =
En particular: nPn n!
Notar que: a las permutaciones también se les llama por variaciones.
Combinaciones:
Una combinación de n objetos diferentes tomados de r en r atiende a todas las formas de seleccionar r objetos entre n dados.
Ejemplos:
(a) Las combinaciones de las letras a,b,c tomadas de dos en dos son:
(b) Las combinaciones de las letras a,b,c tomadas de tres en tres son:
El número de combinaciones de n objetos diferentes tomados de r en r se representa por nCr y viene dado por:
)!
r n (
! r
! r n
nC
Verifiquemos el número de combinaciones del ejemplo anterior; así en
(a) 3C2 = (b) 3C3 =
En particular: nCn 1
(1)
Notar que: ab y ba son la misma combinación, pero ab y ba son distintas permutaciones, deduciéndose que si arreglos repetidos se consideran iguales es un problema de combinación y si arreglos repetidos se consideran distintos es un problema de permutación.
Ejercicios:
(a) ¿De cuántas formas distintas, se pueden ordenar 7 libros tomados de 4 en 4?
(b) ¿De cuántas formas distintas se puede elegir un comité de 5 personas de entre 9 presentes?
(c) ¿De cuántas formas distintas 8 personas pueden sentarse en una banca con capacidad para 3 personas?
d) Se tienen 8 flores de distinto color. ¿Cuántos ramilletes posibles de tres flores de distinto color se pueden construir?
(e) ¿De cuántas formas distintas se pueden estacionar 8 autos en fila?
(f) En una familia hay 10 personas. ¿Cuántos abrazos se pueden dar en total en la fiesta de año nuevo?
Ampliando las Permutaciones:
a) ¿De cuantas formas 6 estudiantes se pueden sentar en una fila de 6 asientos?
Por principio multiplicativo el número de formas es: 654321 = 720
Formalmente será:
6 6P
b) ¿De cuantas formas 6 estudiantes se pueden sentar en una fila de 8 asientos?
Por principio multiplicativo el número de formas es: 876543 = 20.160
Formalmente será:
8 6P
(2)
6 5 4 3 2 1
8 7 6 5 4 3
Permutaciones con Repetición:
a) ¿Cuántas permutaciones distintas de 4 letras se pueden hacer con las letras de la palabra abss?
Sean las letras a, b, s1, s2; el numero total de permutaciones seria 4P4 = 24
abs1s2 ; abs2s1; as1bs2; as2bs1; as1s2b; as2s1b; bas1s2; bas2s1; bs1as2; bs2as1; bs1s2a; bs2s1a;
s1abs2; s2abs1; s1bas2; s2bas1; s1as2b; s2as1b; s1bs2a; s2bs1a; s1s2ab; s2s1ab; s1s2ba; s2s1ba Pero al quitar los subíndices se ve que hay permutaciones iguales; así:
abss= abss ; asbs = asbs; assb = assb ; bass = bass ; bsas = bsas ; bssa = bssa ; sabs = sabs ; sbas = sbas; sasb = sasb ; sbsa = sbsa ; ssab = ssab ; ssba = ssba
Como s1 y s2 se pueden ordenar de 2 formas distintas (2 2P = 2! = 2), cada arreglo se repite dos veces, luego el numero de permutaciones será: 4! 24
2! 2 12. Definición:
En general, dados n objetos de los cuales k1 son de una clase; k2 de otra y k3 de otra, el número de permutaciones diferentes que se pueden hacer con los n objetos juntos es: P =
1 2 3
n!
k ! k ! k ! ....
b) ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar las letras de la palabra casada ? De las 720 ordenaciones que se dan en total (6 6P = 6! = 720); notar que :
Las permutaciones ca1sa2da3 con ca3sa2da1; quitando los subíndices las dos serian iguales; y como a1, a2, a3 se pueden ordenar de 6 formas distintas (3 3P = 3! = 6) cada nuevo arreglo se repite 6 veces; luego el número de permutaciones será:
P =
c) Se tiene un estante con 4 libros de historia, 3 de matemática y 2 de biología. ¿De cuantas formas distintas se pueden ordenar de modo que los libros de cada asignatura queden siempre juntos?
El número total de libros es 4+3+2=9 los que se pueden ordenar de 362.880 formas;
(9 9P = 9! = 362.880); pero como deben quedar juntos los libros de cada asignatura;
el número de permutaciones será: P =
Definición:
Si se tienen “n” sucesos y cada uno de ellos se repite con “r” posibilidades; el número total de permutaciones con repetición (PR) que se forman esta dado por:
nPR =r r n
Ejemplos:
a) Se tiene una prueba de 5 preguntas de verdadero o falso. ¿De cuántas formas distintas se puede responder?
Tal número esta dado por:
b) En la antigua polla gol se daban 13 partidos y cada uno de ellos con 3 posibilidades (ganar, empatar, perder).¿Cuántos resultados posibles se dan en total?
Tal número esta dado por:
(3)
Ampliando las Combinaciones:
Nota: La combinaciones de n objetos diferentes tomados de r en r se denota:
n r n n!
C = =
r r!(n- r)!
Ejercicios:
Hay un grupo de 7 personas; 4 hombres y 3 mujeres; luego:
a) De cuantas formas puedo elegir 5 personas de entre estas 7:
Al escoger 5 personas entre 7:
7C = 5
7 5 =
b) Si se desea escoger estas 5 personas tales que sean 3 hombres y 2 mujeres:
Al escoger 3 hombres entre 4:
4C = 3
4 3 =
Al escoger 2 mujeres entre 3:
3C = 2
3 2 =
La posibilidad de escoger 3 hombres entre 4 y 2 mujeres entre 3 queda determinada por el producto de ambas combinaciones; luego:
4 3C 3 2C =
Bajo estas condiciones hay ___ formas de hacer esta selección.
Siempre al multiplicar los resultados parciales se obtiene el resultado total.
Definición:
El total de combinaciones de n objetos de 1 en 1, 2 en 2, 3 en 3, ..., n en n esta dado por 2 -1n .
n n 1 n 2 n 3C + C + C +...+ C = 2n n 1 Ejemplo:
¿De cuántas maneras diferentes se puede invitar al cine a uno o más de cinco amigos?
Tal número de combinaciones esta dado por:
5
5 1 5 2 5 3 5 4 5 5C + C + C + C + C = 2 1 = 32 – 1 = 31
Probabilidad:
Indicador numérico que permite conocer la factibilidad de ocurrencia o no ocurrencia de un hecho, suceso o experimento.
Ejemplos:
El obtener un determinado resultado al lanzar un dado.
El sacar una ficha premiada de una tómbola.
El acertar a un número que cumpla con una condición determinada.
El predecir el resultado de un encuentro deportivo.
Son ejemplos de sucesos factibles de calcular con las probabilidades.
Probabilidad de Ocurrencia de un suceso:
Formalmente se define probabilidad, por el cuociente entre los casos favorables y posibles en que se presenta un suceso; es decir: si un suceso E es tal que de “n”
casos posibles se presenta “h” veces favorablemente; entonces la probabilidad de ocurrencia del suceso E es:
P(E) = n h (4)
Ejemplos:
1) Si se lanza una moneda al aire; la probabilidad de obtener cara y sello es:
P(C) = P(S) =
2)Si se tienen los dígitos del 0 al 9 en una tómbola y se saca uno al azar; determine la probabilidad de obtener:
E1: Número par P(E1) =
E2: Número primo P(E2) =
E3: Número divisor de 12 P(E3) =
E4: Número mayor o igual a 7 P(E4) =
E5: Número menor que 0 P(E5) =
E6: Número menor que 10 P(E6) =
De los ejemplos anteriores, se deduce que la probabilidad de ocurrencia de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1. Al ser 0 es imposible que el suceso ocurra, a diferencia de ser 1, donde el suceso debiera de ocurrir.
Probabilidad de no ocurrencia de un suceso:
Si un suceso E se presenta en “n” casos posibles, de los cuales “h” le son favorables quedan “n – h” casos desfavorables; luego la probabilidad de no ocurrencia de un suceso E, la que se denota por P(E) es:
) E ( P =
n h n =
n h n
n = 1 - n
h = 1 – P(E)
Es decir la probabilidad de no ocurrencia de un suceso está definida por 1 menos la probabilidad de ocurrencia.
Ejercicio:
Si se tiene una caja con 3 fichas blancas, 6 fichas rojas y 9 fichas azules; calcular:
P(B) = P(B)
P(R) = P(R)
P(A) = P(A)
(5)
Espacio Muestral:
Es el conjunto de todos los resultados posibles que se obtiene al realizar un experimento, el que se representa gráficamente por medio de un diagrama de árbol.
Ejemplos:
1) Si se lanzan dos monedas al aire;
determine diagrama de árbol y el espacio muestral:
Espacio Muestral = {
A partir del diagrama de árbol o espacio muestral, se pueden calcular probabilidades de sucesos más amplios; así la probabilidad de obtener:
E1: Resultados iguales P(E1) = E2: Resultados distintos P(E2) =
2) Si se lanza un dado y una moneda; determine:
Diagrama de árbol:
Espacio Muestral = {
Determine la probabilidad de obtener:
E1: Número par y sello P(E1) = E3: Número primo y sello P(E3) =
E2: Divisor de 60 y cara P(E2) = E4: Número menor a 3 y cara P(E4) =
Ejercicios Propuestos:
1) Calcular los siguientes valores factoriales:
(a) 0! = (b) 2! = (c) 5! = (d) 8! = (e) 12! =
2) Dadas las letras a,b,c,d ; determine las permutaciones de estas letras:
(a) Tomadas de 2 en 2: (b) Tomadas de 3 en 3:
3)Dadas las letras a,b,c,d ; determine las combinaciones de estas letras:
(a) Tomadas de 2 en 2: (b) Tomadas de 3 en 3:
4) Determine los siguientes números de permutaciones:
(a) 5P2 = (b) 6P4 = (c) 8P3 = (d) 5P5 =
(6)
5) Determine los siguientes números de combinaciones:
(a) 5C2 = (b) 6C3 = (c) 7C4 = (d) 9C9 =
6) Se tienen los números dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9; determine el total de números de las cifras pedidas que se forman, si estas no se pueden repetir o si:
Si las cifras no se pueden repetir Si las cifras si se pueden repetir a) Números de 4 cifras: a) Números de 4 cifras:
b) Números de 10 cifras: b) Números de 10 cifras:
7) De cuántas formas distintas pueden sentarse 5 personas en un sofá que tiene solamente 3 asientos:
A) 10 D) 45 B) 20 E) 60 C) 30
8) ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar 5 libros de distintas asignaturas?
A) 25 D) 100 B) 50 E) 120 C) 60
9) ¿De cuántas formas puede elegirse un comité de 5 personas de entre 9 personas?
A) 63 D) 1.512 B) 126 E) 3.024 C) 189
10) ¿De cuántas formas se pueden seleccionar 6 preguntas de un total de 10?
A) 210 D) 2.520 B) 320 E) 5.040 C) 480
11) Con las letras de la palabra "castor":
¿Cuántos códigos distintos de 3 letras se pueden formar?
A) 20 D) 90 B) 30 E) 120 C) 60
12) ¿De cuantas formas se pueden elegir 5 idiomas de entre 8?
A) 56 D) 560
B) 120 E) Otro valor C) 336
13) De cuantas formas distintas se puede responder una prueba de 5 preguntas y cada una de ellas con 3 alternativas?
A) 15 D) 125 B) 32 E) 243 C) 81
14)¿Cuantos códigos distintos se puede formar con las letras de la palabra SALADA?
A) 120 D) 600 B) 360 E) 720 C) 480
15) Si hay 5 hombres y 7 mujeres; de cuantas formas distintas se pueden sentar en una banca de 3 asientos si se pueden ubicar:
a) En cualquier orden: b) Sólo hombres o sólo mujeres:
16) ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar las letras de la palabra arandano?
A) 3.360 D) 40.320 B) 6.720 E) Otro valor C) 30.240
17) Si tengo una prueba de 6 preguntas de verdadero o falso. ¿De cuantas formas distintas puedo responder esta?
A) 12 D) 64 B) 24 E) 128 C) 36
18) De cuántas maneras se puede elegir un comité de 5 personas entre 12 hombres y 8 mujeres; si en este deben haber 3 hombres y 2 mujeres?
A) 6.160 D) 44.352
B) 15.504 E) Otro número.
C) 21.660
19) ¿Cuántas comisiones de 1 o mas personas se pueden escoger entre 10 personas?
A) 1.023 D) 3.121
B) 2.031 E) Otro número.
C) 2.520 (7)
20) Si hay 5 manzanas y 4 membrillos; de cuantas formas distintas puedo elegir a) 6 frutas cualquiera: b) 3 manzanas y 2 membrillos:
21) En base a las siguientes tres ruletas se obtienen números de tres cifras:
a) Confeccionar el diagrama de árbol.
b) Determine el espacio muestral.
c)Determine la probabilidad de ocurrencia de los siguientes sucesos:
E1: Obtener un número par.
E2: Obtener un número impar.
E3: Obtener un número múltiplo de 3.
E4: Obtener un número divisible por 5.
22) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo al lanzar un dado?
A) 1/2 D) 2/3 B) 1/4 E) 3/4 C) 1/3
23) Si una caja tiene 6 fichas rojas, 4 verdes y 5 amarillas. ¿Al sacar 1 ficha cuál es la probabilidad de no sacar una ficha roja?
A) 1/5 D) 2/3 B) 2/5 E) 4/5 C) 3/5
24) Al lanzar 1 dado y una moneda.
¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 4 y cara?
A) 1/6 D) 3/4 B) 1/3 E) 5/6 C) 2/5
25) Al lanzar una moneda tres veces seguidas. ¿Cuál es la probabilidad de que salga dos veces cara y una sello?
A) 1/4 D) 5/8 B) 3/8 E) 3/9 C) 1/2
Respuestas Ejercicios Propuestos Clase-64
1)(a) 1 (b) 2 (c) 120 (d) 40.320 (e) 479.001.600 2)(a) ab,ac,ad,ba,bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc
(son 12)
(b) abc,acb,abd,adb,acd,adc,bac,bca,bad, bda,bcd,bdc,cab,cba,cad,cda,cbd,cdb, dab,dba,dac,dca,dbc,bcd (son 24)
3)(a) ab,ac,ad,bc,bd,cd (son 6) (b) abc,abd, acd,bcd (son 4)
4)(a) 20 (b) 360 (c) 336 (d) 120
5)(a) 10 (b) 20 (c) 35 (d) 1
6)a) 99 3P =
9! 9!
9 9 9 9 8 7
(9 3)! 6! =4.536 a) 93PR10 =9 10 3 91000 = 9.000 b) 99 9P =9 9! 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1
= 3.265.920 b) 99PR10 =9 10 9 9.000.000.000
7) E 8) E 9) B 10) A 11) E 12) A 13) E 14) A
15) a) 12 3P =1.320 b) 5 3P +7 3P = 270
16) A 17) D 18) A 19) A
20) a) 9 6C =84 b) 5 3 4 2C + C =60 21)b)
{125,126,129,145,146,149,175,176,179, 325,326,329,345,346,349,375,376,379, 825,826,829,845,846,849,875,876,879}
c) P(E1)=
3
1 P(E2)=
3 2
P(E3)=
3
1 P(E4)=
3 1
22) A 23) C 24) A 25) B
(8) 1 3
8
7 2 4
5 6 9
