UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
CÁLCULO INTEGRAL
PRIMER EXAMEN EXTRAORDINARIO
Sinodales: Ing. Luis Hernández Moreno
M.E.M. Margarita Ramírez Galindo
12 de marzo de 2015 Semestre 2015-2
INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2 horas.
1. Determinar el valor medio de la función
f x ( ) = e
sen xcos x
, en el intervalo0
, 2
.
15 Puntos
2. Calcular, si existen:
( )
0
) lim ln
x
a x sen x
→ +
( )
20
x x d x
b) e
−
20 Puntos
1EE15-2 3. Efectuar las integrales:
( )
( ) ( )
2
2
1 5
1 9
a ) x ln x d x b ) d x
x x
+ − +
20 Puntos
4. Calcular el área de la región limitada por las gráficas de:
2 2
2 y 4
x = y x = + y
15 Puntos
5. Comprobar que se cumple la siguiente igualdad
2 2 2
2 2
2 z 5 z 3 z 0
x x y y =
− −
en donde
z = sen h ( 3 x + y ) − cos h x ( − 2 y )
15 Puntos
6. Sea la función
f ( x y , ) x
2= y
Determinar la dirección
, tal que
, 2
, en la cual la funciónf
permanece constante a partir del punto P(
2 , 1)
15 Puntos
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL
Solución del Primer Examen Extraordinario Semestre 2015 – 2
1. Sea
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 0
2
0
2 0
2 1
valor promedio 2 0
1
1
b
a senx
sen sen
senx
f x dx
f c ; I
b a
I
f c e
cos x dx
e
e e
e e e
= − =
= − =
= = −
−
=
−
−
15 Puntos 2.
a)
( )( )
0
2
0 0
2
0 2
0 lim ln
1
Aplicando L'Hopital cos
lim lim 0
1 tan 0
Nuevamente aplicando L'Hopital
2 0
L= - lim 0 0
sec 1
x
x x
x
L
sen x L
x
x
x sen x
L x
x
x L
x
→
→ →
→
= −
= = −
= = − =
−
= − = =
S1EE15-2 b)
2
2
2
0
0
0
lim lim 1
2
1 1
lim 2 2
1 2
x
x
I dx
I
I
I
x e e e
−
→
−
→
−
→
=
= −
= − +
=
20 Puntos
3.
a) Por partes
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2
2 2
2 1 2 1 1
2 2 1
1 1
1 2
1 1 1
1
1 1
2
x x
I x ln x dx ln x dx
x
si u ln x ; dv x dx
du dx ; v x
x
I x ln x x dx
x
I x ln x x x ln x C
= + = + − +
= + =
= =
+
= + − − + +
= + − + − + +
S1EE15-2 b) Por descomposición en fracciones parciales
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2
2 2
2
2
1
1 9
1 9
1 9 1
1 9
1 1 1
A = = =
10 10 10
1 1 1 1 1
5 10 1 10 9 10 9
5 5 5 1
1 9
10 20 10 3 3
1 1 1
1 9
2 4 6 3
A B x C
x x
x x
A x Bx C x
A B x C B x A C
B C
I dx x dx dx
x x x
I ln x ln x ang tan x C
I ln x ln x ang tan x C
= + +
− +
− +
= + + + −
= + + − + −
− −
= − − + − +
= − − + − +
= − − + − +
20 Puntos 4.
( ) ( )
( )
2
0 2
0
2 2
2 3
2 2
2 4 2
2
2 4 4
3 0
16 32 32
2 3 3 3
A y y dy
y dy y y
A u A u
= + −
= − = −
= = =
15 Puntos
( )
8, 2(
8, 2−)
2 2
x= y
4 2
x= +y
2
S1EE15-2 5.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2
2
3 cosh 3 2 , 9 3 cosh 2
cosh 3 2 2 , 3 4 cosh 2
3 3 2 cosh 2
2 9 3 cosh 2
5 3 3 2 cosh 2
3 3 4 cosh 2 0
18 15 3 3
z z
x y senh x y senh x y x y
x x
z z
x y senh x y senh x y x y
x x
z senh x y x y
x y
senh x y x y
senh x y x y
senh x y x y
senh
= + − − = + − −
= + + − = + − −
= + + −
+ − −
− + + −
− + − − =
− −
( ) (
2 10 12 cosh) (
2)
0 0 0 sí se satisfacex + y + − − + x − y =
15 Puntos
6.
( )
0
2 2
1 2
Se requiere 0
en donde 2 , 4, 4
entonces 4 cos 4 0
tan 1 por lo que
5 como , 2
4 4
5 4
P
dF ds
x x
f y y
sen
y
=
= − = −
− =
=
= =
=
15 Puntos