20 Puntos 15 Puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL

PRIMER EXAMEN EXTRAORDINARIO

Sinodales: Ing. Luis Hernández Moreno

M.E.M. Margarita Ramírez Galindo

12 de marzo de 2015 Semestre 2015-2

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2 horas.

1. Determinar el valor medio de la función

^{f x} ( ) ^{= e}

^{sen x}

^{cos x}

, en el intervalo

0

,  2

 

 

 

^.

15 Puntos

2. Calcular, si existen:

( )

0

) lim ln

x

a x sen x

→ +

   

( )

²

0

x x d x

b) e



 −

20 Puntos

1EE15-2 3. Efectuar las integrales:

( )

( ) ( )

2

2

1 5

1 9

a ) x ln x d x b ) d x

x x

+ − +

 

20 Puntos

4. Calcular el área de la región limitada por las gráficas de:

2 2

2 y 4

x = y x = + y

15 Puntos

5. Comprobar que se cumple la siguiente igualdad

2 2 2

2 2

2 z 5 z 3 z 0

x x y y ⁼

 −  − 

   

en donde

^{z = sen h} ( ^{3 x + y} ) ^{− cos h x} ( ^{− 2 y} )

15 Puntos

6. Sea la función

^f ( ^{x y ,} ) ^x

²

= y

Determinar la dirección



, tal que

^

^

 ^{ }

^{, 2}



, en la cual la función

f

permanece constante a partir del punto ^P

(

^{2 , 1}

)

15 Puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL

Solución del Primer Examen Extraordinario Semestre 2015 – 2

1. Sea

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 0

2

0

2 0

2 1

valor promedio 2 0

1

1

b

a senx

sen sen

senx

f x dx

f c ; I

b a

I

f c e

cos x dx

e

e e

e e e







 

 

 

 

= − = 

= − =

 = = −

−

 =

−



−

15 Puntos 2.

a)

( )( )

0

2

0 0

2

0 2

0 lim ln

1

Aplicando L'Hopital cos

lim lim 0

1 tan 0

Nuevamente aplicando L'Hopital

2 0

L= - lim 0 0

sec 1

x

x x

x

L

sen x L

x

x

x sen x

L x

x

x L

x

→

→ →

→

= −

= = − 



= = − =

−

= − =  =

S1EE15-2 b)

2

2

2

0

0

0

lim lim 1

2

1 1

lim 2 2

1 2

x

x

I dx

I

I

I

x e e e











 

−

→

−

→

−

→

=

 

=   −  

 

=   − +  

=



20 Puntos

3.

a) Por partes

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2

2

2 2

2 1 2 1 1

2 2 1

1 1

1 2

1 1 1

1

1 1

2

x x

I x ln x dx ln x dx

x

si u ln x ; dv x dx

du dx ; v x

x

I x ln x x dx

x

I x ln x x x ln x C

 

= + =  + − + 

= + =

= =

+

 

= + −  − + + 

= + − + − + +

 



S1EE15-2 b) Por descomposición en fracciones parciales

( ) ( )

( ) ^{( )( )}

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2

2

2 2

2

2

1

1 9

1 9

1 9 1

1 9

1 1 1

A = = =

10 10 10

1 1 1 1 1

5 10 1 10 9 10 9

5 5 5 1

1 9

10 20 10 3 3

1 1 1

1 9

2 4 6 3

A B x C

x x

x x

A x Bx C x

A B x C B x A C

B C

I dx x dx dx

x x x

I ln x ln x ang tan x C

I ln x ln x ang tan x C

= + +

− +

− +

 = + + + −

 = + + − + −

 − −

 

=   − − + − +  

= − − + −     +

 

= − − + −     +

 

  

20 Puntos 4.

( ) ( )

( )

2

0 2

0

2 2

2 3

2 2

2 4 2

2

2 4 4

3 0

16 32 32

2 3 3 3

A y y dy

y dy y y

A u A u

 

=  + − 



= − = −



 

 

= = =

 





15 Puntos

( )

^{8, 2}

(

^{8, 2−}

)

2 2

x= y

4 2

x= +y

2

S1EE15-2 5.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

 

( ) ( )

 

( ) ( )

 

( )

2

2

2

2

2

3 cosh 3 2 , 9 3 cosh 2

cosh 3 2 2 , 3 4 cosh 2

3 3 2 cosh 2

2 9 3 cosh 2

5 3 3 2 cosh 2

3 3 4 cosh 2 0

18 15 3 3

z z

x y senh x y senh x y x y

x x

z z

x y senh x y senh x y x y

x x

z senh x y x y

x y

senh x y x y

senh x y x y

senh x y x y

senh

 

 

 

 

= + − − = + − −

= + + − = + − −

 = + + −

 

 + − −

− + + −

− + − − =

− −

( ) (

2 10 12 cosh

) (

2

)

0 0 0 sí se satisface

x + y + − − + x − y =

 

15 Puntos

6.

( )

 

0

2 2

1 2

Se requiere 0

en donde 2 , 4, 4

entonces 4 cos 4 0

tan 1 por lo que

5 como , 2

4 4

5 4

P

dF ds

x x

f y y

sen

y

 



 

    

 

=

 

 =  −  = −

 

− =

=

= = 

 =

15 Puntos