Teorema de la funci´ on abierta

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Teorema de la funci´ on abierta

Objetivos. Demostrar el teorema de Banach–Schauder sobre la funci´on abierta, para operadores lineales continuas entre espacios de Banach.

Prerrequisitos. Teorema de Baire, espacio de Banach, operador lineal continuo entre espacios normados.

1 Repaso (un corolario del teorema de Baire). Recordamos que si Y es un espacio m´etrico completo, entonces Y no es magro. Esto significa que

@(Ek)k∈N ∈ (2Y)N Y = [

k∈N

Ek ∧ ∀k ∈ N int(clos(Ek)) = ∅

! .

Escribamos esta afirmaci´on en otra forma equivalente, usando las leyes de De Morgan y transformando p ∧ q en p → q:

∀(Ek)k∈N ∈ (2Y)N Y = [

k∈N

Ek

!

=⇒ (∃k ∈ N int(clos(Ek)) 6= ∅) .

2 Definici´on (funci´on abierta). Sean X, Y espacios topol´ogicos y sea f : X → Y . Se dice que la funci´on f es abierta si para cada subconjunto A abierto en X, su imagen f (A) es un conjunto abierto en Y .

3 Lema. Sean X, Y espacios normados y sea T ∈ B(X, Y ). Denotemos por BX a la bola unitaria de X y por BY a la bola unitaria de Y :

BX := {x ∈ X : kxkX < 1}, BY := {y ∈ Y : kykY < 1}.

Supongamos que existe r > 0 tal que BY ⊆ T (rBX). Entonces la funci´on T es abierta.

Demostraci´on. Sea V un conjunto abierto en X. Vamos a demostrar que T (V ) es abierto en Y . Sea y ∈ T (V ). Elegimos x en V tal que y = T x. Usando la suposici´on que V es abierto, encontramos s > 0 tal que x + sBX ⊆ V . La suposici´on BY ⊆ T (rBX) implica que srBY ⊆ T (sBX) y

y +s

rBY ⊆ T (x) + T (sBX) = T (x + sBX) ⊆ T (V ).

4 Ejercicio. Sea T ∈ B(X, Y ) una funci´on abierta. Muestre que existe r > 0 tal que BY ⊆ T (rBX).

Teorema de la funci´on abierta, p´agina 1 de 3

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5 Lema. Sea Y un espacio normado y sean P, Q subconjuntos de Y . Entonces clos(P ) + clos(Q) ⊆ clos(P + Q).

Demostraci´on. Este resultado se sigue de la continuidad de la operaci´on + : Y × Y → Y y de la definici´on de la topolog´ıa en Y × Y . Sin embargo, veremos una demostraci´on m´as elemental. Sea c ∈ clos(P ) + clos(Q). Entonces existen a ∈ clos(P ), b ∈ clos(Q), (pk)k∈N ∈ PN y (qk)k∈N ∈ QN tales que c = a + b, l´ımk→∞pk = a y l´ımk→∞qk = b. Para cada k en N tenemos que pk+ qk ∈ P + Q, y de la desigualdad

k(pk+ qk) − (a + b)k ≤ kpk− ak + kqk− bk se sigue que l´ımk→∞(pk+ qk) = a + b = c, as´ı que c ∈ clos(P + Q).

6 Teorema (de la funci´on abierta). Sean X, Y espacios de Banach y sea T ∈ B(X, Y ) tal que T (X) = Y . Entonces la funci´on T es abierta.

Demostraci´on. 1. Obviamente X =S

k∈N(kBX). Usamos la suposici´on que T es sobre:

Y = T (X) = [

k∈N

T (kBX).

Por el teorema de Baire, el espacio Y no es magro. Luego existe un k en N tal que int(clos(T (kBX))) 6= ∅. Elegimos w ∈ Y , r > 0 tales que w + rBY ⊆ clos(T (kBX)).

Luego

rBY = (w + rBY) − w ⊆ clos(T (kBX)) + clos(T (kBX))

(i)

⊆ clos(T (kBX) + T (kBX)) = clos(T (kBX + kBX))

(ii)

⊆ clos(T (2kBX)),

donde la contenci´on (i) se sigue del Lema 5 y la contenci´on (ii) se sigue de la definici´on de las bolas. Pongamos R = 2k/r. Entonces

BY ⊆ clos(T (RBX)).

Esto significa que

∀z ∈ Y ∀ε > 0 ∃x ∈ X (kxkX ≤ RkzkY ∧ kT x − zkY < ε) . (1) 2. Sea y ∈ BY. Vamos a construir una sucesi´on (xk)k∈N de la siguiente manera. Aplicando (1) con z = y y ε = 1/2 elegimos x1 en RBX tal que kT x1− ykY < 1/2. Supongamos que xk satisface

kxkkX < R 2k−1,

y − T

k

X

j=1

xj Y

< 1 2k.

Teorema de la funci´on abierta, p´agina 2 de 3

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Aplicando (1) con z = y −Pk

j=1xj y ε = 1/2k+1 elegimos xk+1 tal que kxk+1kX < R

2k,

y − T

k+1

X

j=1

xj Y

< 1 2k+1. La serie num´ericaP

k=1kxkkX converge y el espacio X es completo, luego la serieP k=1xk converge en X. En otras palabras, si sk = Pk

j=1xj, entonces (sk)k∈N es una sucesi´on de Cauchy. Denotemos por t al l´ımite de esta sucesi´on:

t = l´ım

k→∞sk =X

k∈N

xk.

Entonces ktkX < 2R y T t = y. Por lo tanto y ∈ T (2RBX). Como y fue un elemento arbitrario de BY, hemos probado que BY ⊆ T (2RBX). Por el Lema 3, la funci´on T es abierta.

7 Corolario. Sean X, Y espacios de Banach y sea T ∈ B(X, Y ) una transformaci´on lineal biyectiva. Entonces su inversa es continua.

Demostraci´on. Primero notemos que existe una ´unica funci´on T−1, inversa a T , y esta funci´on es lineal. Por el teorema de la funci´on abierta, T es abierta. Luego para cada conjunto V abierto en X, el conjunto T (V ) es abierto en Y . Pero T (V ) es la preimagen de V bajo T−1.

8 Corolario. Sea X un espacio vectorial y sean k · k1 y k · k2 normas en X tales que (X, k · k1) y (X, k · k2) son espacios de Banach. Entonces las normas k · k1 y k · k2 son equivalentes.

Teorema de la funci´on abierta, p´agina 3 de 3

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