Funci´ on logaritmo

Clase 5

Funciones exponencial y logar´ıtmica

Instituto de Ciencias B´asicas Facultad de Ingenier´ıa Universidad Diego Portales

Marzo, 2014

Funci´ on logaritmo

Definici´ on

Sea a ∈ R

− {1}. Se define la funci´on logaritmo de x, en base a, denotada por log

(x) , como:

log

(x) = y ⇐⇒ x = a

.

La funci´ on logar´ıtmica con base e, se llama logaritmo natural, y se denota por ln(x), es decir:

ln (x) = y ⇐⇒ x = e

Notamos que la funci´ on logar´ıtmica est´ a definida en t´erminos de la funci´ on exponencial f (x) = a

.

La representaci´ on gr´ afica y algunas propiedades de estas funciones, se

muestran a continuaci´ on:

Gr´ aficas de la funci´ on exponencial, f (x) = a

f (x) = a

, con a > 1 f (x) = a

, con 0 < a < 1.

1 2 3 4 5 6

−1

1 2 3

−1

−2

−3

y = a

1 2 3 4 5

−1

1 2 3

−1

−2

−3

y = a

Observe que:

si a > 1, f (x) = a

es una funci´ on creciente,

si 0 < a < 1, f (x) = a

es una funci´ on decreciente,

en ambos casos f (0) = 1 y f (x) > 0 para todo x ∈ R.

Funci´ on logar´ıtmica, f (x) = log

(x)

f (x) = log

(x), con a > 1 f (x) = log

(x), con 0 < a < 1

1 2

−1

−2

1 2 3

−1

−2

y = log

(x)

1 2 3

−1

−2

1 2 3 4

−1

−2

y = log

(x)

Observe que:

si a > 1, f (x) = log

(x) es una funci´ on creciente,

si 0 < a < 1, f (x) = log

(x) es una funci´ on decreciente,

si a > 1 , f (x) < 0 para todo x ∈ (0, 1), mientras que f(x) > 0 para x ∈ (1, ∞),

si 0 < a < 1 , f (x) > 0 para todo x ∈ (0, 1), mientras que f(x) < 0 para x ∈ (1, ∞),

en ambos casos f (1) = 0 y f (a) = 1.

Problemas resueltos

Problema 1: Esboce el gr´ afico de la funci´ on exponencial y = 2

y responda:

a) ¿El gr´ afico de la funci´ on corta al eje X?

b) ¿El gr´ afico de la funci´ on corta al eje Y ?, ¿en qu´e punto?

c) La expresi´ on y = (−2)

, ¿representa una funci´ on exponencial?

Soluci´ on:

1 2 3 4 5 6

−1

1 2 3

−1

−2

−3

y = 2

a) La gr´ afica no corta el eje X, pues 2

> 0, ∀x ∈ R.

b) La intersecci´ on de la gr´ afica y eje Y es el punto (0, 1).

c) La expresi´ on (−2)

no representa una funci´ on

exponencial, pues la base es

menor que cero.

Problemas resueltos

Problema 2: Esboce el gr´ afico de la funci´ on exponencial y =  1 2



y responda:

a) ¿el gr´ afico corta al eje Y en alg´ un punto?, ¿cu´ al?

b) ¿el gr´ afico corta al eje X en alg´ un punto?

Soluci´ on

1 2 3 4 5 6

−1

1 2 3

−1

−2

−3

y =  1 2

x

a) La gr´ afica corta al eje Y en el punto (0, 1).

b) La gr´ afica no corta al eje X, pues  1

2



> 0, ∀x ∈ R.

Problemas resueltos

Problema 3: Determine si existe alg´ un punto de intersecci´ on entre la gr´ afica de la funci´ on f (x) = log

(x) con el eje X.

Soluci´ on: La gr´ afica de una funci´ on logar´ıtmica corta al eje X en el punto (1, 0), tal como se ve en la gr´ afica de f (x) = log

(x):

1 2 3

−1

−2

1 2 3 4 5

−1

−2

y = log

(x)

Simetr´ıa entre los gr´ aficos de f (x) = a

y g(x) = log

(x)

Observe que los gr´ aficos de las funciones exponencial y logar´ıtmica son sim´etricos respecto de la recta y = x.

Para a > 1 Para 0 < a < 1

1 2 3

−1

−2

−3

1 2 3

−1

−2

−3

y = log

(x)

y = a

2 3

−1

−2

−3

1 2 3

−1

−2

−3

y = a

y = log

(x)

¿En qu´e punto del plano se cortan las gr´ aficas de las funciones exponencial

y logar´ıtmica?

Propiedades algebraicas de la funci´ on logar´ıtmica

Algunas propiedades de los logaritmos que debemos recordar, son las siguientes:

Propiedades

Para a, b ∈ R

− {1} y x, y ∈ R

, se tiene que:

1

Logaritmo de un producto: log

(x · y) = log

(x) + log

(y)

2

Logaritmo de un cuociente: log

 x y



= log

(x) − log

(y)

3

Logaritmo de una potencia: log

(x

) = y · log

(x)

4

Cambio de base de un logaritmo: log

(x) = log

(x)

log

(a)

Problemas resueltos

Problema 4: ¿Cu´ al debe ser el valor de x, en las siguientes expresiones?

a) log

x = 3

Soluci´ on: log

x = 3 ⇐⇒ 6

= x, luego x = 216 b) log

2

x = −1 Soluci´ on: log

2

x = −1 ⇐⇒  1 2



= x, luego x = 2

c) log

1

8 = 3

Soluci´ on: log

1

8 = 3 ⇐⇒ x

= 1

8 ⇐⇒ x = r 1

8 = 1 2 d) log

1

8 = x

Soluci´ on: log

1

8 = x ⇐⇒ 2

= 1

8 ⇐⇒ 2

= 2

⇐⇒ x = −3

Problemas resueltos

Problema 5: Aplicando las propiedades de los logaritmos, obtenga el valor de las siguientes expresiones:

a) log

b + log

a

Soluci´ on: log

b + log

a = 1 + 1 = 2 b) log

1 + log

b

+ log

d

Soluci´ on: log

1 + log

b

+ log

d

= 0 + n log

b + n log

d = n + n = 2n c) log

(ac) + log

p

+ log

b − log

c

Soluci´ on:

log

(ac)+log

p

+log

b −log

c = log

a +log

c +3 log

p +1−log

c = 5

Problemas resueltos

Problema 6: Calcule el valor de los siguientes logaritmos.

a) log(0, 0001)

Soluci´ on: log(0, 0001) = log(10

) = −4 log 10 = −4 b) log(20) + log  10

2

 Soluci´ on:

log(20) + log  10 2



= log(2 · 10) + log(10) − log(2)

= log(2) + log(10) + log(10) − log(2) = 2

c) log(10

) + log

 1 100

 Soluci´ on:

log(10

) + log

 1 100



= −4 log(10) + log(10

)

= −4 log(10) − 2 log(10) = −6

Problemas resueltos

Problema 7: Aplicando las propiedades de los logaritmos, desarrolle las siguientes expresiones:

a) log 5a

b

√ c 2xy Soluci´ on:

log 5a

b

√ c

2xy = log 5a

b

√

c − log 2xy

= log 5 + 2 log a + 4 log b + 1

2 log c − log 2 − log x − log y b) log  a √

c 2



Soluci´ on:

log  a √ c 2



= 4



log a + 1

2 log c − log 2



= 4 log a + 2 log c − 4 log 2

Problemas resueltos

c) log

s 2ab x

y Soluci´ on:

log

s 2ab

x

y = 1

2 log 2ab − log x

y

= 1

2 (log 2 + log a + log b − 2 log x − log y)

= 1

2 log 2 + 1

2 log a + 1

2 log b − log x − 1

2 log y

Problemas propuestos

Problema 1: Verifique si log

a · log

b · log

c = 1.

Problema 2: La cantidad Q de carbono 14 radioactivo, que permanece t a˜ nos despu´es de que un organismo muere, est´ a dada por el modelo

Q = Q

e

Un cr´ aneo humano es descubierto en una excavaci´ on arqueol´ ogica y tiene

un 15 % de la cantidad original de carbono 14 presente ¿Cu´ al es la edad de

ese cr´ aneo?