Mecánica II Temas 8 Percusiones

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Mec´ anica II Temas 8 Percusiones

Manuel Ruiz Delgado 9 de marzo de 2011

Percusiones. . . 2

Percusiones. . . 3

Percusiones. . . 4

Percusiones. . . 5

Modelo matem´atico: Percusi´on . . . 6

Percusiones conocidas: Newtoniana . . . 11

Percusiones conocidas: anal´ıtica . . . 12

Introducci´on brusca de ligaduras . . . 13

Choques . . . 14

Choques: ejemplo . . . 15

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Percusiones

Manuel Ruiz - Mec´anica II 2 / 15

Percusiones

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Percusiones

S´olido el´astico: fuerzas de contacto“muy grandes”

S´olido r´ıgido: fuerzas de contactoinfinitas.

Singularidad del modelo, no del sistema f´ısico

Modelo que incorpore esas fuerzas en la Mecánica de part´ıculas y sólidos r´ıgidos: percusión Fuerza impulsiva:

Fuerza ≫ Fuerzas caracter´ısticas del movimiento Act´ua durante un tiempo ≪tiempo caracter´ıstico t_c

Durante ese tiempo el desplazamiento del sistema es ≪ longitud caracter´ıstica L_c

Tiempo caracter´ıstico: Tiempo necesario para que las magnitudes del movimiento (fuerzas, longitudes, velocidades) experimenten cambios del orden de ellas mismas.

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Modelo matem´atico: Percusi´on Real

z¨

t

−g

F(t) m

t0

˙z

t

∆t

Ca´ıda Choque Rebote

z

t

Modelo

¨z

t

−g

∞

t0

˙z

t t0

Ca´ıda

Choque

Rebote

z

t

Funci´on Delta de Dirac

t

∞

t₀

1

∆t↑

∆t

←

δ(t − t⁰)=

(0 t 6= t⁰

∞ t = t⁰ Z t⁺₀

t⁻₀

δ(t − t⁰)dt= 1

Modelo matem´atico: Percusi´on

Para una part´ıcula:

F^D+F^I = d dt(m v) Percusi´on: vector constante,

P=

Z t0+∆t t0

F^I(t)dt

Sustituir

F^I(t)≃δ(t − t⁰)P Pasar al l´ımite ∆t → 0

Real

t F^D

F^I

t0

z˙

t

∆t

z

t

Modelo

t F^D

P

t0

∞

z˙

t

z

t

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Modelo matem´atico: Percusi´on

∆t→0l´ım

Z t₀+∆t t0

d

dt(m v) dt = ∆ (m v) =

= l´ım

∆t→0

Z t0+∆t t0

F^D(r, v, t)+δ(t − t⁰)P dt ≃

≃

(((((((((((((

∆t→0l´ım

F^D[r(t0), v(t0), t0]∆t +P l´ım

∆t→0

Z t0+∆t t0

δ(t − t⁰)dt=

=0+P·1= ∆ (m v) =P

m∆r = l´ım

∆t→0

Z t0+∆t t₀

Z t0+τ t₀

d

dt(m v) dt

dτ =

= l´ım

∆t→0

Z t0+∆t t₀

K∆ (m v)

0<K<1

dt= 0

Modelo matem´atico: Percusi´on Tres fases del movimiento:

t < t0: ecuaciones diferenciales del movimiento t= t0: ecuaciones algebraicas de percusi´on

t > t0: ecuaciones diferenciales, tomando como condiciones iniciales las de salida de la percusi´on.

Las fuerzas no impulsivasno intervienen en la percusi´on.

• Las distancias no var´ıan ∆r = 0

• las velocidades dan un salto finito, ∆mv =P,

• las aceleraciones se hacen ∞.

Pueden aparecer percusiones de reacci´on entodas las ligaduras.

En general no se conserva la energ´ıa (deformaciones pl´asticas del material)

∆r→0l´ım

Z ^r₀+∆r r₀

F^I · dr = ∞ · 0

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Modelo matem´atico: Percusi´on Tres tipos de movimientos impulsivos:

Tipo Ligaduras activas Problema

Aplicación de percusiones conocidas Antes ∆t Después Cerrado Introducción brusca de ligaduras persis-

tentes

Antes ∆t Despu´es Cerrado

Choques Antes ∆t Despu´es No cerrado

Percusiones conocidas: Newtoniana

Sistema material sometido a percusiones conocidas:

F^D +F^L+Pδ(t − t⁰)= d

dt(m vG) M^D_O +M^L_O+M^P_Oδ(t − t⁰)= d dtH_O Modelo de percusiones: integrar y pasar al l´ımite ∆t → 0:

P^L+P= mv^d_G− m v^aG M^{P L}_O +M^P_O=H^d_O− H^aO

Ecuaciones algebraicas

Percusiones en todas las ligaduras, como inc´ognitas Si el punto O es m´ovil:

ΣM^E_O= d dtH²¹_O +

acotado

M v^O₀₁∧ v^G21 ΣM^E_O= d

dth²⁰_O + M OG ∧

→∞

γ^O₀₁

El término corrector da percusión: M OG∧ ∆vÔ01

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Percusiones conocidas: anal´ıtica Caso m´as general, sistema no hol´onomo:

d dt

∂T

∂˙qj

− ∂T

∂q_j = Q^D_j +Q^P_j δ(t − t⁰)+

h

X

k=1

µ_kC_kj j= 1 . . . n

n

X

j=1

C_kj ˙q_j+ D_k= 0 k= 1 . . . h

Modelo de percusiones: integrar y pasar al l´ımite ∆t → 0:

∂T

∂˙q_j

d

− ∂T

∂˙q_j

a

=Q^P_j +

h

X

k=1

µ_kC_kj j= 1 . . . n ˙q_j^d(n)

n

X

j=1

C_kj ˙q^d_j + Dk= 0 k= 1 . . . h µ_k(h)

Percusiones en todas las ligaduras, pero s´olo aparecen las cinem´aticas

Introducci´on brusca de ligaduras

Newtoniana: hay pligaduras, se introducen bruscamente otras b:

F^Lp+F^Lb= mv^d_G− m v^aG M^Lp

O +M^Lb_O =H^d_O− H^aO

v^d_G yH^d

O deben cumplir tambi´en las b ligaduras nuevas.

Anal´ıtica: hay ligaduras finitas,p cinem´aticas, bruscamente otras b:

∂T

∂˙q_j

d

− ∂T

∂˙q_j

a

=

p

X

k=1

µ_kC_kj+

b

X

l=1

λ_lC_lj j= 1 . . . n ˙q_j^d

previas:

n

X

j=1

C_kj ˙q_j^d+ D_k= 0 k= 1 . . . p µ_k

nuevas:

n

X

j=1

C_lj ˙q_j^d+ D_l= 0 l= 1 . . . b λ_l

Las bnuevas se tratan como cinem´aticas, aunque seanfinitas

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Choques

Aplicación brusca de una ligadura, sólo actúa durante el choque

• No es persistente, no se puede usar para calcular la velocidad de salida

• tampoco conocemos la percusi´on:problema no cerrado Necesitamos un dato experimental: coeficiente de restituci´on

n

v₁^a v^a₂

Antes n

v^d

1 v^d₂

Despu´es

e= − v^d₁−v^d₂ · n (v^a

1−v^a

2) · n

Coeficiente de restitución↔ grado de conservación de la energ´ıa asociada al movimiento en la dirección del choque:

e= 1 Perfectamente elástico Se conserva la energ´ıa e <1 Inelástico (lo más corriente) Se pierde energ´ıa

e= 0 Perfectamente inel´astico Se pierde toda la energ´ıa

Choques: ejemplo

Ca´ıda vertical en el vac´ıo:v^a₁ = −√

2gH k;S2 = suelo.

Choque perfectamente el´astico, e = 1:

1 = − v^d₁−0 · k

−√

2gH k −0 · k ⇒ v^d₁ =p2gH k Rebota con igual velocidad, se conserva la energ´ıa (∼ acero).

Choque perfectamente inel´astico, e = 0,

0 = − v^d

1 −0 · k

−√

2gH k −0 · k ⇒ v^d₁ = 0 Queda pegada al suelo, se pierde toda la energ´ıa (∼ barro).

Caso m´as general, 0 < e < 1:

e= − v^d₁−0 · k

−√

2gH k −0 · k → v^d₁ = ep2gH k =p2gh k → e = rh

H Energ´ıa perdida: −∆E = mgH − mgh = mgH(1 − e²)