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DISTANCIAS Y ANGULOS EN EL ESPACIO
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La distancia entre dos puntos 𝐴(𝑎!, 𝑎", 𝑎#) 𝑦 𝐵(𝑏!, 𝑏", 𝑏#) , se define como el modulo del vector
que une los puntos, es decir 𝐴𝐵*****⃗ 𝑜 𝐵𝐴*****⃗.
𝑑(𝐴, 𝐵) = /𝐴𝐵*****⃗/ = 0(𝑏!− 𝑎!)"+ (𝑏
"− 𝑎!)"+ (𝑏#− 𝑎#)"
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Para calcular la distancia de un punto a una recta tenemos dos procedimientos diferentes, en uno de ellos aplicaremos la formula directamente y en el otro método aplicaremos los conocimientos que tenemos sobre geometría para dar la solución.
𝑃 𝑑⃗$ = 𝑛*⃗% 𝑟 𝑃 𝑟 𝜋
Vamos a plantear el ejercicio al igual que en la imagen de la izquierda.
Es lógico pensar que la distancia mas corta entre el punto y la recta será una recta perpendicular a la recta 𝑟 que pase por el punto 𝑃. Como se nos hace muy difícil calcular cual es dicha recta lo que vamos a hacer es generar un plano que tenga al punto 𝑃 y como vector normal, el vector director de la recta:
Como podéis comprobar en la imagen de la izquierda hemos creado el plano con el punto 𝑃 y el vector director de la recta 𝑟.
El siguiente paso que tenemos que dar es, calcular el punto de intersección entre el plano 𝜋 y la recta 𝑟. 𝑟 = < 𝑥 = 𝑥!+ 𝑣!𝜆 𝑦 = 𝑦!+ 𝑣"𝜆 𝑧 = 𝑧!+ 𝑣#𝜆 𝜋 ≡ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0
Para hacer este procedimiento tenemos que meter el valor de 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 de la recta en el plano. De esta forma calculamos un valor de 𝜆 y con dicho valor volvemos a la recta para determinar el punto de intersección 𝑃′.
Con estos cálculos hemos reducido el calculo de la distancia entre punto y recta a la distancia entre dos puntos.
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃, 𝑟) = 𝑑𝑖𝑡(𝑃, 𝑃′) 𝑃 𝑃’ 𝑑⃗$ = 𝑛*⃗% 𝜋 𝑟
Página 3 de 7 C2ACADEMIA.COM 1ª Método
Para calcular la distancia entre un punto y un plano se define como la distancia entre el punto y su proyección sobre el plano.
Cuando ya hemos calcula la recta 𝑟 tenemos que determinar el punto de intersección de la recta con el plano para calcular el punto 𝑃′ , para eso tenemos que introducir las variables de la recta dentro del plano y obtener el valor de 𝜆 y finalmente con esto volver a la recta y obtener el punto 𝑃′.
Con estos cálculos hemos reducido el calculo de la distancia entre punto y recta a la distancia entre dos puntos.
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃, 𝑟) = 𝑑𝑖𝑡(𝑃, 𝑃′) 𝑃
𝜋
El planteamiento de este ejercicio es como la imagen de la izquierda.
El procedimiento será el siguiente, tenemos que calcular la proyección del punto sobre el plano, puesto que esa será la distancia entre el punto y el plano. Nos damos cuenta de lo siguiente:
El vector normal del plano coincide con el vector normal de la recta que queremos crear con la condición de que sea perpendicular al plano y que pase por el punto 𝑃.
Por tanto, creamos la recta
𝑟 = < 𝑥 = 𝑥!+ 𝑣!𝜆 𝑦 = 𝑦!+ 𝑣"𝜆 𝑧 = 𝑧!+ 𝑣#𝜆 𝑃 𝑃’ 𝜋 𝑑⃗$ = 𝑛*⃗%
2ª Método Formula:
𝑑(𝑃, 𝜋) =|𝐴𝑥&+ 𝐵𝑦&+ 𝐶𝑧&+ 𝐷| √𝐴"+ 𝐵"+ 𝐶"
Ecuación del plano y vector normal del plano:
𝜋: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 𝑛*⃗ = (𝐴, 𝐵, 𝐶) Punto:
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Para poder determinar la distancia entre dos rectas, primero tenemos que verificar que las rectas son paralelas, para eso tenemos que fijarnos en los vectores de cada una de ellas. Para que sean paralelas, los vectores tienen que ser proporcionales. Una vez que comprobamos que son paralelas, la distancia entre dos rectas se reduce al calculo de la distancia entre un punto y una recta:
𝑑𝑖𝑠𝑡 (𝑟, 𝑠) = 𝑑𝑖𝑠𝑡 (𝑃, 𝑟)
Para esto tenemos que coger un punto de una de las dos rectas dando valor a la variable 𝜆 𝑜 𝜇 y ver la distancia a la otra recta.
𝑟 = (𝑃!, 𝑃", 𝑃#) + (𝑣!, 𝑣", 𝑣#) ∙ 𝜇 𝑠 = (𝑃′!, 𝑃′", 𝑃′#) + (𝑢!, 𝑢", 𝑢#) ∙ 𝜆 DISTANCIA DE UNA RECTA A OTRA RECTA (SE CRUZAN)
Para hallar la distancia entre dichas rectas procedemos de la forma siguiente:
• Hallamos la ecuación del plano 𝜋. Dicho plano contiene a la recta 𝑠 y es paralelo a la recta 𝑟, por lo que utilizaremos el punto 𝑄 y los vectores de las dos rectas:
L
𝑥 − 𝑥! 𝑦 − 𝑦! 𝑧 − 𝑧! 𝑢! 𝑢" 𝑢#
𝑣! 𝑣" 𝑣# L = 0
• Después hallamos la distancia del punto 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐) 𝑑𝑒 𝑟 𝑎𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝜋. 𝑟
𝑑 𝜋 𝑃
DISTANCIA DE UNA RECTA A UN PLANO
Solo tiene sentido hallar la distancia entre una recta y un plano que sean paralelos puesto que sino la distancia en cualquier otro caso seria cero.
Para saber si son paralelos el plano y la recta tenemos que realizar la multiplicación escalar entre el vector de la recta y el vector del plano:
(𝑣!, 𝑣", 𝑣#) ∙ (𝑢!, 𝑢", 𝑢#) = 0
𝐿𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑦 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠.
Por tanto, calcular la distancia entre una recta y un plano se reduce a calcular la distancia entre un punto cualquiera de la recta y el plano.
𝑑𝑖𝑠𝑡 (𝑟, 𝜋) = 𝑑𝑖𝑠𝑡 (𝑃, 𝜋) ÁNGULO ENTRE ELEMENTOS
• Entre dos rectas:
𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝑢*⃗ ∙ 𝑣⃗ |𝑢*⃗| ∙ |𝑣⃗| • Entre dos planos:
𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝑛****⃗ ∙ 𝑛! ****⃗" |𝑛****⃗| ∙ |𝑛! ****⃗|"
• Entre recta y plano:
𝑐𝑜𝑠 (90 − 𝛼) = 𝑑****⃗ ∙ 𝑛$ ****⃗! /𝑑****⃗/ ∙ |𝑛$ ****⃗|!
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