Los postulados de la mec´
anica cu´
antica
Introducci´
on
Von Neumann dice en el prefacio de su libro [Mathematical foundations of quantum mechanics, 1932] que su prop´osito es presentar a la mec´anica cu´antica en forma matem´aticamente rigurosa. Por esto entiende: conside-rar operadores no acotados, trabajar con los operadores mismos, sin repre-sentarlos en coordenadas como matrices, evitar la “ficci´on” de que todos los operadores autoadjuntos se pueden diagonalizar (usando funciones mal definidas). Para hacerlo, desarrolla la teor´ıa de transformaciones basada en la teor´ıa de operadores enH.
Como la mec´anica cu´antica es una teor´ıa probabil´ıstica, tendr´a que -por un lado- definir cu´ales son los eventos sobre los que predicar probabilidades (relaci´on de las proposiciones/preguntas s´ı-no con los proyectores, conectivos entre proposiciones como operaciones entre proyectores) y -por otro- carac-terizar esa probabilidad en forma matem´aticamente rigurosa y relacionarla con la experiencia f´ısica.
Axiomas de la mec´
anica cu´
antica
vN1 Sistema f´ısico. La interpretaci´on matem´atica de un sistema cu´antico es un espacio de Hilbert complejo separableH.
vN2 Estado del sistema. Los estados puros se representan matem´aticamente por vectores unitarios |ϕi en H. Los estados que no necesariamente corresponden a informaci´on m´axima se llaman mezclas. Se repre-sentan por operatores ρ positivos tipo traza, ρ† = ρ con trρ = 1,
ρ=P
ri|ϕihϕ|,ri >0,Pri = 1.
vN3 Eventos. Los eventos relativos al sistema se representan matem´ atica-mente por operadores de proyecci´onP,P2=P (correspondientemente subespacios cerrados) sobreH.
vN4 Observables. Una cantidad f´ısica u observable, que puede medirse, del sistema est´a representada por una PVM (projection valued mea-sure) o, equivalentemente, por su operador autoadjunto asociado. Para cualquier operadorA asociado a la magnitud A y conjunto de Borel ∆, la interpretaci´on f´ısica de la proyecci´on P(∆) es el evento “el ob-servable representado porAtiene un valor en ∆”.
vN5 La probabilidad. La probabilidad p(ρ, P) de que el sistema que est´a en el estado ρ satisfaga un evento P est´a dada por la regla de Born:
p(ρ, P) =tr(ρP).
vN6 Evoluci´on. La evoluci´on espont´anea de los estados del sistema est´a determinada por la ecuaci´on de Schr¨odinger. Es decir,∃U(to, t)
U†(to, t) =U−1(to, t) =U(t, to), U(to, t) =exp[−ıH(t−to)]
tq
|ψ(t)i=U(to, t)|ψ(to)i
vN7 Postulado de proyecci´on (de von Neumann-L¨uders). Para procedi-mientos de medici´oon no destructivos, en el caso de observables dis-cretos y estados puros, “la funci´on de onda colapsa” de la siguiente manera: A=XaiPi= X ai|ϕiihϕi|, |ψi= X ciϕii
si el resultado es aj, |ψi 7→ |ϕji. Y, en general, si el estado es ρ y el
resultado ∆,
ρ7→P(∆)ρP∆)/tr(ρP(∆)
vN8 Sistemas compuestos. SiH1yH2son las representaciones matem´aticas
de dos sistemas 1 y 2, la representaci´on del sistema compuesto es H1⊗ H2.
Comentarios
Estados: lo que interesa caracterizar es el ´ınfimo de las propiedades actuales (´ınfimo en el sentido del lattice de proyectores). A diferencia del caso cl´asico, en que el estado hace referencia a la posici´on e impulso de un sistema deter-minado, el estado cu´antico hace referencia al procedimiento de preparaci´on. Por eso se suele definir al estado como la clase de equivalencia de los proce-dimientos para prepararlo. Un estado |+i no requiere especificaci´on acerca
de si se trata de haber preparado electrones, ´atomos, protones o qu´e, basta que con ellos se consiga un autovector con autovalores 1/2(1/2 + 1) deS2 y 1/2 de Sz.
M´as de los estados: von Neumann se refiere a estados puros (m´axima in-formaci´on) y mezclas estad´ısticas (“mezclas propias”, relacionadas con la ignorancia sobre las proporciones de estados puros presentes en el estado). Hay otra clase de estados que no son ni unos ni otros, las “mezclas im-propias”, que provienen de trazas parciales y no admiten interpretaci´on por ignorancia.
M´as de los estados: como la mq es probabil´ıstica, dado un estado puro |ψ > y un evento P (proposici´on experimental desde el punto de vista de la l´ogica), el estado puede asignar a P valores 0 = f also, 1 = verdadero, o un n´umero en [0,1] = sem´anticamente indeterminado. Entonces, por un lado los estados puros representan el m´aximo admisible de informaci´on y por otro esa info es l´ogicamente incompleta.
Eventos: la estructura del conjunto de eventos sobre el que se predicar´an probabilidades no es la de un lattice booleano como el de los eventos cl´asicos sino que es la de un lattice modular para dim finita y ortomodular para dim infinita (orden parcial: inclusi´on de subespacios, ∧: intersecci´on de sube-spacios, ∨: el menor subespacio que contiene a la uni´on, complemento: el complemento ortogonal). El lattice de los subespacios de Hilbert es (teo) at´omico, irreducible y satisface la propiedad de cubrimiento. Los ´atomos son los rayos. (Covering law: dados a, x ∈ L(H), p estado, a < x < a∨p ⇒ x = a o x = a∨p; modular: si dados x ≤ y, y para todo z
se cumple x∨(y∧z) =y∧(x∨z) entonces el lattice es modular; si dados
x≤y, x⊥ ≤zvale esa igualdad, es ortomodular. Modular⇒ortomodular.)
M´as sobre eventos: hay otra posibilidad adem´as de la descomposici´on en proyectores que corresponde a las PVMs. Es la descomposi´on (redundante) en “efectos”E,P
Ei =1, peroE2 6=E. A la medida que corresponde a esta
descomposici´on se la llama “positive operator valued measure” (POVM) y el ´algebra de los eventos E es lamentable, en el sentido de que no cierran las operaciones, hay que completar, y las propiedades satisfacen versiones “d´ebiles” de las usuales, otra biblioteca.
Observables: los observables cl´asicos, como la energ´ıa o el momento angu-lar, son funciones de las variables can´onicas p, q con las que se identifica
el estado del sistema (un punto en el espacio de las fases); as´ı, el estado del sistema determina los valores de todas las magnitudes. Cu´anticamente, los observables se consideran en forma independiente del estado. Los valo-res posibles son los del espectro. Entonces, la preparaci´on del sistema no determina los valores de las magnitudes, que vienen de otro lado; lo que s´ı determina es la probabilidad de obtener alg´un valor al medir una magnitud y tambi´en el valor medio de las magnitudes.
Evoluci´on: hay una evoluci´on para sistemas aislados que es reversible y otra para el proceso de medici´on, que no lo es. El argumento de von Neumann para el colapso es que, si se mide la energ´ıa, el resultado debe reobtenerse al volver a medir. Hay otras razones: la de Heisenberg que relaciona al estado del sistema con la informaci´on que de ´el se tiene, entonces el estado despu´es de la medici´on tiene que dar cuenta (en forma discontinua) de lo nuevo que se sabe por haber medido. Alternativa: considerar el proceso de medici´on como una interacci´on con hamiltoniano propio, etc ,→ “problema de la medici´on”.
M´as de la evoluci´on: la versi´on de la ecuaci´on de Schr¨odinger para estados mezcla es la ecuaci´on de von Neumann: ρ(t) =U(to, t)ρ(to)U(to, t).
Si los sistemas compuestos son de indistinguibles, no todos los estados son realizables y hay que agregar el postulado de simetrizaci´on.
Las probabilidades
Los observables est´an representados por PVMs. El mapa
P :B(<)→ P(H)
que asigna a cada conjunto de Borel sobre < un proyector sobreH es una PVM que satisface
P(0) =0, P(I) =1, P(< −di) =I−P(di) =P⊥(di)
P(∪idi) =
X
Pi(di), di disjuntos.
SiP es una PVM,µP(ϕ, φ)(d) definida por
es una medida compleja.
Los estados, por su parte, se usan para calcular probabilidades de eventos, es decir, de proyectores. Entonces el estado podr´ıa pensarse como un mapa
ϕ:P(H)→[0, 1]
tq
ϕ(0) = 0; ϕ(P⊥) = 1−ϕ(P) ϕ(∨Pi) =
X
ϕ(Pi)
Pi familia ortogonal,∨ del lattice de eventos.
El mapaϕ es como una probabilidad. Compuesta con la PVM,
µ=ϕ◦µP
es una medida de probabilidad sobre<:
d→Pi→[0, 1]
Que existan estados |ϕi o ρ que puedan ponerse en correspondencia con estos mapasϕno es algo obvio. El teorema de Gleason asegura que existen: Theorem 0.1 Si dim(H)≥3, para cada mapaϕexiste un operador positivo, autoadjunto tipo traza ρ con tr(ρ) = 1 tq ϕ(P) =tr(ρP). Y al rev´es, cada
ρ determina un mapa ϕque asigna esta probabilidad al evento P.
A diferencia del caso cl´asico en que hay una medida definida por el es-tado, aqu´ı hay muchas (una PVM por cada magnitud f´ısica). Para acotados,
tr(ρP) tiene sentido, y se puede extender de proyectores a operadores:
p(P) =tr(ρP)→ integrando con la µque por el teorema
corresponde a cada ρ→tr(ρA) =hAi Con esto, valores medios, momentos, dispersiones, etc:
Mm(ρA) =
Z
(id<)mdµ(ρ, PA) con µ(ρ, PA)(d) =tr(ρPA(d))
Entonces el valor medio es hAiρ=
Z
(id)<dµ(ρ, PA) =tr(ρA)
y tambi´en se puede calcular la dispersi´on:
Theorem 0.2 (de Heisenberg) Sean A, B, C operadores autoadjuntos so-breH con dominios D(A), D(B), D(C) y sea ϕel mapa del operador den-sidadρ. Sea que:
i) ∃D=D(A)∩D(B)∩D(C) subespacio denso en H
ii) tq(AB−BA)|ψi=ı C|ψi, |ψi ∈D
iii) Si alguno de los operadores es no acotado,ρ=P
ri|ξiihξi|con|ξii ∈D
es de rango finito; si son todos acotados,ρ es arbitrario.
Entonces, σA·σB≥(1/4)|hCiρ|2
Los operadores acotados para los que vale la igualdad se llaman complemen-tarios. Para dim ∞,
Definition 0.3 Dos operadores autoadjuntosA, Bsobre unHcondim(H) = ∞ se dicen complementarios uno de otro si
tr(PA(E)PB(G)) = 1
2πµ(E)µ(G)
para conjuntos de Borel E, G <∞, µla medida de Lebesgue sobre los <.
Sean P (no proyector sino el impulso, misma letra!) y Q los observables can´onicamente conjugados impulso y posici´on de una part´ıcula libre en una dim. Entonces P,Q son complementarios.
0.1 Las variables ocultas
En el ´ambito de la mec´anica cl´asica, la versi´on estad´ıstica est´a vinculada a la imposibilidad material de conocer las condiciones iniciales del gran n´umero de part´ıculas que componen al sistema (t´ıpicamente 1023 para un gas en un recipiente) y de resolver todas sus ecuaciones, en general acopladas, adem´as de la inutilidad de hacerlo. Por eso el problema se trata probabil´ısticamente. Sin embargo, en principio, es posible afirmar que existe un estado que en todo momento est´a bien definido, aunque no sepamos o no nos interese saber cu´al es. Un tal estado es un punto en el espacio de las fases, que evoluciona determin´ısticamente. Puntos as´ı pueden identificarse con las medidas de Dirac concentradas en los puntos. Las medidas de Dirac son los estados sin dispersi´on de la mec´anica estad´ıstica cl´asica. Mientras preparaba su libro, von Neumann estaba estudiando problemas de mec´anica estad´ıstica cl´asica: los tres paper de cu´antica son de 1927 (el que es con Hilbert y Nordheim y
los dos solo), el libro es de 1932 y en el medio public´o su prueba del teorema erg´odico, y del teorema H (1929) y, en 1932, la prueba del quasierg´odico y tres papers m´as de mec´anica estad´ıstica. En el libro demuestra que el caso cu´antico es otra historia:
Definition 0.4 Siσρ(A) = 0 para todoA, entoncesρse dice sin dispersi´on
(dispersion free)
Proposition 0.5 (de von Neumann) Si dim(H) > 2, no existen estados sin dispersi´on.
La demostraciˆon de von Neumann es controvertida pero lo importante es que su idea era mostrar la imposibilidad de interpretar las probabilidades cu´anticas en t´erminos de ignorancia. Despu´es viene mucho trabajo en el tema: las demostraciones de Bell del 64 y 66, el experimento de Aspect y compa˜n´ıa del 81, la demostraci´on de Jauch y Piron del 63 en t´erminos de lattices, la de Misra del 67 en la formulaci´on algebraica, ...
0.1.1 Bell `a la Wigner
Sea un par de indistinguibles de spin 1/2 (por ejemplo, electrones) en estado singlete
1 √
2[|+−i − | −+i] {|+i, |−i} la base en que diagonalizaσz,
[σx, σy] =ı σz y c´ıclicas
σς|±i=±|±i en toda direcci´on ς
(siempre~= 1). Sean dos direcciones 1, 2 formando ´angulo α12 en las que
quiero referirme a las componentes de−→σ. Las probabilidades predichas por la teor´ıa de obtener, al medir, los cuatro diferentes resultados posibles son:
p++=p−−= 1 2sin 2 α12 2 ; p+−=p−+= 1 2cos 2 α12 2
Sea que, aunque no pueda determinarlas simult´aneamente, las compo-nentes del spin existan. Entonces, se trata de ver c´omo asignarles valores. Notaci´on: con (+−+;− −+) se indica la probabilidad de una part´ıcula tenga componentes del spin + en direcci´on 1,−en 2, + en 3 y la otra−en 1 y 2, + en 3. Son dos part´ıculas, tres componentes del spin, dos autovalores
cada componente, entonces hay 26 = 64 de estos par´entesis. Casi todos son cero por la condici´on de indistinguibles, quedan ocho que se agrupan de a dos de nuevo por la indistinguibilidad:
(+ + +;− − −) = (− − −; + + +) (+ +−;− −+) = (− −+; + +−) (+− −;−+ +) = (−+ +; +− −) (−+−; +−+) = (+−+;−+−) Si las componentes del spin son propiedades que las part´ıculas tienen, ¿cu´al es la probabiidad escrita en t´erminos de estos par´entesis, que son los que dan cuenta de ello, de que una tenga componente + en direcci´on 1 y la otra + en direcci´on 2? Es:
p1+2+ = (+−+;−+−) + (−+−; +−+)
El formalismo predice que vale
p1+2+ =
1 2sin
2 α12
2 Puedo repetir esto para
p2+3+ = 1 2sin 2 α23 2 y para p1+3+ = 1 2sin 2α13 2 Ahora calculo sin2 α12 2 + sin 2α23 2 en t´erminos de los par´entesis:
sin2α12 2 + sin 2 α23 2 = 2(+−+;−+−) + 2(+− −;−+ +) + 2(+ +−;− −+)+ +2(−+−; +−+) = 2(+−+;−+−) + 2(−+−; +−+) + sin2 α13 2 Como los par´entesis son probabilidades multiplicadas por dos, son ≥ 0, entonces, desigualdades de Bell:
sin2 α12 2 sin 2α23 2 ≥sin 2α13 2
Para el caso α12 = α23 = π/3 y α13 = 2π/3, la desigualdad se viola.
Es que usando que las propiedades existen independientemente de todo, se est´a sumando probabilidades y no amplitudes de probabilidad. Es posible testear experimentalmente→varios intentos→precauciones experimentales en relaci´on a la localidad→ Aspect, etc. →experimentalmente se violan.
0.1.2 El teorema de Kochen-Specker
Las desigualdades de Bell son violadas por predicciones estad´ısticas acerca de correlaciones y dependen del estado (en el ejemplo, probabilidades de encontrar las componentes del spin en ciertas direcciones de dos electrones en estado singlete). Pero hay contradicciones que pueden derivarse usando s´olo el ´algebra de los operadores y sin particularizar el estado, entonces: una demostraci´on algebraica de la contradicci´on que genera suponer que los sistemas poseen propiedades.
Sean tres observables A, B y C tales que [A, B] = [A, C] = 0 pero [B, C]6= 0. Adem´as, dado un autovector |ϕi com´un a A yB, es cierto que vale la consistencia funcional
si A|ϕi=a|ϕi, B|ϕi=b|ϕi →f(A, B)|ϕi=f(a, b)|ϕi
1. No contextualidad: supongo que existen los valores deA. Eso querr´ıa decir que el valor de la propiedadAes independiente de si la determino sola, junto con B o junto con C (son tres mediciones que se pueden hacer).
2. Consistencia funcional: puedo afirmar que, sin medir ya que estoy suponiendo que las propiedades existen, los autovalores de las fun-ciones de observables son las funfun-ciones de los autovalores.
La pregunta es: ¿se puede sostener la no-contextualidad de las propiedades junto con la consistencia funcional para los tres observables A, B, C? La respuesta es no.
Ejemplo: de nuevo las proyecciones del spin para para dos part´ıculas. Se arman observables del espacio de Hilbert producto tensorial que conmuten y se les asignan valores posibles.
1⊗σz σz⊗1 σz⊗σz
σx⊗1 1⊗σx σx⊗σx
σx⊗σz σz⊗σx σy⊗σy
Todos tienen autovalores ±1; conmutan entre s´ı en cada fila y en cada columna; en las filas, el tercero es producto de los dos anteriores; en las columnas tambi´en, aunque en el caso de la tercer columna hay un signo menos. Entonces, si hago una tabla con los valores posibles salvo para
el deσxes uno y calculo el valor deσy⊗σy por el lado de las filas. Obtengo 1
ya que (σx⊗σz)(σz⊗σx) =σy⊗σy. Si lo hago por el lado de las columnas,
como (σz⊗σz)(σx⊗σx) =−(σy⊗σy), me da−1, y resulta inconsistente.
En general:
Theorem 0.6 (de Kochen-Specker, 1967) Sidim(H)>2es imposible asig-nar valores num´ericos 1 ´o 0 a cada proyector Pi de tal manera que, si un
conjunto de Pi que conmutan satisfacen PPi = 1, sus correspondientes
valores v(Pi), que son1 ´o 0, satisfaganPv(Pi) = 1.
La necesidad de las ´
algebras de von Neumann
En el paper que llamaron quantum logic, Birkhoff y von Neumann propon´ıan la estructura que deb´ıa reemplazar a la de las proposiciones/eventos de la mec´anica cl´asica. Ah´ı enfatizaban que la l´ogica cu´antica, esa estructura que ellos llamaron l´ogica cu´antica, tiene la estructura de “una geometr´ıa proyectiva abstracta”, entendiendo por eso un lattice ortocomplementado modular. Como para el caso de dim = ∞ el lattice no es modular, cosa que ellos sab´ıan, el lattice de Hilbert no es -para ellos- la l´ogica cu´antica. La raz´on detr´as del requerimiento de modularidad es la necesidad de una generalizaci´on del concepto de probabilidad que fuera adecuada a la mq y a la vez matem´aticamente rigurosa.
Cl´asicamente la probabilidad puede verse como una medida normalizada
µsobre el ´algebra booleana de los eventos (cl´asicos), y tiene la propiedad
µ(A) +µ(B) =µ(A∧B) +µ(A∨B)
que es una de las propiedades que define una funci´on dimensi´on sobre el lattice:
Definition 0.7 Un mapa ddefinido sobre un lattice L y que toma valores no negativos (tal vez infinitos) se llama dimension function si satisface:
1. d(A)< d(B) si A antecede a B
2. d(A) +d(B) =d(A∧B) +d(A∨B)
Proposition 0.8 Si existe una funci´on dimensi´on sobre un lattice L que toma valores finitos, el lattice es modular.
Para caracterizar la probabilidad en el caso en que se haga estad´ıstica, von Neumann considera unensamble a priori completamente inespec´ıfico (fun-damentale Gesamtheit, absoluter Gleichgewichtszustand, tambi´en “ensam-ble que corresponde a temperatura infinita”) a partir del cual se seleccionar´a el ensamble que tenga las propiedades que dicen cu´al es el estado. Cualquier ensamble se obtiene a partir del inespec´ıfico por selecci´on: se arma una sub-colecci´on del ensamble original con los elementos que satisfacen una dada propiedad. ´El llama “relativa” a la probabilidad, no porque sea probabi-lidad condicional, sino porque no necesariamente est´a normalizada. A la normalizada la llama “absoluta”.
A partir de los axiomas, de esta forma de armar el ensamble extrayendo del inespec´ıfico los elementos que tienen cierta propiedad y relacionando fre-cuecias con valores medios, von Neumann llega a que cada ensamble puede describirse por un operador ρ positivo, no nulo, tipo traza, que sirve para calcular probabilidades como tr(ρA). En el ensamble a priori est´an los sistemas preparados en todos los estados (puros) concebibles con “igual fre-cuencia relativa” (sus palabras). Elρ de tal cosa es el operador identidad.
En la argumentaci´on utiliza que ρ representa una mezcla estad´ıstica y que describe ensambles preparados en estados puroPi =|ψiihψi|,
ρ=XλiPi
cada uno con peso λi. El peso a priori de cada estado (puro) es 1, que es
igual a la traza (dimensi´on) del proyector unidimensional que le corresponde. La argumentaci´on tiene la dificultad de que el operador densidad de la mezcla inespec´ıfica tiene traza infinita. No hay una probabilidad no nula adi-tiva sobre el conjunto de proyectores sobreHque d´e la distribuci´on uniforme en el “ensamble a priori” y entonces los pesos relativos no pueden ponerse en correspondencia con frecuencias relativas en el ensamble, que siempre deben ser≤1. Adem´as, el ensamble contiene una cantidad no numerable de elementos (las proyecciones unidimensionales sobre H) que tambi´en va en contra de encontrar un sentido a las frecuencias relativas. Y von Neumann no quer´ıa dejar de relacionar las probabilidades con frecuencias, para ´el los ensambles de la mq son lo que von Mises llama “Kollektive”.
La respuesta de von Neumann a sus problemas es radical: la aparici´on de “probabilidades a priori” infinitas (probabilidades que le son necesarias en su desarrollo) es una patolog´ıa (en el sentido de una definici´on rigurosa de la probabilidad) del espacio de Hilbert. Entonces, por razones f´ısicas, hay que buscar la definici´on rigurosa por otro lado, y desarrolla las *-´algebras.
