Curso de conjuntos y números. Apuntes. Juan Jacobo Simón Pinero

(1)

Curso de conjuntos y n´

umeros.

Apuntes

Juan Jacobo Sim´on Pinero

Curso 2016/2017

(2)

(3)

´

_{Indice general}

I

Conjuntos

5

1. Conjuntos y elementos 7

1.1. Sobre el concepto de conjunto y elemento. . . 7

1.2. Pertenencia, contenido e igualdad. . . 7

1.3. Operaciones con subconjuntos . . . 10

1.3.1. Familias de conjuntos y operaciones . . . 13

1.4. Pares, producto y relaciones . . . 15

2. Aplicaciones 19 2.1. Relaciones y aplicaciones . . . 19

2.2. Clasificaci´on de aplicaciones . . . 21

2.3. Im´agenes directas e inversas . . . 23

2.4. Composici´on . . . 25

2.4.1. Inversa de una aplicaci´on biyectiva . . . 27

3. ´Ordenes en conjuntos 31 3.1. Conjuntos ordenados . . . 31

3.2. Elementos notables en un COPO . . . 34

3.3. Conjuntos bien ordenados. . . 36

4. Relaciones de equivalencia 39 4.1. Conceptos b´asicos . . . 39

4.2. Clases de equivalencia . . . 40

4.3. El conjunto cociente y la proyecci´on can´onica . . . 41

4.4. Relaciones de equivalencia y particiones . . . 42

5. Conjuntos num´ericos 45 5.1. Cardinalidad. Conjuntos finitos e infinitos . . . 45

5.1.1. Orden y operaciones aritm´eticas . . . 52

5.2. N´umeros enteros . . . 52

5.3. N´umeros racionales . . . 54

5.3.1. Escritura decimal de n´umeros racionales. . . 56

5.4. Estructuras algebraicas. . . 59

5.5. N´umeros reales . . . 60

(4)

4 ´INDICE GENERAL

5.6. N´umeros complejos . . . 61

5.6.1. Forma exponencial de un n´umero complejo. . . 65

5.7. Conjuntos numerables y no numerables . . . 66

6. An´alisis combinatorio. 69 6.1. Variaciones. . . 69

6.1.1. N´umero de variaciones. . . 69

6.2. Permutaciones. . . 70

6.3. Combinaciones. . . 70

II

N´

umeros y polinomios

73

7. El anillo de los n´umeros enteros. 75 7.1. Artim´etica de los enteros. . . 75

7.1.1. División entera y máximo común divisor. . . 75

7.1.2. M´ınimo com´un m´ultiplo . . . 81

7.1.3. La ecuaci´on diof´antica lineal . . . 82

7.1.4. N´umeros primos. Teorema Fundamental dela Aritm´etica . 84 7.2. Congruencias. . . 86

7.2.1. Propiedades aritm´eticas de las congruencias . . . 87

7.2.2. Algunas aplicaciones . . . 89

7.3. Teorema chino de los restos . . . 92

7.4. Teoremas de Euler, Fermat y Wilson . . . 95

8. Polinomios 99 8.1. Polinomios con coeficientes en un cuerpo. . . 99

8.1.1. Divisi´on entera y divisibilidad enK[X] . . . 102

8.2. Ra´ıces de polinomios. . . 105

8.3. Factorizaci´on y ra´ıces de polinomios. . . 107

8.4. Polinomios irreducibles . . . 109

8.5. Polinomios irreducibles enQ[X]. . . 110

8.6. Factores m´ultiples en cuerpos num´ericos. . . 113

A. Ap´endice 115 A.1. La funci´on sucesor . . . 115

(5)

Parte I

Conjuntos

(6)

(7)

Cap´ıtulo 1

Conjuntos y elementos

1.1. Sobre el concepto de conjunto y elemento.

Comenzamos con la definici´on de conjunto de G. Cantor (1845-1918). V´ease [6, 9].

Un conjunto es una colecci´on (dentro de un todo) de distintos objetos definidos por nuestra intuici´on o pensamiento

Esta forma de abordar los conjuntos se llama concepci´on intuitiva de los conjuntos.

La noción formal de conjunto corresponde con fundamentos de la matemática que quedan fuera del alcance de este texto. También queda fuera del alcance de este texto el concepto de pertenencia. Vamos a asumir entonces que hay unos objetos que llamamos conjuntos que poseen unos objetos que llamamos elementos.

1.2. Pertenencia, contenido e igualdad.

Las colecciones a las que llamaremos conjuntos ser´an construidas de las si-guientes dos formas principales.

1. Por extensi´on: haciendo la lista de objetos. Por ejemplo

A={X1, . . . , Xn, . . .} o A={a, b, c, . . .}.

2. Por comprehensión: a través de una fórmula proposicional que siempre tendrá, a su vez, un conjunto de referencia. Por ejemplo, siB es un con-junto,

A=_{X_∈B _| p(X) (es verdadera)_}.

Cuando sea obvio qui´en es el conjuntoBpor el contexto, podemos omitirlo.

(8)

8 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS

Asumimos (como axioma) que cualquiera de las dos escrituras anteriores determina un ´unico conjunto.

1.2.1. Ejemplo. Las siguientes colecciones son conjuntos. 1. A={a, e, i, o, u}oA={x | x es una vocal}. 2. A={0,2,4, . . .} oA={x∈N | x es par}.

1.2.2. Ejercicio. Escribir, usando las formas de comprehensi´on y extensi´on, los siguientes conjuntos:

1. Los n´umeros naturales que son impares y menores que 20. 2. Las vocales de la palabra “murci´elago”.

3. Los n´umeros impares positivos.

1.2.3. Observación. La exigencia del conjunto de referencia en la escritura de comprehensión es importante. El “todo” de donde tomamos los elementos debe ser, de antemano, un conjunto. De no ser as´ı, podemos tener problemas, como se muestra a continuación.

Sea U la colecci´on de todos los conjuntos y definimos

A=_{x_{∈ U |} x_6∈x_}.

Si U fuese conjunto entonces A tambi´en lo ser´ıa y entonces es inmediata la siguiente proposici´on: A∈A si y solo si A6∈A, conocida como la paradoja de Russell.

Lo que ocurre aqu´ı es que U no es un conjunto y por tanto, no podemos formar el conjuntoApor comprehensi´on.

1.2.4. Notaci´on. Siaes un elemento del conjuntoA, escribiremosa∈A. En caso contrario escribimosa /∈A.

1.2.5. Inclusi´on. SeanAyBconjuntos. Decimos queAest´a contenido enB, o queA es subconjuntos deB si para todo elementoa_∈A se tiene quea_∈B.

Se denotaA⊂B y se expresaa∈A⇒a∈B

Si Ano est´a contenido enB entonces escribimos A6⊂B.

1.2.6. Observaci´on. Es claro que A _6⊂ B si y solo si existe a _∈ A tal que

a6∈B.

1.2.7. Ejemplo. Sea I = _{x _∈ N | x es impar _} = _{x _∈ N | x = 2n+ 1, conn_∈N}, que a veces, para abreviar, escribimos_{2n+ 1 _| n_∈N}.1 EntoncesI_⊂N.

1.2.8. Notaci´on. SeanAyBconjuntos, tales queA_⊂B. Si queremos destacar la posibilidad de que A y B sean iguales podemos escribir A _⊆ B. Cuando queremos poner ´enfasis en justo lo contrario, escribimosA(B; lo expresamos comoa∈A⇒a∈B pero ∃b∈B tal queb6∈A.

1

Aunque esta escritura no estaba contemplada y no es rigurosa, se usa mucho y se entiende perfectamente, as´ı que podemos introducirla.

(9)

1.2. PERTENENCIA, CONTENIDO E IGUALDAD. 9

1.2.9. Igualdad. Diremos que dos conjuntosAyBson iguales cuando tengan exactamente los mismos elementos. Lo expresamos a_∈A_⇔a_∈B.

1.2.10. Proposici´on. Sean A y B conjuntos. A = B si y s´olo si A _⊂ B y

B ⊂A

Demostraci´on. Inmediata.

Conjunto vac´ıo.

1.2.11. Definici´on. Un conjunto vac´ıo es aquel que no tiene elementos.

1.2.12. Proposición. SeanA yB conjuntos. SiAes vac´ıo entoncesA_⊂B. Demostración. Procederemos por reducción al absurdo. SeaAun conjunto vac´ıo y supongamos que existe un conjunto B, tal queA*B. Entonces existea_∈A

tal que a_6∈B. LuegoAno es vac´ıo, lo cual es imposible.

1.2.13. Corolario. Solo hay un conjunto vac´ıo. Demostraci´on. Inmediata de la proposici´on anterior.

Notaci´on. El (´unico) conjunto vac´ıo se denota_∅

1.2.14. Ejercicio. Decidir razonadamente si la siguiente afirmaci´on es verda-dera o falsa:

A=∅ ⇐⇒ ∀x, x6∈A.

1.2.15. Partes de un conjunto. SeaA un conjunto. La colecci´on

P(A) ={B | B⊂A}

se conoce como el conjunto de las partes de Ao el conjunto potencia deA.

1.2.16. Ejercicios.

1. Determinar_P(_∅).

2. SeaA=_{x1, x2, x3}. Escribir P(A)y comprobar que tiene23 elementos.

3. Probar queA6=P(A).

Solución. Solo veremos el ejercicio(3). Supongamos que A=_P(A). Se tendrá entonces queX _⊂Aimplica queX _∈A. Vamos a formar el conjuntoB=_{X _∈ A _| X _6∈X_}. ComoB _⊆A entoncesB_∈A; además, ocurre una de dos:

1. B _∈ B, en cuyo caso B _∈ A y B _∈ B y por tanto B _6∈ B, lo cual es absurdo.

2. B _6∈ B, en cuyo caso B _∈ A y B _6∈ B y por tanto B _∈ B, lo cual es absurdo.

As´ı que la suposici´on de que A=P(A) reduce al absurdo y por tanto es falsa. Luego lo contrario es verdadero.

(10)

1.3. Operaciones con subconjuntos

1.3.1. Uni´on. SeanAy B conjuntos. El conjunto

A∪B={x | x∈A o x∈B}

se conoce como la uni´on deAy B.

Se escribe x_∈A_∪B si y s´olo six_∈A ox_∈B. Lo contrario es x /_∈A_∪B si y s´olo si x /_∈Ay x /_∈B.

1.3.2. Ejercicio. SeaAun conjunto arbitrario. Probar que para cualquier con-juntoB se tiene que A⊂A∪B.

1.3.3. Intersecci´on. SeanAy B conjuntos. El conjunto

A_∩B=_{x _| x_∈A y x_∈B_}

se conoce como la intersecci´on de Ay B.

Se escribe x∈A∩B si y s´olo six∈A yx∈B. Lo contrario es x /∈A∩B si y s´olo si x /∈Aox /∈B.

1.3.4. Definici´on. SiA_∩B=_∅se dice que los conjuntosAyBson disjuntos.

Diagramas de Venn

En 1880 John Venn (1834-1923) introdujo los diagramas para una mejor comprensión de los conjuntos y sus operaciones. Los siguientes diagramas re-presentan la unión e intersección de dos conjuntos A y B contenidos en otro conjunto, digamosU. U A B ✫✪ ✬✩ ✫✪ ✬✩ Unión U A B ✫✪ ✬✩ ✫✪ ✬✩ Intersección

1.3.5. Ejercicio. Para los conjuntosA,B yC, probar las siguientes propieda-des:

1. SiA_⊂C yB _⊂C entonces(A_∪B)_⊂C. 2. (A_∩B)_∩C=A_∩(B_∩C).

3. A_⊂B si y s´olo siA_∪B=B si y solo si A_∩B =A

(11)

1.3. OPERACIONES CON SUBCONJUNTOS 11

1.3.6. Ejemplos. 1)Vamos a comenzar abordando un caso muy concreto hasta otener la m´axima generalidad, en el uso de la escritura comprehensiva.

Sea_U =R2_{, el plano eucl´ıdeo,} _A₌

{(x, y)_{∈ U |} x+y_≤3_},B=_{(x, y)_∈

U | x+y _≤7_} y C = _{(x, y)_{∈ U |} x₋y = 0_}. Probar que A_⊂ B y que

A6⊂C.

M´as en general, siP(r) =_{(x, y)_{∈ U |} x+y _≤r_}, conr_∈R, probar que

P(r)_⊂P(s) si y solo sir_≤s.

Finalmente, probar que si_U es un conjunto arbitrario,A=_{x_{∈ U |} p(x)_} yB=_{x_{∈ U |} q(x)_}, entoncesA_⊆B si y solo si [p(x)_⇒q(x)].

2) Vamos a ver un caso donde podemos comparar el uso de escritura com-prehensiva y el de listas. Para cualquiera∈N, se defineN·a={0, a,2a, . . .}=

{x∈N | x=na, conn∈N}. En este caso, la escritura con lista parece más elegante que la comprehensiva. También puede comprobar fácilmente el lector, a partir de la escritura de listas que N·a_∩N·b=N·mcm(a, b); sin embargo, la uniónN·a_∪N·b se escribe mal como lista.

Leyes distributivas.

1.3.7. Proposici´on. SeanA,B y C conjuntos. Entonces 1. A_∩(B_∪C) = (A_∩B)_∪(A_∩C).

2. A_∪(B_∩C) = (A_∪B)_∩(A_∪C). Demostraci´on. Comenzamos con la primera.

⊆] Sea x_∈A_∩(B_∪C). Entoncesx_∈ A y x_∈ B_∪C; es decir, x_∈ A y adem´asx_∈Box_∈C. Ahora separamos en dos casos. Primero,x_∈Ayx_∈B, de dondex_∈A_∩B. El otro es x_∈Ay x_∈C, de donde x_∈A_∩C. No hay m´as casos y por tanto x_∈(A_∩B)_∪(A_∩C).

⊇] Si x∈(A∩B)∪(A∩C) entoncesx∈A yx∈B o bienx∈Ayx∈C. Luego x∈A en ambos casos y as´ı,x∈Ay adem´asx∈B o x∈C, de donde

x_∈A_∩(B_∪C).

Vamos ahora con la segunda.

⊆] Sea x _∈ A_∪(B_∩C). Tenemos dos casos. Primero, si x _∈ A entonces

x_∈A_∪B y adem´asx_∈A_∪C (Ejercicio 1.3.2) luego x_∈(A_∪B)_∩(A_∪C). Ahora, six_6∈Aentoncesx_∈B_∩C entoncesx_∈A_∪B yx_∈A_∪C (otra vez Ejercicio 1.3.2) y por tantox_∈(A_∪B)_∩(A_∪C).

⊇] Sea x_∈(A_∪B)_∩(A_∪C). Consideramos dos casos. Primero, si x_∈A

entoncesx_∈A_∪(B_∩C) (otra vez Ejercicio 1.3.2). Segundo, six_6∈Aentonces

x_∈B y adem´asx_∈C por lo quex_∈B_∩C, de dondex_∈A_∪(B_∩C).

1.3.8. Diferencia de conjuntos. Sean A y B conjuntos. La diferencia de conjuntos es la colecci´on

A_\B=_{x _| x_∈A y x_6∈B_}.

(12)

12 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS U A B ✫✪ ✬✩ ✫✪ ✬✩ Diferencia

1.3.9. Ejercicio. Consid´erense los conjuntos A = _{x_∈ R | 0 _≤ x

2 ≤ 6} y

B=_{x_∈R _| x₂2 <8_}. Se pide:

1. Representar estos conjuntos en la recta real.

2. Determinar los conjuntosA_∪B,A_∩B,A_\B yB_\A, escribi´endolos de forma comprehensiva y gr´aficamente en la recta real.

1.3.10. Complemento. SeanA y U conjuntos, con A⊂U. Se conoce como complemento de Aen U a la colecci´on

A∁=U_\A=_{x_∈U _| x_6∈A_}. Leyes de De Morgan.

Augustus De Morgan 1806 (Madras, India)-1871(Londres). Fue hijo de un militar británico. Hizo contribuciones importantes en álgebra, geometr´ıa y además fue cofundador de la London Mathematical Society, as´ı como su primer presi-dente.

1.3.11. Proposici´on. SeanAy B conjuntos. 1. (A∩B)∁=A∁∪B∁. 2. (A∪B)∁=A∁∩B∁. Demostraci´on. 1. x_∈(A_∩B)∁ _⇔ x_6∈A_∩B_⇔x_6∈Aox_6∈B_⇔x_∈A∁ox_∈B∁ ⇔ x_∈A∁_∪B∁. 2. x∈(A∪B)∁ ⇔ x6∈A∪B⇔x6∈Ayx6∈B⇔x∈A∁yx∈B∁ ⇔ x_∈A∁_∩B∁.

(13)

1.3. OPERACIONES CON SUBCONJUNTOS 13 U A B ✫✪ ✬✩ ✫✪ ✬✩ (A_∩B)∁=A∁_∪B∁ U A B ✫✪ ✬✩ ✫✪ ✬✩ (A∪B)∁=A∁∩B∁

1.3.1. Familias de conjuntos y operaciones

Algunas veces queremos hacer colecciones de objetos y no podemos o no nos interesa garantizar que todos ellos sean distintos. Vamos a ver un par de ejemplos.

SeanN el conjunto de los n´umeros naturales y P el conjunto de los n´ ume-ros pares positivos. Definimos, para cada n _∈ N, An como el conjunto de los

m´ultiplos pares den; es decirAn ={x∈P | _nx ∈N}.

Entonces, la colecci´on C = {An}_n_∈N no es conjunto porque, por ejemplo, Ap=A2p, para todo primo impar. En este caso, decimos queC es una familia

(de conjuntos).

Aún as´ı, es claro que podemos considerar su unión e intersección y respetará las leyes habituales de conjuntos.

Otro ejemplo es el siguiente. Consid´erese p1(X) = X3₋_X2₊_X ₋_{1 y}

p2 = X3+X2−2. Sean R1 y R2 los conjuntos de ra´ıces reales de p1(X) y

p2(X) respectivamente, y R = {R1, R2}. En principio, no podemos asegurar queR sea o no conjunto, pero es inmediato comprobar que, visto como familia 1_∈R1∪R2.

1.3.12. Definici´on. Una familia de conjuntos es una colecci´on _{Ai | i∈I},

donde I es un conjunto y Ai son conjuntos.

(14)

Uniones e intersecciones arbitrarias en conjuntos y familias

Comenzamos con la unión. Al ser una operación binaria y asociativa, po-demos extenderla a una colección finita de uniendos. As´ı, si A1, . . . , An son

conjuntos se tiene que

A1∪ · · · ∪An= n [

i=1

Ai={x | x∈Ai para alguna i∈ {1, . . . , n}}.

Cuando la colección sea infinita, también habrá unión, pero ya no es una consecuencia de propiedades de operaciones binarias. Será una nueva definición. Veamos la versión más general. Nos viene a decir que las uniones más gene-rales serán conjuntos, siempre y cuando los uniendos pertenezcan a su vez, a un conjunto.

1.3.13. Uni´on arbitraria. Sea_C un conjunto cuyos elementos son, a su vez, conjuntos. La uni´on arbitraria es el conjunto

∪C=_{x _| x_∈A, para alg´un A_{∈ C}}.

En el caso de las familias, siIes un conjunto de ´ındices y_C=_{Ai | i∈I}=

{Ai}i∈I, entonces escribimos

∪C=[

i∈I

Ai={x | x∈Ai para alg´un i∈I}.

Al igual que sucede con la unión, podemos definir la intersección finita en conjuntos y familias. SiA1, . . . , An son conjuntos entonces la intersección es el

conjunto A1∩ · · · ∩An= n \ i=1 Ai={x | x∈Ai para todo i∈ {1, . . . , n}}.

1.3.14. Intersecci´on arbitraria. SeaC un conjunto, cuyos elementos son, a su vez, conjuntos. La intersecci´on arbitraria es el conjunto

∩C=_{x _| x_∈A, para todo A_{∈ C}}.

En el caso de las familias, siIes un conjunto de ´ındices y_C=_{Ai | i∈I}=

{Ai}i∈I, entonces escribimos

∩C=\

i∈I

Ai={x | x∈Ai para todo i∈I}.

1.3.15. Ejemplo. Sea A=_{a, b, c_}yC=_{{a, b_}, _{b, c_}}. Entonces 1. SC=A.

(15)

1.4. PARES, PRODUCTO Y RELACIONES 15

3. T_P(A) =_∅.

1.3.16. Ejemplo. Sea P el conjunto de todos los n´umeros primos positivos. Para cada primo, p_∈P, definimos el conjuntoN·p=_{0, p,2p, . . ._}, o sea, los m´ultiplos naturales dep. Entonces:

1. La familia_{N·p_}_p_∈P es un conjunto. 2. Np =Nq si y solo sip=q.

3. S_p_∈_PN·p=N\ {1_}.

4. Sip1, . . . , pn son primos positivos distintos cualesquiera entonces se tiene

queTn_i₌₁N·pi={0, p1· · ·pn,2(p1· · ·pn), . . .}

5. Tp∈PN·p={0}.

1.4. Pares ordenados, producto cartesiano y

re-laciones binarias

En ocasiones queremos hacer corresponder dos objetos, ya sea para compa-rarlos, sustituirlos o con algún otro interés. Una herramienta matemática por excelencia para estudiar las correspondencias es el concepto de pareja ordenada o par ordenado. En los estudios preuniversitarios invocamos las parejas ordenadas escribiendo (a, b). Vamos interpretar este concepto en términos de conjuntos.

1.4.1. Definici´on. Sean A y B conjuntos. La pareja ordenada formada por

a∈A y b∈B es el conjunto

(a, b) ={{a},{a, b}}.

1.4.2. Observación. La escritura de la definición anterior puede reducirse mu-cho según el caso. Por ejemplo (a, a) ={{a}}.

1.4.3. Proposici´on. SeanAyB conjuntos. Para cualesquiera elementosa, c_∈ A y b, d_∈B se tiene que (a, b) = (c, d)si y solo sia=c yb=d.

Demostraci´on. Se deduce de la igualdad{{a},{a, b}}={{c},{c, d}}.

Ahora vamos a considerar el conjunto de las parejas ordenadas. Nótese que una vez que hemos dado fundamento a la definición de pareja ordenada en términos de conjuntos, podemos volver a las expresiones anteriores que son más familiares y de ser necesario, como en la proposición anterior, recurrir a la definición formal para asegurar el rigor en los argumentos. El siguiente concepto, producto cartesiano, se nombra en honor de René Descartes (1596-1650).

1.4.4. Producto cartesiano. SeanA y B conjuntos. El producto cartesiano de A yB es el conjunto

(16)

1.4.5. Observación. Es claro que siendo el producto cartesiano un operación binaria, podemos extender el concepto a un número finito de factores. En este caso, es inmediato comprobar que el producto cartesiano de tres conjuntos no es asociativo; sin embargo, la identificación (a,(b, c)) con ((a, b), c) es demasiado clara como para pasarla de largo. Intuitivamente identificamos los conjuntos, teniendo precauciones formales pues no tenemos por ahora una descripción en términos de conjuntos para la expresión (a, b, c). Más adelante le daremos sen-tido, con un concepto más general, el de producto directo.

1.4.6. Proposici´on. Sea Aun conjunto arbitrario. Entonces

A_{× ∅}=_{∅ ×}A=_∅.

Demostraci´on. Supongamos queA_{× ∅ 6}=_∅. Entonces existe una pareja (a, b)_∈

A_{× ∅}, con b _{∈ ∅}. Pero eso es imposible. El otro producto es completamente an´alogo.

1.4.7. Observaci´on. De la propia definici´on de pareja ordenada se desprende que siAyB son conjuntos puede ocurrir que A_×B₆=B_×A.

1.4.8. Ejercicios.

1. SeaA= 1,2,3 y B=a, b. Formar el producto cartesiano. 2. comprobar queA_×(B_∪C) = (A_×B)_∪(A_×C)

3. comprobar queA×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)

Ahora vamos expresar en términos de conjuntos la noción de relación (o correspondencia) entre dos objetos.

1.4.9. Relaci´on binaria. Sean A y B conjuntos. Una relaci´on binaria (o correspondencia) entre elementos deAy de B es un subconjunto R⊆A×B.

Cuando(a, b)∈Rdecimos queaestá relacionado conb(dicho en ese orden) y escribimos aRb, para la fórmula o regla de comprehensión.

Cuando ocurraA=B, diremos simplemente queRes una relaci´on enA.

Entonces, para referirnos a una relación, podemos usar dos formas. La pri-mera es describiendo el conjuntoR⊆A×B y la otra es utilizando una fórmula o regla para determinarR por comprehensión. Vamos a ver ejemplos de ambas formas.

1.4.10. Observación. Algunos autores obligan a que las relaciones sean con-juntos no vac´ıos. Otros reservan el término relación para correspondencias en un solo conjunto.

Si no causa confusión, diremos relación en vez de relación binaria.

1.4.11. Observación. Nótese que puede ser que un elementoaesté relacionado con otrob, pero no rec´ıprocamente.

1.4.12. Ejemplos. 1. SiA=∅yB es arbitrario, entoncesA×B=∅y por lo tanto, la ´unica posible relaci´on entre AyB es la vac´ıa.

(17)

1.4. PARES, PRODUCTO Y RELACIONES 17

2. SeanAyBconjuntos cualesquiera. Siempre se tienen dos relaciones (que pueden coincidir), una es el vac´ıo y la otra es la total.

3. SeanA=B =R. El conjunto

R=(x, y)_∈R2

| x_≤y ; es una relaci´on con reglaxRy⇔x≤y.

4. Sean A = B = Z2_{. La regla (}_{a, b}₎_R₍_a′_{, b}′₎ _⇔ _ab′ ₌ _a′_b _{determina una}

relaci´on.

5. SeaA un conjunto. La “diagonal” deA2_{; es decir, (}_{a, b}₎_∈_R_⇔_a₌_b_{, es} una relaci´on (la igualdad).

6. SeanA=B=Z. La reglaaRb_⇔a_|b (adivide ab; o bien,bes múltiplo dea, véase la Definición 7.1.5) determina una relación.

7. SeanA = B =R. La regla xRy ⇔ y =x2_{+ 1 determina una relaci´on.} En este casoR={(x, y)∈R2 _| _y ₌_x2_{+ 1}_} _{y podemos dibujarla en el} plano.

1.4.13. Definici´on. SeanAy B, conjuntos, yR una relaci´on entre A yB. 1. Al conjunto Ase le llama conjunto inicial.

2. Al conjunto B se le llama conjunto final.

3. Se conoce como dominio de la relaci´on, al conjunto

DomR={a∈A | ∃b∈B, (a, b)∈R}.

4. Se conoce como imagen de la relaci´on, al conjunto

ImR=_{b_∈B _{| ∃}a_∈A, (a, b)_∈R_}. 1.4.14. Ejemplo. SeaR_⊂R2 _{tal que}

(x, y)∈R⇐⇒x= y 2

−x y .

Se puede comprobar que DomR =R\(₋4,0] y que ImR =R\ {−1_}, ya que

b_∈ImRsi y solo si existea_∈Rtal quea= b2

−a

b si y solo sia= b2

b+1 y de aqu´ı se desprende el resultado.

Se sugiere al lector que considere la relaci´on (x, y)_∈R_⇐⇒xy+x=y2

(18)

Podemos representar las relaciones en gr´aficas planas, como se hace en el c´alculo. Vamos a ver un ejemplo, sean A = _{a, b, c_} y B = _{a′_{, b}′_{, c}′_{, d}′_} _y

considérese la relaciónR=_{(a, b′₎_,₍_{a, c}′₎_,₍_{b, c}′₎_}_{. La gráfica es}

a′ b′ c′ d′ a b c • • •

Un ejercicio interesante es estudiar la relaci´on entre la forma de las gr´aficas y las propiedades de las relaciones.

(19)

Cap´ıtulo 2

Aplicaciones

2.1. Relaciones y aplicaciones

En cursos previos hemos visto que una aplicación es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos. Más actualmente, en cap´ıtulos anterio-res hemos expanterio-resado el concepto de coranterio-respondencia en términos de conjuntos. Vamos a trabajar ahora el concepto de aplicación en términos de conjuntos.

2.1.1. Definición. SeanAyB conjuntos. Una aplicación entreAyB es una relación f ⊂A×B que cumple la siguiente propiedad:

Para todoa∈A, existe un ´unicob∈B tal que(a, b)∈f.

O bien, para todoa_∈A, existe unb_∈B tal que(a, b)_∈f y si(a, b)

y(a, c)pertenecen af, entonces b=c.

Nótese que esta definición en realidad no difiere de la que hemos visto en estudios previos. Estamos diciendo, en términos de conjuntos, que una aplicación es una correspondencia entre los elementos del conjunto A y del conjunto B, que satisfacen que para todo a _∈ A existe un único elemento b _∈ B que le corresponde.

2.1.2. Notaci´on. Sean Ay B conjuntos yf una aplicaci´on de A aB. Escri-bimos entonces

f :A_→B o A_−−→f B.

Adem´as, si a_∈A y (a, b)_∈f, como b es ´unico podemos escribir

b=f(a).

En ocasiones expresamos la igualdad anterior b = f(a), que tambi´en lla-mamos regla de corespondencia, a trav´es de igualdades. Por ejemplo, podemos definir f :N→Ntal quef(n) =n2_{; es decir,} _f ₌₍_{n, n}2₎ _| _n_∈_N _.

Cuando partimos de una igualdad como por ejemploy=x2_{+ 1 y queremos} interpretarla como la regla de una aplicaci´on, la llamamos funci´on1 _{y tenemos}

1

Algunos autores no distinguen estos conceptos y a todo le llaman funciones. 19

(20)

20 CAP´ITULO 2. APLICACIONES

que determinar su “dominio de definici´on” es decir, el mayor conjunto que puede ser el dominio con el que podemos interpretar y = x2 _{+ 1 como la regla de} correspondencia de una aplicaci´on.

Existen diversas maneras de representar gr´aficamente a las aplicaciones. Va-mos a ver dos de ellas. La primera es t´ıpica:

Sean A=_{a, b, c_}y B =_{a′_{, b}′_{, c}′_{, d}′_} _{conjuntos. Representamos la}

aplica-ci´onf :A_→B tal que f =_{(a, a′₎_,₍_{b, c}′₎_,₍_{c, d}′₎_} _como

A B a_• b• c_• •a′ •b′ •c′ •d′ f

La siguiente es la gr´afica habitual de las coordenadas, que ya hemos visto para relaciones. a′ b′ c′ d′ a b c • • •

2.1.3. Observación. En ocasiones, sobre todo en el cálculo y la topolog´ıa, se suele identificar la aplicación con la regla de correspondencia y a la propia aplicación con la gráfica (o grafo).

2.1.4. Observación. Como hemos dicho, una aplicación es una relación, que escribimosf :A_→B. De este modo tenemos

1. El dominio def, que es Domf =A. Es decir, el dominio coincide con el conjunto inicial, as´ı que éste último término ya no se usa.

2. La imagen (o imagen directa) def, que es Imf =f(A)⊆B. Adem´as, tenemos otras definiciones.

2.1.5. Definici´on. SeanAy B conjuntos y f :A_→B. 1. Al conjunto finalB se le llama el codominio de f.

2. A la igualdad b = f(a) se le llama la regla de correspondencia de f, y tiene especial sentido cuando se establece por f´ormula.

(21)

2.2. CLASIFICACI ´ON DE APLICACIONES 21

3. Si (a, b)_∈f, decimos que a es una preimagen deb y que b es la imagen dea.

2.1.6. Observación. Nótese que hablamos de “la” imagen de a∈ A (puesto que esta imagen es única, por la Definición 2.1.1) y de “una” preimagen de

b_∈B, porque en este caso no tiene por qu´e haber unicidad.

2.1.7. Ejemplos.

1. SeaAun conjunto. La relaci´on “diagonal” es una aplicaci´on que llamamos la identidad.

2. Seaf :Z→N, tal quef(a) =a2_{. Entonces}_f _{es una aplicaci´on.}

3. La relaci´on xRy _⇔x2₊_y2 _{= 1 no es una aplicaci´on. Sin embargo,}_y ₌

√

1₋x2 _{s´ı lo es.}

2.1.8. Ejemplo. Operaciones binarias. SeanA y B conjuntos no vac´ıos. Una ley de composici´on externa es una aplicaci´on

B_×A_−−→◦ A

cuya imagen habitualmente denotamosb_◦aen vez de_◦(b, a). Un ejemplo t´ıpico de esto es el producto por un escalar en espacios vectoriales.

Otra operación binaria es la ley de composición interna. SeaAun conjunto. Una operación binaria en Aes una aplicación

A_×A_−−→◦ A

cuya imagen habitualmente denotamos a_◦a′ _{en vez de} _◦₍_{a, a}′_{). Un ejemplo}

t´ıpico de esto es la suma en los n´umeros naturales.

2.2. Aplicaciones inyectivas, suprayectivas y

bi-yectivas

2.2.1. Definici´on. Seaf :A_→B una aplicaci´on.

1. Decimos que f es inyectiva (o uno a uno) si para cada elemento de la imagen, la preimagen es ´unica. Escribimos

f(a) =f(b)_⇒a=b o a₆=b_⇒f(a)₆=f(b)

2. Decimos que f es suprayectiva (o sobreyectiva o exhaustiva) si cubre todo el codominio. Escribimos

∀b_∈B, _∃a_∈A tal que f(a) =b.

(22)

2.2.2. Ejemplos. Se pueden comprobar f´acilmente las siguientes afirmaciones: 1. La aplicaci´onf :N→Ntal quef(x) = 2xes inyectiva, pero no

suprayec-tiva.

2. La aplicaci´on f : N → N tal que f(x) = ⌊x

2⌋ (la parte entera de

x

2) es suprayectiva pero no es inyectiva.

3. La aplicaci´on f : N → N con f(0) = 0 y f(x) = x−1 para x 6= 0 es suprayectiva pero no es inyectiva.

4. La aplicaci´onf : [1,_∞)_→(0,1] tal quef(x) =1_x es biyectiva.

5. La aplicaciónf :R→Rtal quef(x) =x2 _{no es inyectiva ni suprayectiva.} 6. Siguiendo el apartado anterior, vamos a ver que, cuando una función viene definida por una regla o fórmula, esta regla por s´ı sola no es suficiente para decidir si la aplicación es inyectiva o suprayectiva, puesto que hay que tener en cuenta también el dominio y el codominio de la aplicación. Por ejemplo:

a) La aplicaci´on f : Z → Zdada por f(x) = x2 _{no es ni inyectiva ni} suprayectiva.

b) La aplicaci´onf :N→Ndada porf(x) =x2 _{es inyectiva pero no es} suprayectiva.

c) La aplicaci´onf : R→[0,+_∞) dada por f(x) =x2 _{es suprayectiva} pero no es inyectiva.

d) La aplicaci´onf : [0,+_∞)_→[0,+_∞) dada porf(x) =x2_{es biyectiva.}

e) La aplicaci´on f : R → Rdada por f(x) = x2 _{no es ni inyectiva ni} suprayectiva.

7. SeanA=_{a, b, c_}yB=_{a′_{, b}′_{, c}′_{, d}′_}_{. Entonces}

a) La aplicaci´onf ={(a, b′₎_,₍_{b, b}′₎_,₍_{c, b}′₎_} _{no es inyectiva ni}

suprayec-tiva (es constante).

b) La aplicaci´onf ={(a, b′₎_,₍_{b, c}′₎_,₍_{c, d}′₎_} _{es inyectiva pero no}

supra-yectiva.

c) Ninguna aplicaci´onf :A→B puede ser suprayectiva. 8. SeanA=_{a, b, c, d_} yB =_{a′_{, b}′_{, c}′_}_{. Entonces}

a) La aplicaci´onf =_{(a, a′₎_,₍_{b, b}′₎_,₍_{c, a}′₎_,₍_{d, b}′₎_} _{no es inyectiva ni}

su-prayectiva.

b) La aplicaci´onf =_{(a, a′₎_,₍_{b, b}′₎_,₍_{c, c}′₎_,₍_{d, c}′₎_}_{no es inyectiva pero s´ı}

suprayectiva.

(23)

2.3. IM ´AGENES DIRECTAS E INVERSAS 23

9. Dada cualquier aplicaci´onf :A _→ B, podemos considerar la aplicaci´on ˆ

f :A_→Imf dada por ˆf(a) =f(a) para cadaa_∈A(se dice que ˆf “actúa igual” quef, y de hecho es común denotarla con la propia letraf). Claramente, ˆf (que se suele llamar “la restricción de f a su imagen”) siempre es suprayectiva, y sif es inyectiva entonces ˆf es biyectiva.

2.3. Im´

agenes directas e inversas

2.3.1. Definici´on. Seaf :A_→B una aplicaci´on.

1. Para X ⊆A, definimos la imagen (directa) deX como

f(X) =_{f(x) _| x_∈X_}=_{b_∈B _{| ∃}x_∈X, b=f(x)_}.

2. Para Y _⊆B, definimos la imagen inversa como

f(Y)−1₌

{a_∈A _| f(a)_∈Y_}

que tambi´en podemos escribirf−1₍_Y₎_{teniendo cuidado de no confundirla}

con la aplicación inversa que se definirá más tarde.

En el caso de las im´agenes inversas, cuando el conjunto Y solo tiene un elemento, digamosY =_{y_}se suele denotarf(y)−1_{y por el contexto podremos} distinguir del inverso en aritm´etica.

2.3.2. Proposici´on. Seaf :A_→B una aplicaci´on. La imagen directa verifica las siguientes propiedades.

1. f(_∅) =_∅.

2. SiX ⊂Y entonces f(X)⊂f(Y).

3. SiX, Y _⊂A entonces f(X_∪Y) =f(X)_∪f(Y). 4. SiX, Y _⊂A entonces f(X_∩Y)_⊆f(X)_∩f(Y).

M´as en general, siI es un conjunto y{Xα}α∈I una familia de subconjuntos de

A entonces f [ α∈I Xα ! = [ α∈I f(Xα) y f \ α∈I Xα ! ⊆ \ α∈I f(Xα)

Demostraci´on. 1.Es inmediata de la Proposici´on 1.4.6.

2.Si X =∅ el resultado se sigue de lo anterior, y del hecho de que el vac´ıo está contenido en todo conjunto (véase la Proposición 1.2.12). En otro caso, sea

y ∈ f(X). Entonces existe x ∈ X tal que f(x) = y. Como X ⊆ Y entonces

x∈Y, luegoy=f(x)∈f(Y).

Finalmente haremos la primera de las generales y los apartados restantes los dejaremos como ejercicio.

(24)

⊆] Sea y _∈ f(_∪α∈IXα). Entonces existe x ∈ ∪α∈IXα tal que f(x) = y.

Como x_{∈ ∪}α∈IXα entonces x∈ Xα para alguna α∈I. Luego y ∈ f(Xα)⊂

∪α∈If(Xα).

⊇] Consid´erese y _{∈ ∪}α∈If(Xα). Entonces y ∈ f(Xα) para alguna α ∈ I,

as´ı que existe x _∈ Xα tal que f(x) = y. De hecho x ∈ Sα∈IXα, as´ı que

y=f(x)_∈f(_∪α∈IXα).

2.3.3. Ejercicio. En la situaci´on de la Proposici´on 2.3.2(4) anterior, dar un ejemplo en el que se tenga la igualdad y otro el que se tenga un contenido estricto.

Ahora vamos a ver propiedades similares de la imagen inversa. Como se ver´a, resultan “un poco mejores” que las de la imagen directa.

2.3.4. Proposici´on. Seaf :A→Buna aplicaci´on. La imagen inversa verifica las siguientes propiedades.

1. f(_∅)−1₌ ∅. 2. f(B)−1₌_A_. 3. SiX_⊂B entonces f(X)−1∁₌_f_X∁−1 . 4. SiX⊂Y ⊂B entonces f(X)−1_⊂_f₍_Y₎−1_. 5. SiX, Y _⊂B entonces f(X_∪Y)−1₌_f₍_X₎−1 ∪f(Y)−1_. 6. SiX, Y _⊂B entonces f(X_∩Y)−1₌_f₍_X₎−1 ∩f(Y)−1_.

M´as en general, si I es un conjunto y _{Xα}α∈I es una familia de subconjuntos

de B, entonces f [ α∈I Xα !−1 = [ α∈I f(Xα)−1 y f \ α∈I Xα !−1 = \ α∈I f(Xα)−1

Demostración. Probaremos la última afirmación. El resto se deja como ejercicio.

⊆] Sea x∈f(∩α∈IYα)−1. Entonces f(x)∈ ∩α∈IYα, entoncesf(x)∈ Yα para

todoα_∈I luegox_∈f(Yα)−1 para todo α∈I, as´ı que x∈ ∩α∈If(Yα)−1.

⊇] Sea x ∈ ∩α∈If(Yα)−1. Entonces x ∈ f(Yα)−1 para todo α ∈ I,

lue-go f(x) ∈ Yα para todo α ∈ I, entonces f(x) ∈ ∩α∈IYα. Por lo tanto x ∈

f T_α_∈_IYα−

1 .

2.3.5. Ejemplo. Seaf :R→Rdada porf(x) =x2_{. Sea}_X _{= [1}_,√_2]_⊂_R_{. Se} puede comprobar que:

1. f(X) = [1,2]. 2. f(f(X))−1= [−√2,−1]∪[1,√2]. 3. f(X)−1₌ −√4 2,₋1_∪1,√4 2

(25)

2.4. COMPOSICI ´ON 25

4. f f(X)−1_{= [1}_,√_2].

Como ejercicio se puede hacer lo mismo para la aplicaci´on dada porg(x) = senx, eY = [−2,2].

2.3.6. Ejercicio. Seaf :A_→Buna aplicaci´on. Para todo subconjuntoX _⊂A

se tieneX_⊂f(f(X))−1

, y para todo subconjuntoY _⊂Bse tienef f(Y)−1

⊂

Y, y ambos contenidos pueden ser estrictos (por ejemplo con f(x) =x2_,_X ₌

{1}eY ={−4,4}).

2.4. Composici´

on

Perm´ıtasenos comenzar este p´arrafo con el siguiente ejercicio.

2.4.1. Ejercicio. Sean f : A → B y g : B → C aplicaciones. Definimos la relaci´on g◦f ⊂A×C tal que (a, c)∈(g◦f)si y s´olo si, existe b∈B tal que

(a, b)∈f y (b, c)∈g.

Probar queg◦f es una aplicaci´on.

Entonces podemos introducir el siguiente concepto.

2.4.2. Definición. Seanf :A_→B y g:B_→C aplicaciones. Se conoce como la composición de f seguida deg a la aplicacióng_◦f :A_→C tal que

(g◦f)(a) =g(f(a)).

Entonces, en la composici´on ocurre que Dom(g◦f) = Domf y el codominio de la composici´on es igual al codominio de g.

2.4.3. Ejemplos.

1. Sean f : N → N y g : N → Z, dadas por f(n) = 2n+ 1 y g(n) = n2_. Entonces la composici´on def seguida deg es

(g_◦f)(n) =g(f(n)) =g(2n+ 1) = (2n+ 1)2.

Nótese que la composición degseguida def no puede definirse, porque no coinciden la imagen degy el dominio def. También notemos que a efectos prácticos, eso podr´ıa corregirse. Una manera de hacerlo es la siguiente. 2. Al hilo del apartado anterior, seanf : N→ Ny g′ _: _N_→ _N_{, dadas por}

f(n) = 2n+ 1 y g′₍_n_{) =}_n2_{. Ahora podemos hacer ambas composiciones} y queda

(g_◦f)(n) = (2n+ 1)2 y (f_◦g)(n) = 2n2+ 1.

N´otese que (g_◦f)₆= (f_◦g).

En vista del siguiente resultado, podemos decir que la composici´on de apli-caciones es asociativa.

2.4.4. Teorema. Sean f : A → B, g : B → C y h : C → D aplicaciones. Entoncesh_◦(g_◦f) = (h_◦g)_◦f.

(26)

Demostraci´on. La coincidencia de los dominios y codominios es clara, luego las composiciones pueden considerarse. Seaa_∈A. Calculamos

(h_◦(g_◦f))(a) =h([g_◦f](a)) =h(g(f(a))) = (h_◦g)(f(a)) = ((h_◦g)_◦f)(a)

2.4.5. Proposición. La composición de aplicaciones inyectivas es inyectiva. Demostración. Sean f : A _→ B y g : B _→ C aplicaciones inyectivas. Sean

a, a′_∈_A_{tales que (}_g_◦_f₎₍_a_{) = (}_g_◦_f₎₍_a′_{). Entonces}_g₍_f₍_a_{)) =}_g₍_f₍_a′_{)) y como}

g es inyectivaf(a) =f(a′_{), y como}_f _{es inyectiva}_a₌_a′_.

2.4.6. Proposici´on. La composici´on de aplicaciones suprayectivas es supra-yectiva.

Demostraci´on. Sea c∈ C. Entonces existe b ∈B tal queg(b) =c y, a su vez, existea∈Atal que f(a) =b. Luego (g◦f)(a) =c.

2.4.7. Corolario. La composici´on de aplicaciones biyectivas es biyectiva. Demostraci´on. Inmediata de las dos anteriores.

2.4.8. Proposici´on. Seanf :A→B yg:B →C. Entonces 1. Sig◦f es inyectiva entoncesf es inyectiva.

2. Sig◦f es suprayectiva entoncesg es suprayectiva. Demostraci´on. Ejercicio.

Restricci´on de una aplicaci´on a un subconjunto del dominio

Si f :A→B es una aplicación y X es un subconjunto deA, la restricción def a X es la aplicaciónf|X :X →B dada porf|X(x) =f(x). Es decir, una

restricciónf_|X actúa igual que la aplicación originalf, pero solo actúa sobre

los elementos del subconjuntoX.

Una interpretaci´on alternativa es f_|X = f ◦ u, donde u : X → A es la

“aplicaci´on inclusi´on” dada poru(x) =x.

Al restringir una aplicación pueden variar sus propiedades. As´ı, por ejemplo, la aplicaciónf :R→[0,+∞) dada porf(x) =x2_{es suprayectiva y no inyectiva,} mientras que a su restricción al intervalo [1,+_∞) le pasa justo lo contrario.

(27)

2.4.1. Inversa de una aplicaci´

on biyectiva

2.4.9. Notaci´on. Sea A un conjunto arbitrario. Denotamos a la aplicaci´on identidad en A, como 1A:A→A; es decir,1A(a) =a, para todoa∈A.

2.4.10. Definici´on. Sea f : A → B una aplicaci´on. Decimos que f tiene inversa si existe g:B →Atal queg◦f = 1A y f◦g= 1B.

En este caso, decimos quef es una aplicaci´on invertible.

2.4.11. Proposición. Sea f : A → B una aplicación invertible. Entonces la inversa es única.

Demostraci´on. Supongamos quegyhson inversas. Entonces

g=g_◦1B =g◦(f◦h) = (g◦f)◦h= 1A◦h=h.

2.4.12. Notaci´on. Para una aplicaci´on invertible f : A _→ B, denotamos la inversa comof−1_.

2.4.13. Teorema. Sea f :A→B una aplicaci´on. Entonces f es invertible si y s´olo si es biyectiva.

Demostraci´on. Supongamos primero quef es invertible y veamos que es biyec-tiva. Sean a, a′ _∈ _A_{. Si} _f₍_a_{) =} _f₍_a′_{) entonces} _f−1₍_f₍_a_{)) =} _f−1₍_f₍_a′_{)), luego}

a = a′_{. Ahora, sea} _b _∈ _B_{. Hacemos} _a ₌_f−1₍_b_{) y se tiene que} _f₍_a_{) =} _b_{. Por} tanto es biyectiva.

Rec´ıprocamente, supongamos que f es biyectiva y queremos definir la in-versa. Para cada b _∈ B consideremos la imagen inversa f(_{b_})−1_{. Se afirma} que la imagen inversa tiene exactamente un elemento. Como f es sobre, en-tonces f(_{b_})−1

6

= _∅. Si a, a′ _∈ _f₍_{_b_}₎−1 _entonces _b ₌ _f₍_a_{) y} _b ₌ _f₍_a′_{), de}

donde f(a) =f(a′_{) y como es inyectiva}_a ₌_a′_{. Definimos}_g _: _B _→ _A _{tal que}

g(b)∈f(b)−1_{, el ´}_{unico elemento. Es inmediato comprobar que} _g _{es inversa de}

f y por tanto g=f−1_.

2.4.14. Proposici´on. Sif :A_→B y g:B _→C son aplicaciones invertibles entonces la composici´on es invertible y su inversa es

(g_◦f)−1₌_f−1

◦g−1_.

Demostraci´on. Es un c´alculo directo.

2.4.15. Ejemplo. Las permutaciones. Sea 0₆=n _∈N y A= _{a1, . . . , an} un

conjunto (connelementos). Una permutaci´on del conjuntoAes una biyecci´on

σ:A→A. Las permutaciones se denotan

σ= a1 . . . an σ(a1) . . . σ(an) .

Como ejemplo m´as concreto, si A = _{1,2,3,4,5_} entonces una permutaci´on puede ser σ= 1 2 3 4 5 3 4 5 1 2 .

(28)

Dado un conjunto no vac´ıo Aconnelementos, se denota S(A) el conjunto de las permutaciones deA. En el casoA=_{1, . . . , n_}, por convenci´on se escribe

Sn.

Producto directo

Vamos a ver una extensión de la definición de producto cartesiano (1.4.4) que llamaremos el producto directo. A diferencia del producto cartesiano, el producto directo no implica un orden en las coordenadas. Cuando el conjunto de ´ındices está ordenado, los identificamos, con la idea de extensión del producto cartesiano a un número finito de factores (véase la Observación 1.4.5).

2.4.16. Definici´on. Sea I un conjunto y F =_{Ai}i∈I una familia de

conjun-tos. Se conoce como producto directo de la familia F al conjunto

Y i∈I

Ai ={f :I→ ∪i∈IAi | f(i)∈Ai, ∀i∈I}.

2.4.17. Notaci´on. Los elementos se denotan imitando la escritura de las pa-rejas ordenadas; es decir, sif ∈Qi∈IAi, escribimos f = (xi)i∈I.

Cuando I es finito y se escribe como una lista, escribimos sus elementos repitiendo la lista en los ´ındices. No tenemos que seguir el orden de la lista, pero es conveniente y se acostumbra.

Por ejemplo si I={1, . . . , n}, escribimos

A1× · · · ×An={(x1, . . . , xn) | xi ∈Ai, i= 1, . . . , n}.

En caso de que no se quiera escribir una familia con ´ındices, simplemente se presupone; es decir, a la familia _{A, B, C_} la vemos como _{A1, A2, A3} o

usando cualquier otro conjunto de ´ındices con tres elementos.

2.4.18. Observación. Es importante hacer notar que el producto cartesiano es utilizado como fundamento en la definción de relación y aplicación, as´ı que el producto directo requiere de la definción de producto cartesiano y no puede sustituirlo ni identificarse como tal, aunque exista una biyección entre ellos en el caso de un número finito de factores y usemos la misma escritura, por abuso de notación. 2.4.19. Ejemplos. 1. R2 ₌ {f :{1,2} →R | f(i)∈R, i= 1,2} = {(x1, x2) | xi ∈ R}, el plano habitual. 2. Rn₌ {f :_{1, . . . , n_{} →}R | f(i)_∈R, i= 1, . . . , n_}.

3. Q_n_∈NAn={f :N→ ∪n∈NAn | f(n)∈An}, es un producto infinito.

De-notamos sus elementos tambi´en como f = (x1, x2, . . .).

Ya hemos comentado en la Observaci´on 1.4.5 que el producto cartesiano con m´as de dos factores no es asociativo. El producto directo tampoco lo es, pero

(29)

como conjuntos pueden identificarse. Por ejemplo, existe una biyecci´on entre

A_×(B_×C) y (A_×B)_×C que nos permite escribir A_×B_×C, e identificar (a,(b, c))_↔((a, b), c)_↔(a, b, c).

La comprobación es demasiado laboriosa como para ocuparnos de ella, pero en general depende del siguiente resultado que es mucho más simple. Esta parte la dejamos para los lectores más curiosos.

2.4.20. Proposici´on. Sean I y J conjuntos y F =_{Ai}i∈I y G ={Bj}j∈J

familias de conjuntos. Si existe una biyecci´onσ:I_→J, junto con un conjunto de biyecciones_{fi:Ai→Bσ(i)}i∈I entonces existe una biyecci´onf :Q_i_∈_IAi→ Q

j∈JBj, dada por f(x)(j) =fσ−1₍_j₎ x(σ−1(j)), parax∈Q i∈IAi.

Demostraci´on. N´otese que para cada x _∈ Q_i_∈_IAi y cada j ∈ J, se tiene un

´

unico elemento fσ−1₍_j₎ x(σ−1(j))

, as´ı que la relación es aplicación. Vamos a ver que es biyectiva. Considéreseg :Q_j_∈_JBi →Qi∈IAi, dada por g(y)(i) =

f−1

i (y(σ(i))) (nótese quefi−1:Bσ(i)→Ai). Es claro que también es aplicación.

Se afirma que son inversas. Seax_∈Q_i_∈_IAi. Entonces

g(f(x))(i) =f−1 i (f(x)(σ(i))) =f− 1 i fσ−1₍_σ₍_i₎₎(x(σ−1(σ(i)))) = =f−1 i (fi(x(i))) =x(i).

De forma completamente an´aloga se tiene quef(g(y)) =y. Como tiene inversa, el Teorema 2.4.13 nos asegura quef es biyectiva.

Respecto de la demostración anterior, uno puede comprobar que demostrar, como hicimos, que la aplicaciónf es biyectiva exhibiendo directamente la inversa tiene la misma dificultad que probando que es inyectiva y sobre. La elección ha sido simplemente cuestión de gustos.

Producto directo arbitrario y Axioma de Elecci´on

Como acabamos de ver, el producto directo de dos conjuntos puede rela-cionarse con el producto cartesiano de conjuntos. De aqu´ı se desprende que si tengo una familia finita de conjuntos no vac´ıos, el producto de conjuntos es no vac´ıo. Sin embargo, no podemos establecer directamente del primer cap´ıtulo que el producto arbitrario de una familia de conjuntos no vac´ıos sea no vac´ıo.

Los enunciados que veremos a continuaci´on, son equivalentes. Es f´acil com-probarlo.

2.4.21. Axioma de Elecci´on.

1. SeaIun conjunto arbitrario y{Ai}_i_∈_I una familia. Si cadaAies no vac´ıo

entonces se puede elegir un elemento de cada conjunto. O, equivalentemente

2. SeaIun conjunto no vac´ıo y{Ai}_i_∈_I una familia de conjuntos no vac´ıos.

Entonces el producto directoQ_i_∈_IAi es no vac´ıo.

M´as adelante veremos conexiones muy interesantes entre esta y otras pro-piedades.

(30)

(31)

Cap´ıtulo 3

´

Ordenes en conjuntos

3.1. Conjuntos ordenados

Recordemos que una relaci´on binaria o correspondencia o simplemente rela-ci´on (1.4.9 y 1.4.10) es un subconjunto del producto cartesiano entre dos con-juntos. En este cap´ıtulo nos vamos a referir a cierto tipo de relaciones donde el conjunto inicial y el final, coinciden. Comenzamos con una lista de propiedades que utilizaremos durante todo el texto.

3.1.1. Definici´on. SeaA un conjunto y Runa relaci´on enA. 1. Decimos queR es reflexiva si (a, a)∈R, para todo a∈A.

2. Decimos que R es sim´etrica si para a, b∈ A, cada vez que (a, b)∈R se tiene que(b, a)∈R.

3. Decimos que R es antisim´etrica si dados a, b _∈A tales que (a, b)_∈ R y

(b, a)∈R, se tiene quea=b.

4. Decimos queR es transitiva si, dados a, b, c_∈A, cada vez que (a, b)_∈R

y(b, c)_∈Rse tiene que (a, c)_∈R.

3.1.2. Ejemplo. .

1. Se puede comprobar que si A =_{a, b_} entonces existen 16 relaciones en

A. Un ejercicio puede ser clasificarlas todas. 2. Se pide que se clasifiquen las siguientes relaciones:

a) SeaA=N. DefinimosaRbsi y solo sia+b es par.

b) SeaA=Z. DefinimosaRbsi y solo siayb tienen distinta paridad.

c) SeaA=R. DefinimosaRbsi y solo si 1) a≤b.

2) a₆=b.

(32)

32 CAP´ITULO 3. ´ORDENES EN CONJUNTOS

3) _|a+b_{| ≤}1.

d) Sea A =N. Definimos aRb si y solo si a divide ab (recordemos la notaci´ona|b, que hemos comentado en el Ejemplo 1.4.12(6).

e) SeaCun conjunto arbitrario y A=P(C). Definimos 1) aRbsi y solo sia\b=b\a.

2) aRbsi y solo sia⊆b.

f) SeaA=R2_{. Definimos (}_x

1, x2)R(y1, y2) si y s´olo six1 < y1 o bien, six1=y1 se tiene quex2≤y2.

3.1.3. Ejercicio. La relación que hemos visto en el ejemplo anterior (3.1.2[2f]) es un orden parcial y se conoce como “orden lexicográfico”. Se pide extender la idea de orden lexicográfico en dos direcciones. La primera a cualquier número de coordenadas. La segunda sustituyendo Rpor un conjunto ordenado arbitrario.

3.1.4. Definici´on. SeaA un conjunto.

1. Una relación “≤” enAse dice que es una relación de orden parcial (o un orden parcial) si es reflexiva, antisimétrica y transitiva.

2. Un par(A,≤), dondeAes un conjunto y “≤” es una relaci´on de orden en

A, se dice que es un conjunto parcialmente ordenado (abreviamos COPO). Si el contexto no deja dudas sobre la relaci´on de orden, s´olo escribiremos queA es un conjunto parcialmente ordenado o COPO.

En algunos textos se dice simplemente conjunto ordenado, omitiendo el t´ermino “parcialmente”.

3.1.5. Notaci´on. Sea(A,≤)un conjunto parcialmente ordenado. Para a, b∈

A, escribimos a < bsia≤b y adem´asa6=b (tambi´en se escribeab).

3.1.6. Ejemplos.

1. A=Rcon la relaci´on “menor o igual” usual es un conjunto parcialmente ordenado.

2. A =Ncon la relaci´on dada en el Ejemplo 3.1.2(2d) es un conjunto par-cialmente ordenado.

3. Sea B un conjunto no vac´ıo. Entonces A = P(B) con la relaci´on del Ejemplo 3.1.2(6.b) es un conjunto parcialmente ordenado.

Una propiedad notable de la relación de orden parcial “menor o igual de siempre” en todos los conjuntos de números es que dados dos números, siempre podemos distinguir entre tres posibilidades. Que sean iguales, que uno sea mayor que el otro o viceversa. Vamos a formalizar este concepto en la llamada ley de tricotom´ıa.

3.1.7. Definici´on. Sea(A,_≤)un conjunto parcialmente ordenado.

Decimos que A satisface la ley de tricotom´ıa si, dados a, b_∈A, ocurre una y solo una de las tres condiciones siguientes:

(33)

3.1. CONJUNTOS ORDENADOS 33

3.1.8. Definici´on. Sea(A,_≤)un conjunto parcialmente ordenado.

1. Decimos el orden parcial _≤ es un orden total o lineal, si satisface la ley de tricotom´ıa.

2. En el caso anterior, diremos adem´as que A es un conjunto totalmente o linealmente ordenado.

3.1.9. Ejercicio. Consid´erense los conjuntos parcialmente ordenados dados en los Ejemplos 3.1.6. Se pide decidir cu´ales de ellos son conjuntos totalmente ordenados, razonando la respuesta.

Vamos a ver dos representaciones gr´aficas para conjuntos ordenados. La pri-mera es conocida como los diagramas de Hasse o “upward drawing”, o simple-mente diagrama de grafo de un orden parcial.

Consideremos a, b _∈ (A,_≤), tales que a _≤b, pero a ₆= b; es decir, a < b. Entonces dibujamos una l´ınea hacia arriba que conecte a con b. Lo hacemos con todos los elementos deA(escritos en lista si es finito o en caso infinito, con fórmula cuando sea posible) con la condición de no repetir ningún elemento deA. Además, no escribimos bucles; es decir, no conectamos ningún elemento consigo mismo ni escribimos relaciones que se deduzcan de otras por transitividad.

3.1.10. Ejemplo. SeaC=_{1,2,3_}yA=_P(C) junto con la relaci´on de orden parcial dada por la inclusion (que ya vimos). El diagrama de Hasse asociado es:

{1,2,3_} {1,2_} _{1,3_} _{2,3_} {1_} _{2_} _{3_} ∅ ✟✟✟✟ ✟✟ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍❍ ❍❍ ❍❍ ✟✟✟✟ ✟✟ ✟✟✟✟ ✟✟ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ✟✟✟✟ ✟✟

La otra representaci´on, tambi´en bastante conocida se llama las “ζ-matrices” o matrices de adyacencia. Si tenemos un conjunto (parcialmente) ordenado, se construye entonces la matrizζA con ´ındices en A, tal que

ζa,b= (

1 sia < b

0 otro caso

3.1.11. Ejemplo. Sea, otra vez,C={1,2,3}yA=P(C) junto con la relaci´on dada por la inclusion. La matriz de adyacencia es

(34)

34 CAP´ITULO 3. ´ORDENES EN CONJUNTOS ∅ {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3} ∅ {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3}             0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0            

3.2. Elementos notables en un COPO

Vamos a ocuparnos de algunos elementos notables.

3.2.1. Definici´on. Sea(A,_≤)un conjunto parcialmente ordenado ya_∈A. 1. Decimos queaes m´aximo deA, cuandob_≤apara todob_∈A

2. Decimos quea es el primer elemento o m´ınimo deA, cuandoa_≤b, para todo b_∈A

En el Ejemplo 3.1.10 podemos ver que el máximo {1,2,3} es el que ocupa el extremo superior, mientras que el primer elemento ocupa el extremo inferior. En cambio en el Ejemplo 3.1.11, el máximo tiene toda su columna 1 menos la entrada de él mismo, mientras que el primer elemento es el que tiene toda su fila 1 excepto la entrada de él mismo.

3.2.2. Proposición. Sea(A,≤)un conjunto parcialmente ordenado. Entonces 1. SiAtiene máximo entonces éste es único.

2. SiAtiene primer elemento o m´ınimo entonces éste es único. Demostración. Se deja como ejercicio.

3.2.3. Definici´on. Sea(A,_≤)un conjunto parcialmente ordenado ya_∈A. 1. Decimos que a es un elemento maximal de A cuando se verifica que si

a_≤b entonces b=a

2. Decimos que a es un elemento minimal de A cuando se verifica que si

b_≤aentonces b=a

3.2.4. Ejemplos. Sobre los siguientes conjuntos, vamos a establecer los ele-mentos notables, cuando los haya.

1. A=_n1 | n∈N\ {0} , junto con el orden parcial “menor o igual” habi-tual. El m´aximo es 1 y no tiene primer elemento.

(35)

3.2. ELEMENTOS NOTABLES EN UN COPO 35

2. A = _{n_∈N | nes par_} junto con el orden parcial habitual. No tiene m´aximo. Tiene primer elemento 0.

3. A=N×Njunto con el orden lexicogr´afico. No tiene maximales y el primer elemento es el (0,0).

4. Un intervalo abierto enRcon el orden habitual. No tiene m´aximo, m´ınimo, maximales ni minimales.

5. Un intervalo cerrado enRcon el orden habitual. El extremo de la izquierda es el minimo y el de la derecha es el m´aximo.

6. A = _{a_·N | 1₆=a_∈N}, junto con la inclusi´on. Si a es primo positivo entoncesa_·Nes maximal. No hay minimales si se consideraa₆= 0; en otro caso,A=_{0_} es m´ınimo.

7. A = N\ {0,1_}, junto con la divisibilidad. No tiene maximales. Tiene minimales: todos los primos.

8. Sea C=_{1,2,3_} yA=_P(C)_{\ {}C_}, junto con la inclusi´on. EntoncesA

tiene primer elemento y tiene maximales, pero no tiene m´aximo.

3.2.5. Definici´on. Sea (A,_≤) un conjunto parcialmente ordenado,B _⊆A un subconjunto y c_∈A.

1. Decimos quec es una cota superior deB enA sib_≤c, para todob_∈B

2. Decimos quec es una cota inferior de B en Asic_≤b, para todob_∈B

En los ejemplos de (3.2.4) se tiene: En (1),Apuede verse contenido enQy as´ı, 0 es cota inferior y todo racional q_≥1 es cota superior. En (2), A puede verse contenido en N y as´ı, el 0 es cota inferior (y primer elemento). En (3) (0,0) es cota inferior y primer elemento, tambi´en. En (4) y (5) A puede verse contenido en Ry as´ı, todos los menores o iguales que el extremo izquierdo del intervalo son cotas inferiores, mientras que los mayores o iguales al extremo derecho del intervalo son cotas superiores. En (6) A puede verse contenido en

A_{∪ {}N,_∅}y as´ı, se tiene que Nes cota superior y_∅ es cota inferior. En (7),A

puede verse contenido enNy as´ı, el 1 es cota inferior y el 0 es cota superior. En (8),A puede verse contenido en_P(C) y as´ı, el_{1,2,3_}es cota superior.

3.2.6. Definici´on. Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado,B ⊆A un subconjunto y c∈A.

1. Decimos que c∈A es el supremo (o extremo superior) deB enAsi es el m´ınimo del las cotas superiores deB enA.

2. Decimos que c ∈ A es ´ınfimo (o extremo inferior) de B en A si es el m´aximo de las cotas inferiores de B en A.

3.2.7. Ejemplos. En los siguientes ejemplos vamos a establecer si existen el supremo e ´ınfimo de cada uno.

(36)

36 CAP´ITULO 3. ´ORDENES EN CONJUNTOS

1. A = 1

n | n∈N ⊂ Q, junto con el orden habitual. El m´aximo y el

supremo es 1. El ´ınfimo es 0.

2. A = _{n_∈N | nes par_{} ⊂} N junto con el orden habitual. El ´ınfimo y primer elemento 0.

3. El intervalo (a, b)_⊂R. Supremobe ´ınfimoa.

4. El intervalo [a, b] _⊂ R. Supremo b e ´ınfimo a y adem´as son m´aximo y m´ınimo, respectivamente.

El siguiente resultado nos muestra por qu´e podemos decir el supremo e ´ınfimo, en vez deun supremo o ´ınfimo.

3.2.8. Proposici´on. Sea (A,_≤) un conjunto parcialmente ordenado yB _⊆A

un subconjunto, con el orden de A. SiB tiene supremo (o ´ınfimo) enA´este es ´

unico.

Demostraci´on. Se deja como ejercicio.

3.2.9. Proposici´on. Sea (A,_≤) un conjunto parcialmente ordenado yB _⊆A

un subconjunto, con el orden de A.

1. Sib∈B es un m´aximo (o m´ınimo) entoncesb es tambi´en el supremo (o ´ınfimo) deB en A.

2. Sia_∈A es supremo (´ınfimo) de B en A ya_∈B, entonces aes m´aximo (m´ınimo) deB.

Demostraci´on. Se deja como ejercicio.

3.3. Conjuntos bien ordenados.

Es inmediato comprobar que los números naturales, enteros, racionales y reales son conjuntos con orden total o lineal. Sin embargo, existe una gran diferencia entre el orden de los números naturales y los enteros y los otros dos; a saber, que podemos establecer el antecesor y el sucesor de cualquier número entero (excepto el antecesor del 0 en los naturales). Vamos a describir este fenómeno en el lenguaje de los conjuntos ordenados, estableciendo el concepto de conjunto bien ordenado.

3.3.1. Definici´on. Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado. Diremos que es bien ordenado si todo subconjunto no vac´ıo deAtiene un m´ınimo

3.3.2. Proposici´on. Todo conjunto bien ordenado es totalmente ordenado. El rec´ıproco no se verifica.

Demostraci´on. Supongamos que un conjunto A es bien ordenado y considero dos elementos a y b, de A. Consideramos el subconjunto B = {a, b} de A. Como B no es vac´ıo, tiene primer elemento. De ah´ı se desprende la tricotom´ıa trivialmente.