Gu´ıa N
◦3 de Matem´
atica I
Profesor Iv´an Sz´ant´o Narea
Ayudante Patricio Guzm´an Mel´endez
1.
Progresiones
(1.1) Determine xde modo que los n´umeros 7, xy 252 sean tres t´erminos consecutivos de una progresi´on
geom´etrica.
(1.2) Una expedici´on avanza 20km el primer d´ıa, de ah´ı en adelante, cada d´ıa avanza 4km m´as que el d´ıa
anterior. ¿Cu´antos d´ıas demoran en avanzar 504km?
(1.3) En cierto cultivo, las bacterias se duplican cada 20 minutos. ¿Cu´antas veces el n´umero original de
bacterias hay en el cultivo al cabo de 2 horas? Suponga que ninguna bacteria muere.
(1.4) El primer d´ıa se entrena 7 minutos y cada d´ıa siguiente se entrena el doble que el d´ıa anterior. ¿Cu´anto
tiempo se habr´a entrenado en una semana?
(1.5) Encuentre tres n´umeros que est´en en progresi´on aritm´etica tales que sumen 24 y que su producto sea
440.
(1.6) En una progresi´on aritm´etica, los t´erminos que ocupan los lugares 54 y 4 son−61 y 64 respectivamente. Hallar el primer t´ermino de la progresi´on, la raz´on y el t´ermino que ocupa el lugar 23.
(1.7) En una progresi´on geom´etrica el primer t´ermino es 7 y el ´ultimo t´ermino es 448. Si la suma de los
t´erminos es 889 ¿cu´al es la raz´on?
(1.8) La suma de cuatro n´umeros, que est´an en progresi´on aritm´etica, es 48. Si el producto de los extremos
es al producto de los medios como 27 es a 35, determine los n´umeros.
(1.9) En una progresi´on geom´etrica los tres primeros t´erminos suman−6. Si al segundo t´ermino se le resta 9 resulta una progresi´on aritm´etica. Determinar ambas progresiones.
(1.10) Hallar tres n´umeros cuya suma sea 21 y que est´en simult´aneamente en progresi´on aritm´etica y
ge-om´etrica.
(1.11) Determinar tres n´umeros reales de modo que est´en en progresi´on geom´etrica y que su producto sea
Resuelva la ecuaci´on 4x3−24x2+ 23x+ 18 = 0 sabiendo que sus ra´ıces est´an en progresi´on aritm´etica.
(1.14) Diego, Patricio y Andr´es se reparten un premio de $210,000. La cantidad que recibe cada uno es
proporcional a su edad. Las edades de estas personas est´an en progresi´on geom´etrica, y se sabe que Diego es
menor que Patricio y Patricio es menor que Andr´es. Si Patricio tiene 6 a˜nos y Diego recibe $30,000 ¿cu´anto
recibe cada uno? ¿qu´e edad tiene cada uno?
(1.15) El t´ermino de lugarpde una progresi´on aritm´etica esq, y el t´ermino de lugarqesp. Hallar el t´ermino
de lugarn.
(1.16) SeaSnla suma de losnprimeros t´erminos de una progresi´on aritm´etica. Encuentre los primeros cuatro
t´erminos si se sabe queSn= n2
4 −n.
(1.17) Sean {a1, . . . , an} y{b1, . . . , bn}dos progesiones aritm´eticas con diferenciasd1 yd2 respectivamente. Si sabemos que
n X
i=1
ai= 2
n X
i=1
bi
2.
Inducci´
on
En esta secci´on se presenta el Principio de Inducci´on la cual ser´a aplicado para demostrar proposiciones v´ıa
Inducci´on Matem´atica.
(Principio de Inducci´on) Este principio establece que siS ⊆Nque cumple con:
(i) 1∈S.
(ii) n∈S ⇒(n+ 1)∈S.
entoncesS=N.
(2.1) Definiendo un conjuntoS, y utilizando el Principio de Inducci´on, muestre que (5n+ 2) es divisible por
3 si n∈ {2,5,8,11,14, . . .}.
Una de las principales aplicaciones del Principio de Inducci´on es la demostraci´on de proposiciones v´ıa
Induc-ci´on Matem´atica.
(Inducci´on Matem´atica) Seap(n),n∈N, una proposici´on l´ogica. Suponga que
(i) p(1) es verdadera.
(ii) Sip(n) es verdadera entoncesp(n+ 1) es verdadera.
entoncesp(n) es verdadera ∀n∈N.
Para aplicar lo anterior, primero hay que definir la proposici´on l´ogicapque se desea demostrar.
(2.2) Definiendo el conjuntoS ={n∈N/ p(n) es verdadera}, y utilizando el Principio de Inducci´on,
justi-fique la Inducci´on Matem´atica.
(2.3) Utilizando inducci´on, muestre que∀n∈Nse cumple que:
(a) 1 + 2 + 3 +. . .+n= n(n+ 1)
2 (b) 1 + 4 + 7 +. . .+ (3n−2) =
n(3n−1) 2
(c) 6 + 20 + 34 +. . .+ 2(7n−4) =n(7n−1) (d) 5 + 3 + 1 +. . .+ (7−2n) =n(6−n)
(e) 12+32+52+. . .+(2n−1)2=n(4n 2−1) 3
(2.4) Utilizando inducci´on, muestre que∀n∈Nse cumple que:
(2.5) Utilizando inducci´on, muestre que∀n∈Nse cumple que:
(a) 1 1·2+
1
2·3 +. . .+ 1
n·(n+ 1) =
n n+ 1
(b) 1 1·2·3 +
1
2·3·4+. . .+
1
n·(n+ 1)·(n+ 2) =
n(n+ 3) 4(n+ 1)(n+ 2)
(2.6) Utilizando inducci´on, muestre que n 2 <1 +
1 2 +
1
3 +· · ·+ 1
2n−1 ≤nes v´alida∀n∈N.
(Inducci´on Matem´atica) Seap(n),n∈N, una proposici´on l´ogica. Sean0∈Ny suponga que:
(i) p(n0) es verdadera.
(ii) Sip(n),n≥n0, es verdadera entoncesp(n+ 1) es verdadera.
entoncesp(n) es verdadera ∀n∈Ntal quen≥n0.
(2.7) Definiendo el conjuntoS={n∈N/ p(n0+n−1) es verdadera}y utilizando el Principio de Inducci´on, justifique la Inducci´on Matem´atica.
(2.8) Demuestre utilizando inducci´on que:
(a) La desigualdadn2≥6n+ 5 es v´alida∀n∈
Ntal quen≥n0 para cierton0∈N.
(b) (2n−1) es divisible por 3∀n∈
Nconn≥2 y par.
(2.9) Demuestre utilizando inducci´on que:
(a) La desigualdad 5n > n2+ 25 es v´alida∀n∈
Ntal quen≥n0para cierton0∈N.
(b) La desigualdad 2n > n2 es v´alida∀n∈Ntal que n≥n0 para cierton0∈N.
(c) La desigualdad 2n > n3 es v´alida∀n∈
Ntal que n≥n0 para cierton0∈N.
(2.10) Demuestre utilizando inducci´on que:
(a) Para cierton0∈Nse tiene que
n
2n <
2
n−1 ∀n∈Ntal quen≥n0.
(b) Para todo n´umero natural mayor o igual que 2 se cumple √1
1+ 1
√
2+· · ·+ 1
√
n >
√
3.
Sumatorias
(3.1) Desarrolle:
(a) Encuentre la suma de los n´umeros naturales de 100 a 1000 que sean m´ultiplo de 5.
(b) Encuentre la suma de los primeros nt´erminos de la sucesi´on 7,77,777,7777, . . .
(3.2) Para n∈Nconsidere las siguientes f´ormulas:
(a)
n X
k=1
k=n(n+ 1)
2 (b)
n X
k=1
k2= n(n+ 1)(2n+ 1) 6
(c)
n X
k=1
k3=n
2(n+ 1)2
4 (d)
n X
k=1
k4= n(n+ 1)(2n+ 1)(3n
2+ 3n−1) 30
Deduzca cada una de las f´ormulas.
(3.3) Para n∈Nconsidere las siguientes f´ormulas:
(a)
n X
k=1 1
k(k+ 1) =
n
n+ 1 (b)
n X
k=1
1
k(k+ 1)(k+ 2) =
n(n+ 3) 4(n+ 1)(n+ 2)
Deduzca cada una de las f´ormulas. Notar que estas f´ormulas fueron demostradas utilizando el Principio de
Inducci´on en el problema (2.5).
(3.4) Para n∈Nconsidere la f´ormula:
n X
k=1
2k+ 1
k2(k+ 1)2 =
n(n+ 2)
(n+ 1)2 (1)
(a) Deduzca la f´ormula (1).
(b) Utilizando inducci´on muestre que (1) es v´alido∀n∈N.
(c) Sines un n´umero muy grande, ¿a qu´e valor tiende la suma?
(3.5) Para n∈Nya6= 1 considere las f´ormulas:
S1=
n P
k=1
kak , S
2=
n P
k=1
k2ak
(a) DeduzcaS1.
(b) DeduzcaS2 en t´erminos deS1.
