LECCION 1 - Induccion y estructuras inductivas

(1)

L´

ogica matem´

atica, UNAL-Med 2017-1

Lecci´

on 1: Inducci´

on y estructuras inductivas

1

La lógica matemática es el estudio matemático de los lenguajes formales, de su capacidad com-putacional y expresiva. Al hacer lógica matemática nuestro razonamiento se mueve siempre en dos diferentes niveles. Por un lado debemos hacer uso de principios e intuiciones matemáticas que no parecen tener justificación lógica. Por otro lado, vamos a establecer métodos precisos análogos a los del razonamiento matemático, pero en el contexto riguroso de los lenguajes formales.

Por ejemplo: para definir los lenguajes formales partimos de ciertas intuiciones matemáticas que nos vemos obligados a considerar a priori. La primera, la existencia y propiedades elementales de ciertos conjuntos, pues necesitaremos del conjunto de los números naturales, del conjunto{V, F}de los valores de verdad y falsedad, del conjuntoA de s´ımbolos de un alfabeto y del conjuntoS+_(A) de palabras formadas por s´ımbolos. Esto no significa que estemos presuponiendo alguna teor´ıa formal de conjuntos o de la aritmética, nociones que precisamente vamos a introducir a lo largo del curso. La diferencia entre los objetos de la matemática y sus interpretaciones como modelos de los lenguajes formales, es uno de los problemas más sutiles del conocimiento, y no tendremos otro camino que ir descubriendola poco a poco a través del estudio.

1 Inducci´

on matem´

atica sobre los n´

umeros naturales

N={0,1,2,3,4, . . .}

Cada número, excepto el cero se obtiene del anterior mediante la operación “agregar uno” o “tomar el sucesor”. De esta manera el 0 es la semilla que, usando la operación “tomar el sucesor” permite construir todos los números naturales.

Definici´on 1 Consideramos los siguientes objetos, que hacen parte del lenguaje de las matem´aticas elementales.

• El conjunto de los valores de verdad es el conjunto de dos elementos{V, F}. Los ele-mentos V y F son s´ımbolos que representan laverdady falsedad respectivamente.

• Unaproposición matemáticaes una afirmación que es susceptible únicamente de ser ver-dadera (V) o falsa (F) sin ninguna ambiguedad. Las proposiciones se identifican con su valor de verdad, por ejemplo si

ϕ=“7 es primo” ψ=“5 es m´ultiplo de 3” escribimos ϕ=V yψ=F. Es decir, ϕes verdadero yψ es falso.

• Una propiedad de los números naturales es una función ϕ que a cada número natural le asigna una proposición. Como las proposiciones se identifican con su valor de verdad (V

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o F) podemos abstraer esta noción a una funciónϕ:_N→ {V, F}, que asigna a cada número naturaln el valor de verdad de la proposiciónϕ(n). Por ejemplo, si tomamos

ϕ(n) =“n es un n´umero par”

entonces ϕ(0) =V,ϕ(1) =F,ϕ(2) =V,. . . y as´ı sucesivamente.

Afirmación 2 (Principio de inducción sobre los naturales) Consideremos ϕuna propiedad de los números naturales. Si se verifica:

(a) ϕ(0)es verdad.

(b) Para cualquier n≥1, si asumimos que ϕ(0), . . . , ϕ(n−1) son ciertos, puede mostrarse que queϕ(n)tambi´en es cierto.

Entoncesϕ(n)es cierto para cualquier n.

Ejercicios

1. De dos ejemplos de procesos inductivos en la naturaleza.

2. Muestre por inducci´on: (a) Para todon≥1:

n X

i=0

i2=n(n+ 1)(2n+ 1)

6 .

(b) Para todon≥1:

1 2+

1 4 +

1

8 +. . .+ 1 2n <1

3. Muestre por inducci´on:

(a) El n´umero de regiones del plano delimitadas pornl´ıneas rectas que se cortan dos a dos, pero nunca tres de ellas, es:

n(n+ 1) 2 + 1.

(b) Es posible colorear las regiones delimitadas en el plano por cualquier n´umero de rectas con solo dos colores, de manera que regiones colindantes tengan siempre distinto color (se entiende que el borde de regiones colindantes debe coincidir al menos a lo largo de un segmento, no solo en un punto).

4. ¿Qu´e es incorrecto en el siguiente argumento?

Teorema: Si un conjunto finito contiene un n´umero real, entonces es un conjunto de n´umeros reales.

Prueba: Por inducción sobre el tamaño del conjunto. Claramente es cierto para conjuntos de tamaño uno. Supongamos que el teorema es cierto para conjuntos connelementos. Fijemos un conjuntoAconn+ 1 elementos,A={a1, . . . , an+1}y supongamos quea1es un número real. Entonces, los conjuntosA0 ={a1, . . . , an}yA00={a1, . . . , an−1, an+1} tienennelementos, y

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5. ¿Qu´e es incorrecto en el siguiente argumento?

Teorema: Para cualquier conjunto finito de puntos del plano hay una recta que pasa por todos ellos.

Prueba: Por inducción sobre el número de puntos. El teorema es claramente cierto para uno o dos puntos. Supongamos que el teorema es cierto paranpuntos. Consideremosn+ 1 puntos distintos, p1, . . . , pn+1. por hipótesis de inducción los puntos p1, . . . , pn yacen sobre una recta L1, y los puntosp1, . . . , pn−1, pn+1 yacen sobre una rectaL2. Los puntos p1 yp2 pertenecen tanto a la recta L1 como a la recta L2, por tanto debe ser L1 =L2 y los n+ 1 puntosp1, . . . , pn+1 yacen sobre dicha recta.

2 Estructuras inductivas

Vamos a considerar los siguientes objetos

• Un conjuntoD, que ser´a el universo dentro del cual se define la estructura inductiva. Cuando la estructura inductiva sea unlenguaje formalentonces consideraremos un alfabetoA, que es un conjunto de s´ımbolos, y D ser´a S+_{(A) el conjunto de todas las palabras finitas que} pueden formarse con dichos s´ımbolos.

• B un subconjunto deDal que nos referiremos como el conjunto debloquesde la estructura inductiva.

• K un conjunto de operadores enD. Cada elementof ∈Kes una funci´on: f:D ×. . .× D → D.

Si el n´umero de argumentos de f esn, decimos quef es un operadorn-ario. Denominando Kn al conjunto de los operadoresn-arios deK tenemos,

K=K1∪K2∪. . .∪Kn∪. . .

Definici´on 3 Consideremos B y K bloques y operadores. La estructura inductiva C(B, K) es el subconjunto deDdefinido por las siguientes reglas:

(a) B⊆ C(B, K), todo bloque es parte de la estructura inductiva.

(b) SiF ∈Kes un operadosn-ario yc1, . . . , cn son elementos de la estructura inductiva, entonces F(c1, . . . , cn)tambi´en es un elemento de C(B, K).

(c) Todo elemento de C(B, K)verifica el punto (a) o el punto (b).

Ejemplo 4 Consideremos D = _N, y s: _N → N la operaci´on sucesor que hace s(n) = n+ 1.

EntoncesC({0},{s})es una estructura inductiva para el conjunto de los n´umeros naturales.

Ejemplo 5 Sea D=S+_(A)_con _A₌_{{a, b,}_[,_],_·}_{. Consideramos la funci´}_{on binaria:} f: D × D → D, (x, y)7→[x·y]

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Una forma de expresar la formación (o una posible formación) de un elemento de la estructura inductiva a partir de bloques y operadores es elárbol de sintáxis. Dicho árbol no es otra cosa que una notación para la escritura del elemento como una composición finita de operadores aplicados a bloques. Por ejemplo, el árbol de sintaxis de [a·b] =f(a, b) es:

f

a b

Y el ´arbol de sintaxis de [[[a·b]·b]·[b·b]] =f(f(f(a, b), b), f(b, b)) es: f

f f

f b b b

a b

Este ejemplo tiene una propiedad interesante: a cada elemento de la estructura inductiva le corre-sponde un único árbol de sintaxis, lo que se conoce como la propiedad de lectura única.

Definición 6 Una estructura inductiva C(B, K)verifica lapropiedad de lectura únicasi cada elemento deC(B, K)tiene un único árbol de sintaxis. Es decir, para cualquier elementoc∈ C(B, K)

se verifica una y solo una de las siguientes condiciones:

(a) c es un bloque, es decirc∈B.

(b) Existe un ´unico operador f ∈ K y ´unicos elementos c1, . . . , cn ∈ C(B, K) tales que c = f(c1, . . . , cn).

Ejemplo 7 Consideremos ahoraD=S+(A)conA={a, b,·}y la funci´on binaria:

f:D × D → D, (x, y)7→x·y

Elementos deC({a, b},{f})son: a,b,a·a,a·b,b·b,a·a·a, ...

Al eliminar los paréntesis la situación es diferente, y no se verifica la propiedad de lectura única. Por ejemplo, la palabraa·b·atiene dos árboles de sintaxis diferentes:

f

a f

b a

f

f a

(5)

Ejercicios:

6. De una estructura inductiva (bloques y operadores) que permita describir el conjunto{2,5,8,11,14, . . .}.

7. ConsideremosX=S+_({0,_{1}) el conjunto de secuencias finitas de s´ımbolos 1 y 0; el conjunto} de bloquesB={00,01,10,11}; el conjunto de operadoresK1={F1, F2, F2, F4} definidos:

F1(x) = 0x0, F2(x) = 0x1, F3(x) = 1x0, F4(x) = 1x1; yK2={G1, G2, G3, G4} el conjunto de operadores:

G1(x) = 00x, G2(x) = 01x, G3(x) = 10x, G4(x) = 11x. Muestre queC(B, K1) =C(B, K2) y describa dicho conjunto.

2.1 Principio de inducci´

on

Definición 8 Llamaremos unapropiedad deC(B, K)a una función que a cada elementocde la estructura le asigna una proposición matemática. Dichas proposiciones se identifican con su valor de verdad, de manera que una propiedad deC(B, K)puede entenderse como una función:

P:C(B, K)→ {V, F}.

Definici´on 9 Decimos que la estructura inductiva C(B, K) preserva la propiedad P si para cualquier operadorn-ariof ∈Ky cualesquierac1, . . . , cn∈ C(B, K)de la veracidad deP(c1),. . .,P(cn)

puede deducirse la veracidad deP(f(c1, . . . , cn)).

Afirmaci´on 10 (Principio de inducci´on) SeaPuna propiedad de la estructura inductivaC(B, K). Si se tiene:

(a) Para cada bloqueb∈B,P(b)es verdadero. (b) C(B, K)preserva la propiedad P.

Entonces para cadac∈ C(B, K)es verdadP(c).

Ejercicios:

8. SeaPuna propiedad definida enL0el lenguaje del c´alculo de predicados, es decir una funci´on L0→ {V, F}. Supongamos que para cualquierαenL0 se verifica:

Si todo β∈ L0 cuya longitud es menor que que la deαverificaP entonces αverificaP. Muestre que todo α verifica P si y solo s´ı todos los s´ımbolos de proposiciones elementales verificanP.

9. Muestre que la estructura inductivaC({0},{s}) de los n´umeros naturales satisface la lectura ´

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3 El lenguaje del c´

alculo proposicional

Consideremos el siguiente alfabeto:

A={(,),¬,∧,∨,→,↔,|, A0, A1, A2, A3, . . .} formado por los siguientes s´ımbolos:

(a) Los par´entesis ( y ).

(b) El s´ımbolo¬que es uns´ımbolo de operador l´ogico. (c) Los s´ımbolos ∧,∨,→,↔,|que sonconectivos l´ogicos.

(d) Los s´ımbolosA0, A1, A2, . . .uno por cada n´umero natural, que reciben el nombre des´ımbolos de proposici´on elemental.

Consideraremos como bloques a todos los s´ımbolos de proposici´on elemental: B={A0, A1, A2. . .}

Definiremos los operadores l´ogicosK={f¬, f∧, f∨, f→, f↔, f|}de la siguiente manera:

(a) f¬ es un operador unitario:

f¬:S+(A)→S+(A), x7→f¬(x) = (¬x).

(b) Para cada conectivo l´ogico @,f@ es un operador binario:

f@:S+(A)×S+(A)→S+(A), (x, y)7→f@(x, y) = (x@y).

Definición 11 El lenguaje formalC(B, K)formado con los bloques y operadores anteriores recibe el nombre de lenguaje del cálculo proposicional y se denota por L0. Los elementos de L0 se llaman proposiciones, sentencias o fórmulas deL0.

En los ´arboles de sintaxis, y para no recargar la notaci´on, es habitual denotar los operadoresf¬

yf@ directamente por el s´ımbolo l´ogico correspondiente. Es decir, el ´arbol de sintaxis de (A1∧A2) es:

∧

A1 A2

y el de la f´ormula (¬A1)∧(A1∨(¬A2)) es: ∧

¬ ∨

A1 A1 ¬

(7)

3.1 Lectura ´

unica en

L

0

Nuestro pr´oximo objetivo es mostrar que el lenguaje formal L0 satisface la propiedad de lectura ´

unica. Para ello necesitamos mostrar algunos resultados previos que pueden mostrarse facilmente por inducci´on sobre las f´ormulas.

Lema 12 Sea ϕ∈ L0 una fórmula. El número de ocurrencias de “(” en ϕes igual al número de ocurrencias de “)”.

Prueba. Por inducción sobre las fórmulas. Siϕes un bloque, entoncesϕ=Any no tiene ningún paréntesis izquierdo o derecho. Veamos que la estructura inductiva de L0 preserva la propiedad “tener el m´ısmo numero de paréntesis izquierdos que derechos.”

(a) El operadorf¬preserva propiedad, pues siψtiene el mismo n´umerokde par´entesis izquierdos

y derechos, entoncesf¬(ψ) =¬(ψ) tiene exactamentek+ 1 par´entesis izquierdos y derechos.

(b) Los operadoresf@ también preservan esta propiedad. Si ψ yχ son fórmulas que tiene cada una de ellas el mismo número de paréntesis izquierdos que derechos, por ejemplo k y r re-spectivamente, entoncesf@(ψ, χ) = (ψ@χ) tiene exactamentek+r+ 1 paréntesis izquierdos y derechos.

Lo que concluye la prueba.

Definici´on 13 Sean α, β ∈ S+(A) dos secuencias finitas de s´ımbolos. Decimos que α es un segmento inicial de β si hay una secuenciaγ tal queαγ =β.

Lema 14 Sea ϕ una f´ormula de L0. En todo segmento inicial α de ϕ hay estrictamente m´as ocurrencias de “(” que de “)”.

Prueba. Por inducci´on sobre las f´ormulas. Los bloquesAi no tienen segmentos iniciales luego no hay nada que mostrar. Veamos que los operadores deK respetan la propiedad del enunciado.

(a) Supongamos ϕ= (¬ψ). Todo segmentoαinicial deϕes de una de las siguientes formas: (a.1) α= (.

(a.2) α= (¬.

(a.3) α= (¬β, donde β es un segmento inicial deψ. (a.4) α= (¬ψ.

En los casos (a.1), (a.2),(a.4) es claro que hay una ocurrencia más de “(” que de “)”. Asum-iendo, por hipótesis de inducción, que en cualquier segmento inicial deψhay más ocurrencias de “(” que de “)” tenemos esta misma situación se dá en el caso (a.3).

(b) Supongamosϕ= (ψ@χ). Todo segmentoαinicial deϕes de una de las siguientes formas: (b.1) α= (.

(b.2) α= (β, dondeβ es un segmento inicial deψ. (b.3) α= (ψ.

(8)

(b.5) α= (ψ@β, donde β es un segmento inicial deχ. (b.6) α= (ψ@χ.

Asumiendo que el enunciado del lema se verifica paraψyχ, se comprueban con facilidad cada uno de los casos, lo que concluye la demostraci´on.

Lema 15 Ningún segmento inicial de una fórmula deL0 es también un fórmula deL0.

Prueba. Seaϕuna fórmula deL0. Supongamos ϕ=αβ. Por el lema 14 hay más ocurrencias de “(” que de “)” enα, y por el lema 12,αno es una fórmula.

Podemos por fin enunciar el teorema de lectura ´unica de las f´ormulas deL0:

Teorema 16 Sea ϕ una f´ormula de L0. Entonces se verifica una y solo una de las siguiente condiciones:

(a) ϕes una proposici´on elemental.

(b) Existe una ´unica ψ∈ L0 tal queϕ= (¬ψ).

(c) Existe un único conectivo lógico@∈ {∧,∨,←,↔,|}y un únicas fórmulasψ y χ enL0 tales

queϕ= (ψ@χ).

Prueba. Por serL0 una estructura inductiva, es claro que para cualquier fórmula ϕ, es cierto que debe darse el caso (a), (b) o (c) pero sin la unicidad expresada en el enunciado del teorema. Es solamente necesario probar que el modo de expresarϕa través de operaciones lógicas es único. Habr´ıa entonces tres posibles casos de no unicidad:

(1) ϕ= (¬ψ) = (χ@θ) con @ un conectivo l´ogico. (2) ϕ= (¬ψ) = (¬χ).

(3) ϕ= (ψ@χ) = (θω) con @,conectivos l´ogicos.

Si se da el caso (1) tenemos ¬ψ =χ@θ) luego el primer s´ımbolo de χ es el s´ımbolo ¬. Pero por otro lado, el primer s´ımbolo de todas las fórmules es un paréntesis. Luegoχno podr´ıa ser una fórmula, y este caso no podr´ıa darse.

En el caso (2), tenemos eliminando los par´entesis queψ=χ.

En el caso (3) tenemosψ@χ=θω. Tenemos que, o biénψ=θ, o biénψes un término inicial deθ, o biénθes un término inicial deψ. Por el lema 15 estos dos últimos casos no pueden darse, y por tantoψ=θ. The ah´ı @ =yχ=ω. Lo que concluye la prueba.

Las propiedades de un lenguaje dependen no solamente del conjunto de las f´ormulas, sino tambi´en de la estructura inductiva que se considera para construirlas. Por ejemplo, podemos construir S+({∗}) el conjunto de las secuencias de astericos, que podemos interpretar como los naturales positivos, de dos maneras diferentes:

• Mediante el operador unitario s:S+({∗})→ S+({∗}) que consiste en agregar un asterisco. EntoncesC({∗},{s}) es un lenguaje formal con la propiedad de lectura ´unica.

(9)

3.2 Sobre el rol de los par´

entesis en

L

0

Si construiyeramos el lenguajeL0 de la misma manera, pero omitiendo todos los paréntesis de las fórmulas, obtendr´ıamos un lenguaje sin la propiedad de la lectura única.

Eso no significa que el uso de los paréntesis sea necesario desde el punto de vista teórico. Los paréntesis han sido necesarios para respetar la notación tradicional de representar las operaciones lógicas binarias a través de conectivos. Es posible considerar un alfabeto reducido:

Apre₌_{¬,_∧,_∨,_→,_↔,_{|, A}

0, A1, A2, A3, . . .}

Donde de nuevo consideraremos como bloques a todos los s´ımbolos de proposici´on elemental: B={A0, A1, A2. . .}

Pero los operadores l´ogicosKpre₌_{g

¬, g∧, g∨, g→, g↔, g|} de la siguiente manera:

(a) g¬ es un operador unitario:

g¬:S+(A)→S+(A), x7→g¬(x) =¬x.

(b) Para cada conectivo l´ogico @,g@ es un operador binario:

g@:S+(A)×S+(A)→S+(A), (x, y)7→f@(x, y) = @xy.

En este caso, el lenguaje Lpre₀ =C(B, Kpre_{) tambi´}_{en satisface la propiedad de lectura ´}_{unica, y} es a todos los efectos, equivalente al lenguajeL0. Probar este hecho es ligeramente más laborioso que la demostración del teorema 16 (también puede hacerse probando primero la validez del lema 15 enLpre₀ ) y queda como un desaf´ıo al estudiante.

Ejercicios:

10. Muestre que ninguna proposici´on deL0tiene dos conectivos l´ogicos consecutivos.

11. Supongamos que omitieramos todos los par´entesis derechos de todas las f´ormulas proposi-cionales.

(a) Da una definici´on inductiva de dicho nuevo lenguaje. (b) Prueba que satisface lectura ´unica.

4 Definiciones inductivas

Sea X un conjunto. Es posible definir funciones f: _N → X de forma inductiva, utilizando una condici´on inicialf(0) y una funci´onF:X →X.

Lema 17 (Definición por inducción) Consideremos una función F: X → X y un elemento

f0∈X. Existe una ´unica funci´onf:N→X que satisface:

(

f(0) =f0,

(10)

Prueba. Para cada natural n diremos que una función f∗:{0,1, . . . , n} → X es “buena” si verifica las ecuaciones (*) en su dominio de definición. Es fácil mostrar por inducción sobre los naturales que para cada n hay una única función “buena” definida en {1, . . . , n} y que dos funciones “buenas” coinciden en la intersección de sus dominios de definición. Finalmente, para cadannatural se tomaf(n) como el valor de cualquier función “buena” definida enn.

Decimos que las ecuaciones (*) son la definici´on inductiva de la funci´on f. por ejemplo, las ecuaciones:

  

 

p(0) = 0,

p(n+ 1) = (

0 si p(n) = 1, 1 si p(n) = 0 es una definici´on inductiva de la funci´on:

p(n) = (

0 sines par 1 sines impar

La definición por inducción sobre los números naturales puede generalizarse un poco de la forma siguiente.

Lema 18 (Definición por inducción generalizada) Consideremos una función F:N×X →

X y un elementof0∈X. Existe una ´unica funci´on f:N→X que satisface:

(

f(0) =f0,

f(n+ 1) =F(n, f(n))para todon≥1. (**)

Prueba. Id´entica a la del lema 17.

Nota: En un contexto geométrico, las definiciones por inducción son las órbitas de los sistemas dinámicos autónomos, y las definiciones por inducción generalizada son lás órbitas de los sistemas dinámicos no autónomos.

La noción de definición por inducción sobre los naturales puede generalizarse a la de definición por inducción sobre una estructura inductiva con la propiedad de lectura única.

Lema 19 (Definición por inducción sobre una estructura) Sea C(B, K) una estructura in-ductiva que satisface la propiedad de la lectura única. ConsideremosX un conjunto, y

(a) Una funci´onf0:B→X

(b) Para cada operador g∈K, si este esn-ario, una funci´onFg:Xn→X.

Entonces existe una ´unica funci´on f:C(B, K)→ X que para cada b ∈ B, cada g ∈ K operador

n-ario yc1, . . . , cn∈ C(B, K) satisface: (

f(b) =f0(b),

(11)

Ejercicios:

12. SeaA={a, b, c} un conjunto de tres s´ımbolos.

(a) Sea S+(A) el conjunto de las secuencias finitas en A. Consideramos los operadores Fa(x) =xa,Fb(x) =xb yFc(x) =xc. Tenemos entonces,C(A,{Fa, Fb, Fc}) =S+(A). Muestre que dicha estructura satisface lectura ´unica.

(b) De una definici´on inductiva de laconcatenaci´onen la estructura inductiva del punto (a). (c) Define“xes un segmento inicial dey” de forma inductiva, y usando (b).

13. Muestre que el número de bloques de una proposición es uno más que el número de conectivos lógicos binarios.

14. ¿Cual es el significado de las funciones en L0 cuyas definiciones inductivas son (An es un bloque cualquiera,α, β proposiciones cualquiera, y @ var´ıa en{∧,∨,→,↔,|}) :

(a)

F(An) = 0,

F((α@β)) = F(α) +F(β) + 1 F((¬α)) = F(α) + 1.

(b)

G(An) = 1,

G((α@β)) = G(α) +G(β) + 3 G((¬α)) = G(α) + 3.

15. Define las siguientes funciones por inducción: (a) El número de bloques de una proposiciónα. (b) Elnmayor tal queAn es un bloque enα.

16. D´e una descripci´on expl´ıcita del conjunto:

A={n | Hay una proposici´on de longitudn}.

17. Demuestre el lema 19.

18. ¿Hay alguna manera natural de generalizar la definición del lema 19, análoga a la inducción generalizada sobre los naturales?