EXAMEN GLOBAL MATEMÁTICAS II SEGUNDA EVALUACIÓN 29/02/08 Nombre y Apellidos:………..nº:……..Curso:……..
PARTE TEÓRICA: 1.- (1 PUNTO) Explica los siguientes conceptos:
a) Recta tangente a la función y = f(x) en el punto x = a
Se llama recta tangente a la función f(x) en el punto x = a al límite de las rectas secantes que pasan por x = a y por otro valor x = b, cuando b se aproxima hacia a.
b) Función convexa
Una función f(x) es convexa en x = a si la recta tangente a dicho valor está por encima de la funón.
2.- (1 PUNTO) Responde razonadamente a las siguientes cuestiones. Si la respuesta es afirmativa explica el por qué y si fueran negativa puedes poner un ejemplo que indique la falsedad.
a) Tenemos dos funciones f(x) y g(x) de las cuales sólo sabemos que
) x ( ' g ) x ( '
f = ¿Podemos asegurar entonces que f(x) = g(x)?
FALSO,
Si por ejemplo consideremos las funciones f(x) = x2 − 5 y g(x) = x2 + 1, son funciones diferentes, es decir f(x) ≠g(x) y sin embargo sus derivadas son iguales y vale 2x.
b) ¿La integral definida en [a,b] y el área entre la función , el eje OX en [a,b] es lo mismo?
FALSO, solo serían la misma situación en el caso de que la función esté totalmente por encima del eje OX en dicho intervalo, por ejemplo
PARTE PRÁCTICA: 1.-
(A) Determinar los valores de a y b para que la función
> −
≤ ≤ − +
− <
=
2 x 5
x 2
2 x 2 b
ax
2 x x
) x ( f
2
Sea continua en toda la recta real. Dar también su representación gráfica, para los valores de a y b calculados. (En la parte de atrás tienes unos ejes
coordenados para la representación)
La función, al estar definida a trozos, podrá ser discontinua en aquellos valores que no estén en el dominio y además en los puntos frontera, como además cada uno de los trozos es un polinomio y además los intervalos están bien definidos, el dominio son todos los números reales. Analizamos entonces la función en los puntos de la frontera
Si x = -2;
b 2a b
ax lim
4 x lim
2 x
2 2 x
+ − = +
=
+ −
− →
− →
Para que sea continua: -2a + b = 4
Si x = 2.
1 5 2x lim
b 2a b ax lim
2 x
2 x
− = −
+ = +
+
→ →
Para que sea continua: 2a + b = −1
Si resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones anteriores, se tiene que:
2 3 b 4 5
a = − =
(B) Consideremos la función
1 x
x ln x ) x ( f
2 −
= . Calcula su dominio e indica el tipo de discontinuidad que tiene para x = 1. Si fuera posible, redefínela par que sea continua en x = 1.
Para determinar el dominio tenemos que tener en cuenta en primer lugar que en el numerador hay un logaritmo, con lo cual solo puede calcularse para números positivos y en segundo lugar el denominador se anula para los valores de x = -1 y x = 1. Es resumen tenemos que son los positivos excepto x = 1. Es decir:
(
0,) { }
1 Domf(x) = ∞ −Para analizara el tipo de discontinuidad debemos calcular el límite de la función para valores cercanos a x = 1; es decir,
0 0 1 x
xlnx lim
2 1
x→ − = . Para poder resolver la indeterminación podemos hacer uso de la
Regla de L´Hôpital y se tiene que:
2 1 2x
1 lnx lim 2x
x 1 · x lnx lim 1 x
xlnx lim
1 x 1
x 2
1
x =
+ =
+ =
− → →
→
Es decir, la función tiene límite pero no imagen, es decir es discontinua evitable en x = 1. Podemos evitar la discontinuidad redefiniendo la función de la forma siguiente:
= ≠ −
=
1 x 2
1
1 x 1 x
xlnx
f(x)
2.- (A) De todos los rectángulos inscritos en un círculo de radio 2 , determina el que tiene el mayor perímetro
En la situación de la figura, podemos llama x a la base del rectángulo, y la altura y entonces el diámetro de la circunferencia vale d = 2 2 La función que tenemos que optimizar (buscar el máximo) es la que me da el perímetro; es decir:
2y 2x P = +
Para relacionar las variables podemos usar el teorema de Pitágoras, que nos garantiza que:
(
2 2)
x y 8y
x2 + 2 = 2 ⇒ 2 + 2 =
Despejamos y en la ecuación y sustituimos en la función y se tiene que: y= 8−x2 Si sustituimos este último resultado en la función (perímetro) se obtiene que:
2 x 8 2 x 2
P= + −
Ahora ya podemos derivar para encontrar qué valor de x hace máximo el perímetro
2 x 8 · 2
x 2 ·
2 2 ' P
− − +
=
2 x 8
x 2 2 ' P
− − = ⇒
Para que tenga máxima, deberá ser que la derivada valga cero, con lo cual:
x x 8 x
2 x 8 2 x
8 x 2 2
0 x 8
x 2
2 2 2
2
2 = ⇒ = − ⇒ − = ⇒ − =
− −
Tenemos entonces una ecuación irracional que podemos resolver elevando ambos miembros al cuadrado:
2 4 2 8 x x
2 8 x
x
8− 2 = 2 ⇒ = 2 ⇒ = = =
Hemos elegido sólo la solución positiva ya que se trata del valor de un lado de un rectángulo. Vamos a comprobar que, efectivamente nos da un máximo para P(x).
si la función es convexa para x = 2 (es decir, su segunda derivada es negativa). Como habitualmente lo hemos hecho mediante el primer método, vamos a comprobarlo usando el segundo para que se vea cómo se hace
En primer lugar, determinamos
2
2 2
x 8
x 8 2
x 2 x
8 x 0 '' P
−
− − − −
− =
(
)
(
)
2 2
2
2 2
2
2 2 2
x 8 ) x 8 (
x 9 x x
8 ) x 8 (
) 1 x 8 ( x x
8 x 8
x x 8 x ' ' P
− −
− − = − −
+ − − = −
− + −
− =
Sustituimos ahora por x = 2 en la expresión anterior y queda:
(
)
2 5 8
10 4
8 ) 4 8 (
4 9 · 2 )
2 ( ' '
P = − =−
− −
− −
=
Es decir, se trata de un máximo relativo para x = 2.
(B) Halla la función polinómica de grado 3,f(x) = ax3 + bx2 + cx + d que tenga un mínimo relativo en (0,-1); en x = -1/6 exista punto de inflexión y para el valor x = -2, la recta tangente sea paralela a la recta 40x - 2y + 5 = 0.
Tenemos una función con cuatro parámetros a determinar, necesitamos pues cuatro ecuaciones que nos relacionen dichos parámetros.
1.- La función pasa por (0,-1).
Es decir f(0)=−1 ⇒a03 +b02 +c0+d=−1 ⇒ d=−1
2.- Hay un mínimo relativo para x = 0.
Es decir f'(0)=0. La derivada es f'(x)=3ax2 +2bx+c
Al sustituir el valor de x, nos queda: 0=0+0+c ⇒ c=0
3.- Hay un punto de inflexión en x = -1/6.
Es decir, 0. 6
1 ' '
f =
− La derivada segunda es f''(x)=6ax+2b
Al sustituir el valor de x nos queda: −a+2b=0 ⇒ a=2b
4.- La recta tangente en x = 2 es paralela a la que dice el enunciado.
Por un lado entonces tenemos que la derivada para x = 2 tiene que coincidir con la pendiente de la recta que dan y por otro lado tenemos que calcular la pendiente de la recta.
i) La derivada para x = 2 es f'(2)=3a·22 +2b·2+c=12a+4b
ii) La pendiente de la recta siempre es el coeficiente de la variable independiente cuando la recta viene expresada en la forma explícita. Pues si pasamos a explícita la recta (que está en general) podemos escribir:
. 2 5 x 20 2
5 x 40
y= + = + Es decir, m=20
Igualamos las dos expresiones y se tiene que 12a+4b=20 y si simplificamos tenemos que: 3a+b=5
3.-
(A) Calcular una primitiva de y = ln
(
4 + x2)
que pase por (0,1)En primer lugar calcularemos una primitiva y después impondremos la condición de que tiene que pasar por el punto que se nos da. Para ello, nos fijamos en que la función a integrar “es una función sola” que, mediante una tabla de derivadas no podemos deducir cuál es su primitiva; por lo tanto, vamos a intentarlo por el método “por partes”
(
)
∫
∫
= = + − + = → = + = → + = dx x 4 x 2 · x x 4 ln · x x dx v dx dv dx x 4 x 2 du ) x 4 ln( u 2 2 2 2Si nos fijamos, podemos hacer operaciones en el integrando; así es que; antes de continuar con el proceso de integración vamos a simplificarlo:
(
)
22 22 2 2 x 4 8 2 x 4 x 2 dx x 4 x 2 x 4 ln · x + − + = + = + − +
∫
Lo que hemos hecho ahora es simplemente la división de polinomios puesto que el grado del numerador y del denominador coincide. La integral quedará entonces así:
(
)
(
)
dxx 4 8 dx 2 x 4 ln · x dx x 4 8 2 x 4 ln · x 2 2 2
2
∫
∫
∫
+ + − + = + − + − +
Hemos reducido el problema a calcular dos integrales, la primer es inmediata y la segunda es del tipo arcotangente
(
)
∫
(
)
∫
+ + − + = + + − + dx 2 x 1 2 x 2 x 4 ln · x dx 4 x 4 4 4 8 x 2 x 4 ln · x 2 2 2 2Para que la integral sea exactamente arco tangente, en el numerador tiene que estar la derivada de
2
x . Ajustamos los coeficientes para que sea así y nos queda:
(
)
(
)
C2 x arctg 4 x 2 x 4 ln · x dx 2 x 1 2 1 2 · 2 x 2 x 4 ln · x 2 2
2 +
+ − + = + + − +
∫
Para hallar el valor de C, sabemos que pasa por (0,1). Es decir: 1 C 1 C ) 0 ( arctg 4 0 · 2 4 ln ·
(B) Representa el recinto limitado por las funciones
1 x
2 y
+
= ; y = x y
determina el área encerrada en el intervalo [0,1]
A la derecha está representada la situación descrita en el problema, en azul está la función
1 x
2
+ en verde el valor absoluto y el área encerrada está señalada en naranja.
Al ser el área encerrada entre dos funciones, podemos usar la idea de integral definida, en
el intervalo que determinar el recinto y teniendo en cuenta que la parte de la función valor absoluto que necesitamos es la de valores de x positivos (y = x)
(
)
21
0 2 1
0
u 8863 . 0 2 1 ) 2 ln( 2 0 ) 1 ln( 2 2 1 ) 2 ln( 2 2
x ) 1 x ln( 2 x 1 x
2
A − − = − =
−
= − + =
4.- (2 puntos: 0.5 cada integral) Determinar 4 de las 6 integrales siguientes:
(1)
∫
dxx cos
x sen3
Se trata de una función trigonométrica donde hay una parte elevada a exponente impar, procedemos entonces mediante un cambio de variable y además hemos de separar el impar (en este caso senx) en potencias pares; es decir:
(
)
∫
∫
∫
∫
= −= = =
− =
= ·dt
t t 1 dt
dx senx
t x cos dx
senx x
cos x cos 1 dx · x cos
senx · x sen dx
x cos
x
sen3 2 2 2
Ahora solo nos queda darnos cuenta de que se puede separar la fracción y nos queda dos integrales inmediatas de la forma:
∫
− =∫
− = − + = + +C2 x cos x
cos ln C 2 t t ln t t 1 t
t t
1 2 2 2
(2)
∫
+ 9x2
4 dx
Se ve claramente que es inmediata del tipo arco tangente, sólo tenemos que ajustar los coeficientes
∫
∫
∫
∫
+ =
+ =
+ =
+ =
+ 2 C
x 3 arctg 6 1 dx 2
x 3 1
2 3
3 2 · 4 1 dx 2
x 3 1
1 4
1 dx 4 x 9 4 4
4 1
x 9 4
dx
2 2
(3)
∫
x2 ln x dxAl ser un producto de una función trigonométrica por un polinomio, claramente se puede hacer por el método de integración por partes:
= − = − = = → = = → = =
∫
∫
∫
x dx3 1 3 x ln x dx x 1 · 3 x 3 x ln x 3 x v dx x dv dx x 1 du x ln u dx x ln
x 3 3 3 2
3 2 2 C 3 x 3 1 3 x ln
x3 3
+ −
=
(4)
∫
− +
− 5x 7x 3 dx x
x 2
2 3
Es una fracción algebraica, antes de proceder a la integración, debemos separarla como suma de fracciones más simples. Para ello tendremos en cuenta quiénes son las raíces del denominador
Es decir la descomposición del denominador es ) 3 x ( ) 1 x
( − 3 −
Por lo tanto, podemos escribir:
3 x C ) 1 x ( B 1 x A 3 x 7 x 5 x x 2 2 2
3 − + − = − + − + −
Haciendo las operaciones del segundo miembro e igualando los numeradores tenemos que:
(
x 1)(
x 3)
B(x 3) C(x 1)2 Ax
2 = − − + − + −
Para x = 1, se tiene que: 2=0+B
(
−2)
+0 → B=−1Para x = 3, se tiene que:
2 3 4 6 C C 4 0 0
6= + + → = =
Si x = 0, tenemos:
2 3 6 9 A 2 3 3 A 3 0 C B 3 A 3
0= − + → = + + → = − =−
Entonces la integral se reduce a la siguiente: = − + − − + − −
∫
x 32 / 3 ) 1 x ( 1 1 x 2 / 3 2 C ) 3 x ln( 2 3 ) 1 X ( 1 ) 1 x ln( 2
3 + − +
− + − −
= 1 -5 7 -3
1 1 -4 3
1 -4 3 0 1 1 3
(5)
∫
− + dx x4 2x 3x
3 2
Esta integral debe separarse en varios sumandos y así poder simplificar las expresiones:
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
∫
− + = − + = − + =x 4 2 x
x 3 x 4 x
x 2 x
x 3 dx
x
4 x 2 x
3 2/3
3
3 2
3 2
C x ln 4 x 2 2
x 3 3 C x ln 4 x 2 3 2 x 3 x 4 2 x
3
3 2
3 / 2 3 3
/ 1
3
∫
− −∫
+∫
= − + + = − + +(6)
∫
x x + 2 dxEsta integral se puede resolver tanto mediante el método de integración por partes como mediante un cambio de variable, siendo este último más sencillo. Se procede de la siguiente forma:
(
t 2)
t 2tdt(
t 2)
·t·2tdt dtt 2 dx
2 t x t
2
x 2 2 2 2 2
∫
∫
− = −= =
− = → =
+
(
)
(
)
C 3
2 x 4 5
2 x 2 C 3 t 4 5 t 2 dt t 4 t 2
3 5
3 5
2
4 − = − + = + − + +
