Introducción al Análisis Funcional y sus Aplicaciones
Semestre julio – diciembre 2010Horario de clase: miércoles 11 am – 1 pm y viernes 10 am – 12 pm.
Aula: D8
Prerequisitos: maduréz matemática (usalmente adquirida tras llevar cursos tales como álgebra lineal II y análisis matemático). Los conocimientos que hagan falta se cubrirán sobre la marcha.
Profesor: Jorge Viveros
Centro de Investigación en Matemáticas (CIMA, MF1)
Oficina: Cubículo 1, CIMA-MF1
Email: [email protected]
Consultas: martes y jueves 5 – 7 pm
EVALUACIÓN:
3 exámenes parciales 87% (29% c/u). 3 problemarios 13% (~4.3% c/u).
Los problemarios son una colección de problemas resueltos escritos en latex, que se entregarán en las fechas marcadas en el calendario. El archivo fuente .tex se le proporcionará a los estudiantes; no se aceptarán problemarios que estén escritos utilizando otro formato. Solamente se entregará un
problemario por todo el grupo, es decir, que los alumnos deberán organizarse para trabajar en conjunto y nombrar un encargado que le envie al profesor via e-mail cada problemario en la fecha indicada (enviando los archivos .tex y .pdf del archivo tex compilado).
FECHAS DE EXÁMENES:
Examen Fechas Unidades
I miércoles, septiembre 22 1, 2
II miércoles, octubre 20 3
Pólizas de curso:
1. Independientemente del número de faltas que tenga una persona, a cualquier
alumno que entregue los parciales II o III, o bien cualquiera de los problemarios 2 o 3, se le asignará al final del semestre la calificación que haya obtenido por su trabajo acumulado.
2. No se admitirán problemarios atrasados y no se realizarán exámenes
extemporáneos, salvo que haya habido previo acuerdo con el profesor con no menos de dos semanas de anticipación.
--"Somos universitarios responsables" Anónimo.
TEMARIO: el semestre cuenta con 16 semanas de clases mas la semana de finales. Sin contar los dias de los parciales I y II y las suspensión del 17 de septiembre, esto se traduce en 29 clases efectivas, durante las cuales discutiremos los temas enlistados abajo. Los temas corresponden, casi verbatim, a la distribución de temas en [2] (ver bibliografía):
1. Espacios métricos: 1.1 definición y ejemplos de espacios métricos, 1.2 conjuntos abiertos, cerrados y vecindades, 1.3 convergencia, sucesiones de Cauchy y espacios completos, 1.4 ejemplos de espacios completos y no completos, 1.5 espacios completos y subespacios densos isométricos.
2. Espacios normados y espacios de Banach: 2.1 espacios vectoriales, normados y de Banach, 2.2 base de Schauder, espacios normados y sus isométricos subespacios de espacios de Banach, 2.3 subespacios de dimensión finita, normas equivalentes, compacidad, 2.4 lema de Riesz, mapas continuos y conjuntos compactos. 2.5 operadores lineales y sus operadores inversos, 2.6 operadores lineales acotados,
definición y ejemplos, el caso finito-dimensional y la propiedad de continuidad, funcionales lineales. 2.7 operadores y funcionales lineales en dimensión finita, 2.8 espacios normados y sus espacios duales.
3. Espacios con producto interno y espacios de Hilbert: 3.1 definición de espacio con producto interno y sus propiedades, definición de espacios de Hilbert, 3.2 suma directa de espacios, complementos ortogonales, subespacios cerrados y subespacios densos de espacios de Hilbert, 3.3 conjuntos ortonormales, desigualdad de Bessel y coeficientes de Fourier, 3.4 series relacionadas con conjuntos ortonormales (series de Fourier), 3.5 conjuntos ortonormales totales y sucesiones, 3.6 el teorema de representación de Riesz, 3.7 operadores adjuntos (existencia y propiedades), 3.8 operadores
autoadjuntos, unitarios y normales.
5.*Introducción a la teoría espectral de operadores lineales en espacios normados: * este tema se verá si acaso nos sobrara tiempo.
BIBLIOGRAFIA: [2] es nuestro libro de texto. Además de ser una referencia clásica excelente, este libro de Kreyszig es muy accesible en su contenido, el cual cubre todos los temas básicos del análisis funcional. Al no hacer uso de teoría de la medida, [2] se ubica a un nivel accesible para los estudiantes de la licenciatuara quienes se estén adentrando en el tema por vez primera y aún no hayan cursado análisis matemático. Se les recomienda muy fuertemente a los estudiantes que se enfoquen solamente en este libro. Se han incluido algunas otras referencias como material de apoyo o bien para ahondar en algunos temas, sin embargo, [2] debería de ser más que suficienteun primer curso de anlisis funcional a nivel de Licenciatura.
[1] CONWAY, J. B. A Course in Functional Analysis, 2nd ed. (1990) Siringer, Graduate Texts in Mathematics. ISBN-10: 1441930922. ISBN-13: 978-1441930927.
[2] KREYSZIG, E. Introductory Functional Analysis with Applications (1989) Wiley Classics Library. ISBN-10: 0471504599. ISBN-13: 978-0471504587.
[3] ZEIDLER, E. Applied Functional Analysis: Main Principles and ther Applications (1995) Springer, Applied Mathematical Sciences 109. ISBN-10: 0387944222. ISBN-13: 978-0387944227.
DISTRIBUCIÓN DETALLADA DE TEMAS POR DIA: el siguiente esquema es tentativo.
Agosto
L M M J V
2 3 4
1.1
5 6
1.2
9 10 11
1.3
12 13
1.4
16 17 18
1.5
19 20
2.1
23 24 25
2.2
26 27
2.3
Septiembre
L M M J V
1
2.6
2 3
2.7
6 7 8
2.8
9 10
3.1
13 14 15
3.2
16 17
(Suspensión general UAEH)
20 21 22
Problemario 1
Parcial I
23 24
3.4
27 28 29
3.5
30
Octubre
L M M J V
1
3.6
4 5 6
3.7
7 8
3.8
11 12 13
4.1
14 15
4.2
18 19 20
Problemario 2
Parcial II
21 22
25 26 27
4.4
28 29
4.5
Noviembre
L M M J V
1 2 3
4.6
4 5
4.6, 4.7
8 9 10
4.7
11 12
4.8
15 16 17
4.8
18 19
5.1
22
Ejercicios Problemario 3
23 24
Parcial III
25 26
Fin de cursos
29 30
