A MODO DE INTRODUCCIÓN
¿Será suficiente?
En cierto país, los que pensaron en nuevo sistema de patentes, lo idearon originalmente con tres letras y tres números de modo tal que la primera letra indicara el origen. Creyeron así que alcanzaban las combinaciones hasta un futuro no tan cercano. Pero... no fue así ya que la primera letra permite 23 posibilidades, la segunda otras 23 y los tres números, 1000 (desde 000 hasta el 999). Así entonces las posibilidades eran 23 x 23 x 1000. Esto da una suma de 529.000; cantidad insuficiente para la Capital de dicho país y suburbanos.
Para corregir esto se tuvo que liberar la primera letra. Así al multiplicar 529.000 x 23, 12.167.000 serían ahora las posibilidades; que sí cubren largamente las necesidades del país, aunque no permita la identificación del lugar de origen.
¿Porqué ocurrió esto?
Lo que ocurrió fue que los que pensaron el tema de las patentes, no hicieron un cálculo mínimo, que tiene que ver simplemente con el hecho de:
¿Vale la pena invertir dinero en los juegos?
Así como los bancos informan acerca de la tasa de interés de los depósitos, los jugadores deberían saber de que manera están invirtiendo su dinero.
Hay juegos en donde la apuesta es solitaria (quiniela), en otros el ganar o perder depende de lo que los otros jugadores hagan ( hipódromo, prode) y a esto se suma el hecho de tener en cuenta las veces que el estado paga lo apostado.
Históricamente, a los problemas de conteo que tienen que ver con el:
se lo asoció a la probabilidad y se planteó el interrogante:
¿cuál es la probabilidad de que ocurra determinado suceso?
200 años atrás el matemático francés Laplace fue el primero en definir la probabilidad de un suceso A que puede ocurrir solamente en un número finito de modos y siempre que todos los resultados sean igualmente probables (equiprobables) como:
Contar o enumerar los elementos de un conjunto finito
contar el número de modos diferentes en los que determinado evento puede ocurrir, acorde a una gama de posibilidades
Probabilidad(A) = nro.de casos favorables al suceso A
número total de casos
Veamos por ejemplo las probabilidades de ganar en los juegos de azar más populares de la Argentina:
JUEGO DESCRIPCIÓN PROBABILIDAD
LOTO Se eligen 6
números entre 42
De acertar los 6 números 1 en 5.245.786 LA QUINIELA Se puede jugar a una, dos,
tres y cuatro cifras
De acertar dos cifras: 1 en 100
QUINI 6 Se eligen 6
números entre 39
De acertar los 6 números: 1 en 3.262.623
PRODE Hay que acertar el resultado de 13 partidos de fútbol
Sin usar dobles: 1 en 1.594.323
con un doble: 1 en 797.161 TELE
KINO
Cartón con 15 números sobre 25 posibles
De acertar los 15 números: 1 en 3.268.760
BINGO Cartón de 15 números Depende del número de
cartones vendidos. Si se venden 500 cartones y sólo hay un ganador, es de 1 en 500
RULETA Se apuesta a números
del 0 al 36
De acertar a un número (pleno)
es de 1 en 37 LOTERIA Se elige un billete que está
numerado del 01000 al 38.999 en los sorteos
ordinarios de Capital Federal
1 en 38.000
De acuerdo a esto: ¿qué respuesta se daría a la pregunta inicial?
Es evidente entonces que al aplicar la regla de Laplace se presenta la necesidad de calcular el número de elementos del conjunto de resultados posibles de cierto experimento (espacio muestral finito) y el de algún subconjunto del mismo (suceso). En este recuento sistemático de resultados los llamados principios generales de
enumeración, que por otra parte tienen que ver con el sentido común, proveen de reglas útiles para contar. Estos son:
Veamos ahora a partir de algunos ejemplos cómo surge el planteo de estos principios.
¿
Supongamos que se quiere saber cuántos y cuáles son los resultados posibles allanzar una moneda al aire tres veces.
Para visualizar esta situación se podría construir un diagrama conocido como “diagrama en árbol”
ca ca ca ca
ca
ca ce ca ca ce
ce ca ca ce ca
ce ca ce ce
ca ce ca ca
ca
ce ce ca ce
ce ca ce ce ca
ce
ce ce ce ce
De este modo se pueden señalar 8 casos posibles como producto de la lectura de cada rama del árbol o bien como resultado del planteo:
1ª. tirada 2 posibilidades
2ª. tirada 2 posibilidades
3ª. tirada 2 posibilidades
Total de casos = 2x2x2 = 8
¿
Ahora se pretende dado un conjunto de 5 bolillas: {a, b, c, d, e}, elegir unamuestra de:
a. dos bolillas, de modo tal que cada bolilla elegida sea reintegrada al conjunto inicial
b. tres bolillas, de modo tal que cada bolilla elegida sea extraída del conjunto inicial.
En al caso a. 1ª. extracción
→
→
→
→
5 posibilidades 2ª. extracción→
→
→
→
5 posibilidades
Total de casos = 5x5 = 25
En al caso b 1ª. extracción
→
→
→
→
5 posibilidades 2ª. extracción→
→
→
→
4 posibilidades 3ª. Extracción→
→
→
→
3 posibilidadesTotal de casos = 5x4x3 = 60
diagrama en árbol con 25 hojas
Los ejemplos precedentes son ilustrativos del principio del producto...
Ahora se trata de precisar por ejemplo:
¿
Cuántos números de 6 cifras tomadas del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} comienzan con432 o bien con 665?
Del planteo surge que habría que considerar:
1. los números de la forma : 432- - - 2. los números de la forma : 665- - -
Dado que la única condición consiste en que las cifras pertenezcan al conjunto señalado, tanto la cantidad de números que empiezan con 432 o bien con 665 es la misma y esta dada, según el principio del producto por 6x6x6 = 63 = 216. De donde resulta que la respuesta a la pregunta es 216 + 216=432
¿
Cuántos números de 3 cifras y que no comiencen con cero tomadas del conjunto{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} preceden al número 430?
Para responder al interrogante planteado podría contarse por separado:
los números de tres cifras que comienzan con “1”
los números de tres cifras que comienzan con “2”
los números de tres cifras que comienzan con “3”
los números de tres cifras que comienzan con “4” con 2ª cifra menor que “3”
La respuesta según el principio del producto a los tres primeros casos es la misma: 102
mientras que la respuesta al último caso resulta ser: 3.10 = 30
Finalmente y por el principio de la suma la respuesta final es: 3. 102 + 30 = 330
Estos ejemplos son ilustrativos del 2do. principio de conteo Primer principio de conteo o Principio del producto
Si un procedimiento puede efectuarse en r pasos sucesivos (ordenados) con n1 resultados en el primer paso, n resultados en el segundo, y 2 n resultados en el paso r, entonces el procedimiento r podrá efectuarse en forma completa en :
1
n x n2 x... x. nr formas diferentes
Segundo principio de conteo o Principio de la suma
OBSERVACIONES.
Si bien estos principios son intuitivamente evidentes, la prueba rigurosa de ambos
requiere de la “Inducción matemática”.
El principio de la suma no podría aplicarse a aquellos conjuntos que tengan la
particularidad de tener elementos en común. Así si por ejemplo si la pregunta fuera:
¿
Cúantos alumnos diferentes tiene el profesor X si en el curso de Algebra tiene 40alumnos y en el curso de Matemática discreta tiene 40?
La respuesta a esta pregunta sería 40+40=80, si los cursos no tienen alumnos en
común.
Si en cambio por ejemplo hay 10 alumnos en ambos cursos, la respuesta sería:
40+40-10=70
Para este último caso habrá que tener en cuenta primeramente resultados del álgebra de conjuntos que dicen que:
UNA APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DEL PRODUCTO PERMUTACIONES
y a partir de los cuales se formula el:
Dados los conjuntos finitos : A1, A2 y A3 y considerando que con la notación A se quiere i indicar la cantidad de elementos del conjunto Ai:
Resultan:
2 1 2 1 2
1 A A A A A
A ∪ = + − ∩ (dados dos conjuntos)
y
3 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 1 3 2
1 A A A A A A A A A A A A A A
A ∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
(dados tres conjuntos)
Estos resultados pueden visualizarse fácilmente a través de diagramas de Venn y pueden extenderse a n – conjuntos:
n n
n k j i
k j i n
j i
j i n
i i
n A A A A A A A A A
A A
A ∪ ∪ = − ∩ + ∩ ∩ − + − + ∩ ∩ ∩
≤ ≤ ≤
≤
=
∑
∑
∑
.... ( 1) . ...... 1 1 2
, , 1 ,
1 1 2
1
Aunque... más que la fórmula, lo importante es el hecho de que este principio garantiza que cada elemento a tener en cuenta sea contado exactamente una vez a través de la estrategia de sumar y restar (incluir – excluir) según corresponda.
Principio de inclusión exclusión
Dado un conjunto finito U y los subconjuntos del mismo: A1, A2,...,An caracterizados cada uno de ellos por determinadas propiedades: p1, p2,...,pn, el principio en cuestión permite calcular el número de elementos del complemento de la unión A1∪A2∪...An, es decir el número de elementos de U que no satisfacen ninguna de las propiedades mencionadas esto es:
A A
A
Entonces de acuerdo a este principio :
¿
.Cuántos números entre 1 y 100 no son múltiplos de 2 ni de 3?Dado que:
El total de números comprendidos entre 1 y 100 es de “100”
La cantidad de múltiplos de 2 entre 1 y 100 es de “50”
Comenzando por 2 = 2.1 y culminando con 100 = 2.50
La cantidad de múltiplos de 3 entre 1 y 100 es de “33”
Comenzando por 3 = 3.1 y culminando con 99 = 3.33
La cantidad de múltiplos de 2 y de 3 (es decir múltiplos de 6) entre 1 y 100 es de
“16”
Comenzando por: 6 = 1.6 y culminando con 96 = 6.16
El número buscado resulta ser: 100 – (50 + 33- 16) =33
ORDENAMIENTOS DE LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO FINITO (una aplicación del principio del producto)
¿
Se quiere saber de cuántas formas distintas se pueden ordenar 5 libros en unestante?
Se podrán asignar ubicaciones siguiendo el esquema:
Ubicación del primer libro 5 posibilidades
Ubicación del segundo libro 4 posibilidades (ya fue ubicado un libro) Ubicación del tercer libro 3 posibilidades (ya fueron ubicados dos libros) Ubicación del cuarto libro 2 posibilidades (ya fueron ubicados tres libros) Ubicación del quinto libro 1 posibilidad (queda sólo un lugar)
y entonces de acuerdo al principio del producto el número total de ordenamientos posibles será: 5x4x3x2x1 = 120
¿
Se quiere saber de cuántas formas distintas se pueden alinear los 8 integrantes deuna familia: el abuelo con su hija y su yerno, dos adolescentes y tres niños si los adultos deben estar juntos, los adolescentes deben estar juntos y los niños deben estar juntos?
En general si se trata de ordenar los n elementos diferentes de un conjunto X, utilizando el principio del producto, la cantidad de formas en que esto puede hacerse estará dado por el número n x (n - 1) x (n - 2) x....x 1, conocido como el factorial de n :n! (n ε N >1).
A cada una de dichas ordenaciones se la llamará permutación de los n elementos del conjunto X y al número total de las mismas se lo indicará
Si en las primeras tres posiciones se ubica a los adultos el número total de formas en
que puede realizarse esto es: 3!
Si a continuación se ubica a los adolescentes, el número total de formas en que
puede realizarse esto es: 2!
Finalmente el número total de formas en que puede ubicarse a los niños es: 3!
Entonces por aplicación del principio del producto la cantidad de formas de alinear a los integrantes de la familia en el orden: adultos, adolescentes y niños resulta ser: 3!.2!.3!
Y como los bloques de adultos – adolescentes – niños pueden intercambiarse entre sí (3 bloques) y esto puede hacerse de 3! formas diferentes, nuevamente por aplicación del principio del producto la respuesta a la pregunta inicial es: 3!.3!.2!.3! = 432
PERMUTACIONES CIRCULARES (ordenaciones especiales)
Ahora se trata de responder a la siguiente cuestión:
¿
De cuantas formas pueden disponerse 8 personas alrededor de una “mesacircular”?
Si no se nota la diferencia entre “alinear” y “disponer en forma circular” posiblemente la respuesta a la pregunta sea 8!. Pero esto sería como numerar los asientos y pensar en asignar a cada persona un número entre 1 y 8.
Entonces de acuerdo a esto si se les pidiera a todas las personas correrse un lugar (o cualquier número de lugares entre 1 y 8) se estaría contabilizando todos estos casos sin reparar en el hecho de que “las posiciones relativas” no han cambiado y que por ende la ubicación es esencialmente la misma.
En consecuencia la respuesta correcta resulta ser: 7!
8 ! 7 . 8 8
! 8
= =
MUESTRAS Y MUESTRAS ORDENADAS
En el análisis combinatorio, interesa deducir el número de muestras diferentres que pueden formarse a partir de un conjunto dado (población).
Se podrá distinguir entre muestreo con y sin reemplazo según que cada elemento de la población pueda formar o no parte en la muestra más de una vez.
Por otro lado habrá que señalar la diferencia entre muestra y muestra ordenada. Una muestra se llama ordenada cuando el orden en que han sido extraído sus elementos es relevante y por eso es tenido en cuenta. De acuerdo a esto:
Si importa el orden, dos muestras formadas por los mismos elementos pero variando
el orden , son consideradas distintas (muestras ordenadas)
Si el orden no interesa, dos muestras se consideran diferentes cuando difieren en al
menos un elemento (muestras no ordenadas o simplemente muestras)
De acuerdo a esta consideración, a partir de un conjunto o población de n elementos, se pueden formar cuatro tipos de muestras o grupos de tamaño n.
E el estudio combinatorio clásico estos grupos reciben el nombre de:
Variaciones con y sin repetición y combinaciones con y sin repetición
VARIACIONES SIN REPETICIÓN
¿
De cuántas maneras pueden ocupar asiento en un colectivo cuatro personas, sihay disponibles 7 asientos?
La persona que elige en primer lugar, tiene 7 opciones
La persona que elige en segundo lugar, tiene 6 opciones por cada elección que haya
hecho la primera.
La persona que elige en tercer lugar, tiene 5 opciones por cada elección que haya
hecho la primera y la segunda persona
La persona que elige en cuarto y último término tiene las 4 opciones restantes.
Entonces por el principio del producto la respuesta a la pregunta está dada por el número: 7.6.5.4 = 840
En el caso general:
Para armar una ordenación de r elementos distintos, seleccionados de entre n dados , también distintos, el esquema de elecciones es el siguiente:
1ª.elección
→
→
→
→
n
posibilidades 2ª.elección→
→
→
→
n - 1 posibilidades --- rª. elección n - (r - 1) posibilidadesy entonces de acuerdo a esto y al principio del producto el número de
muestras ordenadas de r elementos tomados de una población de n elementos (variaciones de n elementos tomados de a r) está dado por el número:
Vn,r = n x (n - 1) x (n - 2) x....x (n – r + 1)
Consecuencias:
Si r = n, resultará: Vn,n=Pn= n x (n-1) x (n-2) x....x 1 = n!, con lo cual Pn es un caso
particular de Vn,r
Vn,r = n x (n-1) x (n-2) x....x (n-r+1) x (n-r)!. Es decir:
(n-r)!
¿
Cuántos números de 4 cifras distintas se pueden formar con los dígitos del 1 al 9?Dado que si se trata de números importa la ubicación de cada cifra, la pregunta apunta a buscar la cantidad de muestras ordenadas de tamaño 4 sin repetición con cifras tomadas
de la población {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Esto es 9.8.7.6 3024
! 5
! 9
4 ,
9 = = =
V
VARIACIONES CON REPETICIÓN
¿
De cuántas maneras diferentes pueden descender de un ascensor 8 personas encualquiera de los 10 pisos que tiene el edificio?
Dado que cada persona podrá bajar en cualquiera de los 10 pisos la respuesta a la pregunta, y nuevamente por el principio del producto será: 10 8
En el caso general:
Si se trata de distribuir k objetos distintos entre sí en n cajas el siguiente esquema mostrará el razonamiento a seguir:
Ubicación del 1er.objeto
→
→
→
→
en cualquiera de las n cajasUbicación del 2do.objeto
→
→
→
→
en cualquiera de las n cajas---
Ubicación del k-ésimo.objeto en cualquiera de las n cajas
Total de formas de distribución = n k
A este número se lo suele indicar como variación con repetición de “n” elementos tomados de a “k” y se lo denota:
OBSERVACIÓN.
Cada una de las distribuciones se puede interpretar como una muestra ordenada con repetición.
De acuerdo a esto:
Vn,r = n!
(n-k k
n n
¿
Cuántas códigos diferentes de cierto producto se pueden armar con dos letrasseguidas de tres dígitos?
Si se consideran 28 letras y 10 dígitos la respuesta será: 282.103
COMBINACIONES SIMPLES
¿
Cuántos subconjuntos diferentes de tres letras distintas se pueden formar a partirdel conjunto {a, b, c, d, e}?
Uno de esos subconjuntos es por ejemplo A = {a, c, d} que dará lugar a 3! permutaciones simples que contienen los elementos de A. Y como esto ocurre con cada uno de los subconjuntos buscados y considerando que el número buscado es X, si se cuentan todos estos subconjuntos ordenados, se dará la relación:
X. 3! = V5,3 sii X = ! 3
3 , 5
V
= 10
2 4 . 5 ! 2
4 . 5 ! 3 !. 2
! 5
= = =
A dicho número se lo indica: C5,3 o bien
3 5
En el caso general:
Dado que “cada” subconjunto de r elementos tomados de entre los n del total (muestra no ordenada de tamaño r), dará lugar a r! muestras ordenadas de tamaño r, con los mismos elementos, resultará la relación:
r n r
n
r
V
C
,.
!
=
,de la cual surgirá
C
n,r.
=
= ! , rr Vn
=
r)! -(n r!
! n
. Es decir:
¿
De cuántas maneras se pueden disponer los elementos del conjuntoA = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} en las nueve casillas de la grilla indicada , si en cada fila los números deben aparecer en forma creciente?
)! !.(
!
,
r n r
n r
n Cnr
− =
Dado que una vez elegidos los dígitos que ocuparán cada una de las filas, hay una única manera de disponerlos en forma creciente, la respuesta estará dada por:
1680 = = = 3 ) ! 3 ( ! 9 !. 3 !. 3 !. 6 !. 3 ! 6 !. 9 3 6 . 3 9 OBSERVACIÓN.
Los números combinatorios son frecuentemente llamados coeficientes binomiales por
el rol que ocupan en el desarrollo de (a+b)ⁿ.
Al respecto pueden señalarse las siguientes identidades elementales, cuyas demostraciones podrán realizarse ya sea desde el punto de vista meramente algebraico o bien teniendo en cuenta simplemente el “significado”de los números combinatorios involucrados. 1 n
= n (hay n subconjuntos de tamaño 1 tomados de una población de tamaño n)
n n
= 1 =
0 n
(hay un subconjunto de tamaño 0 (∅) y uno de tamaño n (P))
r n = −r n n
(cada subconjunto de tamaño r determina un subconjunto de tamaño n – r .Condición de simetría: los números combinatorios complementarios son iguales).
r n + −1 r n = + r 1 n
(Fórmula de adición o Identidad de Pascal)
Sea A = {a1, a2, . . . , an, an+1}el conjunto de n + 1 elementos con el que se quiere formar subconjuntos de r elementos.
Si se elije uno de sus elementos: por ejemplo “a1”, se puede pensar en hacer el conteo de subconjuntos considerando:
• los subconjuntos de “r” elementos de A entre los cuales se encuentra “a1”:
−1 r n
(se tienen n+1 elementos pero se está tomando de entrada a “a1” y restan elegir
(r - 1))
• los subconjuntos de “r” elementos de A entre los cuales no se encuentra “a1”:
r n
(se tienen n elementos, porque se descartó a “a1” y entre ellos hay que elegir “r”
− − = 1 r 1 n . r n r n
(Extración – introducción en los paréntesis)
+ = −
∑
= = n s r k n s . k r n k 0 k(convolución de Vandermonde, r, s ≥ n)
EXPANSIÓN DE LA POTENCIA N-ÉSIMA DE UN BINOMIO: n
b a )
( +
Si se parte de las fórmulas conocidas:
2 2
2 2. .
)
(a+b =a + ab+b
3 2 2 3 3 . . 3 . . 3 )
(a+b =a + a b+ ab +b
donde a y b son números reales cualesquiera y n es un número natural mayor que 1, como se ve ambos consisten en una suma de términos, cada uno de los cuales es el producto de una potencia de “a” por una potencia de “b”, multiplicado por un coeficiente numérico.
En todos ellos la suma de los exponentes es constante( 2 en el primero y 3 en el segundo), también en ambos las potencias de a decrecen y las de b crecen, dándose todas las formas posibles de descomponer 2 o 3 como suma de dos enteros no negativos.
Y en cuanto a las correspondientes secuencias de coeficientes ellos son 1 - 2 - 1 y
1 - 3 - 3 - 1 respectivamente.
La simetría entre ambas situaciones se hace más evidente si se observa que la primera
secuencia es:
3 3 , 2 3 , 1 3 , 0 3 2 2 , 1 2 , 0 2 y .
Entonces de acuerdo a lo anterior e introduciendo el símbolo de sumatoria:
n n
i a a a
a = + + +
∑
1 2 ...1
con i: índice de la suma, 1: cota inferior y n: cota superior
se puede volver a escribir la fórmula como:
n n
i a a a
a = + + +
∑
1 2 ...1
k k k
k
b a k b
a ) 2 .
( 2
2
0
2 = −
=
∑
= +
= + 3
)
(a b k k
k
k
b a
k .
3 3
3
0
− =
=
∑
Ahora es evidente que las dos fórmulas responden al mismo patrón y se está en condiciones de dar una fórmula tentativa que podría probarse por el método de inducción matemática (se verá en el siguiente módulo)
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN
Ahora veamos por ejemplo:
¿
Cuántas son las posibles ordenaciones de 9 libros entre los cuales hay 2 libros deAlgebra, 3 de Matemática Discreta y 4 de Computación, si los libros de la misma materia son del mismo autor y la misma edición?
Por ejemplo una ordenación podría ser: CCAMAMMCC
Para contar todas las ordenaciones se podría pensar en ir ubicando los libros que corresponden a la misma materia:
1. Los dos libros de Algebra se podrían ubicar de
( )
92 formas diferentes, sin interesar una vez elegidas las dos posiciones, dónde se ubica cada libro, ya que son indistinguibles entre sí.2. Una vez ubicados los libros de Algebra, se trata ahora de ubicar los tres libros de Matemática Discreta, esto se podrá hacer de
( )
73 formas diferentes.
3. Finalmente, las posiciones restantes quedarán asignadas a los 4 libros de computación, esto es
( )
44 = 1 forma.
Y entonces nuevamente por el principio del producto, el número total de ordenamientos estará dado por el resultado del producto:
( )
9 2x
( )
7 3
x
( )
4 4
=
! 7 !. 2
! 9
x
! 4 !. 3
! 7
=
! 4 !. 3 !. 2
! 9
Este número se suele indicar por :P2,93,4
= +b n
a )
( n k k
n k
k
b a k n
.
0
− =
=
∑
COMBINACIONES CON REPETICIÓN
Ahora en cambio se quiere saber...
¿
De cuántas formas se pueden ubicar 9 elementos indistinguibles entre sí en 6cajas?
Una ubicación posible podría ser por ejemplo: tres en la primera caja, 2ª. y 3ª caja vacía, dos en la 4ª, una en la 5ª y tres en la 6ª que puede representarse en la forma
: ••• | |...| •• | • | •••
Denotando las cajas con barras e indicando con la cantidad de puntos a izquierda el número de objetos en esa caja, salvo en la caja de la extrema derecha que no es necesario representar .
Así por ejemplo la representación: |...|...| •• |...| ••• indica una distribución de 5 objetos en 6 cajas del siguiente modo:
1. Las tres primeras cajas vacias. 2. En la cuarta caja 2 objetos 3. La quinta caja vacia. 4. En la sexta caja 3 objetos.
Dado que las distribuciones posibles se pueden hallar permutando los puntos y las barras (elementos indistinguibles en dos grupos), la respuesta estaría dada por el número:
En general si se considera un conjunto de n elementos entre los cuales hay n1, n2, ..., nr elementos del mismo tipo y tal que n1 + n2 + ...+ nr = n, para crear una ordenación en el mismo, se asignan posiciones a los elementos del primer tipo, esto se puede hacer de
1
n n
formas diferentes. Luego se asignan posiciones a los elementos del segundo tipo,
esto se puede hacer de
−
2 1
n n n
formas diferentes. Y siguiendo de este modo hasta
ubicar a los nr elementos del último grupo, esto se podrá hacer de
− − − − −
r
1 r 2
1
n
n ... n n n
formas diferentes.
Entonces por el principio del producto, el número total de ordenaciones será:
1
n n
.
−
2 1
n n n
.
− −
3 2 1
n n n n
...
− − − −
r
1 r 2 1
n n ... n n n
=
! n !... n !. n
! n
r 2 1
= n
5 9
5 , 9
P + =
! 5 !. 9 ! 14
= = =2002
= 11 . 13 . 14 5 14 9 14 Y entonces...
¿
Si se quiere asignar en un examen 30 puntos a 8 problemas, con la condición de quecada problema reciba al menos 2 puntos, dado que cada problema recibe 2 puntos como mínimo y 8 . 2=16, quedarían 14 puntos por distribuir. De donde la respuesta
al problema sería
( )
1414+7 =( )
1421 =( )
217 =116.280¿
En cuántas formas se pueden distribuir 8 palomas y 9 canarios en 10 jaulas?Respuesta:
+ 9 9 8 . + 9 9 9
¿
En cuántas formas pero tal que no haya dos palomas en la misma jaula?Respuesta:
+ 9 9 9 . 8 10
¿
En cuántas formas pero tal que haya a lo sumo una paloma y un canario en cadajaula?
Respuesta:
9 10 . 8 10 OBSERVACIÓN
Generalmente problemas de distribución, que se verán en la materia “Probabilidad y Estadística”, son equivalentes a problemas de permutaciones y combinaciones con repetición.
En la representación general aparecen (n – 1) barras y k puntos.
Por lo tanto se trata de hallar todas las permutaciones de k + n - 1 objetos de entre los cuales hay k iguales entre sí y por otro lado (n – 1) iguales entre sí.
Este número será:
k ) 1 n ( k , 1 n
P −− +
=
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.
Arriola, M. y otros; “Matemática Discreta a través de una Instrucción Didáctica”;
Ediciones CEIT; Bs As; Argentina; (2001).
Becker, M.; Pietrocola N. y Sánchez C.; “Notas de Combinatoria”; Red olímpica; Bs As.
Argentina; (1996).
Epp, S., “Discrete Mathematics with Aplications”; Brooks, Cole Publishing
Company; U.S.A, 2da edición; (1995).
Grimaldi, R.; “Matemáticas discreta y combinatoria”; Addison, Wesley
Iberoamericana; USA, 3ª Edición; (1997).
Johnsonbaugh, R.; ”Matemáticas Discretas”; Grupo Editorial Iberoamérica; México; (1999).
PRÁCTICA Nº 6: ANÁLISIS COMBINATORIO
1. Un turista debe trasladarse de una ciudad a otra y para ello puede optar por viajar en avión, ómnibus o tren y en cada uno de esos medios puede elegir viajar en primera clase turista:
a. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje?
b. Si el turista decide visitar 5 ciudades en un orden ya establecido y para el traslado de una ciudad a otra, a partir de la primera ciudad, tiene en todos los casos las mismas opciones que en a. ¿de cuántas maneras puede realizar el itinerario?
2. ¿Cuántos números de tres cifras distintas puede formarse con los dígitos impares?
3. ¿Cuántos números capicúas de cinco cifras y que no comienzan con cero hay?
4. La cerradura de una caja de caudales se compone de tres anillos, cada uno de los cuales está marcado con 20 letras distintas. ¿Cuántos intentos son vanos para abrirla?
5. Dados n y k, números naturales con [[1,n]] = N ∩[1,n], se quiere saber ¿cuántas aplicaciones hay del tipo f :[[1,k]]→[[1,n]] ?
6. Para confeccionar un examen, se dispone de 3 problemas de geometría, 4 de combinatoria y 2 de álgebra. De cuántas maneras pueden ordenarse los problemas si los que corresponden a un mismo tema deben aparecer en forma consecutiva?
7. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 6 niños y 4 niñas en el cine en 10 asientos consecutivos, si:
a. Todas las niñas desean sentarse juntas y lo mismo sucede con los niños. b. Las niñas desean estar juntas y a los varones les da igual.
c. Daniela y Pedro no quieren estar juntos
8. Dadas las cifras; 0, 1, 2, 3, 4 y 5 y descartando los números que comiencen con cero:
a. ¿cuántos números hay de 4 cifras distintas? b. ¿cuántos de 4 cifras distintas son divisibles por 5? c. ¿cuántos de 4 cifras distintas son menores que 3000?
9. Si se consideran todos los números de 5 cifras que se obtienen permutando los dígitos de 17283:
a. ¿cuántos de ellos son impares ?
b. de menor a mayor, ¿qué lugar ocupa el 23178?
c. de mayor a menor, ¿qué lugar ocupa el 83712?
10.Tres parejas interpretan una danza que consiste en formar una ronda tomados de la mano. Calcular de cuántas maneras distintas podrían hacerlo si:
a. no se fijan condiciones
c. dos mujeres determinadas no deben estar juntas
d. las personas de uno y otro sexo se colocan en forma alternada
11.¿Cuántas banderas diferentes de 3 bandas horizontales de distinto color puede formarse con verde, rosa, azul, blanco, amarillo y negro?
12.¿Cuántos números de 5 cifras distintas pueden formarse con los dígitos 1 a 9 si:
a. los números deben ser impares?
b. deben tener las dos primeras cifras pares?
13.Con los dígitos 1, 2, 3, 4...9, ¿cuántos números de tres cifras distintas se puede formar con la condición de que la suma de sus cifras sea par?
14.En una fiesta se encuentran 10 hombres y 8 mujeres. ¿De cuantas formas pueden integrarse en parejas para bailar una determinada pieza?
15.Para integrar una comisión, se deben elegir 4 personas entre un grupo formado por 8 hombres y 5 mujeres.
a. ¿De cuántas maneras puede hacerse la elección?
b. ¿De cuántas si se impone la condición de que por lo menos 2 de los miembros
deben ser mujeres?
16.¿Cuántos grupos de 6 hombres pueden formarse con 4 oficiales y 8 soldados de modo que:
a. en cada grupo haya exactamente un oficial b. en cada grupo haya por lo menos un oficial
17.Dadas 2 rectas paralelas del plano y n puntos distintos sobre una y m puntos distintos sobre la otra, ¿cuántos triángulos quedan determinados con vértices en esos puntos?
18.¿Cuántos números de 5 dígitos se pueden formar reordenando las cifras del número
73.531?
19.¿Cuántas palabras de 9 letras se pueden formar con las letras de la palabra lavarropa?
20.¿Cuántos números distintos de 5 cifras y mayores que 10 se pueden formar con las 4 cifras 2, 7, y 0, si el 2 y el 7 se repiten 2 veces ?
21.Dada la grilla
B
X
a. ¿De cuántas maneras se puede ir de la casilla A a la B moviéndose siempre o bien una casilla hacia la derecha o bien una casilla hacia arriba?
b. ¿De cuántas maneras si se debe pasar por la casilla X?
22.¿Cuántos números distintos de 3 cifras pueden formarse con los dígitos del 1 al 8, si estos pueden repetirse?
23.¿Cuántas cuaternas ordenadas (a, b, c, d) hay, con coeficientes en {1, 2, 3, 4, 5} si: a. las cifras son distintas?
b. las cifras son distintas y el número abcd no es múltiplo de 2?
c. la primera componente es 1 y la segunda componente es 3?
d. el número abcd es múltiplo de 4 o es múltiplo de 5?
24.Si se considera la distribución de 15 bolillas distintas en 8 casilleros, en cuántas de dichas distribuciones el casillero 4 contiene exactamente 5 bolillas?
25.¿Cuántas n – uplas formadas con las cifras 1, 2, 3 y 4 contienen exactamente k veces el número 1?
26.28 personas deben pasar, sin importar el orden en que lo hagan, por 7 molinetes numerados del 1 al 7.
a. Si se hiciera distinción de personas:
1. ¿De cuántas formas pueden hacerlo?
2. ¿ De cuántas si por el molinete Nº 1 deben pasar exactamente 3 personas? b. Si no se hiciera distinción de personas cuáles serían las respuestas a las
preguntas planteadas en a.?
27.El ascensor de un edificio lleva 10 pasajeros y puede detenerse en cualquiera de los 12 pisos del mismo.
a. Si se hace distinción de personas:
1. ¿En cuántas formas pueden descender los 10 pasajeros?
2. ¿En cuántas si en el piso 10 descienden exactamente 3 personas? 3. ¿En cuántas si en cada piso desciende a lo sumo un pasajero?
b. Si no se hiciera distinción de personas ¿cuáles serían las respuestas a las preguntas planteadas en a.?
28.
Indicar la única respuesta correcta y analizar el error cometido en las restantes respuestas:
a. La cantidad de funciones cuadráticas f: R → R / f(x) = a. x2 + b. x + c con
{
x N/1 x 30}
c y b
a, ∈ ∈ ≤ ≤ y en las que a < b < c resulta ser:
1 303
2
! 3 . 3 30
3
330
4
b. A la asamblea universitaria asistieron 135 estudiantes, 20 graduados , 35 no docentes y 50 docentes. La cantidad de comisiones mixtas de 10 miembros que se puedan formar con al menos 4 docentes para el tratamiento de cuestiones académicas es de:
1.
∑
= + + + l 35 . k 20 . j 135 . i 50 10 l k j i2.
−
∑
= 10 i
190 . i 50 9 4 i 3. − 10 50 10 240
. 4.
4 50 6 190
c. Si en las últimas elecciones los 500 votantes del distrito A votaron por las 5 fórmulas más fuertes en intención de voto y ninguno resultó ser impugnado o voto en blanco:
¿De cuántas maneras distintas se pueden distribuir los votos si el candidato A obtuvo más del 50% de los votos y el candidato B obtuvo menos del 20% de los votos?
(recordá que el voto es secreto)
1.
∑
= − 99 0
i 249 i
253 . i 253
2.
2 152
3. 5500 -
∑
∑
= = − 250 0 i 500 100 i i 500 i 500
4.
−
4
153
4
253
29. Verificar que:
a. n!+(n+1)!=(n+2).n! b. (n+1)!−n!=n.n!
c. )! 1 ( 1 ! 1 )! 1
(n+ = n − n+
n
d. . !
)! 1 ( ) ! ( 2 n n n n = −
30. Determinar n∈N tal que:
16 )! 1 ( )! 2 ( )! 1 ( )! 3 ( = + + − + + n n n n
31. Verificar que:
a. 2 2
2 1
2 = ∈ ≥
+ + N m para m m m b. + − = + r m r r m r m . 1 1 c. = − − k p p m k p k m k m . . d. + − + + = + + r m r m r m r m . 2 1 1 1 2
32. Resolver las siguientes ecuaciones:
a.
= 3 5 x x
b. 55
2= x
c.
− = − − − 2 2 5 12 . 2 1 2 , 3 2 , 1 x V
Vx x d. x x x 15.x
33. Hallar x e y tales que: a. = = − + 1 , , 1 , y x, . 5 . 4 C y x y x y x C C C b. = = 20 120 V , y x, y x C
34. Evaluar a través del binomio de Newton:
a.
∑
= n k k n 0
b.
∑
= − n k k k n 0 ) 1 (
35. Desarrollar las siguientes expresiones:
a. (2.a−3.b2)6 b.
4
2
2
2
− a a c. 5 . 2 3
3
− y x 36. Determinar:
a. T7 en(a−1+a2)11 b. 8 (3. 22)13 x x en
T +
c. T4 en(a−2.b)9 d. 5 )7
2
(x y
en
T +
37. Hallar el coeficiente de:
a. 14 ( 3 12)13 x x en
x + b.
14 2 6 80 y . 3 1 y . 4 1 en y − −
38. Hallar el / los términos centrales de los siguientes desarrollos:
a. 8 + x y y x b. 10
10 − b b a c. 9 2
2
−y x
d. )11
2 1 . (ab+
39. Hallar los términos Tk en los que:
a. el exponente de x sea múltiplo de 4 en 15
2) 4 . 3 ( x x+
b. el exponente de x sea un número entero en 2/3 3/2 10
) .
3
RESPUESTAS PRACTICO Nº 1
1.
a. 6 b. 1296
2. 60
3. 900
4. 7999
5. n k
6. 1728
7.
a. 34.560
b. 120.960
c. 2.903.040
8. a. 300 b. 108 c. 120
9. a. 72
b. posición 31 c. posición 8
10. a. 120 b. 16 c. 72 d. 12
11.120 12.
a. 8400
b. 2520
13.264
14.1.814.400
16. a. 224 b. 896
17.
+
2 . 2
. n n m
m
18.60
19.30.240
20.24
21. a. 210 b. 90
22.512
23. a. 120 b. 72 c. 25 d. 250
24. .710 5 15
25. .3n k k
n −
26.
a. 728, .625 3 28
b.
25 30 , 28 34
27.
a. 1210, .117 3 10
, V12, 10
b.
10 12 , 10 17 , 10 21
30. 2
32. 8, 11, 7, 2
33. 17 y 8, 6 y 3.
34. 2n, 0
36.
a. T7 = .a7 6 11
b. T8 = .36.27.x 8 7 13 −
c. T4 = .( 8).a6.b3
3 9 −
d. T5 = .x3.y4 16 1 . 4 7 37.
a.
5 13
b.
− 3 1 . 4 1 . 1 14 13 38.
a. T5 =
4 8
b. T6= 5
5 a . 10 1 . 5 10 −
c. T5 = .x10.y4 32 1 . 4 9
y T6 = - .x8.y5 16 1 . 5 9
d. T6 = .a6.b6 32 1 . 5 11
y T7 = .a5.b5 64 1 . 6 11 39.
a. T2 = 15.314.4.x12, T6 =
5 15
.310.45.x0, T10 =
9 15
.36.49.x –12 y T14 =
13 15
.9.413.x –24
b. T2 = -10.3 9
.x6.a3/2, T5=
4 10
.36.x4.a6, T8= -
7 10
.27.x 2.a21 /2 y T11=x 0
2 º VUELTA DE CONTEO (PARA EL REPASO)
1. Evaluar sin desarrollar:
a.
∑
= − − 80 3 k k 80 k 4 . ) 3 .( k 80
b. i
5 0 i 10 0 k
2
i
5
.
2
_
k
10
∑
∑
= =
2.¿Cuál es el coeficiente del término w2.x3.y2.z5 al desarrollar la expresión (2.w + x + 3.y + z)12?
3. Demostrar: 2 1 n k sii 1 k n k n − < + < 4.
Verificar la siguiente identidad:
+ + = + − + + + + + + 1 4 . 2 3 4 1 3 3 . m n m n n m n m n
(tener en cuenta propiedades)
5.
¿Qué valor de n∈ N hace que el 4to término de ( a3 + a 2
)n tenga grado cero? Escribir
dicho término.
6.
Una empresa nacional contrata a un grupo de 30 personas (un poco de imaginación eh!) para realizar tareas en 4 de sus secciones (entre los 30 empleados hay 15 hombres y 15 mujeres):
a. ¿De cuántas maneras distintas se pueden seleccionar 3 de ellos para ocupar los cargos de: encargado de transportes, encargado de compras y encargado de ventas en el sector nº 1 si todos están capacitados para los puestos mencionados y no ocupan más de un puesto?
b. ¿De cuántas maneras distintas se los puede seleccionar si:
• en el sector nº 1 se necesita dos maestras jardineras para la guardería (4 de las postulantes lo son) , un cocinero y su ayudante (5 de los postulantes pueden cubrir esos cargos entre los hombres)
• en los sectores nº 2 y nº 3 se necesita cubrir 10 cargos no jerarquizados en cada uno de ellos y
• en el sector nº 4 se necesitan 6 operarios masculinos.
7. Si se consideran cadenas de ocho bits:
b. ¿Cuántas cadenas de ocho bits comienzan con 1 y terminan con 1? c. ¿Cuántas cadenas de ocho bits contienen y exactamente tres 0’s?
8.
En una clase de 100 estudiantes ( 40 son varones y 60 mujeres).
a. ¿De cuántas maneras se puede formar un comité de 10 personas?
b. Idem a. pero a condición de que el comité esté constituido ya sea por seis hombres y cuatro mujeres o por cuatro hombres y seis mujeres.
c. Idem a. pero a condición de que Marta y Alberto no estén juntos en ninguna comisión.
9.
Juan desea trabajar 8 horas extras en esta semana (de lunes a viernes). ¿De cuántos modos distintos puede hacerlo si quiere trabajar al menos una hora extra por día, y no tiene problemas en trabajar hasta 4 horas extra un mismo día? (las horas extra se cuentan enteras).
10.
Si se consideran las funciones del tipo f : R→R / f(x) = a. x2 + b. x + c con coeficientes en el conjunto {2,3,4,5,8,9}:
a. ¿Cuántas funciones distintas hay?
b. ¿En cuántas de ellas los coeficientes son distintos y el número “abc” es múltiplo de 4?
c. ¿En cuántas de ellas a < b < c?
11.
Si se considera una bolsa con 20 pelotas ( seis rojas, seis verdes y ocho azules):
a. ¿de cuántas maneras se pueden extraer 2 rojas, 3 verdes y una azul si se considera que todas las pelotas son distintas? (no interesa el orden de extracción)
b. ¿de cuántas maneras se las puede distribuir entre 10 niños si las pelotas del mismo color son indistinguibles entre sí y Juan y Ana (los dos más pequeños) reciben al menos una pelota azul?
12. Los 20 alumnos de un curso deben votar para elegir un representante. Si los candidatos son 3.
a. ¿De cuántas maneras distintas pueden distribuirse los votos?
b. Si Pablo es uno de los tres candidatos en cuántos de los resultados de a. obtuvo más del 50% de los votos?
13. Si se consideran números enteros positivos del 1 al 1000:
a. ¿Cuántos de ellos no son divisibles ni por 3, ni por 7 , ni por 11 a la vez? b. ¿Cuántos de ellos tienen la particularidad de que la suma de sus cifras es par?
a. ¿Cuántas de ellas son soluciones enteras de la ecuación: a + b + c + d = 32 si a, b, c, d > 0?
b. ¿Cuántas de ellas satisfacen la condición: a < b y c > d con a, b, c, d ∈ {1,2 , 3, ...100}?
c. ¿Cuántas de ellas satisfacen la condición: el número ab es múltiplo de 3 o el número cd es múltiplo de 4 con a, b, c, d ∈ {1,2 , 3, ...10}?
15.
Indicar la única respuesta correcta y analizar el error cometido en las restantes respuestas:
a. La cantidad de números impares que hay entre 100 y 999 con todas sus cifras distintas es:
1. 360 2. 320 3. 315 4. 252
b. La cantidad total (T) de formas distintas de asignar cinco pedidos a tres mozos para llevarlos a cinco mesas distintas y siempre que cada mozo lleve al menos un pedido es:
1. T = 60 2. T = 90 3. T = 150
4. T = 243
c. La cantidad de formas en que se pueden distribuir, en forma ordenada, once personas en dos mesas circulares con seis y cinco asientos respectivamente es de:
1.
! 5 !. 6 . 5 11
2.
! 4 !. 5 . 6 11
3.
