Modelos de Programación Lineal: Resolución gráfica y Teorema fundamental. Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12

Modelos de Programaci´

on Lineal:

Resoluci´

on gr´

afica y Teorema

fundamental

Prof. Jos´e Ni˜no Mora

Esquema

• Resoluci´on gr´afica de problemas de PL: ejemplos • Soluciones factibles, regi´on factible y v´ertices

• Teorema fundamental

• Soluciones b´asicas factibles • Ejemplo

Ej: planificaci´

on de la producci´

on

• Una empresa fabrica: Producto 1 (Pr1) y Producto 2 (Pr2)

• Utiliza materias primas (recursos): M1 y M2 • Datos:

Pr1 Pr2 Disponible/d´ıa (tons)

M1: 6 4 24 M2: 1 2 6 Beneficio/ton (ke) 5 4 • M´as restricciones: D2: demanda Pr2 ≤ 2 • D: producci´on Pr2 - producci´on Pr1 ≤ 1

Ej: Formulaci´

on de PL

• Variables de decisi´on: x1 (tons. de Pr1/d´ıa), x2 (tons. de Pr2/d´ıa) • max 5x1 + 4x2 sujeto a: M1: 6x1 + 4x2 ≤ 24 M2: x1 + 2x2 ≤ 6 D2: x2 ≤ 2 D: −x1 + x2 ≤ 1 no negatividad: x1, x2 ≥ 0

A˜

nadiendo la restricci´

on M1:

6

x1

+ 4

x2

≤

24

A˜

nadiendo la restricci´

on M2:

x1

+ 2

x2

≤

6

A˜

nadiendo la restricci´

on D2:

x2

≤

2

A˜

nadiendo la restricci´

on D:

−x1

+

x2

≤

1

Regi´

on factible

P

Regi´

on factible

P

Observaciones

• Regi´on factible: conjunto de puntos x = (x1, x2) que

satisfacen las restricciones

• La region factible P es un poliedro convexo, delimitado por las restricciones M1, M2, D2, D y no-negatividad

• La region factible P est´a caracterizada por sus 5

v´ertices: xA, xB, xC, xD, xE, xF

• ¿C´omo calculamos las coordenadas de cada v´ertice? • Resolvemos el sistema de ecuaciones correspondiente

Determinaci´

on de la soluci´

on ´

optima

Determinaci´

on del v´

ertice ´

optimo

• Para cada valor z de la funci´on objetivo, tenemos la correspondiente recta de nivel del objetivo, de ecuaci´on

5x1 + 4x2 = z

• Para maximizar, tenemos que encontrar la recta de nivel con el mayor valor de z que no se salga de la regi´on factible

P

• Observamos que la recta de nivel ´optima tiene z∗ = 21 , obteniendo como soluci´on ´optima el v´ertice xC = (3, 3₂)

Ej: el problema de la dieta

• Modelo cl´asico de PL: ¿Cu´al es la dieta m´as econ´omica que satisface las necesidades nutricionales?

• Ej: Una granja utiliza 800 kg de pienso/d´ıa • “pienso”: mezcla de ma´ız y soja

• Datos (kg/kg):

Ma´ız Soja proporci´on requerida Prote´ınas 0,09 0,60 ≥ 30 %

Fibra 0,02 0,06 ≤ 5 %

Ej: (cont.)

• Formulaci´on de PL:

1. _{Variables de decisi´on:}

proporci´on de ma´ız ( x1 ) y soja ( x2 ) en la mezcla/kg 2. _Objetivo: minimizar coste/kg: m´ın 0,3x1 + 0,9x2 3. _{Restricciones:} total: x1 + x2 = 1 prote´ınas: 0,09x1 + 0,6x2 ≥ 0,3 fibra: 0,02x1 + 0,06x2 ≤ 0,05 no negatividad: x1, x2 ≥ 0

Regi´

on factible

P

Regi´

on factible

P

Observaciones

• La regi´on factible P es tambi´en un poliedro convexo,

en este caso un segmento

Determinaci´

on de la soluci´

on ´

optima

Determinaci´

on de la soluci´

on ´

optima

• Para cada valor z de la funci´on objetivo, tenemos la correspondiente recta de nivel del objetivo, de ecuaci´on

0,3x1 + 0,9x2 = z

• Para minimizar, tenemos que encontrar la recta de nivel con el menor valor de z que no se salga de la regi´on

factible P

• Observamos que la recta de nivel ´optima tiene z∗ = 93 170 , obteniendo como soluci´on ´optima el v´ertice xA

Ej: Un problema de abastecimiento ´

optimo

• Una empresa se abastece de petr´oleo de Arabia Saud´ı y Venezuela. Una vez refinados, produce gasolina, fuel de avi´on y lubricantes

• Datos :

(barriles/barril) A. Saud´ı Venezuela requerido/d´ıa

Gasolina 0,3 0,4 ≥ 2000

Fuel de avi´on 0,4 0,2 ≥ 1500

Lubricantes 0,2 0,3 ≥ 500

Disponible/d´ıa ≤ 9000 ≤ 6000 coste (e/barril) 20 15

• ¿C´uanto petr´oleo comprar a cada proovedor satisfacer los requisitos a coste m´ınimo?

Ej: (cont.)

• Formulaci´on de PL:

1. _{Variables de decisi´on:}

miles de barriles de A. Saud´ı ( x1 ) y de Venezuela ( x2 ) refinados/d´ıa

2. _Objetivo:

minimizar coste/d´ıa: min 20x1 + 15x2

3. _{Restricciones:} gasolina: 0,3x1 + 0,4x2 ≥ 2 fuel: 0,4x1 + 0,2x2 ≥ 1,5 lubricantes: 0,2x1 + 0,3x2 ≥ 0,5 disponible A. Saud´ı: x1 ≤ 9 disponible Venezuela: x2 ≤ 6 no negatividad: x1, x2 ≥ 0

Regi´

on factible

P

Determinaci´

on de la soluci´

on ´

optima

Determinaci´

on de la soluci´

on ´

optima

• Para cada valor z de la funci´on objetivo, tenemos la correspondiente recta de nivel del objetivo, de ecuaci´on

20x1 + 15x2 = z

• Para minimizar, tenemos que encontrar la recta de nivel con el menor valor de z que no se salga de la regi´on

factible P

• Observamos que la recta de nivel ´optima tiene z∗ = 185₂ , obteniendo como soluci´on ´optima el v´ertice xE = (2, 7₂)

Caso general: regi´

on factible

• En general, la regi´on factible P de un PL con variables de decisi´on x = (x1, . . . , x_n) es un poliedro convexo en Rn

• Un poliedro convexo en Rn es una regi´on de puntos

x = (x1, . . . , xn) que satisfacen un conjunto de desigualdades

lineales

• Hemos visto en los ejemplos que la soluci´on ´optima se alcanza en un v´ertice de P .

• Teorema fundamental de la PL: Si un PL tiene

soluci´on ´optima, entonces ´esta se alcanza en un v´ertice

Reformulaci´

on en formato est´

andar

• Trabajaremos con PLs en formato est´andar: s´olo con

restricciones de igualdad y no-negatividad; adem´as, con las constantes del Lado Derecho no-negativas

• Podemos reformular cualquier PL en formato est´andar • Variables de holgura: x1 + x2 ≤ 24 ⇐⇒ ⎧ ⎨ ⎩ x1 + x2 + s1 = 24 s1 ≥ 0

• Variables de exceso (“surplus”):

x1 + x2 ≥ 800 ⇐⇒ ⎧ ⎨ ⎩ x1 + x2 − s2 = 800 s2 ≥ 0

• Variables no restringidas en signo: x no restringida en signo ⇐⇒ ⎧ ⎨ ⎩ x = x+ − x− x+, x− ≥ 0

Estructura de las soluciones de un PL

• ¿Cu´al es la estructura de las soluciones ´optimas? • Consideremos un PL en formato est´andar (con los

bi ≥ 0 ):

z∗ = max c1x1 + · · · + cnxn

sujeto a:

ai1x1 + · · · + ainxn = bi, i = 1, . . . , m

x1, . . . , xn ≥ 0,

• Supondremos que m < n , y que el rango de la matriz de coeficientes A = (a_ij) es m , i.e. sus m filas son

Soluciones b´

asicas (factibles)

• Para x = (x1, x2)T , las soluciones ´optimas se alcanzan en

vertices. ¿Qu´e es un v´ertice cuando x = (x1, . . . , x_n)T ?

• Notaci´on matricial: a_j = (a_ij)m_i=1 (columna j ),

b = (bi)m_i=1 , x = (xj)_jn₌₁ , c = (cj)n_j=1 , A =

a1 · · · an

• Escribimos las restricciones como Ax = b , i.e.

a1x1 + · · · + anxn = b

• Elegimos una base de A , i.e. un conjunto de m columnas l.i.:

B = _{aj1 · · · ajm}

• Las variables x_j1, . . . , x_jm son b´asicas; las dem´as son

Soluciones b´

asicas (factibles)

• La correspondiente soluci´on b´asica xB = (xB_j )n_j=1 tiene las variables no-b´asicas iguales a cero. Los valores de las variables b´asicas se calculan resolviendo el sistema de

ecuaciones m × m :

aj1xj1 + · · · + ajmxjm = b

• Def: xB es una soluci´on b´asica factible si xB ≥ 0

• Los v´ertices son las soluciones b´asicas factibles (SBF)

• Por el Teorema fundamental, para encontrar una soluci´on ´

optima s´olo tenemos que buscar entre los v´ertices (SBF)

Ejemplo

• Consideremos el PL con ( n = 3 variables, m = 2 restricciones): z∗ = m´ax 5x1 + 12x2 + 4x3 sujeto a x1 + 2x2 + x3 = 10 2x1 − x2 + 3x3 = 8 x1, x2, x3 ≥ 0

• Tomemos como variables b´asicas x1, x2 , i.e. la base es:

B = _{a1 a2}

• La correspondiente soluci´on b´asica es: x{1,2} = (26

5 , 125 , 0) , que es factible: es un v´ertice

Ejemplo

• Tomemos como variables b´asicas x1, x3 , i.e. la base es:

B = _{a1 a3}

• La correspondiente soluci´on b´asica es: x{1,3} = (22, 0, −12) , que no es factible: no es un v´ertice

• Tomemos como variables b´asicas x2, x3 , i.e. la base es:

B = _{a2 a3}

• La correspondiente soluci´on b´asica es: x{2,3} = (0, 22₇ , 26₇ ) , que es factible: es un v´ertice

Ejemplo: determinaci´

on del v´

ertice ´

optimo

• El PL tiene dos v´ertices: • V´ertice 1: x{1,2} = (26

5 , 125 , 0) • V´ertice 2: x{2,3} = (0, 22₇ , 26₇ )

• Calculamos el valor del objetivo en cada v´ertice: • V´ertice 1: z{1,2} = 274

5 • V´ertice 2: z{2,3} = 368₇

• Como z{1,2} > z{2,3} , el mejor v´ertice es x{1,2}

• Por el Teorema fundamental, si el PL tiene soluci´on ´