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NO-LINEAL EN UNA VARIABLE

INTRODUCCIÓN

El objetivo de este capítulo es estudiar algunos métodos numéricos para hallar raíces reales de una ecuación no-lineal en una variable (sólo se estudiarán raíces complejas para ecuaciones polinómicas). En la siguiente definición formalizamos el concepto de raíz de una ecuación.

Definición 2.1 Sea f:

D

→

R D

, ⊆

R

, una función dada. Un número α ∈

D

se dice una raíz (en

D

) de la ecuación f x

( )

=0, o un cero (en

D

) de la función f si f

( )

α =0. ∇∇∇∇

Como veremos, los métodos numéricos que estudiaremos para encontrar una raíz α de una ecuación f x

( )

=0_{, generarán una sucesión}

{ }

x_{n n}, n=0 12, , ,...(Métodos iterativos) tal que

lim x

n→∞ n= α. Cualquiera de tales métodos numéricos permitirá calcular los términos de la

sucesión

{ }

x_{n n}; así que no se espera, en general, calcular lim x

n→∞ n. Por lo tanto, deberemos

disponer de algún criterio para escoger un término de la sucesión

{ }

x_{n n}, n=0 12, , ,... como aproximación de la raíz buscada α .

CRITERIOS DE APROXIMACIÓN

Supongamos que la función f es continua en alguna vecindad de α que contiene a la sucesión

{ }

x_{n n}, n=0 12, , ,..., y que la sucesión

{ }

x_{n n} es tal que lim x

n→∞ n= α. Entonces

( ) ( )

lim f x f

n→∞ n = α =0 y así, dado cualquier número positivo ε, existe N∈

N

=

{

0,1,2,...

}

tal que

para todo n≥N se tiene que f

( )

_n x < ε. Teniendo en cuenta lo anterior, dado un número

ε >0 adecuadamente pequeño, al cual llamaremos Tolerancia y que notaremos Tol, podríamos escoger como aproximación de la raíz αααα al término x_N de la sucesión mencionada, donde N es el menor entero no-negativo que satisface

i) f

( )

_n x < ε

Por otro lado, como lim x

n→∞ n= α significa que dado ε >0 , existe

{

}

N₀∈ =

N

0 12, , ,... tal que si n≥N₀, entonces x_n−α <ε, y esto implica que

x x

x x

N N N N

N N

x x

0 0 0 0

0 0

1 1

1 2

+ +

+

− = − + −

≤ − + − < + =

α α

α α ε ε ε

ii) x_n−x_{n 1−} <ε

También podríamos tomar como aproximación de la raíz αααα al término x_N donde N es el menor entero no-negativo tal que

iii) x x x

n n 1 n −

<

− _ε

, si 0x_n ≠

Pues bien, para una tolerancia ε >0 previamente escogida, cualquiera de los tres criterios mencionados, se adoptará como criterio para obtener una aproximación de una raíz α . Ahora, en cuanto a los criterios de aproximación anteriores, es fácil ver que el hecho de que

( )

f _N x < ε o x_N−x_N−1 <ε no necesariamente indica que x_N esté muy cerca de α, como puede apreciarse en la FIGURA 2.1 y en el ejemplo 2.1 siguientes.

FIGURA 2.1

Ejemplo 2.1 Consideremos la ecuación f x

( )

=0 donde f x

( ) ( )

= −x 110. Es claro que α =1 es una raíz de esta ecuación, y que la sucesión

{ }

x_{n n}, n=1,2,... donde x

n

n = +1

1

converge a dicha raíz.

Si tomamos como tolerancia ε =10−3, al aplicar el criterio de aproximación i), se tiene que

( )

f x n

n n n

n < ⇔ + −

 



 = < − ⇔ > ⇔ ≥

ε 1 1 1 1 10 10 2

10 10

3 10 3

Si tomamos como aproximación de α al término x₂ 1 1 2

3 2

= + = de la sucesión mencionada,

observamos que

2 1 2 3 1 x

- ₂ = − =

α , y 1

2 no es menor que ε =

−

10 3; realmente α−x₂ es una distancia muy grande entre α y x2 . Vea la FIGURA 2.2.

Si usamos el segundo criterio con la misma tolerancia, debemos encontrar n tal que

x x 1 1

n 1

1 n 1

1 n

1

n 1 10

n n 1

3

− < ⇔ + − +

− 

  = − − <

Resolviendo esta última desigualdad se obtiene que si n≥33 , entonces x_n−x_n−1 < =ε 10−3, así que la aproximación de α obtenida, usando este criterio, sería

x 1 1

33 1030...

33 = + = . , y la distancia α −x =

1 33

33 no es menor que ε =10− 3

.

Observe que para que α−x_n < =ε 10−3, debe tomarse x x 1 1

1001 100099..

n= 1001= + = . ..

( α− < ⇔ε − +

 

 < − ⇔ < − ⇔ >

x

n n n

n 1 1

1

10 3 1 10 3 103) ♦

FIGURA 2.2

Se sigue de lo anterior que cualquiera de los criterios i), ii), iii) puede no darnos una idea clara de la distancia real α −x_n .

Por otra parte, para garantizar que una sucesión, generada por un determinado método numérico, converge a la raíz buscada, la función f en cuestión deberá satisfacer ciertas condiciones; resulta que muchas veces aplicaremos el método sin chequear tales condiciones lo que nos conducirá, posiblemente, a una sucesión divergente, caso en el cual, un entero N para el cual se cumpla i), ii) o iii), puede no existir. Puede ocurrir también que, aún tratándose de una sucesión que converge a la raíz buscada, el entero N al que nos hemos referido sea muy grande, por ser "muy lenta" la convergencia de la sucesión. Por lo anterior, al aplicar cualquiera de los criterios, se hace necesario establecer siempre una cota para N, es decir, imponer un máximo al número de iteraciones.

ecuación. Además, la gráfica de f nos permitirá tener alguna idea útil del comportamiento cualitativo de f en la vecindad de la raíz α _{(por ejemplo crecimiento y concavidad). Ahora} bien, es posible que a través de un proceso puramente gráfico podamos obtener una aproximación para una raíz, que aunque limitada, sea útil para ciertos fines.

Ejemplo 2.2 Supongamos que estamos interesados en encontrar todas las raíces de la ecuación

3x2−ex =0

Una forma de iniciar la búsqueda de las raíces es determinando intervalos que contengan a dichas raíces. Para esto, graficamos f x

( )

=3x2−ex (ver la FIGURA 2.3 siguiente).

FIGURA 2.3

De acuerdo con la gráfica anterior se ve que la ecuación en consideración tiene por lo menos tres raíces reales α₁∈ −

[ ]

10, , α₂∈

[ ]

0 1, y α₃∈

[ ]

3 4, . (Verifique analíticamente que la ecuación 3x2−ex=0 tiene únicamente tres raíces reales).

Ahora bien, puesto que 3x2−ex = ⇔0 3x2=ex, otra forma de proceder es graficando las funciones f x1

( )

=3x2 y f x2

( )

=ex, en un mismo plano coordenado (ver la FIGURA 2.4). En

este caso las raíces buscadas son las abscisas de los puntos de intersección de las dos gráficas.

Una forma de aproximar cada una de las raíces α α1, 2 y α3, es dividiendo el intervalo

donde cada una de éllas se encuentra, y hacer esto sucesivamente hasta lograr un subintervalo de longitud suficientemente pequeña y que contenga a dicha raíz. Por ejemplo, si empezamos con los intervalos dados y hacemos una tabla de valores para la función

( )

f x =3x2−ex con tamaño de paso h=0 1. , obtenemos que α1∈ −

[

0 5 0 4. ,− .

]

, α2∈

[

0 9 10. ,.

]

( )

f x =3x2−ex en el intervalo

[ ]

0 1, con tamaño de paso h=0 1. . Observe que como la función f es continua en

[

0 9 10. ,.

]

y f

( ) ( )

0 9. f10. <0, entonces α2∈

[

0 9 10. ,.

]

.

FIGURA 2.4

x _{f x}

( )

_{= x −e}x

3 2

0 −10. 0 1. −107. ... 0 2. −110. ... 0 3. −107. ... 0 4. −101. ... 0 5. −0 89. ... 0 6. −0 74. ... 0 7. −0 54. ... 0 8. −0 30. ... 0 9. −0 02. ... 10. _{0 28}. ...

TABLA 2.1 Instrucción en DERIVE:

VECTOR(

[

x f x,

( )

]

, x a b h ): aproXima una tabla de valores de la función , , , f x

( )

en el intervalo

[ ]

a b, , con tamaño de paso h. Para el ejemplo, aproXime la expresión VECTOR(

[

x,3x2−exp

( )

x

]

, , , ,x 0 1 0 1. ). ◊◊◊◊

En situaciones como la del ejemplo anterior, donde se sabe de la existencia de una única raíz

alguno de los siguientes métodos numéricos llamados cerrados para encontrar una aproximación de dicha raíz.

2.1 MÉTODOS CERRADOS

Los métodos numéricos que en cada paso dan un intervalo cerrado donde se encuentra la raíz buscada, son llamados métodos cerrados. Aquí estudiaremos dos de tales métodos: el método de Bisección y el método de Posición Falsa.

2.1.1 Método de Bisección : Supongamos que f es una función continua en un intervalo

[ ]

a b, y f a f b

( ) ( )

<0. Entonces, por teorema del valor intermedio para funciones continuas, existe al menos un α ∈

( )

a b, tal que f

( )

α =0. Asumiremos en lo que sigue que la raíz en este intervalo es única (aunque el método también se puede aplicar cuando hay más de una raíz en

( )

a b, ).

El método de Bisección aplicado a la función f para aproximar la raíz α∈

[ ]

a,b , consiste en dividir sucesivamente el intervalo

[ ]

a b, por la mitad, hasta que la longitud del subintervalo que contiene a la raíz α sea menor que alguna tolerancia especificada ε.

Para empezar tomamos a₁ =a, bb₁ = y x es el punto medio de ₁

[

a₁,b₁

]

, o sea

(

)

x₁ 1 a₁ b₁ a₁ b1 a1

2 2

= + = + − : primera aproximación de la raíz α.

FIGURA 2.5

α −x₁ ≤b1−a1 = −b a

2 2

Si f x

( )

₁ =0 o b1 a1 2

− _{< ε}

Si f a f x

( ) ( )

_{1 1} <0, entonces α ∈

(

a x₁, ₁

)

y tomamos a₂=a₁, b₂ =x₁; en caso contrario tomamos a₂=x₁, b₂=b₁.

Ahora aplicamos nuevamente el proceso anterior al intervalo

[

a b₂, ₂

]

, así:

(

)

x₂ 1 a₂ b₂ a₂ b2 a2

2 2

= + = + − : segunda aproximación de la raíz α

(

)

α − ≤ − =  −



 =

− _{= −}

x2 b2 a2 b1 a1 b1 ₂a1 b ₂a

2 1 2

1

2 2 2

En general, después de ( n−1)-pasos, la raíz α ∈

(

a b_n, _n

)

y tomamos

(

)

2 a b a b a 2 1 x

_n = _n + _n = _n+ n− n : n-ésima aproximación de la raíz α

(

)

0 1

2 2

≤ α−xn ≤ bn−an = −b _na

Como lim b a

n→∞ ₂− =n 0 , entonces nlim x→∞ n= α, es decir, la sucesión

{ }

x_{n n converge a la raíz α;} lo que significa que el método de Bisección siempre converge.

Dado ε >0 , si −_n ≤ε 2

a b

, entonces x_n −α ≤ε. En particualr, si ε = ×5 10− +( )k 1 para un

cierto entero no-negativo k, y N es el menor entero positivo para el cual −_n ≤ε 2

a b

, entonces

( )k 1

N 5 10

x ≤ × − +

−

α , así que x_N=α∗ aproximará a la raíz α con una precisión de por lo menos k cifras decimales exactas.

Algoritmo 2.1 (Bisección) Para encontrar una aproximación α∗ de una raíz α ∈

( )

a b, de una ecuación f x

( )

=0 donde f es una función continua en

[ ]

a b, y f a f b

( ) ( )

<0:

Entrada: f x

( )

; los extremos a, b del intervalo; una tolerancia Tol, y un número máximo de iteraciones N .

Paso 1: Tomar n=1.

Paso 2: Mientras que n≤N seguir los pasos 3-6:

Paso 3: Tomar c= +a b = + −a b a

2 o c 2 (calcular xn ) Paso 4: Si f c

( )

=0 o b− <a Tol

2 , entonces salida: "Una raíz aproximada de la ecuación dada es α∗=c ". Terminar.

Paso 5: Tomar n= +n 1.

Paso 6: Si f a f c

( ) ( )

<0, entonces tomar b=c, de lo contrario tomar a=c.

Paso 7: Salida: "Se alcanzó el número máximo de iteraciones N pero no la tolerancia". Terminar.

Para el ejemplo 2.2 anterior, usemos el método de Bisección en el intervalo

[

0 9 10. ,.

]

para aproximar la raíz α₂, con una precisión de por lo menos tres cifras decimales exactas. Debemos encontrar n tal que α₂−xn ≤ ×5 10−4; pero como

α2

2

10 0 9 2

0 1 2

−x_n ≤ − =b a − =

n n n

. . .

, basta encontrar n tal que 0 1

2 5 10

4

.

n ≤ ×

−

. La solución de esta última desigualdad es n≥8, así que x₈ aproximará a α₂ con por lo menos tres cifras decimales exactas.

La TABLA 2.2 siguiente, muestra los cálculos para obtener x₈.

n an bn xn

signo de

( )

f a_n f x

( )

_n

1 .9 1.0 .95 −1 .121...

2 .9 .95 .925 −1 _{4 50 10} 2

. ...× −

3 .9 .925 .9125 −1 _{7 42 10} 3

. ...× −

4 .9 .9125 .90625 −1 _{−111. ...×10}−2

5 .90625 .9125 .909375 −1 _{−188. ...×10}−3

6 .909375 .9125 .9109375 −1 _{2 76. ...×10}−3

7 .909375 .9109375 .91015625 −1 _{4 42. 10} 4

...× − 8 .909375 .91015625 .909765625 −1 _{−7 19 ×10}−4

. ... TABLA 2.2

BISECCION(f x x a b N

( )

, , , , ): aproXima las primeras N iteraciones en el método de Bisección aplicado a la función f x

( )

en el intervalo

[ ]

a b, . Para el ejemplo aproXime la expresión BISECCION(3x2−exp

( )

x x, ,0 9 10 8. , . , ). ◊◊◊◊

De acuerdo con los resultados de la TABLA 2.2, x₈ =.909765625≈α₂, y

( )

4

8 719... 10

x

f = − . × − . Observe que el menor valor de f x

( )

n , n=12 3, , ,..., es8

(

)

f 91015625 . =4 42. ...×10−4 y ocurrió en la iteración n=7 . Será que x₇ es mejor aproximación de α₂ que x₈?

Si usamos el método de Bisección para buscar aproximaciones de α1∈ − −

[

.5, 4.

]

y

[

]

α3∈3.7, 3 8. , con la misma precisión de α2, obtenemos:

α1≈ −.458984375=x , 8 f x

( )

8

5

7 485 10

= . ...× − α3≈3 733203125. =x , 8 f x

( )

8

3

2 408 10

= − . ...× − ♦

Algunas de las desventajas del método de Bisección con respecto a otros métodos son: No tiene en cuenta la magnitud de los valores de la función en las aproximaciones calculadas

x_n, sólo tiene en cuenta el signo def

( )

x_n , lo que hace que una aproximación intermedia, mejor que la respuesta final, pase desapercibida.

Aunque el método de Bisección siempre converge, su convergencia es muy lenta, comparada con la convergencia de otros métodos que estudiaremos, por lo que se sugiere escoger el intervalo inicial

[ ]

a b, tan pequeño como sea posible o usar el método de Bisección para obtener un buen punto de arranque para la aplicación de otro método.

Una de las mayores ventajas que tiene el método de Bisección es que el error de truncamiento, α −x_n , se acota fácilmente (recuerde que α −x_n ≤ −b a

n

2 ).

Ejercicio 2.1 Use el método de Bisección para estimar la menor raíz positiva de la ecuación x−tanx=0 , con una precisión de por lo menos 3 cifras decimales exactas, empezando con un intervalo

[ ]

a b, que contenga a dicha raíz y b− =a 0 1. . ♦

2.1.2 Método de Posición Falsa (o Regula Falsi): Consideremos una función f continua en un intervalo

[ ]

a b, y tal que f a f b

( ) ( )

<0. El método de Posición Falsa, para encontrar una aproximación de una raíz α∈

( )

a,b de f x

( )

=0, es similar al método de Bisección en el sentido de que se generan subintervalos

[

a b_n, _n

]

que encierran a la raíz α, pero esta vez xn

Al reemplazar la curva por una recta se obtiene una "posición falsa" de la raíz, de aquí el nombre del método. También se le conoce como método de Interpolación Lineal Inversa.

FIGURA 2.6

Empezamos tomando a₁=a, b₁=b y encontramos la primera aproximación de la raíz, x₁, como la intersección con el eje x , de la recta secante a la curva que pasa por los puntos

( )

(

a f a₁, ₁

)

,

₍

b f b₁,

( )

₁

₎

:

(

) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

x a b a f a

f b f a

a f b b f a f b f a

1 1

1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1

= − −

− =

− −

Si f x

( )

₁ =0, entonces α =x₁ y el proceso termina.

Si f a f x

( ) ( )

_{1 1} <0 entonces α ∈

(

a x₁, ₁

)

y tomamos a2=a1 , b2=x1, de lo contrario tomamos

a₂=x₁ , b₂=b₁.

Aplicamos nuevamente el proceso anterior al intervalo

[

a b₂, ₂

]

, es decir, hacemos

(

) ( )

( ) ( )

x a b a f a

f b f a

2 2

2 2 2

2 2

= − −

−

Después de la ( n−1)-ésima iteración, tenemos α ∈

(

a bn, n

)

y tomamos

(

) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

x_{n n} n n n

n n

n n n n

n n

a b a f a

f b f a

a f b b f a f b f a

= − −

− =

− −

Observe que en el denominador de la expresión anterior nunca se resta, pues f a f b

( ) ( )

_{n n} <0.

Por lo anterior, la longitud del subintervalo

[

a b_n, _n

]

no puede tomarse como un criterio de aproximación a la raíz; se requiere una tolerancia en el valor de la función en la aproximación x_n, es decir, f

( )

_n x < ε o x_n−x_n−1 <ε para alguna tolerancia ε >0 previamente escogida. El procedimiento termina cuando se alcance esta tolerancia o un número máximo de iteraciones previamente establecido.

Se puede demostrar, ver Ralston,1965, página 324, que este método converge siempre que f sea continua.

Ejercicio 2.2 Escriba un algoritmo para el método de Regula Falsi. ♦

Ejemplo 2.3 Con respecto a las raíces α₁∈ − −

[

.5, .4

]

, α₂∈

[

.9,10.

]

, α₃∈

[

3.7,3 8.

]

de la ecuación 3x2−ex =0, si usamos el método de Regula Falsi con criterio de aproximación

( )

f x_n < = ×ε 5 10−5

se obtienen los siguientes resultados

α1≈ −.458960329=x y 3 f x

( )

3 = −6.56... 10× −6 α2≈.910006353=x3 y f x

( )

₃ = −3.62...×10−6 α3 ≈3 73307860. =x y 4 f x

( )

4 =8 24. ...×10−6

Instrucción en DERIVE:

REGULA(f x x a b N

( )

, , , , ): aproXima las primeras N iteraciones en el método de Regula falsi aplicado a la función f x

( )

en el intervalo

[ ]

a b, . ◊◊◊◊

Compare los resultados anteriores con los obtenidos por el método de Bisección. ♦

Ejercicio 2.3 Aplique el método de Regula Falsi para estimar la menor raíz positiva αde la ecuación x−tanx=0 , usando como criterio de aproximación f

( )

_n x < ×5 10−5. Con cuántas cifras decimales exactas aproxima el valor obtenido xn a α ? ♦

2.2 MÉTODOS ABIERTOS

A diferencia de los métodos cerrados que requieren de un intervalo que encierre la raíz buscada, los métodos abiertos que se verán requieren de un solo valor o dos valores iniciales (de arranque) que no necesariamente encierran dicha raíz; ésto hace que algunas veces las sucesiones generadas por estos métodos sean divergentes o se alejen de la raíz de interés (vayan probablemente a otra raíz), pero tienen la ventaja que cuando convergen lo hacen "más rápidamente" que las sucesiones generadas por los métodos cerrados.

función g. En este caso se tiene que: αes raíz de f

( )

x =0⇔f

( )

α =0⇔α=g

( )

α ⇔α es raíz de x=g

( )

x .

Definición 2.2 Un número α tal que α=g

( )

α se dice un punto fijo de la función g. ∇∇∇∇

Cuándo una función g tiene un punto fijo, y si lo tiene, cómo encontrarlo?

El siguiente teorema da respuesta parcial (condiciones suficientes) a las preguntas formuladas antes.

Teorema 2.1 (de punto fijo) Si g es una función continua en

[ ]

a b, y g x

( )

∈

[ ]

a b, para todo

[ ]

x∈a b, , entonces g tiene por lo menos un punto fijo en

[ ]

a b, . Si además, g x′

( )

existe para todo x∈

( )

a b, y g x′

( )

≤ <K 1 para todo x∈

( )

a b, , K constante, entonces g tiene un único punto fijo α ∈

[ ]

a b, y la sucesión

{ }

x_{n n} definida mediante la fórmula de iteración

( )

x_n =g x_n−1 n, =12 3, , ,...

converge a α ( =α

∞

→ n

nlimx ) cualquiera sea x0∈

[ ]

a b, , y se tienen las siguientes cotas para

el error de truncamiento, α −x_n :

i) x K Max

{

x0 a ,b x0

}

,

para cada

n 0

n

n ≤ − − ≥

−

α ,

ii) x x ,paracadan 0, K

1 K

x 1 0

n

n ≤ ₋ − ≥

− α

iii) x x , para cada n 1 K

1 K

xn ≤ ₋ n − n1

≥

−

α ₋ .

Ilustración:

FIGURA 2.7

Supongamos a<g a

( )

y b>g b

( )

y sea h x

( ) ( )

=g x −x. Entonces h es continua en

[ ]

a b, ,

( ) ( )

( ) ( )

h a =g a − >a 0, hb =g b − <b 0, por tanto (teorema del valor intermedio) existe por lo menos un α ∈

( )

a b, tal que h

( )

α =0, ésto es, α=g

( )

α .

Unicidad: Supongamos que g x′

( )

≤ <K 1 para toda x∈

( )

a b, y alguna constante K, y sean

α y β puntos fijos distintos de g en

[ ]

a b, . Entonces

( ) ( )

( )(

)

( )

g

α β− = α −gβ = ′g ξ α β− = ′g ξ α β− ≤K α β− < α β−

para algún ξ∈

( )

α β, , lo cual es un absurdo, así que α β= y entonces el punto fijo en

[ ]

a b, , que existe según la primera parte, es único.

Convergencia de la sucesión

{ }

x_{n n} con x_n=g x

( )

_n−1, n=12 3, , ... y cotas para α −x_n : Sea x₀∈

[ ]

a b, cualquiera. Entonces

( ) ( )

( )

E_n= α−x_n = gα −g x_n−1 = ′g γ α−x_n−1 ≤KE_n−1, n=12, ,... _(2.1) para algún γ entre α y xn−1.

Procediendo inductivamente sobre n,se tiene que

, con E

0≤E_n≤KE_n−1≤K E2 _n−2≤ .... ≤K En _{0 0}= α−x₀ (2.2)

y como Kn→0 cuando n→ +∞, pues 0≤ <K 1, entonces E_n= α−x_n →0 cuando n→ +∞, es decir, lim x

n→∞ n= α.

De la relación (2.2), se tiene que

i) E_n = α−x_n ≤Kn α−x₀ ≤KnMax

{

x₀−a b, −x₀

}

, ya que α ∈

[ ]

a b, .

De otro lado

α−x₀ = α−x₁+x₁−x₀ ≤ α−x₁ + x₁−x₀ ≤K α−x₀ + x₁−x₀ así que

(

1−K

)

α−x₀ ≤ x₁−x₀ y como 0≤ <K 1, entonces

x

α − ≤

− −

x

K x

0 1 0

1

1 (2.3) Nuevamente, de (2.2)

α−x_n ≤Kn α−x₀

x

α− ≤ α− ≤

− −

x K x K

K x

n n

n

0 1 0

1 así que

ii) α −x ≤ K₋ x − n=

K x

n n

1 1 0 , 12, ,...

La demostración de la parte iii) se deja como ejercicio. ∇∇∇∇

El método de Punto Fijo para encontrar una raíz α de la ecuación x=g x

( )

, consiste en generar la sucesión

{ }

x_{n n} mediante la fórmula de iteración

( )

x_n =g x_{n 1−} , n=1,2,... con x₀ dado.

La función g se dice una función de iteración de punto fijo.

Nota: Observe, a partir de la cota de error dada en el teorema 2.1, ii), que para 0≤ <K 1, entre más pequeña sea K, es decir, entre más pequeña sea g x , x′

( )

∈

( )

a,b, "más rápida" será la convergencia de la sucesión

{ }

x_{n n} a α . La convergencia puede ser muy lenta si K está cerca de 1.

Algoritmo 2.2 (Punto Fijo) Para encontrar una aproximación α∗ de un punto fijo α de una función g, dada una aproximación inicial x₀:

Entrada: g(x); una aproximación inicial x₀ ; una tolerancia Tol, y un número máximo de iteraciones N .

Salida: Un punto fijo aproximado α∗ o un mensaje. Paso 1: Tomar n=1.

Paso 2: Mientras que n≤N seguir los pasos 3-6:

Paso 3: Tomar c=g x

( )

₀ (calcular x_n).

Paso 4: Si c−x₀ <Tol o c−x₀ <Tol c , entonces salida: "Un punto fijo aproximado de la función dada es α∗=c ". Terminar.

Paso 5: Tomar n= +n 1.

Paso 7 : Salida "Se alcanzó el número máximo de iteraciones N pero no la tolerancia". Terminar.

Las siguientes gráficas muestran algunas formas de convergencia o divergencia de la sucesión

{ }

x_{n n}, donde x_n=g x

( )

_n−1 , n=12, ,...

FIGURA 2.8.a FIGURA 2.8.b

Convergencia. (La sucesión no es Convergencia. (La sucesión

monótona) es monótona)

FIGURA 2.8.c FIGURA 2.8.d

Divergencia. No satisface las hipó- Convergencia (dependiendo del tesis del teorema de Punto Fijo. punto inicial ). No satisface las

hipótesis del teorema de Punto Fijo.

Hay situaciones en las que no se satisfacen las hipótesis del teorema de Punto Fijo y sin embargo hay convergencia, es decir, el teorema es de condiciones suficientes no necesarias.

Ejemplo 2.4 Para la ecuación 3x2−ex =0 sabemos que tiene tres raíces reales

[

]

Empezamos transformando el problema f

( )

x =0 en otro equivalente del tipo x=g

( )

x para alguna función g:

Como          ≤ − = ≥ = ⇔         ± = ⇔ = ⇔ = − 0 x si , 3 e x 0 x si , 3 e x 3 e x 3 e x 0 e x 3 2 x 2 x 2 1 x x 2 x 2

entonces g x

( )

e

x

1 2

1 3

= es una función de iteración.

Como

, x

3 0

3 0

2

x e x e

x

x x

− = ⇔ = ≠

entonces g x

( )

e

3x, x 0

2

x

= ≠ , también es una función de iteración.

Como

( )

3x2−ex= ⇔0 ex =3x2⇔ =x ln 3x2 , x≠0

entonces g x₃

( )

=ln 3x

( )

2 , x≠0, es otra función de iteración.

Como 0 e x 6 , e x 6 e xe x 3 x 0 e x 6 , e x 6 e x 3 x x 0 e x 3 x x x x 2 x x x 2 x

2 _{− ≠}

− + − = ⇔ ≠ − − − − = ⇔ = −

entonces g x

( )

x xe e

x e x e

x x x x 4 2 3

6 6 0

= − +

− , − ≠ , es una función de iteración (la función de

iteración del método de Newton-Raphson) . Como

3x2−ex = ⇔ =0 x 3x2+ −x ex

entonces g x₅

( )

=3x2+ −x ex, es también una función de iteración.

Si escogemos la función de iteración g x

( )

e

x

1 2

1 3

= y el intervalo

[

.9,10.

]

, vemos que:

g₁ es continua en

[

.9,10.

]

; g x′

( )

= e >

x

1 2

1

( )

[

]

g₁ 9 1 e 3

. . . .

.

= = ∈

9

2 _{905... 9,10 , g}

( )

_...

[

_9,10

]

1 0

2 110

1

3 951

. . . .

.

= e = ∈

entonces g x₁

( )

∈

[

.9 10,.

]

para todo x∈

[

.9 10,.

]

. Luego g₁ tiene por lo menos un punto fijo en el intervalo

[

.9,10.

]

.

Ahora,

( )

e 0 paratodo x

[

9,1.0

]

3

4 1 x

g 2

x

1′′ = > ∈ .

así que g₁′ es creciente en el intervalo

[

.9,10.

]

(la gráfica de g₁ es cóncava hacia arriba para x∈

[

.9 10,.

]

), y como

( )

9g1′ = e45 = 452... 1

2 3

. . . , g1′

( )

10 = e5 = ...

1

2 3 475

. . .

entonces

( )

x 48 K 1 para todo x

(

9,10

)

g₁′ ≤. = < ∈ . .

Luego g1 tiene un único punto fijo α2 en el intervalo

[

.9,10.

]

, y cualquiera sea x0 ∈

[

.9,10.

]

la sucesión

{ }

x_{n n} con

x_{n n} , n =

x_n

g x e

= 1 ₋1 = −

1 2

1

3 12 3

( ) , , ,...

converge a α2 , es decir, lim x

n→∞ n= α2, y se tienen además las cotas para el error de

truncamiento, α2−x_n , dadas en el teorema 2.1.

Cuántas iteraciones n serán necesarias para que x_n aproxime al punto fijo α₂∈

[

.9,10.

]

con por lo menos tres cifras decimales exactas ?

Como sabemos que α2−xn ≤Kn Max

{

x0−a, b−x0

}

, basta resolver para n la

desigualdad

{

}

K Max n x₀−a, b−x₀ ≤ ×5 10−4

Tomando K=.48 y x0 =.95 ( observe que x0=.95 es el punto medio del intervalo

[

.9,10.

]

y

es el valor que minimiza la expresión Max x

{

₀−a, b−x₀

}

), obtenemos

{

}

{

}

Max x₀−a, b−x₀ =Max 95 9 . −. , 10. −.95 = 05.

{

} ( ) ( )

K Max n x₀−a, b−x₀ = .48 n .05 ≤ ×5 10−4

La solución de esta desigualdad es

( )

( )

n≥ =

−

ln

ln ...

10

48 6 27

2

. .

Luego para n≥7, se tiene que x_n aproximará a α₂ con una precisión de por lo menos tres cifras decimales exactas.

La gráfica de g x

( )

e

x

1 2

1 3

= se muestra en la FIGURA 2.9, y los valores calculados usando el

método de Punto Fijo con la función de iteración g x

( )

e

x

1 2

1 3

= , iniciando con x₀= 95. y

terminando en x7 ≈ α2, se muestran en la TABLA 2.3.

FIGURA 2.9

N x_n

0 .95

1 .9283874

2 .9184090

3 .9138383

4 .9117522

5 .9108017

6 .9103690

7 .9101720

Instrucción en DERIVE:

PUNTO_FIJO(g x x x

( )

, , ₀,N): aproXima las primeras N iteraciones en el método de Punto Fijo aplicado a la función g x

( )

con aproximación inicial x₀. Para el ejemplo aproXime la

expresión PUNTO_FIJO( 1

3exp 2 , ,0 95 7, x

x



  . ). ◊◊◊◊

De acuerdo con los resultados de la TABLA 2.3, α2≈ .9101720=x7 . ♦

Observe, en la FIGURA 2.9, que no existe intervalo

[ ]

a b, que contenga a α3 (que es punto

fijo de g₁) donde se satisfagan todas las hipótesis del teorema de Punto Fijo para la función g₁. Para esta función de iteración g₁ el método de Punto Fijo no converge a α3 .

Si tomamos la función de iteración g x

( )

e x

x 2

3 0

= , x≠ , cuya gráfica se muestra en la FIGURA 2.10 siguiente, tenemos:

FIGURA 2.10

g₂ es continua en

[

.9,10.

]

; g x′

( )

= xe − e =

( )

− ≤ ∈

[

]

x

e x x

x x x

2 _{2 2}

3 3

9

1

3 0 si x .9 10,. , así que g2 es decreciente en

[

.9,10.

]

, y como

( )

[

]

g₂ .9 =.91...∈.9 10,. _, g₂

( )

10. = .90...∈

[

.9 10,.

]

Ahora,

( )

(

( )

)

( )

′′ = − + − −

g x e x e x e x x

x

x x x

2

2 4

1 3 1 6

9

₌ x e − xe + e ₌

(

− +

)

x

e x x

x

x x x x

2

3

2 3

2 2

3

2 2

3 y como

(

− +

)

+ > ∈

R

= +

−2x 2 x 2x 1 1 0 para todo x

x2 2

entonces g x′′₂

( )

> ⇔ >0 x 0 .

Por tanto g′₂ es creciente en

[

.9,10.

]

, y como

( )

g′₂ .9 = −.10..., g′₂

( )

10. =0 entonces

( )

x 11 K 1 paratodo x

(

910

)

g

₂′ ≤. = < ∈ . , .

En consecuencia g₂ tiene un único punto fijo α2∈

[

.9 10,.

]

, y la sucesión

{ }

x_{n n} con

( )

n 123... x

3 e x

g x

1 n

1 n x 1 n 2

n = = , = , , ,

− − −

converge a α₂ cualquiera sea x₀∈

[

.9 10,.

]

, y se tienen además cotas para el error de truncamiento α₂−x_n .

Los valores obtenidos usando la función de iteración g₂ con punto inicial x0= .95 y criterio

de aproximación xn−xn−1 < ×5 10−5, se muestran en la TABLA 2.4 siguiente.

n x_n x_n−x_n−1

0 .95

1 .9072665 _{4 27335 10} 2

. × −

2 .9102584 _{2 9919 10. ×} −3

3 .9099850 _{2 734 10. ×} −4

4 .9100096 _{2 46 10. ×} −5

TABLA 2.4

De acuerdo con los resultados de la TABLA 2.4, α₂≈.9100096=x . Como ejercicio,₄ analice con cuántas cifras decimales exactas aproxima x₄ a α2? ♦

Será que la función g x

( )

e x

x 2

3

Veamos:

g₂ es continua en

[

_3.7,3.8

]

, g₂ es creciente en

[

3 7 3 8. , .

]

y como g₂

( )

3.7 =3.6...∉

[

3.7,3.8

]

,

( )

38

[

37,38

]

g₂ . ∉ . . , entonces no se satisface la condición g x₂

( )

∈

[

3 7 3 8. , .

]

para todo

[

]

x∈3 7 3 8. , . .

Existirá algún intervalo

[ ]

a b, que contenga a la raíz α3 donde se satisfagan todas las

hipótesis del teorema de Punto Fijo para la función g2 ?

Observe, a partir de la gráfica de g2 , que no existe intervalo

[ ]

a b, con α3∈

[ ]

a b, tal que

( )

′ ≤ <

g x2 K 1 para todo x∈

[ ]

a b, .

Como g′₂ es creciente en

[

3 7 3 8. , .

]

, g′₂

( )

3 7. =2 65. ..., g′₂

( )

3 8. =2 88. ..., entonces

( )

x 1

g′₂ > para todo x∈

[

3 7 3 8. , .

]

. Luego no existe intervalo

[ ]

a b, que contenga a la raíz

α3 donde se satisfagan las hipótesis del teorema de Punto Fijo para la función g2.

Por otro lado, como g₂′ es decreciente en

[

− −.5, .4

]

, g₂′ −

( )

.5 = −121. ... y g₂′ −

( )

.4 = −195. ..., entonces g₂ tampoco satisface las hipótesis del teorema de Punto Fijo en algún intervalo que contenga a α₁. _♦

Ejercicio 2.4 Use el método de iteración de Punto Fijo, con alguna de las funciones de iteración dadas anteriormente, para encontrar estimaciones de las raíces α1 y α₃ de la ecuación 3x2−ex =0, usando como criterio de aproximación

x_n−x_n−1 < ×5 10−5 ♦

Ejemplo 2.5 Usemos el método iterativo de Punto Fijo para encontrar la menor raíz positiva de la ecuación x−tanx=0 .

Como x−tanx= ⇔ =0 x tanx, empezamos graficando, en un mismo plano coordenado, las funciones f x₁

( )

=x y f x₂

( )

=tanx (ver la FIGURA 2.11).

De acuerdo con la FIGURA 2.11, la menor raíz positiva α∈_π π_ 2

3 2

, , y a partir de una tabla de valores para f

( )

x =x−tanx, por ejemplo en el intervalo

[

4,4.7

]

con tamaño de paso

1

h=. , puede verse que α ∈

[

4 4 4 5. , .

]

(cuando utilice una calculadora, use el modo radianes para los cálculos).

contenga la raíz α donde se satisfagan todas las hipótesis del teorema de Punto Fijo, pues

( )

′ >>

g α 1 (observe la FIGURA 2.11).

FIGURA 2.11

Si aplicamos el método de Punto Fijo con la función de iteración g

( )

x =tanx y punto inicial x0=4 4. , se obtienen en las cinco primeras iteraciones los resultados que se muestran en la

TABLA 2.5 siguiente.

n x_n

0 4 4.

1 3.096324

2 _{−4.529982×10}−2

3 2

10 533083

4 × −

− .

4 2

10 536191

4 × −

− .

5 _{−4 539305 10. ×} −2

TABLA 2.5

Observando la TABLA 2.5 se concluye que no hay convergencia a la raíz buscada.

Si empezamos con x₀ =4.5 , se obtienen los resultados que se muestran en la TABLA 2.6, donde se ve claramente que tampoco hay convergencia a la raíz buscada.

Cuál otra función de iteración podríamos construir?

de iteración de punto fijo, apropiada para determinar α, es la que se obtiene por la vía de la función inversa. Para obtener tal función de iteración g(x) procedemos como sigue:

n x_n

0 4 5.

1 4 637332.

2 13 29819.

3 .8982038

4 1.255520

5 3.066028

TABLA 2.6

Puesto que tanx =tan

(

x−π

)

, entonces

(

)

(

)

x tan x y 2 3 x 2 x x tan y 2 x 2 x tan x y 2 x 2 x tan x y 2 3 x 2 tanx x y 2 3 x 2 1 1 − − + π = π < < π ⇔ π − = π < π − < π − ⇔ π − = π < π − < π − ⇔ π − = π < < π ⇔ = π < < π

Así que podemos tomar como función de iteración g x

( )

= +π tan x−1 . La gráfica de y= +π tan x−1 se muestra en la FIGURA 2.12 siguiente.

FIGURA 2.12

g es continua en

[

4 4 4 5. , .

]

; ′

( )

=

+ >

g x x 1

1 2 0

para todo x∈

R

, así que g es creciente en

[

4 4 4 5. , .

]

, y como g 4 4

( )

. =4 48. ... y g 4 5

( )

. =4 49. ... , entonces g 4 4 4 5

(

[

. , .

]

)

⊆

[

4 4 4 5. , .

]

.

Ahora, g es decreciente en ′

[

4 4 4 5. , .

]

(a medida que x aumenta g x′

( )

disminuye), y como

( )

′ =

g 4 4. ....049 y g 4 5′

( )

. = ....047 , entonces g x′

( )

≤ .05= <K 1 para todo x∈

(

4 4 4 5. , .

)

.

Por lo tanto g tiene un único punto fijo α ∈

[

4 4 4 5. , .

]

, y la sucesión

{ }

x_{n n} con

x_n = +π tan x−1 _n−1, n=1,2,...

converge a α cualquiera sea x₀∈

[

4 4 4 5. , .

]

, y se tienen además, las cotas para el error de truncamiento α −x_n , dadas en el teorema 2.1.

La convergencia debe ser "rápida" pues K es pequeña.

Como ejercicio, encuentre cuántas iteraciones n serán necesarias para que x_n aproxime a α con por lo menos 4 cifras decimales exactas, tomando

[ ] [

a b, = 4 4 4 5. , .

]

, x₀=4 45. y K= .05 ?

La TABLA 2.7 siguiente, muestra los cálculos de las iteraciones para g x

( )

= +π tan x−1 con punto inicial x₀ =4 45. y criterio de aproximación x_n−x_n−1 < ×5 10−5.

n x_n x_n−x_n−1

0 4 45.

1 4 491341. .041341

2 4 493311. _{197 10. ×} −3

3 4 493404. _{9 3 10. ×} −5

4 4 493409. _{5 0 10. ×} −6

TABLA 2.7

De acuerdo con los resultados de la TABLA 2.7, α ≈4 493409. =x . ₄ ♦

2.2.2 Método de Raphson: Como veremos más adelante, el método de Newton-Raphson se aplicará para hallar raíces simples de una ecuación f x

( )

=0. Antes de ver el método de Newton-Raphson, veamos la siguiente definición sobre la multiplicidad de una raíz de una ecuación.

( ) (

) ( )

( )

para x , f con h

x

≠ = − ≠

→

α α

α

x x mh x lim x 0

Si m=1 , la raíz se dice simple. ∇∇∇∇

El siguiente teorema relaciona la multiplicidad de una raíz de una ecuación f x

( )

=0 con las derivadas de la función f .

Teorema 2.2 Supongamos que la función f tiene su dos primeras derivadas continuas en un intervalo

[ ]

a b, que contiene a un número α . Entonces α es una raíz simple de la ecuación

( )

f x =0 si y sólo si f

( )

α =0 y f′

( )

α ≠0.

Demostración: Supongamos que α es una raíz simple de la ecuación f x

( )

=0. Entonces de acuerdo con la definición 2.3, f

( )

α =0, y

para x≠ α, f x

( ) (

= x−

) ( )

h x

( )

≠

→

α

α

con lim h x

x 0 .

Derivando a ambos lados de la expresión anterior con respecto a x, obtenemos

( ) ( ) (

) ( )

′ = + − ′

f x h x x αh x Como

( )

( )

lim f x lim h x

x→α ′ =x→α ≠0

y f es continua en _′ α (por hipótesis), entonces lim f x

( ) ( )

f

x→α ′ = ′α ≠0 .

Recíprocamente, supongamos que f

( )

α =0 y f′

( )

α ≠0. Haciendo un desarrollo en serie de Taylor para f alrededor de α, obtenemos

( ) ( )

_!

( )(

) ( )(

)

(

) ( ) ( )(

)

f x f f x f x

x f f x

= + ′ − + ′′ −

= −  ′ + ′′ − 

   

α α α ξ α

α α ξ α

0 2

2

2

!

! para algún ξ entre x y α .

Llamando

( ) ( ) ( )(

)

h x = ′f α + ′′f ξ x−α

2!

tenemos que, para x≠ α, f x

( ) (

= x−

) ( )

h x lim h x

( ) ( )

= ′f ≠

→

α α

α

con

x 0 . ∇∇∇∇

Teorema 2.3 Supongamos que la función f tiene sus primeras m+1 derivadas continuas en un intervalo

[ ]

a b, que contiene a un número α. Entonces α es una raíz de multiplicidad m de la ecuación f x

( )

=0 si y sólo si 0=f

( ) ( ) ( )

α = ′f α = ′′f α = =... f(m−1)

( )

α y f( )m

( )

α ≠0. ∇∇∇∇

Volviendo al método de Newton-Raphson, la hipótesis general para aplicar este método para hallar una raíz α∈

( )

a,b de una ecuación f

( )

x =0, es que la función f tenga sus primeras dos derivadas continuas en el intervalo

[ ]

a b, y f x′

( )

≠0 para todo x∈

[ ]

a,b .

De acuerdo con la hipótesis general y el teorema 2.2, como f′

( )

α ≠0, entonces la raíz α es simple, es decir, de multiplicidad 1.

Las siguientes gráficas muestran diversas posibilidades de multiplicidad para una raíz α de una ecuación f x

( )

=0:

FIGURA 2.13.a FIGURA 2.13.b FIGURA 2.13.c (Raíz simple) (Raíz múltiple, par) (Raíz múltiple, impar) Hay varias formas de presentar el método de Newton-Raphson, dos de ellas son:

Presentación gráfica: Supongamos que f satisface la hipótesis general en un intervalo

[ ]

a,b y escojamos x₀∈

[ ]

a b, "cercano" a la raíz α.

La primera aproximación x₁, en el método de Newton-Raphson, es el punto en el cual la recta L, tangente a la gráfica de f en el punto

(

x f x₀,

( )

₀

)

, corta al eje x (ver la FIGURA 2.14).

De acuerdo con ésto, se tiene que

( ) ( )

′ = −

−

f x f x

x x

0 0

0 1

0

y entonces

( )

( )

x1 0

0 0

= −

′

x f x f x

En general, para cada

( )

( )

n x f x

f x

n n

n n

≥ = −

′

− −

−

1 1

1 1

, x : abscisa del punto de intersección de la

FIGURA 2.14

Presentación usando polinomios de Taylor: Supongamos que f satisface la hipótesis

general en un intervalo

[ ]

a,b , y sea α∗∈

[ ]

a,b con α α− ∗ "pequeño".

Consideremos el polinomio de Taylor de primer grado para la función f alrededor de α∗:

( )

( ) ( )(

)

( )

(

)

f x f f x f

x

= ∗ + ′ ∗ − ∗ + ′′ −

∗

∗

α α α ξ α ξ α

2

2! con entre x y En particular para x= α, tenemos

( )

( ) ( )(

)

( )

(

)

0

2

2

= = ∗ + ′ ∗ − ∗ + ′′ −

∗

∗

f α f α f α α α f ξ α α ξ α α

! , entre y

Suponiendo que el término ′′

( )

(

−

)

∗

f ξ α α

2

2! es despreciable (recuerde que f es acotada),′′ obtenemos

( ) ( )(

)

0≈f α∗ + ′f α α α∗ − ∗ y despejando α , llegamos a

( )

( )

α α α

α

≈ −

′

∗ ∗

∗

f f

y

( )

( )

α α

α

∗ ∗

∗

− ′

f

f es, por lo general, una mejor aproximación de α que α

∗_.

( )

( )

xn n n

n n

x f x

f x = − ′ = − − − 1 1 1 12 , , ,...

y escogiendo x₀ "cercano" a α .

De acuerdo con la fórmula anterior, se ve claramente que el método de Newton-Raphson es un caso especial del método de iteración de Punto Fijo, cuando se toma como función de iteración la función

( )

( )

_{( )}

g x x f x

f x

= − ′

La escogencia del punto inicial x₀ es muy importante para la convergencia del método de Newton-Raphson. Como ejemplo, consideremos la función f x

( )

x

x

= −

−

4 7

2 , que tiene un cero en α = =7

4 175. . Como

( ) (

) (

)

(

)

(

)

( )

(

)

, ′ = − − − − = − − ′′ = −

f x x x

x x

f x x

4 2 4 7

2

1 2

2 2

2 2 3

entonces f es continuamente diferenciable dos veces en todo intervalo que no contenga a x=2 .

La sucesión generada por el método de Newton-Raphson para la función dada es

(

)

x_{n n} , x

n n n n x x x x = − − − − − ≠ − − − − − 1 1 1 1 2 1 4 7 2 1 2 2

La gráfica de f x

( )

x x

= −

−

4 7

2 es como se muestra en la FIGURA 2.15.

Se puede ver que si en la fórmula para x_n (en el método de Newton-Raphson) usamos x0=15. , obtenemos x1=2 0. y el método no puede continuarse.

Si x0∈

( )

15 2. , el método converge. Qué pasa si x0∈

(

0 15,.

)

?

En las TABLAS 2.8 y 2.9, se muestran los resultados obtenidos al aplicar el método de Newton-Raphson a la función f x

( )

x

x

= −

−

4 7

2 tomando como puntos iniciales x0 =165. y x0=185. , respectivamente, y usando como criterio de aproximación f

( )

n x < ×5 10−

5

FIGURA 2.15

n x_n f x

( )

_n x_n−x_n−1

0 165. 114. ...

1 179. −.761... .14

2 17564. −.105... _{3 36 10} 1

. × −

3 1750163. _{−2 60 ×10}−3

. ... 6 237 10. × −3

4 175. 0 _{163 10. ×} −4

TABLA 2.8 Instrucción en DERIVE:

NEWTON(f x x x

( )

, , ₀,N): aproXima las primeras N iteraciones en le método de Newton-Raphson aplicado a la función f x

( )

, tomando como aproximación inicial x0. Para el ejemplo,

aproXime la expresión NEWTON( _,x,165,4 2

x 7 x 4

.

−

− _{). ◊◊◊◊}

n x_n f x

( )

_n x_n−x_n−1

0 185. −2 66. ...

1 179. −.761... _{6 0 10} 2

. × −

2 17564. −.105... _{3 36 10. ×} −1

3 1750163. _{−2 60. ...×10}−3 _{6 237 10. ×} −3

4 175. 0 _{163 10. ×} −4

TABLA 2.9

Para la misma función f si usamos el método de Newton-Raphson con x0=10. se obtienen,

n x_n f x

( )

_n x_n−x_n−1

0 10. 3 0.

1 4 0. 4 5. 3 0.

2 22 0. 4 05. 18 0.

3 1642 0. 4 000609. 1620 0.

4 _{1076168 10}7

. × 4 000000. 10760038 10. × 7

5 _{4 632550 10. ×} 14 _{4 000000. 4 6325498. ...×10}14

TABLA 2.10

El siguiente teorema da condiciones suficientes no necesarias para la convergencia del método de Newton-Raphson, aunque no da, de manera explícita, un intervalo donde se pueda escoger el punto inicial x₀.

Teorema 2.4 Sea f una función continuamente diferenciable dos veces en un intervalo

[ ]

a b,

que contiene un número α. Si f

( )

α =0 y f′

( )

α ≠0 (α es raíz simple de la ecuación

( )

f x =0), entonces existe δ >0 tal que la sucesión

{ }

x_{n n} con

( )

( )

x_{n n} n , n ,2,...

n

x f x

f x

= −

′ =

− −

−

1

1 1

1

converge a α para cualquier x₀∈ −

[

α δ α δ, +

]

.

Demostración: Haciendo

( )

( )

_{( )}

g x x f x

f x

= − ′

se demostrará que existe un δ >0 tal que la función g satisface las hipótesis del teorema 2.1 (de Punto Fijo) en el intervalo

[

α δ α δ− , +

]

.

En efecto:

Como f′

( )

α ≠0 y f es continua en ′

[ ]

a b, , existe δ₁>0 tal que f x′

( )

≠0 para todo

[

] [ ]

x∈ −α δ α δ1, + 1 ⊆ a b, . Entonces g es continua en

[

α δ α δ− 1, + 1

]

.

Ahora,

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

[ ]

[ ]

( )

[ ]

[ ]

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

[ ]

para x

[

]

′ = − ′ ′ − ′′

′ =

′ − ′ + ′′

′

= ′′

′ ∈ − +

g x f x f x f x f x f x

f x f x f x f x f x

f x f x f x

1 ₂

2 2

2

y como f es continuamente diferenciable dos veces en

[ ]

a b, , entonces g′ es continua en

[

α δ α δ− 1, + 1

]

; por otro lado f

( )

α =0 y f′

( )

α ≠0, así que

( ) ( ) ( )

( )

[ ]

′ = ′′

′ =

g f f

f

α α α

α 2 0

Ahora, como g es continua en ′

[

α δ α δ− ₁, + ₁

]

y g′

( )

α =0, entonces existe δ con 0< <δ δ₁ tal que g x′

( )

≤ <K 1 para toda x∈ −

[

α δ α δ, +

]

(este δ depende del K escogido).

Fijados K y δ, falta demostrar que g

(

[

α δ α δ− , +

]

)

⊆

[

α δ α δ− , +

]

.

Si x∈ −

[

α δ α δ, +

]

, el teorema del valor medio aplicado a g implica que existe un ξ entre x y α tal que

( )

( ) ( )

( )

gx −α = gx −gα = ′g ξ x−α ≤K x−α < x−α ≤δ

(recuerde que

( )

( )

( )

g f

f

α α α

α α

= −

′ = ).

Así que g

( )

−α x ≤δ, lo que significa que g x

( )

∈ −

[

α δ α δ, +

]

para todo x∈ −

[

α δ α δ, +

]

.

Luego g:

[

α δ α δ− , + →

] [

α δ α δ− , +

]

satisface todas las hipótesis del teorema 2.1, y en consecuencia la sucesión

{ }

xn n definida por

( )

x_n =g x_n−1, n=12, ,...

converge a α cualquiera sea x₀∈ −

[

α δ α δ, +

]

. ∇∇∇∇

Nota: Los criterios de aproximación que generalmente se utilizan en el método de Newton-Raphson son: dado ε >0 , se toma como aproximación de la raíz α de la ecuación

( )

x 0

f = , al término x_N de la sucesión generada mediante la fórmula de iteración de Newton, donde N es el menor entero no-negativo tal que f x

( )

n < ε o xn−xn−1 <ε.

Obsérve que si el método de Newton-Raphson converge, como

( )

( )

x_{n n} n

n

x f x

f x

− =

′

− −

−

1

1 1

Algoritmo 2.3 (Newton-Raphson) Para encontrar una aproximación α∗ de una raíz α de una ecuación f x

( )

=0 conocida una aproximación inicial x₀:

Entrada: f x

( ) ( )

, f x′ , una aproximación inicial x₀ , una tolerancia Tol, y un número máximo de iteraciones N .

Salida: Una raíz aproximada α∗ o un mensaje. Paso 1: Tomar n=1.

Paso 2: Mientras que n≤N seguir los pasos 3-8:

Paso 3: Tomar e=f x

( )

₀ y d= ′f x

( )

₀ .

Paso 4: Si d=0 entonces salida: "No se puede continuar el método". Terminar.

Paso 5: Tomar c x e d

= 0− (calcula xn).

Paso 6: Si f

( )

c Tol o c x e d Tol

< − ₀ = < , entonces salida: "Una raíz

aproximada es α∗=c ". Terminar. Paso 7: Tomar n= +n 1.

Paso 8: Tomar x₀ =c (redefine x₀).

Paso 9: Salida "Se alcanzó el número máximo de iteraciones N pero no la tolerancia". Terminar.

Ejemplo 2.6 Con respecto a las raíces α₁, α₂ y α₃ de la ecuación 3x2−ex=0, vemos que la función f x

( )

=3x2−ex satisface la hipótesis general del método de Newton-Raphson en los intervalos

[

− −.5, 4.

]

,

[

.9 10,.

]

y

[

3 7 3 8. , .

]

. Si aplicamos el método de Newton-Raphson, con aproximaciones iniciales apropiadas y criterio de aproximación

( )

f xn < ×5 10−5 o xn−xn−1 < ×5 10−5

se obtienen los resultados que se muestran en las TABLAS 2.11, 2.12 y 2.13 siguientes.

n x_n f x

( )

_n x_n−x_n−1

0 −.5 .143...

1 −.4602195 _{4 26. ...×10}−3 _{3 97805 10. ×} −2

2 −.4589635 _{4 18. ...×10}−6 _{1256 10. ×} −3

Para este ejemplo aproXime la expresión NEWTON(3x2−exp

( )

x x, ,−0 5 2. , ).

De acuerdo con la TABLA 2.11 se tiene que α₁≈ −.4589635=x .₂

n x_n f x

( )

_n x_n−x_n−1

0 10. 2 81. ...×10−1

1 .9141552 4 26. ...×10−3 8 58448 10. × −2

2 .9100176 _{4 18 10} 6

. ...× − 4 1376 10. × −3

TABLA 2.12

De acuerdo con la TABLA 2.12 se tiene que α₂≈.9100176=x .₂

n xn f x

( )

n xn−xn−1

0 3.8 −1.38...

1 3.736935 2

10 ... 51

7 × −

− . 6.3065×10−2

2 3.733092 4

10 ... 51

2 × −

− . 3.843×10−3

3 3.733078 5

10 ... 96

1. × − 1.4×10−5 TABLA 2.13

Los resultados de la TABLA 2.13 indican que α3 ≈3.733078= x3. ♦

Ejercicio 2.5 Use el método de Newton-Raphson para encontrar la menor raíz positiva de la ecuación x−tanx=0 , usando como criterio de aproximación el mismo dado en ejemplo 2.6 anterior. ♦

2.2.3 El método de Newton-Raphson combinado con el algoritmo de Horner para encontrar raíces reales de ecuaciones polinómicas con coeficientes reales: Dada una ecuación polinómica con coeficientes reales

( )

px =a₀+a x₁ +a x₂ 2+ +... a x_n n =0, con a₀,a a₁, ₂,...,a_n∈

R

y a_n≠0

Si α es una raíz real simple de la ecuación p x

( )

=0, el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz α, consiste en generar la sucesión

{ }

x_{n n} mediante la fórmula de iteración

( )

( )

x x p x

p x

n n

n n

= −

′ =

− −

−

1

1 1

12 , n , ,... con x₀ escogido cercano a α.

El algoritmo de Horner se basa en escribir el polinomio p

( )

x en la forma encajada o anidada siguiente:

( )

(

(

₍

(

)

₎

)

)

p x =a₀+x a₁+x a₂+x a₃+ +... x a_n−1+xa_n ...

queremos evaluar p

( )

z y p′

( )

z para algún número real z, basta tener en cuenta que:

Si hacemos

b , y

b para k

n n

k k k

a

a zb n n

=

= + ₊1 = −1, −2,..., ,10

entonces b₀ =p

( )

z .

Los números auxiliares b_n, b_n−1,...,b₁ son los coeficientes del polinomio cociente q

( )

x que resulta de la división de p

( )

x por x−z y b0 es el residuo, es decir,

( ) (

x x z

) ( )

qx b0

p = − +

siendo q

( )

x =b₁+b₂x+...+b_n−1xn−2+b_nxn−1 . En efecto:

(

) ( )

(

)

(

)

(

) (

) (

)

(

)

( )

x z q x b x z b b x b x b x b

b zb b zb x b zb x b zb x b x

a a x a x a x a x p x

n n

n n

n n n n n

n n

n n

− + = − + + + + +

= − + − + − + + − +

= + + + + + =

− − −

− −

− −

0 1 2 1

2 1

0

0 1 1 2 2 3 2 1 1

0 1 2

2

1 1

...

...

...

Como p

( ) (

x = x−z

) ( )

qx +b₀, entonces para x=z, se obtiene

( ) (

z z z

) ( )

qz b0 b0

p = − + =

Ahora bien, como

( ) (

x x z

) ( )

qx b0

p = − +

entonces derivando a ambos lados de esta última ecuación con respecto a x, obtenemos

( ) ( ) (

x qx x z

) ( )

q x

p′ = + − ′

y entonces

( ) ( ) (

z qz z z

) ( ) ( )

q z qz

y como q

( )

x es un polinomio del cual conocemos sus coeficientes (los números b_n, b_n−1,...,b₁), podemos aplicar el algoritmo de Horner al polinomio q

( )

x para hallar q

( )

z y de esta manera obtener p′

( )

z .

Algoritmo 2.4 (Horner) Para evaluar un polinomio con coeficientes reales

( )

n

n 2

2 1

0 ax a x a x

a x

p = + + +...+

y su derivada en un número real z:

Entrada: El grado n del polinomio, los coeficientes a a₀, ₁,...,a_n del polinomio p

( )

x , el número real z.

Salida: b0 =p

( )

z y c =p′

( )

z .

Paso 1: Tomar b_n=a_n (calcula el coeficiente b_n de q

( )

x ) c=a_n

Paso 2: Para j=n−1,n−2,...,1, tomar

b_j =a_j +zb_j+1 (calcula los coeficientes bn−1,bn−2,...,b1 de q

( )

x ) c=b_j+zc (almacena en c a q

( )

z =p′

( )

z )

Paso 3: Tomar b₀ =a₀+zb₁ (almacena en b₀ a p

( )

z )

Paso 4: Salida: "p

( )

z =b0 y p′

( )

z =c". Terminar.

Observe, en el algoritmo anterior, que como b bn, n−1,...,b1 son los coeficientes del polinomio

reducido q

( )

x , si aplicamos el algoritmo de Horner a este polinomio q

( )

x , es decir, hacemos

cn=bn, y

para j=n−1,n−2,...,1 hacemos c_j =b_j+zc_j+1

obtenemos que c₁ =b₁+zc₂ =q

( )

z =p′

( )

z . Por tanto, al terminar la aplicación del algoritmo de Horner, en c queda almacenado q

( )

z , es decir, c=q

( )

z =p′

( )

z .

Es importante observar que el algoritmo de Horner sólo usa n multiplicaciones y n sumas para calcular p

( )

z , lo que hace muy eficiente dicho cálculo. Intente calcular p

( )

z de cualquier otra forma y compare el número de operaciones.

Ejemplo 2.7 Consideremos la ecuación x3− − =x 1 0. Como p x

( )

=x3− −x 1 es continua en el intervalo

[ ]

12, , p

( )

1 =−1<0 y p

( )

2 =5>0 , entonces la ecuación p

( )

x =0 tiene por lo menos una raíz en el intervalo

[ ]

12, . Por otro lado, como p′

( )

x =3x2−1>0 para todo

[ ]

x∈12, , entonces la ecuación p

( )

x =0 tiene una única raíz simple α₁∈

[ ]

12, . Es claro, entonces, que se puede aplicar el método de Newton-Raphson para calcular esta raíz α₁. Si hacemos los cálculos usando el método de Newton-Raphson combinado con el algoritmo de Horner, tomando como aproximación inicial x₀ =2.0, y criterio de aproximación

x_n−x_n−1 < ×5 10−3 o p x

( )

n < ×5 10−3, obtenemos:

( )

( )

( )

( )

x1 0

0 0

2 0 2 0 2 0

= −

′ = − ′

x p x p x

p p

. .

.

Debemos calcular p

( )

2.0 y p′

( )

2.0 . Si usamos el algoritmo de Horner y aritmética con redondeo a cinco (5) dígitos para los cáculos, se obtienen los resultados que aparecen en el siguiente esquema de división sintética

Entonces

x₁ 2 0 5 0

110 15455

= . − . =

. . y x1 x0

3

4545 5 10

− =. > × −