Breve introducción a lógica y conjuntos

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(1)

Breve Introducci´

on a la l´

ogica y los conjuntos

´ Algebra

Araceli Guzm´

an y Guillermo Garro

Facultad de Ciencias UNAM

(2)

ogica y conjuntos

Algebra´

Referencias b´

asicas

1. Armando O. Rojo,Algebra´ , 1978. Bajaraqu´ı.

2. Alvaro P´´ erez Raposo,L´ogica, conjuntos, relaciones y funciones, 2010. Bajaraqu´ı

3. C´ardenas, Lluis, Raggi, Tom´as,Algebra Superior´ . Bajaraqu´ı.

4. Paul Halmos,Teor´ıa intuitiva de los conjuntos. Bajaraqu´ı.

Otras referencias

1. M. O’Leary,A first course in mathematical logic and set theory, 2016. Bajaraqu´ı.

2. Willard Van Orman Quine,Mathematical Logic, 1981. Bajaraqu´ı.

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ogica y conjuntos

Algebra´

Referencias b´

asicas

1. Armando O. Rojo,Algebra´ , 1978. Bajaraqu´ı.

2. Alvaro P´´ erez Raposo,L´ogica, conjuntos, relaciones y funciones, 2010. Bajaraqu´ı

3. C´ardenas, Lluis, Raggi, Tom´as,Algebra Superior´ . Bajaraqu´ı.

4. Paul Halmos,Teor´ıa intuitiva de los conjuntos. Bajaraqu´ı.

Otras referencias

1. M. O’Leary,A first course in mathematical logic and set theory, 2016. Bajaraqu´ı.

2. Willard Van Orman Quine,Mathematical Logic, 1981. Bajaraqu´ı.

(4)

ogica y conjuntos

Algebra´

ogica y conjuntos

Como sucede con todas las ramas de la matem´atica, para estudiar´algebrase requiere de ciertos conocimientos b´asicos del´ogicayteor´ıa de conjuntos.

ogica (proposicional)

Unaproposici´ones un enunciado del que puede decirse que esverdadero(con valor de verdad V ´o1) ofalso(con valor de verdad F ´o0) pero no ambas cosas. Gereralmente las proposiciones son denotadas con las letrasp,q,r,... o may´usculasP,Q,R,...

Los conectivos l´

ogicos

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ogica y conjuntos

Algebra´

ogica y conjuntos

Como sucede con todas las ramas de la matem´atica, para estudiar´algebrase requiere de ciertos conocimientos b´asicos del´ogicayteor´ıa de conjuntos.

ogica (proposicional)

Unaproposici´ones un enunciado del que puede decirse que esverdadero(con valor de verdad V ´o1) ofalso(con valor de verdad F ´o0) pero no ambas cosas. Gereralmente las proposiciones son denotadas con las letrasp,q,r,... o may´usculasP,Q,R,...

Los conectivos l´

ogicos

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ogica y conjuntos

Algebra´

ogica y conjuntos

Como sucede con todas las ramas de la matem´atica, para estudiar´algebrase requiere de ciertos conocimientos b´asicos del´ogicayteor´ıa de conjuntos.

ogica (proposicional)

Unaproposici´ones un enunciado del que puede decirse que esverdadero(con valor de verdad V ´o1) ofalso(con valor de verdad F ´o0) pero no ambas cosas. Gereralmente las proposiciones son denotadas con las letrasp,q,r,... o may´usculasP,Q,R,...

Los conectivos l´

ogicos

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ogica y conjuntos

Algebra´

Conectivos l´

ogicos usuales

CONECTIVO NOMBRE OPERACI ´ON SIGNIFICADO

¬ Negaci´on ¬p Nop.

No es cierto quep.

∧ Conjunci´on p∧q pyq

∨ Disyunci´on p∨q p´oq

Y Disyunci´on excluyente pYq p´oqpero no ambas

⇒ p⇒q

pimplicaq. Sipentoncesq.

Implicaci´on qsip.

(o condicional) ps´olo siq

pes condici´on suficiente paraq.

qes condici´on necesaria parap.

⇔ p⇔q

psi, y s´olo si,q.

Doble implicaci´on qes condici´on necesaria y suficiente parap. (o bicondicional) pes condici´on necesaria y suficiente paraq.

pes equivalente aq.

El condicional: Una cuesti´

on gramatical

La equivalencia

p⇒q ≡ ps´olo siq

se explicaf´acilmente si entendemos el modo de conjugaci´on verbal imperfecto del subjuntivo:

Estudiar´ıa F´ısica s´olo si me quedara en la UNAM.

Por tanto,

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ogica y conjuntos

Algebra´

Conectivos l´

ogicos usuales

CONECTIVO NOMBRE OPERACI ´ON SIGNIFICADO

¬ Negaci´on ¬p Nop.

No es cierto quep.

∧ Conjunci´on p∧q pyq

∨ Disyunci´on p∨q p´oq

Y Disyunci´on excluyente pYq p´oqpero no ambas

⇒ p⇒q

pimplicaq. Sipentoncesq.

Implicaci´on qsip.

(o condicional) ps´olo siq

pes condici´on suficiente paraq.

qes condici´on necesaria parap.

⇔ p⇔q

psi, y s´olo si,q.

Doble implicaci´on qes condici´on necesaria y suficiente parap. (o bicondicional) pes condici´on necesaria y suficiente paraq.

pes equivalente aq.

El condicional: Una cuesti´

on gramatical

La equivalencia

p⇒q ≡ ps´olo siq

se explicaf´acilmente si entendemos el modo de conjugaci´on verbal imperfecto del subjuntivo:

Estudiar´ıa F´ısica s´olo si me quedara en la UNAM.

Por tanto,

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ogica y conjuntos

Algebra´

Ejemplo

Consideremos las siguientes proposiciones

p: El viento sopla muy fuerte.

q: Se caen las hojas de los ´arboles.

Tenemos entonces

Operaci´on Significado

¬p Las hojas no se caen de los ´arboles.

p∧q El viento sopla muy fuerte y se caen las hojas de los ´arboles.

p∨q El viento sopla o se caen las hojas.

pYq El viento sopla pero no se caen las hojas de los ´arboles, o bien se caen la hojas de los ´arboles pero el viento no sopla muy fuerte.

p⇒q Si el viento sopla muy fuerte, entonces

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ogica y conjuntos

Algebra´

Tablas de valores de verdad

Los conectivos se definen formalmente mediantetablas de valores de verdad:

Para lanegaci´on(que es un conectivounario):

p ¬p

V F

F V

Para el resto de los conectivos (binarios) t´ıpicos:

p q p∧q p∨q pYq p⇒q p⇔q

V V

V V F V V

V F

F V V F F

F V

F V V V F

F F

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ogica y conjuntos

Algebra´

Tablas de valores de verdad

Los conectivos se definen formalmente mediantetablas de valores de verdad:

Para lanegaci´on(que es un conectivounario):

p ¬p

V F

F V

Para el resto de los conectivos (binarios) t´ıpicos:

p q p∧q p∨q pYq p⇒q p⇔q

V V

V V F V V

V F

F V V F F

F V

F V V V F

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ogica y conjuntos

Algebra´

Tablas de valores de verdad

Los conectivos se definen formalmente mediantetablas de valores de verdad:

Para lanegaci´on(que es un conectivounario):

p ¬p

V F

F V

Para el resto de los conectivos (binarios) t´ıpicos:

p q p∧q p∨q pYq p⇒q p⇔q

V V V

V F V V

V F F

V V F F

F V F

V V V F

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ogica y conjuntos

Algebra´

Tablas de valores de verdad

Los conectivos se definen formalmente mediantetablas de valores de verdad:

Para lanegaci´on(que es un conectivounario):

p ¬p

V F

F V

Para el resto de los conectivos (binarios) t´ıpicos:

p q p∧q p∨q pYq p⇒q p⇔q

V V V V

F V V

V F F V

V F F

F V F V

V V F

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ogica y conjuntos

Algebra´

Tablas de valores de verdad

Los conectivos se definen formalmente mediantetablas de valores de verdad:

Para lanegaci´on(que es un conectivounario):

p ¬p

V F

F V

Para el resto de los conectivos (binarios) t´ıpicos:

p q p∧q p∨q pYq p⇒q p⇔q

V V V V F

V V

V F F V V

F F

F V F V V

V F

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ogica y conjuntos

Algebra´

Tablas de valores de verdad

Los conectivos se definen formalmente mediantetablas de valores de verdad:

Para lanegaci´on(que es un conectivounario):

p ¬p

V F

F V

Para el resto de los conectivos (binarios) t´ıpicos:

p q p∧q p∨q pYq p⇒q p⇔q

V V V V F V

V

V F F V V F

F

F V F V V V

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ogica y conjuntos

Algebra´

Tablas de valores de verdad

Los conectivos se definen formalmente mediantetablas de valores de verdad:

Para lanegaci´on(que es un conectivounario):

p ¬p

V F

F V

Para el resto de los conectivos (binarios) t´ıpicos:

p q p∧q p∨q pYq p⇒q p⇔q

V V V V F V V

V F F V V F F

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ogica y conjuntos

Algebra´

Ejemplo

Estudiemos la tabla de la proposici´on compuesta:

(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))

Tenemos:

p q (p⇔q) ⇔ ((p⇒q) ∧ (q⇒p))

V V

V V V V V

V F

F V F F V

F V

F V V F F

F F

V V V V V

Observamos que la proposici´on compuesta

(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))

es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (l´ogicamente) equivalente a la conjunci´on

(p⇒q)∧(q⇒p).

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ogica y conjuntos

Algebra´

Ejemplo

Estudiemos la tabla de la proposici´on compuesta:

(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))

Tenemos:

p q (p⇔q) ⇔ ((p⇒q) ∧ (q⇒p))

V V

V V V V V

V F

F V F F V

F V

F V V F F

F F

V V V V V

Observamos que la proposici´on compuesta

(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))

es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (l´ogicamente) equivalente a la conjunci´on

(p⇒q)∧(q⇒p).

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ogica y conjuntos

Algebra´

Ejemplo

Estudiemos la tabla de la proposici´on compuesta:

(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))

Tenemos:

p q (p⇔q) ⇔ ((p⇒q) ∧ (q⇒p))

V V V

V V V V

V F F

V F F V

F V F

V V F F

F F V

V V V V

Observamos que la proposici´on compuesta

(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))

es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (l´ogicamente) equivalente a la conjunci´on

(p⇒q)∧(q⇒p).

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ogica y conjuntos

Algebra´

Ejemplo

Estudiemos la tabla de la proposici´on compuesta:

(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))

Tenemos:

p q (p⇔q) ⇔ ((p⇒q) ∧ (q⇒p))

V V V

V

V

V V

V F F

V

F

F V

F V F

V

V

F F

F F V

V

V

V V

Observamos que la proposici´on compuesta

(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))

es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (l´ogicamente) equivalente a la conjunci´on

(p⇒q)∧(q⇒p).

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ogica y conjuntos

Algebra´

Ejemplo

Estudiemos la tabla de la proposici´on compuesta:

(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))

Tenemos:

p q (p⇔q) ⇔ ((p⇒q) ∧ (q⇒p))

V V V

V

V

V

V

V F F

V

F

F

V

F V F

V

V

F

F

F F V

V

V

V

V

Observamos que la proposici´on compuesta

(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))

es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (l´ogicamente) equivalente a la conjunci´on

(p⇒q)∧(q⇒p).

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ogica y conjuntos

Algebra´

Ejemplo

Estudiemos la tabla de la proposici´on compuesta:

(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))

Tenemos:

p q (p⇔q) ⇔ ((p⇒q) ∧ (q⇒p))

V V V

V

V V V

V F F

V

F F V

F V F

V

V F F

F F V

V

V V V

Observamos que la proposici´on compuesta

(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))

es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (l´ogicamente) equivalente a la conjunci´on

(p⇒q)∧(q⇒p).

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ogica y conjuntos

Algebra´

Ejemplo

Estudiemos la tabla de la proposici´on compuesta:

(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))

Tenemos:

p q (p⇔q) ⇔ ((p⇒q) ∧ (q⇒p))

V V V V V V V

V F F V F F V

F V F V V F F

F F V V V V V

Observamos que la proposici´on compuesta

(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))

es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (l´ogicamente) equivalente a la conjunci´on

(p⇒q)∧(q⇒p).

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ogica y conjuntos

Algebra´

Ejemplo

Estudiemos la tabla de la proposici´on compuesta:

(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))

Tenemos:

p q (p⇔q) ⇔ ((p⇒q) ∧ (q⇒p))

V V V V V V V

V F F V F F V

F V F V V F F

F F V V V V V

Observamos que la proposici´on compuesta

(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))

es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (l´ogicamente) equivalente a la conjunci´on

(p⇒q)∧(q⇒p).

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ogica y conjuntos

Algebra´

Ejemplo

Estudiemos la tabla de la proposici´on compuesta:

(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))

Tenemos:

p q (p⇔q) ⇔ ((p⇒q) ∧ (q⇒p))

V V V V V V V

V F F V F F V

F V F V V F F

F F V V V V V

Observamos que la proposici´on compuesta

(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))

es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (l´ogicamente) equivalente a la conjunci´on

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ogica y conjuntos

Algebra´

Leyes L´

ogicas

Una proposici´on compuesta cuya tabla de valores de verdad es siempre V, es llamada Tautolog´ıaoLey L´ogica.

Otras tautolog´ıas:

(pYq)⇔ ¬(p⇔q)

p q (pYq) ⇔ ¬ (p⇔q)

V V

F V F V

V F

V V V F

F V

V V V F

F F

F V F V

Esto es,pYqes equivalente a la negaci´on de la doble implicaci´onp⇔q.

Para negar una doble implicaci´

on

p

q

, debemos demostrar que

p

y

q

son excluyentes (i.e. si

p

ocurre entonces no ocurre

q

; o bien, si

q

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ogica y conjuntos

Algebra´

Leyes L´

ogicas

Una proposici´on compuesta cuya tabla de valores de verdad es siempre V, es llamada Tautolog´ıaoLey L´ogica.

Otras tautolog´ıas:

(pYq)⇔ ¬(p⇔q)

p q (pYq) ⇔ ¬ (p⇔q)

V V

F V F V

V F

V V V F

F V

V V V F

F F

F V F V

Esto es,pYqes equivalente a la negaci´on de la doble implicaci´onp⇔q.

Para negar una doble implicaci´

on

p

q

, debemos demostrar que

p

y

q

son excluyentes (i.e. si

p

ocurre entonces no ocurre

q

; o bien, si

q

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ogica y conjuntos

Algebra´

Leyes L´

ogicas

Una proposici´on compuesta cuya tabla de valores de verdad es siempre V, es llamada Tautolog´ıaoLey L´ogica.

Otras tautolog´ıas:

(pYq)⇔ ¬(p⇔q)

p q (pYq) ⇔ ¬ (p⇔q)

V V

F V F V

V F

V V V F

F V

V V V F

F F

F V F V

Esto es,pYqes equivalente a la negaci´on de la doble implicaci´onp⇔q.

Para negar una doble implicaci´

on

p

q

, debemos demostrar que

p

y

q

son excluyentes (i.e. si

p

ocurre entonces no ocurre

q

; o bien, si

q

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ogica y conjuntos

Algebra´

Leyes L´

ogicas

Una proposici´on compuesta cuya tabla de valores de verdad es siempre V, es llamada Tautolog´ıaoLey L´ogica.

Otras tautolog´ıas:

(pYq)⇔ ¬(p⇔q)

p q (pYq) ⇔ ¬ (p⇔q)

V V F

V F V

V F V

V V F

F V V

V V F

F F F

V F V

Esto es,pYqes equivalente a la negaci´on de la doble implicaci´onp⇔q.

Para negar una doble implicaci´

on

p

q

, debemos demostrar que

p

y

q

son excluyentes (i.e. si

p

ocurre entonces no ocurre

q

; o bien, si

q

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ogica y conjuntos

Algebra´

Leyes L´

ogicas

Una proposici´on compuesta cuya tabla de valores de verdad es siempre V, es llamada Tautolog´ıaoLey L´ogica.

Otras tautolog´ıas:

(pYq)⇔ ¬(p⇔q)

p q (pYq) ⇔ ¬ (p⇔q)

V V F

V F

V

V F V

V V

F

F V V

V V

F

F F F

V F

V

Esto es,pYqes equivalente a la negaci´on de la doble implicaci´onp⇔q.

Para negar una doble implicaci´

on

p

q

, debemos demostrar que

p

y

q

son excluyentes (i.e. si

p

ocurre entonces no ocurre

q

; o bien, si

q

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ogica y conjuntos

Algebra´

Leyes L´

ogicas

Una proposici´on compuesta cuya tabla de valores de verdad es siempre V, es llamada Tautolog´ıaoLey L´ogica.

Otras tautolog´ıas:

(pYq)⇔ ¬(p⇔q)

p q (pYq) ⇔ ¬ (p⇔q)

V V F

V

F V

V F V

V

V F

F V V

V

V F

F F F

V

F V

Esto es,pYqes equivalente a la negaci´on de la doble implicaci´onp⇔q.

Para negar una doble implicaci´

on

p

q

, debemos demostrar que

p

y

q

son excluyentes (i.e. si

p

ocurre entonces no ocurre

q

; o bien, si

q

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ogica y conjuntos

Algebra´

Leyes L´

ogicas

Una proposici´on compuesta cuya tabla de valores de verdad es siempre V, es llamada Tautolog´ıaoLey L´ogica.

Otras tautolog´ıas:

(pYq)⇔ ¬(p⇔q)

p q (pYq) ⇔ ¬ (p⇔q)

V V F V F V

V F V V V F

F V V V V F

F F F V F V

Esto es,pYqes equivalente a la negaci´on de la doble implicaci´onp⇔q.

Para negar una doble implicaci´

on

p

q

, debemos demostrar que

p

y

q

son excluyentes (i.e. si

p

ocurre entonces no ocurre

q

; o bien, si

q

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ogica y conjuntos

Algebra´

Leyes L´

ogicas

Una proposici´on compuesta cuya tabla de valores de verdad es siempre V, es llamada Tautolog´ıaoLey L´ogica.

Otras tautolog´ıas:

(pYq)⇔ ¬(p⇔q)

p q (pYq) ⇔ ¬ (p⇔q)

V V F V F V

V F V V V F

F V V V V F

F F F V F V

Esto es,pYqes equivalente a la negaci´on de la doble implicaci´onp⇔q.

Para negar una doble implicaci´

on

p

q

, debemos demostrar que

p

y

q

son excluyentes (i.e. si

p

ocurre entonces no ocurre

q

; o bien, si

q

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ogica y conjuntos

Algebra´

Leyes L´

ogicas

Una proposici´on compuesta cuya tabla de valores de verdad es siempre V, es llamada Tautolog´ıaoLey L´ogica.

Otras tautolog´ıas:

(pYq)⇔ ¬(p⇔q)

p q (pYq) ⇔ ¬ (p⇔q)

V V F V F V

V F V V V F

F V V V V F

F F F V F V

Esto es,pYqes equivalente a la negaci´on de la doble implicaci´onp⇔q.

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ogica y conjuntos

Algebra´

Transitividad de

:

[(p⇒q)∧(q⇒r)]⇒(p⇒r)

p q r [(p⇒q) ∧ (q⇒r)] ⇒ (p⇒r)

V V V

V V V V V

V V F

V F F V F

V F V

F F V V V

V F F

F F V V F

F V V

V V V V V

F V F

V F F V V

F F V

V V V V V

F F F

V V V V V

Transitividad de

Se sigue que

[(p⇔q)∧(q⇔r)]⇔(p⇔r)

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ogica y conjuntos

Algebra´

Transitividad de

:

[(p⇒q)∧(q⇒r)]⇒(p⇒r)

p q r [(p⇒q) ∧ (q⇒r)] ⇒ (p⇒r)

V V V

V V V V V

V V F

V F F V F

V F V

F F V V V

V F F

F F V V F

F V V

V V V V V

F V F

V F F V V

F F V

V V V V V

F F F

V V V V V

Transitividad de

Se sigue que

[(p⇔q)∧(q⇔r)]⇔(p⇔r)

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ogica y conjuntos

Algebra´

Transitividad de

:

[(p⇒q)∧(q⇒r)]⇒(p⇒r)

p q r [(p⇒q) ∧ (q⇒r)] ⇒ (p⇒r)

V V V V

V V V V

V V F V

F F V F

V F V F

F V V V

V F F F

F V V F

F V V V

V V V V

F V F V

F F V V

F F V V

V V V V

F F F V

V V V V

Transitividad de

Se sigue que

[(p⇔q)∧(q⇔r)]⇔(p⇔r)

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ogica y conjuntos

Algebra´

Transitividad de

:

[(p⇒q)∧(q⇒r)]⇒(p⇒r)

p q r [(p⇒q) ∧ (q⇒r)] ⇒ (p⇒r)

V V V V

V

V

V V

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F

F

V F

V F V F

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V V

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V

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V V

Transitividad de

Se sigue que

[(p⇔q)∧(q⇔r)]⇔(p⇔r)

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ogica y conjuntos

Algebra´

Transitividad de

:

[(p⇒q)∧(q⇒r)]⇒(p⇒r)

p q r [(p⇒q) ∧ (q⇒r)] ⇒ (p⇒r)

V V V V

V

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V

V

Transitividad de

Se sigue que

[(p⇔q)∧(q⇔r)]⇔(p⇔r)

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ogica y conjuntos

Algebra´

Transitividad de

:

[(p⇒q)∧(q⇒r)]⇒(p⇒r)

p q r [(p⇒q) ∧ (q⇒r)] ⇒ (p⇒r)

V V V V V V

V

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Transitividad de

Se sigue que

[(p⇔q)∧(q⇔r)]⇔(p⇔r)

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ogica y conjuntos

Algebra´

Transitividad de

:

[(p⇒q)∧(q⇒r)]⇒(p⇒r)

p q r [(p⇒q) ∧ (q⇒r)] ⇒ (p⇒r)

V V V V V V V V

V V F V F F V F

V F V F F V V V

V F F F F V V F

F V V V V V V V

F V F V F F V V

F F V V V V V V

F F F V V V V V

Transitividad de

Se sigue que

[(p⇔q)∧(q⇔r)]⇔(p⇔r)

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ogica y conjuntos

Algebra´

Transitividad de

:

[(p⇒q)∧(q⇒r)]⇒(p⇒r)

p q r [(p⇒q) ∧ (q⇒r)] ⇒ (p⇒r)

V V V V V V V V

V V F V F F V F

V F V F F V V V

V F F F F V V F

F V V V V V V V

F V F V F F V V

F F V V V V V V

F F F V V V V V

Transitividad de

Se sigue que

[(p⇔q)∧(q⇔r)]⇔(p⇔r)

(43)

ogica y conjuntos

Algebra´

Las Leyes de De Morgan

¬(p∧q)⇔(¬p∨ ¬q) (1)

¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q), (2)

Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):

p q ¬p ¬q ¬ (p∧q) ⇔ (¬p∨ ¬q)

V V

F F F V V F

V F

F V V F V V

F V

V F V F V V

F F

V V V F V V

(44)

ogica y conjuntos

Algebra´

Las Leyes de De Morgan

¬(p∧q)⇔(¬p∨ ¬q) (1)

¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q), (2)

Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):

p q ¬p ¬q ¬ (p∧q) ⇔ (¬p∨ ¬q)

V V

F F F V V F

V F

F V V F V V

F V

V F V F V V

F F

V V V F V V

(45)

ogica y conjuntos

Algebra´

Las Leyes de De Morgan

¬(p∧q)⇔(¬p∨ ¬q) (1)

¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q), (2)

Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):

p q ¬p ¬q ¬ (p∧q) ⇔ (¬p∨ ¬q)

V V F F

F V V F

V F F V

V F V V

F V V F

V F V V

F F V V

V F V V

(46)

ogica y conjuntos

Algebra´

Las Leyes de De Morgan

¬(p∧q)⇔(¬p∨ ¬q) (1)

¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q), (2)

Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):

p q ¬p ¬q ¬ (p∧q) ⇔ (¬p∨ ¬q)

V V F F

F

V

V F

V F F V

V

F

V V

F V V F

V

F

V V

F F V V

V

F

V V

(47)

ogica y conjuntos

Algebra´

Las Leyes de De Morgan

¬(p∧q)⇔(¬p∨ ¬q) (1)

¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q), (2)

Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):

p q ¬p ¬q ¬ (p∧q) ⇔ (¬p∨ ¬q)

V V F F F V

V F

V F F V V F

V V

F V V F V F

V V

F F V V V F

V V

(48)

ogica y conjuntos

Algebra´

Las Leyes de De Morgan

¬(p∧q)⇔(¬p∨ ¬q) (1)

¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q), (2)

Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):

p q ¬p ¬q ¬ (p∧q) ⇔ (¬p∨ ¬q)

V V F F F V

V

F

V F F V V F

V

V

F V V F V F

V

V

F F V V V F

V

V

(49)

ogica y conjuntos

Algebra´

Las Leyes de De Morgan

¬(p∧q)⇔(¬p∨ ¬q) (1)

¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q), (2)

Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):

p q ¬p ¬q ¬ (p∧q) ⇔ (¬p∨ ¬q)

V V F F F V V F

V F F V V F V V

F V V F V F V V

F F V V V F V V

(50)

ogica y conjuntos

Algebra´

Las Leyes de De Morgan

¬(p∧q)⇔(¬p∨ ¬q) (1)

¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q), (2)

Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):

p q ¬p ¬q ¬ (p∧q) ⇔ (¬p∨ ¬q)

V V F F F V V F

V F F V V F V V

F V V F V F V V

(51)

ogica y conjuntos

Algebra´

Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse tambi´en una tabla.

O bien, podemos ocupar laley deinvoluci´on, la cual afirma quepy la doble negaci´on

¬¬pson equivalentes, es decir, quep⇔ ¬(¬p)es una proposici´on tautol´ogica:

p ⇔ ¬ (¬p)

V V V F

F V F V

De este modo, si queremos probar que

¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q)

es tautol´ogica, procedemos como sigue:

Por la ley (1) de De morgan, y la ley de involuci´on, las siguientes dobles implicaciones son tautol´ogicas:

¬(¬p∧ ¬q)⇔(¬¬p∨ ¬¬q)⇔(p∨q).

As´ı que portransitividad, la doble implicaci´on siguiente es tautol´ogica:

(52)

ogica y conjuntos

Algebra´

Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse tambi´en una tabla.

O bien, podemos ocupar laley deinvoluci´on, la cual afirma quepy la doble negaci´on

¬¬pson equivalentes, es decir, quep⇔ ¬(¬p)es una proposici´on tautol´ogica:

p ⇔ ¬ (¬p)

V V V F

F V F V

De este modo, si queremos probar que

¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q)

es tautol´ogica, procedemos como sigue:

Por la ley (1) de De morgan, y la ley de involuci´on, las siguientes dobles implicaciones son tautol´ogicas:

¬(¬p∧ ¬q)⇔(¬¬p∨ ¬¬q)⇔(p∨q).

As´ı que portransitividad, la doble implicaci´on siguiente es tautol´ogica:

(53)

ogica y conjuntos

Algebra´

Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse tambi´en una tabla.

O bien, podemos ocupar laley deinvoluci´on, la cual afirma quepy la doble negaci´on

¬¬pson equivalentes, es decir, quep⇔ ¬(¬p)es una proposici´on tautol´ogica:

p ⇔ ¬ (¬p)

V V V F

F V F V

De este modo, si queremos probar que

¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q)

es tautol´ogica, procedemos como sigue:

Por la ley (1) de De morgan, y la ley de involuci´on, las siguientes dobles implicaciones son tautol´ogicas:

¬(¬p∧ ¬q)⇔(¬¬p∨ ¬¬q)⇔(p∨q).

As´ı que portransitividad, la doble implicaci´on siguiente es tautol´ogica:

(54)

ogica y conjuntos

Algebra´

Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse tambi´en una tabla.

O bien, podemos ocupar laley deinvoluci´on, la cual afirma quepy la doble negaci´on

¬¬pson equivalentes, es decir, quep⇔ ¬(¬p)es una proposici´on tautol´ogica:

p ⇔ ¬ (¬p)

V V V F

F V F V

De este modo, si queremos probar que

¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q)

es tautol´ogica, procedemos como sigue:

Por la ley (1) de De morgan, y la ley de involuci´on, las siguientes dobles implicaciones son tautol´ogicas:

¬(¬p∧ ¬q)⇔(¬¬p∨ ¬¬q)⇔(p∨q).

As´ı que portransitividad, la doble implicaci´on siguiente es tautol´ogica:

(55)

ogica y conjuntos

Algebra´

Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse tambi´en una tabla.

O bien, podemos ocupar laley deinvoluci´on, la cual afirma quepy la doble negaci´on

¬¬pson equivalentes, es decir, quep⇔ ¬(¬p)es una proposici´on tautol´ogica:

p ⇔ ¬ (¬p)

V V V F

F V F V

De este modo, si queremos probar que

¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q)

es tautol´ogica, procedemos como sigue:

Por la ley (1) de De morgan, y la ley de involuci´on, las siguientes dobles implicaciones son tautol´ogicas:

¬(¬p∧ ¬q)⇔(¬¬p∨ ¬¬q)⇔(p∨q).

As´ı que portransitividad, la doble implicaci´on siguiente es tautol´ogica:

(56)

ogica y conjuntos

Algebra´

Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse tambi´en una tabla.

O bien, podemos ocupar laley deinvoluci´on, la cual afirma quepy la doble negaci´on

¬¬pson equivalentes, es decir, quep⇔ ¬(¬p)es una proposici´on tautol´ogica:

p ⇔ ¬ (¬p)

V V V F

F V F V

De este modo, si queremos probar que

¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q)

es tautol´ogica, procedemos como sigue:

Por la ley (1) de De morgan, y la ley de involuci´on, las siguientes dobles implicaciones son tautol´ogicas:

(57)

ogica y conjuntos

Algebra´

As´ı que portransitividad, la doble implicaci´on siguiente es tautol´ogica:

¬(¬p∧ ¬q)⇔(p∨q).

De modo que, nuevamente por involuci´on, las dobles implicaciones

¬(p∨q)⇔ ¬¬(¬p∧ ¬q)⇔(¬p∧ ¬q),

son tautol´ogicas.

As´ı (por transitividad),

¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q)

es tautol´ogica.

(58)

ogica y conjuntos

Algebra´

As´ı que portransitividad, la doble implicaci´on siguiente es tautol´ogica:

¬(¬p∧ ¬q)⇔(p∨q).

De modo que, nuevamente por involuci´on, las dobles implicaciones

¬(p∨q)⇔ ¬¬(¬p∧ ¬q)⇔(¬p∧ ¬q),

son tautol´ogicas.

As´ı (por transitividad),

¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q)

es tautol´ogica.

(59)

ogica y conjuntos

Algebra´

As´ı que portransitividad, la doble implicaci´on siguiente es tautol´ogica:

¬(¬p∧ ¬q)⇔(p∨q).

De modo que, nuevamente por involuci´on, las dobles implicaciones

¬(p∨q)⇔ ¬¬(¬p∧ ¬q)⇔(¬p∧ ¬q),

son tautol´ogicas.

As´ı (por transitividad),

¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q)

es tautol´ogica.

(60)

ogica y conjuntos

Algebra´

As´ı que portransitividad, la doble implicaci´on siguiente es tautol´ogica:

¬(¬p∧ ¬q)⇔(p∨q).

De modo que, nuevamente por involuci´on, las dobles implicaciones

¬(p∨q)⇔ ¬¬(¬p∧ ¬q)⇔(¬p∧ ¬q),

son tautol´ogicas.

As´ı (por transitividad),

¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q)

es tautol´ogica.

(61)

ogica y conjuntos

Algebra´

Equivalencias de

(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q) (1)

(p⇒q)⇔(¬p∨q) (2)

Para (1) hacemos una tabla:

p q ¬q (p⇒q) ⇔ ¬ (p∧ ¬q)

V V

F V V V F

V F

V F V F V

F V

F V V V F

F F

V V V V F

(62)

ogica y conjuntos

Algebra´

Equivalencias de

(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q) (1)

(p⇒q)⇔(¬p∨q) (2)

Para (1) hacemos una tabla:

p q ¬q (p⇒q) ⇔ ¬ (p∧ ¬q)

V V

F V V V F

V F

V F V F V

F V

F V V V F

F F

V V V V F

(63)

ogica y conjuntos

Algebra´

Equivalencias de

(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q) (1)

(p⇒q)⇔(¬p∨q) (2)

Para (1) hacemos una tabla:

p q ¬q (p⇒q) ⇔ ¬ (p∧ ¬q)

V V F

V V V F

V F V

F V F V

F V F

V V V F

F F V

V V V F

(64)

ogica y conjuntos

Algebra´

Equivalencias de

(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q) (1)

(p⇒q)⇔(¬p∨q) (2)

Para (1) hacemos una tabla:

p q ¬q (p⇒q) ⇔ ¬ (p∧ ¬q)

V V F V

V V F

V F V F

V F V

F V F V

V V F

F F V V

V V F

(65)

ogica y conjuntos

Algebra´

Equivalencias de

(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q) (1)

(p⇒q)⇔(¬p∨q) (2)

Para (1) hacemos una tabla:

p q ¬q (p⇒q) ⇔ ¬ (p∧ ¬q)

V V F V

V V

F

V F V F

V F

V

F V F V

V V

F

F F V V

V V

F

(66)

ogica y conjuntos

Algebra´

Equivalencias de

(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q) (1)

(p⇒q)⇔(¬p∨q) (2)

Para (1) hacemos una tabla:

p q ¬q (p⇒q) ⇔ ¬ (p∧ ¬q)

V V F V

V

V F

V F V F

V

F V

F V F V

V

V F

F F V V

V

V F

(67)

ogica y conjuntos

Algebra´

Equivalencias de

(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q) (1)

(p⇒q)⇔(¬p∨q) (2)

Para (1) hacemos una tabla:

p q ¬q (p⇒q) ⇔ ¬ (p∧ ¬q)

V V F V V V F

V F V F V F V

F V F V V V F

F F V V V V F

(68)

ogica y conjuntos

Algebra´

Equivalencias de

(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q) (1)

(p⇒q)⇔(¬p∨q) (2)

Para (1) hacemos una tabla:

p q ¬q (p⇒q) ⇔ ¬ (p∧ ¬q)

V V F V V V F

V F V F V F V

F V F V V V F

F F V V V V F

(69)

ogica y conjuntos

Algebra´

Para la equivalencia (2)

(p⇒q)⇔(¬p∨q)

podemos tambi´en usar una tabla.

O tambi´en podemos proceder como sigue:

Seg´un las leyes de De Morgan e involuci´on, las dobles implicaciones siguientes son tautol´ogicas:

(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q)

⇔(¬p∨ ¬¬q)

⇔(¬p∨q).

Esto es,p⇒qy¬p∨qson equivalentes (por transitividad).

(70)

ogica y conjuntos

Algebra´

Para la equivalencia (2)

(p⇒q)⇔(¬p∨q)

podemos tambi´en usar una tabla.

O tambi´en podemos proceder como sigue:

Seg´un las leyes de De Morgan e involuci´on, las dobles implicaciones siguientes son tautol´ogicas:

(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q)

⇔(¬p∨ ¬¬q)

⇔(¬p∨q).

Esto es,p⇒qy¬p∨qson equivalentes (por transitividad).

(71)

ogica y conjuntos

Algebra´

Para la equivalencia (2)

(p⇒q)⇔(¬p∨q)

podemos tambi´en usar una tabla.

O tambi´en podemos proceder como sigue:

Seg´un las leyes de De Morgan e involuci´on, las dobles implicaciones siguientes son tautol´ogicas:

(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q)

⇔(¬p∨ ¬¬q)

⇔(¬p∨q).

Esto es,p⇒qy¬p∨qson equivalentes (por transitividad).

(72)

ogica y conjuntos

Algebra´

Para la equivalencia (2)

(p⇒q)⇔(¬p∨q)

podemos tambi´en usar una tabla.

O tambi´en podemos proceder como sigue:

Seg´un las leyes de De Morgan e involuci´on, las dobles implicaciones siguientes son tautol´ogicas:

(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q)

⇔(¬p∨ ¬¬q)

⇔(¬p∨q).

Esto es,p⇒qy¬p∨qson equivalentes (por transitividad).

(73)

ogica y conjuntos

Algebra´

Para la equivalencia (2)

(p⇒q)⇔(¬p∨q)

podemos tambi´en usar una tabla.

O tambi´en podemos proceder como sigue:

Seg´un las leyes de De Morgan e involuci´on, las dobles implicaciones siguientes son tautol´ogicas:

(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q)

⇔(¬p∨ ¬¬q)

⇔(¬p∨q).

Esto es,p⇒qy¬p∨qson equivalentes (por transitividad).

(74)

ogica y conjuntos

Algebra´

Otras util´ısimas leyes l´

ogicas

p⇒p

p ⇒ p

V V V

F V F

p⇔p

p ⇔ p

V V V

F V F

(p⇔q)⇒(p⇒q)

p q (p⇔q) ⇒ (p⇒q)

V V V V V

V F F V F

(75)

ogica y conjuntos

Algebra´

Otras util´ısimas leyes l´

ogicas

Conmutatividad: (p∨q)⇔(q∨p)

p q (p∨q) ⇔ (q∨p)

V V V V V

V F V V V

F V V V V

F F F V F

Conmutatividad: (p∧q)⇔(q∧p)

p q (p∧q) ⇔ (q∧p)

V V V V V

V F F V F

F V F V F

(76)

ogica y conjuntos

Algebra´

Otras util´ısimas leyes l´

ogicas

Asociatividad: (p∨(q∨r))⇔((p∨q)∨r)

La tabla es un buen ejercicio.

Asociatividad: (p∧(q∧r))⇔((p∧q)∧r)

La tabla es un buen ejercicio.

Convenios

Escribimosp∧q∧ren lugar de(p∧q)∧r. E igualmente,p∨q∨rpor(p∨q)∨r.

Las expresiones

p1∧p2∧ · · · ∧pn y p1∨p2∨ · · · ∨pn

se definen recursivamente

(77)

ogica y conjuntos

Algebra´

Otras util´ısimas leyes l´

ogicas

Adici´on: p⇒(p∨q)

p ⇒ (p ∨ q)

V V V V V

V V V V F

F V F V V

F V F F F

Simplificaci´on: (p∧q)⇒p

(p ∧ q) ⇒ p)

V V V V V

V F F V V

F F V V F

F F F V F

Consecuencia: (p∧q)⇒(p∨q)

(78)

ogica y conjuntos

Algebra´

Otras util´ısimas leyes l´

ogicas

Idempotencia: (p∨p)⇔p

(p ∨ p) ⇔ p

V V V V V

F F F V F

Consecuencia: (p∨q)⇔(p∨p∨q)

Idempotencia: (p∧p)⇔p

(p ∧ p) ⇒ p

V V V V V

F F F V F

Consecuencia: (p∧q)⇔(p∧p∧q)

Ley del reemplazo

Supongamos queT(p, q)es unaf´ormula(una proposici´on compuesta) en donde

inter-vienen dos proposicionespyq. Supongamos adem´as queP yPbson dos proposiciones

equivalentes. Entonces

(79)

ogica y conjuntos

Algebra´

Otras util´ısimas leyes l´

ogicas

Idempotencia: (p∨p)⇔p

(p ∨ p) ⇔ p

V V V V V

F F F V F

Consecuencia: (p∨q)⇔(p∨p∨q)

Idempotencia: (p∧p)⇔p

(p ∧ p) ⇒ p

V V V V V

F F F V F

Consecuencia: (p∧q)⇔(p∧p∧q)

Ley del reemplazo

Supongamos queT(p, q)es unaf´ormula(una proposici´on compuesta) en donde

inter-vienen dos proposicionespyq. Supongamos adem´as queP yPbson dos proposiciones

(80)

ogica y conjuntos

Algebra´

Conjuntos

La palabraconjuntose usa como sin´onimo defamilia o colecci´on de objetos. Usamos las letras may´usculasA,B,C,X,Y, etc, para denotar conjuntos.

Los objetos que conforman un conjunto son llamadoselementos, y escribimosa∈A para denotar que el objetoaes un elemento (un miembro) del conjuntoA, lo que leemos como “apertenece aA”.

Sia no es elemento del conjuntoA, escribimos a /∈ A, lo que leemos como “a no pertenece aA”. Observamos entonces que

a /∈A⇔ ¬(a∈A).

Ejemplo

1) SiA={2,3,4}, entonces2∈A, pero5∈/A.

2) SiA={2,3,4}, entonces2∈Apero{2}∈/A.

(81)

ogica y conjuntos

Algebra´

Conjuntos

La palabraconjuntose usa como sin´onimo defamilia o colecci´on de objetos. Usamos las letras may´usculasA,B,C,X,Y, etc, para denotar conjuntos.

Los objetos que conforman un conjunto son llamadoselementos, y escribimosa∈A para denotar que el objetoaes un elemento (un miembro) del conjuntoA, lo que leemos como “apertenece aA”.

Sia no es elemento del conjuntoA, escribimos a /∈ A, lo que leemos como “a no pertenece aA”. Observamos entonces que

a /∈A⇔ ¬(a∈A).

Ejemplo

1) SiA={2,3,4}, entonces2∈A, pero5∈/A.

(82)

ogica y conjuntos

Algebra´

Un conjuntoApuede estar integrado por aquellos objetosxque satisfacen una propiedadP(x). En tal caso escribimos

A={x:P(x)},

lo que leemos como “Aes igual al conjunto de todas lasxtales queP(x)es verdadero”.

Ejemplo

1) Sobre la recta realR, el intervalo unitario cerrado es el conjunto

[0,1] ={x∈R: 0≤x≤1}.

2) Sobre el planoR2, la circunferencia unitaria es el conjunto

S1={(x, y)∈R2:x2+y2= 1}.

Note que solo estamos tomando el c´ırculo, no la “bola” completa.

3) Sobre el espacioR3, la esfera unitaria es el conjunto

S2={(x, y, z,)∈R3:x2+y2+z2= 1}.

(83)

ogica y conjuntos

Algebra´

Un conjuntoApuede estar integrado por aquellos objetosxque satisfacen una propiedadP(x). En tal caso escribimos

A={x:P(x)},

lo que leemos como “Aes igual al conjunto de todas lasxtales queP(x)es verdadero”.

Ejemplo

1) Sobre la recta realR, el intervalo unitario cerrado es el conjunto

[0,1] ={x∈R: 0≤x≤1}.

2) Sobre el planoR2, la circunferencia unitaria es el conjunto

S1={(x, y)∈R2:x2+y2= 1}.

Note que solo estamos tomando el c´ırculo, no la “bola” completa.

3) Sobre el espacioR3, la esfera unitaria es el conjunto

S2={(x, y, z,)∈R3:x2+y2+z2= 1}.

(84)

ogica y conjuntos

Algebra´

Un conjuntoApuede estar integrado por aquellos objetosxque satisfacen una propiedadP(x). En tal caso escribimos

A={x:P(x)},

lo que leemos como “Aes igual al conjunto de todas lasxtales queP(x)es verdadero”.

Ejemplo

1) Sobre la recta realR, el intervalo unitario cerrado es el conjunto

[0,1] ={x∈R: 0≤x≤1}.

2) Sobre el planoR2, la circunferencia unitaria es el conjunto

S1={(x, y)∈R2:x2+y2= 1}.

Note que solo estamos tomando el c´ırculo, no la “bola” completa.

3) Sobre el espacioR3, la esfera unitaria es el conjunto

S2={(x, y, z,)∈R3:x2+y2+z2= 1}.

(85)

ogica y conjuntos

Algebra´

Un conjuntoApuede estar integrado por aquellos objetosxque satisfacen una propiedadP(x). En tal caso escribimos

A={x:P(x)},

lo que leemos como “Aes igual al conjunto de todas lasxtales queP(x)es verdadero”.

Ejemplo

1) Sobre la recta realR, el intervalo unitario cerrado es el conjunto

[0,1] ={x∈R: 0≤x≤1}.

2) Sobre el planoR2, la circunferencia unitaria es el conjunto

S1={(x, y)∈R2:x2+y2= 1}.

Note que solo estamos tomando el c´ırculo, no la “bola” completa.

3) Sobre el espacioR3, la esfera unitaria es el conjunto

S2={(x, y, z,)∈R3:x2+y2+z2= 1}.

(86)

ogica y conjuntos

Algebra´

Un conjuntoApuede estar integrado por aquellos objetosxque satisfacen una propiedadP(x). En tal caso escribimos

A={x:P(x)},

lo que leemos como “Aes igual al conjunto de todas lasxtales queP(x)es verdadero”.

Ejemplo

1) Sobre la recta realR, el intervalo unitario cerrado es el conjunto

[0,1] ={x∈R: 0≤x≤1}.

2) Sobre el planoR2, la circunferencia unitaria es el conjunto

S1={(x, y)∈R2:x2+y2= 1}.

Note que solo estamos tomando el c´ırculo, no la “bola” completa.

3) Sobre el espacioR3, la esfera unitaria es el conjunto

(87)

ogica y conjuntos

Algebra´

Un conjuntoApuede estar integrado por aquellos objetosxque satisfacen una propiedadP(x). En tal caso escribimos

A={x:P(x)},

lo que leemos como “Aes igual al conjunto de todas lasxtales queP(x)es verdadero”.

Ejemplo

1) Sobre la recta realR, el intervalo unitario cerrado es el conjunto

[0,1] ={x∈R: 0≤x≤1}.

2) Sobre el planoR2, la circunferencia unitaria es el conjunto

S1={(x, y)∈R2:x2+y2= 1}.

Note que solo estamos tomando el c´ırculo, no la “bola” completa.

3) Sobre el espacioR3, la esfera unitaria es el conjunto

(88)

ogica y conjuntos

Algebra´

Contenci´

on

SiAyBson conjuntos, definimos la relaci´on decontenci´oncon la sentencia:

A⊂B⇔ ∀x(x∈A⇒x∈B)

(El s´ımbolo∀ es un cuantificador l´ogico, se lee “para todo”. Se llamacuatificador universal).

Y tambi´en

A6⊂B⇔ ∃a(a∈A∧a /∈B)

(El s´ımbolo∃es un cuantificador l´ogico, se lee “existe”. Se llamacuantificador exis-tencial)

Convenios notacionales

Tambi´en podemos escribir

A⊂B⇔(∀x∈A)(x∈B)

A6⊂B⇔(∃a∈A)(a /∈B).

Observaci´on:En general, siP(x)es una propiedad:

¬∀xP(x)⇔ ∃x¬P(x)

¬∃xP(x)⇔ ∀x¬P(x) (a veces escribimos@x P(x))

Propiedades de la contenci´on:

Reflexiva:A⊂A, para todo conjuntoA.

Transitiva: A⊂B ∧ B⊂C ⇒ A⊂C.

Reflexiva: Para todo conjunto A, a ∈ A⇔ a∈ Aes siempre V.

Transitiva: SiA,ByCson conjuntos, yA⊂ByB⊂C, entonces

(89)

ogica y conjuntos

Algebra´

Contenci´

on

SiAyBson conjuntos, definimos la relaci´on decontenci´oncon la sentencia:

A⊂B⇔ ∀x(x∈A⇒x∈B)

(El s´ımbolo∀ es un cuantificador l´ogico, se lee “para todo”. Se llamacuatificador universal).

Y tambi´en

A6⊂B⇔ ∃a(a∈A∧a /∈B)

(El s´ımbolo∃es un cuantificador l´ogico, se lee “existe”. Se llamacuantificador exis-tencial)

Convenios notacionales

Tambi´en podemos escribir

A⊂B⇔(∀x∈A)(x∈B)

A6⊂B⇔(∃a∈A)(a /∈B).

Observaci´on:En general, siP(x)es una propiedad:

¬∀xP(x)⇔ ∃x¬P(x)

¬∃xP(x)⇔ ∀x¬P(x) (a veces escribimos@x P(x))

Propiedades de la contenci´on:

Reflexiva:A⊂A, para todo conjuntoA.

Transitiva: A⊂B ∧ B⊂C ⇒ A⊂C.

Reflexiva: Para todo conjunto A, a ∈ A⇔ a∈ Aes siempre V.

Transitiva: SiA,ByCson conjuntos, yA⊂ByB⊂C, entonces

(90)

ogica y conjuntos

Algebra´

Contenci´

on

SiAyBson conjuntos, definimos la relaci´on decontenci´oncon la sentencia:

A⊂B⇔ ∀x(x∈A⇒x∈B)

(El s´ımbolo∀ es un cuantificador l´ogico, se lee “para todo”. Se llamacuatificador universal).

Y tambi´en

A6⊂B⇔ ∃a(a∈A∧a /∈B)

(El s´ımbolo∃es un cuantificador l´ogico, se lee “existe”. Se llamacuantificador exis-tencial)

Convenios notacionales

Tambi´en podemos escribir

A⊂B⇔(∀x∈A)(x∈B)

A6⊂B⇔(∃a∈A)(a /∈B).

Observaci´on: En general, siP(x)es una propiedad:

¬∀xP(x)⇔ ∃x¬P(x)

¬∃xP(x)⇔ ∀x¬P(x) (a veces escribimos@x P(x))

Propiedades de la contenci´on:

Reflexiva:A⊂A, para todo conjuntoA.

Transitiva: A⊂B ∧ B⊂C ⇒ A⊂C.

Reflexiva: Para todo conjunto A, a ∈ A⇔ a∈ Aes siempre V.

Transitiva: SiA,ByCson conjuntos, yA⊂ByB⊂C, entonces

(91)

ogica y conjuntos

Algebra´

Contenci´

on

SiAyBson conjuntos, definimos la relaci´on decontenci´oncon la sentencia:

A⊂B⇔ ∀x(x∈A⇒x∈B)

(El s´ımbolo∀ es un cuantificador l´ogico, se lee “para todo”. Se llamacuatificador universal).

Y tambi´en

A6⊂B⇔ ∃a(a∈A∧a /∈B)

(El s´ımbolo∃es un cuantificador l´ogico, se lee “existe”. Se llamacuantificador exis-tencial)

Convenios notacionales

Tambi´en podemos escribir

A⊂B⇔(∀x∈A)(x∈B)

A6⊂B⇔(∃a∈A)(a /∈B).

Observaci´on: En general, siP(x)es una propiedad:

¬∀xP(x)⇔ ∃x¬P(x)

¬∃xP(x)⇔ ∀x¬P(x) (a veces escribimos@x P(x))

Propiedades de la contenci´on:

Reflexiva: Para todo conjunto A, a ∈ A⇔ a∈ Aes siempre V.

Transitiva: SiA,ByCson conjuntos, yA⊂ByB⊂C, entonces

(92)

ogica y conjuntos

Algebra´

Contenci´

on

SiAyBson conjuntos, definimos la relaci´on decontenci´oncon la sentencia:

A⊂B⇔ ∀x(x∈A⇒x∈B)

(El s´ımbolo∀ es un cuantificador l´ogico, se lee “para todo”. Se llamacuatificador universal).

Y tambi´en

A6⊂B⇔ ∃a(a∈A∧a /∈B)

(El s´ımbolo∃es un cuantificador l´ogico, se lee “existe”. Se llamacuantificador exis-tencial)

Convenios notacionales

Tambi´en podemos escribir

A⊂B⇔(∀x∈A)(x∈B)

A6⊂B⇔(∃a∈A)(a /∈B).

Observaci´on: En general, siP(x)es una propiedad:

¬∀xP(x)⇔ ∃x¬P(x)

¬∃xP(x)⇔ ∀x¬P(x) (a veces escribimos@x P(x))

Propiedades de la contenci´on:

Reflexiva: Para todo conjunto A,a ∈ A⇔ a∈ Aes siempre V.

Transitiva: SiA,ByCson conjuntos, yA⊂ByB⊂C, entonces

(93)

ogica y conjuntos

Algebra´

El axioma de extensi´

on

Dos conjuntos son iguales si y s´olo si tienen los mismos elementos.

En s´ımbolos:

∀A∀B(A=B⇔A⊂B∧B⊂A).

Otra forma del mismo axioma:

Un conjunto est´a determinado por su extensi´on.

Propiedades de la igualdad

Reflexiva A=A, para todo conjuntoA.

Sim´etrica A=B⇔B=A.

Transitiva A=B∧B=C⇒A=C.

Reflexiva: A⊂Aes siempre V para todo conjuntoA. (Consecuencia de quea∈A⇒a∈Aes siempre V).

Sim´etrica: Para cualesquieera conjuntosAyB,

A=B⇔A⊂B∧B⊂A⇔A⊂B∧B⊂A⇔B=A

(94)

ogica y conjuntos

Algebra´

El axioma de extensi´

on

Dos conjuntos son iguales si y s´olo si tienen los mismos elementos.

En s´ımbolos:

∀A∀B(A=B⇔A⊂B∧B⊂A).

Otra forma del mismo axioma:

Un conjunto est´a determinado por su extensi´on.

Propiedades de la igualdad

Reflexiva A=A, para todo conjuntoA.

Sim´etrica A=B⇔B=A.

Transitiva A=B∧B=C⇒A=C.

Reflexiva: A⊂Aes siempre V para todo conjuntoA. (Consecuencia de quea∈A⇒a∈Aes siempre V).

Sim´etrica: Para cualesquieera conjuntosAyB,

A=B⇔A⊂B∧B⊂A⇔A⊂B∧B⊂A⇔B=A

(95)

ogica y conjuntos

Algebra´

El axioma de extensi´

on

Dos conjuntos son iguales si y s´olo si tienen los mismos elementos.

En s´ımbolos:

∀A∀B(A=B⇔A⊂B∧B⊂A).

Otra forma del mismo axioma:

Un conjunto est´a determinado por su extensi´on.

Propiedades de la igualdad

Reflexiva A=A, para todo conjuntoA.

Sim´etrica A=B⇔B=A.

Transitiva A=B∧B=C⇒A=C.

Reflexiva: A⊂Aes siempre V para todo conjuntoA. (Consecuencia de quea∈A⇒a∈Aes siempre V).

Sim´etrica: Para cualesquieera conjuntosAyB,

A=B⇔A⊂B∧B⊂A⇔A⊂B∧B⊂A⇔B=A

(96)

ogica y conjuntos

Algebra´

El axioma de extensi´

on

Dos conjuntos son iguales si y s´olo si tienen los mismos elementos.

En s´ımbolos:

∀A∀B(A=B⇔A⊂B∧B⊂A).

Otra forma del mismo axioma:

Un conjunto est´a determinado por su extensi´on.

Propiedades de la igualdad

Reflexiva A=A, para todo conjuntoA.

Sim´etrica A=B⇔B=A.

Transitiva A=B∧B=C⇒A=C.

Reflexiva:A⊂Aes siempre V para todo conjuntoA. (Consecuencia de quea∈A⇒a∈Aes siempre V).

Sim´etrica: Para cualesquieera conjuntosAyB,

A=B⇔A⊂B∧B⊂A⇔A⊂B∧B⊂A⇔B=A

(97)

ogica y conjuntos

Algebra´

El axioma de extensi´

on

Dos conjuntos son iguales si y s´olo si tienen los mismos elementos.

En s´ımbolos:

∀A∀B(A=B⇔A⊂B∧B⊂A).

Otra forma del mismo axioma:

Un conjunto est´a determinado por su extensi´on.

Propiedades de la igualdad

Reflexiva A=A, para todo conjuntoA.

Sim´etrica A=B⇔B=A.

Transitiva A=B∧B=C⇒A=C.

Reflexiva: A⊂Aes siempre V para todo conjuntoA. (Consecuencia de quea∈A⇒a∈Aes siempre V).

Sim´etrica: Para cualesquieera conjuntosAyB,

A=B⇔A⊂B∧B⊂A⇔A⊂B∧B⊂A⇔B=A

(98)

ogica y conjuntos

Algebra´

Principio de permutaci´

on para cuantificadores iterados

Supongamos quep(x, y)es una propiedad que se refiere a los elementosxde un conjunto Ay los elementosyde un conjuntoB, dondeAyBno son necesariamente distintos. Entonces

(∀x∈A)(∀y∈B)p(x, y)⇔(∀y∈B)(∀x∈A)p(x, y) (∃x∈A)(∃y∈B)p(x, y)⇔(∃y∈B)(∃x∈A)p(x, y)

Ejemplo

La proposiciones

(∀x∈R)(∀y∈R) x2−y2= (x−y)(x+y)

(∀y∈R)(∀x∈R) x2−y2= (x−y)(x+y)

son equivalentes. De hecho verdaderas, en cuanto que la factorizaci´on

x2−y2= (x−y)(x+y)

es v´alida para cualesquiera n´umeros realesxyy. No obstante,

(∀x∈A)(∃y∈B)p(x, y)6⇔(∃y∈B)(∀x∈A)p(x, y).

Ejemplo

Consideremos el conjuntoR\{0}(de todos los n´umeros reales menos el cero). Sea

la propiedad en dos variables

p(x, y) :xy= 1.

Entonces es claro que la afirmaci´on

(∀x∈R\{0})(∃y∈R\{0})(xy= 1)

es verdadera. Pero

(∃y∈R\{0})(∀x∈R\{0})(xy= 1)

es falsa.

Teorema

La proposici´on

(∀x∈R\{0})(∃y∈R\{0})(xy= 1)

es verdadera

Demostraci´on.

Sixes un n´umero real yx6= 0, entonces

x 1 x =x

x = 1.

(Esto es,y=x1).

Teorema

La proposici´on

(∃y∈R\{0})(∀x∈R\{0})(xy= 1)

es falsa.

Demostraci´on.

Supongamos que es verdadera, esto es, que para alg´un n´umero realy6= 0, se cumple quexy= 1, para todo n´umero realx6= 0; en particular,

y2=yy= 1.

De donde y = 1 ´o bieny =−1. Si sucede lo primero, se sigue que para todo n´umero realx6= 0,

x=x1 =xy= 1.

En particular,

0 = 1.

Y si sucede lo segundo, se sigue que para todo n´umero realx6= 0,

−x=x(−1) =xy= 1.

En particular,

0 = 1.

Ambos casos son absurdos.

Otras equivalencias con

cuantificadores

∀x(p(x)∧q)⇔(∀xp(x))∧q

(99)

ogica y conjuntos

Algebra´

Principio de permutaci´

on para cuantificadores iterados

Supongamos quep(x, y)es una propiedad que se refiere a los elementosxde un conjunto Ay los elementosyde un conjuntoB, dondeAyBno son necesariamente distintos. Entonces

(∀x∈A)(∀y∈B)p(x, y)⇔(∀y∈B)(∀x∈A)p(x, y) (∃x∈A)(∃y∈B)p(x, y)⇔(∃y∈B)(∃x∈A)p(x, y)

Ejemplo

La proposiciones

(∀x∈R)(∀y∈R) x2−y2= (x−y)(x+y)

(∀y∈R)(∀x∈R) x2−y2= (x−y)(x+y)

son equivalentes. De hecho verdaderas, en cuanto que la factorizaci´on

x2−y2= (x−y)(x+y)

es v´alida para cualesquiera n´umeros realesxyy.

No obstante,

(∀x∈A)(∃y∈B)p(x, y)6⇔(∃y∈B)(∀x∈A)p(x, y).

Ejemplo

Consideremos el conjuntoR\{0}(de todos los n´umeros reales menos el cero). Sea

la propiedad en dos variables

p(x, y) :xy= 1.

Entonces es claro que la afirmaci´on

(∀x∈R\{0})(∃y∈R\{0})(xy= 1)

es verdadera. Pero

(∃y∈R\{0})(∀x∈R\{0})(xy= 1)

es falsa.

Teorema

La proposici´on

(∀x∈R\{0})(∃y∈R\{0})(xy= 1)

es verdadera

Demostraci´on.

Sixes un n´umero real yx6= 0, entonces

x 1 x =x

x = 1.

(Esto es,y=x1).

Teorema

La proposici´on

(∃y∈R\{0})(∀x∈R\{0})(xy= 1)

es falsa.

Demostraci´on.

Supongamos que es verdadera, esto es, que para alg´un n´umero realy6= 0, se cumple quexy= 1, para todo n´umero realx6= 0; en particular,

y2=yy= 1.

De donde y = 1 ´o bieny =−1. Si sucede lo primero, se sigue que para todo n´umero realx6= 0,

x=x1 =xy= 1.

En particular,

0 = 1.

Y si sucede lo segundo, se sigue que para todo n´umero realx6= 0,

−x=x(−1) =xy= 1.

En particular,

0 = 1.

Ambos casos son absurdos.

Otras equivalencias con

cuantificadores

∀x(p(x)∧q)⇔(∀xp(x))∧q

(100)

ogica y conjuntos

Algebra´

Principio de permutaci´

on para cuantificadores iterados

Supongamos quep(x, y)es una propiedad que se refiere a los elementosxde un conjunto Ay los elementosyde un conjuntoB, dondeAyBno son necesariamente distintos. Entonces

(∀x∈A)(∀y∈B)p(x, y)⇔(∀y∈B)(∀x∈A)p(x, y) (∃x∈A)(∃y∈B)p(x, y)⇔(∃y∈B)(∃x∈A)p(x, y)

Ejemplo

La proposiciones

(∀x∈R)(∀y∈R) x2−y2= (x−y)(x+y)

(∀y∈R)(∀x∈R) x2−y2= (x−y)(x+y)

son equivalentes. De hecho verdaderas, en cuanto que la factorizaci´on

x2−y2= (x−y)(x+y)

es v´alida para cualesquiera n´umeros realesxyy.

No obstante,

(∀x∈A)(∃y∈B)p(x, y)6⇔(∃y∈B)(∀x∈A)p(x, y).

Ejemplo

Consideremos el conjuntoR\{0}(de todos los n´umeros reales menos el cero). Sea

la propiedad en dos variables

p(x, y) :xy= 1.

Entonces es claro que la afirmaci´on

(∀x∈R\{0})(∃y∈R\{0})(xy= 1)

es verdadera. Pero

(∃y∈R\{0})(∀x∈R\{0})(xy= 1)

es falsa.

Teorema

La proposici´on

(∀x∈R\{0})(∃y∈R\{0})(xy= 1)

es verdadera

Demostraci´on.

Sixes un n´umero real yx6= 0, entonces

x 1 x =x

x= 1.

(Esto es,y=x1).

Teorema

La proposici´on

(∃y∈R\{0})(∀x∈R\{0})(xy= 1)

es falsa.

Demostraci´on.

Supongamos que es verdadera, esto es, que para alg´un n´umero realy6= 0, se cumple quexy= 1, para todo n´umero realx6= 0; en particular,

y2=yy= 1.

De donde y = 1 ´o bieny =−1. Si sucede lo primero, se sigue que para todo n´umero realx6= 0,

x=x1 =xy= 1.

En particular,

0 = 1.

Y si sucede lo segundo, se sigue que para todo n´umero realx6= 0,

−x=x(−1) =xy= 1.

En particular,

0 = 1.

Ambos casos son absurdos.

Otras equivalencias con

cuantificadores

∀x(p(x)∧q)⇔(∀xp(x))∧q

(101)

ogica y conjuntos

Algebra´

Principio de permutaci´

on para cuantificadores iterados

Supongamos quep(x, y)es una propiedad que se refiere a los elementosxde un conjunto Ay los elementosyde un conjuntoB, dondeAyBno son necesariamente distintos. Entonces

(∀x∈A)(∀y∈B)p(x, y)⇔(∀y∈B)(∀x∈A)p(x, y) (∃x∈A)(∃y∈B)p(x, y)⇔(∃y∈B)(∃x∈A)p(x, y)

Ejemplo

La proposiciones

(∀x∈R)(∀y∈R) x2−y2= (x−y)(x+y)

(∀y∈R)(∀x∈R) x2−y2= (x−y)(x+y)

son equivalentes. De hecho verdaderas, en cuanto que la factorizaci´on

x2−y2= (x−y)(x+y)

es v´alida para cualesquiera n´umeros realesxyy.

No obstante,

(∀x∈A)(∃y∈B)p(x, y)6⇔(∃y∈B)(∀x∈A)p(x, y).

Ejemplo

Consideremos el conjuntoR\{0}(de todos los n´umeros reales menos el cero). Sea

la propiedad en dos variables

p(x, y) :xy= 1.

Entonces es claro que la afirmaci´on

(∀x∈R\{0})(∃y∈R\{0})(xy= 1)

es verdadera. Pero

(∃y∈R\{0})(∀x∈R\{0})(xy= 1)

es falsa.

Teorema

La proposici´on

(∀x∈R\{0})(∃y∈R\{0})(xy= 1)

es verdadera

Demostraci´on.

Sixes un n´umero real yx6= 0, entonces

x 1 x =x

x= 1.

(Esto es,y=x1).

Teorema

La proposici´on

(∃y∈R\{0})(∀x∈R\{0})(xy= 1)

es falsa.

Demostraci´on.

Supongamos que es verdadera, esto es, que para alg´un n´umero realy6= 0, se cumple quexy= 1, para todo n´umero realx6= 0; en particular,

y2=yy= 1.

De donde y = 1 ´o bieny =−1. Si sucede lo primero, se sigue que para todo n´umero realx6= 0,

x=x1 =xy= 1.

En particular,

0 = 1.

Y si sucede lo segundo, se sigue que para todo n´umero realx6= 0,

−x=x(−1) =xy= 1.

En particular,

0 = 1.

Ambos casos son absurdos.

Otras equivalencias con

cuantificadores

∀x(p(x)∧q)⇔(∀xp(x))∧q

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