Breve Introducci´
on a la l´
ogica y los conjuntos
´ Algebra
Araceli Guzm´
an y Guillermo Garro
Facultad de Ciencias UNAM
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Referencias b´
asicas
1. Armando O. Rojo,Algebra´ , 1978. Bajaraqu´ı.
2. Alvaro P´´ erez Raposo,L´ogica, conjuntos, relaciones y funciones, 2010. Bajaraqu´ı
3. C´ardenas, Lluis, Raggi, Tom´as,Algebra Superior´ . Bajaraqu´ı.
4. Paul Halmos,Teor´ıa intuitiva de los conjuntos. Bajaraqu´ı.
Otras referencias
1. M. O’Leary,A first course in mathematical logic and set theory, 2016. Bajaraqu´ı.
2. Willard Van Orman Quine,Mathematical Logic, 1981. Bajaraqu´ı.
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Referencias b´
asicas
1. Armando O. Rojo,Algebra´ , 1978. Bajaraqu´ı.
2. Alvaro P´´ erez Raposo,L´ogica, conjuntos, relaciones y funciones, 2010. Bajaraqu´ı
3. C´ardenas, Lluis, Raggi, Tom´as,Algebra Superior´ . Bajaraqu´ı.
4. Paul Halmos,Teor´ıa intuitiva de los conjuntos. Bajaraqu´ı.
Otras referencias
1. M. O’Leary,A first course in mathematical logic and set theory, 2016. Bajaraqu´ı.
2. Willard Van Orman Quine,Mathematical Logic, 1981. Bajaraqu´ı.
L´
ogica y conjuntos
Algebra´L´
ogica y conjuntos
Como sucede con todas las ramas de la matem´atica, para estudiar´algebrase requiere de ciertos conocimientos b´asicos del´ogicayteor´ıa de conjuntos.
L´
ogica (proposicional)
Unaproposici´ones un enunciado del que puede decirse que esverdadero(con valor de verdad V ´o1) ofalso(con valor de verdad F ´o0) pero no ambas cosas. Gereralmente las proposiciones son denotadas con las letrasp,q,r,... o may´usculasP,Q,R,...
Los conectivos l´
ogicos
L´
ogica y conjuntos
Algebra´L´
ogica y conjuntos
Como sucede con todas las ramas de la matem´atica, para estudiar´algebrase requiere de ciertos conocimientos b´asicos del´ogicayteor´ıa de conjuntos.
L´
ogica (proposicional)
Unaproposici´ones un enunciado del que puede decirse que esverdadero(con valor de verdad V ´o1) ofalso(con valor de verdad F ´o0) pero no ambas cosas. Gereralmente las proposiciones son denotadas con las letrasp,q,r,... o may´usculasP,Q,R,...
Los conectivos l´
ogicos
L´
ogica y conjuntos
Algebra´L´
ogica y conjuntos
Como sucede con todas las ramas de la matem´atica, para estudiar´algebrase requiere de ciertos conocimientos b´asicos del´ogicayteor´ıa de conjuntos.
L´
ogica (proposicional)
Unaproposici´ones un enunciado del que puede decirse que esverdadero(con valor de verdad V ´o1) ofalso(con valor de verdad F ´o0) pero no ambas cosas. Gereralmente las proposiciones son denotadas con las letrasp,q,r,... o may´usculasP,Q,R,...
Los conectivos l´
ogicos
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Conectivos l´
ogicos usuales
CONECTIVO NOMBRE OPERACI ´ON SIGNIFICADO
¬ Negaci´on ¬p Nop.
No es cierto quep.
∧ Conjunci´on p∧q pyq
∨ Disyunci´on p∨q p´oq
Y Disyunci´on excluyente pYq p´oqpero no ambas
⇒ p⇒q
pimplicaq. Sipentoncesq.
Implicaci´on qsip.
(o condicional) ps´olo siq
pes condici´on suficiente paraq.
qes condici´on necesaria parap.
⇔ p⇔q
psi, y s´olo si,q.
Doble implicaci´on qes condici´on necesaria y suficiente parap. (o bicondicional) pes condici´on necesaria y suficiente paraq.
pes equivalente aq.
El condicional: Una cuesti´
on gramatical
La equivalencia
p⇒q ≡ ps´olo siq
se explicaf´acilmente si entendemos el modo de conjugaci´on verbal imperfecto del subjuntivo:
Estudiar´ıa F´ısica s´olo si me quedara en la UNAM.
Por tanto,
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Conectivos l´
ogicos usuales
CONECTIVO NOMBRE OPERACI ´ON SIGNIFICADO
¬ Negaci´on ¬p Nop.
No es cierto quep.
∧ Conjunci´on p∧q pyq
∨ Disyunci´on p∨q p´oq
Y Disyunci´on excluyente pYq p´oqpero no ambas
⇒ p⇒q
pimplicaq. Sipentoncesq.
Implicaci´on qsip.
(o condicional) ps´olo siq
pes condici´on suficiente paraq.
qes condici´on necesaria parap.
⇔ p⇔q
psi, y s´olo si,q.
Doble implicaci´on qes condici´on necesaria y suficiente parap. (o bicondicional) pes condici´on necesaria y suficiente paraq.
pes equivalente aq.
El condicional: Una cuesti´
on gramatical
La equivalencia
p⇒q ≡ ps´olo siq
se explicaf´acilmente si entendemos el modo de conjugaci´on verbal imperfecto del subjuntivo:
Estudiar´ıa F´ısica s´olo si me quedara en la UNAM.
Por tanto,
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Ejemplo
Consideremos las siguientes proposiciones
p: El viento sopla muy fuerte.
q: Se caen las hojas de los ´arboles.
Tenemos entonces
Operaci´on Significado
¬p Las hojas no se caen de los ´arboles.
p∧q El viento sopla muy fuerte y se caen las hojas de los ´arboles.
p∨q El viento sopla o se caen las hojas.
pYq El viento sopla pero no se caen las hojas de los ´arboles, o bien se caen la hojas de los ´arboles pero el viento no sopla muy fuerte.
p⇒q Si el viento sopla muy fuerte, entonces
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Tablas de valores de verdad
Los conectivos se definen formalmente mediantetablas de valores de verdad:
Para lanegaci´on(que es un conectivounario):
p ¬p
V F
F V
Para el resto de los conectivos (binarios) t´ıpicos:
p q p∧q p∨q pYq p⇒q p⇔q
V V
V V F V V
V F
F V V F F
F V
F V V V F
F F
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Tablas de valores de verdad
Los conectivos se definen formalmente mediantetablas de valores de verdad:
Para lanegaci´on(que es un conectivounario):
p ¬p
V F
F V
Para el resto de los conectivos (binarios) t´ıpicos:
p q p∧q p∨q pYq p⇒q p⇔q
V V
V V F V V
V F
F V V F F
F V
F V V V F
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Tablas de valores de verdad
Los conectivos se definen formalmente mediantetablas de valores de verdad:
Para lanegaci´on(que es un conectivounario):
p ¬p
V F
F V
Para el resto de los conectivos (binarios) t´ıpicos:
p q p∧q p∨q pYq p⇒q p⇔q
V V V
V F V V
V F F
V V F F
F V F
V V V F
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Tablas de valores de verdad
Los conectivos se definen formalmente mediantetablas de valores de verdad:
Para lanegaci´on(que es un conectivounario):
p ¬p
V F
F V
Para el resto de los conectivos (binarios) t´ıpicos:
p q p∧q p∨q pYq p⇒q p⇔q
V V V V
F V V
V F F V
V F F
F V F V
V V F
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Tablas de valores de verdad
Los conectivos se definen formalmente mediantetablas de valores de verdad:
Para lanegaci´on(que es un conectivounario):
p ¬p
V F
F V
Para el resto de los conectivos (binarios) t´ıpicos:
p q p∧q p∨q pYq p⇒q p⇔q
V V V V F
V V
V F F V V
F F
F V F V V
V F
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Algebra´Tablas de valores de verdad
Los conectivos se definen formalmente mediantetablas de valores de verdad:
Para lanegaci´on(que es un conectivounario):
p ¬p
V F
F V
Para el resto de los conectivos (binarios) t´ıpicos:
p q p∧q p∨q pYq p⇒q p⇔q
V V V V F V
V
V F F V V F
F
F V F V V V
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Tablas de valores de verdad
Los conectivos se definen formalmente mediantetablas de valores de verdad:
Para lanegaci´on(que es un conectivounario):
p ¬p
V F
F V
Para el resto de los conectivos (binarios) t´ıpicos:
p q p∧q p∨q pYq p⇒q p⇔q
V V V V F V V
V F F V V F F
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Ejemplo
Estudiemos la tabla de la proposici´on compuesta:
(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))
Tenemos:
p q (p⇔q) ⇔ ((p⇒q) ∧ (q⇒p))
V V
V V V V V
V F
F V F F V
F V
F V V F F
F F
V V V V V
Observamos que la proposici´on compuesta
(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (l´ogicamente) equivalente a la conjunci´on
(p⇒q)∧(q⇒p).
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Ejemplo
Estudiemos la tabla de la proposici´on compuesta:
(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))
Tenemos:
p q (p⇔q) ⇔ ((p⇒q) ∧ (q⇒p))
V V
V V V V V
V F
F V F F V
F V
F V V F F
F F
V V V V V
Observamos que la proposici´on compuesta
(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (l´ogicamente) equivalente a la conjunci´on
(p⇒q)∧(q⇒p).
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Ejemplo
Estudiemos la tabla de la proposici´on compuesta:
(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))
Tenemos:
p q (p⇔q) ⇔ ((p⇒q) ∧ (q⇒p))
V V V
V V V V
V F F
V F F V
F V F
V V F F
F F V
V V V V
Observamos que la proposici´on compuesta
(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (l´ogicamente) equivalente a la conjunci´on
(p⇒q)∧(q⇒p).
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Ejemplo
Estudiemos la tabla de la proposici´on compuesta:
(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))
Tenemos:
p q (p⇔q) ⇔ ((p⇒q) ∧ (q⇒p))
V V V
V
V
V V
V F F
V
F
F V
F V F
V
V
F F
F F V
V
V
V V
Observamos que la proposici´on compuesta
(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (l´ogicamente) equivalente a la conjunci´on
(p⇒q)∧(q⇒p).
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Ejemplo
Estudiemos la tabla de la proposici´on compuesta:
(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))
Tenemos:
p q (p⇔q) ⇔ ((p⇒q) ∧ (q⇒p))
V V V
V
V
V
V
V F F
V
F
F
V
F V F
V
V
F
F
F F V
V
V
V
V
Observamos que la proposici´on compuesta
(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (l´ogicamente) equivalente a la conjunci´on
(p⇒q)∧(q⇒p).
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Ejemplo
Estudiemos la tabla de la proposici´on compuesta:
(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))
Tenemos:
p q (p⇔q) ⇔ ((p⇒q) ∧ (q⇒p))
V V V
V
V V V
V F F
V
F F V
F V F
V
V F F
F F V
V
V V V
Observamos que la proposici´on compuesta
(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (l´ogicamente) equivalente a la conjunci´on
(p⇒q)∧(q⇒p).
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Ejemplo
Estudiemos la tabla de la proposici´on compuesta:
(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))
Tenemos:
p q (p⇔q) ⇔ ((p⇒q) ∧ (q⇒p))
V V V V V V V
V F F V F F V
F V F V V F F
F F V V V V V
Observamos que la proposici´on compuesta
(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (l´ogicamente) equivalente a la conjunci´on
(p⇒q)∧(q⇒p).
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Ejemplo
Estudiemos la tabla de la proposici´on compuesta:
(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))
Tenemos:
p q (p⇔q) ⇔ ((p⇒q) ∧ (q⇒p))
V V V V V V V
V F F V F F V
F V F V V F F
F F V V V V V
Observamos que la proposici´on compuesta
(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (l´ogicamente) equivalente a la conjunci´on
(p⇒q)∧(q⇒p).
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Ejemplo
Estudiemos la tabla de la proposici´on compuesta:
(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))
Tenemos:
p q (p⇔q) ⇔ ((p⇒q) ∧ (q⇒p))
V V V V V V V
V F F V F F V
F V F V V F F
F F V V V V V
Observamos que la proposici´on compuesta
(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (l´ogicamente) equivalente a la conjunci´on
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Leyes L´
ogicas
Una proposici´on compuesta cuya tabla de valores de verdad es siempre V, es llamada Tautolog´ıaoLey L´ogica.
Otras tautolog´ıas:
(pYq)⇔ ¬(p⇔q)
p q (pYq) ⇔ ¬ (p⇔q)
V V
F V F V
V F
V V V F
F V
V V V F
F F
F V F V
Esto es,pYqes equivalente a la negaci´on de la doble implicaci´onp⇔q.
Para negar una doble implicaci´
on
p
⇔
q
, debemos demostrar que
p
y
q
son excluyentes (i.e. si
p
ocurre entonces no ocurre
q
; o bien, si
q
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Leyes L´
ogicas
Una proposici´on compuesta cuya tabla de valores de verdad es siempre V, es llamada Tautolog´ıaoLey L´ogica.
Otras tautolog´ıas:
(pYq)⇔ ¬(p⇔q)
p q (pYq) ⇔ ¬ (p⇔q)
V V
F V F V
V F
V V V F
F V
V V V F
F F
F V F V
Esto es,pYqes equivalente a la negaci´on de la doble implicaci´onp⇔q.
Para negar una doble implicaci´
on
p
⇔
q
, debemos demostrar que
p
y
q
son excluyentes (i.e. si
p
ocurre entonces no ocurre
q
; o bien, si
q
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Leyes L´
ogicas
Una proposici´on compuesta cuya tabla de valores de verdad es siempre V, es llamada Tautolog´ıaoLey L´ogica.
Otras tautolog´ıas:
(pYq)⇔ ¬(p⇔q)
p q (pYq) ⇔ ¬ (p⇔q)
V V
F V F V
V F
V V V F
F V
V V V F
F F
F V F V
Esto es,pYqes equivalente a la negaci´on de la doble implicaci´onp⇔q.
Para negar una doble implicaci´
on
p
⇔
q
, debemos demostrar que
p
y
q
son excluyentes (i.e. si
p
ocurre entonces no ocurre
q
; o bien, si
q
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Leyes L´
ogicas
Una proposici´on compuesta cuya tabla de valores de verdad es siempre V, es llamada Tautolog´ıaoLey L´ogica.
Otras tautolog´ıas:
(pYq)⇔ ¬(p⇔q)
p q (pYq) ⇔ ¬ (p⇔q)
V V F
V F V
V F V
V V F
F V V
V V F
F F F
V F V
Esto es,pYqes equivalente a la negaci´on de la doble implicaci´onp⇔q.
Para negar una doble implicaci´
on
p
⇔
q
, debemos demostrar que
p
y
q
son excluyentes (i.e. si
p
ocurre entonces no ocurre
q
; o bien, si
q
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Leyes L´
ogicas
Una proposici´on compuesta cuya tabla de valores de verdad es siempre V, es llamada Tautolog´ıaoLey L´ogica.
Otras tautolog´ıas:
(pYq)⇔ ¬(p⇔q)
p q (pYq) ⇔ ¬ (p⇔q)
V V F
V F
V
V F V
V V
F
F V V
V V
F
F F F
V F
V
Esto es,pYqes equivalente a la negaci´on de la doble implicaci´onp⇔q.
Para negar una doble implicaci´
on
p
⇔
q
, debemos demostrar que
p
y
q
son excluyentes (i.e. si
p
ocurre entonces no ocurre
q
; o bien, si
q
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Leyes L´
ogicas
Una proposici´on compuesta cuya tabla de valores de verdad es siempre V, es llamada Tautolog´ıaoLey L´ogica.
Otras tautolog´ıas:
(pYq)⇔ ¬(p⇔q)
p q (pYq) ⇔ ¬ (p⇔q)
V V F
V
F V
V F V
V
V F
F V V
V
V F
F F F
V
F V
Esto es,pYqes equivalente a la negaci´on de la doble implicaci´onp⇔q.
Para negar una doble implicaci´
on
p
⇔
q
, debemos demostrar que
p
y
q
son excluyentes (i.e. si
p
ocurre entonces no ocurre
q
; o bien, si
q
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Leyes L´
ogicas
Una proposici´on compuesta cuya tabla de valores de verdad es siempre V, es llamada Tautolog´ıaoLey L´ogica.
Otras tautolog´ıas:
(pYq)⇔ ¬(p⇔q)
p q (pYq) ⇔ ¬ (p⇔q)
V V F V F V
V F V V V F
F V V V V F
F F F V F V
Esto es,pYqes equivalente a la negaci´on de la doble implicaci´onp⇔q.
Para negar una doble implicaci´
on
p
⇔
q
, debemos demostrar que
p
y
q
son excluyentes (i.e. si
p
ocurre entonces no ocurre
q
; o bien, si
q
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Leyes L´
ogicas
Una proposici´on compuesta cuya tabla de valores de verdad es siempre V, es llamada Tautolog´ıaoLey L´ogica.
Otras tautolog´ıas:
(pYq)⇔ ¬(p⇔q)
p q (pYq) ⇔ ¬ (p⇔q)
V V F V F V
V F V V V F
F V V V V F
F F F V F V
Esto es,pYqes equivalente a la negaci´on de la doble implicaci´onp⇔q.
Para negar una doble implicaci´
on
p
⇔
q
, debemos demostrar que
p
y
q
son excluyentes (i.e. si
p
ocurre entonces no ocurre
q
; o bien, si
q
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Leyes L´
ogicas
Una proposici´on compuesta cuya tabla de valores de verdad es siempre V, es llamada Tautolog´ıaoLey L´ogica.
Otras tautolog´ıas:
(pYq)⇔ ¬(p⇔q)
p q (pYq) ⇔ ¬ (p⇔q)
V V F V F V
V F V V V F
F V V V V F
F F F V F V
Esto es,pYqes equivalente a la negaci´on de la doble implicaci´onp⇔q.
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Transitividad de
⇒
:
[(p⇒q)∧(q⇒r)]⇒(p⇒r)
p q r [(p⇒q) ∧ (q⇒r)] ⇒ (p⇒r)
V V V
V V V V V
V V F
V F F V F
V F V
F F V V V
V F F
F F V V F
F V V
V V V V V
F V F
V F F V V
F F V
V V V V V
F F F
V V V V V
Transitividad de
⇔
Se sigue que
[(p⇔q)∧(q⇔r)]⇔(p⇔r)
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Transitividad de
⇒
:
[(p⇒q)∧(q⇒r)]⇒(p⇒r)
p q r [(p⇒q) ∧ (q⇒r)] ⇒ (p⇒r)
V V V
V V V V V
V V F
V F F V F
V F V
F F V V V
V F F
F F V V F
F V V
V V V V V
F V F
V F F V V
F F V
V V V V V
F F F
V V V V V
Transitividad de
⇔
Se sigue que
[(p⇔q)∧(q⇔r)]⇔(p⇔r)
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Transitividad de
⇒
:
[(p⇒q)∧(q⇒r)]⇒(p⇒r)
p q r [(p⇒q) ∧ (q⇒r)] ⇒ (p⇒r)
V V V V
V V V V
V V F V
F F V F
V F V F
F V V V
V F F F
F V V F
F V V V
V V V V
F V F V
F F V V
F F V V
V V V V
F F F V
V V V V
Transitividad de
⇔
Se sigue que
[(p⇔q)∧(q⇔r)]⇔(p⇔r)
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Transitividad de
⇒
:
[(p⇒q)∧(q⇒r)]⇒(p⇒r)
p q r [(p⇒q) ∧ (q⇒r)] ⇒ (p⇒r)
V V V V
V
V
V V
V V F V
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F F V V
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F F F V
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Transitividad de
⇔
Se sigue que
[(p⇔q)∧(q⇔r)]⇔(p⇔r)
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Transitividad de
⇒
:
[(p⇒q)∧(q⇒r)]⇒(p⇒r)
p q r [(p⇒q) ∧ (q⇒r)] ⇒ (p⇒r)
V V V V
V
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V V F V
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F F V V
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F F F V
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V
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Transitividad de
⇔
Se sigue que
[(p⇔q)∧(q⇔r)]⇔(p⇔r)
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Transitividad de
⇒
:
[(p⇒q)∧(q⇒r)]⇒(p⇒r)
p q r [(p⇒q) ∧ (q⇒r)] ⇒ (p⇒r)
V V V V V V
V
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F V F V F F
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F F V V V V
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F F F V V V
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Transitividad de
⇔
Se sigue que
[(p⇔q)∧(q⇔r)]⇔(p⇔r)
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Transitividad de
⇒
:
[(p⇒q)∧(q⇒r)]⇒(p⇒r)
p q r [(p⇒q) ∧ (q⇒r)] ⇒ (p⇒r)
V V V V V V V V
V V F V F F V F
V F V F F V V V
V F F F F V V F
F V V V V V V V
F V F V F F V V
F F V V V V V V
F F F V V V V V
Transitividad de
⇔
Se sigue que
[(p⇔q)∧(q⇔r)]⇔(p⇔r)
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Transitividad de
⇒
:
[(p⇒q)∧(q⇒r)]⇒(p⇒r)
p q r [(p⇒q) ∧ (q⇒r)] ⇒ (p⇒r)
V V V V V V V V
V V F V F F V F
V F V F F V V V
V F F F F V V F
F V V V V V V V
F V F V F F V V
F F V V V V V V
F F F V V V V V
Transitividad de
⇔
Se sigue que
[(p⇔q)∧(q⇔r)]⇔(p⇔r)
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Las Leyes de De Morgan
¬(p∧q)⇔(¬p∨ ¬q) (1)
¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q), (2)
Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):
p q ¬p ¬q ¬ (p∧q) ⇔ (¬p∨ ¬q)
V V
F F F V V F
V F
F V V F V V
F V
V F V F V V
F F
V V V F V V
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Las Leyes de De Morgan
¬(p∧q)⇔(¬p∨ ¬q) (1)
¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q), (2)
Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):
p q ¬p ¬q ¬ (p∧q) ⇔ (¬p∨ ¬q)
V V
F F F V V F
V F
F V V F V V
F V
V F V F V V
F F
V V V F V V
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Las Leyes de De Morgan
¬(p∧q)⇔(¬p∨ ¬q) (1)
¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q), (2)
Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):
p q ¬p ¬q ¬ (p∧q) ⇔ (¬p∨ ¬q)
V V F F
F V V F
V F F V
V F V V
F V V F
V F V V
F F V V
V F V V
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Las Leyes de De Morgan
¬(p∧q)⇔(¬p∨ ¬q) (1)
¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q), (2)
Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):
p q ¬p ¬q ¬ (p∧q) ⇔ (¬p∨ ¬q)
V V F F
F
V
V F
V F F V
V
F
V V
F V V F
V
F
V V
F F V V
V
F
V V
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Las Leyes de De Morgan
¬(p∧q)⇔(¬p∨ ¬q) (1)
¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q), (2)
Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):
p q ¬p ¬q ¬ (p∧q) ⇔ (¬p∨ ¬q)
V V F F F V
V F
V F F V V F
V V
F V V F V F
V V
F F V V V F
V V
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Las Leyes de De Morgan
¬(p∧q)⇔(¬p∨ ¬q) (1)
¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q), (2)
Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):
p q ¬p ¬q ¬ (p∧q) ⇔ (¬p∨ ¬q)
V V F F F V
V
F
V F F V V F
V
V
F V V F V F
V
V
F F V V V F
V
V
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Las Leyes de De Morgan
¬(p∧q)⇔(¬p∨ ¬q) (1)
¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q), (2)
Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):
p q ¬p ¬q ¬ (p∧q) ⇔ (¬p∨ ¬q)
V V F F F V V F
V F F V V F V V
F V V F V F V V
F F V V V F V V
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Las Leyes de De Morgan
¬(p∧q)⇔(¬p∨ ¬q) (1)
¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q), (2)
Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):
p q ¬p ¬q ¬ (p∧q) ⇔ (¬p∨ ¬q)
V V F F F V V F
V F F V V F V V
F V V F V F V V
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse tambi´en una tabla.
O bien, podemos ocupar laley deinvoluci´on, la cual afirma quepy la doble negaci´on
¬¬pson equivalentes, es decir, quep⇔ ¬(¬p)es una proposici´on tautol´ogica:
p ⇔ ¬ (¬p)
V V V F
F V F V
De este modo, si queremos probar que
¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q)
es tautol´ogica, procedemos como sigue:
Por la ley (1) de De morgan, y la ley de involuci´on, las siguientes dobles implicaciones son tautol´ogicas:
¬(¬p∧ ¬q)⇔(¬¬p∨ ¬¬q)⇔(p∨q).
As´ı que portransitividad, la doble implicaci´on siguiente es tautol´ogica:
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse tambi´en una tabla.
O bien, podemos ocupar laley deinvoluci´on, la cual afirma quepy la doble negaci´on
¬¬pson equivalentes, es decir, quep⇔ ¬(¬p)es una proposici´on tautol´ogica:
p ⇔ ¬ (¬p)
V V V F
F V F V
De este modo, si queremos probar que
¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q)
es tautol´ogica, procedemos como sigue:
Por la ley (1) de De morgan, y la ley de involuci´on, las siguientes dobles implicaciones son tautol´ogicas:
¬(¬p∧ ¬q)⇔(¬¬p∨ ¬¬q)⇔(p∨q).
As´ı que portransitividad, la doble implicaci´on siguiente es tautol´ogica:
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse tambi´en una tabla.
O bien, podemos ocupar laley deinvoluci´on, la cual afirma quepy la doble negaci´on
¬¬pson equivalentes, es decir, quep⇔ ¬(¬p)es una proposici´on tautol´ogica:
p ⇔ ¬ (¬p)
V V V F
F V F V
De este modo, si queremos probar que
¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q)
es tautol´ogica, procedemos como sigue:
Por la ley (1) de De morgan, y la ley de involuci´on, las siguientes dobles implicaciones son tautol´ogicas:
¬(¬p∧ ¬q)⇔(¬¬p∨ ¬¬q)⇔(p∨q).
As´ı que portransitividad, la doble implicaci´on siguiente es tautol´ogica:
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse tambi´en una tabla.
O bien, podemos ocupar laley deinvoluci´on, la cual afirma quepy la doble negaci´on
¬¬pson equivalentes, es decir, quep⇔ ¬(¬p)es una proposici´on tautol´ogica:
p ⇔ ¬ (¬p)
V V V F
F V F V
De este modo, si queremos probar que
¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q)
es tautol´ogica, procedemos como sigue:
Por la ley (1) de De morgan, y la ley de involuci´on, las siguientes dobles implicaciones son tautol´ogicas:
¬(¬p∧ ¬q)⇔(¬¬p∨ ¬¬q)⇔(p∨q).
As´ı que portransitividad, la doble implicaci´on siguiente es tautol´ogica:
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse tambi´en una tabla.
O bien, podemos ocupar laley deinvoluci´on, la cual afirma quepy la doble negaci´on
¬¬pson equivalentes, es decir, quep⇔ ¬(¬p)es una proposici´on tautol´ogica:
p ⇔ ¬ (¬p)
V V V F
F V F V
De este modo, si queremos probar que
¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q)
es tautol´ogica, procedemos como sigue:
Por la ley (1) de De morgan, y la ley de involuci´on, las siguientes dobles implicaciones son tautol´ogicas:
¬(¬p∧ ¬q)⇔(¬¬p∨ ¬¬q)⇔(p∨q).
As´ı que portransitividad, la doble implicaci´on siguiente es tautol´ogica:
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse tambi´en una tabla.
O bien, podemos ocupar laley deinvoluci´on, la cual afirma quepy la doble negaci´on
¬¬pson equivalentes, es decir, quep⇔ ¬(¬p)es una proposici´on tautol´ogica:
p ⇔ ¬ (¬p)
V V V F
F V F V
De este modo, si queremos probar que
¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q)
es tautol´ogica, procedemos como sigue:
Por la ley (1) de De morgan, y la ley de involuci´on, las siguientes dobles implicaciones son tautol´ogicas:
L´
ogica y conjuntos
Algebra´As´ı que portransitividad, la doble implicaci´on siguiente es tautol´ogica:
¬(¬p∧ ¬q)⇔(p∨q).
De modo que, nuevamente por involuci´on, las dobles implicaciones
¬(p∨q)⇔ ¬¬(¬p∧ ¬q)⇔(¬p∧ ¬q),
son tautol´ogicas.
As´ı (por transitividad),
¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q)
es tautol´ogica.
L´
ogica y conjuntos
Algebra´As´ı que portransitividad, la doble implicaci´on siguiente es tautol´ogica:
¬(¬p∧ ¬q)⇔(p∨q).
De modo que, nuevamente por involuci´on, las dobles implicaciones
¬(p∨q)⇔ ¬¬(¬p∧ ¬q)⇔(¬p∧ ¬q),
son tautol´ogicas.
As´ı (por transitividad),
¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q)
es tautol´ogica.
L´
ogica y conjuntos
Algebra´As´ı que portransitividad, la doble implicaci´on siguiente es tautol´ogica:
¬(¬p∧ ¬q)⇔(p∨q).
De modo que, nuevamente por involuci´on, las dobles implicaciones
¬(p∨q)⇔ ¬¬(¬p∧ ¬q)⇔(¬p∧ ¬q),
son tautol´ogicas.
As´ı (por transitividad),
¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q)
es tautol´ogica.
L´
ogica y conjuntos
Algebra´As´ı que portransitividad, la doble implicaci´on siguiente es tautol´ogica:
¬(¬p∧ ¬q)⇔(p∨q).
De modo que, nuevamente por involuci´on, las dobles implicaciones
¬(p∨q)⇔ ¬¬(¬p∧ ¬q)⇔(¬p∧ ¬q),
son tautol´ogicas.
As´ı (por transitividad),
¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q)
es tautol´ogica.
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Equivalencias de
⇒
(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q) (1)
(p⇒q)⇔(¬p∨q) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
p q ¬q (p⇒q) ⇔ ¬ (p∧ ¬q)
V V
F V V V F
V F
V F V F V
F V
F V V V F
F F
V V V V F
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Equivalencias de
⇒
(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q) (1)
(p⇒q)⇔(¬p∨q) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
p q ¬q (p⇒q) ⇔ ¬ (p∧ ¬q)
V V
F V V V F
V F
V F V F V
F V
F V V V F
F F
V V V V F
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Equivalencias de
⇒
(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q) (1)
(p⇒q)⇔(¬p∨q) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
p q ¬q (p⇒q) ⇔ ¬ (p∧ ¬q)
V V F
V V V F
V F V
F V F V
F V F
V V V F
F F V
V V V F
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Equivalencias de
⇒
(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q) (1)
(p⇒q)⇔(¬p∨q) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
p q ¬q (p⇒q) ⇔ ¬ (p∧ ¬q)
V V F V
V V F
V F V F
V F V
F V F V
V V F
F F V V
V V F
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Equivalencias de
⇒
(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q) (1)
(p⇒q)⇔(¬p∨q) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
p q ¬q (p⇒q) ⇔ ¬ (p∧ ¬q)
V V F V
V V
F
V F V F
V F
V
F V F V
V V
F
F F V V
V V
F
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Equivalencias de
⇒
(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q) (1)
(p⇒q)⇔(¬p∨q) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
p q ¬q (p⇒q) ⇔ ¬ (p∧ ¬q)
V V F V
V
V F
V F V F
V
F V
F V F V
V
V F
F F V V
V
V F
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Equivalencias de
⇒
(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q) (1)
(p⇒q)⇔(¬p∨q) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
p q ¬q (p⇒q) ⇔ ¬ (p∧ ¬q)
V V F V V V F
V F V F V F V
F V F V V V F
F F V V V V F
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Equivalencias de
⇒
(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q) (1)
(p⇒q)⇔(¬p∨q) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
p q ¬q (p⇒q) ⇔ ¬ (p∧ ¬q)
V V F V V V F
V F V F V F V
F V F V V V F
F F V V V V F
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Para la equivalencia (2)
(p⇒q)⇔(¬p∨q)
podemos tambi´en usar una tabla.
O tambi´en podemos proceder como sigue:
Seg´un las leyes de De Morgan e involuci´on, las dobles implicaciones siguientes son tautol´ogicas:
(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q)
⇔(¬p∨ ¬¬q)
⇔(¬p∨q).
Esto es,p⇒qy¬p∨qson equivalentes (por transitividad).
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Para la equivalencia (2)
(p⇒q)⇔(¬p∨q)
podemos tambi´en usar una tabla.
O tambi´en podemos proceder como sigue:
Seg´un las leyes de De Morgan e involuci´on, las dobles implicaciones siguientes son tautol´ogicas:
(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q)
⇔(¬p∨ ¬¬q)
⇔(¬p∨q).
Esto es,p⇒qy¬p∨qson equivalentes (por transitividad).
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Para la equivalencia (2)
(p⇒q)⇔(¬p∨q)
podemos tambi´en usar una tabla.
O tambi´en podemos proceder como sigue:
Seg´un las leyes de De Morgan e involuci´on, las dobles implicaciones siguientes son tautol´ogicas:
(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q)
⇔(¬p∨ ¬¬q)
⇔(¬p∨q).
Esto es,p⇒qy¬p∨qson equivalentes (por transitividad).
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Para la equivalencia (2)
(p⇒q)⇔(¬p∨q)
podemos tambi´en usar una tabla.
O tambi´en podemos proceder como sigue:
Seg´un las leyes de De Morgan e involuci´on, las dobles implicaciones siguientes son tautol´ogicas:
(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q)
⇔(¬p∨ ¬¬q)
⇔(¬p∨q).
Esto es,p⇒qy¬p∨qson equivalentes (por transitividad).
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Para la equivalencia (2)
(p⇒q)⇔(¬p∨q)
podemos tambi´en usar una tabla.
O tambi´en podemos proceder como sigue:
Seg´un las leyes de De Morgan e involuci´on, las dobles implicaciones siguientes son tautol´ogicas:
(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q)
⇔(¬p∨ ¬¬q)
⇔(¬p∨q).
Esto es,p⇒qy¬p∨qson equivalentes (por transitividad).
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Otras util´ısimas leyes l´
ogicas
p⇒p
p ⇒ p
V V V
F V F
p⇔p
p ⇔ p
V V V
F V F
(p⇔q)⇒(p⇒q)
p q (p⇔q) ⇒ (p⇒q)
V V V V V
V F F V F
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Otras util´ısimas leyes l´
ogicas
Conmutatividad: (p∨q)⇔(q∨p)
p q (p∨q) ⇔ (q∨p)
V V V V V
V F V V V
F V V V V
F F F V F
Conmutatividad: (p∧q)⇔(q∧p)
p q (p∧q) ⇔ (q∧p)
V V V V V
V F F V F
F V F V F
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Otras util´ısimas leyes l´
ogicas
Asociatividad: (p∨(q∨r))⇔((p∨q)∨r)
La tabla es un buen ejercicio.
Asociatividad: (p∧(q∧r))⇔((p∧q)∧r)
La tabla es un buen ejercicio.
Convenios
Escribimosp∧q∧ren lugar de(p∧q)∧r. E igualmente,p∨q∨rpor(p∨q)∨r.
Las expresiones
p1∧p2∧ · · · ∧pn y p1∨p2∨ · · · ∨pn
se definen recursivamente
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Otras util´ısimas leyes l´
ogicas
Adici´on: p⇒(p∨q)
p ⇒ (p ∨ q)
V V V V V
V V V V F
F V F V V
F V F F F
Simplificaci´on: (p∧q)⇒p
(p ∧ q) ⇒ p)
V V V V V
V F F V V
F F V V F
F F F V F
Consecuencia: (p∧q)⇒(p∨q)
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Otras util´ısimas leyes l´
ogicas
Idempotencia: (p∨p)⇔p
(p ∨ p) ⇔ p
V V V V V
F F F V F
Consecuencia: (p∨q)⇔(p∨p∨q)
Idempotencia: (p∧p)⇔p
(p ∧ p) ⇒ p
V V V V V
F F F V F
Consecuencia: (p∧q)⇔(p∧p∧q)
Ley del reemplazo
Supongamos queT(p, q)es unaf´ormula(una proposici´on compuesta) en donde
inter-vienen dos proposicionespyq. Supongamos adem´as queP yPbson dos proposiciones
equivalentes. Entonces
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Otras util´ısimas leyes l´
ogicas
Idempotencia: (p∨p)⇔p
(p ∨ p) ⇔ p
V V V V V
F F F V F
Consecuencia: (p∨q)⇔(p∨p∨q)
Idempotencia: (p∧p)⇔p
(p ∧ p) ⇒ p
V V V V V
F F F V F
Consecuencia: (p∧q)⇔(p∧p∧q)
Ley del reemplazo
Supongamos queT(p, q)es unaf´ormula(una proposici´on compuesta) en donde
inter-vienen dos proposicionespyq. Supongamos adem´as queP yPbson dos proposiciones
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Conjuntos
La palabraconjuntose usa como sin´onimo defamilia o colecci´on de objetos. Usamos las letras may´usculasA,B,C,X,Y, etc, para denotar conjuntos.
Los objetos que conforman un conjunto son llamadoselementos, y escribimosa∈A para denotar que el objetoaes un elemento (un miembro) del conjuntoA, lo que leemos como “apertenece aA”.
Sia no es elemento del conjuntoA, escribimos a /∈ A, lo que leemos como “a no pertenece aA”. Observamos entonces que
a /∈A⇔ ¬(a∈A).
Ejemplo
1) SiA={2,3,4}, entonces2∈A, pero5∈/A.
2) SiA={2,3,4}, entonces2∈Apero{2}∈/A.
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Conjuntos
La palabraconjuntose usa como sin´onimo defamilia o colecci´on de objetos. Usamos las letras may´usculasA,B,C,X,Y, etc, para denotar conjuntos.
Los objetos que conforman un conjunto son llamadoselementos, y escribimosa∈A para denotar que el objetoaes un elemento (un miembro) del conjuntoA, lo que leemos como “apertenece aA”.
Sia no es elemento del conjuntoA, escribimos a /∈ A, lo que leemos como “a no pertenece aA”. Observamos entonces que
a /∈A⇔ ¬(a∈A).
Ejemplo
1) SiA={2,3,4}, entonces2∈A, pero5∈/A.
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Un conjuntoApuede estar integrado por aquellos objetosxque satisfacen una propiedadP(x). En tal caso escribimos
A={x:P(x)},
lo que leemos como “Aes igual al conjunto de todas lasxtales queP(x)es verdadero”.
Ejemplo
1) Sobre la recta realR, el intervalo unitario cerrado es el conjunto
[0,1] ={x∈R: 0≤x≤1}.
2) Sobre el planoR2, la circunferencia unitaria es el conjunto
S1={(x, y)∈R2:x2+y2= 1}.
Note que solo estamos tomando el c´ırculo, no la “bola” completa.
3) Sobre el espacioR3, la esfera unitaria es el conjunto
S2={(x, y, z,)∈R3:x2+y2+z2= 1}.
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Un conjuntoApuede estar integrado por aquellos objetosxque satisfacen una propiedadP(x). En tal caso escribimos
A={x:P(x)},
lo que leemos como “Aes igual al conjunto de todas lasxtales queP(x)es verdadero”.
Ejemplo
1) Sobre la recta realR, el intervalo unitario cerrado es el conjunto
[0,1] ={x∈R: 0≤x≤1}.
2) Sobre el planoR2, la circunferencia unitaria es el conjunto
S1={(x, y)∈R2:x2+y2= 1}.
Note que solo estamos tomando el c´ırculo, no la “bola” completa.
3) Sobre el espacioR3, la esfera unitaria es el conjunto
S2={(x, y, z,)∈R3:x2+y2+z2= 1}.
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Un conjuntoApuede estar integrado por aquellos objetosxque satisfacen una propiedadP(x). En tal caso escribimos
A={x:P(x)},
lo que leemos como “Aes igual al conjunto de todas lasxtales queP(x)es verdadero”.
Ejemplo
1) Sobre la recta realR, el intervalo unitario cerrado es el conjunto
[0,1] ={x∈R: 0≤x≤1}.
2) Sobre el planoR2, la circunferencia unitaria es el conjunto
S1={(x, y)∈R2:x2+y2= 1}.
Note que solo estamos tomando el c´ırculo, no la “bola” completa.
3) Sobre el espacioR3, la esfera unitaria es el conjunto
S2={(x, y, z,)∈R3:x2+y2+z2= 1}.
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Un conjuntoApuede estar integrado por aquellos objetosxque satisfacen una propiedadP(x). En tal caso escribimos
A={x:P(x)},
lo que leemos como “Aes igual al conjunto de todas lasxtales queP(x)es verdadero”.
Ejemplo
1) Sobre la recta realR, el intervalo unitario cerrado es el conjunto
[0,1] ={x∈R: 0≤x≤1}.
2) Sobre el planoR2, la circunferencia unitaria es el conjunto
S1={(x, y)∈R2:x2+y2= 1}.
Note que solo estamos tomando el c´ırculo, no la “bola” completa.
3) Sobre el espacioR3, la esfera unitaria es el conjunto
S2={(x, y, z,)∈R3:x2+y2+z2= 1}.
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Un conjuntoApuede estar integrado por aquellos objetosxque satisfacen una propiedadP(x). En tal caso escribimos
A={x:P(x)},
lo que leemos como “Aes igual al conjunto de todas lasxtales queP(x)es verdadero”.
Ejemplo
1) Sobre la recta realR, el intervalo unitario cerrado es el conjunto
[0,1] ={x∈R: 0≤x≤1}.
2) Sobre el planoR2, la circunferencia unitaria es el conjunto
S1={(x, y)∈R2:x2+y2= 1}.
Note que solo estamos tomando el c´ırculo, no la “bola” completa.
3) Sobre el espacioR3, la esfera unitaria es el conjunto
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Un conjuntoApuede estar integrado por aquellos objetosxque satisfacen una propiedadP(x). En tal caso escribimos
A={x:P(x)},
lo que leemos como “Aes igual al conjunto de todas lasxtales queP(x)es verdadero”.
Ejemplo
1) Sobre la recta realR, el intervalo unitario cerrado es el conjunto
[0,1] ={x∈R: 0≤x≤1}.
2) Sobre el planoR2, la circunferencia unitaria es el conjunto
S1={(x, y)∈R2:x2+y2= 1}.
Note que solo estamos tomando el c´ırculo, no la “bola” completa.
3) Sobre el espacioR3, la esfera unitaria es el conjunto
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Contenci´
on
SiAyBson conjuntos, definimos la relaci´on decontenci´oncon la sentencia:
A⊂B⇔ ∀x(x∈A⇒x∈B)
(El s´ımbolo∀ es un cuantificador l´ogico, se lee “para todo”. Se llamacuatificador universal).
Y tambi´en
A6⊂B⇔ ∃a(a∈A∧a /∈B)
(El s´ımbolo∃es un cuantificador l´ogico, se lee “existe”. Se llamacuantificador exis-tencial)
Convenios notacionales
Tambi´en podemos escribir
A⊂B⇔(∀x∈A)(x∈B)
A6⊂B⇔(∃a∈A)(a /∈B).
Observaci´on:En general, siP(x)es una propiedad:
¬∀xP(x)⇔ ∃x¬P(x)
¬∃xP(x)⇔ ∀x¬P(x) (a veces escribimos@x P(x))
Propiedades de la contenci´on:
Reflexiva:A⊂A, para todo conjuntoA.
Transitiva: A⊂B ∧ B⊂C ⇒ A⊂C.
Reflexiva: Para todo conjunto A, a ∈ A⇔ a∈ Aes siempre V.
Transitiva: SiA,ByCson conjuntos, yA⊂ByB⊂C, entonces
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Contenci´
on
SiAyBson conjuntos, definimos la relaci´on decontenci´oncon la sentencia:
A⊂B⇔ ∀x(x∈A⇒x∈B)
(El s´ımbolo∀ es un cuantificador l´ogico, se lee “para todo”. Se llamacuatificador universal).
Y tambi´en
A6⊂B⇔ ∃a(a∈A∧a /∈B)
(El s´ımbolo∃es un cuantificador l´ogico, se lee “existe”. Se llamacuantificador exis-tencial)
Convenios notacionales
Tambi´en podemos escribir
A⊂B⇔(∀x∈A)(x∈B)
A6⊂B⇔(∃a∈A)(a /∈B).
Observaci´on:En general, siP(x)es una propiedad:
¬∀xP(x)⇔ ∃x¬P(x)
¬∃xP(x)⇔ ∀x¬P(x) (a veces escribimos@x P(x))
Propiedades de la contenci´on:
Reflexiva:A⊂A, para todo conjuntoA.
Transitiva: A⊂B ∧ B⊂C ⇒ A⊂C.
Reflexiva: Para todo conjunto A, a ∈ A⇔ a∈ Aes siempre V.
Transitiva: SiA,ByCson conjuntos, yA⊂ByB⊂C, entonces
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Contenci´
on
SiAyBson conjuntos, definimos la relaci´on decontenci´oncon la sentencia:
A⊂B⇔ ∀x(x∈A⇒x∈B)
(El s´ımbolo∀ es un cuantificador l´ogico, se lee “para todo”. Se llamacuatificador universal).
Y tambi´en
A6⊂B⇔ ∃a(a∈A∧a /∈B)
(El s´ımbolo∃es un cuantificador l´ogico, se lee “existe”. Se llamacuantificador exis-tencial)
Convenios notacionales
Tambi´en podemos escribir
A⊂B⇔(∀x∈A)(x∈B)
A6⊂B⇔(∃a∈A)(a /∈B).
Observaci´on: En general, siP(x)es una propiedad:
¬∀xP(x)⇔ ∃x¬P(x)
¬∃xP(x)⇔ ∀x¬P(x) (a veces escribimos@x P(x))
Propiedades de la contenci´on:
Reflexiva:A⊂A, para todo conjuntoA.
Transitiva: A⊂B ∧ B⊂C ⇒ A⊂C.
Reflexiva: Para todo conjunto A, a ∈ A⇔ a∈ Aes siempre V.
Transitiva: SiA,ByCson conjuntos, yA⊂ByB⊂C, entonces
L´
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Algebra´Contenci´
on
SiAyBson conjuntos, definimos la relaci´on decontenci´oncon la sentencia:
A⊂B⇔ ∀x(x∈A⇒x∈B)
(El s´ımbolo∀ es un cuantificador l´ogico, se lee “para todo”. Se llamacuatificador universal).
Y tambi´en
A6⊂B⇔ ∃a(a∈A∧a /∈B)
(El s´ımbolo∃es un cuantificador l´ogico, se lee “existe”. Se llamacuantificador exis-tencial)
Convenios notacionales
Tambi´en podemos escribir
A⊂B⇔(∀x∈A)(x∈B)
A6⊂B⇔(∃a∈A)(a /∈B).
Observaci´on: En general, siP(x)es una propiedad:
¬∀xP(x)⇔ ∃x¬P(x)
¬∃xP(x)⇔ ∀x¬P(x) (a veces escribimos@x P(x))
Propiedades de la contenci´on:
Reflexiva: Para todo conjunto A, a ∈ A⇔ a∈ Aes siempre V.
Transitiva: SiA,ByCson conjuntos, yA⊂ByB⊂C, entonces
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Algebra´Contenci´
on
SiAyBson conjuntos, definimos la relaci´on decontenci´oncon la sentencia:
A⊂B⇔ ∀x(x∈A⇒x∈B)
(El s´ımbolo∀ es un cuantificador l´ogico, se lee “para todo”. Se llamacuatificador universal).
Y tambi´en
A6⊂B⇔ ∃a(a∈A∧a /∈B)
(El s´ımbolo∃es un cuantificador l´ogico, se lee “existe”. Se llamacuantificador exis-tencial)
Convenios notacionales
Tambi´en podemos escribir
A⊂B⇔(∀x∈A)(x∈B)
A6⊂B⇔(∃a∈A)(a /∈B).
Observaci´on: En general, siP(x)es una propiedad:
¬∀xP(x)⇔ ∃x¬P(x)
¬∃xP(x)⇔ ∀x¬P(x) (a veces escribimos@x P(x))
Propiedades de la contenci´on:
Reflexiva: Para todo conjunto A,a ∈ A⇔ a∈ Aes siempre V.
Transitiva: SiA,ByCson conjuntos, yA⊂ByB⊂C, entonces
L´
ogica y conjuntos
Algebra´El axioma de extensi´
on
Dos conjuntos son iguales si y s´olo si tienen los mismos elementos.
En s´ımbolos:
∀A∀B(A=B⇔A⊂B∧B⊂A).
Otra forma del mismo axioma:
Un conjunto est´a determinado por su extensi´on.
Propiedades de la igualdad
Reflexiva A=A, para todo conjuntoA.
Sim´etrica A=B⇔B=A.
Transitiva A=B∧B=C⇒A=C.
Reflexiva: A⊂Aes siempre V para todo conjuntoA. (Consecuencia de quea∈A⇒a∈Aes siempre V).
Sim´etrica: Para cualesquieera conjuntosAyB,
A=B⇔A⊂B∧B⊂A⇔A⊂B∧B⊂A⇔B=A
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Algebra´El axioma de extensi´
on
Dos conjuntos son iguales si y s´olo si tienen los mismos elementos.
En s´ımbolos:
∀A∀B(A=B⇔A⊂B∧B⊂A).
Otra forma del mismo axioma:
Un conjunto est´a determinado por su extensi´on.
Propiedades de la igualdad
Reflexiva A=A, para todo conjuntoA.
Sim´etrica A=B⇔B=A.
Transitiva A=B∧B=C⇒A=C.
Reflexiva: A⊂Aes siempre V para todo conjuntoA. (Consecuencia de quea∈A⇒a∈Aes siempre V).
Sim´etrica: Para cualesquieera conjuntosAyB,
A=B⇔A⊂B∧B⊂A⇔A⊂B∧B⊂A⇔B=A
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Algebra´El axioma de extensi´
on
Dos conjuntos son iguales si y s´olo si tienen los mismos elementos.
En s´ımbolos:
∀A∀B(A=B⇔A⊂B∧B⊂A).
Otra forma del mismo axioma:
Un conjunto est´a determinado por su extensi´on.
Propiedades de la igualdad
Reflexiva A=A, para todo conjuntoA.
Sim´etrica A=B⇔B=A.
Transitiva A=B∧B=C⇒A=C.
Reflexiva: A⊂Aes siempre V para todo conjuntoA. (Consecuencia de quea∈A⇒a∈Aes siempre V).
Sim´etrica: Para cualesquieera conjuntosAyB,
A=B⇔A⊂B∧B⊂A⇔A⊂B∧B⊂A⇔B=A
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Algebra´El axioma de extensi´
on
Dos conjuntos son iguales si y s´olo si tienen los mismos elementos.
En s´ımbolos:
∀A∀B(A=B⇔A⊂B∧B⊂A).
Otra forma del mismo axioma:
Un conjunto est´a determinado por su extensi´on.
Propiedades de la igualdad
Reflexiva A=A, para todo conjuntoA.
Sim´etrica A=B⇔B=A.
Transitiva A=B∧B=C⇒A=C.
Reflexiva:A⊂Aes siempre V para todo conjuntoA. (Consecuencia de quea∈A⇒a∈Aes siempre V).
Sim´etrica: Para cualesquieera conjuntosAyB,
A=B⇔A⊂B∧B⊂A⇔A⊂B∧B⊂A⇔B=A
L´
ogica y conjuntos
Algebra´El axioma de extensi´
on
Dos conjuntos son iguales si y s´olo si tienen los mismos elementos.
En s´ımbolos:
∀A∀B(A=B⇔A⊂B∧B⊂A).
Otra forma del mismo axioma:
Un conjunto est´a determinado por su extensi´on.
Propiedades de la igualdad
Reflexiva A=A, para todo conjuntoA.
Sim´etrica A=B⇔B=A.
Transitiva A=B∧B=C⇒A=C.
Reflexiva: A⊂Aes siempre V para todo conjuntoA. (Consecuencia de quea∈A⇒a∈Aes siempre V).
Sim´etrica: Para cualesquieera conjuntosAyB,
A=B⇔A⊂B∧B⊂A⇔A⊂B∧B⊂A⇔B=A
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Principio de permutaci´
on para cuantificadores iterados
Supongamos quep(x, y)es una propiedad que se refiere a los elementosxde un conjunto Ay los elementosyde un conjuntoB, dondeAyBno son necesariamente distintos. Entonces
(∀x∈A)(∀y∈B)p(x, y)⇔(∀y∈B)(∀x∈A)p(x, y) (∃x∈A)(∃y∈B)p(x, y)⇔(∃y∈B)(∃x∈A)p(x, y)
Ejemplo
La proposiciones
(∀x∈R)(∀y∈R) x2−y2= (x−y)(x+y)
(∀y∈R)(∀x∈R) x2−y2= (x−y)(x+y)
son equivalentes. De hecho verdaderas, en cuanto que la factorizaci´on
x2−y2= (x−y)(x+y)
es v´alida para cualesquiera n´umeros realesxyy. No obstante,
(∀x∈A)(∃y∈B)p(x, y)6⇔(∃y∈B)(∀x∈A)p(x, y).
Ejemplo
Consideremos el conjuntoR\{0}(de todos los n´umeros reales menos el cero). Sea
la propiedad en dos variables
p(x, y) :xy= 1.
Entonces es claro que la afirmaci´on
(∀x∈R\{0})(∃y∈R\{0})(xy= 1)
es verdadera. Pero
(∃y∈R\{0})(∀x∈R\{0})(xy= 1)
es falsa.
Teorema
La proposici´on
(∀x∈R\{0})(∃y∈R\{0})(xy= 1)
es verdadera
Demostraci´on.
Sixes un n´umero real yx6= 0, entonces
x 1 x =x
x = 1.
(Esto es,y=x1).
Teorema
La proposici´on
(∃y∈R\{0})(∀x∈R\{0})(xy= 1)
es falsa.
Demostraci´on.
Supongamos que es verdadera, esto es, que para alg´un n´umero realy6= 0, se cumple quexy= 1, para todo n´umero realx6= 0; en particular,
y2=yy= 1.
De donde y = 1 ´o bieny =−1. Si sucede lo primero, se sigue que para todo n´umero realx6= 0,
x=x1 =xy= 1.
En particular,
0 = 1.
Y si sucede lo segundo, se sigue que para todo n´umero realx6= 0,
−x=x(−1) =xy= 1.
En particular,
0 = 1.
Ambos casos son absurdos.
Otras equivalencias con
cuantificadores
∀x(p(x)∧q)⇔(∀xp(x))∧q
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Principio de permutaci´
on para cuantificadores iterados
Supongamos quep(x, y)es una propiedad que se refiere a los elementosxde un conjunto Ay los elementosyde un conjuntoB, dondeAyBno son necesariamente distintos. Entonces
(∀x∈A)(∀y∈B)p(x, y)⇔(∀y∈B)(∀x∈A)p(x, y) (∃x∈A)(∃y∈B)p(x, y)⇔(∃y∈B)(∃x∈A)p(x, y)
Ejemplo
La proposiciones
(∀x∈R)(∀y∈R) x2−y2= (x−y)(x+y)
(∀y∈R)(∀x∈R) x2−y2= (x−y)(x+y)
son equivalentes. De hecho verdaderas, en cuanto que la factorizaci´on
x2−y2= (x−y)(x+y)
es v´alida para cualesquiera n´umeros realesxyy.
No obstante,
(∀x∈A)(∃y∈B)p(x, y)6⇔(∃y∈B)(∀x∈A)p(x, y).
Ejemplo
Consideremos el conjuntoR\{0}(de todos los n´umeros reales menos el cero). Sea
la propiedad en dos variables
p(x, y) :xy= 1.
Entonces es claro que la afirmaci´on
(∀x∈R\{0})(∃y∈R\{0})(xy= 1)
es verdadera. Pero
(∃y∈R\{0})(∀x∈R\{0})(xy= 1)
es falsa.
Teorema
La proposici´on
(∀x∈R\{0})(∃y∈R\{0})(xy= 1)
es verdadera
Demostraci´on.
Sixes un n´umero real yx6= 0, entonces
x 1 x =x
x = 1.
(Esto es,y=x1).
Teorema
La proposici´on
(∃y∈R\{0})(∀x∈R\{0})(xy= 1)
es falsa.
Demostraci´on.
Supongamos que es verdadera, esto es, que para alg´un n´umero realy6= 0, se cumple quexy= 1, para todo n´umero realx6= 0; en particular,
y2=yy= 1.
De donde y = 1 ´o bieny =−1. Si sucede lo primero, se sigue que para todo n´umero realx6= 0,
x=x1 =xy= 1.
En particular,
0 = 1.
Y si sucede lo segundo, se sigue que para todo n´umero realx6= 0,
−x=x(−1) =xy= 1.
En particular,
0 = 1.
Ambos casos son absurdos.
Otras equivalencias con
cuantificadores
∀x(p(x)∧q)⇔(∀xp(x))∧q
L´
ogica y conjuntos
Algebra´Principio de permutaci´
on para cuantificadores iterados
Supongamos quep(x, y)es una propiedad que se refiere a los elementosxde un conjunto Ay los elementosyde un conjuntoB, dondeAyBno son necesariamente distintos. Entonces
(∀x∈A)(∀y∈B)p(x, y)⇔(∀y∈B)(∀x∈A)p(x, y) (∃x∈A)(∃y∈B)p(x, y)⇔(∃y∈B)(∃x∈A)p(x, y)
Ejemplo
La proposiciones
(∀x∈R)(∀y∈R) x2−y2= (x−y)(x+y)
(∀y∈R)(∀x∈R) x2−y2= (x−y)(x+y)
son equivalentes. De hecho verdaderas, en cuanto que la factorizaci´on
x2−y2= (x−y)(x+y)
es v´alida para cualesquiera n´umeros realesxyy.
No obstante,
(∀x∈A)(∃y∈B)p(x, y)6⇔(∃y∈B)(∀x∈A)p(x, y).
Ejemplo
Consideremos el conjuntoR\{0}(de todos los n´umeros reales menos el cero). Sea
la propiedad en dos variables
p(x, y) :xy= 1.
Entonces es claro que la afirmaci´on
(∀x∈R\{0})(∃y∈R\{0})(xy= 1)
es verdadera. Pero
(∃y∈R\{0})(∀x∈R\{0})(xy= 1)
es falsa.
Teorema
La proposici´on
(∀x∈R\{0})(∃y∈R\{0})(xy= 1)
es verdadera
Demostraci´on.
Sixes un n´umero real yx6= 0, entonces
x 1 x =x
x= 1.
(Esto es,y=x1).
Teorema
La proposici´on
(∃y∈R\{0})(∀x∈R\{0})(xy= 1)
es falsa.
Demostraci´on.
Supongamos que es verdadera, esto es, que para alg´un n´umero realy6= 0, se cumple quexy= 1, para todo n´umero realx6= 0; en particular,
y2=yy= 1.
De donde y = 1 ´o bieny =−1. Si sucede lo primero, se sigue que para todo n´umero realx6= 0,
x=x1 =xy= 1.
En particular,
0 = 1.
Y si sucede lo segundo, se sigue que para todo n´umero realx6= 0,
−x=x(−1) =xy= 1.
En particular,
0 = 1.
Ambos casos son absurdos.
Otras equivalencias con
cuantificadores
∀x(p(x)∧q)⇔(∀xp(x))∧q
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Algebra´Principio de permutaci´
on para cuantificadores iterados
Supongamos quep(x, y)es una propiedad que se refiere a los elementosxde un conjunto Ay los elementosyde un conjuntoB, dondeAyBno son necesariamente distintos. Entonces
(∀x∈A)(∀y∈B)p(x, y)⇔(∀y∈B)(∀x∈A)p(x, y) (∃x∈A)(∃y∈B)p(x, y)⇔(∃y∈B)(∃x∈A)p(x, y)
Ejemplo
La proposiciones
(∀x∈R)(∀y∈R) x2−y2= (x−y)(x+y)
(∀y∈R)(∀x∈R) x2−y2= (x−y)(x+y)
son equivalentes. De hecho verdaderas, en cuanto que la factorizaci´on
x2−y2= (x−y)(x+y)
es v´alida para cualesquiera n´umeros realesxyy.
No obstante,
(∀x∈A)(∃y∈B)p(x, y)6⇔(∃y∈B)(∀x∈A)p(x, y).
Ejemplo
Consideremos el conjuntoR\{0}(de todos los n´umeros reales menos el cero). Sea
la propiedad en dos variables
p(x, y) :xy= 1.
Entonces es claro que la afirmaci´on
(∀x∈R\{0})(∃y∈R\{0})(xy= 1)
es verdadera. Pero
(∃y∈R\{0})(∀x∈R\{0})(xy= 1)
es falsa.
Teorema
La proposici´on
(∀x∈R\{0})(∃y∈R\{0})(xy= 1)
es verdadera
Demostraci´on.
Sixes un n´umero real yx6= 0, entonces
x 1 x =x
x= 1.
(Esto es,y=x1).
Teorema
La proposici´on
(∃y∈R\{0})(∀x∈R\{0})(xy= 1)
es falsa.
Demostraci´on.
Supongamos que es verdadera, esto es, que para alg´un n´umero realy6= 0, se cumple quexy= 1, para todo n´umero realx6= 0; en particular,
y2=yy= 1.
De donde y = 1 ´o bieny =−1. Si sucede lo primero, se sigue que para todo n´umero realx6= 0,
x=x1 =xy= 1.
En particular,
0 = 1.
Y si sucede lo segundo, se sigue que para todo n´umero realx6= 0,
−x=x(−1) =xy= 1.
En particular,
0 = 1.
Ambos casos son absurdos.
Otras equivalencias con
cuantificadores
∀x(p(x)∧q)⇔(∀xp(x))∧q