Aplicaciones de la derivada
Aplicaciones de la derivada
Habilidades a desarrollar
Al terminar el presente tema, Usted estará en la
capacidad de:
Ingreso
=(
precio
)(
cantidad
)
Aplicaciones de la derivada
Ejemplo. La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es
donde es el número de unidades y es el precio por unidad. ¿Para qué valor de se tendrá un ingreso máximo? ¿Cuál es el ingreso máximo?
Resolución
Sea el ingreso total, el cual es la cantidad por maximizar. Como
se tiene
𝐼
=
𝑝𝑞
=
(
80
−
𝑞
4
)
∙
𝑞
𝐼
(
𝑞
)=
−
𝑞
2
4
+
20
𝑞
donde . Se establece
𝐼
′(
𝑞
)
=
−
1
2
𝑞
+
20
=
0
−
1
2
𝑞
=
−
20
𝑞
=
40
0
40
80
Signo de
Comportamiento de
+
¿
−
La cantidad que permite el máximo ingreso es .
Aplicaciones de la derivada
Ejemplo. La función de costo total de un fabricante está dada por
donde es el costo total de producir unidades. ¿Para qué nivel de producción será el costo promedio por unidad un mínimo? ¿Cuál es ese mínimo?
Resolución
La cantidad a minimizar es el Costo
promedio . La función de Costo promedio es
𝐶𝑃
=
𝐶
(
𝑞
)
𝑞
se tiene
𝐶𝑃=
𝑞2
4 +3𝑞+400
𝑞
𝐶𝑃
(
𝑞
)
=
𝑞
4
+
3
+
400
𝑞
Vamos a obtener los valores críticos, se resuelve
𝐶𝑃
′
(
𝑞
)
=
1
4
−
400
𝑞
2=
0
1
4
=
400
𝑞
2𝑞
=
40
0
40
+
∞
Signo de
Comportamiento de
−
+
¿
La cantidad que permite minimizar el costo promedio es .
Aplicaciones de la derivada
Extremos absolutos en un intervalo cerrado.
Aplicaciones de la derivada
Teorema del valor extremo.
Si una función es continua en un intervalo cerrado , entonces la
función tiene tanto un valor máximo como un valor mínimo en ese
intervalo.
𝑎
𝑥
1𝑥
2𝑏 𝑥
𝑦
𝑎
𝑥
1𝑏 𝑥
𝑦
Mínimo absoluto
Máximo absoluto
Mínimo absoluto
Aplicaciones de la derivada
Procedimiento para encontrar los extremos absolutos de una función
que es continua en .
Paso 1.
Encontrar los valores críticos de .
Osea, los valores de tal que .
Paso 2.
Seleccione los valores críticos que pertenecen al intervalo
Paso 3.
Evaluar en los puntos extremos y , y en los valores críticos sobre .
Paso 4.
El valor máximo de es el mayor de los valores encontrados en el
Aplicaciones de la derivada
Ejemplo. Un artículo en una revista de sociología afirma que si ahora se iniciase un programa específico de servicio de salud, entonces al cabo de años, miles de personas ancianas recibirán beneficios directos, donde
¿Para qué valor de el número de beneficiados es máximo?
Resolución
Se establece , se tiene
𝑑𝑛
𝑑𝑡
=
𝑡
2
−
12
𝑡
+
32
=
0
(
𝑡
−
4
) (
𝑡
−
8
)
=
0
𝑡
=
4
ó
𝑡
=
8
Como el dominio de es el intervalo
cerrado [0; 12], el valor máximo absoluto
de debe ocurrir en
𝑛
(
0
)
=
0
3
3
−
6
(
0
2
)+
32
(
0
)
=
0
𝑛
(
4
)
=
4
3
3
−
6
(
4
2
)
+
32
(
4
)
=
160
3
𝑛
(
8
)
=
8
3
3
−
6
(
8
2
)
+
32
(
8
)
=
128
3
Así, se tiene un máximo absoluto en .
𝑛
(
12
)
=
12
3
3
−
6
(
12
2
