APOYO SOBRE EXPRESIONES ALGEBRAÍCAS

(1)

APOYO SOBRE EXPRESIONES ALGEBRAÍCAS

RECOPILACIÓN DEPARTAMENTO CIENCIAS

Expresiones algebraicas

Trabajar en

álgebra

consiste en manejar

relaciones numéricas

en las que

una o más cantidades son

desconocidas

. Estas cantidades se

llaman

VARIABLES

,

INCÓGNITAS

o

INDETERMINADAS

y

se representan por letras

.

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números

ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción,

multiplicación, división y potenciación.

Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y

volúmenes.

Longitud de la circunferencia: L = 2

r, donde r es el radio de la

circunferencia.

Área del cuadrado: S = l

2

, donde l es el lado del cuadrado.

Volumen del cubo: V = a

3

, donde a es la arista del cubo.

(2)

Valor numérico de una expresión algebraica

El valor númerico de una expresión algebraica, para un determinado

valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico

dado y realizar las operaciones indicadas.

L(r) = 2

r

r = 5 cm. L (5)= 2

·

· 5 = 10

cm

S(l) = l

2

l = 5 cm A(5) = 5

2

= 25 cm

2

V(a) = a

3

a = 5 cm V(5) = 5

3

= 125 cm

3

Clases de expresiones algebraicas

Monomio

Un

monomio

es una expresión algebraica formada por

un solo término.

Binomio

Un

binomio

es una expresión algebraica formada por

dos términos.

Trinomio

Un

trinomio

es una expresión algebraica formada por

tres términos.

Polinomio

Un

polinomio

es una expresión algebraica formada por

más de un término.

(3)

Un

MONOMIO

es una

expresión algebraica

en la que

las únicas

operaciones

que aparecen entre las variables

son el

producto y la potencia de exponente natural

.

2x

2

_y

3

_z

Partes de un monomio

Coeficiente

El

coeficiente

del monomio es el número que aparece

multiplicando a las variables.

Parte literal

La

parte literal

está constituida por las letras y sus

exponentes.

Grado

El

grado

de un monomio es la suma de todos los

exponentes de las letras o variables.

El grado de 2x

2

_y

3

_{z es: 2 + 3 + 1 = 6}

Monomios semejantes

Dos monomios son semejantes cuando tienen la

misma parte literal.

2x

2

_y

3

_{z es semejante a 5x}

2

_y

3

_z

Operaciones con monomios

Suma de Monomios

Sólo podemos

sumar monomios semejantes

.

La suma de los monomios es otro monomio que

tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la

suma de los coeficientes.

ax

n

_{+ bx}

n

_{= (a + b)x}

n

2x

2

_y

3

_{z + 3x}

2

_y

3

_{z = 5x}

2

_y

3

_z

Si los monomios no son semejantes se obtiene un

polinomio.

2x

2

_y

3

_{+ 3x}

2

_y

3

_z

Producto de un número por un monomio

El producto de un número por un monomio es

otro

monomio semejante

cuyo

coeficiente

es

(4)

5 · 2x

2

_y

3

_{z = 10x}

2

_y

3

_z

Producto de monomios

El producto de monomios es otro

monomio

que tiene

por

coeficiente el producto de los coeficientes y cuya

parte literal se obtiene multiplicando las potencias

que tenga la misma base.

ax

n

_{· bx}

m

_{= (a · b)x}

n +m

5x

2

_y

3

_{z · 2 y}

2

_z

2

_{= 10 x}

2

_y

5

_z

3

Cociente de monomios

Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte

literal y con el grado del dividendo mayor o igual que el

grado de la variable correspondiente del divisor.

El cociente de monomios es otro

monomio

que tiene

por

coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya

parte literal se obtiene dividiendo las potencias que

tenga la misma base.

ax

n

_{: bx}

m

_{= (a : b)x}

n − m

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una

fracción algebraica.

Potencia de un monomio

Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada

elemento de éste, al exponente de la potencia.

(ax

n

₎

m

_{= a}

m

_{· x}

n · m

(2x

3

₎

3

_{= 2}

3

_(x

3

₎

3

_{= 8x}

9

(−3x

2

₎

3

_{= (−3)}

3

_(x

3

₎

2

_{= −27x}

6

Concepto de polinomio

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0

Siendo an, an - 1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes.

(5)

x la variable o indeterminada.

an es el coeficiente principal.

ao es el término independiente.

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se

encuentra elevada la variable x.

Polinomio nulo

El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.

Polinomio homogéneo

El polinomio homogéneo tiene todos sus términos o monomios con

el mismo grado.

P(x) = 2x2_{+ 3xy}

Polinomio heterogéneo

Los términos de un polinomio heterogéneo son de distinto grado.

P(x) = 2x3_{+ 3x}2_{- 3}

Polinomio completo

Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término

independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x3_{+ 3x}2_{+ 5x - 3}

Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están

escritos de mayor a menor grado.

P(x) = 2x3_{+ 5x - 3}

Tipos de polinomios según su grado

Polinomio de grado cero

P(x) = 2

Polinomio de primer grado

P(x) = 3x + 2

Polinomio de segundo grado

P(x) = 2x2_{+ 3x + 2}

Polinomio de tercer grado

(6)

Polinomio de cuarto grado

P(x) = x4_{+ x}3_{- 2x}2_{+ 3x + 2}

Tipos de polinomios por el número de términos

Monomio

Es un polinomio que consta de un sólo monomio.

P(x) = 2x2

Binomio

Es un polinomio que consta de dos monomios.

P(x) = 2x2_{+ 3x}

Trinomio

Es un polinomio que consta de tres monomios.

P(x) = 2x2_{+ 3x + 5}

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los

términos del mismo grado.

P(x) = 2x3_{+ 5x - 3 Q(x) = 4x - 3x}2_{+ 2x}3

1

Ordenamos los polinomios, si no lo están.

Q(x) = 2x3_{- 3x}2_{+ 4x}

P(x) + Q(x) = (2x3_{+ 5x - 3) + (2x}3_{- 3x}2_{+ 4x)}

2

Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = 2x3_{+ 2x}3_{- 3 x}2_{+ 5x + 4x - 3}

3

Sumamos los monomios semejantes.

P(x) + Q(x) = 4x3_{- 3x}2_{+ 9x - 3}

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x3_{+ 5x - 3) − (2x}3_{- 3x}2_{+ 4x)}

P(x) − Q(x) = 2x3_{+ 5x - 3 − 2x}3_{+ 3x}2_{− 4x}

P(x) − Q(x) = 2x3_{− 2x}3_{+ 3x}2_{+ 5x− 4x - 3}

P(x) − Q(x) = 3 x2_{+ x - 3}

Producto

(7)

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y

como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el

número.

3 · ( 2x3_{- 3 x}2_{+ 4x - 2) = 6x}3_{- 9x}2_{+ 12x - 6}

Producto de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que

forman el polinomio.

3 x2_{· (2x}3_{- 3x}2_{+ 4x - 2) = 6x}5_{- 9x}4_{+ 12x}3_{- 6x}2

Producto de polinomios

P(x) = 2x2_{- 3 Q(x) = 2x}3_{- 3x}2_{+ 4x}

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los

elementos segundo polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x2_{- 3) · (2x}3_{- 3x}2_{+ 4x) =}

= 4x5_{− 6x}4_{+ 8x}3_{− 6x}3_{+ 9x}2_{− 12x =}

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x5_{− 6x}4_{+ 2x}3_{+ 9x}2_{− 12x}

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de

los polinomios que se multiplican.

Resolver el cociente:

P(x) = x5_{+ 2x}3_{−x - 8 Q(x) = x}2_{−2 x + 1}

P(x) : Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es

completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Realizamos el cociente entre el primer monomio del dividendo y el

primer monomio del divisor.

x5_{: x}2_{= x}3

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado

(8)

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer

monomio del divisor. Y el resultado l o multiplicamos por el divisor y lo restamos

al dividendo.

2x4_{: x}2_{= 2 x}2

Procedemos igual que antes.

5x3_{: x}2_{= 5 x}

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x2_{: x}2_{= 8}

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y

por tanto no se puede continuar dividiendo.

x3_+2x2_{+5x+8 es el cociente.}

Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces utilizamos

(9)

Resolver por la regla de Ruffini la división:

(x4_−3x2_{+2 ) : (x −3)}

1

Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los

términos que faltan con ceros.

2

Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

3

Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término

independendiente del divisor.

4

Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5

Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo

del siguiente término.

6

Sumamos los dos coeficientes.

7

Repetimos el proceso anterior.

Volvemos a repetir el proceso.

Volvemos a repetir.

8

El último número obtenido, 56 , es el resto.

9

El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al

dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

(10)

Productos notables

Binomio al cuadrado

Un binomio al cuadrado es igual es igual al cuadrado del primer

término más, o menos, el doble producto del primero por el segundo más

el cuadrado segundo.

(a ± b)2_{= a}2_{± 2 · a · b + b}2

(x + 3)2_{= x}2_{+ 2 · x ·3 + 3}2_{= x}2_{+ 6 x + 9}

(2x − 3)2_{= (2x)}2_{− 2 · 2x · 3 + 3}2_{= 4x}2_{− 12 x + 9}

Suma por diferencia

Suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

(a + b) · (a − b) = a2_{− b}2

(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2_{− 5}2_{= 4x}2_{− 25}

Binomio al cubo

Un binomio al cubo es igual al cubo del primero más, o menos, el

triple del cuadrado del primero por el segundo más el triple del primero

por el cuadrado del segundo más, o menos, el cubo del segundo.

(a ± b)3_{= a}3_{± 3 · a}2_{· b + 3 · a · b}2_{± b}3

(x + 3)3_{= x}3_{+ 3 · x}2_{· 3 + 3 · x· 3}2 _{+ 3}3₌

= x 3_{+ 9 x}2_{+ 27 x + 27}

(2x - 3)3_{= (2x)}3_{- 3 · (2x)}2_{·3 + 3 · 2x· 3}2_{- 3}3₌

= 8x 3_{- 36 x}2_{+ 54 x - 27}

Trinomio al cuadrado

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el

cuadrado del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del

primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el

doble del segundo por el tercero.

(a + b + c)2_{= a}2_{+ b}2_{+ c}2 _{+ 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c}

(x2_{− x + 1)}2₌

= (x2₎2_{+ (-x)}2_{+ 1}2₊₂_·_x2_·_{(-x) + 2 x}2_·_{1 + 2}_·_(-x)_·₁₌

= x4_{+ x}2_{+ 1 - 2x}3_{+ 2x}2_{- 2x=}

= x4_{- 2x}3_{+ 3x}2_{- 2x + 1}

(11)

a3_{+ b}3_{= (a + b) · (a}2_{− ab + b}2₎

8x3_{+ 27 = (2x + 3) (4x}2_{- 6x + 9)}

Diferencia de cubos

a3_{− b}3_{= (a − b) · (a}2_{+ ab + b}2₎

8x3_{− 27 = (2x − 3) (4x}2_{+ 6x + 9)}

Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x2_{+ ( a + b) x + ab}

(x + 2) (x + 3) =

= x2_{+ (2 + 3)x + 2}_·_{3 =}

= x2_{+ 5x + 6}

Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso

afirmativo, indica su grado y coeficiente.

1

3x3

Grado: 3, coefeciente: 3

2

5x− 3

No, porque el exponente no es un número natural.

3

3x + 1

No, porque aaparece una suma.

4

Grado: 1, coefeciente:

5

Grado: 4, coefeciente:

6

No, no tiene exponente natural.

7

No, porque la parte literal está dentro de una raíz.

Efectúa la siguientes operaciones con monomios:

(12)

3x4_{− 2x}4_{+ 7x}4_{= 8x}4

(2x3_{) · (5x}3_{) =}_10x6

(2x3_y2_{) · (5x}3_yz2_{) = 10x}6 _y3 _z2

(12x3_{) : (4x) = 3x}2

(18x6_y2_z5_{) : (6x}3_{y z}2_{) = 3x}3 _{y z}3

(2x3_y2₎3_{= 8 x}9_y6

(2 x3_y2_z5₎5 _{= 32 x}1 5 _y1 0 _z2 5

3x3_{− 5x}3_{− 2x}3_{= −4x}3

(12 x3_y5_z4_{) : (3x}2_y2_z3_{) = 4xy}3_z

Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso

afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente.

1

x4_{− 3x}5_{+ 2x}2_{+ 5}

Grado: 5, término independiente: 5.

2

2 + 7X2_{+ 2}

No, porque la parte literal del primer monomio está dentro de una raíz.

3

1 − x4

4

No, porque el exponente del primer monomio no es un número natural.

5

x3_{+ x}5_{+ x}2

x − 2x− 3_{+ 8}

No, porque el exponente del 2º monomio no es un número natural.

Dados los polinomios:

P(x) = 4x2_{− 1}

Q(x) = x3_{− 3x}2_{+ 6x − 2}

R(x) = 6x2_{+ x + 1}

S(x) = 1/2x2_{+ 4}

T(x) = 3/2x2₊₅

(13)

Calcular:

1

P(x) + Q (x) =

= (4x2_{− 1) + ( x}3_{− 3x}2_{+ 6x − 2) =}

= x3_{− 3x}2_{+ 4x}2_{+ 6x − 2 − 1 =}

= x3_{+ x}2_{+ 6x − 3}

2

P(x) − U (x) =

= (4x2_{− 1) − (x}2_{+ 2) =}

= 4x2_{− 1 − x}2_{− 2 =}

= 3x2_{− 3}

3

P(x) + R (x) =

= (4x2_{− 1) + (6x}2_{+ x + 1) =}

= 4x2_{+ 6x}2_{+ x − 1 + 1 =}

= 10x2_{+ x}

4

2P(x) − R (x) =

= 2(4x2_{− 1) - (6x}2_{+ x + 1) =}

= 8x2_{− 2 − 6x}2_{− x − 1 =}

= 2x2_{− x − 3}

5

S(x) + T(x) + U(x) =

= (1/2 x2_{+ 4 ) + (3/2 x}2_{+5 ) + (x}2_{+ 2) =}

= 1/2 x2_{+ 3/2 x}2 _{+ x}2_{+ 4 + 5+ 2 =}

= 3x2_{+ 11}

6

S(x) − T(x) + U(x) =

= (1/2 x2_{+ 4 ) − (3/2 x}2_{+5 ) + (x}2_{+ 2) =}

= 1/2 x2_{+ 4 − 3/2 x}2_{− 5 + x}2_{+ 2 =}

= 1

Hallar el valor numérico del polinomio x3_{+ 3x}2_{−4 x − 12, para: x = 1, x}

= − 1, x = 2.

P(1) = 13_{+ 3 · 1}2_{− 4 · 1 − 12 =}

= 1 + 3 − 4 − 12 = −12

P(−1) = (−1)3_{+ 3 · (−1)}2_{− 4 · (−1) − 12 =}

= − 1 + 3 + 4 − 12 = − 6

(14)

= 8 + 12 − 8 − 12 = 0

(x4_{− 2x}3_−11x2_{+ 30x −20) : (x}2_{+ 3x −2)}

Efectúa las siguientes operaciones con monomios:

1

2a2_bc3_{− 5a}2_bc3_{+ 3a}2_bc3_{− 2a}2_bc3_{= −2 a}2_{b c}3

2

(18x6_y2_z5_{) : (6x}3_yz2_{) = 3x}3_yz3

3

(−2x3_{) · (−5x) · (−3x}2_{) = −30x}6

4

(36x3_y7_z4_{): (12x}2_y2_{) = 3xy}5_z4

5

4x3_{y + 3x}2_y2_{− 8x}8

alcula el valor de a, para que sea cierta la igualdad:

(ax3_{− 5x + 3) + (−4x}3_{− 6x + 2) = x}3_{− 11x + 5}

(a - 4)x3_{- 11x + 5 = x}3_{− 11x + 5}

a − 4 = 1; a= 5

Divide:

1

(x5_{− 32) : (x − 2)}

C(x) = x4_{+ 2x}3_{+ 4x}2_{+ 8x + 16}

R= 0

(15)

vide por Ruffini:

(x3_{+ 2x +70) : (x+4)}