Modulo 2 2015 II Final CEPU-ICA-PERU

UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” DE ICA

CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO

1

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CENTRO DE ESTUDIOS

PREUNIVERSITARIOS

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2

AUTORIDADES UNIVERSITARIAS

Dr. Alejandro Gabriel ENCINAS FERNÁNDEZ

Rector

Dr. Mario Gustavo REYES MEJÍA

Vice - Rector Académico

Dr. Máximo Isaac SEVILLANO DÍAZ

Vice Rector de Investigación y Desarrollo

CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS

DIRECTORIO

Mag. Frediberto MALDONADO ESPINOZA

DIRECTOR GENERAL

Mag. Manuel CUPE LUNASCO

DIRECTOR ACADÉMICO

Mag. Francisca Martha GARCÍA WONG

DIRECTOR ADMINISTRATIVO

COORDINADORES DE UNIDADES ACADÉMICAS

Mg. César LOZA ROJAS

U.A. DE MATEMÁTICAS

Dr. Juan PISCONTE VILCA

U.A. DE CIENCIAS NATURALES

Mg. Jaime QUINTANA BERAMENDI

U.A. DE RAZONAMIENTO

Mg. Frediberto MALDONADO ESPINOZA

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3

CONTENIDO

PAGINA

ALGEBRA 04

UNIDAD 1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS, TEORÍA DE EXPONENTES 05

UNIDAD 2 PRODUCTOS NOTABLES – DIVISIÓN ALGEBRAICA 10

UNIDAD 3 FACTORIZACIÓN - FRACCIONES 14

UNIDAD 4 ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE 19

UNIDAD 5 INTRODUCCION A LAS ,MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 22

UNIDAD 6 LOGARITMO – RELACIONES BINARIAS 27

UNIDAD 7 FUNCIONES 32

UNIDAD 8 LIMITES. CONTINUIDAD Y DERIVADAS DE FUNCIONES 39

ARITMETICA 44 UNIDAD 1 LÓGICA 45 UNIDAD 2 CONJUNTO 49 UNIDAD 3 NUMERACIÓN 53 UNIDAD 4 DIVISIBILIDAD 57 UNIDAD 5 FRACCIÓN 62 UNIDAD 6 MAGNITUD 65 UNIDAD 7 PORCENTAJE 70 UNIDAD 8 ESTADISTICA 74 RAZONAMIENTO VERBAL 77 UNIDAD 1 EL TEXTO 78

UNIDAD 2 SECUENCIAS TEXTUALES Y TIPOS DE PREGUNTAS 88

UNIDAD 3 LA PALABRA 96

UNIDAD 4 FORMACIÓN DE LA PALABRA 103

UNIDAD 5 RELACIÓN ENTRE PALABRAS 106

UNIDAD 6 SINÓNIMO Y ANTÓNIMOS 127

UNIDAD 7 SERIES VERBALES Y TÉRMINOS EXCLUÍDOS 111

UNIDAD 8 ANALOGÍAS I 117

RAZONAMIENTO MATEMATICO 126

UNIDAD 1 ORDEN DE INFORMACIÓN 127

UNIDAD 2 OPERADORES MATEMATICOS 130

UNIDAD 3 INDUCCIÓN, DEDUCCION Y CRIPTOARITMETICA 133

UNIDAD 4 METODOS OPERATIVOS 136

UNIDAD 5 SUCESIONES Y SERIES 139

UNIDAD 6 ANALOGIAS , DISTRIBUCIONES, VERDADES, MENTIRAS Y PARENTESCO 143

UNIDAD 7 PLANTEO DE ECUACIONES 146

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5 Exponentes Variables Coeficiente

3

x5y4  EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Es el conjunto de variables (representadas por letras) y/o constantes (números); ligados por las diferentes operaciones algebraicas (Adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación) o una combinación de éstas en un número limitado de veces.

Ejemplo: 1 (1)P(x;y)5y52x4y263 (2) P(x)88 (3) P(a)3a1/45a3/48 (4) 4 3 4 ₅ ) ; ( y x y x P  Observación 1.1.

a. En una expresión algebraica la variable no se encuentra como exponente.

b. Una expresión algebraica posee un número finito de términos.

c. A las expresiones no algebraicas se les denominan trascendentes.

 TÉRMINO ALGEBRAICO

Es la mínima expresión algebraica en la cual aparecen exclusivamente las diferentes operaciones algebraicas a excepción de la adición y sustracción. Ejemplo: 2 (1) P(x)12 2x3 (2) R(x)5a2xm2n1 (3) S(x)18

 PARTES DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO

Todo término algebraico presenta tres partes, las cuales son: Coeficiente, variables y exponentes:

 CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Por su naturaleza se clasifican en:

 Expresiones Algebraicas Racionales (E. A. R.).

Se caracterizan porque los exponentes de sus variables son números enteros positivos (Racionales Enteras) ó negativos (Racionales Fraccionarias).

Ejemplo: 3

a)P(x)4x47x38x1

b) Q(x;y)6x52x2y3 3x5

c)R(x;y;z)2x36x2y39xy2z2

 Expresiones Algebraicas Irracionales (E. A. I.).-

Se caracterizan porque los exponentes de alguna(as) variable(s)

son fracciones o las variables están afectadas por radicales.

Ejemplo: 4

(1)P(x;y)2x2x1/2y43x1/215

(2)R(x;y;z)5z4 y3 2x3x3y2

 TEORÍA DE EXPONENTES

Es la parte del Álgebra que tiene por objeto el estudio de las clases de exponentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos POTENCIACIÓN. Definiéndose así:              2 n si , b . ... . b . b . b 1 n si , b 0 n si , 1 b factores n n    Exponente entero negativo

n n b 1 b   b ℝ

 

0 nℤ+ n n a b b a              

Teoremas de la Potenciación en . Sean n,m∊ℝ,

1. Multiplicación de Potencias de igual base m n m n b b . b  

2. División de Potencias de igual base

m n m n m n b 1 b b b   _   bℝ

 

0

3. Distributiva respecto a la multiplicación





_n n n b . a b . a 

4. Distributiva respecto a la división

n b n a n b a        ,  bℝ

 

0 5. Potencia de una Potencia

m . n m n b b _        RADICACIÓN exponente Potencia base bnP índice Raíz n-ésima Cantidad subradical o radicando Signo de operación R a n _ UNIDAD

Nº 01 EXPRESIONES ALGEBRAICAS. _{TEORÍA DE EXPONENTES.}

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6 a R a Rn  n  ; nℝ

 

0;1 . Radicando cero   n ℝ 



0 1;



: n0 0 Exponente racional n _m a m n a n m a         donde aℝ, {m, n}ℝ Propiedades: 1) Multiplicación n m p . n m.p a a 

2) Distributiva respecto de la multiplicación

n n

n _{a.b a. b}

3) Distributiva respecto de la división

n n n b a b a  bℝ

 

0 4) Raíz de una raíz

m . n n m _{a  a}

Casos especiales de radicación

Si aℝ , {m, n}ℝ

 

0;1 , se cumple que: 1 n 1 m n m n radicales m n _an _an _a...n _{a a}               1 n 1 m n m n radicales m n _a n _a n _{a ...} n _{a a}   









             , n = par 1 n 1 m n m n radicales m n _a n _a n _{a ...} n _{a a}   









             , n = impar Propiedades adicionales Introducción de radicales n . m n m _a.n _{b  a .b} n . m n 1 m _an _{b  a .b}

Bases iguales en multiplicación

c p ) b an ( mnp m an b p c x x x x   

Bases iguales en división

c p ) b an ( mnp m a n b p c x x x x       ECUACIONES EXPONENCIALES Teorema: E1) x n x n x x x x x _{  }   E2) ax ay  xy;a0  a1 E3) xx n  xn n   x E4) xaya  xy;a0,x0,y0,x1,y1  POLINOMIO

Es toda expresión algebraica racional entera (E. A. R. Entera), definida sobre un determinado campo numérico (respecto a sus coeficientes). Ejemplo : 5 10 x 6 x 3 ) x ( P  3 2 4 3 3 4 y 7 y x 4 5 x 3 1 ) y ; x ( P   

Los polinomios según el número de términos pueden ser:

Monomio.- Es el polinomio de un término. Binomio.- Es el polinomio de dos términos. Trinomio.- Es el polinomio de tres términos.

 POLINOMIO DEFINIDO SOBRE UN CAMPO NUMÉRICO

Un polinomio está definido sobre un campo numérico, cuando sus coeficientes pertenecen al conjunto numérico asociado a dicho campo. Se consideran tres campos numéricos: ℚ, ℝ y ℂ

Ejemplo: 6 3 x 5 x 2 ) x ( P  2  , está definido en ℚ 4 x 5 x 2 ) x ( Q  2  , está definido en ℝ R(x) 3x 3x 2i 1 2     , está definido en ℂ(i 1)  NOTACIÓN POLINÓMICA

Si un polinomio tiene una sola variable “x”, su notación es:

0 n a 0 a x 1 a 2 x 2 a ... 2 n x 2 n a 1 n x 1 n a n x n a ) x ( n P            

Donde: n



Z+_{, n es el grado del polinomio.} an;an1;an2;...;a2;a1;a0

: son coeficientes del polinomio

an: es el coeficiente principal, a0: es el término independiente.

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7

 Casos particulares

n = 1: P₁(x)a₁xa₀ ; a₁0 se llama polinomio lineal. n = 2:P₂(x)a₂x2a₁xa₀ ; a₂0

se llama polinomio cuadrático.

n=3: P₃(x)a₃x3a₂x2a₁xa₀ ; a₃0

se llama polinomio cúbico

 TÉRMINOS SEMEJANTES

Dos o más términos son semejantes si poseen las mismas variables y exponentes, no interesando la naturaleza de sus coeficientes. Ejemplo : 6 (1) 2x3y2z4 ; 3x3y2z4 ; x3y2z4; son términos semejantes. (2) 2 3 5;



2 1



2 3 5; 2 3 5 5 2 c b a c b a c b a   ;son términos semejantes.  GRADO DE UN POLINOMIO

Es la principal característica de un polinomio, el cual está dado por los exponentes que presentan sus variables. Se consideran dos clases de Grado:

 Grado Relativo (G.R)

Cuando se considera a una sola variable de la expresión.

a. En un MONOMIO.-

Es el exponente que tiene la variable en mención.

b. En un POLINOMIO.-

Es el mayor exponente que tiene la variable en mención entre todos sus términos.

 Grado Absoluto (G.A)

Cuando se consideran a todas las variables de la expresión.

a. En un MONOMIO

Es la suma de todos los exponentes de las variables que presenta el monomio.

b. En un POLINOMIO

Es el mayor grado absoluto de todos sus términos.

Ejemplo: 7 1.- P(x;y)8x5y6 G.R(x) = 5 ; G.R(y) = 6 ; G.A.(P) = 9 2.- P(x;y)2x4y3 5x3y6 G.R(x) = 4; G.R(y) = 6 ; G.A.(P) = 11 Observación

Dados los polinomios P(x) de grado “m” y Q(x) de grado “n”, donde m > n, se tiene:



P(x) Q(x)



m Gr  



P(x) Q(x)



m Gr  



P(x).Q(x)



m n Gr  



P(x) Q(x)



m n Gr



 



P(x)



r m.r Gr_ _ r m r _P(x) Gr_ _

 VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es el valor que se obtiene al reemplazar la variable o

variables de la misma, por sus valores numéricos definidos.

Ejemplo : 8

Si P(x;y)2x3y23xy3 entonces el valor de P(2;2)

En efecto: Reemplazamos x =2, y = - 2 en el polinomio, se obtiene 3 2 3 ) 2 )( 2 ( 3 ) 2 ( ) 2 ( 2 ) 1 ; 2 ( P     = 64+ 48 = 112 Observación.

Sea P(x) un polinomio de grado “n” de la forma : 0 1 2 2 2 2 1 1 ... ) (x a x a x a x a x a x a P  _n n _n n  _n n    

Con an 0; a_n coeficiente principal, a₀término

Independiente, se tiene:

a. La suma de los coeficientes de P(x) se obtiene haciendo x =1 es decir:



coef.P(x)P(1)

b. El término independiente de P(x) se obtiene haciendo x = 0 es decir: ) 0 ( P ) x ( P .I . T 

c. Si a_n 1, el polinomio se denomina “Polinomio Mónico”.  POLINOMIOS ESPECIALES

 Polinomio Homogéneo.

Es aquel polinomio de dos o más términos y más de una variable donde dichos términos tienen igual grado absoluto. A su grado absoluto se le denomina grado de Homogeneidad

Ejemplo: 9

(1) P(x;y)5x5y32x4y43x3y5

(2) R(x;y;z)x2y2y3zxz3

 Polinomio Ordenado.

Es aquel polinomio donde los exponentes de una determinada variable aumentan o disminuyen en cada término según que la ordenación sea CRECIENTE O DECRECIENTE. Ejemplo: 10 4 3 2 2 3 4 y xy 3 y x 5 y x 3 x 2 ) y ; x ( P      .

Ordenado en forma creciente respecto a “y”; Ordenado en forma decreciente respecto a “x”.

 Polinomio Completo.

Es aquel polinomio donde los exponentes de una determinada variable aparecen todos desde el mayor hasta cero. Ejemplo: 11 3 4 2 x 2 x 3 x x 4 3 ) x ( P      , Completo 2 2 3 y x 4 x 5 6 xy 2 ) y ; x ( P     , Completo en x Observaciónes

1. Si el polinomio es completo en una variable y su grado relativo es “n” entonces el número de términos del polinomio es n + 1

Nº de términos de P(x)=Grado de P(x)+1

2. En todo polinomio completo y ordenado de una variable, la diferencia de grados (en valor absoluto) de dos términos consecutivos es igual a la unidad.

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8 1 ) t ( Grado ) t ( Grado _k  _k1   Polinomios Idénticos.

Son aquellos polinomios del mismo grado y en las mismas variables, donde sus respectivos términos semejantes tienen igual coeficiente.

Ejemplo: 12 Dados: p nx mx ) x ( Q c bx ax ) x ( P  3     3   Si P(x)  Q(x), se cumple: a = m ; b = n ; c = p Observación

Dos o más polinomios del mismo grado y en las mismas variables son idénticos, si los valores numéricos resultantes de dichos polinomios son iguales, para cualquier sistema de valores asignados a sus variables.

) b ; a ( Q ) b ; a ( P ) y ; x ( Q ) y ; x ( P    _{a ; b} ℝ Ejemplo : 13 Dados:P(x;y)(xy)2(xy)2_; Q(x;y)2(x2y2) Si P(x)  Q(x) Se cumple: Para (x;y)(1;1)             4 ) 1 1 ( 2 ) 1 ; 1 ( Q 4 ) 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ; 1 ( P 2 2 2 2 Para (x;y)(3;2)             26 ) 2 3 ( 2 ) 2 ; 3 ( Q 26 ) 2 3 ( ) 2 3 ( ) 2 ; 3 ( P 2 2 2 2

 Polinomio idénticamente nulo.

Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes iguales a cero

Observación.

Un polinomio es idénticamente nulo si su valor numérico resultante siempre es igual a cero, para cualquier sistema de valores asignados a sus variables

Ejemplo : 14 Dado P(x;y)(2xy)(3x2y)x(6xy)2y2 Si P(x)0 se cumple: Para:(x;y)(1;2)



P(1;2)(22)(34)(1)(62)(2)(2)20 Para: (x;y)(2;2)    _{      } 0 2 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 12 ( ) 2 ( ) 4 6 ( ) 2 4 ( ) 2 ; 2 ( P 1. El valor de “p” es: 6 . 0 9₈ 2 0625 . 0          p A) 250 B) 128 C) 1024 D) 256 E) 512 2. Si la expresión

 

2015 0 0 99 2 3 4 3 2 0                                   b b b b b b b veces n n     se

reduce a la unidad, el valor de “n”,es:

A ) 3 B) 8 C) 4 D) 2 E) 1 3. Al reducir la siguiente expresión

 

      2 2 0 0 0 2 4 3 3 2015 2015 2015 2 2 2 2 3 2 n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

_













     el valor que toma “n”, es: A) 5 B) 3 C) 6 D) 4 E) 2 4. Al reducir la siguiente expresión

1 4 3 4 













_

_











x

x

x

x

x

x

x

x

K

El exponente final de “x”, es: A) 2 B) 6 C) 1 D) 0 E) 3 5. Luego de reducir la expresión

 

, 10 4 3 2 2 8 4 2 12 6 6 6 6 6 6 6 6           n n n K n   _{El valor que}

toma la expresión es:

A) 2n B) 4 C) 3 D) 1 E) n 6. Al simplificar 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 5 5 24 5 5 625 625           n n n n K el valor

que toma “K”, es:

A) 1 B) 2 C) 3 D) ½ E) 5 7. Al simplificar n n n n n n P 7 7 7 6 6 6 1 _ 2 1  el valor que toma “P” es: A) 47 B) 48 C) 49 D) 50 E) 51 8. Si el grado de:

F

 

x

,

y



a2

x

2a

y

3 es 3. El grado de _Q

 

_x,_y a2_xa3_y32a _,es: A) 5 B) 3 C) 9 D) 6 E) 4 9. Al desarrollar “S” :             radicales x x x x S 99 4 3_4 3_4 3_{ }4 3  el

exponente final de “x”, es:

A) 54º B) 36º C) 48º D) 32º E) 60º

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9 10. Si se cumple que: 45 1 5 4_{5 5}        a a a además K KK a a a K K  

según ello uno de los valores que puede tomar “

a

”, es: A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 11. Si GRx = GRy = 64;

 

x y x y p P a n a a a n a a a a _{2 16} ,           el valor de a, es: A)16_{8 B)} 32_{2 C)} 32_{8 D)} 30_{8 E)} 16₂ 12. Si la expresión

 

12 2 4 8 6 3 20 n n n x x x x x P       es racional

fraccionaria, el mayor valor que puede tomar “n”, es: A) 20 B) 15 C) 30 D) 22 E) 18

13. En el siguiente polinomio, se sabe que el triple de la suma de coeficientes es 343 veces el término independiente P



x1

 

 3x2

 

2n5x7

 

2 4x7



_, el valor de “n”, es:

A) 5 B) 2 C) 4 D) 1 E) 3

14. Un “cartero” de 104 cartas por repartir, reparte “x” y 3 más, luego el doble de lo anterior y 4 más y finalmente la tercera parte de las restantes ¿Cuántas le quedan aún por repartir?

A) 27+2x B) 64 – 2x C) 32 + x D) 16 – 3x E) 60 + x

15. Si el polinomio P(x) = (ab–ac+d2_)x4 _{+ (bc–ba+4d)x}2 _{+ (ca–} cb+3) Es idénticamente nulo, donde d  –3, calcular el valor de c b a f 143, es: A) 0 B) 6 C) 4 D) 2 E) 1 16. Si el grado de los polinomios P y Q son iguales a 3 y 4

respectivamente, y se conoce que el grado de la expresión







_{5 4}



3 2 5 7    n n Q P Q P

; es igual a 4. El valor que toma n, es: A) 6 B) 9 C) 5 D) 8 E) 2 17. Si el grado, entero y positivo, del siguiente monomio es

2n

 

_{x 2}n_x57

   

_3x2n3 _nxn

M  , entonces el coeficiente del monomio es:

A) 26 B) 27 C) 24 D) 25 E) 28 18. Reducir la siguiente expresión si se sabe que es racional

entera



1



1 1 1 1 1 2                 n x x m x m A) 2x B) 2x + 2 C) 2x -1 D) 2x+3 E) 2x + 1 19. Si {a, b, c, d}  ℕ y además: P

 

x x x x x abcd d b c a _{c b a a a} b _{    }   3 2 2 31 6 2 ... , es un polinomio completo y ordenado (b>1), su término independiente, es:

A) 100 B) 20 C) 50 D) 60 E) 72

20. Si se sabe que el grado de P.homogéneo es 5, entonces el grado de Q, es: P = xm+1 _(yn–1 _{+ z}m–n_); Q = xm+1 _(yn+1 _{+ z}m+n₎

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10  PRODUCTOS NOTABLES Cuadrado de un binomio.  (ab)2a2b22ab  (ab)2a2b22ab Nota: (ab)2(ba)2 Identidades de Legendre. 

(

a



b

)

2



(

a



b

)

2



2

(

a

2



b

2

)



(

a



b

)

2



(

a



b

)

2



4

ab



(

a



b

)

4



(

a



b

)

4



8

ab

(

a

2



b

2

)

Cuadrado de un trinomio

)

bc

ac

ab

(

2

c

b

a

)

c

b

a

(





2



2



2



2







Cubo de un binomio . 3 2 2 3 3

b

ab

3

b

a

3

a

)

b

a

(











3 2 2 3 3

b

ab

3

b

a

3

a

)

b

a

(











)

b

a

(

ab

3

b

a

)

b

a

(



3



3



3





)

b

a

(

ab

3

b

a

)

b

a

(



3



3



3





Cubo de un trinomio  (abc)3 a3b3c33(ab)(ac)(bc)  (abc)3a3b3c33(abc)(abacbc)3abc  abc b a c c a b c b a c b a c b a 6 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 2 2 2 3 3 3 3              c ab bc ac c b ab c a b a c b a c b a 6 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 ) (             Diferencia de cuadrados. 

(

a

m



b

n

)

(

a

m



b

n

)



a

2m



b

2n Caso Particular: (ab)(ab)a2b2 Suma y diferencia de cubos.

 (ambn)(a2mambnb2n)a3mb3n  (ambn)(a2mambnb2n)a3mb3n Casos Particulares:  (ab)(a2 abb2)a3b3  (ab)(a2abb2)a3 b3 Identidades de Argand n n m m n n m m n n m m _{a b b a a b b a a b b} a2 2 )( 2 2 ) 4 2 2 4 (        Casos Particulares:  (x2xyy2)(x2xyy2)x4x2y2y4  (x2x1)(x2x1)x4x21 Identidades de Gauss.  a3b3c33abc(abc)(a2 b2c2abacbc) ) ac bc ab ( ) c b a ( abc ) c a ( ) c b ( ) b a (          Identidades de Lagrange  (axby)2(aybx)2 (a2b2)(x2y2)  ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x c b a az cx cy bz bx ay cz by ax              Identidades auxiliares  (abacbc)2a2b2a2c2b2c22abc(abc)  (ab)2(bc)2(ac)2 2(a2b2c2abacbc)  ₂



( )2 ( )2 ( )2



1 2 2 2 _{b c ab ac bc a b b c a c} a             (ab)3(bc)3(ca)33(ab)(bc)(ca) Igualdades condicionales.  abc0a2b2c22(abbcac)  _{abc0  a}3_b3_c3 _3abc 

_a



_b



_c



₀



₍

_ab



_ac



_bc

₎

2



_a

2

_b

2



_a

2

_c

2



_b

2

_c

2 

a



b



c



0



a

4



b

4



c

4



2

(

a

2

b

2



a

2

c

2



b

2

c

2

)

 _a_b_c₀_(a2_b2_c2₎2_2(a4_b4_c4₎ Observación 2.1:  a,b,cℝ: Sia2b2c2 abacbc abc

 a,b,cℝ: Sia3b3c33abc a = b = c  _{a+b+c = 0}  a,b,cℝ:

 Si a2n b2n c2n  anbn ancn bncn

Entonces: a = b = c

 DIVISIÓN POLINOMIAL

Algoritmo de la división:

Sean D(x);d(x)dos polinomios no constantes. Al efectuar

) x ( d ) x (

D  se obtienen dos únicos polinomios q(x) y R(x)

tales que cumple:

) x ( R ) x ( q . ) x ( d ) x ( D   Donde: : ) x (

D Polinomio dividendo, d(x): polinomio divisor,

: ) x (

q polinomio cociente y R(x):polinomio residuo o resto. Además: Grad



R(x)



Grad



d(x)



FORMA SEMI -DESARROLLADA

FORMA DESARROLLADA UNIDAD

Nº 02 PRODUCTOS NOTABLES – _{DIVISIÓN ALGEBRAICA}

UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” DE ICA

CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO

11

 MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS  Método de Guillermo Horner.-

Dividir n n n n n m m m m m b x b x b x b x b a x a x a x a x a                 ... ... 3 3 2 2 1 1 0 3 3 2 2 1 1 0

Donde: mn, con coeficientes principales

0 b y 0 a₀ ₀ Esquema: Donde: ; _ b s c ; b s c ; b a c 0 2 2 0 1 1 0 0 0    Propiedades:

1. Gr(cociente) = Gr(Dividendo) – Gr(divisor)

2. Gr(Residuo) < Gr(divisor)

3. Gr(Residuo)MÁXIMO = Gr(divisor) – 1

Ejemplo : 7

Aplicando el método de Horner divida 20x4 _{+ 47x}3 _{+ 58x + 55x}2 + 13 entre 3x + 6 + 5x2

RESOLUCIÓN

Ordenando y completando los polinomios: D(x) = 20x4 _{+ 47x}3 _{+ 55x}2 _{+ 58x + 13} d(x) = 5x2 _{+ 3x + 6}

Por tanto :Q(x) = 4x2 _{+ 7x + 2 y R(x) =10x + 1}

Regla de Paolo Ruffini

Se utiliza cuando el divisor es de primer grado o transformable a él.

Por el algoritmo de la división:

) ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( aqx R x a b x x R x q b ax x D             el

cociente queda multiplicado por “a”. Su esquema es:

 Teorema del resto

En toda división de la forma P(x) entre (ax + b), el resto se determina mediante el valor numérico

       a b P

R .También se aplica cuando el divisor es transformable a la forma (ax+b) y se procede:

Procedimiento:

(1) Se iguala el divisor a cero (2) Se despeja la parte que convenga.

(3) Se reemplaza este valor despejado en el dividendo y lo que se obtiene es el resto.

Ejemplo:8

Halle el resto de la división

1 2 3 2 4 8 3 2     x x x x Hacemos: 2x – 1 = 0  x = 2 1 2 3 2 1 2 2 1 4 2 1 8 2 3                         R Ejemplo : 9

Halle el resto de la división



 



4 7 2 3 2 4 2 55 2         x x x x x x Hacemos: x2 _{+ x – 4 = 0  x}2_{+ x = 4} R= (4-3)55 _{+ (4-2)}4_{+ 7} R = 24  COCIENTES NOTABLES

Son casos especiales de división exacta, entre divisores binomicos de la forma:













































































     es coeficient n a n c a c a c a c a a a n c c c c a c a b c a b a a b a b es coeficient n n a a a a a 1 . . 3 2 1 0 1 3 2 1 0 2 1 0 ) 1 ( 1 3 2 1 0           1 10 2 7 4 6 12 42 21 6 12 24 3 20 47 55 58 13 5 20 5 35 5 10 5            z w z wn n   Bases Exponente principal

n r ... 2 r 1 r n m c 3 c 2 c 1 c 0 c n m s n b 3 s 1 b 2 c 2 s 3 b 2 b 1 c 1 b 1 c 1 s 2 b 3 b 0 c 2 b 0 c 1 b 0 c 1 b m a 3 a 2 a 1 a 0 a 0 b                           0 b 3 s 0 b 2 s 0 b 1 s 0 b 0 a + + + + + +

(m+1) coeficientes del cociente

Ig u a l si g n o S ig n o ca m b ia d o

(m-n+1) coeficientes del cociente n coeficientes

del residuo (n+1) coef.

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12

en los cuales es posible deducir el cociente sin efectuar operaciones; n ℕ, n 2 Observación Si q z p w n z m w 

 _{es un cociente notable entonces se cumple:}

principal Exponente desarrollo su de os tér de N q n p m_{  } min º

Para la obtención del desarrollo de un cociente notable se usa el método del HORNER y se presentan 3 casos:

1er CASO: 1 2 3 2 1     _{   }    n n n n n n z z w z w w z w z w 

Para cualquier valor de n la división es exacta

2doCASO: 1 2 3 2 1     _{   }    n n n n n n z z w z w w z w z w 

Si n es impar, la división es exacta

3er CASO: 1 2 3 2 1     _{   }    n n n n n n z z w z w w z w z w 

Si n es par, la división es exacta

Ejemplo:10 Si a x a x 3 5 15  

es un cociente notable entonces halle su desarrollo.

Aplicando el primer caso, se tiene:

 

 

     

3 4 33 32 2

 

3 3 4 3 5 5 3 a a x a x a x x a x a x _{    }   x12ax9a2x6a3x3a4

 TÉRMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE UN

COCIENTE NOTABLE

El término que ocupa el lugar “k” en el desarrollo del cociente notable z w z wn n  

se calcula por la fórmula: tk (Signo)(w)nk(z)k1 ; 1kn donde el signo se determina así:

 Si el divisor es de la forma (w – z) entonces todos los términos del cociente son positivo (+)

 Si el divisor es de la forma (w + z) entonces los signos de los términos del cociente son intercalados, es decir        ) ( # ) ( # ) ( es signo el par es k Si es signo el impar es k Si z w 1. El resultado de:         

4

a a



1

a

 

1

a a



1

a

  

2

a

1

a



2

a

es: A)

a

3

_{B) 6ª C)}

a

2

_D)

6a

3

_E)

5a

2

2. El valor simple de

3

2 2

3

4

4

a b a b

ab

E

a

b









es: A) 4.2 B) 1.5 C) 2.5 D) 3 E) 2 3. Sean:

a b c

; ;



/

a b c abc

  

.Reduzca

S

1 1

ab

1 1

bc

1 1

ac

a

a b

b b c

c a c

          _ _    









_



_



_

A) 2 B) 3 C) 7 D) 1 E) 7 4. Si:

1 2

8

2

x

 

y

x y



_. Evaluar:









2

_{2 3}

2

2

y

x

xy

F

y x

x y









 

A) 10 11 B) 1011 C) 4 9 D) 9 4 E) 1 9 5. Si:







2

1

x z

z

z y



 

x y z y







_. Hallar:

_M

z x

2

x y

2

z y

2

y

z

x

            _{   }  













A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 6.

_Si:

P x   1 x x2x3  

_{. El valor de}



1



P



x

_{, es:}

A) 1 x B) 1 x 1 C) 1 1 x D) 1 x 1 E) X 7. Calcular: “A C ” si la división:

4

5

4

4

3

3

2

3

2

2

2

x

x

x

Ax

x C

x

x











 

deja como resto: 2x5

A) 4 B) –4 C) 7 D) –7 E) 3 8. Considerando el siguiente esquema (HORNER):

2

2

1

4

1

3

1

1

a

b

L

I

Z

PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 2

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13 Calcule:

L I Z a b

   

A) 1 B) 5 C) 1 D) 11 E) 14 9. Si la división: 4 3 2 6 2 ₂ mx nx x x x x       es exacta; entonces el valor de:

m

2



n

2 ?



A) 5 B) 10 C) 15 D) 37 E) 40 10. Al efectuar:

_{Q( )}

8

20

5

8

4

4

3

4

2

1

x

x

x

X

x











Halle:    

R x

S

Coef Q x

_ _





A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 11. El resto de 2 3 3 2 2 2 4 5 2 1 n n n x x x x x  _  _  _{ }  _{, es:} A) 5 B) 3 C) 8 D) 6 E) 7 12. Hallar el resto de la división:



 



3

2

2

₁₃

2

₁₁

₁₃

2

₁₀

ax

bx

ax

bx

ax

bx

















A) 40 B) 41 C) 42 D) 28 E) 26 13. Dividir: x 35 3x 34 2x 33 5x 32 2x 9 x         

dando el valor del cociente cuando x toma el valor de “4” A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 14. El residuo de:













7

4

1

2

1

5

7

2

x

x

x

x x













A)

6



x



1



B) 6x



7

C)

6



x



7



D)

5

x



6

E)

x



6

15. Hállese “m” y “n” si:  

9

3

2

1900

P x



x



mx



nx



_{. Es} divisible por “

x

2 100



” A) 900 y 19 B) 19 y 900 C) 900 y 20 D) 20 y 900 E) 18 y 900

16. Determine el valor de “m” en el cociente notable 5 1 12 5 5 1 m m x y m m x y  _   _  A) 10 B) 6 C) 7 D) 8 E) 12

17. Dado el siguiente cociente:

np

nm

x

y

p

m

x

y





Se sabe

que el término:

t

_{ }

₅

de su desarrollo tiene por grado absoluto 42; el t(8) tiene por grado absoluto 45 y por grado relativo a “y” 21. El valor de “m”, es:

A) 20 B) 5 C) 4 D) 2 E) 3 18. Si

f x

( ) (



ax

2



bx c



)

es el único factor

cuadrático primo del polinomio siguiente: 20 19 18 _.17 16 15 _{... 1} ( ) p _{x }x x x  x x x   x Halle el valor de

a

2



b

3



c

2 A)1 B) 3 C) 4 D) -5 E) -4 19. Halle el residuo de la siguiente División si a≠0

2 4 2 3 2 2

2

(a

2 )

(2

2)

(

1)

2

1

ax

b x

ab

x

a b

x b

ax

bx















 





A)

R

_{( )x}



ax



2

B)

R

_{( )x}



bx



2

C)

R

_{( )x}

 

x

2

D)

R

( )x

 

x

2

E)

R

_{( )x}

 

x

5

20. Sean :

; b

;

;

2

2

2

b

c

c

a

a

b

a



_x



_



_y



_

a



_z



_

Además

xy xz yz







67,

x y z

  

2011

A) -5955 B) -5895 C) -5789 D) 2011 E) 2022

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14

 FACTORIZACIÓN

Es un proceso de transformaciones sucesivas, que consiste en expresar un polinomio como una multiplicación indicada de polinomios primos llamados factores primos.

 FACTOR ALGEBRAICO DE UN POLINOMIO

Se dice que f(x) de grado n1; es un factor algebraico de P(x) si existe un polinomio g(x) tal que: P(x) = f(x) .g(x), es decir, f(x) es un factor algebraico de P(x) si la división de P(x) entre f(x) es exacta

Ejemplo : 1

Si P(x)= (x+1)(x+3) , entonces sus factores algebraicos son : x+1; x+3; (x+1)(x+3) , puesto que : 1 x ) 3 x ( ) 3 x ( ) 1 x (      es exacta; Observaciones

1. Todo factor algebraico tiene grado positivo.

2. Un polinomio de grado positivo es factor algebraico de sí mismo.

3. No se considera como factor algebraico a uno o cualquier constante.

4. Si se cambia de signo a un número par de factores, la expresión no se altera

 FACTOR REDUCTIBLE EN UN CAMPO NUMÉRICO Un polinomio P(x) de grado n > 1, es reductible en un campo numérico, si el polinomio se puede descomponer sobre este campo en una multiplicación de dos o más polinomios de grado menores que n Ejemplo : 2 4 x ) x ( P  2 , es reductible en ℚ, es decir ) 2 x )( 2 x ( ) x ( P    3 x ) x ( P  2 , es reductible en ℝ, es decir ) 3 x )( 3 x ( ) x ( P    4 x ) x ( P  2 , es reductible en ℂ, es decir )i 2 x )( i 2 x ( ) x ( P   

 FACTOR PRIMO EN UN CAMPO NUMÉRICO

Un polinomio es primo sobre un campo numérico, cuando no se puede transformar en el producto de dos polinomios sobre el mismo campo numérico

Observaciones:

Dado el polinomio: P(x)(xm)(xn)(xp)

1. El número de factores algebraicos de P(x) es igual a:

1 ) 1 )( 1 )( 1 ( .) . (FA      n

2. El número total de factores de P(x) está dado por:

) 1 )( 1 )( 1 ( .) . (TF     n Ejemplo : 3

Sea el polinomio factorizado:

2 2 4 2 2 3_{( 1) ( 5) ( 1)} ) 1 ( ) (x  x x x x x  P

Sus factores primos son (x1);(x1);(x2 x5);(x21)

El orden de multiplicidad o las veces que se repiten los factores primos son:

De orden 3 el factor (x-1) De orden 2 el factor (x+1) De orden 4 el factor (x2x5)

De orden 2 el factor (x21)

 MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS (M.C.D.). El Máximo Común Divisor (M.C.D.) de dos o más polinomios es el polinomio de mayor grado contenido como factor, un número entero de veces, en dicho polinomio.

Para calcular el MCD se factorizan los polinomios y el MCD está dado por el producto de los factores comunes con su menor exponente

 MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN.

No existe un método específico para factorizar una expresión algebraica ya que esta puede hacerse por dos o más procedimientos conocidos también como criterios o métodos.

 Método del factor común

Se utiliza cuando los términos del polinomio tienen un factor que le es común, este puede ser monomio o polinomio. Si estuviesen elevados a un exponente, se extrae el que está elevado al menor exponente.

Ejemplo : 4

Al factorizar : 3x2_y3 _{– 6xy}4

se obtiene: 3x2_y3_-6xy4 _=3xy3 _(x-2y)  Método de la Agrupación de Términos

Se agrupa los términos del polinomio de manera que cada grupo tenga un factor común monomio y todos los grupos tengan un factor común polinomio

Ejemplo : 5

Al factorizar :P(x,y) = 5x2_{y – 10xy}2 _{–6x+12y se obtiene:} P(x,y) = 5xy (x-2y)–6(x-2y)= (x-2y) (5xy-6)

 Método de las Identidades

Para factorizar por este método, se transforma el polinomio dado en una de las identidades estudiadas en productos notables, (trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos, etc) para luego reemplazarlo por sus factores.

Ejemplo : 6 Al factorizar : m2 _-9n4 _{, se obtiene:} m2 _-9n4 _{= (m)}2 _{– (3n}2₎2_{= (m+3n}2_{) (m-3n}2₎ Ejemplo : 7 Al factorizar : a6 _{– 8a}3_b2 _{+ 16b}4_{, se obtiene :} a6 _{– 8a}3_b2 _{+ 16b}4 _{= (a}3 ₎2 _{–2 (a}3_{) (4b}2_{) + (4b}2₎2 _{= (a}3 _{– 4b}2₎2  Método del aspa simple

Se utiliza para factorizar trinomios de la forma: P(x)ax2nbxnc o P(x;y)ax2nbxnymcy2m y se expresa: P(x) =      _       _    ax2n bxn c a₁xn c₁ a₂xn c2 ) x ( P ± bxn ax2n a2xn a1xn ± c

±

± c2 ±c2 a1x n

± bx

n ±c1 a2xn

( )

( . )

( ±)

)

I UNIDAD Nº 03 FACTORIZACIÓN – FRACCIONES

UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” DE ICA

CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO

15

Ejemplo :8

Si P(a,b) = 10 a2_{+ 21b}2 _{- 29ab entonces halle sus factores} primos

P(a,b) = 10 a2_{- 29ab+21b}2

5a -7b - -14ab 2a -3b - 15ab P(a,b) = 10a2_{-29ab - 21b}2 _{= (5a - 7b ) (2a - 3b )} Sus factores primos son: (5a - 7b ) y (2a - 3b )

 Método del aspa doble.-

Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:

F Ex Dx Cy y Bx Ax ) y ; x ( P  2n n m 2m n m _{y se expresa:}              _  _{  }    2 F m y 2 C n x 2 A 1 F m y 1 C n x 1 A F m Ey n Dx m 2 Cy m y n Bx n 2 Ax Ejemplo: 9

Si P(a,b) = 12 a2 _{– 10ab – 12 b}2 _{+17a - 58b – 40 entonces sus} factores primos

P(a, b) = 12 a2 _{-10 a b -12 b}2 _{17a -58 b - 40}

P(a,b) = 12a2 _{– 10ab – 12b}2 _{+ 17a -58b – 40} = (4a – 6b – 5)(3a + 2b + 8)

sus factores primos son: (4a -6b – 5) y (3a +2b + 8)  Aspa Doble Especial

Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:

E Dx Cx Bx Ax ) x ( P  4n 3n 2n n

En particular, polinomios de 4to. grado de la forma:

E Dx Cx Bx Ax ) x ( P  4 3 2 

Se aplica un aspa simple en los términos extremosAx4y E El resultado se resta del término centralCx2

Se expresa la diferencia en dos factores y se colocan debajo del término central

Luego se aplican dos aspas simples, y se toman horizontalmente

Ejemplo:10

Al Factorizar P(x) = 6x413x37x26x8_{se ob t i e n e :}

 P(x) = ( 3x2 _{– 5x + 4 ) ( 2x}2 _{- x - 2 )}

 Método de la evaluación binomial.-

Se utiliza para factorizar polinomios con una variable y de cualquier grado que acepten factores binomios de la forma ( x b ) ó ( a x  b ).

 Ceros de un polinomio( Raíces).-

Si a la variable de un polinomio le asignamos un valor, al reemplazar y operar resulta cero, dicho valor es un cero o raíz del polinomio y el binomio que se forma al unir la variable con dicho valor cambiado de signo será un factor del polinomio.

Ejemplo:11

Si en el polinomio P(x) = 3x3 _{+ 5x}2 _{– 8x ,elegimos x = 1, se} tiene:

P(1) = 3(1)3 _{+ 5(1) – 8(1) = 0.}

Luego x = 1 es un cero o raíz de P(x) y (x-1) es un factor de P(x).

 Determinación de los posibles divisores de un

polinomio

Se consideran dos casos:

Caso I:

Si el coeficiente principal es la unidad (polinomio mónico) se eligen todos los divisores del término independiente con doble signo, del polinomio ordenado en forma decreciente y completo

Caso II:

Cuando el coeficiente principal no es uno se considera todas las fracciones con doble signo, obtenidas al dividir los divisores del término independiente entre los divisores del coeficiente principal del polinomio ordenado en forma decreciente y completo.

Nota:

Se usa el Método de Ruffini y/o Horner hasta llegar a un coeficiente adecuado y aplicar cualquier otro método.

Ejemplo:12

Al Factorizar P(a)=a3 _–6a2 _{–7a + 60 los posibles ceros} racionales son:  1,  2,  3,  4,  5,  6,  10,  12,  15,  20,  30,  60 Evaluando obtenemos: 1 -6 -7 60 4 -8 -60 1 -2 -15 0 -3 15 1 -5 0 5 1 0

Luego: P(a) = a3 _–6a2 _{– 7a + 60 = (a - 4) ( a +3) ( a – 5)}  Cambio de variable

Se utiliza cuando al efectuar operaciones convenientes en el polinomio a factorizar se obtienen expresiones iguales, las cuales se reemplazan por una sola variable, facilitando su factorización.

Ejemplo: 13

Al factorizar : P(x) = (x-2)2 _{( x-3) (x-1) -2, se tiene} P(x) = ( x2_{- 4x + 3+1) ( x}2_{- 4x + 3 )-2}

Hacemos el cambio de variable: x2_{-4x +3 = a ,} P(a) = ( a+1) (a) –2

P(a) = a2 _{+a –2} P(a) = ( a+2) (a -1)

Reponiendo la variable original P(x) = (x2 _{-4x + 5) (x}2 _{- 4x +2)}  Método de quita y pon

Se utiliza cuando un polinomio contiene términos no factorizables pero que al sumar y restar una misma expresión lo convierte en una diferencia de cuadrados.

a = 4  a = -3  a = 5 

- 29ab

5 -3 4 4 3 2 2 2 2 2 6 13 7 6 8 3 -5x 4 SDT: 7x 2x - x -2 ST : -2x x x x x x     2 2 2 F : 7x - 2x 5x  m 2 n 2 1 m 1 n 1 m n m 2 m n n 2

F

y

C

x

A

F

y

C

x

A

Ey

Dx

Cy

y

Bx

Ax











x I III _x II _x 4a - -5 3a 8 II III I

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16 Ejemplo : 14 Al factorizar : P(x) = x4_{+4, se tiene:} P(x) = x4 _{+ 4x}2 _{+ 4 – 4x}2 P(x) = ( x2 _{+ 2 )}2 _{– 4 x}2 P(x) = ( x2 _{– 2x + 2) (x}2 _{+ 2x + 2)}  Sumas y restas especiales

Se utiliza para obtener expresiones que reagrupando generen trinomios de la forma x2 _{+ x + 1 ó x}2 _{- x + 1 u otra} conocida de manera que nos facilite la factorización

Ejemplo: 15

Al factorizar Q(x) = x5 _{+ x –1, se tiene} Sumando y restando: x2 _{se tiene}

Q(x) = x5 _{+ x}2 _{– x}2 _{+ x – 1 = x}5 _{+ x}2 _{– ( x}2 _{– x + 1)}

= x2_{( x}3 _{+1) ( x}2 _{– x + 1)= x}2_{( x+1) ( x}2 _{– x +1) – (x}2 _{– x + 1)} Q(x)= ( x2_{- x + 1) ( x}3 _{+ x}2 _–1)

 FRACCIÓN ALGEBRAICA

Una fracción algebraica racional es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas habiendo por lo menos una variable en el denominador. Ejemplo: 16 2 2 2 2 3 y x z 3 xy 4 , 2 x 3 x 1 x 3 x 5     

Donde el dividendo recibe el nombre de numerador y el divisor, denominador.

 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPO DE POLINOMIOS (M.C.M.). El Mínimo Común Múltiplo de dos o más polinomios es el polinomio de menor grado posible que contiene un número entero de veces, como factor a dichos polinomios

Para calcular el MCM se factorizan los polinomios y el MCM se formará con el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente

 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

Simplificar una fracción consiste en transformar la fracción dada en otra equivalente, tal que, ésta última sea una fracción irreductible.

Regla para simplificar fracciones:

a) Se factorizan los miembros de la fracción. b) Se eliminan los factores comunes.

OPERACIONES CON FRACCIONES

1) b d c a b d b c b a      2) bdf bde bcf adf f e d c b a      3) f . d . b e . c . a f e x d c x b a  4) bc ad c d x b a d c b a  



o también

 DESCOMPOSICIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

EN SUMA DE FRACCIONES PARCIALES

Para la descomposición de una fracción algebraica racional en suma de fracciones parciales, se debe tener en cuenta las siguientes consideraciones:

Que la fracción sea propia, es decir, dada la fracción algebraica 0 1 1 1 0 1 1 1 ) ( ) ( b x b x m x b a x a x a x a x Q x P m m m m n n n n          _      _,

el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), es decir n < m, si no lo fuese, se efectúa la división, de modo que se obtenga un polinomio entero más una fracción propia.

Ejemplo : 17 La fracción algebraica 2 6 2 ) ( ) ( 2     x x x x Q x P es impropia pues el grado de P(x) es mayor que el grado de Q(x), luego dividiendo obtenemos que 2 14 4 2 6 2 2        x x x x x

La fracción algebraica racional debe ser irreductible, en caso de no serlo previamente se realiza la factorización y las simplificaciones del caso

Ejemplo : 18 La fracción algebraica 21 31 11 12 7 ) ( ) ( 2 3 2       x x x x x x Q x P es propia, pues el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), en este caso factorizamos y obtenemos que:

) 21 10 )( 1 ( ) 4 )( 3 ( 21 31 11 12 7 2 2 3 2            x x x x x x x x x x ) 7 )( 1 ( 4 ) 7 )( 3 )( 1 ( ) 4 )( 3 (           x x x x x x x x

La fracción algebraica debe presentar en el denominador un polinomio factorizable, lo cual hace que se puedan presentar los siguientes casos:

Caso 1.

Cuando en el denominador se presentan factores de primer grado de la forma (xa).

En este caso deberá de asumirse tantas fracciones parciales de la forma ) a x ( A

 como factores de primer grado existan.

Caso 2.

Si el denominador contiene factores de primer gado repetidos de la forma (xa)n

Para este caso deberá de asumirse n fracciones parciales de la forma n n a x A a x A a x A a x A ) ( ) ( ) ( ) ( _1  _2 2  _3 3 _ Caso 3.

Si el denominador presenta factores cuadráticos no repetidos de la forma (x2bxc).

En este caso deberá asumirse fracciones parciales de la forma c bx x B Ax    2 Caso 4.

Si el denominador presenta factores cuadráticos repetidos de la forma (x2bxc)n. bc ad d c b a 

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17

Para este caso deberá de asumirse n fracciones parciales de la forma n n n c bx x x A c bx x x A c bx x x A c bx x x A ) ( ) ( ) ( 2 3 2 3 3 2 2 2 2 2 1 1                B B B B  Observación Los valoresA₁,A₂,A₃,,A_n ; B₁,B₂,B₃,,B_n;

son expresiones numéricas o coeficientes que se determinan utilizando uno de los siguientes criterios:

De los polinomios idénticos

Dando valores particulares (adecuados) a la variable x

1. Al factorizar el polinomio: P(a, b) = a2 _{– 4 + 2ab + b}2_,un factor primo; es:

A) a+b+2 B) b – 2 C) a+b – 4 D) a + 2 E) b + 2 2. Al factorizar : P(m,n) = mn4 _{- 5m}2_n3 _{+ 4m}3_n2 _{- 20m}4_{n, el}

número de factores primos; es:

A) 4 B) 3 C) 5 D) 2 E) 6 3. Al factorizar:

3 2 3 2 2 3 3 2 2 2

( , ) 2

P x y x y x y x y x y  xy xy  x y _{, la} suma de sus factores primos; es:

A)_{3 x  3 y  xy  1} B)

3

x



2

y



xy



2

C) ₄ x  ₂ y  xy  ₄ D)5 x  3 y  xy  3 E) _{x  y  xy  1} 4. Al factorizar:

32

64

8

56

40

8

)

(

_x

_

_x

5

_

_x

4

_

_x

3

_

_x

2

_

_x

_

P

el

número total de factores algebraicos; es:

A) 17 B) 18 C) 68 D) 71 E) 72 5. Factorice el polinomio:

12

7

11

7

)

(

_x

_

_x

4

_

_x

3

_

_x

2

_

_x

_

P

en una expresión de la forma:

_P

(

_x

)

_

(

_ax

2

_

_b

)(

_cx

2

_

_dx

_

_e

)

Entonces el valor de _{(e  c d)}ab _{; es:}

A) 4 B) 9 C) 16 D) 25 E) 36 6. Al factorizar: 2 2 2

₇

₂

₁₀

₆

₄

6

)

;

;

(

x

y

z

x

xy

y

xz

yz

z

P













uno de los factores primos; es:

A)2x  y  z B) 2 x  3 y  z C) z y x  2  D)

_x

 y



₃

E) x  y  1 7. Al factorizar:

12

56

89

56

12

)

(

_z

_

_z

4

_

_z

3

_

_z

2

_

_z

_

P

el número

de factores primos; es:

A)3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 8. Al factorizar el polinomio P(x) = x(x – 1) (x + 2) ( x- 3) + 8

indicar el valor de verdad:

I. Tiene 2 ceros racionales II. Tiene 3 factores primos mónicos III. Tiene 2 factores cuadráticos.

A) VVV B) VVF C) VFV D) VFF E) FVF 9. Al factorizar el polinomio:       _        _  ab x2 m2 mx a2 b2 ) x ( P , un factor primo; es:

A) ax–bm B) ax – b C) x+b D) ax+b E) ax+2b