Libro Quiriguá Matemática 2º Sem

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(2)

1º básico - Grupo Quiriguá

Segundo semestre - IGER

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MateMática 7

Segundo semestre

Reservados todos los derechos. Queda rigurosamente prohibida la reproducción total o parcial de este material educativo, por cualquier medio o procedimiento, sin la autorización del Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. Según artículo 42 de la Constitución Política de Guatemala que se refiere a la autoría.

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Edición 2014

Impreso en IGER talleres gráficos

Código: 1110704202 ISBN 9789929804616

(4)

Índice ... I

Semana 18

El conjunto Q de los números racionales

... 1

¡Para comenzar! Leonardo Fibonacci ... 3

El mundo de la matemática 1. El conjunto Q de los números racionales ... 4

1.1 Las fracciones ... 4

a. Partes de una fracción ... 5

1.2 Lectura y escritura de fracciones ... 6

1.3 Representación gráfica de fracciones ... 7

a. Por medio de figuras geométricas ... 7

b. Fracciones sobre la recta numérica ... 8

Resumen ... 10

Autocontrol ... 11

Agilidad de cálculo mental ... 14

Razonamiento lógico ... 15

Semana 19

Clases de fracciones

... 17

¡Para comenzar! Las fracciones en el antiguo Egipto ... 19

El mundo de la matemática 1. Clases de fracciones ... 20

1.1 Fracciones propias: menores que la unidad ... 20

1.2 Fracciones impropias: mayores que la unidad ... 21

1.2.1 Los números mixtos... Un caso especial de fracciones impropias ... 22

2. Conversión de fracciones ... 23

2.1 Conversión de fracciones impropias a números mixtos ... 23

2.2 Conversión de números mixtos a fracciones impropias ... 25

Resumen ... 26

Semana 20

Fracciones equivalentes

... 33 Lenguaje matemático ... 35 El mundo de la matemática 1. Fracciones equivalentes ... 36

Índice

(5)

1.1 Productos cruzados ... 37

1.2 Amplificación de fracciones ... 38

1.3 Simplificación de fracciones ... 39

Resumen ... 40

Semana 21

Suma y resta de fracciones

... 47

¡Para comenzar! Un paseo por la semana 10... Recordar y practicar el mcm

...

49

El mundo de la matemática 1. Suma y resta de fracciones de igual denominador ... 50

2. Comparación de dos o más fracciones de distinto denominador ... 51

3. Suma y resta de fracciones de diferente denominador ... 53

Resumen ... 55

Semana 22

Suma y resta de fracciones positivas y negativas de

diferente denominador

... 61

¡Para comenzar! Repaso de suma y resta de números enteros

...

63

El mundo de la matemática 1. Suma y resta de fracciones positivas y negativas de diferente denominador ... 64

2. Operaciones combinadas ... 66

Resumen ... 68

Semana 23

Multiplicación y división de fracciones

... 73

¡Para comenzar! Ley de signos de la multiplicación y la división de números enteros

...

75

El mundo de la matemática 1. Multiplicación de fracciones ... 76

2. División de fracciones ... 77

2.1 Multiplicar las fracciones en forma cruzada ... 77

2.2 Producto de extremos y medios ... 78

(6)

Semana 24

Potencias de números racionales

... 87

¡Para comenzar! ¡Hagamos memoria! Operaciones combinadas y jerarquía de operaciones ... 89

El mundo de la matemática 1. Potencia de una fracción ... 90

2. Potencia de un número mixto ... 91

3. Reglas de potenciación ... 92

4. Operaciones combinadas con fracciones ... 93

Resumen ... 96

Semana 25

Repaso semanas 18-24

... 103

El mundo de la matemática 1. El conjunto Q de los números racionales ... 105

2. Clases de fracciones ... 107

3. Fracciones equivalentes ... 110

4. Suma y resta de fracciones ... 112

5. Suma y resta de fracciones positivas y negativas de diferente denominador ... 114

6. Multiplicación y división de fracciones ... 116

7. Potencias de números racionales ... 118

Semana 26

Números decimales

... 123

¡Para comenzar! Sistema de numeración decimal

...

125

El mundo de la matemática 1. Fracciones decimales ... 126

2. Fracciones decimales y números decimales ... 127

3. Lectura y escritura de números decimales ... 129

4. Suma de números decimales ... 131

5. Resta de números decimales ... 132

Resumen ... 133

(7)

Semana 27

Multiplicación de números decimales

... 139

¡Para comenzar! John Napier

...

141

El mundo de la matemática 1. Multiplicación de números decimales ... 142

1.1 Multiplicación de un número decimal por un número entero ... 142

1.2 Multiplicación de un número decimal por otro número decimal ... 143

1.3 Multiplicación de un número decimal por la unidad seguida de ceros .. 144

Resumen ... 145

Semana 28

División de números decimales

... 151

¡Para comenzar! ¿Cómo convertimos un número decimal en un número entero? ... 153

El mundo de la matemática 1. División de números decimales ... 154

1.1 División con dividendo decimal y divisor entero ... 154

1.2 División de un número entero entre un número decimal ... 158

1.3 División de un número decimal entre otro número decimal ... 160

1.4 División de un decimal entre la unidad seguida de ceros ... 162

Resumen ... 163

Semana 29

Razones y proporciones

... 169

¡Para comenzar! ¿Cómo medir distancias en un mapa?

Geometría II: polígonos

... 221

¡Para comenzar! Clasificación de los polígonos

...

223

El mundo de la matemática 1. Polígonos ... 224

1.1 Cuadriláteros ... 225

2. Perímetros y áreas ... 226

2.1 Perímetro y área de un cuadrado ... 227

a. Perímetro ... 227

b. Área ... 227

2.2 Perímetro y área de un rectángulo ... 228

a. Perímetro ... 228

(9)

Resumen ... 230

Semana 33

Porcentajes

... 237

Lenguaje matemático Signo de porcentaje

...

239

¡Para comenzar! Repaso de la regla de tres directa

...

240

El mundo de la matemática 1. El porcentaje ... 241

1.1 Cálculo de porcentajes ... 242

a. Cuando la cantidad desconocida es una parte del total ... 242

b. Cuando la cantidad desconocida es el valor total... 245

c. Porcentaje en figuras geométricas ... 246

Resumen ... 247

Semana 34

Repaso semanas 26-33

... 255

El mundo de la matemática 1. Números decimales ... 257

2. Multiplicación de números decimales ... 259

3. División de números decimales ... 261

4. Razones y proporciones ... 263

5. Regla de tres ... 266

6. Geometría I: líneas y ángulos ... 268

7. Geometría II: polígonos ... 270

8. Porcentajes ... 273

Claves

... 279

(10)

18 El conjunto Q de los

números racionales

(11)

Los logros que conseguirá esta semana

son:

 Definir el conjunto de los números racionales.  Identificar las partes de una fracción.

 Leer y escribir correctamente fracciones.

 Representar fracciones con figuras geométricas y sobre la recta numérica.

 Mejorar la habilidad de cálculo mental.

 Desarrollar el razonamiento lógico resolviendo proble-mas con fracciones.



¿Qué encontrará esta semana?

• Biografía de Leonardo Fibonacci ¡Para comenzar!

El mundo de la matemática

• Definición de números racionales • Partes de una fracción

• Lectura y escritura de fracciones

• Representación gráfica de fracciones con figuras geométricas y sobre la recta numérica

Agilidad de cálculo mental • Multiplicación de números enteros

(12)

Leonardo Fibonacci

Leonardo Fibonacci, notable matemático, nació en Pisa, Italia, en 1170 y murió en 1250. Su papá era comerciante y este hecho le dio la oportuni-dad, durante su niñez y su juventud, de viajar y de aprender matemáticas con profesores árabes.

Hacia el año 1200 se dedicó a escribir un libro que recogía sus conoci-mientos matemáticos. En él aparecieron, por primera vez en Europa, las cifras del 0 al 9 y las reglas para realizar operaciones con números enteros y con fracciones. En ese libro, también introdujo la barra horizontal para

separar numerador y denominador en las fracciones.

3

12

Esta forma de escribir los números racionales, aunque ya era conocida en el mundo árabe, se generalizó en Europa 300 años después de que Fibonacci la presentara. Este aporte tardó en popularizarse, pero hoy día lo seguimos utilizando para escribir fracciones.

Texto adaptado de www.ite.educación.es

¡A trabajar!

Una ficha es una herramienta de estudio que permite la descripción de las características gene-rales de un personaje o de un tema. El objetivo es recolectar los datos más importantes de forma sencilla. Realice una ficha biográfica de Leonardo Fibonacci. Para hacerlo complete los datos propuestos. Tómelos de la lectura. Leonardo Fibonacci (1170–1250) Matemático italiano Nombre:

Nació en el año y murió en el año . Sus aportes matemáticos fueron:

(13)

1

4 ₄

1. El conjunto Q de los números

racionales

Números enteros y fraccionarios

Q

Números racionales Z Números enteros Fr Números fraccionarios

En la semana 13 aprendimos que al agregar los números enteros negativos a los números naturales, se forma el conjunto de los números enteros. Esta se-mana añadiremos los números fraccionarios para formar un nuevo conjunto: el conjunto de los números racionales.

El conjunto de los números racionales resulta de la unión de los números enteros (Z) y de los números fraccionarios (Fr). El conjunto de los números racionales se identifica con la letra Q.

Simbólicamente se representa por:

Q =

{

Z

Fr

}

Nosotros nos centraremos en el estudio de los números fraccionarios.

1.1 Las fracciones

Partes iguales de una unidad

Fracción viene del latín fractio que significa romper. Las fracciones son porciones iguales de una unidad que se ha fraccionado o dividido en varias partes. Por eso, también podemos definir una fracción como una división indicada. Por ejemplo, pensemos en un queso cuadrado cortado en 4 partes iguales. El queso entero es la unidad y cada cuarto es una fracción de la unidad.

(14)

Ejercicio 1

A. Complete las oraciones. Tiene un ejemplo.

0) Q representa el conjunto de los números

1) Fr representa el conjunto de los números

2) Z representa el conjunto de los números

B. Complete la tabla con la fracción que forman el numerador y el denominador dados. Tiene

un ejemplo.

numerador denominador fracción

5 8

5 ₈

7 9

¡Otro ejemplo!

Si cortamos una sandía en dos partes iguales, tendremos:

Cada trozo es un medio, es decir, una fracción de la sandía.

Dos medios hacen un entero o una unidad.

a.

Partes de una fracción

Una fracción está formada por dos elementos, numerador y denominador, separados por una línea horizontal.

1

4

numerador denominador

Numerador: indica el número de partes iguales que se toman de la unidad. Se

escribe sobre la línea horizontal.

Denominador: indica el número de partes iguales en que se ha dividido la

unidad. Se escribe debajo de la línea horizontal.

Otra forma de escribir fracciones es separando los números con una línea diagonal: 1/4

racionales.

1

2

1

2

= 1

(15)

1.2 Lectura y escritura de fracciones

Cuando leemos o escribimos una fracción, debemos seguir ciertas normas. Posiblemente usted ya las conoce, pero vamos a recordarlas.

Para leer una fracción:

• Leemos primero el numerador y después el denominador.

• Cuando el numerador es 1 se lee ‟un”, del 2 en adelante se lee como cualquier número entero: dos, cuatro, etc.

• El denominador recibe un nombre específico del 2 al 10. Observe: 2 se lee medios 5 se lee quintos 8 se lee octavos 3 se lee tercios 6 se lee sextos 9 se lee novenos 4 se lee cuartos 7 se lee séptimos 10 se lee décimos Ejemplos:

un tercio un séptimo 6_{10 seis décimos} • Al denominador de 11 en adelante se le agrega la terminación ‟–avos” y

se escribe como una sola palabra: onceavos, doceavos, etc. Ejemplo

8_{21 ocho veintiunavos} – 2

12 menos dos doceavos 13

56 trece cincuentaiseisavos 2375 veintitrés setentaicincoavos

Ejercicio 2

Escriba cómo se leen las fracciones. Tiene un ejemplo. 0) – 30 15 5) 47 1) ₂₅ 6) 2₃ 2) ₅₆ 7) 3₈ 3) ₁₂ 8) ₁₀5 4) – 5 9 9) 1 4 Aprenda de memoria cómo se leen estos denominadores.

El signo menos de las fracciones negativas siempre se escribe a la par de la línea horizontal. 1 7 1 3

(16)

1.3 Representación gráfica de fracciones

Todo número fraccionario o fracción se puede representar gráficamente de dos formas:

a.

Por medio de figuras geométricas

Una figura geométrica representa la unidad. Para representar una fracción se

divide en tantas partes iguales como indique el denominador y se señala el número de partes que indica el numerador.

Por ejemplo, para representar la fracción 58 • Dividimos la figura en 8 partes iguales. • Pintamos o sombreamos cinco partes. ¡Otro ejemplo!

Representemos la fracción 44 :

• Dividimos la figura en 4 partes como indica el denominador. Pintamos 4 partes, según indica el numerador. Esta fracción es igual a la unidad.

Ejercicio 3

Represente las fracciones gráficamente. Tiene un ejemplo. 0) 1₄ 3) 3₅ 1) 5₅ 4) 1₂ 2) 2₆ 5) 8₈ 4 4 = 1

(17)

b.

Fracciones sobre la recta numérica

Usted ya sabe "moverse" sobre la recta numérica porque ya localizamos números naturales y enteros en ella. Esta semana aprenderemos a ubicar fracciones.

Fracciones positivas Todas las fracciones que estudiaremos esta semana son menores que la uni-dad, así que para localizar fracciones positivas tomamos solo el segmento de la recta que va de 0 a 1. Aclarado este punto, veamos un ejemplo. Localicemos 58 • Dividimos la unidad (el espacio entre 0 y 1) en 8 partes iguales, como indica el denominador. Marcamos cada división con una raya.

• Contamos del cero hacia la derecha 5 rayas, como indica el numerador. –1 0 1 5 8 ¡Otro ejemplo! Representemos la fracción 34

Dividimos la unidad en 4 partes iguales, como indica el denominador. Conta-mos del cero hacia la derecha 3 partes, según indica el numerador.

–1 0 1 3 4 Fracciones negativas Para localizar fracciones negativas tomamos el segmento de la recta que va de 0 a –1. Localicemos – 7 10 Dividimos la unidad, del 0 al –1, en 10 partes iguales, como indica el denomi-nador. Contamos del cero hacia la izquierda 7 partes como indica el nume-rador.

–1 0 1

(18)

Ejercicio 4

A. Localice las fracciones sobre la recta numérica. Tiene un ejemplo.

0) 3 9 _–1 ₀ ₁

3

9

1) – 9 10 _–1 ₀ ₁ 2) – 7 7 _–1 ₀ ₁ 3) 2 6 _–1 ₀ ₁ 4) – 4 8 _–1 ₀ ₁ 5) 4 5 _–1 ₀ ₁ B. Lea con atención y realice lo que se indica. 1) Nuestro planeta está cubierto de agua en sus tres quintas partes

(

3 5

)

y el resto, dos quintos

(

2 5

)

, cubierto de tierra.

a. Señale en la recta la parte de agua de nuestro planeta:

–1 0 1

(19)

1. Números racionales Q

El conjunto de los números racionales resulta de la unión de los números enteros (Z) y de los números fraccionarios (Fr). El conjunto de los números racionales se identifica con la letra Q.

1.1. Las fracciones

Las fracciones expresan la división de una unidad en partes iguales. Una fracción está formada por dos elementos separados por una línea horizontal: numerador y denominador.

1.2 Lectura y escritura de fracciones

• Leemos primero el numerador y después el denominador.

• Cuando el numerador es 1 se lee “un”, del 2 en adelante se lee como cualquier número entero.

• El denominador recibe un nombre específico del 2 al 10, del número once en adelante se le agrega la terminación ‟avos” y se escribe como una sola palabra.

1.3 Representación gráfica de fracciones Por medio de una figura geométrica

Dividimos la figura geométrica en partes iguales según nos indi-que el denominador y sombreamos la cantidad de partes que nos indique el numerador.

Sobre la recta numérica Fracciones positivas • Ubíquese en el segmento de la recta que va de 0 a 1. • Divida la unidad en tantas partes iguales como indique el denominador. Márquelas con una raya. • Cuente del 0 hacia la derecha, tantas partes como indique el numerador. Fracciones negativas • Ubíquese en el segmento de la recta que va de 0 a –1. • Divida la unidad en tantas partes iguales como indique el denominador. Márquelas con una raya. • Cuente del 0 hacia la izquierda, tantas partes como indique el numerador. –1 0 1 – 1 3 2 3

3

12

numeradordenominador

Resumen

(20)

Actividad 1.

Demuestre lo aprendido

A. Responda con sus palabras.

¿Qué es una fracción?

B. Escriba el nombre de las partes de una fracción:

6 ₈

Actividad 2.

Practique lo aprendido

A. Escriba cómo se leen las fracciones.

1)

8

7)

5

8

2)

5

7

13

9

B. Escriba con números las siguientes fracciones. Tiene un ejemplo.

0) Un medio 6) Cinco novenos 1) Dos tercios 7) Menos dos quintos 2) Tres octavos 8) Menos tres sextos 3) Ocho décimos 9) Cuatro cuartos 4) Seis séptimos 10) Once quinceavos 5) Nueve onceavos 11) Doce veinteavos

1/2

(21)

C. Grafique las fracciones con una figura geométrica y sobre la recta numérica. Las figuras geomé-tricas deben estar fraccionadas en partes exactas. Mídalas con su regla. Hay un ejemplo.

0)

2

5

–1 0 1

2

5

1)

4

5

_–1 ₀ ₁ 2)

3

6

_–1 ₀ ₁

D. Represente las fracciones negativas sobre la recta numérica. 1) –

3

4

_–1 ₀ ₁ 2) –

5

7

_–1 ₀ ₁ E. Escriba con números qué fracción representa la gráfica y escriba sobre la línea cómo se lee. Tiene un ejemplo. 0)

2

4

1) 2) 3) 4)

dos cuartos

(22)

Actividad 3.

Desarrolle nuevas habilidades

A. Indique a qué fracción corresponden los puntos de la recta señalados con las letras M y N. Tiene un ejemplo, la letra L. –1 0 1 2 5 45 L M N L =

1

5

M = N = B. Indique a qué fracciones corresponden los puntos de la recta señalados con las letras B y C. Tiene un ejemplo, la letra A. –1 0 1 – 3₇ – 4₇ – 6₇ _C _B _A A =

– 1

₇

B = C =

C. Represente en las gráficas las situaciones propuestas. 1)

Hace 50 años, aproximadamente tres décimos (3/10) de la Tierra, era bosque. En los últimos años los bosques se han reducido un décimo (1/10). Un planeta sano necesita bosques sanos porque regulan el ciclo del agua y estabilizan los suelos. ¡Cuidémoslos!

De acuerdo al texto anterior:

a. Coloree la parte de la Tierra que estaba cubierta de bosques hace 50 años.

b. Coloree la parte de bosque que aún se conserva.

2) ¿Qué fracción del día ha transcurrido a las diez de la mañana? Indíquelo en la gráfica. Recuerde que el día está dividido en 24 horas.

R/

• ¿Qué fracción falta para que el día termine? R/

(23)

Resuelva las multiplicaciones de números enteros. Tome en cuenta la ley de signos. Trate de resolverlas en un tiempo máximo de 5 minutos.

A. Multiplique 0) (–6) x (–2) = 7) 9 x (–2) = 14) (–2) x 5 = 1) (–3) x (–3) = 8) 8 x (–3) = 15) (–3) x 9 = 2) (–1) x (–4) = 9) 7 x (–4) = 16) (–4) x 9 = 3) (–6) x (–5) = 10) 1 x (–5) = 17) (–5) x 8 = 4) (–5) x (–4) = 11) 5 x (–6) = 18) (–6) x 2 = 5) (–4) x (–1) = 12) 4 x (–3) = 19) (–7) x 5 = 6) (–2) x (–8) = 13) 3 x (–2) = 20) (–8) x 4 = B. Encuentre el multiplicador: 0) (–6) x = 48 7) 9 x = –18 14) 2 x = –8 1) (–3) x _{= 21} 8) 8 x = –64 15) 4 x = –32 2) (–1) x = 10 9) 7 x = –28 16) 9 x = –27 3) (–6) x = 36 10) 1 x = –9 17) 8 x = –24 4) (–5) x = 35 11) 5 x = –15 18) 2 x = –10 5) (–4) x = 12 12) 6 x = –24 19) 3 x = –15 6) (–2) x = 14 13) 4 x = –20 20) 5 x = –30 C. Resuelva mentalmente. De una caja de una docena de bolígrafos, se vende media docena a 2 quetzales la unidad. ¿Cuántos bolígrafos quedan en la caja?

12 (–8)

(24)

Lea con atención y escriba la respuesta. Luego represente la fracción correspondiente en forma gráfica. Tiene un ejemplo.

0) ¿Cuánto comió una familia que cortó una sandía en 12 partes y comió 7?

R/

1) En un círculo de estudio hay 8 estudiantes y de ellos, 6 son mujeres. ¿Qué fracción representan?

R/

2) _{La población mundial tiende a ser más longeva, es decir,} a vivir más años. Se calcula que en 2010 una décima parte de los habitantes de la Tierra tienen más de 60 años y que en 2025 será uno de cada cinco (un quinto).

a. Represente la fracción de personas mayores de 60 años en 2010 y en 2025, en la gráfica correspondiente. b. Compare las partes sombreadas y rellene el cuadro que corresponda a su respuesta. En 2025 habrá el doble de personas mayores de 60 años que en 2010. En 2025 habrá la mitad de personas mayores de 60 años que en 2010. 3) En una abarrotería hay 5 quintales de granos básicos. Si 3 quintales son de frijol, ¿qué fracción representan? R/

4) Lola tiene 5 gallinas, 3 cerdos y 2 vacas. Si en total hay 10 animales. ¿Qué fracción representa cada animal?

Gallinas: Cerdos: Vacas:

Coloree con un color diferente la fracción que representa cada animal.

La familia comió 7/12 de la sandía.

2010 2025

(25)

Notas:

Escriba aquí sus inquietudes, descubrimientos o dudas para compartir en el círculo de estudio. Marque con un cheque la casilla que mejor indique su rendimiento. logrado procesoen logradono

Después de estudiar

...

Defino el conjunto de los números racionales. Identifico las partes de una fracción.

Leo y escribo correctamente fracciones.

Represento fracciones con figuras geométricas y sobre una recta numérica.

Mejoro la habilidad de cálculo mental.

Desarrollo el pensamiento lógico resolviendo problemas con fracciones.

(26)

19

(27)

Los logros que conseguirá esta semana

son:

 Identificar las diferentes clases de fracciones.  Convertir fracciones impropias en números mixtos.  Convertir números mixtos en fracciones impropias.  Mejorar la agilidad de cálculo mental.

 Desarrollar su pensamiento lógico resolviendo problemas.



¿Qué encontrará esta semana?

• Las fracciones en el antiguo Egipto ¡Para comenzar!

• Clasificación de fracciones

• Conversión de fracciones impropias a números mixtos

• Conversión de números mixtos a frac-ciones impropias

Agilidad de cálculo mental • Multiplicación de números enteros y _{conversión de fracciones}

(28)

¡A trabajar!

1. ¿Cuál era el símbolo que utilizaban los antiguos egipcios para indicar la barra horizontal de las fracciones? Dibújelo

2. A diferencia de los egipcios, nosotros escribimos las fracciones utilizando números. Escriba cómo se leen las siguientes fracciones. Tiene un ejemplo.

a) 2/3 e) 3/5

b) 1/2 f) 6/7

c) 3/4 g) 4/6

d) 5/9 h) 2/8

dos tercios

Las fracciones en el antiguo Egipto

Las fracciones no siempre se han escrito como las conocemos nosotros. Veamos cómo las escribían los antiguos egipcios.

El uso de las fracciones es, sin duda, el rasgo más curioso de la Matemá-tica egipcia. Los egipcios sólo escribían de manera directa las fracciones unitarias, es decir, aquellas con numerador 1.

El jeroglífico de una boca abierta ( ) significaba la barra de fracción (—), y un jeroglífico numérico escrito debajo de la “boca abierta”, signifi-caba el denominador de la fracción. Por ejemplo:

= 1

3 = 1 10

Si el denominador era demasiado grande, la “boca” se escribía al principio del denominador. Por ejemplo:

= ₃₃₁1

Texto tomado y adaptado de Las antiguas ciencias del Oriente. Arnaldez, Roger y otros.

(29)

1. Clases de fracciones

Aprendimos que una fracción está formada por dos partes: • Numerador: que indica las partes iguales

que tomamos de la unidad.

• Denominador: que indica las partes iguales en que se divide la unidad.

Según sea el valor del numerador de la fracción, respecto al valor de su deno-minador, las fracciones pueden ser de dos clases: propias e impropias.

1.1 Fracciones propias: menores que la unidad

Una fracción propia representa una cantidad menor que la unidad. Es fácil de identificar porque el numerador es menor que el denominador. Todas las fracciones que vimos en la semana 18 son fracciones propias.

Por ejemplo:

2

3

2

5

6

9

3

7 a

b

numerador denominador

Ejercicio 1

Observe las fracciones del recuadro y copie sobre las líneas solo las fracciones propias. Tiene un ejemplo. 11 5 ; 38 ; 67 ; 222 ; 15 ; 2 23 ; 4 14; 69 0) 1) 2) 3) 4)

3

8 El mundo de la matemática

(30)

1.2 Fracciones impropias: mayores que la unidad

Una fracción impropia representa una cantidad mayor que la unidad. Se iden-tifica porque el numerador es mayor que el denominador.

Por ejemplo:

Pedro corta varios quesos en cuarterones para venderlos. Al final del día, le sobran cinco cuarterones. Observe el dibujo:

A Pedro le sobra un queso completo y un cuarto más.

4

+

1

4

=

5

4

Otros ejemplos:

2 ₂

+

1 ₂

=

3 ₂

₃

3

+

3 ₃

+

1 ₃

=

7 ₃

Ejercicio 2

A. Encierre en un cuadro las fracciones impropias. Tiene un ejemplo.

11 ₅

6

8 9 222

3

8 154 96 73

B. Escriba qué fracción impropia representa la gráfica. Le damos una pista: el denominador es 4 porque cada figura está dividida en 4 partes.

(31)

1.2.1 Los números mixtos... Un caso especial de fracciones

impropias

Los números mixtos están formados por una parte entera y una parte

frac-cionaria. Se derivan de las fracciones impropias.

Parte fraccionaria Parte entera

3

1

2

Por ejemplo:

¿Cuántos limones son siete mitades de limón?

6

2

+

1

2

=

7

2

=

3

1

2

La fracción impropia 7

2 corresponde al número mixto

3

12 . Otros ejemplos:

2 ₂

+

1 ₂

Escriba un número mixto para cada expresión. Tiene un ejemplo.

0) tres enteros, un cuarto

3

1₄ 3) seis enteros, un medio 1) cinco enteros, dos quintos 4) cuatro enteros, un tercio 2) dos enteros, tres cuartos 5) un entero, tres décimos

El número entero del número mixto se escribe de mayor tamaño que la fracción.

(32)

2. Conversión de fracciones

Como ya mencionamos, una fracción impropia es mayor que la unidad, por lo tanto, todas las fracciones impropias pueden convertirse en números mixtos y viceversa. Veamos cómo se hace.

2.1 Conversión de fracciones impropias a

números mixtos

Para convertir una fracción impropia a número mixto, seguimos los pasos del ejemplo:

Convertir

17 ₅

a número mixto.

• Dividimos numerador entre denominador:

₅

₁₇

3 – 15

2

• Luego:

El cociente de la división, 3, es el número entero del número mixto.

El residuo 2 es el numerador de la fracción. El denominador 5 es el mismo de la fracción

impropia.

3

2 ₅

Ejercicio 4

Convierta la fracción

10 ₇

a número mixto.

• Divida numerador entre denominador:

₇

₁₀ • Escriba el número mixto así:

El cociente de la división es el entero del número mixto.

El residuo es el numerador de la fracción. El denominador es el mismo de la fracción

impropia. La fracción 10

7 se convirtió en el número mixto

1

17

(33)

Ejercicio 5

A. Convierta la fracción 21

4 a número mixto.

• Divida numerador entre denominador:

4

21 • Escriba el número mixto:

El cociente de la división es el entero del número mixto.

El residuo es el numerador de la fracción. El denominador es el mismo de la fracción

impropia. La fracción 21

4 se convirtió en el número mixto

B. Identifique el entero y la fracción de los siguientes números mixtos. Tiene un ejemplo. Número

mixto Entero Fracción

7

6 ₉

7

6 ₉

11

2 ₃

4

1 ₅

5

Vamos a reforzar el aprendizaje con otro ejemplo. Convertir

31 ₇

a número mixto:

• Dividimos numerador entre denominador:

₇

₃₁

4 – 28

3

• Escribimos el número mixto:

El cociente de la división, 4, es el número entero del número mixto.

El residuo 3 es el numerador de la fracción. El denominador 7 es el mismo de la fracción

impropia.

4

3 ₇

31

(34)

2.2 Conversión de números mixtos a fracciones

impropias

Dijimos que los números mixtos se derivan de las fracciones impropias. Por lo tanto, podemos expresar todo número mixto como fracción impropia. Veamos cómo hacerlo.

Convertir

3

2

5

en fracción impropia:

• Copiamos el denominador del número mixto, es decir 5.

• Para obtener el nuevo numerador: multiplicamos el denominador por el entero y a este resultado, le sumamos el numerador del número mixto.

3

2

5

=

(

5 x

3

5 ) +

2

=

15 + 2

5

=

17

5

+

x

El número mixto se convirtió en fracción impropia.

₃

2

5

=

17

5

Veamos otro ejemplo: Convertir

2

1

3

• Copiamos el denominador del número mixto (3).

4 ₅

en fracción impropia: 2) Convierta

7

2 ₄

+ x

6

4 ₅

=

(5 x 6) + 4

=

+ 4

5

= + x

7

2 ₄

=

(4 x 7) + 2

=

+ 2

4

=

(35)

Las fracciones

podemos clasificarlas en:

son aquellas que tienen:

por ejemplo:

el numerador menor que el denominador. Son fracciones menores que la unidad.

son aquellas que tienen:

por ejemplo:

el numerador mayor que el denominador. Son fracciones mayores que la unidad.

3

2

3

5

fracciones propias fracciones impropias Los números mixtos

una parte entera y una parte fraccionaria. Expresan una cantidad mayor que la unidad.

fracción Parte entera

3

1 ₄

están formados por:

por ejemplo:

2. Conversión de fracciones

2.1 Conversión de fracciones impropias a números mixtos

Para convertir una fracción impropia a número mixto se divide el numerador entre el deno-minador. El resultado se escribe así:

• El cociente de esta división es el entero del número mixto. • El residuo, si lo hay, es el numerador de la fracción que

forma parte del número mixto.

• El denominador es el mismo de la fracción impropia.

2.2 Conversión de números mixtos a fracciones impropias

=

17

5 Resumen

(36)

Actividad 1.

Demuestre lo aprendido

A. Escriba como número mixto y como fracción impropia las fracciones representadas gráficamente.

Tiene un ejemplo. 0)

₁

2

3

=

5

3

1) = 2) = 3) = 4) = 5) =

B. Clasifique las fracciones en propias, impropias o números mixtos. Escriba un cheque () en la columna correspondiente. Tiene un ejemplo.

Fracción

propia impropiaFracción Número mixto

0) 4₃  1) 54₅₀ 2) 11₂₀ 3)

4

4₇ 4) 5₉ 5)

7

1₂

Autocontrol

(37)

Actividad 2.

Practique lo aprendido

A. Convierta las fracciones impropias en números mixtos. Siga los pasos que hemos estudiado.

Tiene un ejemplo. fracción

impropia conversión número mixto 0) 12 8

1 8 12

– 8

4

1

4 ₈

1) 19 7 2) 9 5 3) 21 4 4) 27 5 5) 9 2 6) 19 3 fracción

impropia conversión número mixto 7) 59 7 8) 38 6 9) 88 9 10) 123 6 11) 41 7 12) 51 10 13) 34 15

(38)

B. Convierta los números mixtos en fracciones impropias. Siga los pasos que hemos estudiado.

Tiene un ejemplo. número

mixto conversión fracción impropia

0)

3

5₇ + x

(7 x 3) + 5

7

=

21 + 5

7

=

26

7

26

7

1)

2

4₉ 2)

11

1₂ 3)

9

2₅ 4)

6

6₈ 5)

20

1₃ 6)

4

8₁₁ 7)

8

5₇ 8)

1

15₂₀ 9)

7

2₆

(39)

A. Resuelva las multiplicaciones de números enteros. Trate de resolverlas en un tiempo máximo

de 2 minutos. Tome en cuenta la ley de signos.

0) 4 x 6 = 7) (–2) x 7 = 14) (–7) x (–4) = 1) 9 x 2 = 8) (–7) x 3 = 15) (–5) x (–5) = 2) 6 x 8 = 9) (–5) x 2 = 16) (–3) x (–6) = 3) 7 x 6 = 10) (–8) x 3 = 17) (–1) x (–7) = 4) 8 x 4 = 11) (–1) x 9 = 18) (–9) x (–8) = 5) 9 x 3 = 12) (–5) x 7 = 19) (–4) x (–9) = 6) 5 x 6 = 13) (–3) x 9 = 20) (–6) x (–10) =

B. La conversión de números mixtos en fracciones impropias y viceversa puede hacerse men-talmente. Siga las indicaciones de las flechas e intente hacerlo en 5 minutos como máximo. ¡Anímese! 0)

3

1 4 + x =

23 = 6)

8

1 4 = 13)

5

103 =

24

(40)

Resuelva los problemas. Si es necesario, dibuje esquemas para facilitar su razonamiento. 1) Juan parte porciones de 1/4 de rodaja de piña para su familia. Observe y calcule:

a. ¿Cuántas porciones hay?

b. ¿Cuántas porciones forman una rodaja? c. ¿Cuántas rodajas se partieron?

d. Escriba la cantidad de porciones como fracción impropia y como número mixto.

2) ¿Cuántos naranjas son nueve medias naranjas? Escriba la respuesta como fracción impropia y como número mixto.

3) La pastelería ‟Las delicias” divide cada pastel en 8 porciones. Si en la vitrina hay 35 porciones de pastel, ¿cuántos pasteles hay en total? Exprese su respuesta con un número mixto.

4) Ana debe tomar 1/2 pastilla cada 4 horas. ¿Cuántas pastillas ha tomado en un día? 5) Berta vende papaya en trozos. Parte cada papaya en 8 trozos. Si al final del día tiene

22 trozos, ¿cuántas papayas le han sobrado? Exprese su respuesta como fracción im-propia y como número mixto.

6) Un galón de jugo de naranja rinde 20 vasos. Si tengo 66 vasos de jugo servidos, ¿cuántos galones de jugo utilicé? Exprese su respuesta con un número mixto.

7) El centro de salud dispone de 200 tabletas de vitamina C. Si a cada niño deben darle 1/4 de tableta, ¿cuántos niños podrán tomar vitamina C?

8) Si tengo 45/6 de cartulina, ¿cuántos pliegos enteros tendría al juntar los pedazos? Escriba la respuesta con un número mixto.

9) Gloria y Pedro sirvieron

4

3/4 picheles de limonada. Si cada pichel rindió 8 vasos, ¿cuántos vasos de limonada sirvieron?

(41)

Notas:

... Identifico y clasifico las diferentes clases fracciones. Convierto fracciones impropias en números mixtos. Convierto números mixtos en fracciones impropias. Mejoro la agilidad de cálculo mental.

Desarrollo mi pensamiento lógico resolviendo problemas.

(42)

20

(43)

Los logros que conseguirá esta semana

son:

 Practicar y aplicar los signos

≡

(equivalente) y (no equivalente).

 Definir e identificar fracciones equivalentes.  Amplificar y simplificar fracciones.

 Resolver con agilidad multiplicaciones de números en-teros y convertir mentalmente fracciones impropias a números mixtos.

 Desarrollar su razonamiento lógico resolviendo proble-mas matemáticos.



¿Qué encontrará esta semana?

Agilidad de cálculo mental • Multiplicación de números enteros y conversión de fracciones impropias a números mixtos

Razonamiento lógico • Problemas matemáticos con fracciones • Signo

≡

(equivalente) y (no

equivalente) Lenguaje matemático

(44)

Repase con su lapicero cada signo. Siga la dirección que indica la flecha.

Cuando el signo

≡

lleva una línea encima, como si lo tachara , significa ‟no es equivalente a”. Practíquelo.

Intente usted el trazo, dibuje el signo equivalente sobre cada línea.

Veamos otro ejemplo:

Determinemos gráficamente si las frac-ciones 1/3 y 3/6 son equivalentes. Para hacerlo dibujamos dos figuras geométri-cas iguales.

La primera la dividimos en tres partes iguales y pintamos una de ellas. La se-gunda, la dividimos en 6 y pintamos 3 de ellas.

Si nos fijamos en la parte coloreada, claramente podemos apreciar que 1/3 y 3/6 no son fracciones equivalentes porque no representan la misma cantidad.

Se lee: ‟un medio es equivalente a dos cuartos”

Ejercicio 1

Observe las gráficas y determine si representan fracciones equivalentes o no equivalentes. Escriba el símbolo

≡

ó según corresponda. Tiene un ejemplo.

0) 1) 2)

3 ₄

6 ₈

₃

1

2 ₆

2 ₃

3 ₆

1

2

≡

24

Se lee: ‟un tercio no es equivalente a tres sextos” 1 3 36 En algunos libros se utiliza el signo = (igual) en lugar del signo ≡ (equivalente a).

(46)

1.1 Productos cruzados

Un procedimiento para comprobar la equivalencia

Un procedimiento más práctico para establecer si dos fracciones son equi-valentes, es obtener productos cruzados. Veamos con un ejemplo cómo se hace.

¿ 25 es equivalente a 10 ?4

• Multiplicamos los numeradores y los denominadores en forma cruzada: El numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y

el denominador de la primera por el numerador de la segunda fracción.

2

5

10

4 5 x 4 = 20

2 x 10 = 20

Si el resultado de ambos productos es igual, las fracciones son equiva-lentes.

2

5 ≡

10

4

¡Otro ejemplo!

¿ 34 es equivalente a 12 ?9

• Multiplicamos los numeradores y los denominadores en forma cruzada.

3

4

12

9 4 x 9 = 36

3 x 12 = 36

El resultado de ambos productos es igual, por lo tanto las fracciones son equivalentes.

3

4 ≡

12

9 Ejercicio 2

Utilice el procedimiento de productos cruzados para determinar si las siguientes parejas de fracciones son equivalentes o no son equivalentes. Tiene un ejemplo.

fracciones procedimiento ¿ ó ?

0)

2 ₃

y

1 ₉

2 x 9 = 18

_{3 x 1 = 3}

2 ₃

1 ₉

1)

10 ₂₀

y

1 ₂

10 x 2 =

_{20 x 1 =}

2)

3 ₈

y

8 ₃

3 x 3 =

_{8 x 8 =}

3)

₁₁

5

y

20 ₄₄

_{11 x 20 =}

5 x 44 =

(47)

1.2 Amplificación de fracciones

Amplificar significa aumentar, extender, hacer más grande. Amplificar una fracción es convertirla en otra fracción con números de mayor valor.

Amplificar una fracción consiste en multiplicar el numerador y el denomi-nador por el mismo número, de manera que resulte una fracción equivalente,

pero con números de mayor valor.

Normalmente, si nos piden amplificar una fracción, nos indican el número por el cual debemos hacerlo: el doble (multiplicar la fracción por 2), el triple (mul-tiplicar la fracción por 3) etc.

Ejemplo:

Amplifiquemos al doble la fracción 34 . Multiplicamos el numerador y el deno-minador de la fracción por 2:

3 x

2 4 x

2

=

6

8

4 ≡

12

3 Ejercicio 3

Amplifique al doble y al triple las fracciones dadas. Tiene un ejemplo.

Amplificar por 2 Amplificar por 3

1)

3 ₈

(48)

Para calcular el MCD, se multiplican solo los factores que se repiten con el menor exponente. Puede repasar el tema en la semana 11.

1.3 Simplificación de fracciones

Lo contrario de amplificar es simplificar. Simplificar significa acortar, reducir, hacer más simple. Así que cuando simplificamos una fracción la transformamos en una fracción de números de menor valor.

Simplificar una fracción consiste en dividir el numerador y el denomina-dor entre el MCD de ambos.

Veamos cómo se simplifica con un ejemplo. Simplificar la fracción 12₁₈

• Calculamos el MCD del numerador y del denominador.

12 2 6 2 3 3 1 18 2 9 3 3 3 1 12 = 22_{x 3} _{18 = 2 x 3}2

• Dividimos numerador y denominador de la fracción entre el MCD.

12 ÷

6 18 ÷

6 =

2

3

12

18 ≡

2

3 Ejercicio 4

Simplifique la fracción 21_{48 . Recuerde que primero debe calcular el MCD.} • MCD de 21 y 48:

21 = 48 =

• Divida el numerador y el denominador de la fracción entre el MCD.

21 ÷

48 ÷

=

21

48 ≡

MCD (12 y 18) = 2 x 3 = 6 21 3 48 2 24 2 12 2 MCD (21 y 48) =

(49)

1. Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma fracción con números distintos. Para expresar esta relación se utilizan los signos:

≡

_{‟equivalente a” y ‟no es equivalente a”.}

1.1 Productos cruzados

Una forma práctica de establecer si dos fracciones son equivalentes es obtener productos cruzados. Para hacerlo:

• Multiplicamos numeradores y denominadores en forma cruzada.

• Si el resultado de ambos productos es igual, las frac-ciones son equivalentes.

1.2 Amplificación de fracciones

Amplificar una fracción consiste en multiplicar el nu-merador y el denominador por el mismo número, de manera que nos resulte una fracción equivalente, pero con números de mayor valor.

1.3 Simplificación de fracciones

Simplificar una fracción consiste en transformarla en otra fracción equivalente, pero de números de menor valor. Para simplificar una fracción, se divide el numerador y el denomi-nador entre el MCD de ambos. Por ejemplo.

Simplificar 15₄₅ • Calculamos el MCD de 15 y 45: 15 3 5 5 1 45 3 15 3 5 5 1 15 = 3 x 5 45 = 32_{x 5}

• Dividimos numerador y denominador de la fracción entre el MCD.

3

4

6

8 4 x 6 = 24

3 x 8 = 24

3

4 ≡

6

8 15 ÷

15 45 ÷

15 = 1

3

15 ₄₅

≡

1 ₃

1 x

3 4 x

3 = 3

12

1

4 ≡

3

12

MCD (15 y 45) = 3 x 5 = 15

Resumen

(50)

Actividad 1.

Demuestre lo aprendido

Defina con sus palabras los siguientes conceptos. Fracciones equivalentes:

Fracción amplificada:

Fracción simplificada:

Actividad 2.

Practique lo aprendido

A. Compruebe si las fracciones son equivalentes. Utilice el método de productos cruzados. Tiene un

ejemplo. fracciones procedimiento ¿ ó ? 0)

5 ₇

y

20 ₂₈

5 x 28 = 140

5 ₃

B. Amplifique al doble y al triple las fracciones dadas. Tiene un ejemplo.

Amplificar por 2 Amplificar por 3

1)

1 ₂

2)

12 ₁₅

(51)

≡

27)

18 ₄₈

≡

4 ÷ 2

6 ÷ 2

=

2

3

4

6 ≡

2

3

2. Divida numerador y denominador de la fracción entre el MCD.

(52)

B. Encuentre el término desconocido para que las fracciones sean equivalentes. ¿Cómo? Dividiendo el término conocido, numerador o denominador, de la segunda fracción entre el numerador o denominador de la primera fracción. Así sabrá por qué número se ha amplificado. Tiene un ejemplo. 0)

15 ₁₂

≡

30

_{? 3)}

14

_?

≡

28 ₁₆

30 ÷ 15 = 2

2 x 12 = 24

15 ₁₂

30 ₂₄

1)

2 ₃

≡

₆

? 4)

₈

?

≡

24 ₆₄

2)

5

2 ≡

10

? 5)

5

?

≡

35

56

0) x 2 x 3

6

5

12

10

36

30

2) x 5 x 3

3

5

1) x 2 x 2

8

9

3) x 2 x 3

4

3 Actividad 3.

Desarrolle nuevas habilidades

A. Amplificar una fracción consiste en multiplicar numerador y denominador por el mismo número.

Si la fracción amplificada se multiplica de nuevo, el resultado será una fracción equivalente a la primera y a la segunda. Amplifique las fracciones por el número que indica la flecha. Observe el ejemplo.

(53)

A. Resuelva las multiplicaciones de números enteros. Tome en cuenta la ley de signos. Tiene un ejemplo. 0) 3 x 0 = 10) 2 x (–8) = 20) (–8) x 9 = 1) 7 x 3 = 11) 4 x (–9) = 21) (–3) x 2 = 2) 8 x 5 = 12) 9 x (–1) = 22) (–2) x 4 = 3) 11 x 1 = 13) 3 x (–4) = 23) (–4) x 6 = 4) 8 x 7 = 14) 1 x (–5) = 24) (–5) x 8 = 5) 11 x 2 = 15) 6 x (–9) = 25) (–6) x 10 = 6) 5 x 3 = 16) 8 x (–2) = 26) (–9) x 1 = 7) 5 x 7 = 17) 9 x (–1) = 27) (–1) x 3 = 8) 6 x 8 = 18) 5 x (–7) = 28) (–7) x 5 = 9) 21 x 1 = 19) 3 x (–3) = 29) (–7) x 0 =

B. La conversión de números mixtos a fracciones impropias y viceversa puede hacerse men-talmente. Realice las siguientes conversiones de números mixtos en fracciones impropias. Intente hacerlo en menos de 5 minutos. ¡Anímese!

0)

9

3 8 =

2₉ = 20)

9

2₄ =

0

(54)

Resuelva los problemas en su cuaderno. Pida a su orientador voluntario que revise los procedimien-tos. Escriba siempre la respuesta a los problemas.

1) En una bodega hay cinco sacos de cemento, cuatro están llenos y el último tiene una octava parte de cemento. Represente con un número mixto y con una fracción impropia cuánto cemento hay en la bodega.

2) Pedro y Manuela reciben el mismo sueldo y desean colaborar con el gasto familiar. Pedro aporta 5/8 de su sueldo y Manuela 3/8.

a. Represente gráficamente el aporte de cada uno. b. ¿Cuál de los dos hermanos aporta más?

3) María debe tomar la mitad de una pastilla (1/2) tres veces al día. Por error partió las pastillas en cuartos (1/4).

a. ¿Cuántos cuartos de pastilla debe tomar para ingerir la dosis adecuada? Grafique su respuesta.

b. ¿Cuántos cuartos de pastilla tomará en total en un día?

4) La receta de un pastel dice que hay que agregar 8/12 de taza de esencia de almendra. Simplifique esta cantidad.

5) En la vuelta ciclística a Guatemala 7/12 de los competidores eran guatemaltecos, 1/12 colombianos y 4/12 de diferentes países. Represente gráficamente y compare las frac-ciones. ¿Qué país tenía la mayor cantidad de participantes?

6) En un estadio, seis novenas partes de los aficionados apoyan al equipo A y cuatro doceavas partes apoyan al equipo B.

a. Simplifique las fracciones de los aficionados de cada equipo.

b. Represente gráficamente y compare: ¿Qué equipo tiene más aficionados? 7) Una mezcla de cereales está compuesta por 3/4 de trigo, 5/12 de arroz y 1/6 de avena.

a. ¿Qué cereal está presente en mayor cantidad en la mezcla? b. ¿Qué cereal está presente en menor cantidad en la mezcla?

Le damos una pista: para poder comparar la cantidad de cereal debe convertir 3/4 y 1/6 en fracciones equivalentes con denominador 12.

(55)

Notas:

... _{Practico y aplico los signos}

_≡

_{(equivalente) y (no equivalente).}

Defino e identifico fracciones equivalentes. Amplifico y simplifico fracciones.

Resuelvo con agilidad multiplicaciones de números enteros y convierto mentalmente fracciones impropias a números mixtos.

Desarrollo el razonamiento lógico resolviendo problemas matemáticos.

(56)

21 Suma y resta de

fracciones

(57)

Los logros que conseguirá esta semana

son:

 Aprender y practicar sumas y restas de fracciones de igual denominador.

 Comparar fracciones de diferente denominador.

 Aprender y practicar sumas y restas de fracciones de diferente denominador.

 Practicar el cálculo mental con multiplicaciones y divi-siones de números enteros.

 Desarrollar su razonamiento lógico resolviendo proble-mas matemáticos con suproble-mas y restas de fracciones. 

¿Qué encontrará esta semana?

• Un paseo por la semana 10 ¡Para comenzar!

• Suma y resta de fracciones de igual denominador

• Comparación de fracciones de diferente denominador

• Suma y resta de fracciones de diferente denominador

Razonamiento lógico • Problemas matemáticos que se resuelven _{con suma y resta de fracciones} Agilidad de cálculo mental • Multiplicación y división de números