Cálculo Diferencial

(1)

C ´

ALCULO DIFERENCIAL

V´ıctor Manuel S´

anchez de los Reyes

(2)

(3)

´

_Indice

1. Conceptos topol´ogicos y m´etricos 5

1.1. M´etricas, normas y productos escalares . . . 5

1.2. Conceptos topol´ogicos . . . 9

1.2.1. Conjuntos abiertos . . . 9

1.2.2. Interior de un conjunto . . . 10

1.2.3. Conjuntos cerrados . . . 10

1.2.4. Puntos de acumulaci´on de un conjunto . . . 11

1.2.5. Adherencia de un conjunto . . . 12

1.2.6. Frontera de un conjunto . . . 12

1.3. Sucesiones y completitud . . . 15

1.4. Compacidad . . . 18

1.5. Conexi´on . . . 22

1.6. L´ımites, continuidad y continuidad uniforme . . . 24

2. C´alculo diferencial en _Rn ₃₅ 2.1. Funciones diferenciables . . . 35

2.2. Derivadas de orden superior y teorema de Taylor . . . 42

2.3. Extremos locales . . . 46

2.4. Teorema de la funci´on inversa . . . 48

(4)

2.6. Extremos condicionados . . . 53

Ap´endice. Funciones convexas 57

(5)

Tema 1

Conceptos topol´

ogicos y m´

etricos

1.1. M´

etricas, normas y productos escalares

Definición 1.1.1. Un espacio métrico (E, d) está formado por un conjunto E y una función d:E×E −→_R, llamada métrica, que cumplen las siguientes propiedades:

1. (positividad) d(x, y)≥0 para todo x, y ∈E. 2. (no degeneraci´on) d(x, y) = 0 si y solo si x=y. 3. (simetr´ıa) d(x, y) =d(y, x) para todo x, y ∈E.

4. (desigualdad triangular) d(x, y)≤d(x, z) +d(z, y) para todo x, y, z∈E. Ejemplo 1.1.2. (_Rn, d) siendo d la m´etrica usual dada por

d(x, y) =

n

X

i=1

(xi−yi)2

!1/2

donde x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn), es un espacio m´etrico (la ´unica propiedad no

trivial es la desigualdad triangular, la cual se obtendr´a m´as adelante).

Ejemplo 1.1.3 (M´etrica discreta). Si E es cualquier conjunto y

d(x, y) =

0 si x=y

1 si x6=y

entonces d es una m´etrica sobre E.

(6)

Definición 1.1.5. Unespacio normado(E,k·k)está formado por un espacio vectorial real E y una función k · k : E −→ _R, llamada norma, que cumplen las siguientes propiedades:

1. (positividad) kxk ≥0 para todo x∈E. 2. (no degeneraci´on) kxk= 0 si y solo si x= 0.

3. (multiplicidad) kλxk=|λ|kxk para todo x∈E y λ∈_R.

4. (desigualdad triangular) kx+yk ≤ kxk+kyk para todo x, y ∈E. Ejemplo 1.1.6. (_Rn_,_{k · k}₎ _siendo _{k · k} _{la norma usual dada por}

kxk=

n

X

i=1

x2_i

!1/2

donde x = (x1, . . . , xn), es un espacio normado (la ´unica propiedad no trivial es la

de-sigualdad triangular, la cual se obtendr´a m´as adelante).

Ejemplo 1.1.7. (_R2_,_{k · k}

1) es un espacio normado con k(x, y)k1 =|x|+|y|. Ejemplo 1.1.8 (Norma del supremo). Sea el espacio vectorial

E ={f : [0,1]−→_R:f est´a acotada}.

Para cada f ∈ E, {|f(x)| : x ∈ [0,1]} es un subconjunto acotado de _R, con lo que tiene supremo finito y, por tanto, kfk∞ = sup{|f(x)| : x ∈ [0,1]} define una funci´on

k · k∞ :E −→R, la cual constituye una norma sobre E.

Proposición 1.1.9. Si (E,k · k) es un espacio normado yd :E×E −→_R está definida por d(x, y) = kx−yk, entonces d es una métrica sobre E.

Demostraci´on. Todas las propiedades son inmediatas salvo, quiz´as, la desigualdad trian-gular:

d(x, y) = kx−yk=kx−z+z−yk ≤ kx−zk+kz−yk=d(x, z) +d(z, y) para todo x, y, z ∈E.

(7)

Definición 1.1.11. Un espacio con producto escalar (E,h·,·i) está formado por un espacio vectorial real E y una función h·,·i:E ×E −→_R, llamada producto escalar, que cumplen las siguientes propiedades:

1. (positividad) hx, xi ≥0 para todo x∈E.

2. (no degeneraci´on) hx, xi= 0 si y solo si x= 0.

3. (multiplicatividad) hλx, yi=λhx, yi para todox, y ∈E yλ ∈_R.

4. (distributividad) hx, y+zi=hx, yi+hx, zi para todo x, y, z ∈E.

5. (simetr´ıa) hx, yi=hy, xi para todox, y ∈E.

Ejemplo 1.1.12. (_Rn_,_h·_,_·i₎ _siendo _h·_,_·i _{el producto escalar usual dado por}

hx, yi=

n

X

i=1

xiyi

donde x= (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn), es un espacio con producto escalar.

Ejemplo 1.1.13. Sea el espacio vectorial C([0,1]) = {f : [0,1] −→ _R : f es continua}. La funci´onh·,·i:C([0,1])×C([0,1]) −→_Rdefinida porhf, gi=R₀1f(x)g(x)dxconstituye un producto escalar sobre C([0,1]).

Algunos resultados de demostraci´on inmediata se recogen en la siguiente proposici´on.

Proposici´on 1.1.14. Si (E,h·,·i) es un espacio con producto escalar, entonces:

1. hλx+µy, zi=λhx, zi+µhy, zi para todo x, y, z ∈E y λ, µ∈_R.

2. hz, λx+µyi=λhz, xi+µhz, yi para todo x, y, z ∈E y λ, µ∈_R.

3. hx, λyi=λhx, yi para todo x, y ∈E y λ∈_R.

4. h0, xi=hx,0i= 0 para todo x∈E.

Proposici´on 1.1.15 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Si (E,h·,·i) es un espacio con producto escalar, entonces

|hx, yi| ≤phx, xiphy, yi

(8)

Demostraci´on. Si x = 0 o y = 0, entonces hx, yi = 0 y, por tanto, la desigualdad (de hecho, la igualdad) se cumple. As´ı pues, podemos suponer que x, y 6= 0 y, entonces,

hx, xi,hy, yi>0. Para todo λ∈_R se tiene que

0≤ hλx+y, λx+yi=λ2hx, xi+ 2λhx, yi+hy, yi.

Si definimos hx, xi = a, 2hx, yi = b y hy, yi = c, la desigualdad anterior se convierte en

aλ2₊_bλ₊_c_≥_{0. Si}_λ₌₋ b

2a, obtenemosb

2 _≤₄_ac_{, es decir,}_h_{x, y}_i2 _{≤ h}_{x, x}_ih_{y, y}_i_{. Tomando} ra´ıces cuadradas se obtiene la desigualdad deseada.

Observaci´on 1.1.16. La desigualdad de Cauchy-Schwarz es una igualdad si y solo si x

e y son linealmente dependientes.

Proposici´on 1.1.17. Si (E,h·,·i) es un espacio con producto escalar y k · k : E −→ _R

est´a definida por kxk=phx, xi, entonces k · k es una norma sobre E.

Demostraci´on. Todas las propiedades son inmediatas salvo la desigualdad triangular:

kx+yk2 =hx+y, x+yi=kxk2+ 2hx, yi+kyk2 ≤ kxk2+ 2kxkkyk+kyk2 = (kxk+kyk)2 donde la desigualdad es consecuencia de la de Cauchy-Schwarz.

Observación 1.1.18. De las Proposiciones 1.1.9 y 1.1.17 se obtiene que la norma y la métrica usuales son, efectivamente, una norma y una métrica sobre _Rn.

Ejercicios

1. Sea (E, d) un espacio m´etrico. Prueba que las siguientes funcionesD:E×E −→_R

son tambi´en m´etricas sobre E:

a) (M´etrica acotada)D(x, y) = ₁₊d(_dx,y₍_x,y)₎. b) D(x, y) = ´ınf{1, d(x, y)}.

2. Sea f : _R −→ _R estrictamente creciente. Prueba que la funci´on D : _R×_R −→ _R

definida por D(x, y) = |f(x)−f(y)| es una m´etrica sobre _R.

3. SeanEel conjunto de las sucesiones de n´umeros reales y

∞ P

n=1

anuna serie convergente

de t´erminos positivos. Prueba que la funci´on d:E×E −→_R definida por

d(x, y) =

∞ X

n=1

an

|yn−xn|

1 +|yn−xn|

(9)

4. Sean (E,k · k) un espacio normado y T : E −→ E una aplicaci´on lineal inyectiva. Prueba que la funci´on k · kT :E −→ R definida por kxkT =kT(x)k es otra norma

sobreE.

5. Demuestra que la norma del supremo en C([0,1]) no es la definida por el producto escalar del Ejemplo 1.1.13.

6. Sea (E,h·,·i) un espacio con producto escalar. Prueba que para todo x, y ∈ E se verifican:

a) (Ley del paralelogramo) 2kxk2_{+ 2}_k_y_k2 ₌_k_x₊_y_k2 ₊_k_x₋_y_k2_. b) kx+ykkx−yk ≤ kxk2₊_k_y_k2_.

c) 4hx, yi=kx+yk2_{− k}_x₋_y_k2_.

7. En el espacio normado (C([0,1]),k · k∞), prueba que la ley del paralelogramo no es

v´alida y deduce que esta norma no proviene de ning´un producto escalar.

1.2. Conceptos topol´

ogicos

1.2.1. Conjuntos abiertos

Definici´on 1.2.1. Sea (E, d) un espacio m´etrico. Para cada x∈E y >0, el conjunto

B(x, ) = {y∈E :d(x, y)< }

se denominabola abierta de centro x y radio . Un conjunto A⊂E es abierto si para cada x∈A existe >0 tal que B(x, )⊂A. An´alogamente, el conjunto

B(x, ) = {y∈E :d(x, y)≤}

se denomina bola cerrada de centro x y radio.

Ejemplo 1.2.2. El conjunto vac´ıo ∅ y el conjunto total E son abiertos.

Ejemplo 1.2.3. El intervalo (0,1) es abierto en _R pero no en _R2_.

Ejemplo 1.2.4. La bola cerrada de centro 0 y radio 1 (bola unidad cerrada) no es abierta en _R2.

Proposici´on 1.2.5. En un espacio m´etrico (E, d), toda bola abierta es abierta.

Demostraci´on. SeanB(x, ) una bola abierta de centroxy radioey∈B(x, ). Tomando

0 =−d(x, y)>0, se tiene que B(y, 0)⊂B(x, ). En efecto, si z ∈B(y, 0), entonces

d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z)< d(x, y) +0 =

(10)

Proposición 1.2.6. En un espacio métrico (E, d), tanto la intersección de un número finito de abiertos como la unión de una colección arbitraria de abiertos son abiertas.

Demostración. El caso de la intersección de un número finito de abiertos se puede reducir, por inducción, a la intersección no vac´ıa de dos abiertos. SeanAyB abiertos yx∈A∩B. Existen 1, 2 >0 tales queB(x, 1)⊂A y B(x, 2)⊂B. Basta tomar 3 = m´ın(1, 2) ya que B(x, 3)⊂A∩B.

En cuanto a la unión de una colección arbitraria de abiertos, todo elemento de la unión pertenece a uno de los abiertos, con lo que existe una bola abierta centrada en él y contenida en dicho abierto y, por tanto, en la unión de todos ellos.

Observación 1.2.7. La intersección de una colección arbitraria de abiertos no tiene por qué ser abierta. Basta considerar, por ejemplo, en _Rla colección de intervalos(−, ) con

>0.

Observación 1.2.8. A un conjunto con una colección dada de subconjuntos (llamados, por definición, abiertos) que cumplan las condiciones de la Proposición 1.2.6 y que con-tenga al conjunto vac´ıo y al total, se le denomina espacio topológico.

1.2.2. Interior de un conjunto

Definici´on 1.2.9. Sean (E, d)un espacio m´etrico yA⊂E. Un punto x∈A esinterior

a A si existe un abierto U tal que x∈U ⊂A. El interior de A es la colecci´on de todos los puntos interiores a A y se denota por int(A).

Observaci´on 1.2.10. La condici´on para que x∈int(A) es equivalente a que exista >0 tal que B(x, )⊂A.

Observaci´on 1.2.11. El interior de un conjunto puede ser vac´ıo. Por ejemplo, el interior de un ´unico punto en _Rn_.

Observaci´on 1.2.12. El interior de un conjunto es la uni´on de todos sus subconjuntos abiertos, con lo que es el mayor subconjunto abierto de dicho conjunto.

Observaci´on 1.2.13. Un conjunto es abierto si y solo si coincide con su interior.

Observaci´on 1.2.14. Si A⊂B, entonces int(A)⊂int(B).

1.2.3. Conjuntos cerrados

(11)

Ejemplo 1.2.16. El conjunto vac´ıo ∅ y el conjunto total E son cerrados.

Ejemplo 1.2.17. Un punto en _Rn _{es un conjunto cerrado.}

Ejemplo 1.2.18. El intervalo (0,1] no es ni abierto ni cerrado en _R.

Proposici´on 1.2.19. En un espacio m´etrico (E, d), toda bola cerrada es cerrada.

Demostraci´on. Sean B(x, ) una bola cerrada de centro x y radio e y ∈ E \B(x, ). Tomando 0< 0 < d(x, y)−, se tiene queB(y, 0)⊂E\B(x, ). En efecto, siz ∈B(y, 0), entonces

d(x, z)≥d(x, y)−d(z, y)> d(x, y)−0 >

es decir,z ∈E\B(x, ).

De la Proposición 1.2.6 se obtiene fácilmente el siguiente resultado análogo para con-juntos cerrados:

Proposición 1.2.20. En un espacio métrico (E, d), tanto la unión de un número finito de cerrados como la intersección de una colección arbitraria de cerrados son cerradas.

Observación 1.2.21. La unión de una colección arbitraria de cerrados no tiene por qué ser cerrada. Basta considerar, por ejemplo, en_Rla colección de puntos del intervalo(0,1).

1.2.4. Puntos de acumulaci´

on de un conjunto

Definición 1.2.22. Un punto x en un espacio métrico (E, d) es un punto de acumu-lación de un conjuntoA⊂E siA∩(U\ {x})6=∅ para todo abierto U que contiene a x. El conjunto de puntos de acumulación de A se denota por A0.

Observaci´on 1.2.23. La proposici´on 1.2.5 nos permite afirmar que x ∈ A0 si y solo si

A∩(B(x, )\ {x})6=∅ para todo >0.

Ejemplo 1.2.24. Un conjunto en _R formado por un ´unico punto no tiene puntos de acumulaci´on.

Ejemplo 1.2.25. Los puntos del intervalo [0,1] son los puntos de acumulación de(0,1). Observación 1.2.26. Un punto de acumulación de un conjunto no tiene por qué perte-necer a él.

(12)

Demostraci´on. Supongamos en primer lugar que A es cerrado. As´ı, para todo x∈E\A

existe >0 tal que B(x, )⊂E\A, es decir, A∩B(x, ) = ∅, con lo que x6∈A0.

Rec´ıprocamente, supongamos queAcontiene a todos sus puntos de acumulaci´on y sea

x∈E\A. Comox6∈A∪A0, existe >0 tal queA∩B(x, ) =∅, es decir,B(x, )⊂E\A. Por tanto, E\A es abierto.

1.2.5. Adherencia de un conjunto

Definición 1.2.28. Sean (E, d)un espacio métrico y A ⊂E. La adherenciade A es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a A y se denota por A.

Observaci´on 1.2.29. La adherencia de un conjunto es el menor conjunto cerrado que lo contiene.

Observaci´on 1.2.30. Un conjunto es cerrado si y solo si coincide con su adherencia.

Observaci´on 1.2.31. Si A⊂B, entoncesA ⊂B.

Proposición 1.2.32. La adherencia de un conjunto está formada por él mismo junto con sus puntos de acumulación.

Demostración. Sean A un subconjunto de un espacio métrico (E, d) y B = A∪A0. Por el Teorema 1.2.27, cualquier conjunto cerrado que contiene a A también debe contener a B. Si B es cerrado, entonces será el menor conjunto cerrado que contiene a A, con lo que B =A. Veamos queB es, en efecto, cerrado usando de nuevo el Teorema 1.2.27. Sea

x ∈ B0. Entonces para cada > 0 se tiene que B∩(B(x, )\ {x})6= ∅. Si y pertenece a dicha intersecci´on, entoncesy∈Aoy ∈A0. En este ´ultimo caso,B(y, −d(x, y)) contiene puntos de A distintos de x. As´ı, x∈A0 con lo quex∈B.

A partir de este resultado es obvia la consecuencia siguiente:

Corolario 1.2.33. Dado un subconjunto A de un espacio m´etrico (E, d) se tiene que

x∈A si y solo si A∩B(x, )6=∅ para todo >0.

Definici´on 1.2.34. Dados dos subconjuntos A y B de un espacio m´etrico (E, d) con

A ⊂B, se dice que A es denso en B siB ⊂A.

Ejemplo 1.2.35. _Q es denso en _R.

1.2.6. Frontera de un conjunto

(13)

Observaci´on 1.2.37. La frontera de un conjunto es cerrada.

Observaci´on 1.2.38. ∂(A) = ∂(E\A). Observaci´on 1.2.39. ∂(A) = A\int(A).

El Corolario 1.2.33 implica que la frontera de un conjunto tiene tambi´en la siguiente descripci´on:

Proposici´on 1.2.40. Dado un subconjunto A de un espacio m´etrico (E, d), se tiene que

x∈∂(A) si y solo si para todo >0, B(x, ) contiene puntos de A y de E\A.

Ejercicios

1. SeanA, B ⊂_Rn _con _A _{abierto y definamos} _A₊_B ₌_{_x₊_y_∈

Rn:x∈A e y∈B}.

Demuestra queA+B es abierto.

2. Demuestra que todo subconjunto de un conjunto arbitrario es abierto con la m´etrica discreta.

3. SeanA ⊂_Rabierto y B ={(x, y)∈_R2 _:_x_∈_A_}_{. Prueba que} _B _{es abierto.} 4. Sea A⊂_Rn _{y definamos} _B ₌_{_x_∈

Rn :d(x, y)<1 para alg´uny ∈A}. Prueba que B es abierto.

5. Prueba la certeza o falsedad de las expresiones siguientes: a) int(A)∪int(B) = int(A∪B).

b) int(A)∩int(B) = int(A∩B). c) A∪B =A∪B.

d) A∩B =A∩B. e) int(A) = int(A). f) int(A) = A. g) ∂(A) = ∂(A).

6. ¿Es cierto en un espacio m´etrico arbitrario que el interior de una bola cerrada es la correspondiente bola abierta?

7. Sean (E, d) un espacio m´etrico y A ⊂ E un subconjunto finito. Prueba que el conjunto B ={x∈E :d(x, y)≤1 para alg´uny ∈A} es cerrado.

(14)

9. ¿Es cierto en un espacio m´etrico arbitrario que los puntos de una bola cerrada son puntos de acumulaci´on de la correspondiente bola abierta?

10. Encuentra los puntos de acumulaci´on de los siguientes subconjuntos de _R2: a) _Z×_Z.

b) _Q×_Q.

c) m_n,_n1:m, n∈_Z, n 6= 0 .

11. Sean (E, d) un espacio m´etrico y A ⊂ E. Demuestra que si x ∈ A0, entonces todo abierto que contenga a x contiene a su vez infinitos puntos de A.

12. Dado A=_n1 + _m1 :n, m∈_N , prueba que A0 =_n1 :n ∈_N ∪ {0}.

13. Dado un subconjunto A de un espacio m´etrico (E, d), prueba que A0 es cerrado. 14. Dado un subconjunto Ade un espacio m´etrico (E, d), prueba que x∈A si y solo si

´ınf{d(x, y) :y∈A}= 0.

15. Dados un subconjunto A de un espacio m´etrico (E, d) y x∈E, se definen

d(x, A) = ´ınf{d(x, y) :y∈A}

y para cada >0,

B(A, ) = {x∈E :d(x, A)< }

y

B(A, ) ={x∈E :d(x, A)≤}.

Prueba que para cada > 0, B(A, ) es abierto, B(A, ) es cerrado y que A es cerrado si y solo si A= T

>0

B(A, ).

16. Dados dos subconjuntos A y B de un espacio m´etrico (E, d), prueba que

∂(A∪B)⊂∂(A)∪∂(B)⊂∂(A∪B)∪A∪B.

17. Determina el interior, los puntos de acumulaci´on, la adherencia y la frontera de los siguientes conjuntos:

a) A= _n1, y∈_R2 _:_n_∈

N,0≤y≤1 .

b) B =

∞ S

n=1

(x, y)∈_R2 _:_k₍_{x, y}₎_k

1 = 1_n . c) C ={(x,0)∈_R2 _:₋₁_{< x <}₁_{} ∪} ₁

n,

1

n

:n ∈_N . d) D={(x, y, z)∈_R3 _{: 0}_{< x <}₁_{, y}2₊_z2 _≤₁_}_.

(15)

1.3. Sucesiones y completitud

Definición 1.3.1. Una sucesión xn en un conjunto E es una función de N en E.

Dada una sucesi´on estrictamente creciente j(n) en _N la sucesi´on yn = xj(n) se llama

subsucesi´on de xn. En un espacio m´etrico (E, d), se dice que xn converge a un punto x∈E y escribimos l´ım

n→∞xn=x, si para todo abierto U que contiene a x existen0 ∈N tal

quexn ∈U para todo n≥n0.

Es obvio que la convergencia de una sucesi´on en un espacio m´etrico se puede caracte-rizar de la forma siguiente:

Proposición 1.3.2. Una sucesión xn en un espacio métrico(E, d) converge ax si y solo si para todo >0 existe n0 ∈N tal que d(xn, x)< para todo n≥n0.

Observación 1.3.3. El l´ımite de una sucesión convergente en un espacio métrico es ´

unico.

Definici´on 1.3.4. Una sucesi´on xn en un espacio normado (E,k · k) converge a x ∈ E

si y solo si para todo >0 existen0 ∈N tal que kxn−xk< para todo n≥n0.

Los dos resultados siguientes se demuestran sin dificultad:

Proposici´on 1.3.5. Seanxn eynsucesiones en un espacio normado(E,k·k)convergentes

a x e y, respectivamente y λn una sucesi´on en R convergente a λ ∈R. Entonces:

1. l´ım

n→∞(xn+yn) =x+y.

2. l´ım

n→∞(λnxn) =λx.

3. Si λn 6= 0 para todo n ∈N y λ6= 0, entonces l´ım n→∞

1

λ nxn

= _λ1x. Proposici´on 1.3.6. Una sucesi´on (x1

k, . . . , xnk) en Rn converge a (x1, . . . , xn)si y solo si xi_k converge a xi para todo i= 1, . . . , n.

Las sucesiones pueden utilizarse para determinar si un conjunto es cerrado, as´ı como para caracterizar la adherencia de un conjunto:

Proposici´on 1.3.7. Sea (E, d) un espacio m´etrico.

1. Un conjunto A ⊂ E es cerrado si y solo si para cada sucesi´on convergente xn

contenida en A, el l´ımite pertenece a A.

2. Dado un conjunto B ⊂ E, x ∈ B si y solo si existe una sucesi´on xn contenida en

(16)

Demostraci´on.

1. En primer lugar, supongamos que A es cerrado y sea xn una sucesi´on contenida en

A y convergente a x. Entonces x∈A0 y, por el Teorema 1.2.27, se tiene que x∈A. Rec´ıprocamente, dado x ∈ A0, para cada n ∈ _N elegimos xn ∈ A∩B x,_n1

. La sucesión xn está contenida en A y converge ax, con lo que, por hipótesis, x∈A y,

de nuevo por el Teorema 1.2.27, se tiene que A es cerrado. 2. El argumento es similar.

La convergencia de una sucesi´on se puede caracterizar en t´erminos de subsucesiones como muestra el resultado siguiente:

Proposici´on 1.3.8.

1. Una sucesión xn en un espacio métrico converge a x si y solo si toda subsucesión

suya converge a x tambi´en.

2. Una sucesión xn en un espacio métrico converge a x si y solo si toda subsucesión

suya tiene a su vez una subsucesi´on convergente a x.

Demostraci´on.

1. Trivial.

2. Si xn no converge a x, existe >0 y una subsucesi´on xj(n) tales que d(xj(n), x)≥ para todo n∈_N.

Abordemos ahora la completitud de un espacio m´etrico.

Definición 1.3.9. En un espacio métrico (E, d), se dice que xn es una sucesión de

Cauchy si para todo >0 existe n0 ∈N tal que d(xn, xm)< para todo n, m ≥ n0. El espacio (E, d) es completo si toda sucesi´on de Cauchy converge a un punto de E. Ejemplo 1.3.10. _R es un espacio m´etrico completo.

Ejemplo 1.3.11. _Q y _R\ {0} no son espacios m´etricos completos.

(17)

Definición 1.3.13. En un espacio normado (E,k · k), se dice que una sucesión xn está

acotada si existe C ∈_R tal que kxnk ≤C para todo n ∈ N. En general, se dice que un

subconjunto A⊂E est´a acotado si existe C∈_R tal que kxk ≤C para todo x∈A.

Definición 1.3.14. En un espacio métrico (E, d), se dice que una sucesión xn está

aco-tada si existen C ∈ _R y x ∈ E tales que d(xn, x) ≤ C para todo n ∈ N. En general, se

dice que un subconjunto A ⊂E est´a acotado si est´a contenido en una bola.

Es f´acil obtener las siguientes propiedades de las sucesiones de Cauchy: Proposici´on 1.3.15.

1. Toda sucesión convergente en un espacio métrico es una sucesión de Cauchy.

2. Una sucesi´on de Cauchy en un espacio m´etrico debe estar acotada.

3. Toda sucesión convergente en un espacio métrico está acotada.

4. Si una subsucesión de una sucesión de Cauchy en un espacio métrico converge a x, entonces la sucesión converge a x.

El que _R sea un espacio métrico completo junto con la Proposición 1.3.6 implica: Teorema 1.3.16. _Rn es un espacio métrico completo.

Ejercicios

1. Calcula, si existen, los l´ımites de las siguientes sucesiones de _R2: a) (−1)n_, 1

n

. b) 1,1_n. c)

cos(nπ)

n ,

sen₍nπ+π

2)

n

. d) _n1, n−n.

2. SeanA, B ⊂_Rn _{cerrados. ¿Debe} _A₊_B _{ser cerrado?}

3. Sean (E, d) un espacio métrico completo y A⊂E un subconjunto cerrado. Prueba que (A, d) es también un espacio métrico completo.

(18)

5. Si (E, d) es un espacio métrico con la propiedad de que toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente, prueba que es completo.

6. Sea (E, d) un espacio m´etrico siendod la m´etrica discreta. ¿Es completo?

7. Seaxn una sucesi´on en Rk tal que d(xn+1, xn)≤r d(xn, xn−1) para ciertor ∈[0,1) y todo n >1. Prueba que xn converge.

8. Seaxnuna sucesi´on en_Rktal quekxn−xmk ≤ 1

n+

1

m para todon, m∈N. Demuestra

que xn converge.

9. SeaE ={a1, a2, . . .} un conjunto numerable. Se define

d(an, am) =

0 sin =m

1

n+

1

m sin 6=m

Comprueba que d es una m´etrica sobre E y estudia si (E, d) es completo.

1.4. Compacidad

En_R toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente. Por tanto, toda suce-sión contenida en un conjunto cerrado y acotado tiene una subsucesión convergente a un punto de dicho conjunto. La generalización de esta propiedad en espacios métricos viene dada por la siguiente definición:

Definici´on 1.4.1. Sea (E, d) un espacio m´etrico. Se dice que un subconjunto A ⊂ E es

secuencialmente compacto si toda sucesi´on en A tiene una subsucesi´on convergente a un punto de A.

Observación 1.4.2. Utilizando la caracterización de los conjuntos cerrados mediante sucesiones se obtiene que todo conjunto secuencialmente compacto A debe ser cerrado. Además, debe estar acotado pues, de lo contrario, existir´ıan un punto x y una sucesión

xn en A tales que d(xn, x) ≥ n para todo n ∈ N, con lo que xn no podr´ıa tener ninguna

subsucesi´on convergente.

Definición 1.4.3. Sean (E, d)un espacio métrico yA⊂E. Un recubrimiento( abier-to) de A es una colección de conjuntos (abiertos) cuya unión contiene a A o recubre A. Un subrecubrimiento (finito) de un recubrimiento dado es una subcolección (finita) cuya unión también recubre A.

Definici´on 1.4.4. Sea (E, d) un espacio m´etrico. Se dice que un subconjunto A ⊂ E

es compacto si todo recubrimiento abierto de A contiene un subrecubrimiento finito. Si

(19)

Observación 1.4.5. Un conjunto compacto Aestá acotado pues dado x∈A, la colección de bolas abiertas {B(x, n) :n ∈_N} forma un recubrimiento abierto de A.

Definici´on 1.4.6. Sea (E, d) un espacio m´etrico. Se dice que un subconjunto A⊂ E es

totalmente acotado si para todo >0 existe un conjunto finito {x1, . . . , xn} en A tal

queA ⊂ Sn

k=1

B(xk, ).

Observaci´on 1.4.7. Un conjunto totalmente acotadoA est´a acotado pues existe un

con-junto finito {x1, . . . , xn} en A tal que A⊂ n

S

k=1

B(xk,1) y

B(xk,1)⊂B(x1,1 +d(xk, x1))⊂B(x1,1 + m´ax{d(x2, x1), . . . , d(xn, x1)}) para todo k∈ {1, . . . , n}.

Teorema 1.4.8 (Bolzano-Weierstrass). Un subconjunto de un espacio m´etrico es com-pacto si y solo si es secuencialmente comcom-pacto.

La demostraci´on de este resultado requiere el establecimiento de dos lemas previos: Lema 1.4.9. Un subconjunto compacto A de un espacio m´etrico (E, d) es cerrado.

Demostraci´on. Veamos que E \A es abierto. Sea x ∈ E \A. La colecci´on de conjuntos abiertosUn =E\B x,_n1

con n∈_NrecubreA, as´ı que debe existir un subrecubrimiento finito. Si n0 es el ´ındice m´aximo de los abiertos del subrecubrimiento, entonces se tiene queBx,_n1

0

⊂E\A.

Lema 1.4.10. Si (E, d) es un espacio m´etrico compacto yA ⊂E es cerrado, entonces A

es compacto.

Demostraci´on. Sea {Ui : i∈ I} un recubrimiento abierto de A. Entonces la colecci´on de

conjuntos{Ui :i∈I}∪(E\A) es un recubrimiento abierto deE, con lo que tiene un

subre-cubrimiento finito, digamos{U1, . . . , Un, E\A}. As´ı,{U1, . . . , Un}es un subrecubrimiento

finito de A.

Demostración del Teorema de Bolzano-Weierstrass. Sea A un subconjunto compacto de un espacio métrico (E, d) y supongamos que existe una sucesión xn en A que no tiene

subsucesiones convergentes. En particular, esto significa que xn tiene infinitos puntos

distintos, digamosyn. Puesto queyntampoco tiene subsucesiones convergentes, para cada n ∈_N existe un abierto Un que contiene a yn y a ningún otro término de la sucesión. El

(20)

As´ı, xn tiene una subsucesi´on convergente cuyo l´ımite est´a en A ya que, en virtud del

Lema 1.4.9, A es cerrado.

Rec´ıprocamente, supongamos que A es secuencialmente compacto y sea {Ui : i ∈ I}

un recubrimiento abierto de A. Existe >0 tal que para todo x∈A existei∈I tal que

B(x, ) ⊂ Ui (en caso contrario, para todo n ∈ N existir´ıa xn ∈ A tal que B xn,1_n

no estar´ıa contenida en ningúnUi. Por hipótesis, xn tendr´ıa una subsucesiónyn convergente

a y ∈ A. Siendo i0 ∈ I y δ > 0 tal que B(y, δ) ⊂ Ui0 y tomando n0 ∈N suficientemente

grande para que d(yn0, y) <

δ

2 y 1

n0 <

δ

2 se tendr´ıa que B

yn0,

1

n0

⊂ Ui0 lo cual es una

contradicci´on). Adem´as, A es totalmente acotado (si no lo fuera, existir´ıa r > 0 tal que

A no se podr´ıa recubrir con un n´umero finito de bolas abiertas de radio r. Tomando

z1 ∈A, z2 ∈A\B(z1, r), . . . , zn∈A\ n−1

[

k=1

B(zk, r)

obtendr´ıamos una sucesi´on zn en A tal que d(zn, zm) ≥ r para todo n, m ∈ N, es decir,

sin ninguna subsucesi´on convergente). Por tanto, existe un conjunto finito {t1, . . . , tn}en A tal que A ⊂

n

S

k=1

B(tk, ). Ya que para cada k existe ik ∈ I tal que B(tk, ) ⊂ Uik, la

colecci´on {Ui1, . . . , Uin}forma un subrecubrimiento finito.

Teorema 1.4.11. Un espacio m´etrico(E, d) es compacto si y solo si es completo y total-mente acotado.

Demostración. Primero, supongamos que E es compacto. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, es secuencialmente compacto. As´ı, toda sucesión de Cauchy tiene una sub-sucesión convergente, luego la sucesión converge y (E, d) es completo. Además, según se probó en la demostración del teorema de Bolzano-Weierstrass, todo conjunto secuencial-mente compacto es totalsecuencial-mente acotado.

Rec´ıprocamente, sup´ongase que E es completo y totalmente acotado. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, basta probar que E es secuencialmente compacto. Sea xn una

sucesi´on en E (podemos suponer que todos los t´erminos son distintos). Si recubrimos

E con un n´umero finito de bolas de radio 1, existe una subsucesi´on de xn totalmente

contenida en una de esas bolas. Ahora, si recubrimos E con un número finito de bolas de radio 1₂, existe una subsucesión de la anterior totalmente contenida en una de ellas y as´ı sucesivamente. La subsucesióndiagonal (el primer elemento de la primera subsucesión, el segundo de la segunda, etc.) es de Cauchy y, por tanto, convergente.

Corolario 1.4.12. Sea(E, d) es un espacio m´etrico completo. Un subconjuntoA es com-pacto si y solo si es cerrado y totalmente acotado.

(21)

Los compactos de _Rn _est´_{an caracterizados por el siguiente teorema:}

Teorema 1.4.13(Heine-Borel). Un subconjunto de _Rn_{es compacto si y solo si es cerrado}

y acotado.

Demostraci´on. Ya hemos probado que los conjuntos compactos son cerrados y acotados. Rec´ıprocamente, sea A⊂ _Rn _{cerrado y acotado. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass,}

basta probar que A es secuencialmente compacto. Sea xk = (x1k, . . . , xnk) una sucesi´on

en A. Como A está acotado, la sucesión x1_k tiene una subsucesión convergente, digamos

x1_j

1(k). Entoncesx

2

j1(k) tiene una subsucesi´on convergente, digamos x

2

j2(k). Continuando de

esta manera obtenemos la subsucesi´on convergente xjn(k) cuyo l´ımite est´a en A por ser

cerrado.

El resultado siguiente se obtiene como una consecuencia importante del teorema de Bolzano-Weierstrass:

Teorema 1.4.14 (Propiedad de los conjuntos encajados). Sea An una sucesi´on de

sub-conjuntos compactos no vac´ıos de un espacio m´etrico (E, d) tales que An+1 ⊂ An para

todo n∈_N. Entonces

∞ T

n=1

An6=∅.

Demostración. Elijamos xn ∈An para cada n∈N. La sucesión xn tiene una subsucesión

convergente por estar contenida en el conjunto compactoA1. El punto l´ımite est´a en todos los conjuntosAn por ser cerrados.

Ejercicios

1. Encuentra un ejemplo de un conjunto cerrado y acotado que no sea compacto. 2. Sean (E, d) un espacio m´etrico yA⊂E. Una colecci´on de conjuntos cerrados tiene la

propiedad de intersección finita paraA si la intersección de cualquier cantidad finita de ellos con A es no vac´ıa. Demuestra que A es compacto si y solo si toda colección de conjuntos cerrados con la propiedad de intersección finita paraA tiene intersección no vac´ıa con A.

3. ¿Es cierta la propiedad de los conjuntos encajados si estos no son compactos? 4. Prueba que A={x∈_Rn_:_k_x_{k ≤}₁_} _{es compacto.}

5. Demuestra, utilizando la definici´on, que no son compactos los siguientes conjuntos: a) _R.

(22)

c) La bola abierta en _Rn _{de centro 0 y radio} _r_.

6. SeanA, B ⊂_Rn _{compactos. ¿Debe} _A₊_B _{ser compacto?}

7. Estudia la compacidad de los conjuntos siguientes: a) {(x, y, z)∈_R3 _:_x2₊_y2 _≤₁_,₀_≤_z _≤₂_}_. b) {(x, y)∈_R2 _:_x2₊_y2 _≤₁_{} ∪}

−1 + 3

n,0

:n∈_N . c) t,senπ_t: 0< t≤1 .

8. Sean A ⊂ _Rn _{cerrado no vac´ıo y} _x _6∈ _A_{. Demuestra que existe} _y _∈ _A _{tal que} d(x, y) = d(x, A).

1.5. Conexi´

on

Definición 1.5.1. Sea (E, d) un espacio métrico. Una aplicación ϕ : [a, b] −→ E es

continua si l´ım

n→∞ϕ(tn) =ϕ(t) para toda sucesi´on tn en [a, b] convergente a t ∈[a, b]. Un

arco continuo que une dos puntos x, y ∈ E es una aplicaci´on continua ϕ: [a, b]−→ E

tal que ϕ(a) =x y ϕ(b) =y. Un arco ϕ est´a contenido en un conjunto A si se verifica que ϕ(t) ∈ A para todo t ∈ [a, b]. Finalmente, decimos que un conjunto es conexo por arcos si cualesquiera dos puntos del conjunto se pueden unir mediante un arco continuo contenido en el conjunto.

Ejemplo 1.5.2. El intervalo [0,1] es conexo por arcos, pues dados x, y ∈ [0,1] basta tomar el arco continuo contenido en[0,1]ϕ: [0,1]−→_Rdefinido porϕ(t) = (y−x)t+x. Definici´on 1.5.3. Sean (E, d) un espacio m´etrico y A ⊂E. Se dice que dos abiertos U

y V separanA si satisfacen las condiciones siguientes:

1. U ∩V ∩A=∅. 2. U ∩A6=∅. 3. V ∩A6=∅. 4. A⊂U ∪V.

Se dice que Aes disconexosi existen tales conjuntos; en caso contrario, se dice queAes

conexo. Finalmente, una componente conexa de A es un subconjunto conexo A0 ⊂A tal que no existe un conjunto conexo en A que contenga a A0 y sea distinto de A0.

(23)

Demostraci´on. Supongamos que [a, b] es disconexo. Entonces existen dos abiertos U y V

que separan [a, b]. Supongamos, además, que b ∈ V. Sea c = sup(U ∩[a, b]), que existe porqueU∩[a, b] es no vac´ıo y está acotado superiormente. El conjuntoU∩[a, b] es cerrado, pues su complementario es V ∪(_R\[a, b]), que es abierto. As´ı, c ∈ U ∩[a, b]. Ahora, se tiene quec6=b, puesc6∈V y b∈V. Ya que ningún intervalo abierto centrado encpuede estar totalmente contenido enU, cualquier intervalo de ese tipo interseca aV ∩[a, b]. Por tanto, c es un punto de acumulación de V ∩[a, b]. Como U ∩[a, b], el conjunto V ∩[a, b] es cerrado y entonces c∈V ∩[a, b], lo cual contradice que U ∩V ∩[a, b] =∅.

Corolario 1.5.5. No existen subconjuntos cerrados disjuntos no vac´ıos A y B de [a, b] cuya uni´on sea [a, b].

Demostraci´on. Si existieran tales subconjuntos, los abiertos U = _R\A y V = _R\ B

separar´ıan [a, b].

La conexi´on por arcos y la conexi´on se relacionan de la siguiente forma: Teorema 1.5.6. Los conjuntos conexos por arcos son conexos.

Demostraci´on. Sea A un conjunto conexo por arcos supuestamente disconexo. Entonces existen dos abiertosU y V que separan A. Sean x ∈U ∩A e y∈ V ∩A. Existe un arco continuo ϕ: [a, b]−→A que une x con y. Sean B =ϕ−1(U) yC =ϕ−1(V). Supongamos que tn es una sucesi´on en B convergente a t. Entonces t ∈ [a, b] y ϕ(tn) converge a

ϕ(t). Se tiene que ϕ(t) ∈ U pues, en caso contrario, ϕ(tn) ∈ V para n suficientemente grande lo que contradice el hecho de que U ∩V ∩ A = ∅. Por tanto, B es cerrado y, análogamente, C también. Además, B y C son no vac´ıos (a ∈ B y b ∈ C), disjuntos (B ∩C=ϕ−1₍_U _∩_V_{) =} _∅_{) y}

B∪C =ϕ−1(U ∪V) =ϕ−1(A) = [a, b].

Obtenemos, pues, una contradicci´on con el Corolario 1.5.5.

Observaci´on 1.5.7. El rec´ıproco del teorema anterior no es cierto, es decir, existen conjuntos conexos que no son conexos por arcos.

Ejercicios

1. Seanϕ: [0,1]−→_R2 _{un arco continuo y} _A ₌_ϕ_([0_,_{1]). Demuestra que} _A_{es conexo} por arcos.

(24)

3. Estudia las componentes conexas de_Z y de _Q∩[0,1]. 4. Prueba que A={x∈_Rn _:_k_x_{k ≤}₁_} _{es conexo.}

5. Sean A ⊂_Rn_, _x _∈_A_, _y _∈

Rn\A y ϕ: [0,1]−→ Rn un arco continuo que une x e y. Prueba que existe t∈[0,1] tal queϕ(t)∈∂(A).

6. Demuestra que un subconjunto de _R es conexo si y solo si es un intervalo. 7. Si A es un subconjunto conexo de_Rn, ¿debe ser _Rn\A conexo?

8. Sean (E, d) un espacio m´etrico y{Ai :i∈I}una colecci´on de subconjuntos conexos

de E tal que Ai∩Aj 6=∅ para cualesquiera i, j ∈I. Prueba que S

i∈I

Ai es conexo.

9. Estudia si son conexos o no los siguientes subconjuntos de _R2_: a)

0,_n1

:n∈_N .

b) {(x, y)∈_R2 _:₋₁_{< x <}₀_{, y} ₆_{= 0}_{} ∪ {}₍_x,_{0) : 0}_≤_{x <}₁_}_. c) (x, y)∈_R2 _{: 1}_<₄_x2_{+ 9}_y2 _<₉_{, x}₆₌ 1

n, n∈N ∪{(x, y)∈R

2 _{: 4}_x2_{+ 9}_y2 _{= 1}_}_.

1.6. L´ımites, continuidad y continuidad uniforme

Definici´on 1.6.1. Sean (E, d) y (F, d0) dos espacios m´etricos, A ⊂ E y f : A −→ F. Supongamos que x0 ∈A0. Se dice que L∈F es el l´ımite de f en x0 y lo denotamos por

l´ım

x→x0

f(x) = L, si dado >0, existe δ > 0 tal que para todo x ∈ A con 0 < d(x, x0) < δ se tiene que d0(f(x), L)< .

Observaci´on 1.6.2. El l´ımite def enx0, si existe, es ´unico. En efecto, supongamos que dicho l´ımite es L y L0 y sea > 0. Existen δ1, δ2 > 0 tales que si 0 < d(x, x0) < δ1, entonces d0(f(x), L) < ₂ y si 0 < d(x, x0) < δ2, entonces d0(f(x), L0) < ₂. Por tanto, si 0 < d(x, x0) < m´ın{δ1, δ2}, entonces d0(L, L0) ≤ d0(L, f(x)) +d0(f(x), L0) < para todo

>0, luego d0(L, L0) = 0 con lo queL=L0.

Definici´on 1.6.3. Sean (E, d) y (F, d0) dos espacios m´etricos, A ⊂ E, f : A −→ F y

x0 ∈A. Se dice que f es continua en x0 si x0 6∈A0 o si l´ım

x→x0

f(x) =f(x0).

Observación 1.6.4. En la definición de l´ımite hay que especificar que x6=x0 pues f no tiene por qué estar definida en x0, pero en la de continuidad puede ser x=x0.

(25)

El resultado siguiente caracteriza la continuidad de una funci´on:

Teorema 1.6.6. Sean (E, d) y (F, d0) dos espacios m´etricos, A ⊂E y f :A −→F. Son equivalentes:

1. f es continua.

2. Para cada sucesi´on xn convergente a x0 en A, se tiene que f(xn) converge a f(x0). 3. Para cada conjunto abierto U ⊂F, f−1₍_U₎ _{es abierto en} ₍_{A, d}_).

4. Para cada conjunto cerrado B ⊂F, f−1(B) es cerrado en (A, d).

Demostraci´on. Es f´acil demostrar que de 1 se obtiene 2.

Veamos que 2 implica 4. Sean un conjunto cerradoB ⊂F y una sucesi´onxnenf−1(B) convergente ax∈A. Por 2, la sucesi´onf(xn) enB converge af(x). Ya que B es cerrado,

f(x)∈B, es decir, x∈f−1₍_B_).

Pasando al complementario, de 4 se obtiene 3.

Finalmente, 3 implica 1. En efecto, sean x0 ∈ A y > 0. Por hip´otesis se tiene que

f−1(B(f(x0), )) es un conjunto abierto en (A, d) y x0 ∈ f−1(B(f(x0), )), luego existe

δ >0 tal queB(x0, δ)∩A⊂f−1(B(f(x0), )), obteni´endose as´ı 1.

Observaci´on 1.6.7. En las condiciones del Teorema 1.6.6, si x0 ∈A0, entonces se tiene que l´ım

x→x0

f(x) = Lsi y solo si l´ım

n→∞f(xn) = Lpara toda sucesi´onxnenA\{x0}convergente

a x0. La prueba del solo si es an´aloga a la de 1 implica 2 del Teorema 1.6.6 y el si se obtiene por reducci´on al absurdo.

A continuaci´on vamos a estudiar el comportamiento de los conjuntos compactos y conexos bajo funciones continuas.

Teorema 1.6.8. Sean (E, d) y (F, d0) dos espacios m´etricos, A⊂ E conexo (conexo por arcos) y f :A−→F continua. Entonces f(A) es conexo (conexo por arcos).

Demostraci´on. Supongamos que f(A) es disconexo. Entonces existen dos abiertos U y

V tales que U ∩V ∩f(A) = ∅, U ∩f(A) 6= ∅, V ∩ f(A) 6= ∅ y f(A) ⊂ U ∪ V. Ya que f−1₍_U_{) =} _U0 _∩ _A _y _f−1₍_V_{) =} _V0 _∩ _A _{para ciertos abiertos} _U0 _y _V0_{, se tiene que}

U0 ∩V0∩A=∅,U0∩A6=∅, V0∩A6=∅ y A⊂U0∪V0, es decir, A es disconexo.

(26)

Teorema 1.6.9. Sean (E, d) y(F, d0) espacios m´etricos, A⊂E compacto y f :A−→F

continua. Entonces f(A) es compacto.

Demostración. Seaynuna sucesión enf(A), es decir,yn=f(xn) para cadan∈N, siendo xn una sucesión en A. Como A es compacto, existe una subsucesión xj(n) convergente a

x ∈ A. Ya que f es continua, yj(n) es una subsucesi´on convergente a f(x)∈ f(A), luego

f(A) es compacto.

Los siguientes resultados nos dicen como se comportan las funciones continuas al operar con ellas.

Teorema 1.6.10. Sean (E, d), (F, d0) y (G, d00) espacios m´etricos y f : A ⊂ E −→ F y

g : B ⊂ F −→ G continuas con f(A) ⊂ B. Entonces la composici´on g ◦f : A −→ G, definida por (g◦f)(x) = g(f(x)), es continua.

Demostraci´on. Sea U ⊂ G abierto. Entonces (g ◦ f)−1₍_U_{) =} _f−1₍_g−1₍_U_{)). Ahora, ya} que g es continua, por el Teorema 1.6.6 g−1(U) = U0 ∩B para cierto abierto U0, luego (g ◦f)−1(U) = f−1(U0 ∩B) = f−1(U0) = U00∩A para cierto abierto U00. As´ı, g◦f es continua.

Proposici´on 1.6.11. Sean (E, d) un espacio m´etrico, (F,k · k) un espacio normado,

A ⊂E y x0 ∈A0.

1. Si f, g:A−→F con l´ım

x→x0

f(x) = L y l´ım

x→x0

g(x) =L0, entonces

l´ım

x→x0

(f +g)(x) =L+L0

estando definida f+g :A−→F por (f +g)(x) = f(x) +g(x). 2. Si f :A−→_R y g :A−→F con l´ım

x→x0

f(x) = L y l´ım

x→x0

g(x) =L0, entonces

l´ım

x→x0

(f ·g)(x) = LL0

estando definida f·g :A−→F por (f·g)(x) =f(x)g(x). 3. Si f : A −→_R y g : A−→ F con l´ım

x→x0

f(x) = L6= 0 y l´ım

x→x0

g(x) = L0, entonces f

es no nula en A∩(B(x0, )\ {x0}) para cierto >0 y

l´ım

x→x0

g f

(x) = L

0

L

estando definida g_f :A∩(B(x0, )\ {x0})−→F por

g f

(27)

Demostraci´on.

1. Sea > 0. Existe δ1 > 0 tal que para todo x ∈ A con 0 < d(x, x0) < δ1 se tiene que kf(x)−Lk < ₂ y existe δ2 > 0 tal que para todox ∈A con 0< d(x, x0)< δ2 se tiene que kg(x)−L0k < ₂. Si x ∈ A con 0 < d(x, x0) < m´ın{δ1, δ2}, entonces, usando la desigualdad triangular, se tiene quek(f +g)(x)−(L+L0)k< .

2. Sea >0. Existe δ1 >0 tal que para todo x∈A con 0< d(x, x0)< δ1 se tiene que

|f(x)−L|<

2(kL0_k_{+ 1)}

y

|f(x)| ≤ |L|+ 1.

Adem´as, existe δ2 >0 tal que para todo x∈A con 0< d(x, x0)< δ2 se tiene que

kg(x)−L0k<

2(|L|+ 1).

Six∈Acon 0< d(x, x0)<m´ın{δ1, δ2}, entonces, usando la desigualdad triangular, se tiene que

k(f ·g)(x)−LL0k = kf(x)g(x)−L0f(x) +L0f(x)−LL0k ≤ |f(x)|kg(x)−L0k+|f(x)−L|kL0k

< (|L|+ 1)

2(|L|+ 1) +

kL0k

2(kL0_k_{+ 1)}

< .

3. Basta considerar el producto degy _f1, ya que l´ım

x→x0

1

f(x) = 1

L. En efecto, consideremos > 0. Existe δ1 > 0 tal que para todo x ∈ A con 0 < d(x, x0) < δ1 se tiene que |f(x)− L| < |L₂|, con lo que |f(x)| > |L₂| y existe δ2 > 0 tal que para todo

x ∈ A con 0 < d(x, x0) < δ2 se tiene que |f(x)−L| < L

2

2 . Para todo x ∈ A con 0< d(x, x0)<m´ın{δ1, δ2} se tiene que

1

f(x)− 1 L =

L−f(x)

Lf(x)

< 2

L2|f(x)−L|< .

Corolario 1.6.12. Sean (E, d)un espacio m´etrico, (F,k · k) un espacio normado, A⊂E

yx0 ∈A∩A0.

1. Si f, g :A −→F son continuas en x0, entonces f+g tambi´en.

(28)

3. Si f :A−→_R y g :A −→F son continuas en x0, con f(x0)6= 0, entonces f es no nula en A∩B(x0, ) para cierto >0 y g_f es continua en x0.

Las funciones continuas con valores reales est´an acotadas sobre conjuntos compactos y alcanzan sus valores m´aximo y m´ınimo en puntos del conjunto:

Teorema 1.6.13. Sean (E, d) un espacio m´etrico, A ⊂ E y f : A −→ _R continua. Si

B ⊂Aes compacto, entoncesf est´a acotada en B, es decir,f(B)es un conjunto acotado. Adem´as, existen x1, x2 ∈B tales que f(x1) = ´ınff(B) (m´ınimo absoluto de f en B) y

f(x2) = supf(B) (m´aximo absoluto de f en B).

Demostraci´on. Por el Teorema 1.6.9 f(B) es compacto, luego cerrado y acotado. Por ser cerrado se tiene que ´ınff(B),supf(B)∈f(B).

Las funciones continuas con valores reales sobre conjuntos conexos alcanzan todos los valores intermedios:

Teorema 1.6.14 (de los valores intermedios). Sean (E, d) un espacio m´etrico, A ⊂ E

y f : A −→ _R continua. Supongamos que B ⊂ A es conexo (conexo por arcos) y que

x, y ∈B. Para cada c∈(f(x), f(y)) existe z ∈B tal que f(z) = c.

Demostraci´on. Supongamos que no existe talz. SeanU = (−∞, c) yV = (c,∞). Comof

es continua, f−1₍_U_{) =} _U0_∩_B _y _f−1₍_V_{) =} _V0_∩_B _{para ciertos abiertos}_U0 _y_V0_{. Entonces,}

U0∩V0∩B =∅, x∈U0∩B 6=∅, y∈V0∩B 6=∅y B ⊂U0∪V0, luego B es disconexo, lo cual es una contradicci´on.

Una variante del concepto de continuidad es la continuidad uniforme:

Definici´on 1.6.15. Sean(E, d)y(F, d0) dos espacios m´etricos, A⊂E yf :A−→F. Se dice que f es uniformemente continua en B ⊂ A si y solo si para cada > 0 existe

δ >0 tal que si x, y ∈B con d(x, y)< δ, entonces d0(f(x), f(y))< .

Observaci´on 1.6.16. Sif es uniformemente continua, entonces es continua. El rec´ıproco no es cierto en general.

Teorema 1.6.17. Sean (E, d) y (F, d0) dos espacios m´etricos, A ⊂ E, f : A −→ F

continua y B ⊂A compacto. Entonces f es uniformemente continua en B.

Demostraci´on. Dado > 0 y x ∈ B, existe δx > 0 tal que si d(x, y) < δx, entonces

d0(f(x), f(y)) <

2. Los abiertos B x,

δx

2

recubren B, luego existe un subrecubrimiento finito, digamos

B

x1,

δx1

2

, . . . , B

xn, δxn

2

(29)

Si x, y ∈ B con d(x, y) <m´ınnδx₁

2 , . . . ,

δxn

2

o

, entonces existe xi tal que d(x, xi) < δ_xi

2 y, por lo tanto,d(xi, y)≤d(x, xi) +d(x, y)< δxi. As´ı,

d0(f(x), f(y))≤d0(f(x), f(xi)) +d0(f(xi), f(y))< .

Ejercicios

1. Sea A⊂_R2 _{compacto. Demuestra que}

B ={x∈_R:∃y∈_R tal que (x, y)∈A}

es compacto.

2. Encuentra una funci´on continua f : _R −→ _R y un compacto (conexo) A ⊂ _R tal quef−1₍_A_{) no sea compacto (conexo).}

3. Dada f : _R2 −→ _R continua, prueba que A = {f(x) : kxk = 1} es un intervalo cerrado y acotado.

4. Da un ejemplo de una funci´on no continua que transforma compactos en compactos. 5. Da un ejemplo de una funci´on no continua que transforma conexos (conexos por

arcos) en conexos (conexos por arcos).

6. Sean (E, d) un espacio m´etrico, A ⊂ E y f : A −→ _Rn _{una funci´}_{on dada por} f(x) = (f1(x), . . . , fn(x)). Demuestra que f es continua si y solo si lo es cada

componentefi, i= 1, . . . , n.

7. Sean (E, d) un espacio m´etrico, A⊂E abierto y f :A −→_Rn _{continua en} _x

0 ∈A, siendof(x0)6= 0. Demuestra que existe >0 tal quef es no nula en B(x0, ). 8. Demuestra que una aplicaci´on lineal L : _Rn _−→

Rm es continua (de hecho, existe C∈_R tal que kL(x)k ≤Ckxk para todo x∈_Rn_).

9. Seanf :_Rn−→_Rm _{continua y} _A_⊂

Rn acotado. Prueba quef(A) est´a acotado.

10. Sean (E, d) un espacio m´etrico,A⊂E conexo yf :A−→_Rcontinua conf(x)6= 0 para todox∈ A. Demuestra que o bien f(x)>0 para todox ∈A o bien f(x)<0 para todox∈A.

11. Encuentra una funci´on continuaf :_Rn −→_Rm _{y un conjunto cerrado}_A_⊂

Rn tales

(30)

12. Sean (E, d) un espacio m´etrico compacto y f : E −→ E una isometr´ıa, es de-cir, d(f(x), f(y)) = d(x, y) para cualesquiera x, y ∈ E. Demuestra que f es una biyecci´on.

13. Sean (E, d) y (F, d0) dos espacios m´etricos,A ⊂E y f :A−→F.

a) Prueba quef es uniformemente continua si y solo si para cada par de sucesiones

xn e yn enA con l´ım

n→∞d(xn, yn) = 0, se tiene que l´ımn→∞d 0

(f(xn), f(yn)) = 0. b) Demuestra que sif es uniformemente continua, entonces transforma sucesiones

de Cauchy en sucesiones de Cauchy.

14. Sean (E, d) un espacio métrico y A ⊂E. Prueba que A es conexo si y solo si toda función continua f : A −→ _R tal que f(A) ⊂ {0,1}, es constante. Obtén como consecuencia que si A es conexo, entonces también lo esA.

15. Da un ejemplo de un conjunto conexo no conexo por arcos. 16. Sean f :_R2 _−→

Rn y (a, b)∈R2.

a) Prueba que si para cada x ∈ _R existe l´ım

y→bf(x, y), para cada y ∈ R existe

l´ım

x→af(x, y) y (x,yl´ım)→(a,b)f(x, y) =L, entonces existen los l´ımites reiterados l´ım

x→al´ımy→bf(x, y)

y

l´ım

y→bxl´ım→af(x, y)

y son iguales a L.

b) Da un ejemplo en el que los l´ımites reiterados existan y sean distintos.

c) Da un ejemplo en el que los l´ımites reiterados existan y sean iguales, pero no exista l´ım

(x,y)→(a,b)f(x, y).

d) Da un ejemplo en el que exista l´ım

(x,y)→(a,b)f(x, y) y no exista alguno de los l´ımites reiterados.

17. Sean A= (0,+∞)×(0,2π]⊂_R2 _y _g _:_A _−→

R2 definida por g(ρ, θ) = (ρcosθ, ρsenθ).

a) Prueba que g es una biyecci´on continua de A sobre B =_R2 \ {(0,0)}tal que

(31)

b) Sean f : B −→ _R y F = f ◦g. Prueba que l´ım (x,y)→(0,0)

f(x, y) = L si y solo si para todo > 0 existeδ > 0 tal que si 0< ρ < δ, entonces |F(ρ, θ)−L| < , cualquiera que sea θ∈(0,2π].

c) Estudia la continuidad en (0,0) de la funci´on

f(x, y) =

y xsen(x

2 ₊_y2_{) si} _x₆_{= 0} 0 si x= 0

18. Sean f, g y F las funciones definidas en el ejercicio anterior y supongamos que

F(ρ, θ) =h(ρ)G(θ) donde h no es id´enticamente nula en los intervalos de la forma (0, r) y l´ım

ρ→0h(ρ) = 0. a) Demuestra que l´ım

(x,y)→(0,0)f(x, y) = 0 si y solo si la función Gestá acotada. b) Estudia la continuidad en (0,0) de la función

f(x, y) =

_x3

x2₋_y2 si x

2₋_y2 ₆_{= 0} 0 si x2₋_y2 _{= 0}

19. Estudia la existencia en (0,0) de l´ımites reiterados, l´ımites direccionales (a lo largo de rectas que pasan por el origen) y l´ımite de las siguientes funciones:

a) f(x, y) =

1 si 0< y < x2

0 siy ≤0 o y≥x2

b) g(x, y) =

(

x3₋_y3

xy si xy6= 0

0 si xy= 0

c) h(x, y) =

xsen 1

x2₊_y2 cos(x

2₊_y2_{) si (}_{x, y}₎₆_{= (0}_,₀₎ 0 si (x, y) = (0,0) 20. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

a) f1(x, y) =

x

4x2₊_y2₋₁ si 4x2+y2 6= 1 y (x, y)6= (0,0)

1 si 4x2₊_y2 _{= 1 o (}_{x, y}_{) = (0}_,₀₎

b) f2(x, y) =

(

x2_y2

x2_y2₊₍_x₋_y₎2 si (x, y)6= (0,0)

1 si (x, y) = (0,0)

c) f3(x, y) =

(

x2_y

x2₊_y2,sen(x+y)

si (x, y)6= (0,0) (0,0) si (x, y) = (0,0) d) f4(x, y) =

(x+y)2cos_x₊1_y si x+y6= 0 0 si x+y= 0

(32)

b) f2(x, y) =x+_xy definida en {(x, y)∈R2 :x6= 0}.

c) f3(x, y) = cos3 _x2₊1_y2 definida en R

2_{\ {}₍₀_,₀₎_}_. d) f4(x, y) = _x2₊1_y2 definida enR

2_\_B₍₍₀_,₀₎_,_1).

22. (Principio de la aplicación contractiva) Sean (E, d) un espacio métrico com-pleto, una funciónf :E −→E y k∈ [0,1) tales que d(f(x), f(y))≤k d(x, y) para cualesquiera x, y ∈ E. Demuestra que existe un único punto fijo de f, es decir, un punto x∗ ∈E tal que f(x∗) = x∗. De hecho, prueba que si x0 es cualquier punto de

E y definimos la sucesi´on

x1 =f(x0), x2 =f(x1), . . . , xn+1 =f(xn), . . .

entonces l´ım

n→∞xn =x ∗_.

23. Si existe, calcula el l´ımite en (0,0) de las siguientes funciones:

a) f1(x, y) =

(

sen(x2₊_y2₎

x2₊_y2 si (x, y)6= (0,0)

1 si (x, y) = (0,0)

b) f2(x, y) =

( _|_x_|₊_|_y_|

√

x2₊_y2 si (x, y)6= (0,0)

0 si (x, y) = (0,0) c) f3(x, y) =

_exy−1

x six6= 0

0 six= 0

d) f4(x, y) =

( _x_|_y_|

√

x2₊_y2 si (x, y)6= (0,0)

0 si (x, y) = (0,0) e) f5(x, y) =

(x+y) sen1_xsen1_y si x6= 0 e y6= 0 0 si x= 0 o y= 0 f) f6(x, y) =

sen(xy)

x si x6= 0

0 si x= 0 g) f7(x, y) =

x2|y|1/2_log(_x2 ₊_y2_{) si (}_{x, y}₎₆_{= (0}_,₀₎ 0 si (x, y) = (0,0)

h) f8(x, y) =

( √

(x2₊₁₎₍_y2₊₁₎₋₁

x2₊_y2 si (x, y)6= (0,0)

1 si (x, y) = (0,0) 24. Sean A={(x, y)∈_R2 _{: 0}_{< x}2₊_y2 _<₁_} _y _f _:_A_−→

Rdefinida por

f(x, y) = xytag (x

2₊_y2₎

x2₊_y2 . a) Prueba que f es continua.

(33)

c) ¿Esf uniformemente continua? 25. Sea la funci´on

f(x, y) =

(

x4_y

x8₊_y2 si (x, y)6= (0,0)

0 si (x, y) = (0,0) a) Estudia si f es continua en (0,0).

b) ¿Es f restringida a A = {(x, y) ∈ _R2 _{: 0} _≤ _y _≤ _x5 _≤ ₁_} _{uniformemente} continua?

(34)

(35)

Tema 2

C´

alculo diferencial en

_R

n

2.1. Funciones diferenciables

Definici´on 2.1.1. Una funci´onf :A⊂_Rn_−→

Rm es diferenciableenx0 ∈A si existe una aplicaci´on lineal Df(x0) :_Rn −→_Rm _llamada _diferencial _de _f _en _x

0 tal que

l´ım

x→x0

kf(x)−f(x0)−Df(x0)(x−x0)k

kx−x0k

= 0.

Se dice que f es diferenciable en A si lo es en cada punto de A.

Teorema 2.1.2. SeanA ⊂_Rn _{abierto y} _f _:_A_−→

Rm diferenciable en x0 ∈A. Entonces

Df(x0) queda determinada de forma ´unica por f.

Demostraci´on. Sean L1 y L2 dos aplicaciones lineales que satisfagan la definici´on de

Df(x0), e ∈ Rn con kek = 1 y x = x0 +λe con λ ∈ R. Como A es abierto, existe

>0 tal que B(x0, )⊂A y, as´ı, x∈A si|λ|< . Entonces,

kL1(e)−L2(e)k =

kL1(λe)−L2(λe)k |λ|

= kL1(x−x0)−L2(x−x0)k

kx−x0k

≤ kf(x)−f(x0)−L1(x−x0)k kx−x0k

+ kf(x)−f(x0)−L2(x−x0)k

kx−x0k

.

Ya que la ´ultima expresi´on tiene l´ımite 0 cuando xtiende ax0, se tiene queL1(e) =L2(e) con lo que, por linealidad,L1 =L2.

(36)

Observaci´on 2.1.4. Examinando la demostraci´on del Teorema 2.1.2 se observa que

Df(x0) es ´unica, si existe, en un rango m´as amplio de conjuntos que los abiertos.

Hay otra forma de derivar una funci´on f : _Rn −→ _Rm_{. Escribimos} _f _en

compo-nentes, f(x1, . . . , xn) = (f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn)) y calculamos las derivadas

parciales ∂fj

∂xi, para j = 1, . . . , m ei= 1, . . . , n, derivando fj con respecto de xi mientras

mantenemos fijas las dem´as variables.

Definici´on 2.1.5. Seaf(x1, . . . , xn) = (f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn)). Entonces ∂fj

∂xi,

para j = 1, . . . , m e i= 1, . . . , n est´a dada por el siguiente l´ımite, cuando existe:

∂fj ∂xi

(x1, . . . , xn) = l´ım h→0

fj(x1, . . . , xi−1, xi+h, xi+1, . . . , xn)−fj(x1, . . . , xn)

h .

Teorema 2.1.6. Sean A ⊂ _Rn _{abierto y} _f _:_A _−→

Rm diferenciable en A. Entonces las

derivadas parciales existen y la matriz de Df(x) con respecto a las bases can´onicas est´a dada por      ∂f1 ∂x1 ∂f1

∂x2 · · ·

∂f1

∂xn

∂f2

∂x1

∂f2

∂x2 · · ·

∂f2 ∂xn .. . ... . .. ... ∂fm ∂x1 ∂fm

∂x2 · · ·

∂fm ∂xn     

llamada matriz jacobiana de f, donde cada derivada parcial se eval´ua en x.

Demostraci´on. El elemento aij de la matriz de Df(x) con respecto a las bases can´onicas

es la i-´esima componente del vector Df(x)(ej) siendo ej el j-´esimo vector de la base

can´onica de _Rn_{. Si} _y₌_x₊_he

j con h∈R, entonces

kf(y)−f(x)−Df(x)(y−x)k

ky−xk =

kf(x1, . . . , xj−1, xj+h, xj+1, . . . , xn)−f(x1, . . . , xn)−hDf(x)(ej)k

|h| .

Ya que la ´ultima expresi´on tiene l´ımite 0 cuando h tiende a 0, se tiene que

l´ım

h→0

|fi(x1, . . . , xj−1, xj +h, xj+1, . . . , xn)−fi(x1, . . . , xn)−haij|

|h| = 0.

Por tanto,

aij = l´ım h→0

fi(x1, . . . , xj−1, xj +h, xj+1, . . . , xn)−fi(x1, . . . , xn)

h =

∂fi ∂xj

(37)

Si m = 1, el vector cuyas componentes son iguales a las de Df(x) se denomina gradientede f en xy se denota por ∇f(x). As´ı, para cada f :A⊂_Rn _−→

R,

∇f(x) =

∂f ∂x1

, . . . , ∂f ∂xn

donde cada derivada parcial se eval´ua en x. Las funciones diferenciables son continuas:

Proposici´on 2.1.7. Sean A ⊂ _Rn _{abierto y} _f _: _A _−→

Rm diferenciable en A. Entonces f es continua. De hecho, para cada x0 ∈ A existen δ, M > 0 tales que si kx−x0k < δ, entonces kf(x)−f(x0)k< Mkx−x0k.

Demostraci´on. Sean x0 ∈ A y > 0. Ya que Df(x0) es una aplicaci´on lineal, existe

C ∈ _R tal que kDf(x0)(x)k ≤Ckxk para todo x ∈ Rn. Adem´as, existe δ > 0 tal que si

kx−x0k< δ, entonceskf(x)−f(x0)−Df(x0)(x−x0)k ≤ kx−x0k, con lo que

kf(x)−f(x0)k ≤ kDf(x0)(x−x0)k+kx−x0k ≤(C+ 1)kx−x0k.

Por tanto, sikx−x0k<m´ın

δ,_C₊₁ , entonces kf(x)−f(x0)k< .

El que las derivadas parciales existan no asegura la diferenciabilidad. Basta considerar la funci´on

f(x, y) =

 



x si y= 0

y si x= 0 1 si x, y 6= 0

Se tiene que ∂f_∂x(0,0) = ∂f_∂y(0,0) = 1 perof no es continua en (0,0). Sin embargo:

Teorema 2.1.8. Sean A⊂_Rn _{abierto y} _f _:_A_−→

Rm. Si las derivadas parciales existen

y son continuas en A, entonces f es diferenciable en A.

Demostraci´on. Sea x ∈ A. Por el Teorema 2.1.6, si Df(x) existe, entonces su represen-taci´on matricial debe ser la matriz jacobiana. Necesitamos probar que dado >0 existe

δ >0 tal que si ky−xk< δ con y∈A, entonces

kf(y)−f(x)−Df(x)(y−x)k< ky−xk.

(38)

suponer m = 1. As´ı, utilizando el teorema del valor medio, se tiene que

f(y)−f(x) = f(y1, . . . , yn)−f(x1, y2, . . . , yn)

+f(x1, y2, . . . , yn)−f(x1, x2, y3. . . , yn)

+f(x1, x2, y3. . . , yn)− · · · −f(x1, . . . , xn−1, yn)

+f(x1, . . . , xn−1, yn)−f(x1, . . . , xn) =

∂f ∂x1

(c1, y2, . . . , yn)

(y1−x1)

+

∂f ∂x2

(x1, c2, y3, . . . , yn)

(y2−x2)

+· · ·+

∂f ∂xn

(x1, . . . , xn−1, cn)

(yn−xn)

donde ci est´a entre xi e yi para todo i∈ {1, . . . , n}. Por tanto,

kf(y)−f(x)−Df(x)(y−x)k ≤

∂f ∂x1

(c1, y2, . . . , yn)−

∂f ∂x1

(x1, . . . , xn)

+· · ·+ ∂f ∂xn

(x1, . . . , xn−1, cn)−

∂f ∂xn

(x1, . . . , xn)

ky−xk.

La continuidad de las derivadas parciales hace el resto.

Las derivadas parciales de una función miden su variación en las direcciones particula-res paralelas a los ejes. Lasderivadas direccionaleshacen lo mismo en otras direcciones: Definición 2.1.9. Sean A ⊂ _Rn _abierto, _f _: _A _−→

R, x0 ∈ A y v ∈ Rn unitario.

Entonces

Dvf(x0) = l´ım

h→0

f(x0+hv)−f(x0)

h

es la derivada direccional de f en x0 en la direcci´on v.

Observación 2.1.10. Si f es diferenciable en x0, entonces Dvf(x0) =Df(x0)·v. As´ı, la derivada direccional de f en x0 es máxima en la dirección del gradiente y ese valor máximo es k∇f(x0)k.

La composici´on de funciones diferenciables tambi´en lo es: Teorema 2.1.11 (Regla de la cadena). Sean A⊂_Rn _y _B _⊂

Rm abiertos, f :A −→Rm

diferenciable en x0 ∈ A con f(A) ⊂ B y g : B −→ Rp diferenciable en f(x0). Entonces g◦f es diferenciable en x0 y D(g◦f)(x0) =Dg(f(x0))◦Df(x0).

Demostraci´on. Sea >0. Como f es diferenciable en x0, por la Proposici´on 2.1.7 existen

δ1, M > 0 tales que sikx−x0k< δ1, entonceskf(x)−f(x0)k< Mkx−x0k. Ahora, existe

δ2 >0 tal que si ky−f(x0)k< δ2, entonces

kg(y)−g(f(x0))−Dg(f(x0))(y−f(x0))k<

(39)

Como Dg(f(x0)) es una aplicaci´on lineal, existe N > 0 tal que kDg(f(x0))(y)k ≤Nkyk para todoy∈_Rm_{. As´ı, existe} _δ

3 >0 tal que si kx−x0k< δ3, entonces

kf(x)−f(x0)−Df(x0)(x−x0)k<

2Nkx−x0k.

Pues bien, si 0<kx−x0k<m´ın{δ1, δ2, δ3}, entonces

k(g◦f)(x)−(g◦f)(x0)−Dg(f(x0))(Df(x0)(x−x0))k

kx−x0k

≤ kg(f(x))−g(f(x0))−Dg(f(x0))(f(x)−f(x0))k kx−x0k

+ kDg(f(x0))(f(x)−f(x0)−Df(x0)(x−x0))k

kx−x0k

< .

Observaci´on 2.1.12. La matriz jacobiana de g ◦ f en x es el producto de la matriz jacobiana de g en f(x) con la de f en x.

Para el producto se tiene la siguiente regla:

Proposici´on 2.1.13. Sean A ⊂ _Rn _{abierto y} _f _: _A _−→

Rm y g : A −→ R funciones

diferenciables. Entonces gf es diferenciable y para cada x∈A,

D(gf)(x)(v) =Dg(x)(v)f(x) +g(x)Df(x)(v) para todo v ∈_Rn_.

Demostraci´on. Dados x0 ∈A y >0, seaδ >0 tal que si kx−x0k< δ, entonces

|g(x)| ≤ |g(x0)|+ 1 =C1

kf(x)−f(x0)−Df(x0)(x−x0)k<

3C1

kx−x0k

|g(x)−g(x0)−Dg(x0)(x−x0)|<

3kf(x0)kkx−x0k

y

|g(x)−g(x0)| ≤

3C2

donde kDf(x0)(y)k ≤C2kyk para todo y ∈Rn. Las dos ´ultimas desigualdades son nece-sarias solamente si f(x0)6= 0 yDf(x0)6= 0. As´ı, sikx−x0k< δ, entonces

k(gf)(x)−(gf)(x0)−Dg(x0)(x−x0)f(x0)−g(x0)Df(x0)(x−x0)k

≤ kg(x)f(x)−g(x)f(x0)−g(x)Df(x0)(x−x0)k +kg(x)Df(x0)(x−x0)−g(x0)Df(x0)(x−x0)k

(40)

Finalicemos la secci´on con el teorema del valor medio:

Teorema 2.1.14 (Teorema del valor medio). Sean A ⊂ _Rn _abierto, _f _: _A _−→ Rm

diferenciable y x, y ∈ A tales que el segmento de recta que los une est´a contenido en A. Entonces existen c1, . . . , cm en dicho segmento tales que fi(y)−fi(x) = Dfi(ci)(y−x)

para todo i∈ {1, . . . , m}.

Demostraci´on. Sea i∈ {1, . . . , m}. la funci´on g : [0,1]−→_Rdefinida por

g(t) =fi((1−t)x+ty)

es continua en [0,1] y derivable en (0,1). Por el teorema del valor medio para una variable, existe t0 ∈(0,1) tal queg(1)−g(0) = g0(t0)(1−0), es decir,

fi(y)−fi(x) =Dfi((1−t0)x+t0y)(y−x). Basta tomar ci = (1−t0)x+t0y.

Definici´on 2.1.15. Un conjunto A⊂_Rn _es _convexo _{si para cada} _{x, y} _∈_A_{, el segmento}

que los une est´a contenido en A.

Ejercicios

1. SeanA⊂_Rn _abierto,_{f, g} _:_A_−→

Rm funciones diferenciables y λ, µ∈R.

Demues-tra que λf +µg es diferenciable y D(λf+µg) =λDf +µDg. 2. Sean A ⊂ _Rn _{abierto y} _f _: _A _−→

Rm y g : A −→ R funciones diferenciables con g(x)6= 0 para todo x∈A. Demuestra que f_g es diferenciable y Df_g= gDf_g−2f Dg.

3. Sea f : _Rn _−→

Rm tal que kf(x)k ≤ Ckxk2 para todo x ∈ Rn y cierto C ∈ R.

Demuestra que f es diferenciable en 0 y queDf(0) = 0.

4. SeaL:_Rn −→_Rm _{una aplicaci´}_{on lineal. Demuestra que} _DL₍_x_{) =}_L_.

5. Dada f(x, y, z) = xsen_z y, calcula ∇f(x, y, z).

6. Da un ejemplo que muestre que la existencia de todas las derivadas direccionales en un punto no implica necesariamente la diferenciabilidad.

7. Demuestra que la funci´on

f(x, y) =

( ₍_xy₎2 √

x2₊_y2 si (x, y)6= (0,0)