puede hacerlo gastando dos. Obra escrita por: Arthur M. Wellington – Ing. Civil - (EE.UU. 1887)
Autor:
ING. ECON. ABDÍAS ESPINOZA
– PERÚ
TIENDA VIRTUAL MUNDIAL: www.safperu.com
MATEMÁTICA
FINANCIERA
Simplificada
LAS 6 FÓRMULAS CLAVES
Y EL CIRCUITO FINANCIERO
LOS FONDOS DE AMORTIZACIÓN
i
R
=
S
4
LA ACTUALIZACIÓN
(1+i)
n-1
LA CAPITALIZACIÓN
1
2
P
=
S
S
S = P (1+i)
n 1(1+i)
nR R
. . .
R
(1+i)
n-1
0 1 2 . . . n(1+i)
n-1
5
P
=
R
P
i
S = R
3i
(1+i)
ni
i
(1+i)
nR
=
P
6
(1+i)
n-1
LAS AMORTIZACIONES
¡ Si con esta METODOLOGÍA, no aprende MATEMÁTICA FINANCIERA, entonces . . . , este negocio . . . . , no es para usted !.
DERECHOS RESERVADOS:
SOCIEDAD DE INGENIEROS ECONOMISTAS
SOCIEDAD DE ANALISTAS FINANCIEROS
Prof. ING. ECON. ABDÍAS ESPINOZA
TIENDA VIRTUAL MUNDIAL:
www.safperu.com
FINANZAS
ANALISTAS DE CRÉDITOS e INVERSIONES
Con 4 MANUALES y 4 DVD’s de 3 Hs. de Clases c/u:
1: MATEMÁTICA FINANCIERA: Banca y Comercio
2: CONTABILIDAD GERENCIAL: Proyecciones y Análisis 3: EVALUACIÓN DE PROYECTOS: Económica y Financiera
4: EVALUACIÓN DE VALORES: Bonos y acciones.
Con mis clases en DVD’s, HOY te enseño,
“cuando quieras, donde quieras y cuantas veces quieras”.
LA COSA ES ASÍ:
“Escucha sus Clases en su MONITOR mirando su MANUAL y con su CALCULADORA CIENTÍFICA verifica
las OPERACIONES FINANCIERAS”. Consultas x E-mail
VENTAS INTERNACIONALES: TIENDA VIRTUAL
www.safperu.com
Costo: US$ 14 Cada Manual en PDF
OBSEQUIO: 1 DVD con 3 hs. de Clases Virtuales por c/ Manual.
Depósito en US$ en Bank of América - EE.UU.
Cuenta: 02 26 77 55 89
VENTAS en el PERÚ: S/. 200 La Colección en FÍSICO
LOS 6 FACTORES FINANCIEROS
NUEVAS NOTACIONES desde el 2008PROPUESTA del Prof.: ING. ECON. ABDÍAS ESPINOZA (UNI)
A las NUEVAS GENERACIONES de estudiantes,
les propongo estas NUEVAS NOTACIONES de las 6 Fórmulas Claves:
* Respecto a los Factores 1 y 2, les he quitado la S de la palabra SIMPLE.
Ej.: Ya no digo, “Factor Simple de Capitalización: FSC”, sino “Factor de Capitalización: FC”
Habían alumnos que creían que la S de Simple, significaba Interés Simple. Y nada que ver.
* Respecto a los Factores 3, 4, 5 y 6, y para recordar fácilmente “para qué sirven”
solo piense en 2 palabras:AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN de un Flujo Constante R.
Las usa el profesor Frank Ayres de los EE. UU. en su libro: Matemáticas Financieras.
1) Factor de Capitalización (FC) 2) Factor de Actualización (FA)
1
(1 + i)n
(1 + i)n
3) Factor de Agrupamiento 4) Factor de Distribución
al Futuro (FAF) de un Valor Futuro (FDVF)
(1 + i)n - 1
i
i
(1 + i)n - 1
5) Factor de Agrupamiento 6) Factor de Distribución
al Presente (FAP) de un Valor Presente (FDVP)
(1 + i)n - 1
i (1 + i)n
i (1 + i)n
(1 + i)n - 1
CORRESPONDENCIA DE FACTORES
Desde 2008 Si, n ∞ Si, i = 0 Dr. Guadagni Tradicional Prof. TAYLOR Prof. TARQUIN
PERÚ ARGENTINA EE.UU EE.UU. EE.UU.
FC ∞ 1 FSC s SPCAF F/P,i,n
FA 0 1 FSA a SPPWF P/F,i,n FAF ∞ n FCS s n i USCAF F/A,i,n
FDVF 0 1/n FDFA 1/s n i SFDF A/F,i,n
FAP 1/i n FAS a n i USPWF P/A,i,n
FDVP i 1/n FRC 1/a n i CRF A/P,i,n
4
1) El FACTOR de CAPITALIZACIÓN: 2) El FACTOR de ACTUALIZACIÓN:
Transforma un Stock Inicial P, Transforma un Stock Final S, en un Stock Final S. en un StockInicial P.
1 FC = (1 + i)n FA =
(1 + i)n
S = P . FCn i P = S . FAn i
S S
0 n 0 n
P P
3) El FACTOR de AGRUPAMIENTO 4) El FACTOR de DISTRIBUCIÓN al FUTURO: de un VALOR FUTURO
Transforma un Flujo Constante R, Transforma un Stock Final S, en un Stock Final S. en un Flujo Constante R.
(1 + i)n - 1 i FAF = FDVF =
. i (1 + i)n - 1
S = R . FAFn i R = S . FDVFn i
S S
R R R R R R
0 n 0 n
5) El FACTOR de AGRUPAMIENTO 6) El FACTOR de DISTRIBUCIÓN de al PRESENTE: Transforma un VALOR PRESENTE: Transforma un Flujo Constante R, en un Stock Inicial P. un Stock Inicial P, en un Flujo Constante R.
(1 + i)n - 1 i (1 + i)n FAP = FDVP =
. i(1 + i)n (1 + i)n - 1
P = R . FAPn i R = P . FDVPn i R R R R R R
0 n 0 n
MATEMÁTICA FINANCIERA
Es álgebra aplicada a los negocios y la economía.
¿
A QUIÉNES INTERESA
LA MATEMÁTICA FINANCIERA
?
Miremos un Balance:
ACTIVO PASIVO
Caja Pagarés
BANQUEROS
Facturas por Cobrar
Facturas por Pagar
COMERCIANTES
Inventario Edificios CAPITAL
Maquinarias
Acciones
INVERSIONISTAS
Equipos
Utilidades
EL BANQUERO, el COMERCIANTE y el INVERSIONISTA acuden al
MATEMÁTICO, para que les elabore un HERRAMENTAL y puedan manejar sus operaciones con exactitud.
El MATEMÁTICO, en base a un RAZONAMIENTO LÓGICO,
desarrolla un CONJUNTO de FÓRMULAS útiles en el campo financiero.
Por eso se habla de: El CALCULO RACIONAL o Matemático
Es el FUNDAMENTO de la INGENIERÍA ECONÓMICA.
Pero, el BANQUERO y el COMERCIANTE, no siempre trabajan como lo indica
el Matemático y surgen: El Cálculo BANCARIO a interés “adelantado”.
El Cálculo COMERCIAL a interés “horizontal”.
En cambio, el INVERSIONISTA, sí trabaja como dice Matemático.
Y por eso, usted JAMÁS escuchará a un inversionista decir:
¡Tengo un proyecto con una Tasa Interna de Retorno “adelantada”!.
Eso de tasa “adelantada”, solo ocurre en la banca.
Por eso, para aprender y com-pren-der la MATEMÁTICA FINANCIERA, clasifico mi libro en 3 GRANDES LECCIONES:
1)
El CÁLCULO RACIONAL
o Matemático
2)
El CÁLCULO BANCARIO
.
3)
El CÁLCULO COMERCIAL
.
Los
COSTOS
y
RENDIMIENTOS
verdaderos
del dinero
6
EL DINERO Y SU TRATAMIENTO
Como
STOCK
:
Como
FLUJO
:
Es una cantidad de dinero Es una sucesión de cantidades
en un momento dado del tiempo. de dinero, a través del tiempo.
STOCK Final FLUJO CONSTANTE ( R )
S R R R R
0 n días 0 1 2 . . . n periodos
P STOCK Inicial P STOCK Inicial
Ej.: Préstamo Ej.: Préstamo
Pagadero con UNA Cuota ( S ). Pagadero con VARIAS Cuotas Valor Nominal del Pagaré Inmediatas (yá en el 1er. periodo)
y Vencidas (pero a fin del 1er. periodo)
NOTACIONES:
P
STOCK INICIAL
(Capital, Valor Presente, Valor Actual, Valor Líquido)
S
STOCK FINAL
(Monto, Valor Futuro, Valor a Plazo, Valor Nominal)
R
FLUJO CONSTANTE
(Serie Uniforme, Rentas, Anualidades)
n
:
HORIZONTE TEMPORAL
(Periodos, Plazo, Vencimiento).
¡COLEGAS PROFESORES!
Llamar ANUALIDAD a unas Cuotas MENSUALES, ¡Confunde!
LECCIÓN de CORTESÍA en PDF
EL CÁLCULO
RACIONAL
O
MATEMÁTICO
Hay 4 VIDEOS en YOUTUBE. En BUSCAR escriba: Matemáticas Financieras 4
8
Con solo saber:
SUMAR,
RESTAR,
MULTIPLICAR y
DIVIDIR,
CLASIFICACIÓN DE LOS FLUJOS FINANCIEROS:
ANUALIDADES O RENTAS (expresiones antiguas)
I ) FLUJO INMEDIATO VENCIDO: Anualidades Vencidas o Rentas Pospagables. Las 4 últimas Fórmulas Claves están diseñadas para manejar solo este Tipo de Flujo.
R R R R R . . . R R La BASE
0 1 2 3 4 5 . . . (n-1) n
Los siguientes Flujos se manejan combinando FACTORES.
II ) FLUJO INMEDIATO ANTICIPADO: Anualidades Anticipadas o Rentas Prepagables.
R R R R R . . . R
0 1 2 3 4 5 . . . (n-1) n
III ) FLUJO DIFERIDO VENCIDO: Anualidades Diferidas Pospagables.
DIFERIMIENTO
R R R . . . . R R
0 1 2 m m+1 . . . (n-1) n
IV ) FLUJO DIFERIDO ANTICIPADO: Anualidades Diferidas Prepagables.
DIFERIMIENTO
R R R . . . . R
0 1 2 m m+1 . . . (n-1) n
V ) FLUJO CRECIENTE ARITMÉTICAMENTE: La Gradiente g. Es un Valor MONETARIO. Es la razón de la Progresión Aritmética.
g 2g 3g 4g 5g (n - 1)g
+ + + + + . . . +
R R R R R R R
0 1 2 3 4 5 6 . . . n
VI ) FLUJO CRECIENTE GEOMÉTRICAMENTE: La Gradiente g %. Es una TASA. La razón de la Progresión Geométrica es: ( 1 + g )
R R(1+g)1 R(1+g)2 R(1+g)2 . . . R(1+g)(n - 1)
10
LA TASA DE INTERÉS
i
Es la GANANCIA
de la
UNIDAD MONETARIA
al vencimiento
de un PERIODO de tiempo.
EJEMPLO:
TASA DE INTERÉS: i = 3% mensual.
PERIODO:
UN
mes
1
+
0.03
0 1 Mes
1
dólar
Hay 4 VIDEOS en YOUTUBE. En BUSCAR escriba: Matemáticas Financieras 4
Aquí,
el PERIODO DE LA TASA es el MES.
Es un PERIODO notable.
Pero, ¿si queremos
la tasa para un periodo NO-NOTABLE: 7 días?.
Los bancos
usualmente anuncian la tasa de interés
a PERIODO ANNUAL: Ej.: 18% ANUAL.
¿Cómo calculamos
la tasa de interés
para 7 días?
La primera IDEA
es
DIVIDIR
y
MULTIPLICAR:
18% : 360 x 7 = 0.35%.
Pero, en FINANZAS,
se usan los términos NOMINAL and EFECTIVA
para anunciar las tasas anuales.
Esa primera IDEA está bien
para una Tasa NOMINAL Anual,
pero NO para una Tasa EFECTIVA Anual,
porque las TASAS EFECTIVAS se manejan por
RADICACIÓN y POTENCIACIÓN.
Esto lo estudiaremos más adelante.
12
EL INTERÉS
(
I
)
Es el resultado de aplicar
la TASA DE INTERÉS ( i )
a UN CAPITAL ( P )
i
I
=
P
.
i
EJEMPLO.
PRÉSTAMO:
P = US$ 600
Tasa de interés:
i = 3% mensual
Plazo:
n = 1 mes
I = 18
0 1 Mes
P = US$ 600
EL INTERÉS ( I ):
I = 600
x0.03
I = 18
La fórmula: I = P x i, es tan sencilla como en la FÍSICA: e = v x t
Pero, la Física se complica cuando conocemos sobre la aceleración y el rozamiento.
DEUDA A PAGAR
CON
UNA
CUOTA:
EL INTERÉS VENCIDO
O SUMADO
al CAPITAL
OBSERVE: El interés 18, ocurre al vencimiento del mes.
El MATEMÁTICO, le dice al PRESTAMISTA:
¿El Cliente a pedido US$ 600?.
¡Entregue . . . US$ 600!
¡Ahora . . . ,
SUME
, a 600, el interés 18!.
Por tanto:
El VALOR NOMINAL del PAGARÉ es: S = US$ 618
S = P + I
S = 618
0
i = 3% mensual
1 mesP = 600
¿
QUÉ HEMOS HECHO
?
Hemos transformado
Un STOCK Inicial (P = 600)
en un STOCK Final (S = 618)
Para el MATEMÁTICO . . . , ESO ES TODO.
PERO, si el Prestamista, RESTA el INTERÉS, diciendo que es cobrado “por adelantado”, empiezan las complicaciones, que veremos en la Lección 2.
14
DEUDA A PAGAR CON
VARIAS
CUOTAS (FLUJO)
EL MÉTODO ALEMÁN:
De las Amortizaciones FIJAS
DATOS: P = 600
i = 3% mensual
n = 3 meses
Los 3 datos básicos:
Mes Saldo Interés Amortizaciones Cuota a pagar
n al inicio Saldo x FIJAS a fin de "n"
de “n”
0.03
P/n
1
600
200
2
200
CUADRO
DE INTERESES Y AMORTIZACIONES:
(1) (2) (3) (4) (5)
Mes Saldo Interés Amortizaciones Cuota a pagar
n al inicio Saldo x FIJAS a fin de "n"
de “n”
0.03
P/n
(3) + (4)1
600
18
200
218
2
400
12
200
212
3
200 6
200
206
ES UN MÉTODO ELEMENTAL
¿
QUÉ HEMOS HECHO
?
P = 600
218 212 206
0 1 2 3 meses
Hemos transformado
un STOCK Inicial (P) en un FLUJO.
OTRA PRESENTACIÓN DEL CUADRO DE INTERESES (1) (2) (3) (4) (5)
Mes Saldo Interés Amortizaciones Cuota a Pagar
n (2) x 0.03 P/n (3) + (4)
0 600 Ver también la pág. 82
1 400 18 200 218
2 200 12 200 212
16
MÉTODO AMERICANO
:
Amortización TOTAL
al final
de los n periodos de interés.
DATOS: P = 600
i = 3% mensual
n = 3 meses
Los
3
datos básicos:
Mes Saldo Interés Amortización Cuota a pagar
n al inicio Saldo x a fin de "n"
de “n”
0.03
1
6
00
2
3
600
Hay 4 VIDEOS en YOUTUBE. En BUSCAR escriba: Matemáticas Financieras 4
CUADRO
DE INTERESES Y AMORTIZACIONES:
(1) (2) (3) (4) (5)
Mes Saldo Interés Amortización Cuota a pagar
n al inicio Saldo x a fin de "n"
de “n”
0.03
(3) + (4)
1
600
18
18
2
600
18
18
3
600
18
600
618
¿
QUÉ HEMOS HECHO
?
P = 600
18 18 618
0 1 2 3 meses
Hemos transformado
un STOCK Inicial (P)
en un FLUJO.
Este método tan elemental y primarioso se usa
en ese Gran Campo de las
FINANZAS
llamado:
EL MERCADO de CAPITALES
18
CASO ESPECIAL de CORTO PLAZO
Si el pago
NO CUBRE
el interés,
el BANQUERO capitaliza la diferencia.
(1) (2) (3) (4) (5)
Mes Saldo Interés Amortización Cuota a pagar
n al inicio Saldo x a fin de "n"
de “n”
0.03
(3) + (4)
1
600
18
10
2
608
18.24
15
3
611.24
18.34
611.24
629.58
OBSERVACIONES
1.- Cuando el PAGO no cubre, el INTERÉS del PERIODO,
el SALDO de la DEUDA AUMENTA. (*)
Se cobra interés sobre interés (se llamará Interés COMPUESTO)
2.- Cuando una CUOTA supera el INTERÉS del PERIODO,
el SALDO de la DEUDA DISMINUYE.
3.- Cuando el PAGO solo IGUALA el INTERÉS del PERIODO,
el SALDO de la DEUDA SE MANTIENE. ¡Así nomás es!
¿
QUÉ HEMOS HECHO
?
P = 600
10 15 629.58
0 1 2 3 meses
Hemos transformado
un STOCK Inicial (P) en un FLUJO.
(*) En ESPAÑA dicen que el Interés SIMPLE se aplica en el CORTO PLAZO.
Entonces el 2do. Interés, también sería 18. ¡NO ES ASÍ!.
El banco cobrará 18.24. El Interés Simple NO SIRVE.
EJERCICIO
LLENE LA TABLA
(1) (2) (3) (4) (5)
Mes Saldo Interés Amortización Cuota a pagar
n al inicio Saldo x a fin de "n"
de “n”
0.02
(3) + (4)
1
900
12
2
9
3
RESPUESTA
(1) (2) (3) (4) (5)
Mes Saldo Interés Amortización Cuota a pagar
n al inicio Saldo x a fin de "n"
de “n”
0.02
(3) + (4)
1
900
18
12
2
906 18.12
9
3
915.12 18.30 915.12 933.42
(*) En ESPAÑA dicen que el Interés SIMPLE se aplica en el CORTO PLAZO.
ESO NO ES CIERTO. El Interés Simple NO LE SIRVE al Banquero, al
Comerciante, al Inversionista, ni al Ahorrista. Solo hay CONVENIENCIAS. Cuando se trata de PAGAR no nos gustaría que capitalicen los intereses. Cuando se trata de COBRAR si nos gusta capitalizar los intereses.
No debe ser así. Hay que MEDIR CON LA MISMA VARA.
En INTERNET: En Google escriba: MATEMATICA FINANCIERA en Buscar.
CEF: Centro de Estudios Financieros: (www.cef.es).
Vea el Libro del Prof. Tovar en el Tema: Capitalización (?) a Interés Simple.
20
Si además de sumar, restar, multiplcar
y dividir
, sabemos
RADICAR
y sabemos
POTENCIAR,
1.1.
LA CAPITALIZACIÓN
La capitalización es un proceso de reinversión de ganancias
LA
PRIMERA
FÓRMULA CLAVE
LA TASA DE INTERÉS
i
EL INTERÉS
I
=
P . i
LA CAPITALIZACIÓN
1ra. Fórmula Clave
S = P (1 + i)n
El Factor de Capitalización:
FC
ni=
(1 + i)n
LEER: Factor de Capitalización “ sub n a la tasa i ”
El FC, transforma un STOCK Inicial P,
en un STOCK Final S.
S
0 1 2 . . . n
22
DEMOSTRACIÓN DE LA 1ra. FÓRMULA CLAVE:
S = P . FCn i
S = P (1 + i)
nSe trata de una aplicación sucesiva de la Fórmula: I = P . i
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )
PERIODO CAPITAL INTERES MONTO
n al comienzo por periodo al final del periodo n del periodo n (2) x i
CAPITALIZACIÓN FACTORIZANDO
1 P P . i P + P . i P ( 1 + i ) 1
2 P( 1 + i ) P( 1 + i ) i P( 1 + i ) + P( 1 + i ) i P ( 1 + i ) 2 3 P ( 1 + i ) 2 P ( 1 + i ) 2 i P ( 1 + i ) 2 + P ( 1 + i ) 2 i P ( 1 + i ) 3 4 P ( 1 + i ) 3 P ( 1 + i ) 3 i P ( 1 + i ) 3 + P ( 1 + i ) 3 i P ( 1 + i ) 4
.
. Por inducción matemática:
. Para " n " periodos, el exponente será " n "
n P ( 1 + i ) n LQQD
Así, como en la FÍSICA, la Fórmula Básica: e = v . t
se complica con los conceptos de: aceleración y rozamiento. Así también, en FINANZAS, la Fórmula Básica:
I = P . i
Se amplía con los conceptos: CAPITALIZACIÓN y ACTUALIZACIÓN.
MUY IMPORTANTE:
Si trabaja con la tasa “i” MENSUAL, el exponente “n” debe ser en MESES. Si trabaja con la tasa “i” DIARIA, el exponente “n” debe ser en DÍAS.
NO SALE NADA,
INTERÉS SIMPLE
vs.
INTERÉS COMPUESTO
P = US$ 1000 n = 4 trimestres i = 10% trimestral
INTERÉS SIMPLE:
Interés NO capitalizable
I
1=100
I
2=100
I
3=100
I
4=100
Constante
0 1 2 3 n = 4 Trimestres
P=1000
P
1=
1000 P
2=
1000 P
3=
1000
P
4=1000
Si, P = US$1000 es un préstamo bancario y el prestatario no paga
el 1er. Interés I1 = 1000 x 0.10 = US$ 100
el banco, para calcular el 2do. Interés, NUNCA aceptará aplicar 10% solo sobre 1000 y cobrar, otra vez: I2 = US$ 100.
INTERÉS COMPUESTO:
Interés SÍ capitalizable
EL PROCESO DETALLADO
I
1=100
I
2=110
I
3=121
I
4=133.1
Creciente
0 1 2 3 n = 4 Trimestres
P=1000
P
1=
1100 P
2=
1210 P
3=
1331
P
4=1464.10
Si, P = US$1000 es un préstamo bancario y el prestatario no paga
el 1er. Interés I1 = 1000 x 0.10 = US$ 100
el banco considera a I1 = US$ 100 como un NUEVO CAPITAL prestado y OBLIGARÁ aplicar la tasa 10% sobre (1000 + 100)
Entonces, el 2do. Interés será: I2 = 1100 x 0.10 = US$ 110
Así . . . , la deuda a fin del 2do. Trimestre será: P2 = US$ 1210
24
A INTERÉS COMPUESTO:
Sí reinvierte los intereses
EL PROCESO ABREVIADO
DE LA CAPITALIZACIÓN
0 1 2 3 n = 4 Trimestres
P=1000
i = 0.10
P
4=1464.10
S= P . FC
niS = P (1 + i)n
S = 1000(1+ 0.10)
4S = 1000 (1.4641)
S = 1464.10 dólares
SIGNIFICADO: US $1000 HOY
< >
US $1464.10
dentro de 4 trimestres
SUMA ECONÓMICA
vs.
SUMA CONTABLE
EQUIVALENCIA FINANCIERA
Y SUSTITUCIÓN DE DEUDAS
El FLUJO de DEUDAS: 40, 50, y 60
mensuales, se desea cancelar
con un STOCK FINAL: S,
a fin del mes 4.
40 50 60 Dólares
0 1 2 meses
El Banco exige una tasa de interés del 4% mensual.
40 50 60 S = ?
SUMA SUMA
0 1 2 3 4 meses ECONÓMICA CONTABLE
60(1
+
0.04 )2
=
64.90 60
50(1
+
0.04 )3
=
56.24 50
40(1
+
0.04 )4
=
46.79 40
26
Toda SUMA ECONÓMICA
o, SUMA GEOMÉTRICA,
se hace
en un PUNTO
en el TIEMPO
.
Es la base de la:
EQUIVALENCIA FINANCIERA
entre
STOCK y FLUJO.
Una ECUACIÓN FINANCIERA
se plantea
en cualquier
DEUDA A PAGAR CON
VARIAS
CUOTAS
MÉTODO FRANCÉS
:
Las Cuotas FIJAS
PROBLEMA:
PRÉSTAMO:
P = US$ 600
Tasa de interés: i = 3% mensual
Cuotas mensuales: n = 3
Si solo sabemos la 1ra. FÓRMULA CLAVE
S = P . FCn i
S = P (1 + i)n
RAZONAMIENTO
:
"
DOS CANTIDADES EQUIVALENTES
28
COBRANZAS
<>
PRÉSTAMO
Solo es cuestión de plantear la ECUACIÓN
FINANCIERA en el PUNTO FINAL (Punto 3).
COBRANZAS
R R R
0 1 2 3 meses
PRÉSTAMO P = 600
R(1+0.03)
2+ R(1+0.03)
1+ R = 600(1+0.03)
3El 1er. Miembro de la ecuación
es una SUMA ECONÓMICA en el Punto 3.
Despejando:
R = 212.12
Los 3 Datos Básicos:
(1) (2) (3) (4) (5)
Mes Saldo Interés Amortización
Pago constanten al inicio Saldo x a fin de "n"
de “n”
0.03
(5) – (3)
R
1
600
212.12
2
212.12
3
212.12
EL CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIONES
Llenando el cuadro:
(1) (2) (3) (4) (5)
Mes Saldo Interés Amortización
Pago constanten al inicio Saldo x a fin de "n"
de “n”
0.03
(5) – (3)
R
1
600
18 194.12
212.12
2
405.88 12.18 199.94
212.12
3
205.94 6.18 205.94
212.12
Σ
= 600.00
RAZONE así
:
A fin del primer mes,
el interés 18 es
derecho
del Prestamista.
Pero, el deudor paga MÁS: 212.12
.Entonces, la DIFERENCIA: 212.12 - 18 = 194.12
es la
PRIMERA AMORTIZACIÓN
,
que rebaja el
SALDO DEUDOR a US$ 405.88
a INICIO del SEGUNDO MES
.
Y así sucesivamente.
¿
QUÉ HEMOS HECHO
?
P = 600
212.12 212.12 212.12
0 1 2 3 meses
30
EL INTERÉS ASTRONÓMICO
S
=
P (1 + i)n
Un banquero dijo: No sé cuál es la 7ma. Maravilla del Mundo, pero, sí sé cuál es la 8va. Se llama: INTERÉS COMPUESTO.
¿En cuánto se convierte US$ 100 después de 200 años a la tasa
del 0.5% mensual? Rpta. US$ 15 796 039.67
¡Que se pagaría a algún descendiente suyo!.
Pero, si le cobran US$ 5 mensuales por “mantenimiento de
cuenta”, ¿en cuánto tiempo “desaparece” su plata?
Rpta. n = 21.12473931 meses. Plantée: 100(1.005)n = 5[{(1.005)n -1}/0.005]
UN PRÉSTAMO HIPOTÉTICO
LA CAPITALIZACIÓN
EN EL
LARGUÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍSIMO
PLAZO: 477 años
Si a fines de 1532,
el Sr. FRANCISCO PIZARRO, recibió ORO del INCA ATAHUALPA, equivalente a 1 MILLÓN de euros, para la Corona Española,
¿ cuánto debería pagar ESPAÑA al PERÚ,
el 31 - 12 - 2010, suponiendo como valor del dinero, una tasa de interés, bajita nomás, del 0.5% mensual ?.
S = 1 000 000 ( 1 + 0.005 )5736 meses
S = 2’’’ 657, 848’’ 581, 000’ 000, 000 de euros
Si somos 30 millones de habitantes nos tocaría: 88,594’952,700 euros A CADA UNO.
¡Que dicen! . . . ¿COBRAMOS?. “SOÑAR NO CUESTA NADA”
AHORRO PARA LA VEJEZ: El Plazo Fijo
Con US$ 1000 al mes puede VIVIR BIEN una PAREJA de ANCIANOS.Si un joven de 25 años ahorra HOY, US$ 842.8311619
al 1% mensual, acumularía US$ 100 000 cuando cumpla 65 años.
S = 842.8311619( 1 + 0.01 )480 meses = 100 000 dólares
Cobraría: I = P . i = 100 000 x 0.01 = US$ 1000 mensual.
El Capital US$ 100 000 lo dejaría a sus HEREDEROS.
+
La CAJA TRUJILLO ya paga el 12 % anual a PLAZO FIJO en MN.
1.2.
LA ACTUALIZACIÓN
Es el proceso de descontar los intereses a un valor futuro.
LA
SEGUNDA
FÓRMULA CLAVE
i
I = P . i
LA CAPITALIZACIÓN 1ra. Fórmula Clave
S = P (1 + i)n
LA ACTUALIZACIÓN
2da. Fórmula Clave
1
P
=
S
(1
+
i)n
1
El Factor de Actualización: FA
ni=
(1
+
i)
n
LEER: Factor de actualización “ sub n a la tasa i ”
El FA, transforma un STOCK Final: S, en un STOCK Inicial: P
S
0 1 2 . . . n
32
LA ACTUALIZACIÓN:
PROBLEMA:
US$ 1000 se pagará con US$ 1464.10
dentro de 4 trimestres, a la tasa del 10% trimestral.
¿Cuánto se pagaría 2 trimestres antes del vencimiento?
S
=
1464.10
0 1 2 3 4 Trimestres
P=1000
P
2
=
?
P = S . FA
niP
2= 1464.10 FA
2 0.101
P
2=
1464.10
(1
+
0.10)2
P
2=
1464.10 x 0.826446281
P
2= 1210 dólares
VERIFICACIÓN POR CAPITALIZACIÓN:
LA CAPITALIZACIÓN Y LA ACTUALIZACIÓN
Son como DOS CARAS de una MISMA MONEDA
0 1 2 3 4 Trimestres
P
=
1000 P
2= 1000 FC
20.10ACTUALIZACIÓN
Y COSTO DE UN CRÉDITO
EL MÉTODO ALEMÁN: P = 600 “efectivamente” recibido
¿Cuál es la tasa? 218 212 206
0 1 2 3 meses
1er. RAZONAMIENTO:
El Flujo de Pagos
ACTUALIZADO
, debe estar en ecuación con
el crédito, a cierta tasa de interés por calcular.
Pagos 218 212 206
0 1 2 3 meses
Crédito P = 600 i = ?
P
1
P
2P
3Donde: P = P
1+ P
2+ P
31 1 1 600 = 218 + 212 + 206 ( 1 + i )1 ( 1 + i )2 ( 1 + i )3
El 2do. Miembro es una
SUMA ECONÓMICA
en el
Punto "0
"
2do. RAZONAMIENTO:
Mirando la
ECUACIÓN FINANCIERA
planteada, decimos:
“
Debe existir
una tasa, cuyo valor numérico reemplazado
34
Ejemplo con EXCEL
A
1 -600
En A5, teclee: =TIR(A1:A4)
2 218
Aparecerá el resultado: 3
3 212
Si quiere más decimales,
4 206haga CLICK aquí.
+
o
5 3oo
RESULTARÁ LO MISMO 3% con:
EL MÉTODO AMERICANO P = 600
18 18 618
0 1 2 3 meses
EL MÉTODO FRANCÉS P = 600
212.12 212.12 212.12
0 1 2 3 meses
Y CUOTAS VARIABLES P = 600
10 15 629.58
0 1 2 3 meses
Como resulta 3%, en los cuatro métodos,
se dice que los 4 FLUJOS son:
FINANCIERAMENTE EQUIVALENTES.
Lo que significa:
ACTUALIZACIÓN
Y CAPACIDAD DE ENDEUDAMIENTO
Una empresa tiene EXCEDENTES DE CAJA de US$ 30, 40 y 50 a través de 3 meses. Calcule el PRÉSTAMO MÁXIMO. i = 1% mensual.
Capacidad de pago: 30 40 50
0 1 2 3 meses
Préstamo: P=?
A cada pago parcial,
se calcula su valor presente.
29.70 30(1+ 0.01)-1 = P1
39.21 40(1+ 0.01)-2 = P2
48.53 50(1+ 0.01)-3 = P3
117.44 Esta SUMA ECONÓMICA es el Préstamo MÁXIMO
VERIFICACIÓN:
CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIONES
(1) (2) (3) (4) (5)
Periodo Saldo Interés Amortiz. Pago
n al inicio de “n” (2) x 0.01 (5) - (3) a fin de “n”
1 117.44 1.17 28.83 30 2 88.61 0.89 39.11 40 3 49.50 0.50 49.50 50
Σ
= 117.44
Préstamo Máx.
RELACIÓN entre INTERESES CAPITALIZADOS y AL REBATIR
DETALLANDO EL GRÁFICO: 30 40 50
0 1 2 3
INTERESES CAPITALIZADOS c/ mes: INTERESES INTERESES INTERESES
P1 = 29.703 0.297
P2 = 39.212 0.392 0.396
P3 = 48.530 0.485 0.490 0.495
36
ACTUALIZACIÓN
y SALDO DEUDOR
Al INICIO del mes 2:
El SALDO DEUDOR es US$ 88.61 ¡Véalo!
CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIONES
(1) (2) (3) (4) (5)
Periodo Saldo Interés Amortiz. Pago
n al inicio de “n” (2) x 0.01 (5) - (3) a fin de “n”
1 117.44 1.17 28.83 30
2
88.61
0.89 39.1140
3 49.50 0.50 49.5050
Si no dispone del cuadro,
actualice el FLUJO pendiente de pago: 40 y 50
40 50
0 1 2 3 meses
SALDO: P1=?
Se calcula el valor presente de cada cuota al Punto 1.
1 39.60 = 40
(1 + 0.01)1
1 49.01 = 50
(1 + 0.01)2
Σ = 88.61 Es una SUMA ECONÓMICA en el Punto 1. OBSERVACIÓN:
¿Y cómo se calcula el SALDO DEUDOR “un día cualquiera”?. Para eso, es necesario el CONOCIMIENTO
INTERÉS SIMPLE
vs.
INTERÉS COMPUESTO
i
I = P . i
Para 1periodo: día, mes, añoPara n periodos Para n periodos
S = P(1 + i . n)
CAPITALIZACIÓNS = P (1 + i)n
1 1
P = S
ACTUALIZACIÓN
P = S
1 + i . n (1 + i)n
A interés SIMPLE A interés COMPUESTO n, es FACTOR. n, es EXPONENTE.
A la tasa: i = 10% trimestral A la tasa: i = 10% trimestral
I=100 I=100 I=100 I=100 I=100 I=110 I=121 I=133.1
0 1 2 3 4 Trim 0 1 2 3 4 Trim
1000 1000 1000 1000 1000 1000 1100 1210 1331 1464.1
El Capital 1000 NO CRECE. No capitalizan El Capital 1000 SÍ CRECE.Sí capitalizan los
los intereses. La tasa siempre se aplica al intereses. La tasa se aplica al STOCK al Inicio
STOCK Inicial: P. Es comoguardar cada del Periodo + el INTERÉS. Ej.: A fin del Tr. 1
ganancia 100 “bajo el colchón”. (Mt. 25-25) I = (1000 + 100) 0.10 = 110 (Mt. 25-27)
El Interés Simple no reconoce el valor El Interés Compuesto “sí reconoce” del interés ganado en el periodo. el valor del interés ganado en el periodo
Lo qué dice el Prof. JUSTIN MOORE de los EE.UU. (*)
“La mezcla de interés compuesto con interés simple es tan ilógica como sería que un tendero
insistiera que una mujer que quiere 10 3/4 yardas de paño, compre 10 yardas ¾ de “metro”.
La misma unidad de medida debe aplicarse para medir las unidades y las fracciones de unidad”.
Por ello, el método científicamente correcto para calcular, por ej. el PRECIOEFECTIVO
de un BONO (o un Papel Comercial) usa el INTERÉS COM-PUES-TO.
PREGUNTA
En cuánto se convierte $ 1000 después de 15 semestres y 1 mes, al 7% semestral?
Según el MATEMÁTICO: 1000 (1 + 0.07)15 1/6 = 1000 (1 + 0.07)15.1666666 = $ 2 790.32 Es lo JUSTO.
Según el COMERCIANTE: 1000 (1+0.07)15 (1+0.07x1/6) = $ 2 791.22 Es PRÁCTICO, pero INJUSTO.
I. Compuesto Int. Simple MEZCLA: (1+ 0.07)15 (1+0.07x1/6)
38
PROBLEMA : A la tasa 10 % mensual. ALTA, por alta inflación.
Datos:: P = $ 900 n = 3 meses. Calcular la Cuota Fija: R
INTERÉS SIMPLE
vs.
INTERÉS COMPUESTO
R R R R R R
0 1 2 3 0 1 2 3
P=900 i = 10 % P=900 i = 10%
La ECUACIÓN FINANCIERA La ECUACIÓN FINANCIERA en el PUNTO 3: en el PUNTO 3:
R(1+0.10x
2
) + R(1+0.10x1
) + R R(1 + 0.10)2
+ R(1 + 0.10)1
+ R = 900 (1+0.10x3
) = 900 (1 + 0.10)3
R = 354.55 R = 361.90 Es mayor, pero JUSTO.La ECUACIÓN FINANCIERA La ECUACIÓN FINANCIERA en el PUNTO 0: en el PUNTO 0:
1 1 1 1 1 1
900
=R + R + R900
= R + R + R1+0.10x1 1+0.10x 2 1+0.10x3 (1+0.10)1 (1+0.10)2 (1+0.10)3
R = 358.33 > 354.55 R = 361.90 Da valor al INTERÉS.
¿Cuál es la verdad? Sale IGUAL. Una sola VERDAD.
Con INTERÉS SIMPLE: Para plantear la ecuación financiera
Al Cliente le conviene el Punto 3. Pagaría 354.55
Al Banco le conviene el Punto 0. Cobraría 358.33 CREA DUDAS
¡LA VERDAD DEBE SER UNA SOLA!
Hay diferencia cuando se cambia el PUNTO para plantear la ecuación financiera.
La diferencia es muy pequeña a tasas de interés muy bajas y en el corto plazo.
La diferencia es mayor a tasas de interés altas y, sobre todo, en el largo plazo.
Se crea una discusión, entre el BANCO y el CLIENTE.
A INTERÉS COMPUESTO: Siempre sale IGUAL, 361.90 NO CREA DUDAS. Hay exactitud aun cambiando el PUNTO para plantear la ecuación financiera.
Autores españoles dicen que el INTERÉS SIMPLE se aplica en el CORTO PLAZO. (?).
Yo digo: Si la aplican en el LARGO PLAZO, se “DERRUMBAN” las FINANZAS.
MI RECOMENDACIÓN: ¡Apliquen Interés COMPUESTO “a cualquier plazo”!
Es JUSTO, cobrar interés sobre el interés ganado (nuevo capital). Es REINVERSIÓN de UTILIDADES.
Pero es INJUSTO, ABUSIVO, cobrar ALTAS TASAS a la gente pobre aduciendo MAYOR RIESGO.
La gente POBRE es más cumplidora. La gente RICA es más tramposa.
AHORA: Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN
1.3.
LA CAPITALIZACIÓN
DE UN FLUJO CONSTANTE
i
La
TERCERA
Fórmula Clave
I = P . i
3ra. FÓRMULA CLAVE
1ra. Fórmula Clave
(1
+
i)n
-
1
S = P (1 + i)n
S
=
R
i
2da. Fórmula Clave
1
P = S
(1 + i)n
(1 + i)n - 1
El Factor de Agrupamiento al Futuro: FAFni =
i
El FAF, transforma un FLUJO CONSTANTE: R,
en un STOCK Final S.
El FAF, agrupa, reune, un FLUJO CONSTANTE: R, en un STOCK Final S.
S
R R R R
0 1 2 . . . n
40
DEMOSTRACIÓN DE LA 3ra. FÓRMULA CLAVE:
LA CAPITALIZACIÓN DE UN FLUJO CONSTANTE ( R )
S = R . FAFn i
(1 + i)n - 1
S = R
i
Se trata de laAGRUPACIÓNde unFLUJO CONSTANTE .
Se trata de una Suma Económica, al FINAL del horizonte temporal.
DIAGRAMA: S
R( 1 + i ) n - 1
. . . . .
R( 1 + i ) 2 R( 1 + i ) 1
R R R . . . R R R
0 1 2 3 4 n-2 n-1 n
Hacemos la Suma Económica en el Punto ( n ), sacando ( R ) como factor común:
S = R [ 1 + ( 1 + i )1 + ( 1 + i )2 + ( 1 + i )3 + ... + + ( 1 + i )n - 1 ]
El corchete es una Progresión Geométrica cuya suma se calcula así :
"El 1er. término por la razón elevada al número de términos menos el 1er. término, sobre la razón menos uno "
1 ( 1 + i )n - 1 S = R [ ]
( 1 + i ) - 1
Simplificando:
( 1 + i )n - 1 Al Corchete, se llamará
S = R Factor de Agrupamiento al Futuro (FAFni)
i
Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN
UN EJEMPLO SENCILLO:
¿Cuánto se podrá acumular, en 3 meses, con 3 depósitos mensuales de US$ 212.12 a la tasa del 3% mensual?
DETALLADAMENTE: Solo con la 1ra. Fórmula
S = ?
212.12 (1+ 0.03 )2 = 225.04
212.12 (1+ 0.03 )1 = 218.48
212.12 (1+ 0.03 )0 = 212.12
212.12 212.12 212.12 Σ = 655.64
Es una SUMA ECONÓMICA 0 1 2 3 en el Punto 3.
i = 0.03
ABREVIADAMENTE:
CON LA 3ra. FÓRMULA CLAVE
S = R . FAFn i
(1
+
i)n
-
1
S = R
i
Reemplazando datos:
( 1 + 0.03 )3 - 1
S = 212.12
0.03
S = 212.12
[
3.0909 ]
S
=
655.64 Dólares Rpta.
42
Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN
ADMINISTRADORAS DE FONDOS DE PENSIONES:
Si usted tiene 25 años, y deposita 100 euros mensuales en una AFP que hace rendir a su dinero, 1% promedio mensual,
¿cuánto acumulará cuando cumpla 65 años?
DIAGRAMA: S = ?
100 100 100 . . . 100 100
0 1 2 3 419 480
i = 0.01 meses
ANÁLISIS:
Se trata de transformar, agrupar,un FLUJO Constante, en un STOCK Final. Se aplicará el FAF.
OPERACIONES:
S = R . FAFn i
(1 + i)n - 1 (1 + 0.01)
480- 1
S = R = 100 = 1 176 477.25
i 0.01 euros
SOLUCIÓN: 1 176 477.25 euros. PARA PASAR SU VEJEZ.
OBSERVACIÓN: El INTERÉS mensual que cobraría, en adelante, sería: I = 1 176 477.25 x 0.01 = 11 765 euros
hasta su MUERTE.
¿Y el capital 1 176 477.25 euros?.
Lo deja a su mujer.
Y, si ella es joven, se casa de nuevo.
CONCLUSIÓN: “Nadie sabe para quién trabaja”
Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN
1.4.
LOS FONDOS DE AMORTIZACIÓN
i
La
CUARTA
Fórmula Clave
I = P . i
1ra. 3ra.
4ta. Fórmula Clave
(1 + i)n - 1 i
S = P (1 + i)n S = R R = S
i (1 + i)n - 1
2da.
1 P = S
(1 + i)n
i
El Factor de Distribución de un Valor Futuro: FDVFni =
(1 + i)n - 1
El FDVF, transforma un STOCK Final: S, en un FLUJO constante: R.
El FDVF, distribuye, reparte, un STOCK Final: S, en un FLUJO constante: R.
S
R R R R
0 1 2 . . . n
MUY IMPORTANTE:
44
Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN
LA DEPRECIACIÓN
LOS CAMIONEROS: Un plazo MUY CORTO para entender.
Una FLOTA de camiones costó US$ 655.64
y hay que renovarla al término de su VIDA ÚTIL que es de “3 meses” Si un banco paga una tasa del 3% mensual,
¿cuál sería la cantidad necesaria y suficiente depositar a fin de cada mes, para acumular su costo, en EFECTIVO?.
R = S . FDVFn i
i 0.03
R = S = 655.64
(1 + i)n - 1 ( 1 + 0.03 )3 - 1
R = 655.64 [ 0.323530363 ] = 212.12 dólares
VERIFICACIÓN:
S
=
655.64
212.12 (1+ 0.03 )2 = 225.04
212.12 (1+ 0.03 )1 = 218.48
212.12 (1+ 0.03 )0 = 212.12
212.12 212.12 212.12 Σ = 655.64
Acumula el capital deseado 0 1 2 3 para reemplazar el activo.
i = 0.03
Para recordar, para que sirve el FDVF, acuérdese de:
LOS CAMIONEROS.
“Transforma un STOCK Final
S
, en un FLUJO Constante,R
INMEDIATO y VENCIDO”PROBLEMA PARA UD.: Calcule la cuota fija mensual inmediata y
Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN
1.5.
LA ACTUALIZACIÓN
DE UN FLUJO CONSTANTE
i
La
QUINTA
Fórmula Clave
I = P . i
3ra. 4ta.
1ra.
(1 + i)n - 1 i S = P (1 + i)n S = R R = S
i (1 + i)n - 1
2da. 5ta. Fórmula Clave
1 (1 + i)n - 1
P = S P = R (1 + i)n i (1 + i)n
(1 + i)n - 1
El Factor de Agrupamiento al Presente: FAPni =
i (1 + i)n
El FAP, transforma un FLUJO constante: R, en un STOCK Inicial: P.
El FAP, agrupa, reune, un FLUJO constante: R, en un STOCK Inicial: P.
R R R R
0 1 2 . . . n
P
46
DEMOSTRACIÓN DE LA 5ta. FÓRMULA CLAVE:
LA ACTUALIZACIÓN DE UN FLUJO CONSTANTE ( R )
P = R . FAPn i
(1 + i)n - 1
P = R
i (1 + i)n
DIAGRAMA:
R R R . . . R R R
0 1 2 3 4 n-2 n-1 n
1 R
( 1 + i )1 1
R ( 1 + i )2
. . .
R 1 ( 1 + i )n
P
Se trata de laAGRUPACIÓNde unFLUJO Constante .
Se trata de una Suma Económica, al INICIO del horizonte temporal.
1 1 1
P = R [ + + ... + ] Corchete es una P.G. (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)n
1 1 1 x
(1 + i) (1 + i)n (1 + i)
P = R [ ]
1 1 (1 + i)
Simplificando
(1 + i)n - 1 Al Corchete, se llamará:
P = R Factor de Agrupamiento al Presente(FAPni)
Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN
CAPACIDAD DE ENDEUDAMIENTO
¿Cuánto se podrá prestar a una persona que tiene excedentes
de efectivo de
212.12
dólares mensuales durante 3 meses?.Tasa de interés: i = 3% mensual
DETALLADAMENTE: Solo con la 2da. Fórmula
212.12 212.12 212.12
0 1 2 3 Es una SUMA ECONÓMICA
205.94 = 212.12 (1+ 0.03 )-1 i = 0.03
199.94 = 212.12 (1+ 0.03 )-2 194.12 = 212.12 (1+ 0.03 )-3
P
=
600 P = ?
ABREVIADAMENTE: Con la 5ta. FÓRMULA CLAVE
P = R . FAPn i
(1
+
i)n
-
1
P
=
R
i (1
+
i)n
( 1 + 0.03 )3 - 1
P = 212.12
0.03 ( 1 + 0.03 )3
P
=
212.12 [ 2.828611355 ]
P
=
600 dólares
