BLOQUE TEMÁTICO I: LA MEDIDA

BLOQUE TEMÁTICO I: LA MEDIDA Unidad temática 1: La medida

1.1. MAGNITUDES Y UNIDADES

1.1.1. Concepto de Magnitud: Magnitud es toda propiedad de un cuerpo que se puede medir.

Se representan mediante símbolos, que consisten generalmente en una letra del alfabeto griego o latino.

Por ejemplo, la longitud se representa con la letra l y el volumen con la letra V.

1.1.2. Concepto de Medir: Medir es comparar una magnitud con otra similar, que tomamos como unidad, y comprobar cuántas veces contiene la magnitud a dicha unidad.

El resultado de una medida es siempre un nº y una unidad, pues el primero, sin la segunda, carece de sentido.

Las unidades deben reunir una serie de requisitos:

••••Ha de ser fija, constante. No ha de cambiar ni con el tiempo ni con el individuo que realice la medida.

••••Debe ser universal, no variar de un país a otro.

•••• Ha de ser fácil de reproducir.

1.1.3. Magnitudes vectoriales y escalares:

1.1.3.1. Magnitudes escalares: son las que quedan definidas dando el resultado de su medida y la unidad, como, p.e., la Temperatura, ya que con decir que la temperatura del agua es de 80ºC la magnitud queda definida.

1.1.3.2. Magnitudes vectoriales: Son aquellas en que, además, precisan que se especifique su dirección y sentido. P.e., si alguien nos dice que a salir del aula se ha desplazado 5 metros, no sabremos dónde se encuentra después de dicho desplazamiento. Las magnitudes vectoriales se representan mediante un Vector, es decir, un segmento orientado cuya longitud es proporcional a la medida (o módulo) de la magnitud que representa. Su dirección (línea sobre la que lo dibujamos) y su sentido, que nos viene indicado por una flecha, coinciden con la dirección y sentido de la magnitud. Todo vector tiene un origen y un extremo.

Volviendo al ejemplo anterior, el desplazamiento habría quedado definido si nos hubieran proporcionado esta información: “Tras salir del aula me he desplazado 5 metros en dirección horizontal y en sentido hacia el este. Esto también se puede indicar dibujando un vector tal como se hace en la fig. anexa. Tomaremos el origen del vector (la puerta del aula) en el origen de los ejes de coordenadas.

Las magnitudes vectoriales se representan mediante una letra encima de la cual se escribe una flecha. Si nos referimos solamente a lo que mide la magnitud, utilizaremos la misma letra, pero sin la flecha.

1.1.- ¿Por qué es fundamental expresar siempre la unidad en que se ha realizado una medición?

1.2.- Analiza los inconvenientes de utilizar “el palmo” (la distancia entre la punta del pulgar y del meñique de la mano) como unidad de medida.

1.3.- A un cuerpo le hemos aplicado la fuerza que aparece en la figura anexa. Definir esta magnitud.

1.4.- Un desplazamiento (d) viene definido por: a) el punto de aplicación (4,2);

b) la dirección: línea que con la horizontal forma un ángulo de 45º; c) el sentido: hacia el noroeste; d) el módulo: d = 3 m. Representar esta magnitud por un vector. Hacer lo mismo si el punto de aplicación fuera (-3, 2). Imagina ahora que es el sentido el que cambia, siendo noreste.

1.1.4. Sistemas de Unidades:

1.1.4.1. Concepto: Un sistema de unidades o de medida es el conjunto de magnitudes y las unidades de medida elegidas para medirlas. En 1960 se aprobó un acuerdo internacional que especificaba las unidades básicas que debían utilizar todos los científicos. Estas unidades constituyen el Sistema Internacional (SI). En España, el SI fue adoptado oficialmente en 1967.

Se ha de tener en cuenta que:

1. Los símbolos de las unidades fundamentales se expresan en letras minúsculas. No obstante, si los símbolos se derivan de nombres propios, se utilizan letras mayúsculas.

2. Detrás de los símbolos nunca se pone punto.

En la tabla anexa aparecen las magnitudes y unidades fundamentales del SI.

Estas unidades, sin embargo, resultan a veces demasiado grandes o demasiado pequeñas. P.e., para medir el grosor de una moneda, el metro es una unidad muy grande, pero para medir la distancia entre Cádiz y Madrid es una unidad pequeña. Por ello es conveniente utilizar múltiplos y submúltiplos. Dichos múltiplos y submúltiplos se nombran mediante prefijos.

Todos ellos aparecen reflejados en la tabla anexa.

Observa que, a partir de un prefijo cualquiera, el superior a éste es 10 veces mayor y el inferior es 10 veces menor.

El símbolo del un múltiplo o submúltiplo se forma combinando el símbolo del prefijo con el símbolo de la unidad de la magnitud que estemos midiendo. Así

3 micrómetros = 3 µm = 3 x 0,000 001 m = 0,000 003 m

20 kilómetros = 20 km = 2.

10⁴ m = 20.000 m

7 milisegundos = 7 ms = 7 x 0,001 s = 0,007 s

No es correcto utilizar dos prefijos seguidos ante una unidad. P.e., no se debe escribir 7 m µ (milimicras) sino 7 nm (nanometros).

1.5.- ¿Es lo mismo “unidad de medida” que “sistema de unidades”? Razona tu respuesta.

1.6.- ¿El volumen y la superficie son magnitudes? ¿Por qué? ¿Por qué no aparecen sus unidades de medida reflejadas en el cuadro?

1.7.- Indica qué unidad adoptarías para medir las siguientes magnitudes, explicando el porqué de tu elección: a.- el diámetro de una moneda; b.- el tiempo de un disparo; c.- la distancia que separa la Tierra de la Luna; d.- la longitud de un río; e.- la temperatura que tienes un día que te encuentras enfermo.

1.8.- ¿Conoces alguna unidad de longitud diferente al metro (o a sus derivados)? Indica cuáles. ¿Y de masa diferente al kg?

1.9.- ¿Cuántas veces es menor el prefijo centi(c) que el deca (da)? ¿Y cuántas veces es mayor el prefijo hecto (h) que el deci (d)? ¿Qué significa el prefijo mega?

1.10.- Efectúa las siguientes transformaciones: a.- 2,3 m a dm; b.- 1,37 cm a hm; c.- 0,37 dam a m;

d.- 463 m a cm; e.- 0,007 kg a mg; f.- 8.329 mmol a mol.

1.2. MAGNITUDES MÁS IMPORTANTES

1.2.1. Longitud: Es una de las magnitudes fundamentales del S.I. y su unidad de medida es el metro. (m), que se puede definir como la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre que pasa por Barcelona. Esta medida se señaló sobre una barra de platino iridiado que es el metro patrón que se conserva en el Centro Internacional de Pesas y Medidas. Una copia de este patrón se encuentra en casi todos los países.

En la figura puedes observar cómo pasar de unas unidades de longitud a otras.

Para medir longitudes existen numerosos instrumentos. El que se use uno u otro depende de la longitud que midamos y de la precisión que queramos en la medida.

Entre los más habituales se encuentran el flexómetro, el calibre (o nonius) y la regla.

A B C

1.2.2. Superficie: Es una magnitud derivada, ya que se obtiene multiplicando la longitud de los dos lados de la superficie que se va a medir. La unidad es el metro cuadrado (m²), que se define como la superficie de un cuadrado de 1 m de lado. En los

cuadros aparecen las unidades y subunidades de superficie, y cómo pasar de unas a otras.

Como verás, las unidades varían de cien en cien.

En ocasiones, para medir superficies, se utiliza el área (a) o la hectárea (ha) en lugar del metro cuadrado.

En realidad, 1 área equivale a 1 dam², es decir, a 100 m²: 1 área = 1 dam² = 100 m²;

1 hectárea = 1 hm²

Si la superficie que se quiere medir corresponde a un polígono regular, existen fórmulas que permiten su cálculo. En la figura anexa se indican la de las figuras más comunes.

1.2.3. Volumen: Recibe el nombre de volumen el espacio que ocupa un cuerpo. La unidad de medida del volumen en el SI es el metro cúbico (m³), que equivale al volumen que ocupa un cubo de 1 m de arista. Como todas las unidades de medida, tiene múltiplos y submúltiplos, que se construyen a partir de cubo/s cuyas aristas sean las unidades de longitud (así, p.e. un dm³ es el volumen de un cubo que tenga una arista de 1 dm). Para transformar unos en otros hay que tener en cuenta que estas nuevas unidades varían de 1000 en 1000.

El volumen de los líquidos se suele expresar en unidades de capacidad (volumen máximo que admite un recipiente), siendo el litro (l) la unidad de capacidad del SI. Sus

múltiplos y submúltiplos varían de 10 en 10. Esto hace que las unidades de capacidad sean fáciles de manejar, y por ello se suelen emplear con preferencia a las de volumen.

Para transformar unidades de volumen a capacidad o

viceversa, hay que tener en cuenta que las de volumen varían de 1000 en 1000, mientras que las de capacidad lo hacen de 10 en 10, y no olvidar las equivalencias. Un litro equivale a 1 dm³.

El volumen de los sólidos regulares se calcula aplicando fórmulas matemáticas del volumen de estos cuerpos, para lo cual se necesitan realizar medidas de longitud (de aristas, alturas, radios...).

Para medir el volumen de

un líquido se utilizan diversos aparatos de vidrio graduados: probetas, pipetas, buretas, matraces Erlenmeyer... Todos ellos pueden tener distintos tamaños.

1.11.- Pon nombre a los aparatos de medida de las fotografías A, B y C de la página 3.

¿Cuál de ellos usarías para medir el grosor de una moneda? ¿Y la longitud de una habitación?

1.12.- Expresa en metros el resultado de las siguientes mediciones: a.- 5 km, 3 hm, 2m, 7 dm; b.- 3 km, 5 m, 3 cm; c.- 1 km, 30 m, 200 mm; d.- 20 hm, 50 m, 25 cm; e.- 256 km, 85 m; f.- 100 km, 300 m, 50 mm.

1.13.- Sabiendo que una fanega de tierra equivale a 6.459,6 m², ¿cuántos m² de tierra poseerá un agricultor que posee 35 fanegas? ¿Y cuántas ha?

1.14.- Determina la superficie de este folio y exprésala en cm², dm² y m². 1.15.- Calcula el área de la superficie de la figura anexa.

1.16.- Razona por qué las unidades de superficie varían de 100 en 100 y las de volumen de 1000 en 1000.

1.17.- Ordena de mayor a menor las siguientes cantidades: 750 m³; 75 dam³; 77 dm³; 75.000 km³

1.18.- Elige las unidades más adecuadas para medir las siguientes magnitudes: a.- La capacidad de una botella de leche; b.- La capacidad de un pantano; c.- La capacidad de un bote de refresco; d.- El volumen de una goma de borrar.

1.19.- Una lata de refresco de 33 cl, ¿cabrá en un vaso cuyo volumen es 250 cm³?

1.20.- Si tuvieras que transvasar 15 ml de un líquido desde una botella hasta un vaso graduado,

¿cuáles de los siguientes instrumentos utilizarías? Razona tus respuestas. a.- Una bureta de 25 ml; b.- Una pipeta de 10 ml; c.- Una probeta de 100 ml

1.21.- Mide un tetrabrik y calcula su volumen.

1.22.- Una probeta de 250 cm³ contiene agua hasta un nivel de 100 cm³. Introducimos 10 monedas, de 12 g cada una, y el nivel del agua asciende hasta 177 cm³. ¿Cuál es el volumen de una moneda?

1.23.- Sabiendo que el diámetro de un tubo de ensayo es de 1,4 cm y su altura de 1,5 dm ¿cuál es su volumen?

1.24.- Tenemos una esfera metálica de 2 cm de radio. Calcula su volumen y expresa el resultado en el SI.

1.25.- Calcula el volumen de la tierra (supón que es una esfera de 6500 km de radio).

1.26.- Efectúa las siguientes transformaciones: 4,5 km a cm; b.- 2483,5 dm a km; c.- 534,17 mm a m; d.- 843,15 cm² a dm²; 3,823 ha a m²; 2 hm³ a m³; 330 dm³ a l; 5000 ml a dam³; 456 ml a l; 4 dm³ a kl.

1.27.- Indica si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas. En caso de que sean falsas, escribe la frase correcta:

a.- Un litro es la capacidad de un cubo regular de un metro de arista b.- Un metro equivale a 10³ mm

c.- Si la arista de un cubo regular (A) mide el doble que la arista de otro cubo regular (B), entonces el volumen del cubo A será el doble que el volumen del cubo B.

1.28.- Completa las siguientes frases: las unidades de volumen van de ... en ...; en cambio, las unidades de capacidad van de ... en ... Así, 1 m³ tiene ... dm³; 1 dm³ tiene ... cm³, y 1 cm³ tiene ... mm³; sin embargo, 1 l tiene ... dl, 1 dl tiene ... cl, y 1 cl tiene ... ml.

1.29.- Entra en el Tema 3 del nivel I (¿Cómo aparece la materia en la naturaleza?), apartado 3.2.1 (El volumen), realiza la actividad de “¿y los cuerpos que no son regulares?” y los ejercicios de Autoevaluación.

1.30.- ¿Cómo medirías el volumen de un sólido irregular (p.e. un anillo)?

1.31.- Expresa en centilitros: a.- 3 dal 7l 5 dl 4 cl 5 ml; b.- 6 hl 8 l 2 ml; c.- 0.072 kl 5.06 dal 400 ml;

d.- 0.000534 kl + 0.47 l

1.32.- Expresa en litros: a.- 13.2 m³; b.-0.05 m³; c.-3.9 dm³; d.- 7 700 cm³

133.- Expresa en centímetros cúbicos: a.- 5.22 dm³; b.- 6 500 mm³; c.- 3.7 dl; d.- 25 cl,

1.34.- Expresa en metros cuadrados: a.- 0.00351 km² +4700 cm²; b.- 0.058 hm² - 3.321 m²; c.- 5 hm² 2,4 dam² 60 dm² 72 cm².

1.35.- Expresa en litros: a.- 3 kl 5 hl 7 dal: b.- 7 l 4 cl 3 ml: c.- 25.56 dal + 526.9 dl;

d.- 53 600 ml + 9 830 cl; e.- 1.83 hl + 9.7 dal + 3 700 cl Página con numerosos ejercicios de conversión:

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/andared01/sistema_metrico/sistemaMetrico.swf

1.2.4. Tiempo: Hasta ahora nadie ha sido capaz de definir el tiempo físico, aunque se podría decir que es la duración de un fenómeno. A pesar

de ello, el ser humano lo ha conocido y comprendido desde siempre y lo ha medido con relojes. La construcción de relojes se ha fundamentado en fenómenos que se repiten periódicamente, como la noche y el día.

Hay relojes de muy diversos tipos: de sol, de arena, mecánicos, electrónicos...

Como unidad de tiempo se ha tomado el segundo (s). El sistema horario no es decimal (excepto los submúltiplos). En el

cuadro aparecen las unidades de tiempo más comunes.

1.36.- Otras unidades de tiempo son el año, el lustro y el siglo. ¿Conoces sus equivalencias?

1.37.- Completa las siguientes frases: El tiempo se mide en ... según el SI. El sistema horario, formado por los múltiplos y submúltiplos del ..., no es un sistema decimal, ya que la equivalencia entre las diversas unidades no es un múltiplo de ... Así, sabemos que 1 día tiene ... horas, 1 hora tiene ... minutos y 1 minuto tiene ...

segundos. Para tiempos menores se emplean la ..., la ... y la... de segundo.

1.38.- Ordena de menor a mayor las siguientes cantidades: 1/100 de día, 50 min, 500 s 1.39.- Expresa en segundos: 7 h 35 min 20 s; 3 h 25 min 43 s;

1.40.- Efectúa las siguientes transformaciones: 3 h en s, 19.800 s a min, 2 siglos a días, 4 min a cs, 25.230 s a h; 9840000 ms a s.

1.41.- Deduce el número de horas, minutos y segundos a que corresponden 39.821 s.

1.42.- ¿Cuántos días son 3 lustros? (no tengas en cuenta los años bisiestos) ¿Cuántos lustros representan 75 años?

1.43.- Transforma en decímetros cúbicos 700 cm³, 1000 l y 2 m³. Expresa en m² 50 ha, 20 dm² y 0,07 hm². ¿Cuántos segundos son 13 h, 24 min y 235 s? Expresa en días, horas, minutos y segundos a.- 45379243000 s; b.- 32456798423450 s; 2376589040376283 s

1.44.- Entra en el Tema 3 del nivel I (¿Cómo aparece la materia en la naturaleza?), apartado 3.1.3 el tiempo) y realiza los ejercicios de Autoevaluación.

1.3.- POTENCIAS DE 10

1.3.1. Concepto de potencia: Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El número que multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la base se llama exponente. Así, en la potencia 2⁴, la base es 2 y el exponente es 4.

1.3.2. Potencias de 10: Son aquellas que tienen como base el 10.

Prueba a escribir en un papel la cifra diez billones. Seguro que después te duele la mano de escribir tantos ceros. ¿Y si escribes una diezmillonésima? Los ceros tras la coma son interminables.

Pues bien, las matemáticas simplifican esta escritura. Veámoslo:

• Para escribir diez billones necesitas 13 ceros: 10000000000000, pero esto se puede escribir 10¹³.

• Para escribir una diezmillonésima haríamos esto: 0,0000001, lo que más cómodamente podemos expresar así: 10^-7.

Es decir...

• Una potencia de 10 (con exponente positivo) se calcula poniendo la unidad seguida de tantos ceros como diga el exponente. Por ejemplo: 10³ vale la unidad seguida de 3 ceros: 1000.

• Una potencia de 10 con exponente negativo (por ejemplo 10^-3) vale un número decimal que tiene:

o Parte entera cero: 0,___

o Parte decimal: ceros hasta la cifra decimal que indica el exponente (la tercera en nuestro caso), donde va un 1. En nuestro caso en la tercera cifra decimal ponemos 1 y en las anteriores 0, y nos queda: 0,001

1.45.- Expresa en forma de potencia: 2x2x2x2x2; 5x5x5x5x5x5x5; 3x3: 4x4x4; 23x23x23x23;

1.46.- Calcula las siguientes potencias: 3⁵, 5³, 7², 2⁷, 10⁴, 4¹⁰. En cada caso escribe cuál es la base y cuál es el exponente.

1.47.- Entra en el Tema “Iniciando un viaje… muy lejano” del nivel I, apartado 1.1 (Números para lo grande y lo pequeño) lee la información y realiza los ejercicios del final.

1.3.3. Notación científica: En demasiadas ocasiones los números con que nos encontramos son grandes, con muchas cifras decimales o con muchos ceros. Para evitar errores recurrimos a la Notación Científica, que no es otra cosa que poner dichos números como producto de un número "más manejable" por una potencia de

10.

Por ejemplo:

• 1000 = 10³ 2000 = 2x10³.

• 5000000000000 = 5x10¹²

• 0,01 = 10^-2 0,07 = 7x10^-2

En caso de números decimales como 345,678, en su lugar escribiremos otro número cuya parte entera, (el número que está a la izquierda de la coma), estará formada por una sola cifra DISTINTA DE CERO, la primera significativa del número... en nuestro caso 3. La parte decimal podrá tener varias cifras el resto de las de nuestro número (en nuestro caso 45678).

Tenemos entonces 3,45678. Pero eso no se parece al número del principio... no es lo mismo tres "y pico"

que trescientos "y pico". Nos falta multiplicar 3,45678 por 100 para igualar, es decir por una potencia de 10 con exponente (exponente = el número de lugares que se ha movido la coma) en nuestro caso dos hacia la izquierda.

Por tanto el resultado final es 345,678 = 3,45678x10²

Si el número original no tiene parte entera, p. e.

0,0897, se hace igual: primera cifra significativa (es 8) antes de la coma y el resto (97) después, tenemos 8,97. La coma se ha movido dos lugares hacia la derecha el exponente sería 2, pero con signo negativo por mover la coma a la derecha. El resultado final es 0,0897= 8,97x10^-2.

1.48.- Entra en el Tema 3 del nivel I (¿Cómo aparece la materia en la naturaleza?), apartado 3.2 (¿y si los números son demasiado grandes?) lee la información y realiza los ejercicios del final.

1.49.- Escribe, utilizando la notación científica: a.- 5000; b.- 256,3; c.- 0,00438; d.- 732,547;

e.- 0,003456; f.- 0,00000256; g.- 0,00000012; h.- 0,000275: i.- 2354,125; j.- 1243,34; k.- doce mil millones

1.59.- Cuánto es: a.- 1.35 × 10⁴; b.- 7.1 × 10^-3; c.- 6,532 x 10³; d.- 3,5687 x 10⁶; e.- 3,256 x 10²; f.- 2,678 x 10⁵; g.- 7,1 x 10⁴; h.- 4,398765 x 10⁶; i.- 2,364 x 10^-3; j.- 8,32 x 10^-5; k.- 2,1 x 10^-2. 1.51.- Sabiendo que la longitud de una Bacteria es de 10 m), expresa dicha longitud en metros

según la notación científica.

1.52- Un virus tiene una longitud de 40 Å (Angströng, unidad de longitud que equivale a una diezmillonésima de milímetro). Expresa dicha longitud en metros según la notación científica.

1.53.- Si quieres saber más sobre potencias entra en los apartados correspondientes de esta página, lee sus textos y realiza las actividades:

http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1129