Apuntes de C alculo II Javier Llorente Junio 2005

Apuntes de C´ alculo II

Javier Llorente

Junio 2005

2

´ Indice general

1. Funciones de varias variables 7

1.1. Conjuntos asociados a funciones . . . 8

1.1.1. Dominio de una funci´on . . . 8

1.1.2. Imagen de una funci´on . . . 8

1.1.3. Gr´afica de una funci´on . . . 8

1.1.4. Conjuntos de nivel . . . 8

1.1.5. Ejemplos . . . 8

1.2. Rⁿ como espacio m´etrico . . . 9

1.3. Rⁿ como espacio vectorial normado . . . 10

1.4. Topolog´ıa de conjuntos en Rⁿ . . . 11

1.5. L´ımites y continuidad . . . 13

1.5.1. Definici´on  − δ del l´ımite . . . 13

1.5.2. Continuidad de funciones . . . 13

1.5.3. Propiedades de los l´ımites y de las funciones continuas 14 1.5.4. Existencia de l´ımites . . . 16

1.5.5. C´alculo de l´ımites . . . 16

1.6. Propiedades topol´ogicas de las funciones continuas . . . 18

2. Diferenciabilidad y derivadas parciales 19 2.1. Diferencial de una funci´on en un punto . . . 19

2.2. Matriz de la aplicaci´on lineal df . . . 20

2.3. Propiedades de la diferenciaci´on . . . 22

2.3.1. Suma de funciones diferenciables . . . 22

2.3.2. Regla de Leibniz . . . 22

2.3.3. Regla de la cadena . . . 22

2.4. Teorema de Euler . . . 23

2.5. Funciones de clase C¹ . . . 23

2.6. Derivadas parciales y diferenciales sucesivas . . . 23

2.7. Derivadas direccionales . . . 25

2.7.1. Interpretaci´on geom´etrica del gradiente . . . 25

2.8. Plano tangente a superficies . . . 25 3

4 ´INDICE GENERAL

2.8.1. Ecuaci´on del plano tangente a L_c(f ) . . . 26

2.8.2. Plano tangente a la gr´afica de una funci´on . . . 26

2.9. Divergencia y rotacional . . . 27

2.9.1. Teoremas sobre la divergencia y el rotacional . . . 27

3. F´ormula de Taylor y extremos 29 3.1. F´ormula de Taylor . . . 30

3.2. Extremos de funciones . . . 31

3.2.1. Clasificaci´on de puntos cr´ıticos . . . 32

3.2.2. Extremos en puntos frontera . . . 33

3.3. Funci´on inversa . . . 34

3.3.1. Invertibilidad local . . . 34

3.3.2. Teorema de la funci´on inversa . . . 35

3.4. Funciones impl´ıcitas . . . 36

3.4.1. Teorema de la funci´on impl´ıcita . . . 36

3.5. Subvariedades diferenciables . . . 37

3.5.1. Vectores tangentes y normales a subvariedades . . . 38

3.6. Extremos condicionados . . . 39

3.6.1. Multiplicadores de Lagrange . . . 39

4. Integrales m´ultiples 41 4.1. Integral doble sobre un rect´angulo . . . 41

4.1.1. Teorema de Lebesgue para integrales de Riemann . . . 42

4.2. Propiedades de la integral . . . 43

4.3. Teorema de Fubini . . . 44

4.3.1. Interpretaci´on geom´etrica . . . 45

4.4. Integracion sobre conjuntos generales . . . 45

4.4.1. Regiones de tipo I . . . 46

4.4.2. Regiones de tipo II . . . 46

4.4.3. Regiones de tipo III . . . 46

4.5. Integrales m´ultiples . . . 47

4.5.1. Teorema general de Fubini . . . 47

4.6. Integrales triples . . . 48

4.6.1. Tipos de regiones en R³ . . . 48

4.7. Cambio de variables . . . 49

4.7.1. Coordenadas polares . . . 49

4.7.2. Coordenadas cil´ındricas . . . 50

4.7.3. Coordenadas esf´ericas . . . 50

4.8. Aplicaciones de la integral . . . 50

4.8.1. Centro de masa . . . 50

4.8.2. Momento de inercia . . . 51

´INDICE GENERAL 5

4.8.3. Promedio integral . . . 51

5. Integrales de l´ınea y superficie 53 5.1. Longitud de una curva param´etrica . . . 53

5.1.1. Reparametrizaci´on de curvas . . . 54

5.2. Integrales sobre curvas param´etricas . . . 54

5.2.1. Integral de trayectoria para campos escalares . . . 54

5.2.2. Integral de l´ınea . . . 55

5.3. Campos conservativos . . . 56

5.4. Teorema de Green en el plano . . . 59

5.4.1. Teorema de Green para regiones m´ultiplemente conexas 60 5.5. Integrales de superficie . . . 60

5.5.1. Integraci´on de campos escalares sobre superficies . . . . 61

5.5.2. Integraci´on de campos vectoriales sobre superficies . . . 61

5.5.3. Teoremas de Stokes y Gauss . . . 62

6 ´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1

Funciones de varias variables

Durante este curso el conjunto que se estudiar´a ser´a Rⁿ, definido como:

Rⁿ = ( R × R × · · · × R

| {z }

n

)

Es decir, Rⁿ es el producto cartesiano de R × R n veces. Tambi´en se puede describir este conjunto como el de las n-uplas de componentes reales, es decir:

Rⁿ = {(x1, . . . , xn)|xi ∈ R ∀i : 1 ≤ i ≤ n}

Son tambi´en importantes las funciones de un cierto Rⁿ en otro R^m, esto es, las funciones de la forma:

f : Rⁿ −→ R^m

~

x 7−→ ~y = ~f (~x) Donde si ~f va de un Rⁿ en un R^m, m 6= 1 se tiene:

~

y = ~f (~x) ≡





 y₁

... y_m





=







f₁(x₁, . . . , x_n) ...

f_m(x₁, . . . , x_n)







Ejemplo Sea ~f : R³ −→ R² definida por:

~

y = y₁ y₂



= f₁(x₁, x₂, x₃) f₂(x₁, x₂, x₃)



=

 x²₁ + x₂+ x₃ x₁+px₂+ x²₃



Esto es un ejemplo de una funci´on de 3 variables en el conjunto R² 7

8 CAP´ITULO 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

1.1. Conjuntos asociados a funciones

Se ver´an ahora algunos conjuntos importantes a la hora de estudiar estas funciones de varias variables

1.1.1. Dominio de una funci´ on

Dada una funci´on f : Rⁿ−→ R^m se define el dominio de dicha funci´on y se denotar´a por D(f ) al conjunto de puntos de Rⁿpara los cuales est´a definida la funci´on, es decir, el conjunto:

D(f ) = {~x ∈ Rⁿ|∃f (~x)} ⊂ Rⁿ

Para funciones vectoriales, es decir, funciones del tipo ~f : Rⁿ −→ R^m se define el dominio como la intersecci´on de los dominios de cada una de las funciones que definen ~f , es decir:

D( ~f ) =

m

\

i=1

D(f_i)

1.1.2. Imagen de una funci´ on

Dada una funci´on ~f : Rⁿ −→ R^m llamaremos imagen o rango de ~f y lo denotaremos por R( ~f ) al conjunto:

R( ~f ) = {~y ∈ R^m|~y = ~f (~x)∀x ∈ D(f )} ⊂ R^m

1.1.3. Gr´ afica de una funci´ on

Dada ~f : Rⁿ−→ R^m llamaremos grafo o gr´afica de ~f al conjunto:

G( ~f ) = {(~x, ~f (~x))|~x ∈ D( ~f )} ⊂ R^n+m

1.1.4. Conjuntos de nivel

Dada una funci´on f (x₁, . . . , x_n) y c ∈ R, llamaremos conjunto de nivel de valor c para la funci´on f a un subconjunto del espacio inicial definido como:

L_c(f ) = {~x ∈ D(f )|f (~x) = c} ⊂ Rⁿ

1.1.5. Ejemplos

A continuaci´on se ver´an algunos ejemplos de estos conjuntos en ciertas funciones.

1.2. R^N COMO ESPACIO M ´ETRICO 9 1. Sea f : R −→ R definida como:

f (x) = 1 x² Sus conjuntos asociados ser´ıan:

D(f ) = {x ∈ R|x² 6= 0} = R − {0}

R(f ) = {y ∈ R|y = f(x)∀x ∈ D(f)} = R⁺− {0}

G(f ) = {(x, f (x)|x ∈ D(f )} = {(x, y)|y = f (x)} ⊂ R²

2. Sea f : R −→ R² definida por:

f (~~ x) =  x(t) y(t)



=

 cos(t) sen(t)



Sus conjuntos asociados ser´an:

D( ~f ) = R

R( ~f ) = {(x, y) ∈ R²|x = cos(t), y = sen(t)} ⊂ R² G( ~f ) = {~x ∈ R³|x₁ = t, x₂ = cos(t), x₃ = sen(t)}

3. Conjuntos de nivel de la funci´on definida por:

f : R² −→ R

(x, y) 7−→ x²+ y² Se tienen los casos siguientes:

∀c > 0 ⇒ L_c(f ) = {circunferencias de radio√ c}

∀c = 0 ⇒ L_c(f ) = {(0, 0)}

∀c < 0 ⇒ L_c(f ) = ∅

1.2. R

como espacio m´ etrico

Definici´on: Un espacio m´etrico es un conjunto X dotado con una noci´on de distancia. Una distancia es una aplicaci´on d : X × X −→ R que satisface las siguientes propiedades:

i) d(x, y) ≥ 0∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y ii) d(x, y) = d(y, x)∀x, y ∈ X

iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)∀x, y, z ∈ X(Desigualdad triangular)

10 CAP´ITULO 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Definici´on: Un espacio vectorial normado es un espacio vectorial provisto de una aplicaci´on kk : V −→ R que cumple las siguientes propiedades:

i) ∀~v ∈ V ⇒ k~vk ≥ 0; k~vk = 0 ⇔ ~v = ~0 ii) ∀λ ∈ R; ∀~v ∈ V ⇒ kλ · ~vk ≤| λ | k~vk iii) ∀~u, ~v ∈ V ⇒ k~u + ~vk ≤ k~uk + k~vk

Sea V un espacio vectorial normado. Se define la distancia en V como:

d(~v, ~w) = k ~w − ~vk

Proposici´on: Todo espacio vectorial normado es un espacio m´etrico, toman- do como distancia la anterior definici´on usando la norma en V . A partir de aqu´ı es f´acil probar las siguientes igualdades:

· ∀~v ∈ V ⇒ k − ~vk = k~vk

· ∀~u, ~v ∈ V ⇒| k~uk − k~vk |≤ k~u − ~vk

1.3. R

como espacio vectorial normado

Puesto que los espacios vectoriales normados son un caso de los espacios m´etricos, se tiene que definiendo una norma en Rⁿ, este es un espacio vectorial normado. Definiremos la norma en Rⁿ utilizando el producto escalar.

Sean ~x = (x₁, . . . , x_n) ∈ Rⁿ

~

y = (y₁, . . . , y_n) ∈ Rⁿ



⇒ ~x · ~y =

n

X

i=1

x_i· y_i = x₁y₁+ . . . + x_ny_n

Entonces k~xk =√

~ x · ~x

Lema: Desigualdad de Cauchy-Schwartz Esta desigualdad establece que:

∀~x, ~y ∈ Rⁿ ⇒| ~x · ~y |≤ k~xkk~yk

Demostraci´on: Definiremos una funci´on g(t) de la cual hallaremos sus m´ınimos

i) ∀~y ∈ Rⁿ⇒ 0 ≤ 0

ii) ∀~y 6= ~0 ⇒ g(t) = (~x + t~y) · (~x + t~y) = k~x + t~yk² Desarrollando la funci´on g(t) y deriv´andola se tiene:

g(t) = ~x · ~x + 2~x · ~yt + ~y · ~yt² ≥ 0

1.4. TOPOLOG´IA DE CONJUNTOS EN R^N 11 g⁰(t) = 2~x · ~y + 2t~y · ~y ⇒ t₀ = −^~x·~_~y·~^y_y

g⁰⁰(t) = 2~y · ~y > 0



⇒ t₀ = m´ın g(t) De aqu´ı, sustituyendo t₀ en g(t) se tiene:

g(t₀) = ~x · ~x − ^(~x·~_~y·~^y)_y² ≥ 0

(~x · ~y)² ≤ (~x · ~x)(~y · ~y) ⇔| ~x · ~y |≤ k~xkk~yk

Esta desigualdad se satura en caso de que ~x y ~y sean linealmente dependien- tes.

Angulo entre dos vectores´ El ´angulo que forman dos vectores en Rⁿ se puede definir utilizando el producto escalar como:

cos θ_(x,y) = ~x · ~y k~xkk~yk

Propiedades de la norma Las normas en Rⁿtienen las siguientes propiedades:

i) k~xk = r _n

P

i=1

x²_i ≥ 0; k~xk = 0 ⇔ ~x = ~0 ii) kλ~xk =| λ | k~xk

iii) k~x + ~yk ≤ k~xk + k~yk

1.4. Topolog´ıa de conjuntos en R

La topolog´ıa se encarga de describir los subconjuntos de Rⁿ dependiendo del lugar que ocupan los puntos. As´ı podemos definir los siguientes conceptos.

Definici´on: Bola abierta Dado un punto ~x ∈ Rⁿ y un n´umero real r > 0 se llama bola abierta de centro ~x y radio r al conjunto:

B_r(~x) ≡ {~y ∈ Rⁿ | d(~x, ~y) = k~y − ~xk < r}

Definici´on: Bola abierta perforada Se llama bola abierta perforada de centro ~x y radio r > 0 al conjunto:

B_r⁰(~x) = B_r(~x) − {~x}

Es decir, es una bola abierta de la cual se excluye su centro.

12 CAP´ITULO 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Definici´on: Dado un subconjunto A ⊂ Rⁿ y ~x ∈ Rⁿ:

· ~x es punto interior de A ⇔ ∃r > 0 | Br(~x) ⊂ A

· ~x es punto exterior de A ⇔ ∃r > 0 | B_r(~x) ⊂ (Rⁿ− A)

· ~x es punto frontera de A ⇔ ∃r > 0 | B_r(~x) ∩ A 6= ∅; B_r(~x) ∩ (Rⁿ− A) 6= ∅ Existen varios conjuntos seg´un la posici´on relativa de ~x:

· A = {~^◦ x ∈ Rⁿ | ~x es punto interior de A}

· ext A = {~x ∈ Rⁿ| ~x es punto exterior de A}

· ∂A = {~x ∈ Rⁿ| ~x es punto frontera de A}

Estos conjuntos tienen las siguientes propiedades:

i) A ∪ ext A ∪ ∂A = R^{◦ n} ii) A ∩ ext A =^◦

◦

A ∩∂A = ext A ∩ ∂A = ∅

Definici´on: Punto aislado Se dice que ~x ∈ Rⁿ es punto aislado de A cuando ∀r > 0 ∃B_r(~x) | B_r(~x) ∩ A = {~x}∀~x ∈ A

Definici´on: Punto de acumulaci´on Se dice que ~x ∈ Rⁿ es punto de acumulaci´on de A ⊂ Rⁿ ⇔ ∀r > 0 ∃B_r⁰(~x) | B_r⁰(~x) ∩ A 6= ∅. Es decir, si podemos encontrar puntos de A tan cerca como queramos del punto ~x.

Definici´on: Conjunto abierto Se dice que A ⊂ Rⁿ es abierto cuando todos sus puntos son interiores, es decir, si A = A. Estos conjuntos tienen^◦ las siguientes propiedades:

i) Rⁿ y ∅ son abiertos

ii) Dada una colecci´on de abiertos {Aα}α∈I ⇒ S

α∈I

es abierto iii) Dados A y B abiertos ⇒ A ∩ B es abierto

Definici´on: Conjunto cerrado Un conjunto A ⊂ Rⁿ es cerrado si su conjunto complementario, Rⁿ− A es abierto. Los conjuntos cerrados tienen las siguientes propiedades:

i) Rⁿ, ∅ son cerrados y abiertos al mismo tiempo ii) Dada una colecci´on de cerrados {F_α}_α∈I ⇒ T

α∈I

es cerrado iii) Dados F y G cerrados, entonces F ∪ G es cerrado

1.5. L´IMITES Y CONTINUIDAD 13

Ejemplo En R:

∞

S

n=2

[0, 1 − _n¹] = [0, 1)

Definici´on: Dado A ⊂ Rⁿse llama cierre de A(A) al conjunto A =A ∪ ∂A.^◦ A es cerrado si y s´olo si A = A.

Definici´on: Un conjunto K ⊂ Rⁿ se define como acotado si:

K acotado ⇔ ∃M > 0 | ∀~x ∈ K ⇒ k~xk ≤ M

Definici´on: Un conjunto K ⊂ Rⁿse dice compacto si es cerrado y acotado.

1.5. L´ımites y continuidad

En esta secci´on se estudiar´an los l´ımites y la continuidad de las funciones de varias variables.

1.5.1. Definici´ on  − δ del l´ımite

Dada una funci´on ~f : Rⁿ −→ R^m y un punto ~a ∈ Rⁿ que sea punto de acumulaci´on de D( ~f ) se dice que:

~l´ım

x→~a

f (~~ x) = ~b ⇔ ∀ > 0 ∃ δ() > 0 | 0 < k~x − ~ak < δ() ⇒ k ~f (~x) − ~bk <  Es decir, dado un grado de proximidad  > 0 es posible encontrar un δ > 0 de forma que si los puntos ~x ∈ D( ~f ) distan de ~a menos que δ, entonces los puntos ~f (~x) ∈ R( ~f ) distar´an de ~b menos que 

1.5.2. Continuidad de funciones

A partir de la definici´on de l´ımite por el criterio -δ anterior podemos definir el concepto de continuidad de una funci´on en un punto ~a de su do- minio:

Definici´on: Funci´on continua Dada una funci´on ~f : Rⁿ −→ R^m y un punto ~a ∈ D(f ) diremos que f es continua en ~a s´ı y s´olo s´ı:

∀ > 0 ∃δ() > 0 | k~x − ~ak < δ() ⇒ k ~f (~x) − l´ım

~ x→~a

f (~~ x)k <  es decir, si:

∀B_(~b) ∃B_δ()(~a) | ~f (B_δ()(~a)) ⊂ B_( ~f (~a))

14 CAP´ITULO 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Es decir, dada una bola abierta de radio  y centrada en ~b = ~f (~a), existir´a otra bola abierta de radio δ y centrada en ~a que contenga a los elementos cuyas im´agenes pertenecen a la bola anterior.

Si ~f es una funci´on continua en un punto ~a hay varias posibilidades: La primera que ~a sea punto aislado de D(f ) o bien que sea punto de acu- mulaci´on, en cuyo caso se tiene que l´ım~x→~af (~~ x) = ~f (~a). Por otro lado, si l´ım_~x→~af (~~ x) 6= ~f (~a) se dir´a que f tiene una discontinuidad evitable en ~x = ~a, que se evitar´a definiendo una nueva funci´on dada por:

f~₂(~x) =

( f~₁(~x) ∀~x 6= ~a l´ım_~x→~af (~~ x) ∀~x = ~a

1.5.3. Propiedades de los l´ımites y de las funciones continuas

Todas estas propiedades son demostrables aplicando la definici´on -δ del l´ımite.

Propiedad 1: Dadas dos funciones ~f , ~g : Rⁿ−→ R^m con l´ımites ~b₁ y ~b₂ en

~x = ~a se tiene:

l´ım

~x→~a( ~f (~x) + ~g(~x)) = ~b₁+ ~b₂

Puede que la suma de dos funciones discontinuas en un cierto ~x sea con- tinua para ese valor, sin embargo, suma de funciones continuas ser´a siem- pre continua y suma de una funci´on continua con una discontinua siempre ser´a discontinua.

Propiedad 2: Sean f, g : Rⁿ −→ R. Si ambas tienen l´ımite en un cierto

~x = ~a y valen b₁ y b₂, entonces se tiene:

l´ım

~

x→~a(f (~x) · g(~x)) = b₁· b₂

El producto de funciones continuas es siempre una funci´on continua.Puede ocurrir que el producto de una funci´on continua por una discontinua sea continua o bien que el producto de dos funciones discontinuas sea continua.

Propiedad 3: Dada f : Rⁿ−→ R tal que f(~a) = b 6= 0 se tiene:

∃ l´ım

~ x→~a

1 f (~x) = 1

b

1.5. L´IMITES Y CONTINUIDAD 15 Por otro lado, dadas f, g continuas en ~a tal que g(~a) 6= 0 entonces se tiene:

∃ l´ım

~ x→~a



h(~x) = f (~x) g(~x)



luego h(~x) es continua en ~x = ~a

Propiedad 4: Dada una funci´on vectorial de m componentes escalares f : R~ ⁿ −→ R^m se tiene:

~l´ım

x→~a

f (~~ x) = ~b ⇔ l´ım

~

x→~af_i(~x)) = b_i ∀ 1 ≤ i ≤ m

Una funci´on vectorial es continua si y s´olo si lo son cada una de sus funciones componentes f_i

Propiedad 5: Dada f : Rⁿ −→ R, si f es continua en ~x = ~a, f(~a) > 0(< 0) y ~a es punto de acumulaci´on de D(f ), entonces:

∃r > 0 | f (~x) > 0(< 0)∀~x ∈ Br(~a) ∩ D(f )

Propiedad 6: Dadas tres funciones f, g, h : Rⁿ −→ R, si ∃r > 0 tal que f (~x) ≤ h(~x) ≤ g(~x) para todo ~x ∈ B_r(~a) y adem´as l´ım_~x→~af (~x) = l´ım_~x→~ag(~x) = b se tiene:

l´ım

~

x→~ah(~x) = b

Este resultado se conoce como criterio de comparaci´on.

Propiedad 7: Dadas f, g : Rⁿ −→ R, si l´ım~x→~af (~x) = 0 y adem´as existen dos n´umeros reales M, r > 0 tales que | g(~x) |≤ M ∀~x ∈ B_r(~a) ∩ D(f ), entonces se tiene:

∃ l´ım

~x→~a(f (~x) · g(~x)) = 0

Es decir, el l´ımite de una funci´on nula en ~x = ~a por una funci´on acotada es nulo.

Propiedad 8: Dadas f : Rⁿ −→ R^p y g : R^p −→ R^m, se define g ◦ f como g(f (~x)). Supongamos que se cumple:

i) ~a es punto de acumulaci´on de D(f ) y f (~x) es continua en ~a ii) f (~a) es punto de acumulaci´on de D(g) y g(~x) es continua en ~a iii) ~a es punto de acumulaci´on de D(g ◦ f ) y g ◦ f es continua en ~x = ~a

16 CAP´ITULO 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Entonces se tiene:

l´ım

~

x→~ag(f (~x)) = g(f (~a))

La funci´on resultante de la composici´on de dos funciones continuas es con- tinua en general.

1.5.4. Existencia de l´ımites

Definici´on: L´ımite a lo largo de curvas. Sea f (~x) una funci´on escalar de n variables y sea ~a ∈ D(f ). Sea Φ(t) una curva continua en Rⁿ(Φ : R −→ Rⁿ) tal que Φ(0) = ~a y ∃r > 0 tal que f (B_r⁰(0) = (−r, 0) ∪ (0, r)) ⊂ D(f ).

Entonces llamamos l´ımite de f (~x) a lo largo de la curva ~Φ(t) al l´ımite:

l´ımt→0f (Φ(t))

Para todo ~a perteneciente al conjunto de puntos frontera del dominio de f se tiene que el l´ımite s´olo est´a definido en una direcci´on de la curva. Si a lo largo de varias curvas el l´ımite no coincide, se dice que no existe el l´ımite.

Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo: Sea la funci´on

f (x, y) = x + y x − y

y la familia de rectas que pasan por el origen, dadas por y = mx. Entonces, a lo largo de las rectas, el l´ımite ser´a:

l´ım

(x,y)→(0,0)f (x, y) = l´ım

x→0

x + mx

x − mx = (1 + m)x

(1 − m)x = 1 + m 1 − m

El l´ımite depende por tanto de la recta que se tome y se dice que no existe el l´ımite. Por otro lado, aunque los l´ımites a lo largo de todas las rectas coincidan, es posible que exista otra familia de curvas a trav´es de las cuales el l´ımite no sea el mismo, por tanto es imposible determinar el l´ımite por este procedimiento.

1.5.5. C´ alculo de l´ımites

Veamos ahora como se calculan los l´ımites de funciones de varias vari- ables. Ser´a necesario el teorema de Taylor visto en C´alculo I y el concepto de infinit´esimo.

1.5. L´IMITES Y CONTINUIDAD 17 Definici´on: Infinit´esimo Dadas dos funciones f, g con g(~x) ≥ 0 se dice que f (~x) es un infinit´esimo de g(~x) y se escribe f (~x) = o(g(~x)) si se cumple:

l´ım

~x→~0

f (~x) g(~x) = 0

Veamos ahora algunos ejemplos del c´alculo de l´ımites de funciones de varias variables.

Ejemplo Calcular

l´ım

(x,y)→(0,0)

e^xy − α − βxy γ + sen x sen y

Se hallar´a primero (si es que existe) la funci´on en el punto dado, en este caso el (0, 0):

f (0, 0) = 1 − α

γ ⇒ ∀γ 6= 0 la funci´on es continua

Veamos ahora el caso en el que γ = 0. La ´unica posibilidad de que la funci´on sea continua es que se trate de una indeterminaci´on del tipo 0/0, en cuyo caso se tiene α = 1, luego:

l´ım

(x,y)→(0,0)

e^xy − 1 − βxy sen x sen y

Los desarrollos de Taylor para la exponencial y el seno son:

e^x =

∞

X

n=0

xⁿ

n!; sen(x) =

∞

X

n=0

x²ⁿ⁺¹ (2n + 1)!

Por tanto, el l´ımite a calcular ser´a:

l´ım

(x,y)→(0,0)

1 + xy + o(|xy|) − 1 − βxy

xy + x · o(|y|) + y · o(|x|) + o(|x|) · o(|y|) Dividiendo por el t´ermino xy en numerador y denominador se tiene:

l´ım

(x,y)→(0,0)

(1 − β) +^o(|xy|)_xy 1 + ^o(|y|)_y +^o(|x|)_x + o(|x|)·o(|y|)

xy

= 1 − β

Si usando infinit´esimos no se pudiera simplificar por la definici´on de in- finit´esimo, se tendr´ıa que la funci´on es discontinua y por tanto s´olo queda dar un ejemplo de dos curvas a trav´es de las cuales el l´ımite de la funci´on cambie.

18 CAP´ITULO 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

1.6. Propiedades topol´ ogicas de las funciones continuas

Definici´on: Un conjunto abierto A ⊂ Rⁿ se dice conexo si y solo si para todos ~x, ~y ∈ A existe un arco continuo ~ϕ : [~a,~b] −→ A ⊂ Rⁿtal que ~ϕ(~a) = ~x,

~

ϕ(~b) = ~y y adem´as para todo ~c ∈ [~a,~b] se tiene que ~ϕ(~c) ∈ A. Es decir, es posible trazar una curva ~ϕ desde ~x hasta ~y sin salir del conjunto A

Teorema 1.6.1 (Valores intermedios). Dada una funci´on continua f : Rⁿ −→

R consideremos un conjunto abierto y conexo A ⊂ D(f ) y un par de puntos

~x, ~y ∈ A tales que:

f (~x) = α f (~y) = β



∀α < β entonces se tiene que:

∀γ | α ≤ γ ≤ β ∃~z ∈ A | f (~z) = γ

Teorema 1.6.2. La imagen de un abierto conexo por una funci´on continua es un intervalo en R

Teorema 1.6.3. Dada una funci´on cont´ınua ~f : Rⁿ −→ R^m y un conjunto compacto S ⊂ D(f ) se tiene que f (S) ⊂ R^m es un compacto.

Teorema 1.6.4. Si S ⊂ Rⁿ es compacto y la funci´on f : S ⊂ Rⁿ −→ R es continua en S, entonces f est´a acotada en S y alcanza en puntos de S los valores M = sup_~x∈Sf (S) y m = ´ınf_~x∈Sf (S).

Teorema 1.6.5. Si ~f : Rⁿ −→ R^m es continua y biyectiva de S en f (S) y S es compacto, entonces ~f⁻¹ : ~f (S) −→ S es tambi´en continua.

A las funciones continuas y biyectivas tales que su inversa es tambi´en continua se les llama homeomorfismos y preservan las propiedades topol´ogicas de los conjuntos.

Cap´ıtulo 2

Diferenciabilidad y derivadas parciales

En este cap´ıtulo se introduce la noci´on de derivada para funciones de varias variables.

2.1. Diferencial de una funci´ on en un punto

Para estudiar la diferenciaci´on de funciones de varias variables ser´an nece- sarios algunos conceptos de ´algebra lineal sobre la teor´ıa de aplicaciones linea- les. Adem´as es necesario definir la norma de una aplicaci´on lineal, sabiendo que las aplicaciones lineales son continuas en todos los puntos.

Definici´on Dada la esfera n − 1 dimensional:

Sⁿ⁻¹ = {~x ∈ Rⁿ| k~xk = 1}

Se define la norma de la aplicaci´on lineal A como:

kAk = m´ax

~x∈Sⁿ⁻¹

kA(~x)k = m´ax

~ x6=0

kA(~v)k k~vk

de donde si la norma es el m´aximo de los cocientes de la norma del vector imagen de ~v por A y la norma de ~v inmediatamente se tiene:

kA(~v)k

k~vk ≤ kAk ⇔ kA(~v)k ≤ kAk · k~vk 19

20 CAP´ITULO 2. DIFERENCIABILIDAD Y DERIVADAS PARCIALES Definici´on Sea f : Rⁿ −→ R^m con dominio D(f ) = U ⊂ Rⁿ. Sea ~a un punto interior de U . Se dice que f es diferenciable en ~a si existe una bola B_r(~0) ⊂ U y una aplicaci´on lineal A : Rⁿ−→ R^m tales que:

f (~a + ~h) = f (~a) + A(~h) + o(k~hk)∀~h ∈ B_r(~0) Es decir, f es diferenciable en ~a si:

∆f (~a; ~h) ≡ f (~a + ~h) − f (~a) + A[~h] + o(k~hk)

Unicidad de la diferencial La aplicaci´on lineal A, en caso de que exista, es ´unica y se llama diferencial de f

Definici´on Una funci´on f se dice diferenciable en un abierto U ⊂ D(f ) si lo es ∀~a ∈ U .

Proposici´on Si f es diferenciable en un punto ~a ∈ D(f ), entonces f es continua en ese punto.

Demostraci´on

∆f (~a; ~h) ≡ f (~a + ~h) − f (~a) = A[~h] + o(k~hk) l´ım_~h→~0[f (~a + ~h) − f (~a)] = 0

l´ım_~h→~0f (~a + ~h) = f (~a) Luego f es continua en ~a.

Definici´on: Derivadas parciales Sea f : Rⁿ −→ R^m y sea ~a ∈ D(f ). Se llama derivada parcial de f respecto de la variable x_i al l´ımite:

∂f

∂xi

= l´ım

h→0

f (~a + h~e_i) − f (~a) h

Donde ~e_ies el i-´esimo vector de la base can´onica, es decir, todos sus elementos son nulos excepto un 1 en la posici´on i. Para calcular una derivada parcial se toman como constantes el resto de variables y se deriva respecto a la variable x_i.

2.2. Matriz de la aplicaci´ on lineal df

1. Sea f : R −→ R. La matriz de la aplicaci´on lineal ser´a una matriz 1 × 1 y vendr´a dada por la derivada de f .

2.2. MATRIZ DE LA APLICACI ´ON LINEAL DF 21 2. Sea f : Rⁿ−→ R. La matriz de la aplicaci´on lineal ser´a un vector 1 × n y se llama gradiente de f .

∇f (~a) =~ 

∂f

∂x1(~a),_∂x^∂f

2(~a), · · · ,_∂x^∂f

n(~a)  Este vector act´ua sobre el vector de incrementos ~h:

∆f (~a, ~h) =

∂f

∂x1(~a),_∂x^∂f

2(~a), · · · ,_∂x^∂f

n(~a) 

·









 h₁ h₂ ... hn











= ~∇f · ~h

Otra notaci´on para la diferencial de una funci´on de este tipo es:

df (~a) =

n

X

i=1

∂f

∂x_i(~a) · dx_i 3. Sea una curva param´etrica ~r : R −→ R^m

~r(t) ≡









 x₁(t) x2(t)

... x_n(t)











⇔ ∆~r(t₀) =







x₁(t₀+ ∆t) − x₁(t₀) ...

xm(t0+ ∆t) − xm(t0)





=







dx1

dt...

dxm

dt





(t₀)∆t+o(|t|)

Donde el vector

d~r(t₀) =







dx1

dt...

dxm

dt







es un vector tangente a la trayectoria de la curva en el punto t0

4. Matriz Jacobiana Sea ~f : Rⁿ−→ R^m. La matriz de la aplicaci´on lineal diferencial de f se llama matriz Jacobiana de f en ~a y viene dada por:

d ~f (~a) ≡







∂f1

∂x1 · · · _∂x^∂f1 .. n

. ...

∂fm

∂x1 · · · ^∂f_∂x^m

n







m×n

Las filas de la matriz Jacobiana de ~f son los gradientes de cada una de las funciones escalares que componen ~f

22 CAP´ITULO 2. DIFERENCIABILIDAD Y DERIVADAS PARCIALES

2.3. Propiedades de la diferenciaci´ on

2.3.1. Suma de funciones diferenciables

Sean ~f₁, ~f₂ : Rⁿ −→ R^m diferenciables en ~a ∈ Rⁿ. Se tiene que ~f₁+ ~f₂ es diferenciable y su diferencial vale:

d( ~f₁+ ~f₂)(~a) = d ~f₁(~a) + d ~f₂(~a)

Adem´as d(λ ~f )(~a) = λd ~f (~a) ∀λ ∈ R, es decir, la diferenciaci´on es lineal puesto que respeta la suma y el producto por escalares.

2.3.2. Regla de Leibniz

Sean f, g : Rⁿ −→ R diferenciables en ~a ∈ Rⁿ. El producto (f · g)(~x) = f (~x) · g(~x) es diferenciable en ~a y su diferencial vale:

d(f · g)(~a) = [df · g + f · dg](~a)

Esta regla puede aplicarse a productos no conmutativos como el producto vectorial, siempre y cuando se respete el orden de factores.

2.3.3. Regla de la cadena

Sean f : Rⁿ −→ R^m y g : R^m −→ R^p tales que f es diferenciable en

~a ∈ Rⁿ y g es diferenciable en ~b = f (~a) ∈ R^m. Entonces la composici´on de ambas funciones h(~x) = g(f (~x)) es diferenciable en ~a ∈ Rⁿ y su diferencial es:

dh(~x) = d(g ◦ f )(~a) = dg(f (~a)) · df (~a)

Recordando que la diferencial es una aplicaci´on lineal y que la composici´on de aplicaciones lineales viene dada por la matriz producto de las matrices de cada aplicaci´on se tiene:







∂h1

∂x1 · · · ^∂h_∂x¹ .. n

. ...

∂hm

∂x1 · · · ^∂h_∂x^m

n





(~a) =







∂g1

∂x1 · · · _∂x^∂g1 .. m

. ...

∂gp

∂x1 · · · _∂x^∂gp

m





(f (~a))·







∂f1

∂x1 · · · _∂x^∂f1 .. n

. ...

∂fm

∂x1 · · · ^∂f_∂x^m

n





(~a) Es decir, la matriz Jacobiana de una composici´on es el producto de Jaco- bianas de cada una de las funciones. Otra forma de expresar esto es:

∂hi

∂x_k =

m

X

j=1

∂hi

∂y_j · ∂yj

∂x_k

Donde las parciales de h_i se eval´uan en f (~a) y las de y_j se eval´uan en ~a.

2.4. TEOREMA DE EULER 23

2.4. Teorema de Euler

Definici´on Sea f : Rⁿ −→ R. Se dice que f es una funci´on homog´enea de grado p si se cumple:

f (λ~x) = λ^p· f (~x)

A estas funciones homog´eneas se las puede aplicar el siguiente teorema:

Teorema 2.4.1 (Euler). Sea f (x₁, . . . , x_n) una funci´on homog´enea de grado p. Entonces se cumple la relaci´on:

~

x · ~∇f (~x) =

n

X

i=1

∂f

∂x_i · x_i = p · f (~x)

2.5. Funciones de clase C

Definici´on Una funci´on f : Rⁿ−→ R se dice de clase C¹en un abierto U ⊂ D(f ) ⊂ Rⁿ si y s´olo si para todo ~x ∈ U existen todas las derivadas parciales de f y son funciones continuas en ~x. La suma de funciones de clase C¹ es una funci´on de clase C¹. Adem´as todas estas funciones son diferenciables . Teorema 2.5.1. Si f : Rⁿ−→ R es de clase C¹ en un abierto U , entonces

∀~x ∈ U , f es diferenciable.

2.6. Derivadas parciales y diferenciales suce- sivas

Sea f : Rⁿ −→ R^m diferenciable en un abierto U ⊂ D(f ). La aplicaci´on diferencial ha sido definida como:

df : Rⁿ −→ L(Rⁿ, R^m)

~x ∈ U ⊂ Rⁿ 7→ df (~x) = _∂x^∂fi

j(~x)

Podemos ahora definir las diferenciales sucesivas de la funci´on f como:

d^(p)f (~x) = ∂^pfi

∂x_jp· · · ∂x_j1

Definici´on Dada una funci´on f diremos que es de clase Cⁿ en el abierto U ⊂ D(f ) si existen todas las derivadas parciales de orden n y son continuas en el abierto U .

24 CAP´ITULO 2. DIFERENCIABILIDAD Y DERIVADAS PARCIALES Definici´on Se definen las derivadas cruzadas de una funci´on f como:

∂^pf

∂x_p· · · ∂x₁ = ∂

∂x_p

∂

∂x_p−1· · · ∂f

∂x₁

Es decir, las derivadas cruzadas se calculan derivando cada vez respecto a una variable distinta. Estas son derivadas de orden p. Es posible que todas las derivadas cruzadas coincidan, esta posibilidad est´a dada por el lema de Schwartz.

Lema (Schwartz) Sea f (x₁, . . . , x_n) una funci´on de clase Cⁿen un abierto U ⊂ D(f ). Entonces se tiene que todas las derivadas cruzadas son iguales para todas las permutaciones posibles de las variables.

Ejemplo Sea f (x, y) una funci´on de clase C². Entonces se tiene:

∂f

∂y∂x = ∂f

∂x∂y

Por ejemplo, sea f (x, y) = sen(xy²) (de clase C^∞). Se tiene:

∂f

∂x = y²cos(xy²)

∂f

∂y = 2xy cos(xy²)

∂²f

∂y∂x = _∂y^∂ · ^∂f_∂x = 2y cos(xy²) − 2y³x sen(xy²)

∂²f

∂x∂y = 2y cos(xy²) − 2xy³sen(xy²) De donde inmediatamente se tiene que para esta funci´on:

∂²f

∂x∂y = ∂²f

∂y∂x

Corolario Si f : Rⁿ −→ R^m es de clase Cⁿ, entonces su matriz Hessiana es sim´etrica.

Definici´on: Matriz Hessiana Dada ~f : Rⁿ −→ R^m, existe una matriz H_ij de dimensi´on n × n con las derivadas parciales segundas de la funci´on ~f .

∀f (x₁, . . . , x_n) ∃H_ij(~x) ∈ M_n×n | H =

 ∂²f

∂x_i∂x_j

 (~x)

2.7. DERIVADAS DIRECCIONALES 25

2.7. Derivadas direccionales

Definici´on Dada una funci´on de n variables f (x₁, . . . , x_n) y dados un punto

~a interior a D(f ) y un vector ~v ∈ Rⁿ se considera la funci´on de una variable g(t) = f (~a + t~v)

Y se llama derivada de f respecto de ~v en el punto ~a a D~vf (~a) ≡ g⁰(0). Si k~vk = 1, entonces D_~vf (~a) se llama derivada direccional de f en la direcci´on y sentido de ~v.

1. Si ~v = ~ei, entonces:

D_~vf (~a) = ∂f

∂x_i(~a)

2. Si f es diferenciable en ~a, aplicando la regla de la cadena:

g = f ◦ ~ϕ ∀~ϕ = ~a + t~v De donde inmediatamente:

dg(0) = g⁰(0) = df (~ϕ(0)) · ~ϕ(0) = ~∇f (~ϕ(0)) = ~∇f (~a) · ~v Es decir:

D_~vf (~a) = ~∇f (~a) · ~v =

n

X

i=1

∂f

∂xi

(~a) · v_i

2.7.1. Interpretaci´ on geom´ etrica del gradiente

Sea f una funci´on diferenciable en un punto ~a. Sea D~vf (~a) = ~v · ~∇f (~a) siendo k~vk = 1. Entonces se tiene:

D_~vf (~a) = k ~∇f (~a)k · cos θ ∀θ ∈ [0, 2π)

Y por tanto la direcci´on de m´aximo crecimiento de f ser´a aquella en la que D_~vf (~a) = k ~∇f (~a)k, es decir, θ = 0, en cuyo caso se tiene ~v k ~∇f (~a).

2.8. Plano tangente a superficies

Se estudiar´a ahora el plano (o hiperplano, en caso de dimensiones mayores que 3) tangente a superficies. Es muy importante el concepto de vector normal a una superficie, que como se demostrar´a corresponde al gradiente.

Teorema 2.8.1. Sea una superficie en Rⁿ dada por una funci´on f . El gra- diente ~∇f es normal a la superficie en cada punto.

26 CAP´ITULO 2. DIFERENCIABILIDAD Y DERIVADAS PARCIALES Demostraci´on Sea una funci´on f (x₁, . . . , x_n) de clase C¹ y sea L_c(f ) el conjunto de nivel c de dicha funci´on tal que existe un punto ~a en el dominio tal que c = f (~a). Consideremos el gradiente de la funci´on ~∇f . Si se toma una curva ~ϕ(t) contenida en la superficie en cada punto y se define una funci´on de una variable dada por:

g(t) = f (~ϕ(t)) | ~ϕ(0) = ~a Entonces, al estar contenida ~ϕ en L_c(f ), se tiene:

f (~ϕ(t)) = c ⇔ dg

dt(0) = 0 Y aplicando la regla de la cadena:

dg

dt(0) = ~∇f (~ϕ(0)) · ~ϕ(0) = ~∇f (~a) · ~ϕ⁰(0) De donde:

∇f (~a) ⊥ ~~ ϕ⁰(0)

Luego como ~ϕ⁰(0) es el vector tangente a la curva ϕ y el gradiente es normal a este vector, se tiene que para cualquier curva ϕ, el gradiente es normal a ella y por tanto a la superficie que las contiene a todas, es decir, a L_c(f ).

2.8.1. Ecuaci´ on del plano tangente a L

(f )

Recordando que dado el vector normal a un plano y un punto de dicho plano se ten´ıa determinada su ecuaci´on, se tiene que el plano tangente a una superficie de nivel L_c(f ) en un punto ~a es:

π ≡

n

X

i=1

∂f

∂x_i · (x_i− a_i) = 0 ≡ ~∇f (~a) · (~x − ~a) = 0

2.8.2. Plano tangente a la gr´ afica de una funci´ on

La gr´afica de una funci´on f en Rⁿ se puede considerar como superficie de nivel de una funci´on F cuya gr´afica est´a en Rⁿ⁺¹.Esta funci´on viene dada por

F (~x, z) = z − f (~x)

Si hallamos la ecuaci´on del plano tangente a la superficie de nivel L₀(F ) obtendremos el plano tangente a f en el punto pedido. Para esto tambi´en se puede utilizar la f´ormula

z − f (~a) =

n

X

i=1

∂f

∂x_i(~a) · (x_i− a_i)

2.9. DIVERGENCIA Y ROTACIONAL 27

2.9. Divergencia y rotacional

En esta secci´on se estudiar´an los operadores divergencia, rotacional y laplaciano. Consideremos el campo vectorial ~F : R³ −→ R³ cuya matriz Jacobiana es:

d ~F (~x) ≡







∂Fx

∂x

∂Fx

∂y

∂Fx

∂z

∂Fy

∂x

∂Fy

∂y

∂Fy

∂z

∂Fz

∂x

∂Fz

∂y

∂Fz

∂z







3×3

Definici´on Dado un campo vectorial ~F (x, y, z) de clase C¹ en un cierto dominio D ⊂ R³ se llama divergencia de ~F a una funci´on escalar dada por la traza de la matriz Jacobiana

div ~F = tr(d ~F ) = ∂F_x

∂x +∂F_y

∂y + ∂F_z

∂z

Si se introduce el operador nabla (∇) definido por el vector de derivadas parciales

∇ =~ ∂

∂x~i + ∂

∂y ~j + ∂

∂z ~k se tiene inmediatamente:

div ~F = ~∇ · ~F

Definici´on Se llama rotacional de ~F al campo vectorial formado con la parte antisim´etrica de la matriz Jacobiana, esto es:

rot ~F = ~∇ × ~F =      

~i ~j ~k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

F_x F_y F_z       Si ~F es de clase C¹, rot ~F es continua.

2.9.1. Teoremas sobre la divergencia y el rotacional

Teorema 2.9.1. Si f (x) es una funci´on escalar de clase C², se tiene que rot gradf = 0 ⇔ ~~ ∇ × ( ~∇ · f ) = 0

Teorema 2.9.2. Si ~f (~r) es un campo vectorial de clase C², entonces div rot ~F = 0 ⇔ ~∇ · ( ~∇ × ~F ) = 0

28 CAP´ITULO 2. DIFERENCIABILIDAD Y DERIVADAS PARCIALES Definici´on Dada una funci´on escalar f de clase C² se define su Laplaciano como:

∇²f = div gradf = ~~ ∇ · ( ~∇f ) El operador de Laplace o Laplaciano es por tanto:

∇² ≡ ∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z²

Una funci´on escalar que cumpla que su Laplaciano sea nulo se llama funci´on arm´onica.

Cap´ıtulo 3

F´ ormula de Taylor y extremos

En este cap´ıtulo se estudiar´a el teorema de Taylor para funciones de varias variables as´ı como los m´aximos y m´ınimos de funciones, la funci´on inversa y las funciones impl´ıcitas. Recordaremos primero el teorema de Taylor en una variable.

Teorema 3.0.3 (Taylor). Dada una funci´on f : (a, b) ⊂ R −→ R de clase C^pen un intervalo (a, b) ⊂ R se cumple:

f (b) = f (a)+f⁰(a)(b−a)+f⁰⁰(a)

2! (b−a)²+· · ·+f^(p−1)(a)

(p − 1)! (b−a)^p−1+f^(p)(c)

p! (b−a)^p El ´ultimo t´ermino est´a evaluado en un punto c ∈ (a, b) no localizado. A este sumando se le llama resto de Lagrange y se denota por:

R(a; b − a) = f^(p)(c)

p! (b − a)^p Otra forma de escribir esta f´ormula es la siguiente:

f (x₀; h) = f (x₀)+f⁰(x₀)h+f⁰⁰(x0)

2! h²+· · ·+f^(p−1)(x0)

(p − 1)! h^p−1+f^(p)(x0+ τ h) p! h^p De donde es f´acil demostrar que el ´ultimo t´ermino (resto) es un infinit´esimo de la p-´esima potencia del valor absoluto del incremento h, es decir:

R(x₀; h) = o(|h|^p) Esto es, en notaci´on compacta:

f (x₀; h) =

p−1

X

r=0

f^(r)(x₀)

r! h^r+ o(|h|^p)

Veamos ahora una generalizaci´on de esta f´ormula a funciones de varias vari- ables.

29

30 CAP´ITULO 3. F ´ORMULA DE TAYLOR Y EXTREMOS

3.1. F´ ormula de Taylor

Antes de pasar a estudiar la f´ormula de Taylor en varias variables nece- sitaremos algunos conceptos.

Definici´on Un subconjunto A ⊂ Rⁿ se dice convexo si para todos ~x, ~y ∈ A, el segmento L[~x, ~y] que une ~x con ~y est´a totalmente contenido en A.

L[~x, ~y] = {~z ∈ Rⁿ | ~z = ~x + t(~y − ~x) ∀ 0 ≤ t ≤ 1}

Lema Sea f (x₁, . . . , x_n) de clase C^r en el abierto convexo U ⊂ Rⁿ y sean

~x, ~x + ~h ∈ U . Consideremos la funci´on g(t) definida como:

g(t) = f (~x + t~h) ⇒ g : [0, 1] −→ R Entonces se cumple:

d^k

dt^kg(t) = ∂^k

∂t^kf (~x + t~h) = (~h ~∇)^kf (~x + t~h) ∀k ∈ [0, 1]

Donde el operador ~h ~∇ est´a definido como:

~h~∇ =

n

X

i=1

h_i ∂

∂x_i = h₁ ∂

∂x₁ + · · · + h_n ∂

∂x_n

Veamos ahora el teorema de Taylor para funciones de varias variables.

Teorema 3.1.1 (Taylor). Sea f (x1, . . . , xn) de clase C^p en un abierto con- vexo U y sean ~x₀, ~x₀ + ~h ∈ U . Entonces existe un τ ( 0 ≤ τ ≤ 1 ) tal que:

f ( ~x₀+~h) = f ( ~x₀)+(~h ~∇)f ( ~x₀)+(~h ~∇)²

2! f ( ~x₀)+· · ·+(~h ~∇)^p−1

(p − 1)!f ( ~x₀)+(~h ~∇)^p

p! f ( ~x₀+τ~h) La notaci´on compacta de la expresi´on anterior es la siguiente:

f ( ~x₀+ ~h) =

p−1

X

r=0

(~h ~∇)^r

r! f (~x₀) + (~h ~∇)^p

p! f ( ~x₀+ τ~h)

Donde el resto de Lagrange es un infinit´esimo de la norma del vector de incrementos ~h elevada a p − 1, esto es:

R( ~x₀; ~h) = (~h ~∇)^p

p! f ( ~x₀+ τ~h) = o(k~hk^p−1) luego:

(~h ~∇)^p

p! f ( ~x₀+ τ~h) − (~h ~∇)^p

p! f ( ~x₀) = o(k~hk^p)

3.2. EXTREMOS DE FUNCIONES 31

3.2. Extremos de funciones

En esta parte se estudiaran los m´aximos y m´ınimos de funciones de varias variables. Para ello necesitaremos varias definiciones y teoremas.

Definici´on [M´aximo - m´ınimo absoluto] Dada f : Rⁿ −→ R con do- minio D(f ) = A ⊂ Rⁿ decimos que f tiene un m´aximo (m´ınimo) absoluto en ~x₀ ∈ A si y s´olo si

∀~x ∈ A ⇒ f (~x) ≤ f (~x0) (f (~x) ≥ f (~x0))

Se dir´a que el m´aximo o el m´ınimo es estricto si las desigualdades anteriores son estrictas, es decir, el ≤ pasa a ser < y el ≥ pasa a ser >.

Definici´on [M´aximo - m´ınimo local] Dada una funci´on f : Rⁿ −→ R se dice que f tiene un m´aximo (m´ınimo) local en ~x0 ∈ D(f ) si y s´olo si

∃r > 0 | ∀~x ∈ D(f ) ∩ B_r(~x₀) ⇒ f (~x) ≤ f (~x₀) (f (~x) ≥ f (~x₀))

Definici´on [Punto cr´ıtico] Dada una funci´on f : Rⁿ−→ R diferenciable en un abierto U ⊂ Rⁿ se dice que ~x₀ ∈ U es punto cr´ıtico de f si y s´olo si

∇f (~~ x₀) = ~0

Teorema 3.2.1. Sea una funci´on f : Rⁿ −→ R diferenciable en un abierto U ⊂ Rⁿ y un punto ~x₀ ∈ U . Si ~x₀ es un extremo local de f , entonces ~x₀ es un punto cr´ıtico.

Demostracion Sea la funci´on g(t) = f (~x₀+ t~v). Si ~x₀ es un extremo de f , entonces t = 0 es un extremo local de g. Por tanto

∇f (~~ x₀) · ~v = g⁰(0) = 0 ⇔ ~∇f (~x₀) = 0 ∀~v ∈ Rⁿ

Sin embargo no todos los puntos cr´ıticos son m´aximos o m´ınimos. Existen otros puntos donde el gradiente se anula y no son extremos.

Definici´on [Punto de silla] Sea f : Rⁿ−→ R diferenciable en U ⊂ Rⁿ y sea ~x₀ ∈ U un punto cr´ıtico de f . Si ~x₀ no es un m´aximo o un m´ınimo de f , entonces se cumple

∀B_r(~x₀)∃~x₁, ~x₂ ∈ B_r(~x₀) | f (~x₁) > f (~x₀); f (~x₂) < f (~x₀) En tal caso diremos que ~x₀ es un punto de silla de f .

32 CAP´ITULO 3. F ´ORMULA DE TAYLOR Y EXTREMOS

3.2.1. Clasificaci´ on de puntos cr´ıticos

Para estudiar estos puntos es necesario que f sea diferenciable y de clase C². Si desarrollamos f mediante la f´ormula de Taylor hasta orden 2 tenemos

f (~x₀+ ~h) = f (~x₀) + ~∇f (~x₀)h +1 2

n

X

i=1 n

X

j=1

h_ih_j ∂²f

∂x_i∂x_j(~x₀+ τ~h)

Como ~x₀ es un punto cr´ıtico de f , el segundo t´ermino de la expresi´on anterior se anula. Por otro lado, el resto es el desarrollo de una forma cuadr´atica Q cuya matriz es la Hessiana de f

∆f (~x0; ~h) = f (~x0+ ~h) − f (~x0) = 1

2h^tH(~x0+ τ~h)h = Q(~x0+ τ~h) Al ser f de clase C², por el lema de Schwartz sus derivadas cruzadas coinciden y por tanto H es sim´etrica.

Definici´on [Punto cr´ıtico no degenerado] Dada f de clase C² en un abierto U y un punto cr´ıtico ~x0 ∈ U diremos que ~x0 es no degenerado si y s´olo si la forma cuadr´atica Q(~x₀) es no degenerada, es decir, si y s´olo si

det(H(~x₀)) 6= 0

Teorema 3.2.2. Sea f una funci´on de clase C² en un abierto U ⊂ Rⁿ y ~x₀ un punto cr´ıtico no degenerado de f . Entonces se cumple

∀r > 0 6 ∃~x ∈ B_r⁰(~x₀) | ~∇f (~x₀) = 0

Esto es, los puntos cr´ıticos no degenerados son aislados como puntos cr´ıticos Supongamos que f es de clase C² y que ~x₀ es un punto cr´ıtico no degen- erado de f . Entonces la forma cuadr´atica

Q[~h] = 1 2h^tHh

es no degenerada si y s´olo si la matriz H es definida positiva (λ_i > 0∀i), definida negativa (λ_i < 0∀i) o bien indefinida (λ_i > 0; λ_j < 0) donde {λ_r} son los autovalores de la matriz Hessiana.

Teorema 3.2.3. Sea f : Rⁿ −→ R de clase C² en un abierto U ⊂ Rⁿ. Sea

~x₀ un punto cr´ıtico no degenerado de f . Entonces:

i)Si H(~x₀) es definida positiva, entonces ~x₀ es un m´ınimo de f .

3.2. EXTREMOS DE FUNCIONES 33

ii)Si H(~x₀) es definida negativa, entonces ~x₀ es un m´aximo de f . iii)Si H(~x₀) es indefinida, entonces ~x₀ es un punto de silla de f .

Existe otro modo de ver si una matriz es definida positiva o negativa sin calcular el polinomio caracter´ıstico y extraer sus autovalores. Este es el m´etodo de Sylvester - Jacobi. Antes de poder aplicarlo necesitamos una definici´on m´as.

Definici´on [Menor principal] Sea la matriz cuadrada

A =







a11 · · · a1n

... . .. ... a_n1 · · · a_nn





 Se llaman menores principales de A a los determinantes

D₁ = a₁₁ D₂ =

a₁₁ a₁₂ a21 a22

    ...

D_n = det A

Teorema 3.2.4 (Sylvester - Jacobi). Sea Q[~h] una forma cuadr´atica no de- generada y sean {D_r} los menores principales de la matriz de Q. Entonces:

i) Q es definida positiva ⇔ D_r > 0 ∀ 1 ≤ r ≤ n

ii) Q es definida negativa ⇔ sig(D_r) = (−1)^r ∀ 1 ≤ r ≤ n iii) Q es indefinida en los dem´as casos.

Por tanto podemos conocer la naturaleza de un punto cr´ıtico ~x₀ s´olo con estudiar la matriz Hessiana de f en dicho punto mediante el criterio de Sylvester - Jacobi.

3.2.2. Extremos en puntos frontera

Sea una funci´on cont´ınua f (x1, . . . , xn) definida en un conjunto compacto D. Por el teorema de Weierstrass sabemos que f alcanzar´a sus extremos en

34 CAP´ITULO 3. F ´ORMULA DE TAYLOR Y EXTREMOS un conjunto cerrado y acotado, por tanto sobre D. Para localizar los extremos sobre D se utiliza el siguiente procedimiento:

i)Se localizan los extremos en el interior de D por el m´etodo antes visto.

ii)Se hallan los extremos de f como funci´on de n − 1 variables sobre ∂D.

iii)Se calculan los valores de f sobre los puntos cr´ıticos ~a_i hallados.

iv)Se comparan los valores de f (~ai)

3.3. Funci´ on inversa

Trataremos ahora la invertibilidad de las funciones de varias variables.

Definici´on [Funci´on inversa] Dada una funci´on f : Rⁿ −→ Rⁿ y un abierto U ⊂ D(f ) diremos que f es invertible globalmente en U si y s´olo si:

∀~x, ~y ∈ U ⇒ f (~x) = f (~y) ⇔ ~x = ~y

Es decir, la funci´on ser´a invertible si aplica biyectivamente U sobre f (U ).

Definici´on [Restricciones] Dada una funci´on f : Rⁿ−→ Rⁿ, llamaremos restricci´on de f al conjunto A ⊂ D(f ) y lo denotaremos por f |_Aa la funci´on con dominio D(f |_A) = A y que coincide con f sobre A, es decir:

f |_A(~x) = f (~x)∀~x ∈ A

Si f es invertible sobre U se tiene: (I es la aplicaci´on identidad) i)f⁻¹ |_{f (U )} ◦f |_U= I |_U

ii)f |_U ◦f⁻¹ |_{f (U )}= I |_U

3.3.1. Invertibilidad local

Dada una funci´on f : Rⁿ −→ Rⁿ y un punto ~x0 interior al dominio, diremos que f es localmente invertible en la vecindad de ~x₀ si y s´olo si:

∃r > 0 | B_r(~x₀) ⊂ D(f ) y f |_Br(~x0): B_r(~x₀) −→ f (B_r(~x₀)) es una biyecci´on.