Polarización y espín
Alfonso Rodil y Alfredo Luis Aina
Objetivos:
En este trabajo se pretenden identificar las relaciones entre el espín de los fotones que forman cierto campo electromagnético y la polarización del mismo, intentando formar una idea intuitiva sobre esto. Para ello se tomarán los siguientes tres objetivos:
-Estudio de la relación spin polarización en luz polarizada circularmente y luz parcialmente despolarizada.
-Estudio de la evolución de la polarización para estados con cada vez más fotones (P(n))
-Puesta a prueba de la idea intuitiva de que el estado de polarización de un campo electromagnético pueda escribirse como la suma de los espines de los fotones individuales que lo forman.
Introducción a la cuantificación de la polarización:
Primero se establecerán brevemente las bases de la teoría cuántica de la polarización con objeto de introducir unas bases para el posterior estudio que se va a realizar.
En óptica clásica el campo electromagnético viene dado por la expresión:
= Fórmula 1
Donde α es la amplitud compleja del campo u es un escalar. En la versión cuántica de esta expresión (en segunda cuantización) se sustituye este número complejo por un operador conocido como operador amplitud compleja (a):
= Fórmula 2
Este operador amplitud compleja resulta tener otra interpretación y en esta se le conoce como operador destrucción (a) que es el transpuesto conjugado del operador creación (a+). Ahora se verá el significado de estos nombres.
Es usual y lo más cómodo, trabajar (en segunda cuantización) con la base de estados número. El número cuántico que caracteriza esta base es el número de fotones (promedio) que componen el campo. Vemos en las siguientes fórmulas que resulta ser el producto de a y a+. Si usamos esta identidad podemos ver como actúan sobre los estados |n>:
a + a| = n| ⇒ a + | = √ + 1| + 1
a| = √| − 1 ; H = ħa + a +ħ 2
Vemos ahora claro el significado de los operadores creación y destrucción ya que su actuación supone crear y destruir un fotón del estado global.
Por último se introducirá la herramienta básica para el estudio de la polarización en su versión en segunda cuantización. Estos son los operadores de Stokes, sustitutos de los parámetros de Stokes usados en física clásica para caracterizar luz parcialmente polarizada. Escribiremos a continuación sus expresiones matemáticas en función de los operadores creación y destrucción, expresiones que resultan útiles tanto como definición como forma práctica de estudiar su actuación sobre cierto estado de fotones.
!= a!"a#+ a#"a!; != $a"#a!− a!"a#; % = a!"a!− a"#a#;
& = a!"a!+ a"#a# Fórmula 3
También es conveniente conocer algunas reglas que caracterizan su comportamiento, entre ellas las más importantes para este trabajo serán sus relaciones de conmutación:
' , )* = 2$ ; ' , &* = 0; #= & &+ 2 Fórmula 4
Motivación :
Existen dos ideas básicas que llevan a pensar acerca de la relación entre espín y polarización:
1. La primera consiste en darse cuenta de que los operadores de Stokes (“fórmula 3”), que describen la polarización cuánticamente, siguen las reglas de conmutación típicas de un momento angular (“fórmula 4”) y por tanto se comportan formalmente como tal.
Por tanto, no sería raro pensar en el estado de polarización de un determinado campo electromagnético como el espín del estado que lo describe, ya que se comporta formalmente como tal, veremos que esta idea o es del todo acertada pero nos permite darnos una primera idea del objetivo del trabajo.
La interpretación de los parámetros de Stokes como un momento angular requiere hacer las siguientes identificaciones:
, =
2 => |., / 01230 434$30 2 ,#= & &+ 2 5 ,6 = 6
2 73/ 89
, 2 2
2 1 2
1 n n
n m
j n
−
+ =
=
Fórmula 5Además, el espín de cierto estado cuántico, se define como aquella magnitud (momento angular), que se conserva bajo rotaciones de la dirección en que la función de onda (vectorial) del campo apunta (al menos para bosones), y esto está intrínsecamente relacionado con la
definición de polarización que consiste en las variaciones de la dirección en que apunta el campo electromagnético.
Esto puede verse reducido a la comparación entre Ψ y E en las siguientes fórmulas:
Ψ = ;Ψ! Ψ#
Ψ%< ; = ; E! E# E%< e?@A
|Ψ´C = eDħEFG"H|ΨC
Fórmula 6
2. Por otra parte, mediante la composición de momentos angulares podemos construir los espines de estados de varios fotones, teniendo en cuenta que los fotones son bosones sin masa y por tanto su espín puede tomar los valores 1 y -1 (el 0 queda excluido por la ausencia de masa y las simetrías espaciales que esto conlleva).
Además, podemos representar los momentos angulares posibles en el estado global mediante conos huecos. Esto representa el valor fijo de la tercera componente del momento angular (altura del cono) y su módulo, que son fijas en cada subespacio de momento angular, mientras que las componentes x e y están indeterminadas por el principio de incertidumbre, dicha incertidumbre guarda como se puede ver una estrecha relación con el perímetro de la base del cono.
A continuación, se muestra como ejemplo la composición de momentos angulares de espín, de dos fotones, S1=1, S2=1:
1 = 1; 2 = 1 ⇒ I = 2 ( J ∈ L2,0, −2M) = 1 ( J = 0) N 2C = ( + 1) ⇒ = 2 → | | ≡ QR 2 = √6
= 1 → | | ≡ QR 2 = √2 Fórmula 7
Figura 1 (representación de conos para la suma de momentos angulares de 2 fotones)
Podemos imaginar, de esta forma, cómo van apareciendo conos cada vez más estrechos según vamos añadiendo más y más fotones al sistema, (esto es porque aparecen subespacios con Sz
total, mayor) Sin embargo, siguen apareciendo otros estados con conos más achatados en cada subespacio. Esto se entiende como que Sz se suma de forma coherente para ciertos estados mientras que la incertidumbre de Sx y Sy lo hace de forma incoherente. Esto nos da la intuición de que un sistema con muchos fotones puede estar más polarizado que uno con menos fotones (evidentemente depende de cómo se acoplen los espines), pero en principio podríamos pensar ya que el grado de polarización crece con n.
De hecho, podemos interpretar un estado con espín muy bien colimado hacia adelante (cono muy estrecho en la dirección de propagación del campo) como un haz polarizado circularmente, ya que implica un giro en la función de onda perpendicularmente a él.
Por tanto, esta intuición nos lleva a pensar, en qué medida, el estado de polarización de un sistema de fotones (o un haz de luz), viene dado por la suma de los estados de polarización o espines de los fotones que lo forman. A estas preguntas, se contestara en el siguiente apartado de forma rigurosa.
Formulación de los estados usados:
A continuación se escribirán matemáticamente los estados que vamos a usar para describir los estados de los cuales vamos a estudiar su polarización. Por simplicidad se tratarán fundamentalmente estados de dos fotones, aunque también se estudiarán algunos casos particulares para estados de n fotones.
De la forma más general posible, podemos formular los estados puros de un par de fotones como se ve (fórmula 8). Nótese que con la elección de θ y δ, los α y β son modos cualesquiera, no necesariamente ortogonales.
|T = UaV"aW"|0, 0 ; |T = a"|0, 0
a= cos([$) !+ \0([$)# 232 $ = , ] Fórmula 8
La elección de los modos normales (a1 y a2) y por tanto de los estados base (|1, 0> y |0, 1>) es arbitraria, lo que nos permite describir varios estados con el mismo formalismo o elegir distintos formalismos para describir los mismos estados (eligiendo los a1 y a2 adecuados).
Por su parte, para estados de n fotones, clásicamente, los estados totalmente polarizados son los que con alguna elección de modos normales pueden escribirse como |n, 0> por cumplir, como veremos
|<S>|/<S0>=1. Por ejemplo, si elegimos como base, estados de polarización lineal ortogonales, los estados
|n, 0> y |0, n>. Describirán estados polarizados en esas direcciones escogidas.
Cálculos y discusión:
1. En primer lugar, identificaremos formalmente como se escriben los estados de polarización lineal y de luz parcialmente polarizada, sacando algunas conclusiones que nos ayuden a entender el formalismo.
a) Polarización circular:
Como hemos dicho, ya muchas veces, los modos 1 y 2 son arbitrarios, pudiendo representar polarización lineal en 2 ejes, polarización circular, elíptica… Si elegimos los estados |1,0> y |0,1>
(base de estados en la que expresamos los demás) como polarización dextro y levo, los estados de n fotones |n,o> representan polarización circular, por ejemplo la polarización dextro.
ad=a1; al=a2 ⇒ |T^ = |1, 0C; |T_C = |0, 1C Fórmula 9
Calculamos ahora los valores esperados de los operadores de Stokes en estos estados |n,0> que representan polarización circular dextro o levo.
〈 6〉 = ; 〈 b〉 = 0; 〈 c〉 = 0; 〈 &〉 = Fórmula 10
Los valores esperados de los operadores de Stokes suponen, en esta base de polarización circular, un momento angular en la dirección de propagación del campo. Esto solo se puede decir en base circular porque el razonamiento hecho anteriormente, en el primer apartado de la motivación, nos permite identificar la relación entre los espacios de espín y de propagación del campo mientras que con otra elección de modos normales esta relación es en principio desconocida, téngase en cuenta que por ejemplo para polarización lineal, clásicamente no debería ir asociado (por lo menos en el espacio real) un momento angular.
Se intentará dar ahora una idea intuitiva de la conexión entre espín y operadores de Stokes de forma más rigurosa. Esto no tiene mucho sentido para polarización lineal, por lo dicho en el párrafo anterior.
Como sabemos, por las relaciones de incertidumbre del momento angular, no tiene sentido hablar a la vez de sz, sx y sy, y como se vio en el apartado 2, de hecho, cuando se fija una, en las otras aparece una incertidumbre que crece con el número de fotones De esta forma podemos identificar formalmente la tercera componente del espín, en la dirección de propagación del campo (z), como función de los operadores creación y destrucción dextro y levo:
(
d d l l)
z a a a a
J
= h
+−
+ Fórmula 11b) Estados totalmente despolarizados:
Como ya se anticipó antes, los estados parcialmente despolarizados provienen de un desconocimiento clásico de las variables del sistema. Por eso, vienen descritos por un estado mezcla, definido por una matriz densidad (ρ) y no por uno puro. El único caso sencillo de tratar es la luz totalmente despolarizada.
La despolarización total está bien definida, incluso mejor que la polarización total. Se define como aquel estado de polarización que por muchas transformaciones a las que se le someta (laminas retardadoras, polarizadores…) se mantiene en el mismos estado de polarización, es decir es como una polarización homogénea (distribución homogénea sobre la esfera de Poincaré). Por este motivo es fácil entender que la matriz densidad que describirá este estado será la identidad.
El tratamiento de matrices de densidad y estados mezcla, complica enormemente los cálculos, por lo que no se profundizará más en este aspecto. Solo decir que existe una relación entre la matriz densidad que describe el estado y la distribución (Q) sobre la esfera de Poincaré (herramienta muy usada en la descrippión de la polarización tanto clásica como cuántica).
Aunque esta relación es realmente complicada en la mayor parte de los casos (es más sencillo obtener Q en función de la matriz densidad que lo contrario), podemos asegurar que la relación para el estado totalmente despolarizado es: ρ=I ↔ Q=1/4π.
2. Nos interesa ahora estudiar como evoluciona en grado de polarización de un estado de n fotones del tipo |n, 0> desvinculándonos ya de su significado físico.
Dijimos al presentarlos que estos estados representaban estados de luz clásicamente totalmente polarizados. Demostraremos ahora esto también. De esta forma, el objetivo de este apartado se reduce a calcular varios grados de polarización y compararlos según sus definiciones. Para ello primero debemos calcular valores esperados e incertidumbres de los operadores de Stokes para estos estados.
Ya se mostraron los valores esperados de los operadores de Stokes para estados |n, 0> en el apartado anterior, ahora los volvemos a escribir como componentes 1,2,3 para desvincular su significado del espacio en que la onda se propaga.
〈 6〉 = ; 〈 b〉 = 0; 〈 c〉 = 0; 〈 &〉 = Fórmula 12
. Para el cálculo de sus incertidumbres se asume la varianza como estimador de incertidumbre, de forma que puede calcularse como:
de = Q〈e#〉 − 〈e〉# Fórmula 13
Y así, calculando los valores esperados de los cuadrados de los operadores de Stokes, obtenemos que las incertidumbres en estos son:
d %= 0; d != √; d #= √ Fórmula 14
Vemos que la incertidumbre en la componente 3 es nula, lo que era de esperar, ya que sabemos que podemos determinar módulo y una componente (típicamente la z) para cualquier momento angular, sin indeterminación cuántica. Nótese que <S3> crece con n mientras que ΔS1,2 crecen con n1/2.
Para hacernos una primera idea de cómo evoluciona la polarización con el número de fotones, podemos calcular fg〈gh,i
j〉:
k$/l→mnH〈Hh,i
j〉 = !
√l= 0 Fórmula 15
Figura 2
Vemos que esta función tiende a 0 para n grande, es decir, confirma que la incertidumbre relativa en las componentes 1 y 2 de los operadores de Stokes disminuye con el número de fotones y por tanto, la polarización mejor determinada. En nuestra primera idea de los conos, la incertidumbre en 1 y 2 está asociada como se dijo al perímetro del cono de forma que se confirma como esta (aunque crece), disminuye en proporción a la componente 3, que crece más rápido.
Para estudiar más rigurosamente, cuanto de polarizada esta la luz en función del número de fotones del haz, vamos a estudiar algunos grados de polarización, cuyas definiciones pueden encontrarse en la “referencia 1”.
Se muestra en primer lugar el grado de polarización usado clásicamente:
1
0
=
= S S P
r
Fórmula 16
Este grado de polarización solo tiene en cuenta los parámetros de Stokes y no sus incertidumbres. Esta definición representa la idea clásica de estados completamente polarizados por lo que el resultado (P=1) corrobora la interpretación que se dio a estos estados como estados totalmente polarizados en física clásica.
Sin embargo, sabemos que las componentes 1 y 2 de los operadores de Stokes tienen cierta incertidumbre intrínseca. Además, la disminución relativa de esta incertidumbre, corrobora nuestra idea del estrechamiento de los conos a medida que se añaden más fotones. Para estudiar esto podemos proponer definiciones más completas del grado de polarización:
2 2
1 4
) 1 (
1 4
= +
⇒
Ω −
Ω + ==
=
DD donde D∫
d Q P nnPq q
π π
Fórmula 1710 20 30 40 50
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Figura 3
El cálculo de este grado de polarización es realmente complejo y está basado en el cálculo de la distribución sobre la esfera de Poincaré (Q). He tomado el resultado directamente de la
“referencia 2”
Otra posible definición es:
( )
1 2
2 2
2
Δ = +
−
= ʹ′ =
n n S
S S
P S
r
r r
r
Fórmula 18
Figura 4
Vemos como ambos grados de polarización tienden de forma similar a 1. Esto refleja como los estados solo están totalmente polarizados, desde un punto de vista cuántico, en el límite de muchos fotones. Esto mejora la idea que se tiene de polarización, diciendo que la aproximación clásica solo es buena cuando tratamos campos formados por muchos fotones.
10 20 30 40 50
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
10 20 30 40 50
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
3. A continuación nos preguntamos si la polarización (parámetros de Stokes) puede ser expresada como suma de los espines de los fotones que componen el campo, y para ello nos vamos al caso más sencillo: un estado de dos fotones.
Aquí se está asumiendo que el espín de un fotón se puede describir con los operadores de Stokes. Por eso podría decirse que lo que vamos a comprobar es más bien que la polarización de cierto estado sea la suma de los parámetros de Stokes de los fotones que lo forman.
¿ ¿ N C = N CV+ N CW? ? Fórmula 19
En principio, se pueden usar aquí los estados propuestos para 2 fotones anteriormente, pero, debido a la complejidad del cálculo, debemos redefinirlos para así simplificar el problema.
Podemos hacerlo sin pérdida de generalidad basándonos en que como dijimos la elección de los modos normales a1 y a2 es arbitraria.
Tomando: θ1=δ1=0, se obtienen los nuevos estados para 2 fotones simplificados:
|φ = Nbt"bu"|0, 0 ; |φ? = b?"|0, 0
bV = !; bW = cos([) !+ \0([)# Fórmula 20
Para poner a prueba la igualdad, debemos calcular los valores esperados de 〈0〉 (calculado sobre el estado de 2 fotones), y de 〈0〉) v3 . = , ] (calculados sobre los correspondientes estados de un solo fotón). Téngase en cuenta que s es un operador vectorial y tiene 3 componentes Sx, Sy y Sz.
Realizando estos cálculos comprobamos que la igualdad no es cierta de forma general, e imponiéndola, se llega a una condición para los estados para que esta sea cierta.
[ =w
#x v3 x = 0, ±1, ±2 … Fórmula 21
De esta forma, encontramos que solo para estados que en alguna base pueden escribirse como
|2,0 5 |1,1 podemos expresar la polarización como suma de los operadores de Stokes o espines de los fotones individuales que la forman.
Esto puede expresarse más conceptualmente como que solo estados con el mismo estado de polarización o estados de polarización ortogonales cumplen la condición anterior, a la que nos referiremos como condición de suma, y por lo tanto sus polarizaciones pueden ser escritas como la suma de las polarizaciones de los fotones individuales.
La condición para n fotones supone complicaciones adicionales así que no se resolverá en este trabajo pero puede encontrarse en la “referencia 6”. Las conclusiones estraidas aquí son bastante generalizables al caso de n fotones, siguiendo cumpliéndose que estados con polarizaciones iguales u ortogonales cumplen la condición, pero ahora pueden escribirse de la forma más general |n, m>.
∑l|&〈0〉 = 〈0〉 ⇒ 01230 |, / Fórmula 22
Hay que destacar, que al contrario de lo aparente esto supone más bien una generalización que una condición, a que no solo los estados clásicamente totalmente polarizados |n,0> cumplen la condición de suma sino que también lo hacen estados del tipo |n, m> con sus estados de polarización ortogonales
b) A continuación, particularizaremos este cálculo para dos estados particularmente notables, el estado factorizado (correspondiente con θ=π/2) y el enredado o “entangled” (θ=π/4). De esta forma podremos ver las particularidades de estos estados y obtener una idea más intuitiva de la condición de suma.
- θ=π/2, δ=0:
Si se particularizan los estados para 1 y 2 fotones a estos valores de θ y δ, se tiene:
|} = |1, 1; |}V = |1, 0; |}WC = |0, 1 Fórmula 23
Así, podemos calcular los valores medios de los operadores de Stokes y comprobar la
“condición de suma”:
〈 6〉 = 0 = 〈 6〉V+ 〈 6〉W = 0 + 0
〈 b〉 = 0 = 〈 b〉V+ 〈 b〉W = 0 + 0
〈 c〉 = 0 = 〈 c〉V+ 〈 c〉W= 0 + 0
Fórmula 24
La condición de suma se cumple, como cabría esperar, ya que este es uno de los estados que obtuvimos en el apartado anterior.
Nótese que los valores esperados de los parámetros de Stokes valen 0 (no S0 que vale 2). Este estado está clásicamente totalmente despolarizado, ya que, como se puede comprobar,
|<S>|2/S0=0/2=0. Sin embargo, si pensamos en otra posible definición de polarización, como por ejemplo sensibilidad frente a transformaciones que cambian el estado de polarización (como cambios de fase por ejemplo), podemos encontrar que este incluso mejor polarizado que los estados totalmente polarizados en óptica clásica. Por eso es difícil interpretar estos estado que en todo caso confirman el hecho de que no solo en los estados totalmente polarizados clásicamente (|n, 0>) se cumple la regla de la suma.
- θ=π/4, δ=0:
En este caso los estados para uno y dos fotones serían:
|} = !
√%[√2|2, 0 + |1, 1]; |}V = |1, 0; |}WC = !
√#[|1, 0 + |0, 1] Fórmula 25
Y así obtenemos que, la “condición de suma” no se cumple:
〈 6〉 =Ä%≠ 〈 6〉V+ 〈 6〉W = 0 + 1
〈 b〉 =Ä%≠ 〈 b〉V+ 〈 b〉W= 0 + 1
〈 c〉 = 0 = 〈 c〉V+ 〈 c〉W= 0 + 0
Fórmula 26
Curiosamente, una de las componentes, si cumple la condición de suma, aunque lo hace de forma trivial valiendo 0. No hay problema con que una de las componentes la cumpla, mientras que no la cumpla globalmente, ya que es fácil ver que no es un estado del tipo de los que obtuvimos en el apartado anterior.
Conclusiones:
Se ha visto como en polarización circular podemos identificar el tercer parámetro de Stokes con la tercera componente del espín (salvo constantes multiplicativas), dirigido en la dirección en que se propaga el campo.
Podemos concluir también, que para los estados |n, 0> (que representan los estados totalmente polarización en óptica clásica, para casi todo el mundo), la polarización mejora con el número de fotones que forman el campo y de hecho puede decirse que solo está bien definida para n tendiendo a infinito.
-Por último hemos visto que solo en los estados |2, 0> y |1, 1> para 2 fotones, la polarización de cierto estado puede expresarse como suma de los espines de los fotones individuales.
Referencias y bibliografía:
1: Apuntes Alfredo Luis Aina para el TFG de polarización y espín.
2: Artículo “
