Universidad de Ciencias de la Informática

Universidad de Ciencias de la Informática

Escuela de Ingeniería

2001

Profesores:

José Daniel Munar Andrade

Aurora Jerez Alvial

Introducción.

Campos o Cuerpos Conmutativos

Definición :

(k, +, ·) es un campo si y sólo si

k ≠ φ ,

es decir, k es un conjunto no vacío y (+) y ( · ) , son operaciones binarias internas en k tales que:

A) (k, +) es GRUPO ABELIANO

M)

( k - { } 0 , · )

es GRUPO ABELIANO, donde o es el neutro de +.

D)

a . ( b + c ) = a . b + a . c, ∀ a, b, c ∈ k.

(DISTRIBUIDAD de · respecto a +).

Tengase presente que (+) se llamará adición o primer operación de

( k ,+ , . )

y ( · ) se llamará multiplicación o segunda operación de

( k ,+ , . )

, además :

a) El neutro aditivo, es decir, el neutro de + se designará por O.

b) El neutro multiplicativo se designará por 1.

c) El inverso multiplicativo de

a , a ≠ 0,

se denotará por

a por 1

1

, a

−

d) La adición

a + ( ) − b

se derrotará por

a − b

1.-

( lR ,+ . )

es el campo de los números reales y satisface:

IR b a, a, b b a

1

: + = + ∀ ∈

A

(conmutatividad)

( a b ) ( ) , a, b, c IR

2

: + + c = a + b + c ∀ ∈

A

(asociatividad)

IR a a, 0 a que tal IR o !

3

: ∃ ∈ + = ∀ ∈

A

(elemento neutro)

( ) - a IR tal que a ( ) - a 0 !

, IR a

4

: ∀ ∈ ∃ ∈ + =

A

(elemento inverso)

IR b a, a, b b a

1

: ⋅ = ⋅ ∀ ∈

M

(conmutativadad)

( ) c ( ) b c a b c IR

M

₂

: a ⋅ b ⋅ = ⋅ , ∀ , , ∈

(asociatividad)

IR a a, 1 a que tal o 0 1 !

3

: ∃ ≠ ⋅ = ∀ ∈

M

(elemento neutro)

1 a a que tal IR a ! 0, a IR, a

:

^{-1 -1}

4

∀ ∈ ≠ ∃ ∈ ⋅ =

M

(elemento inverso)

( ) ^{a b ac}

D : a ⋅ b + c = ⋅ +

(distributividad)

2.-

( Q , + , . )

es el campo de los números racionales, donde:

{ }   

 

 ∈ Ζ

= / a - 0 b

Q a

con:

Q

d c bd

c b d a d c b

a ⋅ + ⋅ ∀ ∈

=

+ ,

b

, a

Q d c b a d b

c a d c b

a ∀ ∈

⋅

= ⋅

⋅ , , ,

Si

d

c

b a =

entonces

ad = bc

y recíprocamente, pero

d c b a =

no significa

a = c y b = d

En

Q , + , ⋅

tenemos que:

i)

^{0 = 0 , ∀ a ∈ Ζ -} { } ⁰

a

es el neutro aditivo ii)

^{1 = , ∀ a ∈ Ζ −} { } ⁰

a

a

, es el neutro multiplicativo

iii) El inverso aditivo de

Q b a b

a , ∀ ∈ b

- a es

iv) El inverso multiplicativo de

^{, ∀ ∈ Q −} { } ⁰

a b a es b b a

3.-

( C ,+ ,. )

es el campo de los números complejos donde:

C = { ( ) x , y / x , y ∈ IR }

, con las operaciones binarias internas definidas por:

( ) ( ) ( c d a c b d )

A ) : a, b + , = + , + ∀ a , b , c , d ∈ IR

( ) ( ) ( c d ac bd ad bc )

M ) : a, b ⋅ , = − , + ∀ a , b , c , d ∈ IR

a) El neutro aditivo en C es (0,0) b) El neutro multiplicativo en

C es ( ) 1,0

c) El inverso aditivo de

( ) a , b en C - { ( ) 0,0 }

es





 





+

+

^{2 2 2}

2

a

b -

b b

a a

Ejercicio:

Calcule explícitamente lo dicho anteriormente, en

( ^{C , +, ⋅} )

4.- Si R es la relación definida en Z por:

b - a b R

⇔

a

es divisible por p, p número primo, entonces R es una RELACION DE EQUIVALENCIA en Z. Luego induce una partición de Z en clases de equivalencia, que forma el conjunto cuociente que se denota por

Z

_p, y cada clase de equivalencia de denota por

a

por

[ ] a

, por

C

_a

Así, es fácil ver que:

[ ] 0 { / es divisible por p }

0 = = x ∈ IR x

[ ] 1 { / 1 es divisible por p }

1 = = x ∈ IR x −

[ ] 2 { / 2 es divisible por p }

2 = = x ∈ IR x −

. .

.

p − 1 = [ p − 1 ] = { x ∈ IR / x − ( p − 1 ) es divisible por p }

Además:

p = 0 , p + 1 = 1 , p + 2 = 2 , p + 3 = 3 ,....

por lo tanto:

^{Zp =} { ^{0 , 1 , 2 ,... , p - 1} }

Si definimos en Z la “adición” y “multiplicación”, como sigue:

b a b

a +

_p

= + ∀ a , b ∈ Z , p primo

y

a ⋅

_p

b = a ⋅ b ∀ a , b ∈ Z , p primo

, entonces

( Z

p_,

+

p

,.

p

)

es un campo

Analicemos el caso particular en que

p = 3

.Tenemos

Z

₃

= { ^{0 , 1 , 2} }

+

3

0 1 2 +

₃

0 1 2

0 0 1 2 0 0 0 0

1 1 2 0 1 0

¹

2

2 2 0 1 2 0 2 1

De las tablas de doble entrada se deduce que:

A)

( Z

₃

+

₃

)

es GRUPO ABELIANO, donde:

0

es el neutro aditivo

1

es el inverso aditivo de

2 2

es el inverso aditivo de

1 0

es el inverso aditivo de

0

Además por simetría respecto a la diagonal de la tabla se observa que

+

3es conmutativa Ejercicio:

Verifique la asociatividad

M)

( Z

₃

− { } 0 , .

₃

)

es GRUPO ABELIANO, pues:

1

es el neutro multiplicativo

2

es el inverso multiplicativo de

2 1

es el inverso multiplicativo de

1 1 .

₃

2 = 2 .

₃

1 = 2 ⇒ .

₃

es conmutativ a

( )

( ^{2 . 2} ) ^{1 1 1 1 1}

. 1

1 2 . 2 2 . 2 . 1

3 3

3 3

3 3

3

⇒ ⋅ =

 



=

⋅

=

=

=

D) La distributividad de

⋅

₃respecto a

+

₃se deja de ejercicio Tarea:

Verificar que

Z

₂

, Z

₅

, Z

₇

,...

son campos con las operaciones respectivas y que

Z

₄

, Z

₆

, Z

₈

,...

no lo son.

NOMENCLATURA:

Los elementos pertenecientes a un campo los llamaremos ESCALARES.

Nótese que en

( IR , + , ⋅ )

los campos escalares son los números usuales, pero en

( Z

_p,

+

_p

, .

p

)

los escalares son “clases de equivalencia”

CAPITULO I

Matrices y Sistemas Lineales

Comenzaremos analizando un problema familiar que servirá como motivación de mucho de lo que seguirá: Todos estamos familiarizados con el problema de encontrar solución (o solucionar) de un sistema de ecuaciones lineales por ejemplo, el sistema

= 0

− + y z x

( ) 1 . 1 3

2 x − y + z = 14 5 2

3 x − y + z =

tiene como única solución

x = 1 , y = 2, z = 3,

como se puede comprobar. La mayoría de las técnicas casi inmanejables si el número de incógnitas es grande y los coeficientes no son enteros. Es usual hoy día para los científicos encontrar sistemas como (1.1) que contienen cientos de ecuaciones con cientos de incógnitas. Aún empleando las más eficientes técnicas conocidas, debe usarse una gran cantidad de aritmética para resolver dicho sistema. El desarrollo de computadoras de alta velocidad en los últimos 20 años ha hecho posible la solución de tales problemas.

Usando geometría analítica tridimensional se puede dar una fructífera interpretación geométrica al sistema (1.1). como cada una de las tres ecuaciones representa un plano, normalmente se podría espera r que los tres planos se intersectarán en un punto, en nuestro caso en el punto (1, 2, 3). Nuestro punto de vista geométrico sugiere que este no será siempre el caso para tales sistemas, ya que pueden darse los dos casos siguientes:

1.- Dos de los planos podrían ser paralelos, en cuyo caso podrían no haber puntos comunes a los tres planos y por lo tanto el sistema no tendría solución.

2) Los planos podrían intersectarse en una recta y por lo tanto, el sistema tendría infinitas soluciones.

El primer caso especial puede ilustrarse en el sistema obtenido de (1.1) reemplazando la tercera ecuación por la ecuación

2 x − y + z = 5

El segundo caso especial se pude ilustrar reemplazando la tercera ecuación de (1.1) por la ecuación

− y + z = 1

Generalizando el sistema (1.1) podemos considerar:

1 n 1 2

12 1

11

x a x ... . a x b

a + + +

_n

=

2 n 2 2

22 1

21

x a x ... . a x b

a + + +

_n

=

. (1.2)

.

n mn

m

m

a a b

a

₁

x

₁

+

₂

x

₂

+ ... + x

_n

=

donde las

a

₁ y los

b

₁ son constantes conocidas y los

x

₁ son las incógnitas, de modo que tenemos m ecuaciones son n incógnitas.

Las preguntas que nos interesan respecto al sistema (1 . 2) son:

1. Existen soluciones?

2. Si existen solución ¿es única?

3. Cómo se encuentran las soluciones?

Con el propósito de responder estas interrogantes procederemos a definir MATRICES y a continuación veremos como se relacinan con los sistemas de ecuaciones lineales.

MATRICES

Definición:

Un matriz sobre un cuerpo K es un arreglo rectangular de elementos de K.

Así, ^M

_mxn

( ) ^K

denotará el conjunto de todas las matrices de m filas y n columnas con elementos en K, y

( ) a

₁₀

denotará una matriz de M

_mxn

( ) K si i = 1 , 2 ,..., m y j = 1, 2,... n.

Luego

( ) a

₁₀

∈ M

_mxn

( ) K

indica que

( ) j n

m i

a a

a

a a

a

a a

a

a

mn m

m

n n

. . . , 2 , 1

. . . , 2 , , 1

...

. .

...

...

2 1

2 22 21

1 12 11

10

=

=

 

 

 





 

 

 





=

es una matriz de m fijas y n columnas.

a

₁₀ indica un elemento de K, ubicado en la fila i, columna j

También es usual denotar las matrices por las letras A, B, C, ..., X, Y, Z.

Ejemplo:

( ) ( ) ^M ( ) ^IR

a a

a

a a

IR a M

a

_{x 2x3}

23 22

21

13 12

11 3

2

10

 ∈



 



⇔ 

∈

( ) _



 



= 

⇔

∈

23 22

21

13 12

11 3

2

a a a

a a

A a IR M

A

_x

Definición:

( ) ^K

M

A ∈

_mxn se llamará matriz de orden mxn sobre k.

Definición

Igualdad de Matrices: Sean

( ) ( ) ^a

₁₀

, b

₁₀

∈ ^M

_mxn

( ) ^K

. Diremos que estas matrices son iguales si:

n 2,..., , 1

,..., 2 ,

10

1

10

=

∀

=

∀

=

=

j

i

m

b a

o bien:

⇔

 

 

 





 

 

 





=

 

 

 





 

 

 





mn m m

n n

mn m

m

n n

b b b

b b b

b b b

a a

a

a a a

a a a

...

. .

...

....

...

. .

...

...

2 1

2 22 21

1 12 11

2 1

2 22 21

1 12 11

,...

2 1 1 1

22 22 21 21

,...

12 12 , 11 11

, .

,..

,

m m m

m

b a b

a

b a b a

b a b a

=

=

=

=

=

=

Convención:

1.- Si

A ∈ M

_mxn

( ) K

diremos que A es una “matriz cuadrada” y el conjunto de dichas matrices se denotará sólo por

^M

_n

( ) ^K

^así:

( ) a IR

a a

a A a

IR M

A  ∈



 



= 

⇔

∈

₁₀

22 21

12 11

2

,

2.- Si

A ∈ M

_mx1

( ) K

^entonces:

. ,

1 21 11



 









 







= a

m

a a

A

se denotará simplemente por



 









 







= a

m

a a A .

2 1

esto es, usaremos un

solo índice para designar los elementos de

M

_mx1

( ) K

3.- Si

^A ∈ ^M

_mxn

( ) ( ) ^{K : F}

₁

^A

denotará la i-ésima de la matriz A, así

( ) ( ^{A a a a}

_n

)

F

₁

=

₁₁

,

₁₂

,...,

₁ Además,

^C

j

( ) ^A

denotará la j-ésima columna de la matriz A.

Así:

( )

 

 







 

 







=

mj j j

j

a a a A

C .

2 1

Las matrices surgen naturalmente en el estudio de sistemas lineales con (1.2) con

m = 2 y n = 3

2 3 23 2 22 1 21

1 3 13 2 12 1 11

x

b x a x a x a

b x a x a a

= +

+

= +

+

(1.3)

Con el sistema (1.3) asociaremos la matriz de coeficientes de 2x3:

 

 



= 

23 22

21

13 12

11

a a

a

a a

A a

así como la matriz de las incógnitas de 3 x 1

 







 







=

3 2 1

x x x x

y la matriz de constantes de 2 x 1:

 

 



= 

2 1

b B b

Luego podemos convenir en abreviar el sistema (1.3) como:

B

AX =

(1.4)

Ahora en (1.3) hagamos la sustitución determinada por:

2 32 1 31 3

2 22 1 21 2

2 12 1 11 1

y y d y d x

d y d x

y d y d x

+

=

+

=

+

=

(1.5)

que se puede escribir en forma abreviada como:

, DY X =

donde:

 







 







=

32 31

22 21

12 11

d d

d d

d d

D

y





 



= 

2 1

y

Y y

(1.5)

Un cálculo directo, fácil d verificar, nos da el sistema:

2 2 22 1 21

1 2 12 1 11

b y c y c

b y c y c

= +

=

+

o CY = B (1.6) donde

 

 



= 

22 21

12 11

c c

c

C c

, con

32 23 22 22 12 21 22

31 23 21 22 12 21 21

32 13 22 12 12 11 12

31 13 12 12 11 11 11

d a d a d a c

d a d a d a c

d a d a d a c

d a d a d a c

+ +

=

+ +

=

+ +

=

+ +

=

En términos de las abreviaciones (1.4) y (1.5’), tenemos:

( ) ,

, X DY A DY CY B

B

AX = = = =

de modo que tenemos fuertes motivaciones para definir la matriz C como el producto de las matrices A y D. Nótese que para hacer nuestra sustitución que motivó este definición de producto de matrices es esencial que el número de filas de D sea igual al número de columna de A.

Más aún, observamos que

c

₁₁ está calculada con los elementos de

( ) A

F

₁ y

C

₁

( ) D

y

c

₂₂con los elementos de

F

₂

( ) A y C

₂

( ) D

Formalizaremos lo anterior como sigue:

Definición:

Sea

A ∈ M

_mxn

( ) K

^y

B ∈ M

_nxp

( ) K

. El producto AB está definido como

( ) ^{c M} ( ) ^K

C =

₁₀

∈

_mxp

Donde:

( ) ( ) ( A B a a a

_n

)

c

₁₀

= F

₁

C

₀

=

₁₁

,

₁₂

,...,

₁

 

 







 

 







0 20 10

. b

n

b b

(1.6)

o bien _{0 11 10 12 20 1 0}

1 1

10 _k

....

_{n n}

n

k

k

b a b a b a b

a

c = ∑ = + + +

=

Ejemplo: Sean

 







 







−

 =



 



 −

=

0 1

1 0

2 3

1 , 5

4

0 1

2 B

A

. Calcular AB y BA

De la definición tenemos:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

 

 

 

 





 

 

 

 





 







 







 







 







 







 







 −

 





 







−

 =



 



= 

0 1 - 2 1 5 4 1 0 3 1 5 4

0 1 - 2 0 1 2 1

0 3 0 1 2

C

?

2 2

1 2

2 1

1 1

B C A F B

C A F

B A

F B

C A AB F

 

 





+

− + +

+

+

−

− + +

−

= +

0 . 1 1 . 5 2 . 4 1

. 1 0 . 5 3 . 4

0 . 0 1 . 1 2 . 2 1

. 0 0 . 1 3 .

2 



 



= 

3 13

5 6

Análogamente

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ^{ }







 







=

A B A

B A

B F

A

C

C

C

3 3 2

3 1

3

3 2

2 2

1 2

3 1

2 1

1 1

C F C

F C

C B F A

C B F A

B F

A B

F A

C B F A

B F BA

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) _ ^

 

 

 





 

 

 

 





 

 



 



 



 



 





 

 



 



 



 



 





 

 



 



 



 



 





=

1 0 0 5 1

1 - 0 4 1

2 0 1

1 0 1 - 5 0

1 - 1 - 4 0

2 1 - 0

1 0 2 5 3

1 - 2 4 3

2 2 3

 







 







+ +

− +

− +

− +

−

− +

+ +

− +

=

1 . 0 0 . 1 5 . 0 1 . 1 4

. 0 2 . 1

1 . 1 0 . 0 5 . 1 1 . 0 4 . 1 2 . 0

1 . 2 0 . 3 5 . 2 1 . 3 4

. 2 2 . 3

 







 







=

0 2

2

-1 0

4 -

0 7

14

Hay varias cosas acerca de la multiplicación de matrices que debemos enfatizar Si

A ∈ M

_mxn

( ) K y B ∈ M

_pxq

( ) K ,

entonces :

1º AB está definida ssi n = (# columnas de A) = (# filas de B) = p, y en este caso

AB ∈ M

_mxq

( ) K

.

2º Si AB está definida, B puede o no estar definida. BA está definida ssi (# columnas de B) =q=m= (# filas de A) y en este caso

( ) K M BA ∈

_qxn

3º Aún si AB y BA están definidas, es posible que no sean iguales (ver ejemplo anterior).

4º Es posible que

AB = BA

están definidas, es posible que no sean iguales (ver ejemplo anterior).

5º Aún siendo A y B cuadradas y del mismo orden no necesariamente se tiene que AB=BA, ya que si

 

 



= 

 

 



= 

8 6

7 5

4 2

3

1 y B

A

se tiene:

 

 



= 

 

 



= 

50 22

43 19

46 34

31

23 y BA

AB

Más aún:

 

 



= 

 

 





−

 −



 





0 0

0 0

4 1

4 2 6

3

2

1

mientras que





 





−

= −

 

 



 



 





−

− 7 14

28 14 6 3

2 1

2 1

4 2

Es importante observar que AB y BA no son siempre diferentes. Por ejemplo, si:

i)

 







 







−

−

=

2 -1

1

-1 2

1

1 1 2

A

y

 







 







−

−

−

−

=

6 5 5

5 6

5

5 5 6

B

, entonces

 







 







−

−

−

−

=

22 21 21

21 22

21

21 21 22

AB

y

BA = AB

 







 







−

−

−

−

=

22 21 21

21 22

21

21 21 22

ii)





 





−

= −

 

 



= 

6 3

3 6

1

2

2

1 y B

A

entonces

AB  = BA



 



= 

0 9

9 0

Un serio problema en teoría de matrices es encontrar todas las matrices B que conmuta con un matriz dada A.(A y B CONMUTA ssi AB=BA)

6º Si

A ∈ M

_n

( ) K ,

se definen las potencias de A como:

. ...,

,

,

.

^{3 2 1}

2

A A A A A A A

A = =

ⁿ⁻

Teoremas 1.1: Sean

A = ( ) a

₁₀ ,

B = ( ) b

₁₀ ,

C = ( ) c

_k1 tres matrices arbitrarías. Entonces:

( ) AB C = A ( ) BC

.Es decir, la multiplicación de matrices es asociativa.

Demostración:

Supongamos que

^A ∈ ^M

mxn

( ) ^K , ^B ∈ ^M

nxp

( ) ^K

y que

^C ∈ ^M

pxq

( ) ^K

, de modo que todos los productos estén definidos y

( ) ^{AB C} ∈ ^M

mxq

( ) ^K , ^A ( ) ^BC ∈ ^M

mxq

( ) ^K

. Será suficiente probar la igualdad del

^elem

₁₀

[ ( ) ^{AB C} ] ^{y elem}

₁₀

[ ^A ( ) ^BC ]

^{, los}

elementos de la posición

i , j de ( ) AB C y A ( ) BC

, respectivamente.

Usando la definición

( ) 1 . 6 '

, tenemos:

[ ( ) ] ∑ ( ) ( )

=

=

^P

K

K

C

elem AB elem C

AB elem

1

0 10

10

( ) ( ) ( )

∑ ∑

= =





 



=

ⁿ



k

k p

k

rk

r

A elem B elem c

elem

1

0 1

1

( ) ( ( ) ( ) )

∑ ∑

= =

=

ⁿ

r

k rk

r

A elem B elem C

elem

1 p

1 k

0

1

( ) ( ) ( )

∑ ∑

= =

 

 



=

ⁿ



r

k rk

r

A elem B elem C

elem

1

p

1 k

0

1

( ) ( )

∑

=

=

ⁿ

r

r

r

A elem BC

elem

1

0

1

[ ^A ( ) ^BC ]

elem

₁₀

=

Se ha usado la asociatividad de los escalares y el hecho de que por ser todas sumas finitas se puede intercambiar el orden de dichas sumas.

Sabemos, ahora, que la multiplicación de matrices no es conmutativa, pero es asociativa y es natural preguntarse qué otras propiedades multiplicativas de un campo satisface la multiplicación de matrices.

Responderemos parcialmente a esta pregunta, mostrando que existe neutro multiplicativo: LA MATRIZ IDENTIDAD.

( ) ^A

elem A

₁₀

=

₁₀

Esta notación es conveniente para matrices de nomenclatura complicada tales como

A ( 2 + B 3 C )

. En esta caso,

^lem

₁₀

[ ^A ( ^{2 B} + ^{3 C} ) ]

designará

m

₁₀ donde

( ^{B C} )

A

M = 2 + 3

Adición De Matrices Multiplicación Escalar

Definición:

Si

A = ( ) a

₁₀ y

B = ( ) b

₁₀ son matrices de mxn sobre el campo K, entonces A + B se define como la matriz de

mxn S = ( ) s

₁₀ ^{, donde}

s

₁₀

= a

₁₀

+ b

₁₀

(1.7)

Equivalentemente

^elem

₁₀

( ^A + ^B ) = ^elem

₁₀

( ) ^A + ^elem

₁₀

( ) ^B

(1 . 7) Ejemplos:

1) Si

 







 







−

−

−

=

0 5 9 10

7 1 3

0

6 4 2 3

A

y

 







 







−

−

=

4 2

9 7

5 3 1

0

8 6 4

2 B

entonces:

 







 







−

−

=

 







 







− +

− + +

+

+ +

− +

− +

+ +

+

− +

= +

4 3

18 17

12 2

2 0

14 10

2 5 4

0 2 5 9 9 7 10

5 7 3 1 1 3 0 0

8 6 6 4 4 2 2 3 B

A

2) Si

 







 





 −

=

0 0 7

6 4 0

5 2 3

A

y

 







 







−

−

−

−

−

=

0 0 7

6 4

0

5 2

3

B

, entonces

 







 







= +

0 0

0

0 0

0

0 0

0 B

A

, la matriz nula de 3x3

Nótese que:

1º La adición de matrices está definida sólo entre matrices del mismo orden y la suma tiene el mismo orden que cada uno de sus sumandos.

2º Como la suma de dos matrices de mxn es otra matriz de mxn, se dice que el conjunto de todas las matrices de mxn es cerrado respecto a la adición, o que la adición de matrices es una operación binaria interna en

^M

_mxn

( ) ^K

Teorema 1.4

( M

_mxn

( ) K , + )

es un GRUPO ABELIANO Demostración:

1.- Conmutatividad . Sean

^A = ( ) ^a

₁₀

^{, B} = ( ) ^b

₁₀

∈ ^M

_mxn

( ) ^K ( ) ( ) ( ) ^a

₁₀

^b

₁₀

^s

₁₀

B

A + = + =

, donde

s

₁₀

= a

₁₀

+ b

₁₀

⇒ s

₁₀

= b

₁₀

+ a

₁₀

,

pues

a

₁₀

, b

₁₀

∈ K

.

El Anillo

De Las Matrices Cuadradas

Teorema 1.6

( )

( M

_n

^{K ,} + ^,. )

es un anillo no conmutativo con unidad.

Demostración: Consecuencia de las propiedades de matrices antes vistas.

Multiplicación De Matrices Por Un Escalar

Definición:

Si

K ∈ K

y

^A ∈ ^M

_mxn

( ) ^K

, donde K es un campo, entonces la multiplicación por un escalar KA es la matriz de mxn definida por

( ) ^{KA K elem} ( ) ^A

elem

₁₀

=

₁₀ (1 . 8)

Ejemplo: Si





 



= 

3 2

1

6 4

A 2

y





 



= 

1 2

3

7 5

B 3

entonces

( ) _



 





−

−

− + −

 

 



= 

− +

=

− 9 - 6 - 3

21 15

9 6

4

2

12 8

3 4 2

3

2 A B A B

Teorema 1.7 Sean

^{A , B ,} ∈ ^M

_mxn

( ) ^K

y

α , β ∈ K .

Entonces:

i)

( ^{α + β} ) ^{A = α A + β A}

ii)

α ( A + B ) = α + A α β

iii)

α ( ) β A = ( α β ) A

iv)

1 A = A

v)

0 A = 0

vi)

^A ( ^{α C} ) ^{= α} ( ) ^AC

^si

^C ∈ ^M

nxp

( ) ^K

Demostración: (Ejercicio) Definición:

Si

p ( ) x = a

₀

+ a

₁

x + a

₂

x

²

+ ... + a

n

x

ⁿ y A es cualquier matriz cuadrada, entonces se define

p ( ) A

por:

p ( ) A = a

₀

1 + a

₁

A + a

₂

A

²

+ .... + a

n

A

ⁿ

Ejercicio 2

1.- a) Para la matrices

 







 







−

−

 =



 



= −

 

 





= −

2 3

4 2

2 5

3 5

7 1

0 1 y

-1 ,

0 2

6 5

, 2 4

3 5

0 2

1 B C

A

Verifique la distributividad por la derecha, esto es pruebe directamente que

( A + B ) C = AC + BC

b) ¿Es cierta la distributividad por la izquierda?

2.- a) Calcule

J

³

− 3 J

²

+ 4 I

para

 







 







=

2 0

0

0 2

1

0 0

2 J

b) Utilizando la parte a), encuentre

J

⁻¹

3.- Si A y B son singulares ¿Es A+B no singular?

Si así lo es ¿será cierta que

( A + B )

⁻¹

= A

⁻¹

+ B

⁻¹

II.- Asociatividad

( ) ( ) ^{( ) ( )}

[ ^{A B C elem A elem B C} ]

elem

₁₀

+ + 1

₁₀

+

₁₀

+

( ) ^{1 elem}

₁₀

( ) ^A + [ ^elem

₁₀

( ) ^B + ^elem

₁₀

( ) ^C ] ( ) ² [ ^elem

₁₀

( ) ^A + ^elem

₁₀

( ) ^B ] + ^elem

₁₀

( ) ^C ( ) ^{1 elem}

₁₀

( ^A + ^B ) + ^elem

₁₀

( ) ^C

( ) 1 ^elem

₁₀

[ ( ^A + ^B ) + ^C ]

(1) : definición de adición (2) : asociatividad en K

III.- Existe elemento neutro para la adición.

En efecto:

A + 0 = A ssi 0

es la matriz nula IV.- Cada matriz posee inverso aditivo

En efecto:

∀ ^A ∈ ^M

_mxn

( ) ^{K ,} ∃ − ^A ∈ ^M

_mxn

( ) ^{K ,}

donde

^elem

₁₀

( ) − ^A = − ^elem

₁₀

( ) ^{A ,}

tal que

A + ( ) − A = 0

Luego

( M

_mxn

( ) K , + )

es grupo abeliano.

Teorema 1.5

Si

^A = ( ) ^a

₁₀

^{, B} = ( ) ^b

₁₀

^{, C} = ( ) ^c

₁₀ son matrices. Entonces:

( ^{A + B} ) ^{C = AC + BC}

y

C ( A + B ) = CA + CB ,

aceptando que las adiciones y multiplicaciones están bien definidas.

Demostración:

Supongamos que

^{A y B} ∈ ^M

mxn

( ) ^{K y C} ∈ ^M

nxp

( ) ^{K ,}

entonces AC + BC y

( ^A + ^B ) ^C ∈ ^M

mxp

( ) ^K

y para demostrar que son iguales basta probar que

( )

[ ^{A B C} ] ^elem [ ^{AC BC} ]

elem

₁₀

+ =

₁₀

+

De la definición de adición y multiplicación de matrices:

( )

[ ] ∑ ( ) ( )

=

+

=

+

ⁿ

k

k

A B elem C

elem C

B A elem

1

10 1

10

=

∑ [ ( ) ( ) ( ) ]

=

+

n

k

k k

k

A elem B elem C

elem

1

0 1

1

=

∑ [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]

= n

+

k

k k

k

k

A elem C elem B elem C

elem

1

0 1

0 1

=

∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ( )

= =

+

n

k

n

k

k k

k

k

A elem C elem B elem C

elem

1 1

0 1

0 1

=

^elem

₁₀

( ) ^AC + ^elem

₁₀

( ) ^BC

=

^elem

₁₀

[ ^AC + ^BC ]

4.- Pruebe que

 



 

  ∈



 





= − a b IR

a b

b K a / ,

es un campo compare este campo con el campo de lo números complejos.

5.- Demuestre el teorema 1.7

6.- Para

S y m ( ) x x 5 x 4 evalue m ( ) S 2

1 1

1 2

1

1 1 2

2

− +

=

 







 







−

−

−

−

=

7.- Para

^y ( ) ^{6 7 5}

3 0 0

4 1 0

6 2 1

2

3

− + −

=

 







 







−

= p x x x x

T

evalúe

p ( ) T .

Verifique que los elementos de la diagonal de

p ( ) T

son

p ( ) − 1

y

p ( ) 3

Matriz traspuesta

Definición:

Sea

^A ∈ ^M

_mxn

( ) ^{K ,}

entonces la matriz de nxm obtenida de A intercambiando sus filas y columnas se llama la TRASPUESTA de A y se denota por

A

^t. Es decir

A

t es la traspuesta de

A ssi elem

₁₀

( ) A

^t

= elem

₀₁

( ) A

(1.9) Ejemplo: Si

 







 







−

 =



 



= 

2

3 5 6

5 4

3 2

1 y B

A

entonces

( 5 , 3 , 2 )

6 3

5 2

4 1

−

=

 







 







=

^t

t

y B

A

Teorema 1.8 i)

( ) ^A

^{t t}

^{= A}

ii)

A , B ∈ M

_mxn

( ) ( K ⇒ A + B )

^t

= A

^t

+ B

^t

iii) Si AB está definida entonces

( ) ^AB

^t

^{= B}

^t

^A

^t

iv)

( ^{α β} )

^t

^{= α B}

^t

^{, ∀ α ∈ K}

v) Si A es no-singular, entonces lo es

A

^t y además

( ) ( ) ^A

^{t −1}

^{= A}

^{−1 t}

Demostración:

i) Por definición de traspuesta:

elem

₁₀

( ) A

^{t t}

= elem

₁₀

( ) A

^t

= elem

₁₀

( ) A ,

así que

( ) ^A

^{t t}

^{= A}

ii) Por definición de adición de matrices y traspuesta:

( )

[ ^{A B} ] ^{elem ( A B )}

elem

₁₀

+

^t

=

₁₀

+

=

^elem

₁₀

( ) ^A + ^elem

₁₀

( ) ^B

=

^elem

10

( ) ^A

^t

+ ^elem

10

( ) ^B

^t

=

^elem

10

[ ( ^A

^t

^{+ B}

^t

) ]

Luego:

( A + B )

^t

= A

^t

+ B

^t

iii) Supongamos que

A ∈ M

_mxn

( ) K , B ∈ M

_nxp

( ) K

. Entonces

AB ∈ M

_mxp

( ) K

y

( ) AB

^t

, B

^t

A

^t

∈ M

_pxm

( ) K

. Ahora por definición de traspuesta y por la de multiplicación de matrices

^elem

10

[ ( ) ^AB

^t

] = ^elem

10

^{( ) AB}

=

elem ( ) A elem

_k

( ) B

n

k

k 1

1

∑

0

=