Orden y dinámica en hielos de spin

Orden y dinámica en hielos de spin

Pamela C. Guruciaga

Departamento de Física, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad Nacional de Mar del Plata

Director: Dr. Rodolfo A. Borzi Codirector: Dr. José Luis Iguain

Tesis presentada para optar por el título de Doctora en Ciencias, área Física

Diciembre 2017

A mis abuelos y abuelas,

por haber empezado hace muchos años, sin saberlo, el camino que me trajo hasta acá.

Resumen

Orden y dinámica en hielos de spin

Pamela C. Guruciaga

Los hielos de spin sos sistemas magnéticos frustrados en los que los momentos magnéticos tipo Ising habitan una red de tetraedros que comparten sus vértices.

Su estado fundamental es cuasidegenerado, abarcando todas las configuraciones en las que dos spines apuntan hacia adentro y dos hacia afuera de cada tetraedro.

El número de configuraciones crece exponencialmente con el tamaño del sistema, obteniéndose una entropía residual finita cercana a la entropía de Pauling en el hielo convencional. Los defectos en la estructura magnética del estado fundamental se asemejan a cargas magnéticas (monopolos) que interactúan entre sí Coulombianamente. Estas excitaciones topológicas sólo pueden abandonar el sistema a través de sus paredes, o destruirse al combinarse con monopolos de carga opuesta. Así, los monopolos pueden pensarse como partículas interactuantes que viven en los hielos de spin, capaces de conformar nuevos estados (fluidos y sólidos) de la materia: la materia de monopolos.

En esta tesis, estudiamos el comportamiento dinámico y termodinámico de los hielos de spin y sistemas afines desde la óptica de la materia de monopolos.

En todos los casos trabajamos sobre redes de spines, para luego interpretar los resultados en términos de cargas. De este modo, describimos nuevas fases –ordenadas y desordenadas– de la materia y echamos luz sobre un aspecto que trasciende las interacciones mutuas: el efecto de las correlaciones posicionales.

Apoyándonos en esto último, estudiamos la aparición de orden al subir la temperatura en la contraparte antiferromagnética de estos sistemas (en la que los monopolos son parte constitutiva del estado fundamental) y proponemos materiales y experimentos para observar por primera vez orden por desorden clásico. Finalmente, explicamos las particularidades de la dinámica de los hielos de spin con campo magnético aplicado a partir de la creación, aniquilación y desplazamiento de monopolos.

v

Abstract

Order and dynamics in spin ice

Pamela C. Guruciaga

Spin ices are frustrated magnetic systems in which Ising magnetic moments oc- cupy a lattice of corner-sharing tetrahedra. Their gound state is quasidegenerated, encompassing all the configurations in which two spins point inwards and two point outwards of each tetrahedron. The number of configurations grows exponentially with the size of the system, giving rise to a finite entropy at zero temperature equal to Pauling’s entropy in conventional ice. Defects in the magnetic structure of the ground state resemble magnetic charges (monopoles) that interact via a Coulomb law. These topological excitations can only leave the system through its walls, or be destroyed when combined with oppositely charged monopoles.

Thus, monopoles can be thought of as interacting particles that live in spin ices, capable of forming new states (fluid and solid) of matter: the monopole matter.

In this thesis, we study the dynamic and thermodynamic behavior of spin ices and related systems from the point of view of the monopole matter. In all cases we work on spin lattices and then interpret the results in terms of charges. In this way, we describe new phases –ordered and disordered– of matter and shed light on an aspect that transcends mutual interactions: the effect of positional correlations. With this in mind, we study the appearance of order with increasing temperature in the antiferromagnetic counterpart of these systems (in which monopoles become a constituent part of the ground state) and propose materials and experiments to observe classical order by disorder for the first time. Finally, we explain the particularities of spin-ice dynamics under applied magnetic fields in terms of the creation, annihilation and displacement of monopoles.

vii

Agradecimientos

Muchos factores debieron conjugarse para la realización de esta tesis, pero dos de ellos son verdaderamente condiciones sine qua non. En primer lugar, nada hubiera sido posible sin la existencia de una Universidad Nacional pública, gratuita y de calidad que me permitiera desarrollar mis estudios de grado y posgrado en un ambiente crítico, diverso, inclusivo y consciente. Por otro lado, ha sido gracias a una beca doctoral del CONICET que he podido dedicarme de forma exclusiva a este doctorado. Sin su apoyo económico esta tesis no existiría.

Otro factor definitorio ha sido mi director. El conocimiento, la entrega, el apoyo y la paciencia (¡sobre todo la paciencia!) de Chufo son enormes. Todo eso, sumado a la gran persona que es, hacen que al cabo de cinco años de doctorado pueda decir que estoy infinitamente agradecida del director que tengo. En este sentido, tengo que destacar también el apoyo de mi codirector, José Luis, quien me abrió las puertas sin dudarlo cuando esta platense desconocida le escribió un día diciendo que quería hacer su posgrado en Mar del Plata.

Mucha otra gente ha aportado a este trabajo, directa o indirectamente. En primer lugar, tengo mucho que agradecerles a Santiago Grigera y Victoria Ferreyra, por poner sus cerebros y sus manos a la obra en conjunto con los míos. Por otro lado, no podría dejar de mencionar a Alejandro Seif, que trabajando en lo mismo pero distinto nunca dejó de ser mi fiel compañero de estudios, aunque sea a distancia (¡y cada vez más...!). Durante estos años tuve la invaluable oportunidad de realizar dos estancias de investigación en la Université Pierre et Marie Curie, gracias a un proyecto de colaboración MINCyT - ECOS Sud. En este contexto, quiero agradecer especialmente a Leticia Cugliandolo y Marco Tarzia por el interés que mostraron desde el primer momento en mi trabajo y por los largos intercambios que derivaron en una publicación conjunta.

En el ámbito local, tengo que nombrar a aquellos que me acompañan todos los días en la autodenominada Oficina X y, más generalmente, en el IFIMAR. Los almuerzos, los mates, las pizzas, los mini-cursos y el delirio general hacen que ir a trabajar sea un gusto. Mención aparte merece Camila Buono, quien a pesar de haberme abandonado en el día a día (¡hm!) está siempre presente, con el mate preparado y la sonrisa lista. Habiendo estado todos estos años a medio camino entre Mar del Plata y La Plata, también tengo que agradecer a la gente del IFLYSIB

Saliendo del ámbito académico, todo lo que soy (ojo: ¡lo bueno y lo malo!) se lo debo a mi familia y su apoyo en cada locura que se me ocurrió perseguir. Vaya a ellos un enorme GRACIAS por hacer todo lo posible por formarme como una mujer libre e independiente. Por otro lado, hay tantos amigos a los que quisiera agradecerles por ser parte de mis días que, en una gran demostración de los tiempos que corren, lo mejor será hacerlo por los grupos de Whatsapp que los congregan (y reírme, al mismo tiempo, por lo ridículo): Equipo Thionis, Dead inside, Dora la exploradora, arte&ciencia, rockets, cats&dogs&turtles&cactus lovers, amigansas.

La vida es hermosa con gente como ellos cerca.

Para ir finalizando, debo reconocer que existe un tercer factor sin el cual esta tesis definitivamente no hubiera existido: mi compañero Martín Virgili. Amor y locura en partes iguales, día a día me enseña a animarme a soñar lo imposible.

Ciertamente, un músico es un gran complemento para una física.

Índice general

Resumen ^VI

Abstract ^VIII

Agradecimientos ^XI

Índice de figuras ^XV

Lista de símbolos ^XIX

Lista de abreviaturas ^XXIII

1. Introducción 1

1.1. Magnetismo y materiales magnéticos . . . 2

1.1.1. Algunas definiciones . . . 2

1.1.1.1. Momento magnético . . . 2

1.1.1.2. Campo magnético y magnetización . . . 3

1.1.1.3. Spin . . . 4

1.1.2. Magnetismo en la materia . . . 6

1.1.2.1. Interacción de intercambio y magnetismo colectivo 7 1.1.3. Transiciones de fase en sistemas magnéticos . . . 10

1.2. Frustración . . . 15

1.2.1. Orden por desorden . . . 16

1.3. Hielos de spin . . . 21

1.3.1. Origen . . . 23

1.3.2. Interacciones dipolares . . . 25

1.3.3. Modelo de mancuernas y monopolos magnéticos . . . 27

1.3.4. Efectos de la aplicación de un campo magnético . . . 32

1.3.4.1. Campo magnético en [100] . . . 32

1.3.4.2. Campo magnético en [110] . . . 33

1.3.4.3. Campo magnético en [111] . . . 34

1.3.5. Dinámica . . . 36

1.3.6. Hielos de spin artificiales . . . 40

1.4. Excitaciones monopolares . . . 41

1.4.1. Materia de monopolos . . . 44

xi

2. Simulaciones computacionales en sistemas magnéticos frustrados 47

2.1. Método Monte Carlo . . . 47

2.1.1. Algoritmo de Metropolis . . . 49

2.1.2. Algoritmo de Wang-Landau . . . 51

2.1.3. Algoritmo de lazo . . . 53

2.1.4. Algoritmo de monopolos conservados . . . 54

2.2. Sumas de Ewald . . . 55

2.3. Programa y simulaciones . . . 58

3. Orden de carga magnética en hielos de spin 61 3.1. Grados de libertad de carga en el modelo dipolar . . . 62

3.2. Comparación entre los modelos dipolar y a primeros vecinos . . . . 69

3.3. Rol de los grados de libertad de spin . . . 72

3.3.1. Cargas: interacción vs. correlación . . . 72

3.3.2. Reentrancia cerca del punto tricrítico . . . 75

3.3.3. Orden de carga con desorden de spin . . . 76

3.4. Conclusiones parciales . . . 77

4. Orden por desorden en el pirocloro antiferromagnético de Ising 79 4.1. Estado fundamental desordenado . . . 80

4.2. Papel de las excitaciones . . . 83

4.2.1. Estudio analítico . . . 86

4.2.1.1. Modelo de campo medio . . . 87

4.2.1.2. Modelo efectivo a baja temperatura . . . 88

4.2.2. Densidad de estados . . . 90

4.3. Perspectivas experimentales . . . 93

4.3.1. Sistemas tridimensionales . . . 94

4.3.1.1. Efecto de las interacciones dipolares . . . 94

4.3.1.2. Efecto de la mala alineación del campo . . . 95

4.3.2. Sistemas bidimensionales . . . 97

4.4. Conclusiones parciales . . . 99

5. Dinámica anómala de hielos de spin bajo campos magnéticos 101 5.1. Congelamiento del sistema para campos moderados . . . 103

5.2. Efectos de la dimensionalidad en la difusión de monopolos . . . 113

5.3. Conclusiones parciales . . . 117

6. Conclusiones generales 119

Índice general xiii

A. Introducción al método Monte Carlo 123

A.1. Cadenas de Markov . . . 124 A.2. Ergodicidad y balance detallado . . . 124 B. Trabajos publicados en el marco de esta tesis 127

Bibliografía 129

Índice de figuras

1.1. Parámetro de orden en transiciones de fase . . . 11

1.2. Energía libre en transiciones de fase . . . 12

1.3. Orígenes de la frustración en sistemas magnéticos . . . 15

1.4. Degeneración en tetraedro de spines con interacciones ferromagnéticas 16 1.5. Esquema de la densidad de estados de un sistema con orden por desorden . . . 17

1.6. Estado fundamental y fluctuaciones del antiferromagneto de Heisenberg 18 1.7. Estado fundamental del modelo de dominó . . . 19

1.8. Excitaciones del modelo de dominó . . . 20

1.9. Red de pirocloro . . . 22

1.10. Estructura tetraédrica del hielo . . . 23

1.11. Calor específico y entropía de Dy2Ti2O7 . . . 25

1.12. Diagrama de fases T vs. Jnn para el DSIM . . . 28

1.13. Modelo de mancuernas en hielos de spin . . . 29

1.14. Energía entre monopolos de signo contrario vs. distancia . . . 30

1.15. Monopolos simples y dobles en hielos de spin . . . 31

1.16. Algunas direcciones de interés en la red de pirocloro . . . 32

1.17. Transición de Kasteleyn: cadena de magnetizacion negativa . . . 34

1.18. Diagrama de fases H vs. T de hielos de spin en el DSIM con campo en [110] . . . 35

1.19. Red de pirocloro como sucesión de planos de Kagomé y triangulares 36 1.20. Algunos resultados experimentales de Dy2Ti2O7 con campo en [111] 37 1.21. Medidas ZFC-FC en polvos de Ho2Sn2O7 . . . 38

1.22. Medidas ZFC-FC y de susceptibilidad AC en policristales de Dy2Ti2O7 39 1.23. Tiempo de relajación en Dy2Ti2O7 . . . 39

1.24. Hielo de spin artificial a través de microscopía de fuerza atómica y magnética . . . 41

1.25. Los dieciséis vértices del modelo homónimo . . . 42

1.26. Diagrama de fases de un plasma de dos componentes y capacidad calorífica de Dy2Ti2O7 con teoría de Debye-Hückel . . . 45

1.27. Diagrama de fases T vs. ρ para el DSIM con densidad de monopolos conservada y para un sistema de cargas reales . . . 46

xv

2.1. Cadena cerrada hexagonal de spines . . . 54

2.2. Descomposición en sumas de Ewald . . . 56

3.1. Densidad de monopolos para diversos valores de Jnn/Dnn . . . 63

3.2. Caracterización de un sistema con |Jⁿⁿ/Dnn| ≤ 0,911 como un hielo de spin . . . 64

3.3. Calor específico y densidad staggered de monopolos dobles para |Jnn/D_nn| ≥ 0,913 en el DSIM . . . . 65

3.4. Análisis de tamaño finito para Jnn/Dnn = −0,919 en el DSIM: transición de primer orden . . . 66

3.5. Análisis de tamaño finito para Jnn/Dnn = −1,064 en el DSIM: transición de segundo orden . . . 67

3.6. Diagrama de fases T vs. ρ para el DSIM . . . . 68

3.7. Instantáneas de las tres posibles fases del sistema . . . 69

3.8. Análisis de tamaño finito para Jnn/Dnn = −1,064 en el NNSIM: transición de segundo orden . . . 70

3.9. Diagrama de fases T vs. ρ para el NNSIM . . . . 71

3.10. Diagrama de fases T vs. Jnn para el DSIM y el NNSIM . . . 72

3.11. Monopolos simples al lado de un doble . . . 73

3.12. Densidad y susceptibilidad staggered de esferas duras con correlaciones 74 3.13. Orden de carga con desorden de spin . . . 77

4.1. Proyección bidimensional de la red de pirocloro y estado fundamental 81 4.2. Energía de las distintas configuraciones con campo magnético en [110]. 82 4.3. Entropía residual subextensiva . . . 83

4.4. Parámetros de orden y calor específico vs. temperatura . . . 85

4.5. Estado con orden de carga a T finita . . . . 86

4.6. Densidad de cargas simples, dobles y tetraedros neutros en torno a la segunda transición . . . 86

4.7. Análisis de tamaño finito de la transición a mayor temperatura . . . 87

4.8. Modelo efectivo a baja temperatura de spines β . . . . 90

4.9. Densidad de estados vs. energía y parámetro de orden . . . 91

4.10. Densidad staggered total vs. temperatura (MC, WL y picos) . . . . 93

4.11. OpD con interacciones dipolares: densidades staggered vs. campo . 95 4.12. OpD con mala alineación del campo: densidad staggered de monopo- los simples vs. campo . . . 96

4.13. Nueva transición de fase con θ = 45^◦ (B k [111]) . . . 97 4.14. Energía de los vértices con campo magnético en la dirección vertical 99 4.15. Uno de los dos estados fundamentales con más excitaciones posibles 99 5.1. Magnetización AC con B = 0,1 T en [100] y f = 1 Hz en el NNSIM 104

Índice de figuras xvii

5.2. Susceptibilidad dinámica para B = 0,05 T en [100] y distintas frecuencias en el NNSIM . . . 105 5.3. Tiempo característico vs. temperatura con distintos valores de campo

en [100], [110] y [111] en el NNSIM . . . 106 5.4. Tiempo de relajación vs. temperatura con distintos valores de campo

en [100] en el NNSIM . . . 106 5.5. Magnetización ZFC-FC con campo en [100] y dos ritmos de enfria-

miento en el NNSIM . . . 108 5.6. Densidad de monopolos en protocolo ZFC-FC con campo en [100] en

el NNSIM . . . 108 5.7. Derivada de la magnetización ZFC-FC y densidad de monopolos con

campo en [100] en el NNSIM . . . 109 5.8. Magnetización ZFC-FC con campo en [100] en el DSIM y evolución

de la temperatura de bloqueo en las tres direcciones . . . 110 5.9. Medidas experimentales ZFC-FC y temperatura de bloqueo en Dy2Ti2O7

con campo en [100] . . . 111 5.10. Densidad de monopolos en el DSIM con campo en las tres direcciones112 5.11. Energía de las distintas configuraciones con campo magnético en [100].114 5.12. Correlación temporal con campo en [100] en el NNSIM con monopolos

conservados (ρ ≈ 0) . . . 115 5.13. Correlación temporal con campo en [110] y [111] en el NNSIM con

monopolos conservados (ρ ≈ 0) . . . 116

Lista de símbolos

h· · · i . . Promedio estadístico

| · · · | . . . Valor absoluto

A . . . . Potencial vector magnético A . . . . Área

B . . . . Inducción magnética

B_int . . . Inducción magnética en el interior de un material magnético C . . . . Calor específico o correlación

d . . . . . Dimensión espacial

D . . . . Interacción dipolar o factor demagnetizante Dnn . . . Interacción dipolar a primeros vecinos e . . . . . Energía por spin o carga del electrón E . . . . Energía por configuración/tetraedro f . . . . Frecuencia

F . . . . Energía libre de Helmholtz

g . . . . . Factor giromagnético del electrón, g ≈ 2 gJ . . . . Factor de Landé

~ . . . . . Constante de Planck reducida, ~ ≈ 1,05 × 10⁻³⁴ J s H . . . . Campo magnético

H_ac . . . Campo magnético alterno

H_int . . . Campo magnético en el interior de un material magnético H . . . . Hamiltoniano

H0 . . . . Hamiltoniano sin perturbar Hⁿⁿ . . . Hamiltoniano a primeros vecinos I . . . . . Corriente eléctrica

J . . . . Interacción de intercambio o número cuántico momento angular total

xix

Jeff . . . Interacción de intercambio efectiva

Jnn . . . Interacción de intercambio a primeros vecinos JXY . . . Interacción de intercambio entre especies X e Y k_B . . . . Constante de Boltzmann, kB ≈ 1,38 × 10⁻²³ J K⁻¹ l . . . Momento angular

l . . . . . Número cuántico azimutal

L . . . . Momento angular total o spin total de plaqueta L . . . . Dimensión lineal del sistema

m_e . . . . Masa del electrón, me≈ 9,11 × 10⁻³¹ kg

mJ . . . Número cuántico de proyección del momento angular total ml . . . . Número cuántico magnético

ms . . . . Número cuántico de proyección del spin M . . . . Magnetización o energía de Madelung

N . . . . Tamaño del sistema, cantidad total de spines p . . . . Momento lineal

q . . . . . Carga magnética en los extremos de las mancuernas o carga genérica Q . . . . Carga magnética neta en los sitios de la red de diamante o calor r . . . Posición

rd . . . . Distancia entre dos sitios de la red de diamante rij . . . . Distancia entre spines i y j

rnn . . . . Distancia entre primeros vecinos

R . . . . Constante universal de los gases ideales, R ≈ 8,31 J mol⁻¹ K⁻¹ ˆs_i . . . . Dirección de cuantización del spin i en la dirección local h111i

S . . . . Vector spin S . . . . Entropía

Sres . . . Entropía residual S_i . . . . Proyección del spin i s . . . . . Número cuántico de spin

sij . . . . Spin en la posición i, j de la red bidimensional de tablero de damas t . . . . . Tiempo

T . . . . Temperatura

Lista de símbolos xxi

T^⋆ . . . . Temperatura reducida TB . . . . Temperatura de bloqueo Tc . . . . Temperatura crítica U . . . . Energía interna v . . . . Velocidad V . . . . Volumen

Z . . . . Número atómico Z . . . . Función de partición

z . . . . . Exponente crítico dinámico

α . . . . Exponente crítico del calor específico o cadenas/spines con componente en la dirección [110] o constante de Madelung

β . . . . Temperatura inversa o exponente crítico del parámetro de orden o cadenas/spines perpendiculares a la dirección [110]

Γ . . . . Función de correlación

γ . . . . Factor giromagnético o exponente crítico de la susceptibilidad

∆E . . . Diferencia de energía o energía medida respecto del estado fundamental δ . . . . . Densidad de estados o exponente crítico del parámetro de orden con

respecto al campo conjugado

η . . . . . Parámetro de orden o exponente crítico θ . . . . . Ángulo de desviación del campo magnético Λ . . . . Campo escalar

µ . . . . Momento magnético

µB . . . . Magnetón de Bohr, µB ≈ 9,27 × 10⁻²⁴ J T⁻¹ µr . . . . Permeabilidad relativa

µ0 . . . . Permeabilidad del vacío, µ0 = 4π × 10⁻⁷ N A⁻¹ ν . . . . . Exponente crítico de la longitud de correlación

Φ . . . . Función de onda de un par de electrones o campo conjugado al pará- metro de orden

φ_y . . . . Parte espacial de la función de onda del electrón y ξ . . . . . Longitud de correlación

ρ . . . . . Densidad de monopolos total

ρ^x . . . . Densidad de monopolos x (x = simples o dobles) ρS . . . . Densidad staggered de monopolos total

ρ^x_S . . . . Densidad staggered de monopolos x (x = simples o dobles) σ . . . . Macrospin

τ . . . . Torque

τ . . . . . Tiempo característico o período o temperatura reducida

χ . . . . Susceptibilidad magnética o parte de spin de la función de onda de un par de electrones

χ^x_S . . . . Susceptibilidad staggered de monopolos tipo x (x = simples o dobles) Ω . . . . Número de microestados

Nota: excepto aclaración en sentido contrario, el módulo de una cantidad vectorial A se representa con el mismo símbolo sin negrita, es decir, |A| = A.

Lista de abreviaturas

AC . . . Corriente alterna

AIAO . . Configuración de spines en la que todos los tetraedros tienen 4-adentro/0- afuera o 0-adentro/4-afuera (all-in–all-out)

CDSIM . Modelo dipolar de hielos de spin con densidad de monopolos conservada (conserved dipolar spin ice model)

CVM . . Método variacional de racimo (cluster variational method) DSIM . . Modelo dipolar de hielos de spin (dipolar spin ice model) fcc . . . . Red cúbica centrada en las caras (face centered cubic) FC . . . . Enfriamiento con campo (field cooling)

MC . . . Método Monte Carlo MCS . . Paso Monte Carlo

MCS/s . Paso Monte Carlo por spin

NNSIM . Modelo a primeros vecinos de hielos de spin (nearest-neighbour spin ice model)

OpD . . . Orden por desorden

WL . . . Algoritmo de Wang-Landau

ZFC . . . Enfriamiento con campo nulo (zero-field cooling)

xxiii

1

Introducción

Contenido

1.1. Magnetismo y materiales magnéticos . . . . 2 1.1.1. Algunas definiciones . . . 2 1.1.2. Magnetismo en la materia . . . 6 1.1.3. Transiciones de fase en sistemas magnéticos . . . 10 1.2. Frustración . . . . 15 1.2.1. Orden por desorden . . . 16 1.3. Hielos de spin . . . . 21 1.3.1. Origen . . . 23 1.3.2. Interacciones dipolares . . . 25 1.3.3. Modelo de mancuernas y monopolos magnéticos . . . . 27 1.3.4. Efectos de la aplicación de un campo magnético . . . . 32 1.3.5. Dinámica . . . 36 1.3.6. Hielos de spin artificiales . . . 40 1.4. Excitaciones monopolares . . . . 41 1.4.1. Materia de monopolos . . . 44

En esta tesis estudiamos un tipo particular de materiales magnéticos, por lo que en la primera sección de este capítulo revisamos algunos conceptos y definiciones fundamentales del magnetismo y su manifestación en la materia, así como diversas ideas relacionadas con la aparición de transiciones de fase en este tipo de sistemas.

Luego, introducimos el concepto de frustración y, en ese contexto, desarrollamos el fenómeno –bastante anti-intuitivo– de orden por desorden, que será central en el Cap. 4. Continuamos presentando los materiales que nos ocuparán a lo largo de la tesis: los hielos de spin. Hacemos un repaso de los modelos más tradicionales

1

que se utilizan para estudiarlos, así como de su comportamiento dinámico y en presencia de campos magnéticos. En particular, mostramos cómo aparecen en estos materiales las cuasipartículas conocidas como monopolos magnéticos, y destinamos una sección a analizar la importancia de las excitaciones topológicas y los nuevos tipos de materia que surgen a partir de ellas.

1.1. Magnetismo y materiales magnéticos

Desde el descubrimiento en la antigua Grecia de la magnetita y su capacidad para atraer el hierro, los fenómenos magnéticos han despertado gran curiosidad y admiración tanto en el público general como en el ambiente científico. Este último, además de sus múltiples y variadas aplicaciones, ha sabido encontrar en el magnetismo una fuente inagotable de modelos de gran sencillez que presentan, a la vez, implicancias muy profundas en el comportamiento de la materia. A través de ciertas analogías, es posible utilizar estos modelos simples para estudiar problemas de lo más diversos, que escapan muchas veces al área del magnetismo.

A continuación realizaremos una breve introducción a algunos de los concep- tos básicos de este campo, enfocándonos finalmente en las manifestaciones del magnetismo en la materia. Puede encontrarse más detalles sobre los contenidos de esta sección en las Refs. [1, 2].

1.1.1. Algunas definiciones

En primer lugar, comenzaremos por definir algunas cantidades que serán em- pleadas a lo largo de esta tesis.

1.1.1.1. Momento magnético

Un electrón moviéndose a lo largo de un circuito cerrado infinitesimal es una corriente eléctrica I que genera un momento magnético dµ. Si consideramos el área |dA| de este circuito se tiene que

dµ= IdA , (1.1)

de donde se ve que la dirección del momento magnético es perpendicular al plano en que se produce el movimiento y su sentido depende del signo de I. Este objeto es equivalente a un dipolo magnético, llamado así en analogía al dipolo eléctrico (formado por dos cargas eléctricas de signo opuesto separadas una distancia pequeña

1.1. Magnetismo y materiales magnéticos 3

respecto de la distancia de observación). Puede imaginarse, entonces, que el dipolo magnético consiste de dos cargas magnéticas opuestas separadas una pequeña distancia en la dirección del vector dA.

Sumando el momento de muchas espiras infinitesimales podemos calcular el momento magnético µ de una espira de tamaño finito:

µ=^Z dµ= I^Z dA , (1.2)

dado que las corrientes de circuitos vecinos se cancelan y sólo queda la que circula a lo largo del perímetro del circuito finito. En términos generales, este momento en presencia de un campo magnético B tiene una energía E = −µ · B y sufre un torque dado por τ = µ × B.

1.1.1.2. Campo magnético y magnetización

A pesar de que en este trabajo llamaremos a ambas con el nombre de “campo magnético”, es importante diferenciar dos cantidades muy estrechamente relacio- nadas: la inducción magnética B y la intensidad de campo magnético propiamente dicha H. Si bien en el vacío son proporcionales,

B = µ0H , (1.3)

con µ0 la permeabilidad del vacío, en presencia de materia estas cantidades tienen significados distintos.

En primer lugar, definimos la magnetización M de un sistema compuesto de N momentos magnéticos como el momento magnético neto por unidad de volumen,

M ≡ 1 V

XN i=1

µi . (1.4)

Supongamos ahora que se coloca un material magnético en un campo H. Este campo externo alinea los momentos magnéticos presentes, produciendo una magnetización no nula. El campo magnético neto B será entonces la suma del campo aplicado externamente y el generado por la alineación de los momentos, es decir,

B = µ0(H + M) . (1.5)

La susceptibilidad magnética es, en general, un tensor definido como χ_ij = ∂Mi

∂Hj

  _H

=0

(1.6)

que da cuenta de la respuesta del material ante la aplicación del campo. En materiales homogéneos e isótropos y bajo campos lo suficientemente débiles, χ se reduce a una constante y M resulta proporcional a H:

M = χH . (1.7)

Así, B también resulta ser proporcional al campo externo:

B = µ0(1 + χ)H = µ0µrH , (1.8) donde µr es la permeabilidad relativa del material.

Por otro lado, puesto que los momentos magnéticos en un sólido generan su propio campo, en los materiales magnéticos es importante distinguir los campos aplicados externamente H y B de los internos Hint y Bint. En el caso especial de materiales elipsoidales, los campos mencionados se relacionan según

H_int = H − DM (1.9)

B_int = B + µ0(1 − D)M (1.10)

donde D es conocido como factor demagnetizante y es una matriz cuyas componentes dependen de la geometría, dando cuenta de las anisotropías presentes; si el material es una esfera, se reduce a una constante. La “corrección” −DM que se agrega al campo externo para obtener el interno se llama campo demagnetizante.

1.1.1.3. Spin

Desde un punto de vista clásico, el electrón de la Sec. 1.1.1 con masa me, posición r, velocidad v y momento p = mev girando en torno a un núcleo tiene, a su vez, un momento angular l = r × p de módulo l = mevr. Puede verse fácilmente que existe una relación entre esta cantidad y el momento magnético si calculamos la integral de la Ec. (1.2) considerando una espira circular de radio r y luego utilizamos que la corriente puede escribirse como I = q/τ, con la carga q = −e, en este caso, y el período τ = 2πr/v. De este modo se obtiene que

µ= γl , (1.11)

donde la constante de proporcionalidad se llama radio giromagnético y se define como γ ≡ −e

2me

. (1.12)

1.1. Magnetismo y materiales magnéticos 5

Desde la perspectiva de la mecánica cuántica, el momento angular orbital está cuantizado; tiene una magnitud dada por ~^ql(l + 1) y una proyección en el eje z igual a ~ml.¹ De este modo,

µ= −e 2me

~^ql(l + 1) = −µB

ql(l + 1) (1.13)

y la componente en el eje z es µBml. La cantidad dada por µB ≡ e~

2me

(1.14) se conoce con el nombre de magnetón de Bohr.

Para continuar avanzando en la teoría del magnetismo es necesario tener en cuenta que el electrón posee además otro tipo de momento angular, de carácter puramente cuántico: el momento angular intrínseco o spin. En analogía con el momento angular orbital, la magnitud del spin caracterizado por el número cuántico s es ~^qs(s + 1), mientras que su componente z puede tomar valores ~ms.² En el caso del electrón, s = 1/2, por lo que sus posibles proyecciones son +~/2 y −~/2, que llamaremos respectivamente “up” (“hacia arriba”) y “down” (“hacia abajo”).

El spin está asociado a un momento magnético de magnitud

µs= gµB

qs(s + 1) =

√3

2 gµB (1.15)

y proyección −gµBms, donde g ≈ 2 es el factor giromagnético del electrón. La energía de un electrón en un campo magnético B es entonces

E = −µs· B = gµ^BmsB . (1.16) Notemos que, al ser proporcional al campo con una constante que depende de m_s, cada proyección del spin tendrá una energía distinta. Esta separación en los niveles de energía se conoce como efecto Zeeman.

1Los números l y mlse conocen como números cuánticos azimutal y magnético, respectivamente, y satisfacen que l = 0, 1, . . . y ml= −l, −l + 1, . . . , l − 1, l.

2Como en el caso del momento angular orbital, ms= −s, −s + 1, . . . , s − 1, s, aunque aquí s puede ser semientero.

1.1.2. Magnetismo en la materia

La susceptibilidad magnética permite establecer una primera clasificación de los materiales magnéticos:

Diamagnetismo: el campo externo induce dipolos magnéticos que se alinean antiparalelamente a él; por lo tanto, la susceptibilidad magnética es negativa:

χdia = constante < 0 . (1.17) Este fenómeno está presente en todos los materiales, pero solamente es importante en ausencia de paramagnetismo o magnetismo colectivo.

Paramagnetismo: en materiales que poseen momentos magnéticos permanentes, la magnetización inducida es paralela al campo externo. La susceptibilidad de estos materiales se caracteriza por:

χpara = χpara(T ) > 0 . (1.18)

Magnetismo colectivo: este fenómeno es el resultado de la interacción de intercambio entre momentos magnéticos permanentes, que solamente puede entenderse a partir de la indistinguibilidad cuántica. La susceptibilidad tiene una dependencia funcional más complicada que la de los casos anteriores:

χcol = χcol(T, H, “historia”) . (1.19) En lo que resta de esta sección nos dedicaremos a exponer los fundamentos de cada caso, haciendo especial énfasis en el último.

Comenzamos por estudiar el Hamiltoniano de un átomo de Z electrones dado por

H⁰ =^XZ

i=1

p²_i 2me

+ Vi

!

, (1.20)

donde p²_i/(2me) y Vi son la energía cinética y potencial, respectivamente, del i- ésimo electrón. Supongamos que conocemos los autovalores y autoestados de H0; vamos a estudiar cómo se ve afectado este sistema por la presencia de un campo magnético. Para ello, agregamos un campo B estacionario y uniforme dado por el potencial vector magnético A según

B = ∇ × A . (1.21)

1.1. Magnetismo y materiales magnéticos 7

En el gauge de Coulomb elegimos³ ∇ · A = 0 y por lo tanto A(r) = B × r

2 . (1.22)

La introducción de un campo magnético no agrega solamente un término de interacción con el spin, sino que también modifica la forma en que se escribe la energía cinética de cada electrón, que ahora es [pi+ eA(ri)]²/2me. Así, el Hamiltoniano resultante es

H =

XZ i=1

[pi+ eA(ri)]² 2me

+ Vi

!

+ gµB

XZ i=1

s_i· B . (1.23) Utilizando que en el gauge de Coulomb pi · A = A · pⁱ, reemplazando A por la Ec. (1.22) y definiendo el momento angular total L =^PZ_i=1r_i× pⁱ y el spin total S = ^PZ_i=1s_i, este Hamiltoniano puede reescribirse como

H =

XZ i=1

p²_i 2me

+ Vi

!

+ µB(L + gS) · B + e² 8me

XZ i=1

(B × ri)²

= H0+ Hpara+ Hdia

(1.24)

El término Hdia está presente en todos los materiales y es responsable del comporta- miento diamagnético que describimos al comienzo de esta sección, aunque solamente es relevante en átomos con capas electrónicas llenas (en ese caso, L = S = 0). El término Hpara, por su parte, explica el paramagnetismo de los materiales cuyos átomos poseen un momento magnético no nulo, debido a la presencia de electrones desapareados. En ausencia de campo externo, no hay una dirección privilegiada para los dipolos y la magnetización es, en promedio, nula. Al aplicar un campo, sin embargo, aparece una dirección preferencial y M 6= 0.

1.1.2.1. Interacción de intercambio y magnetismo colectivo

La interacción de intercambio y el consecuente magnetismo colectivo tienen origen en el principio de exclusión de Pauli y son, por lo tanto, fenómenos intrínsecamente cuánticos. Cuando dos electrones desapareados están muy cerca –ya sea que pertenezcan al mismo átomo o no–, sus orbitales atómicos se solapan; el hecho de que la función de onda resultante deba ser antisimétrica establece una interacción efectiva entre los electrones, que estudiaremos a continuación. Aunque en los materiales que nos ocuparán en esta tesis no hay solapamiento directo (intercambio) sino

3El potencial vector A no está definido unívocamente para un dado B: si A^′ = A + ∇Λ, B^′ = ∇ × A^′= ∇ × A + ∇ × (∇Λ) = ∇ × A = B para cualquier campo escalar Λ.

que es mediado por otro átomo (superintercambio), en esta sección exponemos el caso más sencillo.

Sean dos electrones a y b con posiciones r1 y r2, respectivamente. Podemos escribir la función de onda del par como el producto de las funciones de onda individuales φa(r1) y φb(r2). Debemos satisfacer dos premisas:

1. Los electrones son partículas indistinguibles: el cuadrado de la función de onda total debe ser invariante ante el intercambio.

2. Los electrones son fermiones: la función de onda total debe ser antisimétrica ante el intercambio, es decir, Φ(1, 2) = −Φ(2, 1).

Esto nos permite construir dos tipos de estados producto, uno con la parte espacial simétrica y la de spin (χ) antisimétrica, que llamaremos singlete, con spin total S = 0, y otro al revés, que llamaremos triplete, con S = 1:

ΦS = 1

√2[φa(r1)φb(r2) + φa(r2)φb(r1)] χS (1.25) ΦT = 1

√2[φa(r1)φb(r2) − φa(r2)φb(r1)] χT . (1.26) Si la parte de spin está normalizada, la energía de estos estados es

ES =^Z Φ^⋆_SHΦ^Sdr1dr2 (1.27) ET =^Z Φ^⋆_THΦ^Tdr1dr2 , (1.28) y la diferencia entre ellas, que será de utilidad más adelante, es

ES− E^T = 2^Z φ^⋆_a(r1)φ^⋆_b(r2)Hφa(r2)φb(r1)dr1dr2 . (1.29) Consideremos ahora el operador

S² = (S1+ S2)² = S₁²+ S₂²+ 2S1· S² . (1.30) Despejando S1· S² y aplicándolo a las Ecs. (1.25) y (1.26), podemos ver que

S₁· S² = 1

2S(S + 1) −1

2S1(S1+ 1) + 1

2S2(S2+ 1) = 1

2S(S + 1) − 3

4 , (1.31) donde utilizamos que S1 = S2 = 1/2 por tratarse de electrones. Si tenemos en cuenta los dos posibles valores del spin total, resulta

S₁· S² =





−3/4 si S = 0 (singlete)

+1/4 si S = 1 (triplete) (1.32)

1.1. Magnetismo y materiales magnéticos 9

A partir de esto, es posible escribir el Hamiltoniano del sistema de forma efectiva:

H = 1

4(ES+ 3ET) − (ES− E^T)S1· S² . (1.33) El primer término es una constante que podemos absorber en la definición de la energía, y el segundo término, dependiente del spin, puede reescribirse en términos de una constante de intercambio:

J = ES− E^T

2 . (1.34)

Así, la parte de spin del Hamiltoniano efectivo queda

H^spin = −2JS1 · S² . (1.35)

Si J > 0, ES > ET y por lo tanto el estado triplete es energéticamente favorable.

Por el contrario, si J < 0, entonces ES < E_T y resulta favorable el estado singlete.

El análisis anterior puede extenderse a situaciones más complicadas donde hay más de dos electrones. En esos casos, el Hamiltoniano se escribe

H = −^X

ij

J_ijS_i· Sj , (1.36)

con Jij es la constante de intercambio entre los spines i y j; el 2 de la Ec. (1.35) está incluido en la suma al contar dos veces cada par de spines. En los casos más simples, basta con considerar la interacción de intercambio entre átomos que son primeros vecinos y que Jij = J. Por lo tanto,

H = −J^X

hiji

S_i· S^j , (1.37)

donde la suma se realiza entre primeros vecinos. Dependiendo de las características de los spines, el Hamiltoniano anterior recibe distintos nombres:

Heisenberg: los spines son vectores tridimensionales de norma 1.

XY : los spines viven en un plano y toman valores en el círculo de radio 1.

Ising: sólo hay dos valores posibles para los spines, +1 o −1. La Ec. (1.37) se reduce a

H = −J^X

hiji

SiSj . (1.38)

Las fluctuaciones térmicas suelen ocultar la interacción de intercambio, de modo que un material que exhibe alguna clase de comportamiento magnético se ve como un paramagneto a alta temperatura. Sin embargo, la interacción de intercambio es muy importante por debajo de la llamada temperatura crítica Tc, en la cual se producen transiciones de fase espontáneas hacia estados ordenados donde el sistema o partes de él exhiben una magnetización neta en ausencia de campo externo. A partir de la Ec. (1.37), es posible distinguir dos tipos de magnetismo colectivo:

Ferromagnetismo - J > 0: se favorece que cada spin se alinee paralelo a sus vecinos. A T < Tc (llamada temperatura de Curie), los momentos magnéticos adquieren espontáneamente una dirección preferencial (րր↑տ↑տ) y el sistema tiene M 6= 0. A T = 0 todos se alinean perfectamente entre sí (↑↑↑↑↑↑).

Antiferromagnetismo - J < 0: para T < Tc (conocida en este caso como temperatura de Néel) se favorece un ordenamiento alternado de los momentos magnéticos, puesto que cada uno minimiza la energía apuntando en sentido contrario que sus vecinos. Clásicamente, si dividimos el sistema en dos subredes A y B, se tiene que MA= −M^B a T = 0 (↑↓↑↓↑↓).

1.1.3. Transiciones de fase en sistemas magnéticos

En general, los sistemas en materia condensada pueden presentar alguna clase de simetría, es decir que su Hamiltoniano es invariante ante ciertas operaciones como rotaciones y traslaciones (continuas o discretas). Como veremos a continuación, puede ocurrir que tal simetría se rompa espontáneamente, dando lugar a un parámetro de orden no nulo que cuantifica la aparición de orden en el sistema.

En el caso de materiales ferromagnéticos, por ejemplo, quien juega este papel es la magnetización, mientras que en materiales antiferromagnéticos se define la magnetización alternada (staggered), que tiene en cuenta la contribución de cada subred. Tomando como ejemplo un sistema que puede intercambiar energía con un baño y analizando la energía libre de Helmholtz F = U − T S, resulta evidente que para altas temperaturas es favorable un estado con la mayor entropía posible (esto es, desordenado), mientras que a bajas temperaturas debe prevalecer un orden que minimiza la energía. La aparición de este orden puede verse reflejada en un cambio apreciable o discontinuo en alguna magnitud termodinámica, que actúa como el parámetro de orden de la transición y que depende de la temperatura y, en

1.1. Magnetismo y materiales magnéticos 11

principio, de otras variables externas como la presión, el campo magnético aplicado, etc. En la Fig. 1.1 se muestran los dos comportamientos típicos del parámetro de orden η de un sistema, los cuales nos permiten establecer una clasificación de las transiciones de fase: si η cambia bruscamente, con un salto, se trata de una transición de primer orden, mientras que si lo hace de forma continua se trata de una transición de segundo orden. La temperatura a la que ocurren estos cambios es la temperatura crítica Tc que mencionamos en la Sec. 1.1.2.1.

Figura 1.1:Comportamiento clásico del parámetro de orden en función de la temperatura, para (a) transiciones de segundo orden y (b) transiciones de primer orden. Figura extraída de la Ref. [3].

Siguiendo la teoría de Landau [4], vamos a determinar el estado de equilibrio de un sistema ferromagnético tipo Ising en contacto con un baño a temperatura T. Para ello, es necesario minimizar la energía libre generalizada

Fe(η, Φ) = −ηΦ +a(T )

2 η²+ c

4η⁴+ . . . , (1.39) donde η es el parámetro de orden (la magnetización, en este caso), Φ es el campo conjugado (campo magnético externo), a(T ) = a0(T − Tc) y c > 0 se considera prácticamente independiente de la temperatura (en particular, c no se anula a la misma temperatura que a; tal ocurrencia da lugar a lo que se conoce como puntos tricríticos). Por otro lado, si la transición es continua, M es pequeña en torno a Tc y es posible despreciar los términos a órdenes mayores. Nótese que sin campo externo (Φ = 0), el Hamiltoniano de Ising de la Ec. (1.38) presenta la simetría discreta de inversión (el sistema no se ve alterado si hacemos Si → −Sⁱ ∀i); con la definición de F^e de la Ec. (1.39), tal simetría se ve reflejada en las potencias pares de η. En estas condiciones, minimizando F^e con respecto a η se obtiene

η^ha(T ) + cη²ⁱ= 0 . (1.40)

Así, es fácil ver que la forma de la energía libre generalizada pasa de tener un mínimo en η = 0 cuando T > Tc a dos mínimos ubicados en η = ±(a0/c)√

Tc − T cuando T < Tc (Fig. 1.2 (a)). Éste es un ejemplo de transición de fase de segundo orden o continua, en la que las fluctuaciones del sistema producen la ruptura espontánea de simetría al seleccionar uno de los dos mínimos equivalentes a baja temperatura.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6

-1 -0.5 0 0.5 1

F~ (η)

η

(a) T>T_c

T=T_c T<T_c

-0.02 0 0.02 0.04

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

F~ (η)

η

(b) T>T_c

T=T_c T<T_c

Figura 1.2: Forma típica de la energía libre generalizada en (a) transiciones de segundo orden y (b) transiciones de primer orden.

Supongamos ahora que la simetría del problema nos permite incluir un término de orden 3 en la energía libre generalizada, de forma que (a campo nulo) tenemos

Fe(η) = a^′(T ) 2 η²+ b

3η³+ c

4η⁴+ . . . , (1.41) donde ahora a^′(T ) = a0(T − T0); nuevamente, el valor de equilibrio de η a cada temperatura será aquel que minimice esta función. En la Fig. 1.2 (b) se muestra la forma de F^e a distintas temperaturas, todas tales que a^′(T ) > 0. Se observa la aparición a alta temperatura de un segundo mínimo en una posición η0, que a T = Tc presenta la misma energía libre que el mínimo en η = 0. Claramente, Tc

es la temperatura de la transición, dado que ni bien T descienda por debajo de ese valor el mínimo absoluto de F^e pasará a ser el cercano a η0. Podemos decir, entonces, que el valor de equilibrio del parámetro de orden tiene un salto de 0 a η0 en T = Tc, por lo que éste es un ejemplo de una transición de fase de primer orden.⁴ Justo por debajo de Tc, el estado con η = 0 es todavía un mínimo local

4Si bien este ejemplo no es estrictamente correcto porque η no es necesariamente pequeño justo por debajo de Tc, resulta muy ilustrativo de este tipo de transiciones.

1.1. Magnetismo y materiales magnéticos 13

de la energía libre; el sistema puede quedarse en este estado metaestable largo tiempo antes de decaer al mínimo global.

Otra manera de distinguir el tipo de transición es a través del comportamiento de las susceptibilidades. Mientras que en las transiciones de primer orden las susceptibilidades se mantienen finitas⁵ para un sistema macroscópicamente grande, las de segundo orden se caracterizan precisamente por la divergencia de estas cantidades en el punto de transición (en los Caps. 3 y 4 veremos cómo se manifiesta esto en sistemas finitos). En este punto, llamado punto crítico, puede descomponerse cualquier cantidad termodinámica en una parte regular, que se mantiene finita (no necesariamente continua), y una parte singular, que diverge o tiene derivadas divergentes [5]. Esta última depende de los parámetros que miden la distancia al punto crítico como una ley de potencias, caracterizada por su exponente crí- tico. El parámetro de orden, por ejemplo, depende de la temperatura reducida τ = (T − Tc)/Tc como

η ∼ |τ|^β (1.42)

para τ < 0 (η = 0 para τ ≥ 0). Otros exponentes críticos son los de la susceptibilidad χ ≡ ∂η

∂Φ ∼ |τ |^−γ, (1.43)

con Φ el campo conjugado al parámetro de orden, y el calor específico C ≡ dQ¯

dT ∼ |τ|^−α, (1.44)

donde ¯dQes el calor transferido al cambiar la temperatura en dT . Estas cantidades serán de gran interés en nuestro trabajo puesto que, a través del teorema de fluctuación-disipación, coinciden con las fluctuaciones espontáneas del parámetro de orden y de la energía, respectivamente [6]. Los exponentes críticos restantes son el de la longitud de correlación (distancia por encima de la cual los spines dejan de estar correlacionados)

ξ ∼ |τ|^−ν, (1.45)

δ que relaciona el parámetro de orden con el campo conjugado

η ∼ Φ^1/δ (1.46)

5A decir verdad, presentan una singularidad tipo Dirac.

Exponente Ising 3D [5] Campo medio [7]

α 0,12 0

β 0,31 1/2

γ 1,25 1

δ 5 3

ν 0,64 1/2

η 0,05 0

Tabla 1.1: Valor aproximado de los exponentes críticos del modelo de Ising tridimensio- nal [5], y los obtenidos por la teoría de campo medio [7].

(nótese que mientras que en todas las relaciones anteriores Φ = 0, esta última se refiere específicamente al caso con Φ 6= 0 y τ = 0), y η que surge de la relación p= d−2+η, donde d es la dimensión del sistema y p es el exponente del decaimiento como ley de potencia de la función de correlación Γ(r) ∼ r^−pe^−r/ξ cuando τ = 0.

Sin embargo, de esta gran colección de exponentes sólo dos resultan independientes, puesto que están relacionados entre sí por cuatro identidades:

γ =ν(2 − η) (Fisher) (1.47)

α+ 2β + γ =2 (Rushbrooke) (1.48)

γ =β(δ − 1) (Widom) (1.49)

νd=2 − α (Josephson) (1.50)

En la Tabla 1.1 se muestra como ejemplo los valores aproximados de los exponentes críticos para el modelo de Ising tridimensional [5] y de campo medio [7], puesto que serán de utilidad más adelante.

La importancia de estos exponentes radica en su universalidad. Se ha visto experimental y teóricamente que sistemas de naturaleza muy diversa comparten aproximadamente los mismos exponentes críticos; se dice, entonces, que pertenecen a la misma clase de universalidad. Esto depende, en primer lugar, de la dimensionalidad espacial del sistema y la dimensionalidad del parámetro de orden (si es escalar, vectorial, etc.), pero también del tipo de interacciones presentes. Los exponentes críticos de un modelo a primeros vecinos no cambian al incluir vecinos más lejanos, siempre que la interacción decaiga lo suficientemente rápido con la distancia, pero sí lo hacen si se incluyen interacciones dipolares (que decaen como 1/r³) en un sistema ferromagnético. En un antiferromagneto, en cambio, las interacciones dipolares de largo alcance resultan irrelevantes, puesto que los spines alternados contribuyen a cancelarlas [8].

1.2. Frustración 15

1.2. Frustración

En sistemas compuestos por muchas partículas, no siempre es posible minimizar simultáneamente la energía de interacción de todos los pares; en esos casos, se dice que el sistema está frustrado. Esta situación es especialmente común en el contexto del magnetismo y puede tener dos orígenes: la competencia entre distintos tipos de interacciones y la geometría de la red donde se sitúan los spines. En la Fig. 1.3 puede verse un ejemplo sencillo de cada tipo, donde los spines interactúan según el Hamiltoniano de la Ec. (1.37).

?

+J +J

+J

-J

(a)

-J ?

-J -J

(b)

Figura 1.3: Ejemplos de sistemas frustrados debido a (a) la mezcla de interacciones ferromagnéticas y antiferromagnéticas y (b) la geometría de la red.

Un caso un poco más complejo de frustración geométrica es el de spines en un tetraedro, acoplados ferromagnéticamente (J > 0) a través del Hamiltoniano de la Ec. (1.37). Por la relevancia que tendrá este ejemplo particular en nuestro trabajo, supondremos que existe una fuerte anisotropía que fuerza a los spines a alinearse paralelos al eje fácil de cada vértice, de modo que cada spin puede apuntar solamente hacia el centro del tetraedro o en sentido contrario. De este modo, el Hamiltoniano de Heisenberg anterior se reduce a uno tipo Ising (Ec. (1.38)) con el signo cambiado. En estas condiciones, el estado fundamental del sistema se obtiene con un arreglo de spines no colineales en que dos apuntan hacia adentro (“in”) o hacia afuera (“out”) del tetraedro. En la Fig. 1.4 se observan las seis configuraciones independientes que satisfacen esa regla y son, por lo tanto, de mínima energía.

Veamos ahora qué consecuencias tiene esta degeneración del estado fundamental cuando se considera una red de pirocloro, formada por tetraedros unidos por sus vér- tices (este caso será de gran importancia más adelante). En primer lugar, escribamos la probabilidad del microestado µ, con energía Eµ, en el Ensamble Canónico:

pµ= 1

Ze^−βEµ , (1.51)

+J

+J +J

+J

+J +J +J

+J +J

+J

+J +J +J

+J +J

+J +J +J

+J

+J +J

+J

+J +J +J

+J +J

+J

+J +J +J

+J +J

+J +J +J

Figura 1.4: Las seis configuraciones de mínima energía de un sistema de spines en un tetraedro con interacciones ferromagnéticas a primeros vecinos.

donde β = 1/kBT, con kB la constante de Boltzmann, y Z =^X

ν

e^−βEν (1.52)

es la función de partición del sistema. Puede verse que, a medida que baja la temperatura, los estados con energía mayor a la del fundamental son suprimidos exponencialmente. Si Ω es el número de microestados accesibles a T = 0, la entropía S puede escribirse como

S = kBln Ω . (1.53)

Si el estado fundamental es no degenerado, Ω = 1 y por lo tanto S(T → 0) = 0.

Similar es el caso si el sistema posee una degeneración finita, donde la entropía por sitio es nula en el límite termodinámico: l´ım_{N →∞}S(T → 0)/N = 0, con N el número de spines. Ahora bien, en los casos como el de la Fig. 1.4, la degeneración del estado fundamental crece exponencialmente con el tamaño del sistema y se obtiene una entropía residual Sres = S(T → 0) 6= 0, en aparente contradicción con la Tercera Ley de la Termodinámica.

1.2.1. Orden por desorden

Cuando el estado fundamental es accidentalmente degenerado (en sentido técnico, es decir, no fruto de las simetrías del Hamiltoniano), aunque todos los estados tienen

1.2. Frustración 17

la misma energía interna U, a temperatura no nula su energía libre F = U − T S puede diferir debido a las fluctuaciones térmicas a su alrededor, que dan a cada uno un peso entrópico distinto. Mientras más suaves sean las fluctuaciones en torno a un estado fundamental particular, más grande será la región del espacio de fases accesible cerca suyo, y más tiempo pasará el sistema fluctuando en torno a ese estado. Puede ocurrir que las fluctuaciones en torno a un estado fundamental sean tan suaves que, a baja temperatura, el sistema se mantenga de forma efectiva siempre en su entorno. Para ello, debe ocurrir que la entropía asociada a ese estado domina sobre la entropía de todos los demás juntos (representado en la Fig. 1.5 como un bulto cuya área es mayor que todo el área coloreado restante). Además, los estados con las fluctuaciones más suaves tienden a tener algún tipo de orden de largo alcance [9], con lo que su selección implica una transición de ordenamiento. Se conoce a este fenómeno como orden por desorden (OpD), debido a que la aparición del orden es inducida por las fluctuaciones, normalmente asociadas con la tendencia al desorden (y, en efecto, al aumentar la temperatura las fluctuaciones cada vez más grandes destruyen el orden que inicialmente habían estabilizado).

ordenado

Figura 1.5: Esquema de la densidad de estados de un sistema que presenta orden por desorden, donde puede verse la variedad del estado fundamental en el espacio de parámetros (curva negra) y la selección de un estado ordenado (cruz) a través de excitaciones térmicas (región verde).

Puede ejemplificarse fácilmente la aparición de OpD en una plaqueta de cuatro spines de Heisenberg que interactúan antiferromagnéticamente a primeros vecinos.

Para este sistema, el Hamiltoniano de la Ec. (1.37) puede reescribirse como H = −J

2 |L|²+ cte. , donde L = S1+ S2+ S3+ S4. (1.54) Esta expresión en términos del spin total L resulta útil ya que permite concluir rápidamente que, si J < 0, el mínimo de energía se obtiene cuando L = 0.