7. f { x ) = x 2 + x - 6 11. f ( x ) = 3x2 - 2 9 x + 4 0 15. / ( * ) = 2 4 x + 2 x 2 - x 3
8. f ( x ) = J x 2 - 16 12. / ( , ) = ( , + ? ) ( , - 3 ) 16. / ( * ) = 3*3 + 12*2 - 9 6x
9. / (x) = - (n/x2 - 1 6 ) 13. f { x ) = x 2 - 2 * - 3 5 17. f ( x ) = 7 0 x - 3 2 x 2 - 6 x 3
r-1
?II
o 14. / ( x ) = 2*3 - 3 x 2 - 3 2 x - 1 5 18. f ( x ) = 2 x 3 - 1 2 x 2 - 3 2 x
Obtén el dom inio y la imagen de las siguientes funciones.
1. / ( * ) = l o g ( 7 * + 4 ) 6. / ( * ) = 6 11. / ( * ) = 2 1 n (3 * -2 )
2. / ( ^ ) =jc2 + 8x + 16 7. f ( x ) - ' í * + Í
} 5x + 4 12.
3- / ( * K * + 2 8. f ( x ) = yl x2 - 9 13.
4. / ( * ) = >/3* + l 9. f ( x ) = J 9 - x 2 14. / ( * ) = 3 1 o g ( 9 - x 2)
X1II
«n 10. / ( x ) = 2 1 o g (3 x -2 ) 15. / ( * ) = - 3x + l
F u n c io n e s t r i g o n o m é t r i c a s
Marcos estudia Ingeniería en electrónica, y se encuentra con el tema de la corriente alterna. Su maestro le explica que este tipo de corriente tiene una forma senoidal porque de esta manera la transmisión de la energía es más eficiente. ¿Podrías explicarle a Marcos qué significa esto?
Otra aplicación de las funciones trigonométricas es determinar distancias y ángulos de figuras geométricas, com o en el siguiente caso: Luis ha comprado una casa y quiere asegurarse de que las condiciones del tinaco sean óptimas, pero requiere subir a la azotea y para ello debe pasar una es
calera po r un pasillo en forma de “ L” . ¿Cuáles deben ser las dimensiones máximas de la escalera para que pueda pasar por dicho pasillo?
Las fruiciones trigonométricas son el conjunto de funciones que se definen con base en un triángulo rectángulo, o bien, de acuerdo con un círculo unitario, como se muestra en la figura 2.6.
O tra m anera de visualizar las funciones trigonom étricas
Las funciones trigonométricas son las razones de cambio que sufre una línea recta, cuyo largo siempre es igual a 1 cuando, dentro de un círculo unitario, se forma un triángulo rectángulo imaginario en el que delta y representa nuestro cateto opuesto, delta x el cateto adyacente y una línea recta (radio) forma la hipotenusa del triángulo. En otras palabras, si visualizamos el cambio de los catetos com o el cambio entre delta y y delta x, podemos en
tender m ejor el cambio de la función trigonométrica (o pendiente m en nuestro caso) y así saber qué sucede con las respectivas funciones trigonométricas.
Fig ura 2.6
Si tenemos que lo m áximo que puede medir cada cateto es 1, dado que hablamos de un círculo unitario, y que las funciones trigonométricasestán definidas como
o í y y
sen -
h C S C
s¡*2 + y 2 [mx + b)
a 1 X x
h sec (rnx+ b)
tan = o sen i y
a eos cot X cot = a _
o
eos _ sen
_L
- J í tan ysec = h 1 y¡x2 + y 2 (m x + b )
a eos X x
C S C -
h 1 yjx2 + y 2 [mx + b)
o sen y y
donde “o” es el cateto opuesto, “a ” el cateto adyacente y uh”la hipotensa, entonces el seno será 1 a los 90°, ya que tanto la hipotenusa com o el cateto opuesto tendrán radio 1; por el contrario, la función coseno será 1 a los 0o ya que tanto el cateto adyacente como la hipotenusa poseerán la longitud del radio. Procesos similares sucederán con el resto de las funciones.
No t a: D onde los catetos ten g an la m ism a longitud, el valo r de las funciones trigonom étricas será igual.
E J E M P L O
sen (45) = eos (45)
La figura 2.7 presenta el resto de los cambios que sufre el triángulo rectángulo en los diferen
tes cuadrantes.
Figura 2.7
Ahora se pueden introducir los cambios que sufre k alrededor del círculo.
F ig u ra 2 .8
Gráficas, dominio e imagen de las funciones trigonométricas
La gráfica de la función seno (gráfica 2.25) siempre cruza el origen. Su dominio es (-°°,°°) y su imagen está dada po r [ - U ] -
Si existe una constante dentro de la función seno, afectará la frecuencia de la misma; si es mayor que un entero aumentará la frecuencia de la función, y si es menor la disminuirá (vea las gráficas 2.26 y 2.27). Por otra parte, si la constante se encuentra afuera de la función afectará la imagen de la misma, aumentándola si es mayor que 1 y disminuyéndola si es menor que 1. Este principio también es válido para la función cos(x).
E J E M P L O
s e n (4 x ) 3 s e n (x )
La gráfica de la función coseno (gráfica 2.28) siempre toca el punto (0,1) si es positiva, pero si es negativa su gráfica está en espejo con respecto al eje x y tocará el punto (0,-1). Su dominio es (-«o,©®) y su imagen está dada por [ —1,l]. Igual que en la función seno, su frecuencia y su amplitud se modifican si existen constantes dentro o fuera de la función, respectivamente (gráfi
cas 2.29 y 2.30).
Gráfica 2.28 Fundón cos(x)
y
2 - i
1 1 1 1 1 i 1 1 I I > I I I I I » i i i i i i i i
^ 8 - 7 - 6 - 5 . - 4 - 3 - 2 - 1
t~ > ♦ t T T 1
1 2 3 4 5 6 7 8
-1 -
- 2 -
- 3 -
G ráfica 2.29 cos(O.Sx)
2- 1-
I I I l i l i
i i i -3 -2 -1
-1-
1 1 X
1 2 3 4
-2- -3-
Gráfica 2.30 -2cos(x)
Luego tenemos las funciones tan(jc) (gráfica 2.31) y cot(jc). La gráfica de la función tan(x), al igual que la función seno, cruza el origen y su forma se asemeja a una “ S” alargada. Su dominio
es + en tanto que su imagen es
