TEMA9. INDUCCION ELECTROMAGNETICA

TEMA9. INDUCCION ELECTROMAGNETICA

9.1.- EXPERIENCIAS CON CORRIENTES INDUCIDAS

La inducción electromagnética fue descubierta casi simultáneamente hacia 1830 por M. Faraday y J. .Henry que comprobaron que pueden inducirse corrientes eléctricas mediante campos magnéticos variables. Una demostración simple de corrientes inducidas se obtiene, conectando los extremos de una bobina de alambre a un galvanómetro y haciendo desplazar un imán intenso a través de la bobina, la desviación momentánea del galvanómetro durante la introducción y extracción del imán es una señal de la corriente eléctrica inducida en el circuito formado por el galvanómetro y la bobina. Los resultados de los experimentos iguales y parecidos al expuesto pueden expresarse mediante una relación sencilla, conocida como ley de Faraday-Henry.

ε = −dφ

dt

m

La fem inducida en el circuito es numéricamente igual a la variación por unidad de tiempo del flujo magnético que lo atraviesa. La presencia de una corriente eléctrica indica la existencia o inducción de una fem actuando en el circuito. Hasta el momento, se ha visto que la fem de un circuito se localizaba en un generador, a partir de ahora se comprobará que hay otros sitios donde localizar una fem.

Supongase que las espiras de conductor están situadas como en la figura. Una corriente que circula por el circuito 1 crea un campo magnético cuya magnitud en todos los puntos es proporcional a esta corriente. Una parte de este flujo magnético pasa por el circuito 2, y si la corriente en el circuito 1 aumenta o disminuye, también varia el flujo a través del circuito 2, y la experiencia demuestra que en el circuito 2 aparece una fem. En tal situación ninguna parte del circuito 2 puede ser considerada como el generador de la fem, luego el generador es todo el circuito.

Resumiendo, siempre que el flujo magnético que atraviesa un circuito varíe con el tiempo, se induce en él una fem. El flujo magnético a través de un circuito puede variarse de muchas maneras distintas: la corriente que produce el flujo puede aumentarse o disminuir (ejemplo de las espiras); pueden moverse unos imanes permanentes alejándolos o acercándolos al circuito (primer ejemplo citado); o puede aumentarse o disminuirse el área del circuito en el interior de un campo magnético fijo (es lo que se verá más adelante).

La actual producción, distribución y utilización, a gran escala, de energía eléctrica no seria económicamente factible si las únicas fuentes de fem disponibles fueran de naturaleza química, como las pilas secas. El desarrollo de la electrotecnia como se conoce hoy, fue debida a Faraday y Henry.

9.2.- FUERZA ELCTROMOTRIZ DE MOVIMIENTO.

Vamos a considerar ahora el caso de inducción de fem como consecuencia del movimiento de un conductor en un campo magnético uniforme.

En primer lugar, consideremos un conductor de longitud l en un campo magnético uniforme perpendicular al papel.

Si se pone el conductor en movimiento hacia la derecha con velocidad v perpendicular a su propia longitud y al campo magnético B, una partícula cargada del interior experimenta una fuerza Fn de carácter no electrostático

B v F_n=q ×

dirigida a lo largo del conductor de “b” a “a” y si fuese negativa de “a” a “b”.

Bajo la influencia de esta fuerza las partículas cargadas positivamente se acumularan en “a” y las cargadas negativamente en “b”. Entonces se produce un campo eléctrico dentro del conductor de carácter electrostático Ee, como consecuencia de la separación de cargas. La carga en los extremos va aumentando hasta que se equilibran las fuerzas

e e

m qvB F qE

F = = =

produciéndose una diferencia de potencial entre los extremos del conductor V = E l = v B l_e

que se mantendrá, siempre que exista movimiento del conductor a través del campo magnético.

Supóngase ahora, que una varilla conductora desliza a lo largo de dos conductores que están unidos a una resistencia y existe un campo magnético uniforme dirigido hacia el papel.

No hay fuerza magnética sobre las cargas que están dentro del conductor estacionario, pero como está en el campo electrostático que se crea en la varilla, se establecerá una corriente eléctrica en su interior; la dirección de esta corriente es contraria a las agujas del reloj, o sea de “a” a “b”. Como resultado de esta corriente, el exceso de cargas en los extremos de la varilla se debilita y por tanto la fuerza electrostática, así la fuerza no electrostática será superior a la fuerza electrostática y produce un nuevo desplazamiento de cargas dentro de la varilla de “b” a “a”. Mientras se mantenga el movimiento de la varilla hay una corriente en el circuito y la varilla se comporta como una fuente de fem. Se ha inducido dentro de ella una fem de movimiento.

La magnitud de esta fem puede calcularse mediante el trabajo realizado por la fuerza no electrostática o mediante la ley de Faraday-Henry. De la primera forma

l B qv = l F = W _n

y como fem es el trabajo por unidad de carga

ε = W = q v B l y de la segunda forma x l B = S B m = Φ la variación con el tiempo de este flujo es

d dt B dx dt B v m Φ = l = l

aplicando la ley de Faraday-Henry

ε = v B l

Que concuerda con la definición de fem, como la integral de línea del campo no electrostático

(

)

∫

∫

que si lo aplicamos al ejemplo, como v y B son perpendiculares, su producto vectorial es paralelo a dl y por tanto

ε = v B l

Este ejemplo sirve también para demostrar la conversión de energía. La energía mecánica suministrada por un agente externo para mover la varilla se convierte en energía eléctrica (por la fem inducida) y finalmente en energía calorífica (por efecto Joule) en la resistencia

P = F v = I B v = I = I Rext 2

9.3.- LEY DE LENZ

La dirección y sentido de una fem o corriente inducida o de la dirección del campo no electrostático asociado puede hallarse a partir del enunciado general propuesto por H.F.Lenz, conocido como ley de Lenz

“la dirección de la corriente y fem inducidas es tal que se opone a la causa que la produce”

La “causa” de la corriente puede ser el movimiento de un conductor en un campo magnético, o la variación de flujo que atraviesa un circuito fijo. En el primer caso, la dirección de la corriente inducida en el conductor móvil será tal que la dirección de la fuerza magnética debida a la corriente inducida sobre el conductor móvil es opuesta a su movimiento. Por ejemplo, el caso expuesto en el apartado anterior.

Como F_m = I x l B entonces I en sentido contrario a las agujas del reloj para que F_m

esté dirigido hacia la izquierda oponiéndose a que aumente el área del circuito, ya que este aumento del área supone un aumento de φ_m, o sea una variación positiva de φ_m, en caso contrario I en el sentido de las agujas del reloj para que F_m esté dirigido hacia la derecha. En el segundo caso, el campo magnético creado por la corriente inducida, dentro del área limitada por el circuito, será opuesto al campo magnético inicial si este está aumentando, pero del mismo sentido si el campo magnético inicial está disminuyendo. En resumen la corriente y fem inducidas se oponen siempre a la variación del flujo magnético a través del circuito, no al flujo mismo.

Para que exista corriente inducida ha de haber un circuito cerrado. En la práctica resulta mas sencillo calcular

ε

La ley de Lenz también está directamente relacionada con la conservación de la energía. Así, en el ejemplo citado, la corriente inducida en el circuito disipa energía a razón de

I R2 , y esta energía ha de estar suministrada por la fuerza que hace que la varilla se mueva a pesar de la fuerza magnética que se opone a su movimiento. Si la corriente inducida tuviera dirección opuesta, la fuerza resultante sobre la varilla la haría moverse cada vez más rápida, violando la conservación de la energía.

Aclarado el significado del signo de la ley de Faraday-Henry, hemos visto que la fem se puede expresar como la integral de línea de E l d , si la línea es cerrada, caso de una espira, la ley de Faraday-Henry de la inducción se expresa de forma mas general como

m n d d dt Φ ε =

∫

Es importante hacer notar que el campo eléctrico En que aparece en la ecuación es un

campo no conservativo (de carácter no electrostático), variable con el tiempo y que se genera por un campo magnético variable. El campo En no puede ser electrostático

porque sino la integral de línea E_n⋅dl sobre un circuito cerrado sería cero, en contra de lo expuesto en la ecuación.

9.4.- CORRIENTES DE FOUCAULT.

En los ejemplos que hemos citado las corrientes inducidas están confinadas a trayectorias bien definidas. En muchas piezas de equipos eléctricos, sin embargo, hay masas metálicas móviles en un campo magnético uniforme, o situadas en un campo magnético variable, que dan como resultado corrientes inducidas que circulan por el volumen del metal. Se las denomina corrientes de Faucoult o parásitas, debido en general a que son perjudiciales porque producen calor que se traduce en una pérdida de potencia.

Considérese un bloque conductor situado entre las piezas polares de un electroimán. Si el B entre los polos varía con el tiempo, el flujo que atraviesa cualquier circuito cerrado del bloque será variable, por ejemplo, el flujo que atraviesa la curva “c” de la figura, por lo que existirá una fem inducida a lo largo de la curva “c”.

Puesto que la trayectoria “c” es conductora, existirá una corriente determinada por el valor de la fem inducida dividida por la resistencia de la trayectoria. En la figura se ha representado solo una de las muchas trayectorias cerradas por las que circularán corrientes de Faucault si varía el campo magnético situado sobre las piezas polares.

Como estas corrientes no son en absoluto deseables, lo que se hace es laminar los bloques, es decir, formar los bloques con láminas o capas delgadas. La resistencia eléctrica entre las superficies de las láminas (debido a una oxidación natural o a una capa de barniz aislante) confina las corrientes de Faucoult a cada lámina individual.

La longitud de la trayectoria aumenta considerablemente, con el consiguiente aumento de resistencia, por tanto, aunque la fem inducida no se altera, las corrientes y sus efectos caloríficos se han reducido al mínimo.

Incluso en algunos transformadores (en donde es típico que se den estas corrientes) se utilizan aveces núcleos de ferritas (óxidos complejos de hierro) que al ser ferromagnéticos tienen unas resistividades relativamente altas, eliminando en gran medida las pérdidas.

9.5.- INDUCCION MUTUA Y AUTOINDUCCION.

Considérense dos bobinas de hilo devanado formadas por N1 espiras la bobina 1 y N2 espiras la bobina 2. La corriente variable I1 que circula por la bobina 1 crea un campo magnético que induce una fem ε2 en la bobina

2, debida al flujo Φ₂₁ que pasa por la bobina 2.

ε2 = −N d dt 2 21 Φ

El campo magnético es proporcional a I1, por lo que Φ₂₁ es, asimismo proporcional a I1. Esta proporcionalidad puede representarse en la forma Φ₂₁=cte. I1 , pudiéndose escribir

N ₂ Φ =₂₁ M I_{21 1} con lo que dt dI M dt d N 1 21 21 2 = Φ y sustituyendo dt dI M 1 21 2 =− ε

La constante M21 que depende solo de la geometría de las dos bobinas y de sus orientaciones relativas entre si, se denomina inductancia mutua y está definida por:

M N I 21 2 1 = .Φ21

La inductancia mutua decrece al separar las bobinas ya que disminuye Φ₂₁.

De forma similar, si la corriente variable fuese I2, la corriente que pasa por la bobina 2, la fem inducida en la bobina 1 es

ε1 = −M

dI dt

12 2

Aunque no parezca evidente, se ha comprobado, que en general M12 y M21 resultan ser iguales, por lo que un único valor de inductancia mutua M caracteriza la interacción de la fem de las dos bobinas.

ε2 = −M ε = − dI dt M dI dt 1 1 2

La unidad en el SI de la inductancia mutua es el Henrio (H) 1 H = 1 Wb 1 1 A V.1s 1A =

Si ahora se observa solo a la bobina 1 (suponiendo que no existe la bobina 2) al circular una corriente I1 crea un campo magnético ligado a la misma bobina y varia cuando la hace la corriente. En consecuencia, cualquier circuito con una corriente variable tiene inducida una fem debida a la variación de su propio campo magnético, es por tanto, una fem autoinducida. ′ = − ε1 N d dt 1 11 Φ

igual que antes Φ₁₁ será proporcional a I1

N ₁Φ =₁₁ L I_{1 1} o también N d dt L dI dt 1 11 1 1 Φ = con lo cual ′ = − ε₁ L dI dt 1 1

La constante L, que depende de la disposición geométrica del circuito, se denomina autoinductancia y está definida por

L N I 1 1 11 1 = Φ

su unidad en el SI es también el Henrio (H).

Un circuito o parte de un circuito que tiene inductancia se denomina inductor y se representa por

La dirección de un campo autoinducido se halla por la ley de Lenz. Volviendo a las dos bobinas y considerando los dos efectos descritos, inducción mutua y autoinducción, las fem inducidas serán:

ε ε 1 2 2 = − − = − − L dI dt M dI dt L dI dt M dI dt 1 1 2 2 1

9.6.- ESTABLECIMIENTO DE LA CORRIENTE ELECTRICA EN UN CIRCUITO LR.

Los circuitos que contienen inductores evitan que la corriente aumente o disminuya instantáneamente. Todo inductor tiene necesariamente alguna resistencia, para distinguir los efectos de R de los de la autoinductancia L, representaremos un inductor ideal en serie con una resistencia R (aquí se incluye la resistencia del circuito). También se considera que la autoinducción del resto del circuito en comparación con la del inductor es despreciable. La figura muestra un circuito típico LR.

Si cerramos el interruptor s en el instante t=0, la corriente comenzará a crecer y no alcanzará su valor final inmediatamente, debido a la fem autoinduccida en el inductor que se opone al aumento de la corriente de acuerdo con la ley de Lenz.

En un instante cualquiera la corriente es I, aplicando la ley de Ohm generalizada:

dt dI L + R I = ' -R I ε ε =

para calcular la corriente eléctrica, separando variables e integrando

∫

∫

[

(

)

]

sustituyendo los límites de integración y operando

t L R IR Ln =− ε − ε t L R -e IR =ε − ε despejando el valor de I         − ε = −Lt R e 1 R I

en donde la corriente final, como se aprecia en la ecuación, valdrá

f

I R

ε =

que es corresponde al régimen permanente estacionario y es la misma que si se tratara de una resistencia pura R conectada a un generador. También se puede expresar

t f I₌I _1 e₋ −τ_   en donde R L =

τ es la constante de tiempo del circuito. Cuanto mayor sea la autoinducción o menor la resistencia, mas tiempo se tardará en alcanzar la corriente final.

La evolución de la corriente en función del tiempo hasta que alcanza su valor estable se muestra en la figura

Lo mismo ocurre, en cuanto a que el valor de I no se hace cero inmediatamente cuando se suprime el generador. En la siguiente sección se puede apreciar lo dicho.

9.7.- ENERGIA EN UN INDUCTOR.

Cuando se establece una corriente en un circuito semejante al indicado en la figura, solo parte de la energía suministrada por el generador se transforma en calor por efecto Joule en la resistencia, el resto de la energía se utiliza para establecer el campo magnético en y alrededor del inductor, donde queda almacenada como una forma de energía potencial, mientras se mantenga la corriente. La potencia suministrada por el generador en un instante cualquiera es:

P = I = I R + L I dI dt

2 ε

ecuación que expresa la razón con la cual proporciona energía el generador ε I, es igual a la suma de la energía calorífica por efecto Joule en la resistencia I R2 _{y la razón con la}

cual la energía se almacena en el inductor LIdI

dt. Es por tanto, esta ecuación una expresión de la conservación de la energía.

Si se designa por Em la energía almacenada en el inductor en cualquier instante, entonces la razón dE

dt

m

con la cual se almacena la energía puede escribirse:

dE dt LI dI dt m =

La energía total almacenada la obtendremos integrando la expresión anterior

∫

∫

La idea de que la energía se almacena en el campo magnético es semejante a la ya indicada de que la energía se almacena en un campo eléctrico cuando se carga el condensador. Y esto lo podemos observar en un circuito como el de la figura. Cuando se abre el interruptor S1 se cierra el S2, y a pesar de que no entra potencia al circuito, pues la fem se ha anulado, la corriente no se hace cero inmediatamente; de manera que debe existir todavía una energía que se cede a la resistencia; esta es la que previamente se había almacenado en el campo magnético.

Por ejemplo la energía almacenada por un solenoide es, teniendo en cuenta que:

I l NS = BS µ₀ = Φm

donde S es el área de la sección transversal del solenoide. Sustituyendo en el valor de la autoinductancia: l NBS I N = L Φm _{= y} o B I n = µ sustituyendo en la expresión de la energía

2 0 2 m n B NBS 2 1 I L 2 1 E µ = =

Multiplicando y dividiendo por l

V 0 2 0 2 m 2 B n B Sl l N 2 1 E µ µ = =

energía almacenada por un solenoide, que por unidad de volumen, conocida como densidad de energía magnética, vale:

u V m m 2 0 E B 2 = = µ

Expresión que aunque deducida para el caso especial de un solenoide, es válida también para cualquier región del espacio en la cual exista un campo magnético. Obsérvese que esta ecuación tiene forma similar a la ecuación de la energía por unidad de volumen almacenada en un campo eléctrico dada por u_e = 1 E2

2ε0 . En ambos casos, la densidad de energía es proporcional al cuadrado del campo.

9.8.- ECUACIONES DE MAXWELL.

Concluiremos presentando las cuatro ecuaciones que pueden considerarse como las piedras angulares de los fenómenos eléctricos y magnéticos. Estas ecuaciones son para los fenómenos electromagnéticos como las leyes de Newton para los fenómenos mecánicos. Además resultan estar en perfecta concordancia con la teoría especial de la Relatividad y predicen la existencia de las ondas electromagnéticas.

Las ecuaciones se denominan de Maxwell porque fue James Clerk Maxwell quien, además de formular la cuarta, se dio cuenta que juntas constituían la estructura básica de la teoría de las interacciones electromagnéticas. La carga eléctrica q y la corriente I son las fuentes del campo electromagnético, ya que dadas q e I , las ecuaciones de Maxwell nos permiten calcular E y B. Las ecuaciones son

Ley de Gauss int o

q .d =

ε

∫

Ley de Gauss del campo magnético

∫

∫

∫

A las cuales podríamos añadir la fuerza electromagnética F= q

(

)

Las tres primeras ya son conocidas, aunque podría plantearse la duda de que las leyes de Gauss se obtuvieran para campos estáticos y ahora estamos generalizando y por tanto introduciendo campos dependientes del tiempo, pero resultados experimentales han demostrado que siguen siendo válidas.

La cuarta la dedujo Maxwell al revisar la ley de Ampére. Esta fue obtenida para una trayectoria cerrada que es atravesada por una corriente constante. Maxwell comprobó que si la corriente era variable a la ley de Ampére le faltaba un sumando que era la variación del flujo eléctrico µ εo o

d dt

e

Φ

. O sea Maxwell generalizó la ley de Ampére, comprobando que todo campo eléctrico dependiente del tiempo implica la existencia de un campo magnético en el mismo lugar.