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erTema: CAMPO GRAVITATORIA
ÍNDICE
1. Concepto de “campo”.
2. Modelos de Universo. Revisión histórica. 3. Leyes de Kepler.
4. Ley de la Gravitación universal. 5. Campo gravitatorio.
6. Campo gravitatorio terrestre. 7. Energía potencial gravitatoria.
8. Potencial gravitatorio. Diferencia de potencial. 9. Velocidad de escape.
10. Movimiento bajo la acción gravitatoria de un planeta: órbitas de satélites. 11. Teorías sobre el origen del Universo y su evolución.
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1. Concepto de “Campo”Diremos que en una región del espacio existe un campo cuando a cada punto de dicha región se puede asignar el valor de una cierta magnitud física.
Si la magnitud es un escalar, A = A (x, y, z), se dice que el campo es escalar, y si la magnitud tiene caracter vectorial, 𝐴⃗ = 𝐴⃗ (x, y, z ) diremos que se trata de un campo vectorial.
Son ejemplos de campos escalares:
La temperatura de una habitación. A cada punto le corresponde una Tª, se trata de un campo escalar de temperaturas.
T =T (x, y, z)
La presión atmosférica alrededor de la Tierra. Se trata de un campo escalar de presiones. p = p (x, y, z)
Son ejemplos de campos vectoriales: el campo gravitatorio terrestre, en cada punto hay un valor de la gravedad, el campo eléctrico o el campo magnético.
Representación de campos
Los campos escalares se representan a través de las llamadas superficies de nivel o superficies equiescalares. Son superficies en la que la magnitud escalar tiene el mismo valor.
Las superficies equiescalares como sirven para visualizar los campos se van separando de tal forma que la diferencia de valores que toma el escalar entre dos superficies
consecutivas sea el mismo.
Los campos vectoriales se representan por líneas llamadas líneas de campo o líneas vectoriales. Son líneas imaginarias trazadas de tal forma que el vector campo es tangente a la línea en cada punto de la misma.
A = constante
T1 T2 A = magnitud Escalar
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El número de líneas que se hacen por unidad de superficie perpendicular a las mismas se hace igual al valor del campo.
𝑑𝑁 𝑑𝑆 = A
Si el campo es uniforme las líneas vectoriales se dibujan paralelas y simétricas.
Si la magnitud que determina el campo vectorial es una fuerza, el campo es un campo de fuerzas y las líneas que lo representan son líneas de fuerza. Ejemplo: el campo
gravitatorio o el campo eléctrico.
2. Modelos de Universo. Revisión histórica
Al hombre le ha interesado siempre conocer el funcionamiento del Universo.
En la antigüedad el conocimiento sobre el Universo está ligado a creencias y mitología. Se plantea una distinción clara entre el Cielo (perfecto, la morada de los dioses) y la Tierra (imperfecta, morada de los hombres). Se cree que la Tierra es plana e inmóvil y que el universo no alcanza más allá de unos pocos km sobre la superficie.
Los grandes filósofos y astrónomos griegos, rompen con las explicaciones míticas de las anteriores civilizaciones, y elaboran las primeras teorías racionales sobre la forma de la Tierra y su posición en el Universo.
En la antigüedad clásica conocían siete astros: el Sol, la Luna , Marte, Mercurio, Venus, Júpiter y Saturno. Los cinco últimos los llamaron planetas, que en griego significa “errantes”, debido a su movimiento errático.
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Trayectoria de Martehttp://www.edumedia-sciences.com/es/a268-movimiento-retrogrado-http://observatorio.info/2010/06/marte-en-movimiento-retrogrado/
http://web.educastur.princast.es/proyectos/fisquiweb/Presentaciones/PlatonNewton.htm
Para explicar el Universo se proponen dos modelos: el modelo geocéntrico y el modelo heliocéntrico.
Modelo geocéntrico
Platón (428-347 a.C) propone un modelo geocéntrica del Universo.
La Tierra tiene forma esférica, está fija y ocupa el centro del Universo. En torno a ella giran el Sol, la Luna y los planetas con movimiento circular uniforme.
Eudoxo de Cnido (390-337 a. C) amplía el modelo de Platón e imagina el Universo compuesto de 27 esferas concéntricas girando alrededor de la Tierra, donde la bóveda celeste era la esfera más exterior y daba una vuelta diaria de Este a Oeste.
Según esta teoría, cada astro gira llevado por una o más esferas. Para la Luna, el Sol y las estrellas fijas le bastaba con una esfera.
Aristóteles ( 384-322 a.C.) añadió a la explicación de Eudoxo 29 esferas móviles y la presencia de un primer motor más allá de la esfera de las estrellas fijas , o “primum mobile”.
Para Aristóteles, el cosmos estaba dividido en dos partes, el mundo sublunar o terrestre y el mundo supralunar o celeste. Ambas regiones debían tener leyes diferentes en su organización y funcionamiento. El mundo terrestre, es el mundo de los cambios y de los
Cada aproximadamente dos años, la Tierra adelanta a Marte en su órbita alrededor del Sol, y el resultado es que Marte parece dibujar un bucle en el cielo.
Durante cierto tiempo, va perdiendo velocidad hasta que, aparentemente se para para invertir su sentido de la marcha y parece moverse hacia atrás en el cielo, se detiene de nuevo, retornando a su sentido. Este fenómeno se conoce como “retrogradación”.
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movimientos de todo tipo. El mundo supralunar es un mundo de armonía perfecta y los planetas son esferas perfectas dotadas de movimiento circular uniforme.
La muerte de Aristóteles señala el inicio del eclipse de Atenas como centro de la filosofía y de la ciencia, y nace una nueva capital intelectual heredera de Atenas, Alejandría (Egipto).
Ptolomeo de Alejandría (85- 165) modifica el pensamiento griego y elabora un complejo
modelo. Introdujo modificaciones a las explicaciones de Aristóteles, tales como:
1. Que los planetas tuvieran un movimiento excéntrico alrededor de la Tierra, es decir, la Tierra no fuese el centro de las esferas concéntricas.
2. Piensa que éstos se mueven en órbitas circulares, llamadas epiciclos, alrededor de un punto que, a su vez, describe una órbita circular alrededor de la Tierra, a la que da el nombre de deferente. De esta forma el movimiento de un astro era una combinación de dos movimientos circulares, y la trayectoria compuesta por ambos movimientos se llama epicicloide.
3. Introduce el ecuante, punto respecto al cual el astro se mueve con velocidad uniforme, pero sin que la trayectoria circular sea a su alrededor (usando un ecuante, Ptolomeo afirmaba mantener un movimiento uniforme e circular)
El modelo le permite dar una explicación a las variaciones que experimentaban en su brillo los planetas a lo largo del año, al movimiento retrógado observado en algunos de ellos y reproducía con bastante exactitud el movimiento observado de los planetas El modelo Ptolomeo fue aceptado durante más de mil años (hasta el s. XVI).
Modelo heliocéntrico
El primer modelo heliocéntrico conocido se debe a Aristarco de Samos (310-230 a.C). Fue el único filósofo griego que ideó un modelo heliocéntrico. No llegó a ter éxito dado que era contrario al modelo geocéntrico defendido por Aristóteles de enorme influencia en esa época.
Se tiene noticias de él a través de los escritos de Arquímedes (287-212 a.C).
En el siglo XVI, Copérnico (1473-1543), que buscaba un modelo más sencillo, concibió el
modelo heliocéntrico, el cual propone : El Sol, y no la Tierra es el centro del Universo y
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También postuló el movimiento de rotación de la Tierra y la inclinación del eje de giro.
Permitía describir el movimiento de los astros de un modo más sencillo. Inicia toda una revolución en la astronomía.
Este modelo tuvo graves problemas con la iglesia romana, por estar en contra de la Biblia ( ya que una lectura literal de la Biblia confirmaba que el Sol giraba en torno a la Tierra. Que tuvo consecuencias tan graves como la ejecución en la hoguera de defensores, como Bruno).
La controversia entre ambos modelos dura más de cien años, hasta que la idea de Copérnico fue aceptada de modo general.
Dos astrónomos, Tycho Brahe y Kepler jugaron un papel básico en el cambio.
La descripción propuesta por Copérnico fue publicada en 1543, unos meses después de su muerte, en un libro titulado De Revolutionibus
Orbium Coelestium y aunque en el prefacio se
decía que la revelación divina era la única fuente de verdad, y que los tratados astronómicos sólo pretendían “salvar los fenómenos”, las
autoridades religiosas de la época rápidamente vieron en sus páginas afirmaciones
potencialmente heréticas. La Iglesia Católica
colocó a De Revolutionibus en su índice de libros prohibidos; Calvino comentaba: “¿Quién
se aventurará a poner la autoridad de Copérnico por encima de la del Espíritu Santo? y Lutero
sentenciaba: “... este loco quiere alterar toda la astronomía, pero la Sagrada Escritura nos dice que Josué ordenó detenerse al Sol y no a la Tierra” .
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El astrónomo danés, Tycho Brahe (1546-1607) obtiene medidas muy precisas de lasposiciones angulares de los planetas y de las estrellas. Se valió para hacerlo de sextantes y compases, ya que de aquella no se inventara el telescopio.
El 11 de noviembre de 1572 Tycho Brahe, mirando despreocupadamente al cielo durante el paseo que acostumbraba a dar después de cenar. En la constelación de Casiopea vio algo inesperado:
“Sorprendido, como desconcertado y estupefacto, permanecí quieto durante un tiempo con los ojos intensamente fijos en ella y observé que esa estrella estaba situada cerca de las estrellas que la Antigüedad atribuía a Casiopea. Cuando me convencí de que ninguna estrella de esa clase había brillado nunca antes, caí en tal perplejidad, por lo increíble del suceso, que empecé a dudar de mis propios ojos.”
Tycho contemplaba la aparición de una nueva estrella en la constelación de Casiopea (era lo que ahora llamamos una supernova). Lo asombroso, lo que motivaba la estupefacción del astrónomo, es que la nueva estrella estaba situada en la región del universo que la física aristotélica (aún vigente) consideraba eterna e inmutable.
Pocos años después, en 1577, un brillante cometa apareció en los cielos. Aristóteles consideraba que los cometas eran fenómenos que tenían lugar en la atmósfera terrestre, en el mundo sublunar, cambiante e imperfecto. Tycho midió con cuidado la distancia a la que el cometa se encontraba y llegó a la conclusión de que su órbita se situaba mucho más allá de la de la Luna. Para Aristóteles en las regiones situadas más allá de la Luna no podía haber cambios.
Tycho Brahe no era un astrónomo aficionado, poseía una considerable fortuna personal y en su Dinamarca natal, y con el apoyo del rey danés, montó en la isla de Huen un fantástico observatorio astronómico que bautizó con el nombre de Uraniborg ("Castillo de Urania", musa de la Astronomía) en el que disponía de un equipo de más de cuarenta astrónomos y los más refinados aparatos de observación de la época. Con ellos conseguía precisiones de hasta 1 ' (un minutode arco).
Consideraba que la única manera de poder decidir entre el modelo de Copérnico y el de Ptolomeo era aumentando la precisión de los datos astronómicos. A partir del análisis de la gran cantidad de datos acumulados para las posiciones de las estrellas y los planetas, elabora un modelo propio (de compromiso). El Sol giraba alrededor de la Tierra y los demás planetas lo hacían alrededor del Sol.
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Estas mediciones las heredó su discípulo Johannes Kepler quien basándose en ellasenunció tres leyes, denominadas Leyes de Kepler que explican el movimiento de los planetas alrededor del Sol.
Los planetas no orbitaban alrededor del Sol con movimiento circular uniforme, sino en elipses, y su velocidad era variable, máxima en el punto más próximo al Sol (perihelio) y mínima en el punto de máximo alejamiento (afelio).
Las leyes del movimiento planetario enunciadas por Kepler pueden considerarse como el principio del fin del modelo cosmológico medieval (modelo geocéntrico).
En febrero de 1600 Tycho recibe en el castillo de Benatek a un joven matemático y astrónomo, llamado Johannes Kepler, que en 1596 había publicado un libro titulado Mysterium
Cosmographicum en el que afirmaba que había descubierto la estructura básica del Universo, el
patrón geométrico a partir del cual se había concebido el cosmos, y en el que se planteaba una pregunta capital:
¿Cuál es la relación existente entre las velocidades de los planetas en su giro alrededor del Sol y el tamaño (radio) de su órbita?
Tycho encarga a Kepler la resolución de un problema en el cual todos los astrónomos de la época habían fracasado: la resolución de la órbita de Marte. Kepler asume el reto a la par que asegura que resolverá el problema en ocho días. Contaba para ello con una gran cantidad de datos
observacionales muy precisos de las posiciones del planetas, su gran intuición y un gran dominio de las matemáticas necesarias. Según sus propias palabras:
"Tycho posee las mejores observaciones... dispone del mejor material... también tiene colaboradores. Únicamente le falta el arquitecto que pueda poner todo esto en marcha según su propio diseño"
En 1609 se termina de imprimir la que sería la gran obra de Kepler: Astronomía Nova. En ella se enuncian las dos primeras leyes del movimiento planetario (1ªy 2ª ley de Kepler. La tercera ley la publicará en 1618) a las que llegó como consecuencia del análisis de la órbita de Marte. El problema que había dicho resolvería en ocho días le había costado ocho largos años
Astronomía Nova, la obra capital de Kepler. En ella se enuncia la ley que describe las órbitas. planetarias como "elipses" y la llamada "ley de las áreas".
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Contemporáneo de Kepler (1571-1630) fue Galileo Galilei (1564 - 1642) . En 1609construye un telescopio con el que se dedicó a observar el cielo nocturno. Con el descubre, las cuatro lunas girando alrededor de Júpiter, los gráteres de la Luna y las manchas solares. Más tarde descubre que Venus presenta fases como las de la Luna, lo que demuestra que gira alrededor del sol y que no brilla con luz propia.
Galileo Galilei fue el principal defensor de la teoría heliocéntrica. Fue condenado por ello de hereje por la Inquisición y obligado a retractarse de sus ideas en público.
Newton, basándose en las leyes de Kepler, enuncia la ley de la Gravitación Universal en sus Principa (1687) establecía que la misma fuerza que mantiene los planetas orbitando alrededor del Sol es la que hace caer la manzana del árbol. Las mismas leyes gobiernan todo el universo. No hay distinción alguna entre el mundo sublunar y el situado más allá de la Luna. La gravedad es la fuerza que mantiene unido a todo el cosmos.
3. Leyes de Kepler
Estas leyes de índole empírica son:
1ª ley: Los planetas se mueven alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas,
encontrándose el Sol en uno de sus focos.
2ª ley
(conocida como ley de las áreas): El radio vector que une el planeta con el sol,
barre áreas iguales en tiempos iguales.
Si el tiempo que tarda el planeta en ir de P3 a P4, t1, es el mismo que el que tarda en ir de P1 a P2,t2, las áreas pintadas son iguais. Y por tanto la velocidad tiene que ser mayor en P1 y en P2, que en P3 y en P4.
Mediante esta ley demuestra que la velocidad lineal y angular con la que se mueven los planetas alrededor del Sol, no es constante.
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A la posición de un planeta en su órbita más próxima al Sol se le llama perihelio, y a la más alejada, afelio. Cuando es la Tierra, se les llama perigeo y apogeo, respectivamente. El planeta cuando está más cerca del Sol (perihelio) va más deprisa que cuando está más alejado de él (afelio).
El cociente entre el área barrida y el tiempo empleado en barrerla se denomina velocidad areolar. Por tanto la velocidad areolar de los planetas es constante.
Ω = 𝑑𝐴
𝑑𝑡 dA = área barrida; dt : tiempo.
Ω = cte
3ª ley: El cuadrado del periodo de revolución del planeta es directamente proporcional
al semieje mayor elevado al cubo.
Si “T”es el período, y “a” el semieje mayor la expresión matemática de la 3ª lei de Kepler es:
= k
;
K se conoce como constante de Kepler.
Su valor es el mismo para cualquier planeta, y puede calcularse conociendo la T de un planeta.
Por ejemplo para la Tierra:
T = 365,25 días = 1año y a = 149. 106 Km (unidad astronómica, U.A.) Reemplazando en la ley.
K = T2/a3 = (1 año)2/(1 U.A.)3 = 1 año2/U.A.3
3 2
a T
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A partir de esta ley podemos calcular el periodo de revolución de un planeta o su semiejemayor respecto al Sol
4. Deducción de Ley de la Gravitación Universal
Newton basandose en las leyes de Kepler y aplicando los principios de la mecánica deduce la ley de la Gravitación Universal.
Newton demostró que la fuerza que regía el movimiento de los planetas es una fuerza central, que llamó gravitatoria.
Los razonamientos en los que se basó Newton para deducirla son aproximadamente: Para simplificar los cálculos matemáticos haremos una simplificación. Vamos a suponer que las órbitas de los planetas son circulares en vez de elípticas. Una circunferencia es un caso particular de una elípse cuando la excentridad es cero. Las órbitas que describen los planetas entorno al Sol son elipses de excentricidad pequeña, por lo tanto se trata de una aproximación razonable.
Vamos a hallar la fuerza que el Sol ejerce sobre un planeta.
Si el Sol hace una fuerza sobre le planeta, el planeta hace una fuerza sobre el Sol y debe de ser da la misma naturaleza .
FpS = (2)
Por la ley de acción y reacción: FSp = - FpS 2 2 2 4 r k m
Entonces el planeta tiene una aceleración centrípeta
ac = 𝑣𝑟2
=
r = 4𝜋 2𝑇2 r
Esto nos lleva a que el Sol exerce una f. sobre planeta: FSp = m ac = m 4𝜋
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𝑇2 r Aplicando la 3ª ley de Kepler:
𝑻2 𝒓3 = k1 𝑟 𝑇2
=
𝑘1 𝑟2 FSp = 2 1 2 4 r k m (1) 2 𝑣⃗ m 𝑎⃗c r 𝐹⃗SP 𝐹⃗PS M12
2 1 2 4 r k m = m k1 = M k2 = = k Sustitituyendo k1 en (1) o k2 en (2) se encuentra:FSp = el producto 4 k es constante y se representa por G; FSp = G
Si se sustitue k2 en (2):
FpS = G
Por lo tanto la fuerza con la que se atraen mutuamente el Sol y la Tierra:
F= G
Si generalizamos esta expresión a todos los cuerpos existentes en el Universo tenemos la Ley de la Gravitación Universal, que se cumple para masas puntuais o cuerpos de forma esférica, con densidad uniforme que dice: “dos cuerpos se atraen mutuamente con una
fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa”.
La expresión vectorial de l a ley de gravitación es:
El signo (-) indica que 𝐹⃗ y 𝑟⃗ son de sentido contrario. G es la llamada constante de gravitación universal.
G es una constante universal, cuyo significado físico se ve de inmediato: si M = m = 1 unidad de masa y r = 1 unidad de longitud, entonces, F = G.
Es decir: G representa la fuerza con que se atren dos masas unidad a una distancia de una unidad de longitud. En el Sistema Internacional:
2 2 2 4 r k m M k1 m k2 2 2 4 r M k m 2 2 . r m M 2 . r m M 2 . r m M 𝑢⃗⃗ 𝐹⃗ m m´ 𝑟⃗ k1 = k M k2 = k m
𝐹
⃗⃗⃗⃗ = - G
𝑀 . 𝑚𝑟2𝑢⃗⃗
M m13
G = 6,67 . 10-11 N.m2/kg2Newton no pudo medirla porque no disponía de los instrumentos que lo hiciesen posible. Aproximadamente unos 100 años más tarde, Cavendish la midió experimentalmente, mediante una balanza de torsión.
5. Campo gravitatorio
Cualquier masa, simplemente con su presencia perturba el espacio que la rodea, de tal forma que al situar en un punto de ese espacio otra masa aparece sobre ella una fuerza, esta fuerza es función del punto. A cada punto podemos asignarle un vector. Este espacio que rodea a la masa es un campo vectorial, que llamamos campo gravitatorio. Llamamos campo gravitatorio al espacio que rodea a una masa donde al situar en cualquier punto otra masa aparece una fuerza, esta fuerza es función del punto.
Se llama intensidad de campo gravitatorio en un punto y lo representamos por la letra, 𝑔⃑, a la fuerza que aparece por unidad de masa situada en ese punto.
¿Cómo la determinó, es una constante muy pequeña? Suspendió de un hilo de cuarzo dos masas (de 739 g cada una) y en el hilo puso un espejo. Lo puso porque venía un rayo de luz, entonces se reflejaría en una tabla. Colocó dos masas muy grandes (de 159 kg cada una) van a producir un retorcimiento, el espejo gira, y esto repercute en el punto de la escala en la que incide la luz, lo que permitía calcular el ángulo de giro, con él, calculó el momento de la fuerza que mueve el hilo y en consecuencia la fuerza de torsión aplicada sobre el hilo, que es la debida la atracción gravitatoria entre las masas.
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𝑔⃑ = 𝑚𝐹⃑Su unidad en el S.I es N/kg que coincide con las dimensiones de una aceleración pero no es una aceleración.
El espacio gravitatorio se representa por líneas de fuerza, estas son radiales y dirigidas
hacia la masa.
Las líneas no se pueden cortar, ya que ello supondría que en un punto el campo tendría dos valores distintos, lo cual es imposible, ya que la intensidad de campo gravitatorio tiene un valor único en cada punto
Si son varias las masa, se cumple el principio de superposición: el campo resultante en un punto es igual a la suma vectorial de las intensidades que cada masa individual creada en el punto considerado. 𝑔⃑ = 𝑔⃑1 + 𝑔⃑2 +𝑔⃑3 + ….. 𝑔⃑ = 𝐹⃑ 𝑚
=
− 𝐺 𝑀 𝑚 𝑢⃗⃗⃗ 𝑟2 𝑚= - G
𝑀 𝑟2 𝑢⃗⃗ M r 𝑢⃗⃗ 𝑔⃗15
6. Campo gravitatorio terrestreLa Tierra puesto que es una masa, crea a su alrededor un campo gravitatorio.
En el caso del campo gravitatorio terrestre, a La fuerza con que La Tierra atrae a los cuerpos, se la denomina peso ; p = m . g.
Como La Tierra se considera una esfera con su masa uniformemente distribuída, se comporta como uma masa puntual colocada en el centro de La Tierra, todas las distancias se calculan desde su centro.
El valor de g sobre su superficie viene fijado por go = G 2
T T R M o o
o Variación de g con la altura
h
go
𝑔⃑ = - G 𝑀
𝑟2 𝑢⃗⃑
Como 𝑔⃗ es inversamente proporcional a r y la Tierra no es perfectamente redonda ( el radio de la Tierra disminuye a medida que vamos del Ecuador hacia los polos) y además por el movimiento de rotación aparece una fuerza
centrífuga. Este hecho produce una variación en el valor del campo gravitatorio y en la aceleración de caída de los cuerpos, dependiendo de la latitud. Sucede que en cada punto de la superficie de la Tierra que:
m 𝑔⃗⃗⃗⃑ = m 𝑔⃑𝑜 + 𝐹⃑𝑐 ; 𝑔⃗⃗⃗⃑ = 𝑔⃑𝑜 + 𝑎⃑𝑐
El valor de g es máximo en los polos y mínimo en el
ecuador, en el ecuador restan, mientras que en los polos no. La distancia de P al centro de la Tierra es igual a r = h + RT. La intensidad en un punto de la superficie es:
go = G 𝑅𝑀2 y en el punto P g = G ( 𝑅+ℎ)𝑀 2 𝑔𝑜 𝑔
=
G 𝑅2𝑀 𝐺 (𝑅+ℎ)2𝑀=
(𝑅+ℎ)2 𝑅2=
𝑅2+𝑅2+2 𝑅ℎ 𝑅2= ( 1 +
ℎ 𝑅)
2 r16
Luego despejando:o Variación de g con la profundidad
M = 43 𝜋 R3 multiplicamos y dividimos el resultado anterior por M:
g = 43 π G ρ r. 𝑀𝑀 = 4 3 𝜋 𝐺 𝜌 𝑟 𝑀 4 3 𝜋 𝑅3 = go . 𝑅𝑟 Si llamamos h , a la profundidad : r = R - h g = go. 𝑅−ℎ𝑟 = go (1 −𝑅ℎ
)
Esta expresión indica que en el centro de la Tierra como h = R ; g = 0.
De las expresiones anteriores se deduce, que la intensidad del campo gravitatorio crece linealmente con la distancia al centro de la Tierra en el interior del planeta,
adquiere un valor máximo en la superficie y, posteriormente decrece con el cuadrado de la distancia en el exterior del planeta.
Si el punto P está en el interior de la Tierra r = R – h y la masa de la esfera inferior.
m = ρ. V = ρ. 43 π r3 g = G 𝑟𝑚2 = 𝐺 4 3 𝜋 𝑟3 𝑟2 = 4 3 π G ρ r
Si tenemos presente que la masa de laTierra es:
g = go . 𝑅𝑟 g = 4
3 π G ρ r
g = go (1 −ℎ𝑅
)
Variación de la intensidad de campo gravitatorio terrestre con la distancia al centro.
g = 𝑔𝑜
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7. Energía potencial gravitatoriaLa fuerza gravitatoria es una fuerza central, estas fuerzas son conservativas. Vamos a comprobarlo. Una fuerza es conservativa si el trabajo realizado por la fuerza es
independiente del camino.
Vamos a calcular el trabajo que hace la fuerza gravitatoria al trasladar una masa “m” de A a B; consideremos un cuerpo de masa “m” situado alrededor de una masa fija M y que se desplaza desde un punto A hasta otro B, por la acción de la fuerza gravitatoria de M, el trabajo realizado es:
𝐹⃑ = - G 𝑀 𝑚 𝑟2 𝑢⃗⃑
El trabajo infinitesimal es el producto escalar del vector fuerza 𝐹⃑ por el vector desplazamiento d𝑙⃑, tangente a la trayectoria.
dW = 𝐹⃑ . d𝑙⃑ = F dl cos(180 – d𝑙⃑,) =- F dl cos θ = - F dr
donde dr es el desplazamiento infinitesimal de la partícula en la dirección radial.
Para calcular el trabajo total, integramos entre la posición inicial A, distancia rA del centro de fuerzas y la posición final B, distancia rB centro fijo de fuerzas.
𝑊𝐴𝐵 = ∫ 𝐹 𝐵⃗⃗⃗⃑ 𝐴 .d𝑙⃑ = ∫ − 𝐺 𝑀 𝑚 𝑟2 𝐵 𝐴 dr = -G M m ∫ 1 𝑟2 𝐵 𝐴 dr -G M m [ - 1 𝑟𝑟]𝑟𝐴 𝑟𝐵 = G 𝑀 𝑚 𝑟𝐵 - G 𝑀 𝑚 𝑟𝐴 = ( - G 𝑀 𝑚𝑟 𝐴 ) – (- G 𝑀 𝑚 𝑟𝐵 )
El trabajo no depende del camino seguido por la partícula para ir de desde la posición A a la posición B, y por lo tanto, concluimos que la fuerza gravitatoria es una fuerza
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Podemos definir una energía potencial gravitatoria, de modo que el trabajo realizadopor el campo podemos escribirlo como: 𝑊𝐴𝐵 = ∫ 𝐹 𝐵⃗⃗⃗⃑
𝐴 .d𝑙⃑ = EpA - EpB = - ΔEp Comparando con el resultado anterior tenemos:
𝑊𝐴𝐵 = ( - G 𝑀 𝑚
𝑟𝐴 ) – (- G
𝑀 𝑚 𝑟𝐵 ) 𝑊𝐴𝐵 = EpA - EpB = - ΔEp = ( - G 𝑀 𝑚𝑟
𝐴 ) – (- G
𝑀 𝑚 𝑟𝐵 )
De la propia definición se deduce que únicamente pueden conocerse diferencias de energía potencial gravitatoria; mide el trabajo para pasar un cuerpo de un punto a otro. Para asignar un valor de Ep a cada punto se escoge uno arbitrariamente al que se le da un valor. Lo más razonable es admitir que para el infinito, es decir para r = ∞, la energía potencial sea cero, Ep = 0. Entonces queda:
Si B se encuentre en el ∞, 𝑊𝐴∞ = EpA - Ep∞ = EpA – 0 = - G
𝑀 𝑚 𝑟𝐴
𝑊𝐴∞ = EpA
De esta forma, podemos definir que la energía potencial de una masa “m” situada en
un punto de un campo gravitatorio es el trabajo que hace la fuerza del campo para llevar esa masa “ m” desde ese punto hasta el infinito.
La Ep dentro del campo gravitatorio es (-) y va disminuyendo a medida que nos acercamos a la masa M que crea el campo gravitatorio.
Cuando el trabajo realizado por el campo es (+), la Ep disminuye, se realiza trabajo a expensas de la energía potencial de la partícula. En cambio, cuando se hace trabajo en contra de las fuerzas del campo para mover la partícula de un punto a otro, ese trabajo se invierte en aumentar su energía potencial.
La gráfica de la energía potencial gravitatoria en función de la distancia es una hipérbola equilátera como se indica en la figura:
Ep = -
G
𝑀 𝑚𝑟
r = ∞ Ep = 0
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A pesar de ser inversamente proporcional a la distancia, r, al ser negativa, la Ep aumenta con la distancia.
Para puntos próximos a la superficie de la Tierra se toma como origen de la energía potencial la superficie, r = RT, Ep = 0, quedando Ep = m g h.
8. Potencial gravitatorio
Los campos de fuerzas conservativos se caracterizan, además de por su intensidad de campo, 𝑔⃗, por una magnitud escalar definida en cada punto: el potencial.
El potencial gravitatorio en un punto es la energía potencial por unidad de masa colocada en ese punto, y representa el trabajo que hace el campo para trasladar la una masa unidad desde ese punto hasta el infinito.
V = 𝐸𝑝𝑚
=
− G 𝑀 𝑚 𝑟 𝑚 –G
𝑀 𝑟En donde “M” es la masa que crea el campo.
El potencial solo depende de la masa “M” que crea el campo y de la distancia, r, del punto a dicha masa.Su unidad en el SI es el J/kg.
Por otra parte:
𝑊𝐴𝐵 = EpA - EpB
Si dividimos los dos miembros de la igualdad por el mismo valor de “m” esta no varía. 𝑊𝐴𝐵 𝑚
=
𝐸𝑝𝐴 𝑚-
𝐸𝑝𝐵 𝑚 = VA - VB = - ( VB - VA) = - ΔV ⇒ ΔV = 𝑊𝐴𝐵 𝑚 r Ep Ep = -G
𝑀 𝑚 𝑟20
Esto nos permite decir que la diferencia de potencial entre dos puntos de un campogravitatorio representa e l trabajo cambiado de signo que realiza el campo para trasladar la unidad de de masa entre los dos puntos del campo.
Por otra parte, el trabajo que realiza el campo para trasladar una masa “m” entre dos puntos es:
𝑊𝐴𝐵= m ( VA – VB) = - m ( VB – VA)
En el caso de que sean varias masas las que crean el campo, el potencial en un punto del campo es la suma aritmética de los potenciales que crean cada una de las masas
consideradas individualmente en dicho punto.
Superficies equipotenciales
La representación de un campo mediante líneas de fuerza, se completa con las superficies equipotenciales, son superficies en las que todos los puntos presentan el
mismo valor del potencial”
Si recordamos que V =
– G
𝑀𝑟
,
observamos:1º- Que todos los puntos que equidistan de la masa puntual tienen el mismo potencial: las superficies equipotenciales son esferas concéntricas con centro sobre la propia masa.
2º.- El potencial gravitatorio siempre es negativo.
3º- A medida que aumenta r, disminuye el valor negativo y por lo tanto aumenta el potencial. El valor máximo corresponde a r = ∞ y es V = 0.
Por lo tanto, el trabajo que realiza el campo para trasladar una masa entre 2 puntos de la superficie equipotencial vale 0.
Efectivamente: 𝑊𝐴𝐵= m ( VA – VB) pero como VA = VB implica 𝑊𝐴𝐵= m . 0 = 0 VT = V1 + V2 + V3 porque son magnitudes escalares
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La relación entre el campo y el potencial es:
∫ 𝐹⃗𝐴𝐵 . d𝑟⃗ = - ΔEp = - (EpB – EpA) dividiendo los dos miembros por m
𝐸𝑝𝑚𝐵
-
𝐸𝑝𝑚𝐴= - ∫
𝐴𝐵𝑚𝐹⃗. d𝑟⃗ implica VB – VA = - ∫ 𝑔⃗
𝐴𝐵 . d𝑟⃗ Para variaciones infinitesimales:dV = - 𝑔⃗ . d𝑟⃗
De esta expresión se deduce que las líneas de campo son perpendiculares a las
superficies equipotenciales, ya que la diferencia de potencial entre dos puntos de una superficie equipotencial es igual a 0 y si g≠0 entonces cos𝛼=0 𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙𝑙𝑜 𝛼=90°.
9. Velocidad de escape
Para lanzar un cohete al espacio, hay que lanzarlo con una velocidad mínima para que salga fuera del campo gravitatorio. A esta velocidad se la denomina velocidad de escape. Para calcular la velocidad de escape, despreciamos las pérdidas de energía debidas al rozamiento con el aire porque solo suponen un 2% de la velocidad de escape.
La energía que ha de poseer la nave en la superficie terrestre, suma de su energía cinética y su energía potencial, ha de ser igual a la energía total de la nave en el "infinito", que será CERO dado que la energía potencial es cero y la energía cinética también será cero, puesto que estamos entendiendo que la nave se sitúa en dicho punto sin velocidad alguna.
Em1 = Em2 ; Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2 1 2 m 𝑣𝑒 2 - G 𝑀 𝑚 𝑅 = 0 + 0 ; 1 2 m 𝑣𝑒 2 = G 𝑀 𝑚 𝑅 Y la ∞ V1 < V2 < V3 < V4
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Si sustituimos los valores de las magnitudes G , My R se obtiene un valor de la velocidad de escape de ves = 11,2 . 103 m/s que equivale a unos 41150 km/h.
10. Movimiento bajo la acción gravitatoria de un planeta: órbitas de satélites
Si la 𝑣>𝑣𝑒𝑠 sale del campo gravitatorio terrestre pero describiendo una hipérbola. Para que el satélite se mantenga en órbita tiene que tener una velocidad que podemos calcular suponiendo un radio medio de la órbita.
Esta sería la fórmula de la velocidad de escape del cohete desde cualquier órbita.
𝑣
𝑒= √
2 𝐺 𝑀𝑅
Si lanzamos un satélite desde la superficie terrestre con una velocidad mucho menor que la velocidad de escape describe un arco de elipse y vuelve a caer a la superficie terrestre. A medida que aumentamos la velocidad de lanzamiento el arco de elipse se va abriendo hasta que para una determinada velocidad, se abre lo suficiente para que se cierre la elipse y el satélite queda en órbita, con una velocidad máxima en el punto más cercano a la Tierra que se llama perigeo y una velocidad mínima en el más lejano que se llama apogeo.
Si el satélite lo lanzamos con una velocidad igual a la velocidad de escape, sale fuere del campo gravitatorio terrestre describiendo una parábola.
Fg = Fc ; G 𝑀 𝑚
𝑟2 = m
𝑣2
𝑟 implica
Como la velocidad de escape es:
𝑣𝑒 =
√
2 𝐺 𝑀
𝑟 = √2 . 𝑣ó𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎
v =
√𝐺
𝑀23
A la energía que tiene el satélite en cada órbita se le denomina energía de enlace delsatélite y se calcula:
Eórbita = Ec + Ep
=
12m
s𝑣
𝑜𝑟2– G
𝑀 𝑚𝑠 𝑟
Sustituyendo la velocidad de la órbita por su valor: 𝐸ó𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎 =12 ms (√𝐺 𝑀 𝑟) - G 𝑀 𝑚𝑠 𝑟
= -
1 2G
𝑀 𝑚𝑠 𝑟Si el satélite tiene una energía (-) quiere decir que el satélite está ligado al planeta. Si la Eor = 0 sale fuera de la órbita describiendo una parábola, y si la Eor > 0 sale fuera del campo describiendo una hipérbola.
Por último se denomina satélite geoestacionario al satélite que se encuentra siempre sobre el mismo punto de la superficie terrestre, por lo que su periodo coincide con el de la Tierra, es decir, 24 horas.
El radio de su órbita se calcula:
Fg = Fc ; G 𝑀 𝑚 𝑟2 = m 𝑣2 𝑟 ; G 𝑀 𝑚 𝑟2 = m ω 2 r2 = m 4𝜋𝑇22 . r2 ; r3 = 𝐺 𝑀 𝑇 2 4𝜋2 Implica r =
√
𝐺 𝑀 𝑇 2 4𝜋2 3y sustituyendo valores queda que r = 42233 km Luego la altura a la que se encuentra la órbita es:
r = h – R implica h = r – R = 42233 – 6370 = 35863 km 11. .Teorías sobre el origen del Universo y su evolución
En 1929 el astrónomo norteamericano Edwin Hubble observó la existencia de otras muchas galaxias en el Universo además de la Vía Láctea, y al analizar su luz, descubrió que se alejaban unas de otras a una velocidad que era proporcional a la distancia que las separaba según la fórmula:
V = H . d donde H = 2,32 . 10-8 s-1 (parámetro de Hubble)
Como consecuencia de este descubrimiento, el modelo heliocéntrico de Copérnico deja de tener sentido, ya que aunque el Sol sigue siendo el centro de nuestro sistema
planetario, este, forma parte de una galaxia (Vía Láctea) que a su vez es una más de las muchas que existen en el Universo.
Luego si las galaxias se alejan, hace millones de años tuvierón que estar más cerca. En 1950 un ruso George Gamov plantea la teoría del Big-Bang, según la cual hace
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aproximadamente 13700 millones de años, se produjo una gran explosión ocurrida en unUniverso dimensiones inferiores a un átomo, con una gran densidad y a una altísima temperatura (109 K). Al expandirse el Universo, se fue enfriando, las partículas
(electrones, neutrinos, fotones y algunos neutrones y protones) comenzaron a moverse más lentamente y la interacción fuerte pudo unir protones y neutrones formando núcleos, al enfriarse más, la interacción electromagnética formó átomos muy ligeros (H y He) que al condensarse formaron un polvo interestelar que por efecto de la interacción gravitatoria comenzó a atraerse, concentrarse, aumentando su densidad y temperatura que propiciaron reacciones de fusión nuclear que originaron las primeras estrellas. La parte de materia que estaba a una distancia media no fue atraida por la estrella, se aglutinó, y formó los planetas.
Gamov también predijo que como consecuencia de la gran explosión debería observarse en el universo una radiación de fondo de microondas, lo que fue confirmado
experimentalmente por Arno Penzias y Robert Wilson.
El tiempo transcurrido desde el Big-Bang hasta nuestros días lo podemos calcular por la separación entre dos galaxias:
t = 𝐻 𝑑 = 𝐻 .𝑑𝑑 = 𝐻1 = 12,32 .10-18 s-1 = 1,36 .1010 años = 13700 millones de años.
