Introducción y conceptos básicos

(1)

Tema 1

Introducci´

on y conceptos b´

asicos

1.1 Introducci´

on a la asignatura

Estamos familiarizados con ecuaciones donde las inc´ognitas son n´umeros x; por ejemplo ecuaciones de segundo grado como x2_{− 3x + 4 = 0 , ecuaciones que, posiblemente, no se sepan resolver}

(aunque s´ı se conozcan métodos numéricos para aproximar las soluciones) como x + sen(x) = 1 o con sistemas de ecuaciones lineales, donde las incógnitas: x, y, z, . . . son n´umeros; por ejemplo:

       x + y + z = 11 2x ₋ y + 3z = 5 −3x + 2y + 2z = 22

En la Matemática y sus aplicaciones: F´ısica, Ingenier´ıa, Econom´ıa, Biolog´ıa, . . . aparecen modelos matemáticos que vienen dados por ecuaciones donde las incógnitas no son números sino

funciones reales de una o varias variables reales. A este tipo de ecuaciones se les llaman “Ecuaciones Funcionales.” As´ı si notamos por x : I_{→ R, t #→ x(t) una funci´on de una sola variable t ∈ I, donde} I es un intervalo en _{R, las dos siguientes ecuaciones:}

x(t) + sen(x(t)) = 13, x3(t)_{− arctan(x(t)) − t}2+ 1 = 0

son ecuaciones funcionales, donde la inc´ognita es x : I _{→ R. Se trata de estudiar y encontrar, si es} posible, funciones x que verifiquen la ecuaci´on dada en cada punto t del intervalo I.

La notación x(t) obedece a la costumbre de notar por x a la incógnita y porque en muchos problemas que surgen en la F´ısica, Biolog´ıa y otras disciplinas la variable independiente es el tiempo, que se suele representar por t. Otras notaciones que se suelen usar para indicar la función incógnita son y(t) o y(x), aunque la variedad de notaciones es enorme. Si trabajamos con dos o tres funciones incógnitas de una ´unica variable pueden ser adecuadas las notaciones x(t), y(t) o

x(t), y(t), z(t), respectivamente, para las funciones inc´ognitas, de forma an´aloga a como se considera

en un sistema lineal, como el citado anteriormente. Estamos considerando el caso m´as simple: el de funciones de una sola variable; obviamente, al tratar funciones de varias variables la variedad de notaciones es a´un mayor.

Siguiendo con el caso más simple, si la función t_{#→ x(t) representa un fenómeno (proceso f´ısico} o de la naturaleza) que se comporta con gran “suavidad” tal función va a ser al menos una vez

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derivable y en la ecuaci´on funcional podr´ıa aparecer una o m´as funciones derivadas: x!, x!!, .... de la

función incógnita. Si, por contra, el fenómeno no es tan suave puede aparecer la función incógnita bajo el signo integral.

Una ecuación integral es una ecuación funcional donde, aparte de la función incógnita x y la

variable independiente t, aparece x bajo el signo integral. V´eanse los siguientes cuatro ejemplos:

x(t) + % t 0 x(s) ds = 1, t_{∈ R} % t 1 log(1 + s2)x(s) ds = (t_{− 1) e}t, t_{≥ 1} tx2(t) + % t 0 cos(s + x(s)) ds = 0, t∈ R x(t)− % π 0 sen(t + s)x(s) ds = cos t, t∈ [0, π].

Una ecuación diferencial es una ecuación funcional donde, aparte de la función incógnita x y

la variable independiente t, aparece al menos una derivada de la función incógnita. A continuación escribimos ocho ejemplos donde la función incógnita es de una sola variable y aparece hasta la tercera derivada. Se aprovecha para ir escribiendo cada ecuación en una forma reducida (abreviada) que es muy usual en los textos sobre ecuaciones diferenciales.

Ecuaci´on diferencial Expresi´on abreviada

x!(t) = t sen t x! = t sen t (1.1) x!(t) + t2x(t) = 1 x!+ t2x = 1 (1.2) x!(t) =− x 2_(t) 2tx(t) + 1 x ! ₌₋ x2 2tx + 1 (1.3) x!(t) = sen(t + x(t)) x! = sen(t + x) (1.4) cos(x!(t)_{− x(t)) + tx}!(t) + ex(t)_{− t}3= 0 cos(x!_{− x) + tx}!+ ex_{− t}3= 0 (1.5) x!!(t) + tx(t) = 0 x!!+ tx = 0 (1.6) xx!!= (x!)2 xx!! = (x!)2 (1.7) x!!!(t)_{− t sen x}!(t) + 2x(t) = t2 x!!!_{− t sen x}!+ 2x = t2 (1.8)

El orden de una ecuaci´on diferencial es el orden de la mayor derivada que aparece en la ecuaci´on.

Repasando los ejemplos anteriores, vemos que en los cinco primeros aparecen ecuaciones diferen-ciales de primer orden; en los ejemplos (1.6) y (1.7) las ecuaciones son de segundo orden y (1.8) es una ecuaci´on diferencial de tercer orden. Obs´ervese que en (1.6) aparece la segunda derivada pero no la primera.

En los ejemplos anteriores las funciones incógnitas son funciones reales de una sola variable real. Cuando esto sucede se dice que la ecuación diferencial es ordinaria (EDO); sin embargo, si la función incógnita tiene más de una variable, la ecuación diferencial se dice que es una ecuación en derivadas parciales (EDP). En éstas aparecen usualmente derivadas parciales (y no cualquier

derivada direccional).

Damos a continuación tres ejemplos muy interesantes de EDPs; en cada caso la ecuación es de segundo orden (las EDPs más importantes son las de segundo orden).

1. Ecuaci´on de Laplace: ∂ 2_x

∂t2(t, s) + ∂2_x

∂s2(t, s) = 0.

Aqu´ı representamor por (t, s)_{→ x(t, s) a la función incógnita. El llamado laplaciano de la} función x es _{&x =} ∂_∂t2x2 + ∂

2_x

∂s2. Las soluciones de la ecuaci´on de Laplace son las llamadas funciones arm´onicas.

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1.1. Introducci´on a la asignatura 3

2. La ecuaci´on del calor : ∂T

∂t(x, t)− C 2∂2T

∂x2(x, t) = 0.

Aqu´ı representamor por (x, t)→ T (x, t) a la funci´on inc´ognita. Si tenemos una barra sometida

a una fuente de calor, T (x, t) indica la temperatura en un punto x de la barra en el instante

t y C es una constante que depende del material con el que est´a fabricada la barra (podemos

considerar los puntos x de la barra como puntos x∈ R).

3. La ecuaci´on de ondas tridimensional de la f´ısica matem´atica: ∂ 2_u ∂t2 − ∂2_u ∂x2 − ∂2_u ∂y2 − ∂2_u ∂z2 = 0.

Se ha representado a la funci´on inc´ognita mediante (x, y, z, t) _{→ u(x, y, z, t). Aqu´ı (x, y, z)} representa un punto del espacioR3 y t el tiempo.

Es posible que en una ecuación funcional aparezca tanto una derivada de la función incógnita como ésta bajo el signo integral (por suerte, esto se da muy poco); tendr´ıamos as´ı una ecuación integro-diferencial, por ejemplo:

x!(t) + % t

0

x2(s) ds− 3tx(t) = sen t.

En todos los ejemplos vistos anteriormente hemos considerado una ecuación con una función incógnita, pero en muchos problemas de gran interés aparecen más de una función incógnita, todas ellas relacionadas entre s´ı, dando lugar a un sistema de ecuaciones diferenciales. Escribimos a continuación dos ejemplos de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, de los más simples que nos podemos encontrar. Ambos son de primer orden porque solo aparecen las primeras derivadas de las funciones incógnitas, que representamos por x(t), y(t) en el primer caso y por x(t), y(t), z(t) en el segundo. & x!(t) = tx(t) ₋ y(t) y!(t) = 2x(t) + 3y(t) + t2        x!(t) = x(t) + y(t) + z(t) y!(t) = −2x(t) + 3z(t) − t z!(t) = ty(t) ₋ x(t) + 1

En este curso (Ecuaciones Diferenciales I ) ´unicamente vamos a tratar ecuaciones diferenciales

ordinarias y algo de sistemas diferenciales ordinarios de primer orden; lo mismo que se tratar´a

en el curso Ecuaciones Diferenciales II, pero este primer curso se concibe con un carácter más práctico (no exento de rigor) que el segundo. Dividimos la asignatura en dos partes. La primera está dedicada a las EDOs de primer orden. Los temas 2, 3, 4 y 5 son más prácticos y se dedican a ciertos tipos de ecuaciones, muy importantes, y el tema 6 es más general y teórico y está en la l´ınea de lo que se estudiará en el segundo curso de EDOs. La segunda parte está dedicada a las

ecuaciones de orden superior y sistemas de primer orden, destacando de forma especial el tema 8,

relativo a ecuaciones lineales de segundo orden.

En lo que sigue en este tema, vamos a tratar únicamente ecuaciones diferenciales de primer orden, por lo que puede considerarse como una introducción a la primera parte de la asignatura. En ella vamos a tratar conceptos básicos y llevaremos a cabo ciertas consideraciones de interés sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

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1.2 Definiciones

La forma general de una ecuaci´on diferencial ordinaria de primer orden es

(1.9) F (t, x(t), x!(t)) = 0,

donde F representa una funci´on de tres variables definidas en cierta regi´on A de_R3_{y donde t}_{#→ x(t)}

representa la funci´on inc´ognita. Por ejemplo:

(1.10) t2x!(t) + sen(t + x(t))− 1 = 0.

Aqu´ı la funci´on F : R3 → R est´a definida por F (t, x, y) = t2_{y + sen(t + x)}_{− 1. Una forma abreviada}

de escribir la ecuaci´on diferencial es F (t, x, x!) = 0. As´ı, en nuestro ejemplo, podemos escribir abreviadamente la ecuaci´on como t2_x!_{+ sen(t + x)}_{− 1 = 0.}

Una solución de la ecuación (1.9) es una función x : I _{→ R, donde I es un intervalo (no} degene-rado) en R, que verifica:

i) x es derivable en I,

ii) (t, x(t), x!(t))_{∈ A para cada t ∈ I,} iii) F (t, x(t), x!(t)) = 0 para cada t∈ I.

En este caso, también se dice que x es una solución de la ecuación (1.9) en el intervalo I o que x es solución de

F (t, x(t), x!(t)) = 0, t_{∈ I.}

Si I no es un intervalo abierto las derivadas en los extremos de I se entienden en el sentido lateral (derivada por la izquierda o por la derecha). El suponer que el dominio de una solución es un intervalo y no cualquier subconjunto deR es para que sucedan cosas razonables; ya incidiremos en esta cuestión. Por ejemplo, ¿cuáles ser´ıan las soluciones de la ecuación diferencial más simple que se pueda dar: x!(t) = 0 ? Podr´ıamos pensar que todas las funciones constantes, pero esto no es cierto si suponemos que las soluciones puedan estar definidas en conjuntos que no sean intervalos. Una EDO como (1.9) se dice que está escrita en forma impl´ıcita. Si la primera derivada x!(t) aparece despejada o se puede despejar sin restricciones, tendremos una ecuación del tipo

(1.11) x!(t) = f (t, x(t)),

donde la función f estará definida en una región D del plano R2 (generalmente conexa). Dire-mos que esta ecuación está escrita en forma expl´ıcita o normal. De forma abreviada escribiDire-mos

x! = f (t, x).

Parece lógico que definamos como solución de la ecuación (1.11) una función x : I _{→ R, donde}

I es un intervalo (no degenerado) en R, que verifica:

i) x es derivable en I,

ii) (t, x(t))_{∈ D para cada t ∈ I,} iii) x!(t) = f (t, x(t)) para cada t_{∈ I.}

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1.3. Sobre los intervalos de definiciones de las soluciones 5

También se dice que x es una solución de la ecuación (1.11) en el intervalo I o que x es solución de

x!(t) = f (t, x(t)), t∈ I.

La ecuaci´on x!(t) = cos(t−x(t)), escrita en forma abreviada como x! _{= cos(t}_{−x), es una ecuaci´on}

que ya viene dada de forma expl´ıcita. Aqu´ı f : R2 _{→ R está definida por f(t, x) = cos(t − x). Las} ecuaciones (1.1), (1.2), (1.3) y (1.4), vistas en la sección anterior, son también expl´ıcitas.

En el ejemplo (1.10), la ecuaci´on es propiamente ´ımplicita pues, en general, no podemos despejar la derivada x!a no ser que se pretenda estudiar soluciones definidas en intervalos I que no contengan a t = 0; en este caso la ecuaci´on se puede escribir, de forma equivalente, como

x!(t) = 1

t2

'

1− sen(t + x(t))(.

En este caso, tenemos f : D_{→ R definida por f(t, x) =} _t12

'

1_{− sen(t + x)}(, donde D = (0,_{∞) × R}

o bien D = (−∞, 0) × R,

La ecuaci´on

(x!(t))2+ 5t2x!(t)_{− 2x}2(t) = 0 es impl´ıcita, pero de ella se pueden extraer dos ecuaciones expl´ıcitas:

x!(t) = 1 2 ) − 5t2+*25t4_{+ 8x}2_(t)+_, _x!_{(t) =}₋1 2 ) 5t2+*25t4_{+ 8x}2_(t)+_.

Si embargo, la ecuaci´on (1.5) es propiamente impl´ıcita pues en ella no vemos la forma de despejar la derivada x!.

La teor´ıa de las ecuaciones propiamente impl´ıcitas está poco estudiada y es muy distinta, y menos gratificante, que la de las expl´ıcitas. La teor´ıa que se desarrolla en este curso y posteriores trata sobre las ecuaciones expl´ıcitas, si bien en ciertos casos (véanse temas 3, 5 y 8) también manejaremos ciertas ecuaciones impl´ıcitas, por razones que, en su momento, indicaremos.

1.3 Sobre los intervalos de definiciones de las soluciones

Es evidente que si x es solución de la ecuación diferencial (1.11) en un intervalo I, también es solución en cualquier intervalo J _{⊂ I, pero no tiene porqué suceder que sea solución en un intervalo}

J ! I (entre otras cosas puede suceder que x no est´e definida en J). Lo m´as interesante es obtener

soluciones x : I _{→ R en las que, en cada caso, el intervalo I sea el m´as grande posible (intervalos}

maximales). Estas son las llamadas soluciones maximales. En esta asignatura no vamos a entrar

en la teor´ıa de las soluciones maximales (se ve en la asignatura EDO II), si bien en ciertos casos especiales incidiremos en este concepto.

Para una misma ecuación diferencial los intervalos maximales pueden variar mucho de una solución a otra. Véase el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1.1. Ecuaci´on diferencial x!(t) = 2tx2(t).

Podr´ıamos creer que una simple ecuaci´on como la anterior debe tener todas sus soluciones maxi-males definidas en_{R, pero no es as´ı. Basta con comprobar que las siguientes funciones x: I → R,}

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definidas de la siguiente forma, son soluciones v´alidas en los intervalos I indicados:

x(t) = 0 I =_R

x(t) = −1

t2 I = (−∞, 0), I = (0, ∞)

x(t) = ₁_−t12 I = (−∞, −1), I = (−1, 1), I = (1, ∞).

Los intervalos indicados son maximales; al menos, está claro que las expresiones de las soluciones no tienen sentido en intervalos mayores. La cuestión queda más clara si esbozamos sus gráficas (véase figura 1.1). x!t" ! 0 x!t" ! "1 t2 x!t" ! " 1 t2 x!t" ! 1 1 " t2 x!t" ! 1 1 " t2 x!t" ! 1 1 " t2 "2 "1 1 2 1

Figura 1.1: Gr´aficas de algunas soluciones de x! = 2tx2_.

Obsérvese que, directamente, de la misma ecuación diferencial se puede obtener información sobre el comportamiento de cualquier solución, comportamiento que se puede contrastar con lo obtenido anteriormente. En efecto, si x : I → R es solución de x!_{(t) = 2tx}2_{(t) e I} _{⊂ (−∞, 0],}

entonces x!(t) _{≤ 0 para cada t ∈ I y as´ı x es decreciente en I. De la misma forma, si I ⊂} [0,_{∞) es x}!(t) _{≥ 0 para cada t ∈ I y, por tanto, x es creciente en I. Esto es algo que se puede} intentar comprobar con cualquier ecuación diferencial (1.11). As´ı, podemos afirmar que todas las soluciones de la ecuación x! = x2 son funciones crecientes en sus intervalos de definición, aunque no conozcamos, de momento, sus soluciones. Las ecuaciones x! = 2tx2 y x! = x2 serán estudiadas en el tema 3 (ecuaciones de variables separables).

Hay veces (sucede en pocas ocasiones) en que la expresión x(t) de una solución de una ecuación diferencial tiene sentido en todos los puntos t de cierto intervalo I y, sin embargo, la función x no es solución de la ecuación en todo el intervalo I. Consideramos el siguiente caso:

Ejemplo 1.2. Ecuaci´on diferencial x!_{= 2}_{| x |}1/2 .

Podemos comprobar que la funci´on x :_{R → R definida por x(t) = t}2 _{es ´}_{unicamente soluci´on de}

la ecuaci´on diferencial en el intervalo I = [0,∞) ya que 2*| x(t) | = 2t si, y s´olo si, t ≥ 0. La propia

ecuación diferencial nos indica que todas sus soluciones han de ser crecientes y véase que x(t) = t2 sólo es creciente en el intervalo I = [0,_∞).

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1.4. Sobre la existencia de soluciones 7

soluci´on x : R → R definida por x(t) = &

0 si t_{≤ 0}

t2 si t > 0, ya que la función as´ı definida es derivable en todo punto. Esta solución ser´ıa una prolongación de la solución x : [0,_{∞) → R, t #→ x(t) = t}2_.

Por tanto, esta ´ultima no ser´ıa una soluci´on maximal.

x!t" ! 0 x!t"!t2 "3 "2 "1 1 2 3 2 4 6 8

1.4 Sobre la existencia de soluciones

En condiciones muy generales una EDO de primer orden expl´ıcita (1.11) suele tener infinitas solu-ciones. En la asignatura Ecuaciones Diferenciales II se probará (la prueba es complicada) que esto sucede con tal que la función f sea continua en la región D. Esto es algo que iremos comprobando

en las distintas ecuaciones que veremos a lo largo de este curso pero ahora vamos a empezar a convencernos de esta afirmaci´on tratando dos tipos de ecuaciones muy simples. Posteriormente, compararemos los resultados obtenidos con dos ejemplos de ecuaciones propiamente impl´ıcitas, para que apreciemos que los comportamientos de las ecuaciones expl´ıcitas e impl´ıcitas son muy distintos.

Ejemplo 1.3. Ecuaciones x!(t) = g(t), donde g : I → R es una funci´on conocida.

Por ejemplo, x!(t) = t sen t.

En este caso, decir que x : I → R es soluci´on de x!_{(t) = g(t) equivale a decir que x es una}

primitiva de la funci´on g en I ¿Existen tales primitivas? Supongamos que I es un intervalo (no

degenerado) en_{R. Si g es continua en I, el primer teorema fundamental del cálculo, asegura que g} posee primitivas en I; de hecho, posee infinitas y dos de ellas sólo se diferencian en una constante (en esto ´ultimo es fundamental que I sea un intervalo). Concretamente, fijado cualquier t₀ _{∈ I, la} función

G : I _{−→ R} definida por G(t) =

% t t₀

g(s) ds

es una primitiva de g en I y las funciones t#→ G(t) + C, C ∈ R, son las ´unicas primitivas de g en I. As´ı, siendo g continua en I, la ecuaci´on diferencial posee infinitas soluciones en el intervalo I,

que s´olo se diferencian en constantes. Si notamos por, g(t) dt una primitiva de g en I, el conjunto

de soluciones de la ecuaci´on, v´alidas en el intervalo I, son las funciones x_C definidas por

x_C(t) =,g(t) dt + C, siendo C cualquier n´umero real.

As´ı, por ejemplo, las soluciones de la ecuaci´on x!(t) = t, v´alidas en R, son las funciones definidas por x_C(t) = 1₂t2+ C, donde C _{∈ R.}

Obs´ervese la importancia de que I sea un intervalo en todo lo visto anteriormente.

¿Que sucede si g no es continua en I? La respuesta no es evidente. Sin asumir que la funci´on

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g :R −→ R definida por g(t) =

&

0 si t_{≤ 0} 1 si t > 0

no es continua en t = 0. De suponer que la ecuación x!(t) = g(t) posee una solución x en el intervalo R o en algún intervalo que contenga al 0 en el interior, llegamos al absurdo de que la derivada por la izquierda de x en el punto 0 es distinta de la derivada por la derecha, contradiciendo la derivabilidad de x en ese punto. En efecto, si t < 0 ser´ıa x!(t) = 0 y, puesto que existe, lim_t_→0−x!(t) = 0, entonces

se verifica x!

−(0) = limt→0−x!(t) = 0. Razonando de forma an´aloga para t > 0 se obtiene x!₊(0) = 1.

(Evidentemente, en un intervalo I ⊂ (−∞, 0] o I ⊂ (0, ∞) la ecuaci´on diferencial s´ı tendr´ıa soluci´on

pues ah´ı g es continua).

Durante mucho tiempo se pensó que las funciones continuas eran las únicas funciones que verifican la propiedad de los valores intermedios. Pero esto no es cierto, pues hay funciones que no son continuas y que poseen tal propiedad. Concretamente, sabemos que hay funciones derivables en un intervalo, cuya función derivada no es continua en ese intervalo. Pues bien, las funciones derivadas siempre verifican la propiedad de los valores intermedios (en un intervalo). Este es lo que afirma el siguiente resultado:

Teorema 1.1 (Teorema de Darboux). Si I es un intervalo (no degenerado) deR y f : I → R es

una funci´on derivable en I, la funci´on derivada f!: I _{→ R posee la propiedad de los valores}

inter-medios en el intervalo I; es decir, si a y b son dos puntos de I, tales que a < b y f₊! (a) < f₋! (b),

entonces, dado cualquier n´umero real λ tal que f₊! (a) < λ<f ₋!(b), existe c ∈ (a, b) tal que f!(c) = λ.

Observaciones: Escribimos la derivada por la derecha f₊! (a) y la derivada por la izquierda f₋! (b) pues podr´ıa darse el caso de que a o b (o ambos) fuesen extremos del intervalo, por ejemplo, I = [a, b]. En el enunciado del teorema, suponemos, sin p´erdida de generalidad, que f₊! (a) < f₋! (b), pero, de forma an´aloga, obtendr´ıamos el mismo resultado cuando f₊! (a) > f₋!(b) y f₊! (b) < λ < f₋! (a).

Prueba. Definimos g : I _{→ R por g(x) = f(x) − λx. Esta funci´on es derivable en I, y g}!(x) =

f!(x)_{− λ para todo x ∈ I. Obs´ervese que la hip´otesis f}₊! (a) < λ < f₋! (b) nos dice que g!₊(a) < 0 y que g₋! (b) > 0.

La función g es continua en [a, b]. Cualquier función continua sobre un intervalo compacto (cerrado y acotado) alcanza en algún punto del intervalo un valor m´ınimo absoluto. Sea, por tanto,

c un punto en [a, b] tal que g(x)_{≥ g(c) para cada x ∈ [a, b]. Veamos que c += a y c += b. De manera}

intuitiva esto se ve pues g₊! (a) < 0 implica que g decrece estrictamente en un peque˜no intervalo a la derecha de a y la condici´on g!₋(b) > 0 implica que g crece estrictamente en un peque˜no intervalo a la izquierda de b. En efecto, si fuese c = a, para todo h > 0 “suficientemente peque˜no”,

g(a + h)≥ g(a) =⇒ g(a + h) − g(a) ≥ 0 =⇒ g(a + h)− g(a)

h ≥ 0,

y, tomando l´ımite cuando h_{→ 0}+_{, se obtiene que g}!_(a)_{≥ 0, lo que es una contradicci´on. De forma}

an´aloga se comprueba que c+= b.

Por tanto, se verifica que c es un punto interior de (a, b). Como g alcanza en c un extremo y g es derivable en c, se tiene que c es un punto cr´ıtico para g; es decir, g!(c) = 0 (teorema del extremo interior). Por tanto, f!(c) = λ.

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1.4. Sobre la existencia de soluciones 9

propiedad de los valores intermedios en el intervalo I, la ecuaci´on diferencial x!(t) = g(t) no tiene

soluci´on en el intervalo I.

Esto nos confirma lo visto en el ejemplo anterior al teorema y, de paso, nos sirve para dar un

ejemplo de una EDO expl´ıcita de primer orden sin soluciones, concretamente: x!(t) = g(t), donde g(t) =

&

1 si t_{∈ Q}

−1 si t /∈ Q.

Obs´ervese que en cualquier intervalo I (no degenerado), por peque˜no que sea, siempre hay racionales e irracionales y, as´ı, hay un punto donde g toma el valor_{−1 y otro donde toma el valor 1, pero no} existe un punto intermedio donde tome el valor 0. Por tanto, g no posee la propiedad de los valores intermedios en I.

Hemos visto que la condici´on de continuidad sobre g ha sido determinante para asegurar

exis-tencia de soluciones (de hecho, infinitas). Obs´ervese que este caso es un caso particular de EDO de primer orden expl´ıcita x!(t) = f (t, x(t)), donde f : I× R → R viene definida por f(t, x) = g(t)

y la continuidad de g sobre I equivale a la continuidad de f sobre D = I_{× R.}

Ejemplo 1.4. El modelo malthusiano

La dinámica de poblaciones constituye un ejemplo muy interesante de aplicación de las ecua-ciones diferenciales. Consideremos una población aislada, que puede estar formada por personas, animales o puede ser una colonia de bacterias. Evidentemente, el número de individuos de esta población var´ıa en función del tiempo. Supongamos que x(t) indica el n´umero de individuos de la población en un instante de tiempo t. Lógicamente x(t) es una variable entera (x(t)_{∈ N) pero} si queremos usar los potentes métodos del cálculo diferencial debemos suponer que x(t) es una variable real 1 (x(t) ∈ R), de forma que, si I es un intervalo de tiempo, tenemos una función x : I _{→ R, t #→ x(t) que nos da la evolución de la población en ese intervalo de tiempo.}

Si t _{∈ I y h > 0 es tal que t + h ∈ I, la diferencia x(t + h) − x(t) nos da la variación de la} población en el intervalo de tiempo [t, t + h]. Lo más correcto es medir la variación de la población por unidad de tiempo y considerar el cociente:

x(t + h)− x(t) h

(no es lo mismo que una población aumente en 1.000 individuos en un mes que en 10 años). Esto representa una velocidad de la variación de la población respecto del tiempo. En este contexto se usan más los términos tasa o ritmo que el término velocidad (una tasa es la relación entre dos magnitudes; usualmente la segunda magnitud es el tiempo).

Cuando la funci´on x es derivable en el punto t, la derivada x!(t), que coincide con lim

h→0+

x(t + h)_{− x(t)}

h ,

representa la velocidad (tasa/ ritmo) instantánea de la variación de la población en el instante t. Si queremos usar el cálculo diferencial para estudiar la población debemos suponer que la función

x es derivable en I, es decir, que la poblaci´on var´ıa respecto del tiempo de forma suave.

1_{Se pueden encontrar diversas justificaciones a ese paso de una variable discreta a una continua. As´ı, para ciertas}

poblaciones, una justificaci´on biol´ogica consiste en entender que x(t) representa la biomasa de la poblaci´on, que es

una magnitud continua, aún en el caso en que la observación realizada se trate de un recuento o una estimación del

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El modelo de población más antiguo y usado durante cierto tiempo fue el modelo malthusiano (Malthus, 1798). El modelo malthusiano establece que el ritmo (velocidad) de variación de una población en un instante t es directamente proporcional al número de individuos que hay en ese instante. Matemáticamente, el modelo malthusiano nos dice que existe una constante r tal que

x!(t) = r x(t) para cada t∈ I.

Generalmente la constante r no es nula (salvo que la población se mantenga constante) y el que r sea positiva o negativa (casos que se corresponden con que la población crezca o decrezca respec-tivamente) dependerá de si la natalidad es superior o inferior a la mortandad.

La ecuación diferencial resultante x!(t) = r x(t) es muy simple pero no es del tipo estudiado en el apartado anterior (x!(t) = g(t)). Es un caso particular de un tipo de ecuaciones que estudiaremos en el próximo tema. No obstante, podemos aqu´ı, sin más herramientas, estudiar las soluciones de esta ecuación.

Obsérvese que, en este caso, la ecuación es de la forma x!(t) = f (t, x(t)), donde f :_R2 _{→ R está} definida por f (t, x) = rx. Obviamente, f es continua enR2.

Es evidente que nuestra ecuaci´on posee infinitas soluciones, ya que para cada constante C ∈ R

la función definida por x_C(t) = Cert es solución de la ecuación diferencial, válida en el intervalo

I =R. Vamos a comprobar que estas son las ´unicas soluciones.

En efecto, supongamos que x : I _{→ R es una soluci´on y consideramos la funci´on definida por}

y(t) = x(t)e−rt. La funci´on y es derivable en I y verifica y!(t) = x!(t)e−rt_{− rx(t)e}−rt= 0 para cada

t∈ I. Al ser la derivada nula e I un intervalo, la funci´on y ha de ser constante en I. Por tanto,

debe existir C _{∈ R tal que y(t) = C para cada t ∈ I, lo cual confirma que x(t) = Ce}rt para cada

t_{∈ I.}

Obsérvese que, de la misma forma que en el caso anterior, el conjunto de soluciones viene dado por una familia de funciones que dependen de un parámetro C ∈ R (familia uniparamétrica de

soluciones). Es usual decir que x(t) = Cert _{es la soluci´}_{on general de la ecuaci´on diferencial.}

Se ha comprobado que el modelo malthusiano sólo resulta adecuado para predicciones a corto plazo pues este modelo supone un crecimiento ilimitado (de tipo exponencial) de la población (cuando r > 0), lo cual no es realista, pero funciona bien con cierto tipo de colonias de bacterias. En el apéndice del tema 3 se estudiará un modelo de población más realista y adecuado para muchos casos. La simple ecuación x!(t) = rx(t) también sirve para modelizar otros problemas de interés.

Vistos los dos ejemplos anteriores, donde, en cada caso, la funci´on f es continua y la ecuaci´on tienen infinitas soluciones, volvemos a insistir en la gran diferencia entre la teor´ıa de EDOs expl´ıcitas e impl´ıcitas. Si, en condiciones muy generales, las EDOs expl´ıcitas poseen infinitas soluciones, no sucede lo mismo con las ecuaciones propiamente impl´ıcitas. Esto se puede comprobar inmediata-mente con los dos simples ejemplos siguientes:

(x!)2+ x2 =₋₁ y (x!)2+ x2= 0.

La primera ecuación no tiene soluciones y la segunda sólo tiene una solución: la función nula. Sin embargo, ambas ecuaciones son de la forma F (t, x(t), x!(t)) = 0, donde F :R3 → R es continua en

R3

(11)

1.5. Problemas de Cauchy o de valores iniciales 11

1.5 Problemas de Cauchy o de valores iniciales

Podr´ıamos creer que el objetivo principal que debemos plantear a la hora de estudiar una ecuación diferencial es la búsqueda de todas sus soluciones. Sin embargo, lo que hace importantes a las ecuaciones diferenciales es su aplicabilidad a las ciencias experimentales y generalmente ningún fenómeno queda totalmente descrito mediante una ecuación diferencial. La descripción debe com-pletarse a partir de adecuadas condiciones adicionales.

En el estudio de un fenómeno o proceso f´ısico se espera, desde un punto de vista determinista, que, con el conocimiento del estado inicial del sistema (condición inicial ), la ecuación diferencial

(que se supone que refleja apropiadamente la ley que gobierna el proceso) permita predecir, de manera inequ´ıvoca su evolución. Por ejemplo, en el caso del modelo de población malthusiano, visto en la sección anterior, uno espera que la evolución de la población quede determinado si conocemos la población en un instante inicial. Más generalmente, si el fenómeno considerado es de tipo temporal (es decir, la variable t representa al tiempo) lo que suele hacerse es fijar de antemano el valor de la solución en un instante inicial t₀. Esto nos lleva a considerar un tipo de problema donde aparece una ecuación diferencial x! = f (t, x) acompa˜nada de una condición del tipo x(t₀) = x₀. Un problema como (P ) : & x!(t) = f (t, x(t)) x(t0) = x0

se conoce como problema de valor inicial o problema de Cauchy. Una solución del problema (P) es una solución x : I → R de la ecuación diferencial que verifica la condición inicial x(t0) = x0 (esto

lleva impl´ıcito que t₀ _{∈ I). Otra forma de expresar esto es diciendo que x es soluci´on del problema} (P ) en el intervalo I o que x es soluci´on de

&

x!(t) = f (t, x(t)), t∈ I x(t₀) = x₀

Cabe esperar, por lo comentado anteriormente, que un problema de Cauchy posea solución única en un determinado intervalo I (existencia y unicidad ). Esto sucede en determinadas condiciones muy generales (poco restrictivas), pero no siempre se verifica. Veamos a continuación algunos ejemplos que ilustren lo que afirmamos. En los dos primeros consideramos ecuaciones diferenciales tratadas en la sección anterior.

Ejemplo 1.5. Problema de poblaci´on (P ) :

&

x!(t) = rx(t)

x(t₀) = x₀

Siguiendo el modelo malthusiano sobre población, la ecuación diferencial que se usa para estudiar la evolución de la población es x!(t) = rx(t), pero observemos que tal evolución no queda totalmente descrita mediante la ecuación diferencial pues hemos obtenido una familia infinita (uniparámetrica) de soluciones; concretamente, para cada C_{∈ R hemos obtenido la solución x}_C definida por x_C(t) =

Cert (no hay más soluciones). Ahora bien, únicamente hay una solución que verifique la condición inicial x(t₀) = x₀ ya que la imposición de tal condición nos lleva a que C = x₀er(t−t0). Por tanto,

el problema (P ) posee una única solución definida en R, que es la función definida por x(t) = x0e

r(t−t0).

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Ejemplo 1.6. Problema (P ) : &

x!(t) = g(t)

x(t0) = x0

, donde g : I → R es continua en el intervalo I.

Hemos visto que si ,g(t) dt una primitiva de g en I, el conjunto de soluciones de la ecuaci´on

diferencial x!(t) = g(t), v´alidas en el intervalo I, son las funciones definidas por x_C(t) =,g(t) dt+C,

siendo C cualquier n´umero real. En este caso es conveniente tomar como primitiva de g la funci´on definida por G(t) =,_tt

0g(s) ds, ya que G(t0) = 0 y, as´ı, las soluciones vienen dadas por x_C(t) =,_tt

0 g(s) ds + C, C ∈ R.

Evidentemente sólo hay una función de las anteriores que verifica la condición inicial x_C(t₀) = x₀, la correspondiente a C = x0. Por tanto, el problema (P ) posee una única solución definida en I,

que es la funci´on definida por

x(t) = x₀ +,_tt 0g(s) ds. Ejemplo 1.7. (P ) : & x! = 3 x2/3 x(0) = 0

Es evidente que la funci´on nula es soluci´on de (P ) en el intervalo R. Se comprueba de forma

inmediata que la función definida por x(t) = t3 también es solución de (P ) en R. A partir de las dos anteriores podemos definir otras soluciones de (P ) como

x(t) = & 0 si t_{≤ 0} t3 si t > 0 y x(t) = & t3 _{si t}_{≤ 0} 0 si t > 0. x!t"!t3 x!t"!t3 x!t" ! 0 !0, 0" x!t" ! 0

De hecho, en cada intervalo que contenga al 0 en su interior, hay definidas infinitas soluciones para el problema (P), entre las que se encuentran las cuatro anteriores (v´ease el tema 3). Tenemos as´ı un caso de problema de Cauchy sin unicidad de soluci´on.

En el tema 6 veremos que, en condiciones muy generales, un problema de valor inicial (P ) posee una única solución en alg´un intervalo I. Para esto es suficiente con cierta regularidad de la función

f ; de hecho, basta con que sea f de clase uno en cierta regi´on. Obs´ervese que en el ejemplo 1.7,

donde no hay unicidad, la funci´on f : R2 _{→ R definida por f(t, x) = 3x}2/3_{no posee derivada parcial}

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Ejercicios propuestos 13

Comentarios finales: Finalizamos esta introducci´on con algunas advertencias y un adelanto de lo que vamos a ver en los pr´oximos temas.

• No existe un m´etodo general para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

expl´ıcitas: x!(t) = f (t, x(t)).

• ´Unicamente se saben resolver (salvo c´alculo de primitivas) unos tipos especiales de ecuaciones:

lineales, de variables separables, homog´eneas, de tipo Bernouille, exactas, ...

• Dedicaremos los temas 2, 3, 4 y 5 a estudiar los principales tipos de ecuaciones que se saben

resolver. En ellos no nos conformaremos únicamente con dar métodos de resolución, sino que aprovecharemos tales métodos para dar resultados de existencia y unicidad de soluciones para

problemas de valores iniciales (problemas de Cauchy). Adem´as, las ecuaciones que se estudian

en estos temas, especialmente las ecuaciones lineales y las de variables separables, servirán como referencias y ejemplos clarificadores de los conceptos y resultados que se expondrán más adelante, en un contexto más general.

• El tema 6 (último tema de la primera parte) es más teórico; en él se considera cualquier

ecuación diferencial de primer orden x!(t) = f (t, x(t)), siendo f continua y verificando cierta condición adicional en una región D, y se obtendrán unos teoremas de existencia y unicidad

de soluciones para problemas de valores iniciales que podr´an aplicarse en muchos casos.

Ejercicios propuestos :

1. Sea g : R → R, definida por g(t) =

&

−t si t≤ 0

1 + t2 _{si t > 0}. ¿Existe alguna soluci´on x de la ecuaci´on diferencial x!_{(t) = g(t) en el intervalo [}_{−1, 1]?}

2. Está nevando con regularidad. A las doce del mediod´ıa sale una máquina quitanieves que recorre en la primera hora el doble de espacio que en la segunda hora. ¿A que hora empezó a nevar?

(Indicaciones: Se supone que la cantidad de nieve quitada por la máquina en la unidad de tiempo es constante, de manera que su velocidad de avance es inversamente proporcional a la altura de nieve encontrada en el camino. Por otra parte, el que esté nevando con regularidad implica una hipótesis lógica sobre la altura de la nieve que hay en un instante de tiempo.)

3. Poblaciones. Modelo malthusiano.

(a) Supongamos que el ritmo de crecimiento de cierta colonia de bacterias es (directamente)

propor-cional al número de ellas presentes. Si su número se duplica en cinco horas ¿que tiempo tardará

en triplicarse?

(b) Supongamos que el ritmo de crecimiento de una poblaci´on (en el transcurso de unos 20 a˜nos)

es proporcional al número de individuos. Si la población se ha doblado en 3 años y en 5 años

alcanz´o la cifra de 40.000 habitantes, ¿cu´antas personas viv´ıan en la ciudad al comienzo de ese

periodo de cinco a˜nos?