Flujo a Superficie Libre

(1)

FLUJO A SUPERFICIE LIBRE

(

HIDRÁULICA DE CANALES

)

Objetivo

Desarrollo en el estudiante, de la capacidad para el diseño de los elementos constituyentes de las estructuras hidráulicas, con funcionamiento hidráulico, bajo condiciones de flujo con frontera expuesta a la presión atmosférica.

CONTENIDO Antecedentes del flujo a superficie libre

Flujo uniforme Energía Específica Fuerza específica Vertedores

Flujo gradualmente variado

INSTITUTO

TECNOLÓGICO DE

CHILPANCINGO

Departamento de

Ciencias de la Tierra

INGENIERÍA CIVIL

Ing. José Espinosa Organista Chilpancingo, Gro. Agosto de 2002

(2)

Flujo a Superficie Libre

PRIMERA UNIDAD

I. Antecedentes del flujo a superficie libre

Objetivo

Desarrollo del dominio cognitivo del concepto, características,

propiedades y relaciones de un flujo con frontera expuesta a la presión atmosférica.

1.1 Concepto de flujo a superficie libre

Concepto de canal

1.2 Características hidráulicas del flujo a

superficie libre

Características geométricas de los canales

1.3 Propiedades conservativas del flujo a

Superficie libre

Conservación de la materia

Conservación de la energía

Conservación de la cantidad de movimiento

1.4 Relaciones internas del flujo a superficie

libre

Flujos uniforme y variado

Flujos permanente y transitorio Flujo unidimensional

Relaciones internas de los canales

1.5 Relaciones externas del flujo a superficie

libre

Línea de energía

Perfil de flujo

(3)

I. Antecedentes del flujo a superficie libre.

1. Concepto de flujo a superficie libre.

Para explicar el concepto de flujo a superficie libre recordemos algunos conceptos antecedentes como fluido, partícula, posición y movimiento para construir a partir de ellos el concepto de flujo.

Un fluido es un estado de consistencia de la materia, cuya característica fundamental es una gran susceptibilidad a las

deformaciones que sufre bajo la acción de fuerzas externas, así como la transmisión de estas últimas hacia las partículas internas.

Esto implica que cuando la materia se encuentra en este estado de consistencia, no existe la posibilidad de que su estructura interna soporte por si misma, y sin asociar deformaciones continuas, esfuerzos cortantes producidos en el exterior y transmitidos al interior de la materia. Es esta la razón por la cual a los fluidos se les asocia con un confinamiento físico para adquirir una estabilidad y mantenerse en reposo.

Existen dos tipos de deformaciones que tienen lugar en los fluidos, lo que da origen a una clasificación de los mismos. Las deformaciones isotrópicas o volumétricas y las deformaciones distorsionales; las primeras implican un cambio en el volumen, en tanto las segundas implican un cambio de forma.

Fluido parcialmente confinado po Fluido totalmente confinado

p

o

(4)

Los fluidos se clasifican en dos grupos: los gases que son altamente deformables tanto en su forma como en su volumen, lo que sugiere la presencia de deformaciones isotrópicas y deformaciones distorsionales de manera simultanea; el otro grupo lo constituyen los líquidos que son altamente deformables en cuanto a su forma, pero no de manera importante en su volumen, lo que sugiere la presencia de deformaciones distorsionales y prácticamente la ausencia de deformaciones volumétricas.

El concepto de flujo entonces lo podemos definir como el movimiento de un fluido, es decir, un flujo es el constante cambio de la posición relativa de las partículas que constituyen un fluido.

En el campo de estudio de este curso, el flujo de interés se refiere exclusivamente al movimiento de un tipo de fluido, el de los líquidos.

Ahora bien, se ha enfatizado en el hecho de que el movimiento de un fluido está asociado a la presencia de esfuerzos externos, que influyen directamente en las características del flujo, de modo que cuando las únicas causas del movimiento son la presión atmosférica y el peso propio de las partículas de los líquidos, consideramos la existencia de un flujo asuperficie libre, atendiendo al hecho de que existe necesariamente una zona de la frontera del tubo de flujo, que está expuesta a la presión atmosférica y se encuentra libre de la presión interna del fluido.

En una tubería En una vena líquida sin frontera sólida

En una corriente natural o artificial

(5)

Es de utilidad práctica en el estudio del flujo a superficie libre el uso del término canal, para hacer referencia a los conductos con circulación de líquidos bajo el efecto exclusivo de la gravedad y de la relación de interfase con el medio gaseoso que es la atmósfera.

TEMARIO DE LA PRIMERA UNIDAD

Presión atmosférica

(6)

1.2 Características hidráulicas del flujo a superficie libre y características geométricas de los canales.

Como características del flujo a superficie libre se van a considerar los atributos que describen al flujo cuantitativa y cualitativamente, es decir que de alguna manera originan los parámetros de comparación.

Con relación a las características cuantitativas se puede decir que son representadas por los parámetros que miden las cantidades físicas inherentes a los flujos. Estas características son:

a) La cantidad de materia que se desplaza a través de una

sección transversal del canal en la unidad de tiempo, es el concepto de gasto y se expresa en lenguaje simbólico atendiendo a las propiedades de la materia como:

Gasto = cantidad de materia/ tiempo

Cantidad de materia = (densidad)*(volumen)

L

A

t

AL

t

G











t

m

G







(7)

b) La velocidad describe a la rapidez, la dirección y el sentido del movimiento de la materia, generalmente considerada en los canales a lo largo del conducto.

obviamente el desplazamiento es una cantidad vectorial y puede ser expresado en términos de sus componentes como:

S= Sx i + Sy j + Sz k

c) La presión del flujo, es la fuerza distribuida que actúa desde el exterior sobre el fluido, contribuyendo al movimiento, y se expresa de acuerdo con la ley de Pascal como: en tuberías y en canales.

v

M 1

h

y

canal

t

s

v





(8)

Características geométricas de los canales

Los canales tienen características geométricas de gran importancia, para la ocurrencia de los flujos, relativas a su forma y dimensiones. Las características más generales son:

Area hidráulica. Es el área de la sección transversal del conducto, a través del cual circula el agua (A)

Perímetro mojado. Es la longitud del perímetro de la sección transversal que se encuentra en contacto con el agua, produciendo la fricción (p)

Radio hidráulico. Es una relación aritmética, es la razón del área hidráulica al perímetro mojado de la sección transversal. (R)

Tirante. Es la profundidad del líquido en la sección transversal. Como se podrá observar pueden existir diversos valores del tirante si la sección es irregular (y)

Area

hidráulica

_Perímetro

(9)

Pendiente. La pendiente longitudinal del fondo del canal (So) es la tangente del ángulo que el lecho del canal forma con la horizontal

Ahora bien, existen otros parámetros de importancia pero que dependen de la forma de los canales, como la plantilla que se refiere al ancho del lecho del canal, y el talud de las paredes laterales en los canales rectangulares y trapeciales; el diámetro en los canales circulares y el ángulo del vértice del fondo en los canales triangulares. El talud m representa a la cotangente del ángulo de inclinación de las paredes laterales.

y

L

z b b 1 m Ancho superior B

L

z

s

₀





(10)

by

A



Las expresiones para calcular el área y el perímetro mojado en secciones rectangulares y trapeciales son:

Area hidráulica Perímetro mojado

1

2





b

y

m

p

para el caso del canal rectangular m=0 y entonces las ecuaciones toman la forma:

:

Para sección triangular:

Area Perímetro Radio El ancho B B y 2 2 2

2 )

(

)

arccos(

y

r

yr

y

r

y

r

A











y

b

p





2 )

2 tan(

2



y

A



)

2 cos(

2 

y

p



)

2 /

cos(

)

2 /

tan(

2 



y

R



)

2 /

tan(



y

B



(11)

Para el canal de sección circular es necesario considerar un tubo parcialmente lleno. Existen al menos dos opciones de fórmulas para el cálculo de los parámetros de estas secciones:

a) Mediante el tirante y el diámetro

Si la relación y/D >0.5 resultan válidas las siguientes relaciones

Para el área hidráulica

2 2 2

2 )

(

)

arccos(

y

r

yr

y

r

y

r

A











Para el perímetro mojado

))

arccos(

(

2 r

r

y

r

p







en donde r es el radio del tubo y el ángulo resultante debe ser considerado en radianes.

El radio hidráulico no tiene caso expresarlo mediante una fórmula ya que resulta más sencillo calcular cada parámetro por separado y luego calcular la relación :

p

A

R



y D

(12)

Cuando el tirante es menor que el radio, es decir y/D<0.5 se tiene

Para el área hidráulica

2 2

2 )

(

)

arccos(

y

r

yr

y

r

y

r

A





para el perímetro mojado

)

arccos(

2 r

r

y

r

p





En este caso como en el anterior, las ecuaciones dependen del tirante y el radio, y el ángulo resultante debe ser considerado en radianes. Además, de igual modo el radio hidráulico es la razón del área al perímetro mojado.

b) Otra forma de calcular los elementos geométricos, es mediante las expresiones siguientes válidas para cualquier valor de y/D, con el ángulo en radianes: 2

)

(

8

1 D

Sen

A









D

Sen

R











 





1

4

1

y D



y

(13)

Desde el punto de vista cualitativo es importante puntualizar que en este curso las características a destacar son:

 El flujo a superficie libre es considerado como un flujo permanente, es decir que no varían las características del flujo de un instante a otro al menos durante el tiempo de estudio, lo que implica la condición matemática

0 )

(

_



t

k

En donde k representa cualquiera de las características del flujo. Cuando esta condición no se cumple, el flujo se denomina transitorio.

La siguiente es una muestra de un flujo transitorio en un lapso breve

(14)

 El flujo es incompresible, es decir que la densidad se mantiene constante;

 Y debido a que en los canales generalmente los tirantes y velocidades son lo suficientemente grandes para propiciar un flujo turbulento, es prácticamente imposible la existencia de un flujo laminar en un flujo a superficie libre salvo en algunos fenómenos que no son propiamente canales sino escurrimientos con velocidades mínimas y con espesores de algunos milímetros.

 Con base en estos argumentos se concluye que, a menos que se exprese lo contrario, los análisis que se llevarán a cabo son para flujo permanente, incompresible y turbulento.

(15)

1.3 Propiedades conservativas del flujo a superficie

El flujo a superficie libre posee algunas propiedades que son inherentes a su naturaleza, es decir, algunas características de los flujos toman una forma específica para este tipo de flujo, y se pueden plantear de acuerdo con su referencia física.

Conservación de la materia

La conservación de la materia es el fundamento del principio de continuidad, el cual puede ser expresado por medio de una relación muy simple:

En un volumen de control, la materia que ingresa mas (suma algebraica) la materia que egresa del volumen da como resultado la variación de la cantidad de materia en el volumen de control.

La aplicación práctica más importante en la hidráulica de canales es en la ecuación del gasto, ya que a partir del balance de materia, expresado por medio del gasto, será válido considerar que en dos secciones, transversales al flujo, cualesquiera el gasto que cruza en cada

sección es siempre constante, de modo que

K

Q

₁



₂



₃_.

...



_n



_{y entonces; en términos de la velocidad} media y del área hidráulica se acepta que:

Masa ingresante Masa de egreso Volumen de control n n

A

v

A

v

A

v

A

v

₁ ₁



₂ ₂



₃ ₃



...



V

masa

(16)

Conservación de la energía

La energía de un flujo también tiene la propiedad conservativa, ya que la energía sólo varía de una sección a otra a causa de influencia externa, cualquier fuerza que interactúa con el flujo le modifica su estado de energía. La condición a cumplir es la energía H=cte, donde la energía del flujo es:

g

v

p

Z

H

2





_

en donde:

Z es la energía potencial debida a la posición del flujo;



p

es la energía potencial relativa a la presión del flujo y

g

v

2

es la energía cinética relativa al movimiento del flujo.

En un canal la carga de presión

_

p



y

_





y

por lo que la expresión queda:

g

v

y

z

H

2





_{donde y es el tirante en el canal.}

Q

Vi Ai V2A2 V1A1

y

L

(17)

Conservación de la cantidad de movimiento

El tercer principio conservativo de los flujos a superficie libre lo constituye la conservación de la cantidad de movimiento, es decir el impulso, lo que permite determinar a partir de una suma de fuerzas en la dirección del flujo, la expresión de equilibrio dinámico:

)

(

V

₂

V

₁

Q

F

_e









en donde, la suma de fuerzas externas se refieren a las que el exterior produce sobre el volumen de control, y de acuerdo con la tercera ley de Newton se pueden considerar como las fuerzas hidrodinámicas con las que el agua actúa sobre sus fronteras sólidas, por ejemplo:

Fuerzas sobre un obstáculo (figura en planta)



F

e

y

z

V

2

/2g

Q

V

₂

V

₁

(18)

Cuando el agua choca con un obstáculo se modifica su velocidad produciendo una diferencia de velocidades entre las secciones aguas arriba y abajo del obstáculo, ahora bien, las fuerzas que aparecen en la figura, en el análisis de equilibrio dinámico se consideran como las fuerzas con que el obstáculo actúa sobre el agua ( es decir con sentido contrario).

Fuerzas en contracciones (figura en planta)

Q

V

₂

(19)

1.4 Relaciones internas del flujo a superficie libre

Anteriormente ya se han mencionado algunas características del flujo a superficie libre, sin embargo hay otras que se han dejado en este apartado para enfatizar su importancia, ya que de estas características depende la estructura del curso.

Flujo uniforme y flujo variado

El flujo en un canal se puede clasificar de acuerdo a la variación de sus características a lo largo de su trayectoria.

Se denomina flujo uniforme al que cumple con mantener constantes sus características a lo largo de su recorrido y se considera válida la condición matemática

0 )

(





s

k

en donde k representa cualquier característica del flujo.

(20)

Cuando esta condición no se cumple el flujo se considera variado, el cual se clasifica a su vez en:

Flujo gradualmente variado, cuando las características cambian a lo largo del canal en una distancia muy grande;

rápidamente variado, cuando los cambios ocurren en un tramo de canal muy corto.

(21)

Velocidad media

El flujo en un canal sugiere una distribución de velocidades, en la sección transversal, ya que el efecto de rozamiento de las fronteras sólidas propicia una disminución de la velocidad de acuerdo con la ley de Newton.

En el caso de la sección transversal hay que considerar que asi como existe el perfil para el tirante, existe una variación de velocidades por el efecto de las paredes laterales del canal, es decir el efecto de las orillas

Velocidad máxima

Velocidadd Y

Perfil de velocidades en un canal

Dirección del flujo

Curvas de igual velocidad en la sección transversal del canal. flujo

(22)

Velocidad media

Como se observa existen diferentes valores para la velocidad en diferentes puntos, sin embargo para efectos prácticos se usa una velocidad representativa de toda la sección, denominada velocidad media y que corresponde a la expresión:

A Q V  Coeficientes de velocidad

Al considerar la velocidad media en el cálculo de la energía y en la cantidad de movimiento se genera un error, por lo que para corregir ese error se consideran dos coeficientes de velocidad, uno para corregir el error en la ecuación de la energía, llamado de Coriolis, y el otro para corregir el error en la ecuación de la cantidad de movimiento, llamado de Boussinesq. Ahora bien, estos coeficientes toman valores muy cercanos a 1 en los flujos turbulentos, que son la generalidad de los casos en hidráulica de canales, por lo que en este trabajo serán considerados de esta manera. Cuando se requieran ser calculados por medición directa esto se puede hacer mediante:









n i

v

i

A

i

AV

1 3 3

1 









n i

v

i

A

i

AV

1 2 2

1 

(23)

1.5 Relaciones externas del flujo a superficie libre Líneas piezométrica y de energía

Se puede destacar que la línea piezométrica del flujo en un canal está constituida por la superficie del agua, lo que implica su existencia material; sin embargo, en el caso de la línea de energía, solo se puede hacer referencia a una forma de representación ideal, de la magnitud de la energía en cada sección del canal a lo largo del recorrido del agua, y que resulta paralela al fondo del canal solo en el caso del flujo uniforme, ya que en el caso del flujo variado tiene variabilidad el gradiente de energía. A la geometría que describe el tirante a lo largo del canal en el sentido del flujo se le denomina perfil del flujo.

TEMARIO DE LA PRIMERA UNIDAD CONTENIDO

x

Y

Y1 Y2 yn

Perfil longitudinal del flujo

Línea piezométrica Línea de energía

tirante

Carga de velocidad

(24)

SEGUNDA UNIDAD

II. Flujo uniforme

Objetivo

Desarrollo en el estudiante, del dominio cognitivo de los conceptos, características y propiedades del flujo uniforme, así como el desarrollo de habilidades para la aplicación de los algoritmos relativos al

dimensionamiento y revisión de canales bajo funcionamiento del mismo tipo.

TEMARIO DE LA QUINTA UNIDAD

2.1 Definición de flujo uniforme 2.2 Características del flujo uniforme 2.3 Propiedades del flujo uniforme Hipótesis de Chezy

2.4 Relaciones internas

Ecuación de fricción de Chezy

Ecuación de Manning

Cálculo del gasto

Cálculo de la pendiente Cálculo de tirante uniforme Sección de máxima eficiencia

2.5 Relaciones externas del flujo uniforme

Diseño de canales revestidos

Diseño de canales no revestidos

(25)

II. Flujo uniforme

2.1 Definición de flujo uniforme

Un flujo que conserva sus características (como gasto, velocidad, tirante, etc.) a lo largo de su trayectoria, se denomina flujo uniforme

2.2 Características del flujo uniforme

De acuerdo con la definición del flujo uniforme las características del mismo implican que al permanecer constante el gasto y las características físicas del canal, las características hidráulicas no cambian, es decir, el tirante permanece constante y la superficie del agua resulta paralela al fondo del canal.

Como se puede observar, si el tirante no cambia de una sección a otra, entonces el área hidráulica se mantiene constante y en consecuencia sucede lo mismo con la velocidad del flujo, lo que implica una carga de velocidad constante, es decir una energía cinética constante y en conclusión, la línea de energía resulta paralela al fondo del canal y al espejo del agua

TEMARIO DE LA SEGUNDA UNIDAD

Y

1

Y

2

Y

3

Y

4

Y

5

. . . Y

n

Y

1

= Y

2

= Y

3

=Y

4

= Y

5

= . . . = Y

n

Perfil longitudinal de flujo uniforme

g V

2

(26)

2.3 Propiedades del flujo uniforme Hipótesis de Chezy

Antoine Chezy planteó dos propiedades del flujo uniforme, que resultan ser el fundamento del cálculo del flujo uniforme: La primera hipótesis es que la fuerza unitaria de arrastre del agua sobre una frontera sólida del canal, es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad media del flujo:

La segunda hipótesis de Chezy constituye la propiedad fundamental del flujo a superficie libre, y es que el movimiento solo lo produce la componente del peso del agua en la dirección del flujo



A

L

Wx W W   Wx P 2

V







WSen

W

_x



(27)

2.4 Relaciones internas del flujo uniforme Ecuación de Fricción

A partir de las dos hipótesis de Chezy, es posible establecer una serie de relaciones entre las diferentes características del flujo; en primer lugar:

Si la fuerza cortante por unidad de área es





V

2 entonces la proporcionalidad arroja una igualdad por medio de una constante de proporcionalidad k, de donde queda:

2

kV





y como el área en la que actúa la fricción del esfuerzo cortante es el desarrollo del perímetro mojado y la longitud del tramo de canal, entonces la expresión queda:

2

kV

PL

F

_r

_

y de ahí que la fuerza de resistencia al flujo sea:

2

kPLV

F

_r



Por otra parte si el movimiento solo lo produce la componente del peso del líquido en la dirección del flujo, entonces es válida la expresión:

x r

W

F



_{y como}

W

_x



W

S



e

_{se establece :}

n



WSen

kPLV

2



y como también se sabe

AL

V

W









de donde se obtiene:

kPLV

2





ALSen



y despejando la velocidad media.









Sen

P

A

k

kPL

ALSen

V

2



_{y como para}

ángulos muy pequeños se puede aceptar que



Tan

Sen



y si consideramos

S



Tan



y recordamos que

P

A

R



_{entonces la expresión queda:}

RS

k

Sen

P

A

k

V

2











_{y obteniendo la raíz}

(28)

RS

C

RS

k

RS

k

V











que es la ecuación de Chezy

V



C

RS

en donde como ya se ha expresado R es el radio hidráulico, S es la pendiente longitudinal del flujo y C es una constante de fricción que depende del flujo y del canal.

Diversos investigadores se han dado a la tarea de determinar formas prácticas y factibles de estandarizar, para la determinación del coeficiente de fricción, llamado de Chezy por referencia a la ecuación desarrollada por este. Algunos resultados son los de Kutter, Manning y Bazin los cuales se mencionan a continuación.

Ecuación de Kutter

En 1869 los ingenieros Ganguillet y Kutter publicaron su fórmula empírica para la determinación del coeficiente de Chezy











 





s

R

n

s

C

00155

0

23

1

1 00155

0

23 .

.

en la que R es el radio hidráulico, s es la pendiente del canal y n es un coeficiente que depende del material

n= 0.009 para madera bien cepillada n= 0.010 para cemento puro

n= 0.011 para mortero de cemento con un tercio de arena n= 0.012 para madera sin cepillar

n= 0.013 para ladrillo bien careado n= 0.015 para tabique normal

n= 0.017 para mampostería bien careada n= 0.020 para canales hechos en grava firme

n= 0.025 para canales y ríos en buenas condiciones n= 0.030 para canales y ríos con piedras y yerbas n= 0.035 para canales y ríos en malas condiciones

(29)

Ecuación de Manning

El ingeniero Robert Manning publicó en 1890 la expresión empírica para determinar la constante de Chezy para la fricción, en la cual el coeficiente depende del radio hidráulico del canal y de un valor característico de la superficie de fricción, con la forma

n

R

C

6 1



_{, en donde R es el radio hidráulico del canal y n es}

el coeficiente de rugosidad de Manning, que puede tomar los siguientes valores:

En la siguiente tabla se presentan algunos valores típicos de la rugosidad utilizados en diseño de canales y otros como referencia para darse una idea mas apropiada del rango de valores que pueden tomar los coeficientes. Se pueden consultar tablas elaboradas por investigadores como la de los valores determinados por Robert E. Horton en 1916 para ser usada en las fórmulas Kutter y Manning.

SUPERFICIE RANGO DEL COEFICIENTE Cemento pulido 0.012 a 0.014 Concreto 0.014 a 0.016

Mampostería de piedra careada 0.017 a 0.025 Mampostería de tabique 0.017 a 0.020 Madera cepillada 0.012

Metal pulido 0.012 Vidrio 0.010

Si en la ecuación de Chezy se sustituye la expresión propuesta por Manning, se obtiene:

1 _R

23

_S

12

n

V



que es la expresión más usada

debido a su simplicidad y a que los coeficientes de rugosidad de los materiales para los que se ha estudiado en el laboratorio es mas amplio.

(30)

Ecuación de Bazin

En 1897 Bazin propuso una fórmula empírica para determinar el coeficiente de Chezy

R

m

C





1

87

para la cual R es el radio hidráulico y m es un coeficiente que de acuerdo con los resultados de laboratorio propone para diversos materiales por ejemplo:

Material m

cemento liso o madera cepillada 0.0602 ladrillo 0.161 mampostería bien careada 0.46 canales de tierra de superficie muy regular 0.85 canales de tierra ordinaria 1.30 canales con yerbas y cantos rodados 1.75

Cálculo del gasto

Un problema típico de la ecuación de fricción es el del cálculo del gasto, cuya ecuación se obtiene de considerar que si Q=VA entonces basta multiplicar la ecuación de la velocidad por el área hidráulica para obtener una expresión del gasto. Eligiendo el trabajo de mayor precisión práctica, al sustituir la velocidad por la expresión de Manning la ecuación del gasto queda:

2 1 3 2

S

R

n

A

Q



Donde se suponen conocidas todas las características del flujo y del canal.

(31)

Ejemplo II.1

Calcular el gasto que se conduce mediante un canal de sección triangular, con taludes simétricos, vértice de 75° y tirante de 1.50m. El canal está revestido de concreto muy bien terminado y pulido, y la pendiente longitudinal es del 0.1 %.

Solución:

a) Cálculo del área

)

2 (

2



tan

y

A



_; 2

)

1 .

73

2

75 (

)

5 .

1 (

m

tan

m

A



b) Cálculo del perímetro mojado

)

2 cos(

2 

y

p



_;

p

m

3 .

78 m

)

2

75 cos(

)

5 .

1 (

2 _



c) Cálculo del radio hidráulico

p

A

R



_;

m

R

4 .

58

78 .

3

73 .

1

2



d) Ahora, como el canal es revestido de concreto bien pulido se propone un coeficiente de rugosidad n=0.014, de donde queda:

s

m

Q

4 .

58

0 .

001

10 .

78 /

014 .

0

73 .

1

2₃ 1₂



3



B y

(32)

Ejemplo II.2

Calcular el gasto que conduce un canal de sección rectangular, de 12m de plantilla y con tirante de 2.85m; el canal está construido de mampostería de piedra con rugosidad 0.020 y con una pendiente de 0.0009.

Solución:

a) Cálculo del área

by

A



2

20 .

34 )

85 .

2 )(

12 (

m

A



y

b

p





2

;

p



12 m



2 (

2 .

85 m

)



17 .

70 m

p

A

R



_;

_m

m

R

1 .

93

70 .

17

20 .

34

2

_



d) Cálculo del gasto

s

m

Q

1 .

93

0 .

0009

79 .

52 /

020 .

0

20 .

34

2₃ 1₂ 3 2



b=12.0m 2.85m

(33)

Ejemplo II.3

Calcular el gasto que conduce un canal de sección trapecial, de 12m de plantilla, talud m=1.5 y tirante de 2.75m; el canal está revestido de concreto acabado burdo con rugosidad 0.018 y con una pendiente de 0.00016

Solución:

a) Cálculo del Area hidráulica

A



by



my

2

A



12 m

(

2 .

75 m

)



1 ,

5 (

2 .

75 m

)

2



44 .

34 m

2 b) Cálculo del Perímetro mojado

p



b



2 y

m

2



1

92 .

21

1

5 .

1 )

75 .

2 (

2

12 

2





m

p

A

R



_;

m

R

2 .

02

92 .

21

34 .

44

2

_



s

m

Q

2 .

02

0 .

00016

49 .

80 /

018 .

0

34 .

44

2₃ 1₂ 3 2



b Plantilla Talud 1 m Ancho superior B

(34)

Ejemplo II.4

Calcular el gasto que conduce un canal de sección circular, de 2.50m de diámetro, tirante de 1.75m; el canal es un tubo prefabricado con acabado pulido fino con rugosidad 0.012 y con una pendiente de 0.0016

Solución:

a) Cálculo del área hidráulica

2 2

arccos(

)

(

y

r

)

2 yr

y

2

r

y

r

A











2 2 2

75 .

1

25 .

1 )

75 .

1 (

2 )

25 .

1

75 .

1 (

)

25 .

1

25 .

1

75 .

1 arccos(

25 .

1 )

25 .

1 (

1416

.

3 









A

A= 4.03 m2

))

arccos(

(

2 r

r

y

r

p







m

p

))

4 .

96

25 .

1

25 .

1

75 .

1 arccos(

14 .

3 )(

25 .

1 (

2 





p

A

R



_;

m

R

0 .

8125

96 .

4

03 .

4

2

_



s

m

Q

0 .

8125

0 .

0016

11 .

70 /

012 .

0

03 .

4

2₃ 1₂ 3 2



Y=1.75m D=2.50m

(35)

Ejemplo II.5

Calcule el gasto en una sección compuesta. Sea una sección compuesta como la de la figura. La pendiente del canal es 0.0009, el coeficiente de rugosidad del cuerpo central es 0.014 y el de los cuerpos laterales es 0.018; los taludes son todos a 450.

Solución:

Para el cálculo requerido, la sección se divide en tres cuerpos por medio de líneas verticales, y se calcula cada cuerpo tomando para la longitud del perímetro mojado solo en donde hay fricción. No divida de manera horizontal, puesto que la parte trapecial no trabajaría a superficie libre. a) Cálculo del gasto del cuerpo central

A= by+my2_+(b+2my)y

A= (10)(5)+(1)(52_{)+{10+2(1)(5)}(2.5)=125 m}2

P= b+2y(1+m2₎1/2_{= 10+2(5)(1+1)}1/2_{= 24.142 m}

R= A/P = 125/24.142 = 5.1

Q= (A/n)R2/3_S1/2_{= (125/0.014)(5.1}2/3_)(0.00091/2_{)= 793.67 m}3_/s

b) Cálculo del gasto de cada cuerpo lateral. Como los dos canales laterales son iguales es suficiente calcular uno.

A=(2.5/2)(5+7.5)= 7.81m2 P= 5+(2.5)(1+1)1/2= 8.54 m R = A/P = 7.81/8.54= 0.92 m Q=(7.81/0.018)(0.922/3_)(0.00091/2_{) = 12.31 m}3_/s c) El gasto total es Qt = 793.67 + 2(12.31) = 818.29 m3/s 10m 10m 10m 5m 2.5m

(36)

Cálculo de la pendiente

Una de las variantes de cálculo de las ecuaciones de fricción es el cálculo de la pendiente, lo que se logra mediante el despeje de esta variable en la ecuación del gasto.

Ejemplo II.6

Determinar la pendiente necesaria para que un canal rectangular de concreto con rugosidad de 0.014 , y plantilla de 10m, pueda conducir un gasto de 95 m3/s con una relación y/b =0.40 .

Solución:

a) Si la plantilla es de 10m y y/b =0.4 , entonces y=0.4(10m)=4m b) Cálculo del área

by

A



2

40 )

4 )(

10 (

m

A



c) Cálculo del perímetro mojado

y

b

p





2

;

m

p



10 

2 (

4 )



18

d) Cálculo del radio hidráulico

p

A

R



_;

m

R

2 .

22

18

40

2

_



e) Cálculo de la pendiente 2 3 2















AR

Qn

S

_;

000382

.

0 )

22 .

2 (

40 )

014 .

0 (

95

2 3 2

















S

(37)

Ejemplo II.7

Determinar la pendiente que se requiere para que un tubo de concreto con n=0.012, de 2.50m de diámetro pueda conducir un gasto de 12 m3_/s

con una relación y/D =0.5 . Solución:

a) Como y/D =0.5 y el diámetro es D=2.50m , entonces y=1.25m

b) El área hidráulica es

2

r

A





2 2

45 .

2

2 )

25 .

1 (

14 .

3 m

A



c) El perímetro mojado es

p





r

m

p



3 .

14 (

125 )



3 .

92

d) El radio hidráulico es

p

A

R



m

R

0 .

625

92 .

3

45 .

2



e) Cálculo de la pendiente 2 3 2















AR

Qn

S

_;

00646

.

0 )

625 .

0 (

45 .

2 )

012 .

0 (

12

2 3 2

















S

D=2.50m Y=1.25m

(38)

Cálculo de tirante normal

La siguiente variante de los problemas de fricción es el caso del cálculo del tirante normal, es decir de acuerdo con las características geométricas y físicas del canal, este impone un tirante para cada gasto. Ejemplo II.8

Determinar el tirante normal en un canal rectangular que conduce 100 m3/s , si la rugosidad es de 0.016 la pendiente es de 0.16% y la plantilla es de 12m. Solución: a) De la ecuación 2 1 3 2

S

R

n

A

Q



_{obtenemos una}

transformación que nos separe en un miembro de la igualdad los términos conocidos y en el otro los desconocidos.

2 1 3 2

S

Qn

AR



b) Sustituyendo el área y el radio hidráulico por sus expresiones correspondientes en términos del tirante, y el gasto, rugosidad y pendiente por sus valores, queda:

40 )

0016

.

0 (

)

016 .

0 (

100 )

2 (

2 1 3 2





y

b

by

)

40

2

12

12 (

12

23





y

de donde por aproximaciones sucesivas el tirante normal es y=2.35

Q = 100 m3/s n =0.016 s=0.0016

(39)

Ejemplo II.9

Determinar el tirante normal que ocurre en un canal trapecial de concreto con rugosidad de 0.017, taludes m=2, plantilla de 10 m y que con una pendiente S=0.00086 conduce un gasto de 100 m3/s

Solución: a) Como 2 1 3 2

S

Qn

AR



b) entonces;

57 .

97 )

00086

.

0 (

)

017 .

0 (

100

2 1 3 2



AR

_{en consecuencia:}





57 .

97

1

2

3 2 2 2 2

















m

y

b

my

by

my

by

_{y al sustituir los valores}

de la plantilla y el talud:





57 .

97

1

2

10

2

10

2

10

3 2 2 2 2

















y

_{en donde al resolver por}

aproximaciones resulta y=2.85

Sección de máxima eficiencia

10m Plantilla Talud 1 2 Ancho superior B

(40)

En un canal el principal factor que provoca la disipación de energía es la fricción con las paredes y el fondo del canal, de ahí que la sección que tiene el óptimo funcionamiento es aquella para la cual con un área determinada tiene un perímetro mojado mínimo. La determinación de las condiciones geométricas con estas características, conocidas como de máxima eficiencia, se logran mediante el proceso de cálculo diferencial, determinando el valor de y para que la sección tenga un perímetro mínimo. En términos generales la mejor sección es la que tiene geometría circular, y para cada caso se tienen las condiciones de máxima eficiencia en la tabla siguiente:

Sección Condición

Geométrica Area Hidráulica Perímetro Mojado Radio Hidráulico

Triangular Vértice de Rectangular Medio cuadrado 5 . 0  b y 2

2 y

A



p



4 y

2 y

R



Trapecial Medio hexágono Talud de 60° 2

3y

A



p



2

3 y

2 y

R



Circular Medio círculo 5 . 0  D y

₂

2

y

A





p





y

2 y

R



(41)

2.5 Relaciones externas del flujo uniforme

Consideremos como relaciones externas a la interacción del flujo con el medio físico, es decir el medio que determina los factores que intervienen en el fenómeno de resistencia al flujo. Como en la generalidad de los casos existen restricciones para definir la geometría del canal y sus dimensiones, se han desarrollado procesos para ese objetivo. El proceso de diseño consiste en proponer, a partir de las restricciones técnicas y económicas, las características geométricas del canal y las especificaciones constructivas.

Por la naturaleza del problema, se puede diferenciar entre dos casos principales en atención al efecto erosivo del flujo sobre los materiales que conforman el cuerpo del canal: el problema de diseño de canales revestidos, en los que el canal está recubierto por algún material resistente a la erosión del flujo, como mortero, concreto, mampostería de piedra, mampostería de tabique, zampeado, etc. ; el segundo problema de diseño es el de canales sin revestir, en donde es necesario restringir las velocidades y las dimensiones a los límites de velocidad permisibles y a las condiciones de estabilidad del material en el que se va construir el canal. Los parámetros que intervienen son definidos por factibilidad técnica, como la geometría, el talud en su caso, y el tipo de revestimiento que determina el coeficiente de rugosidad; y características del terreno en el que se va a construir, como es el caso de la pendiente, para la cual interviene la topografía del terreno.

El tipo de revestimiento depende de la disponibilidad y costo de los materiales, en el caso de la pendiente es necesario definir una subrasante que economice los costos por excavación del canal (conocida como excavación en cubeta), por terraplenes y acarreos.

TEMARIO DE LA SEGUNDA UNIDAD Volumen de excavación

(42)

En el problema de diseño de canales revestidos se puede plantear el problema de diversas formas, dependiendo de cuales son las restricciones o el criterio que se desea que prevalezca.

Relación b/y

En este caso el criterio es mantener una proporción entre el ancho del canal y la profundidad a la que funcionará para el gasto de diseño. Este criterio permite usar la expresión para el cálculo del tirante normal al sustituir la plantilla por su relación con el tirante.

Ejemplo II.10

Diseñar un canal para conducir un gasto de 120 m3_{/s , el canal será}

revestido de mampostería de piedra angulosa y la pendiente del terreno permite una pendiente hidráulica del 0.25%

Solución:

a) En principio, la mampostería de piedra braza implica un coeficiente de rugosidad n=0.025 y por lo tanto la expresión

60 )

0025

.

0 (

)

025 .

0 (

120

2 1 2 1 3 2



S

Qn

AR

b) Ahora suponiendo que el material tiene una muy buena estabilidad, consideremos que la sección va a ser rectangular, de tal forma que las paredes del canal serán también el soporte del terreno natural. Consideremos también una relación b/y =2.5 lo que permite establecer:

60 )

2 (

23





y

b

by

y como b=2.5y la expresión se transforma en:

60

5 .

4

5 .

2

5 .

2

3 2 2 2















y

(43)

ecuación que se puede resolver simplificando y se obtiene y=3.78 m ; por lo que la plantilla deberá tener un ancho b= 9.45 m

Las dimensiones definitivas se ajustan a consideraciones prácticas una vez agregado al tirante el bordo libre del agua, el cual en este caso puede ser de 0.50 m quedando la altura de la mampostería en 4.30 m y un a plantilla de 9.45 m

Ejemplo II.11

Diseñar un canal para un gasto de diseño de 150 m3/s para ser revestido de concreto bien terminado, con taludes a 45° y con una pendiente hidráulica de S=0.0009. Solución: a) Calculando el término 3 2

AR

con n=0.016

80 0009

.

0 )

016 .

0 (

150 _



S

Qn

b) Ahora considerando b/y =2 ; y para 45° m=1 las ecuaciones del área, perímetro mojado y radio hidráulico se transforman de modo que: 2

my

by

A





2 2 2

3

2 y

y

A







2

1

2 y

m

b

P





y

P



2 

2

2 

2 

2 .

8284

y

R

0 .

622

82 .

4

3

2

_



80

18 .

2 _y

83



m

y



3 .

86 



2₃ 83 2 3 2

18 .

2

622 .

0

3 y

y

AR



(44)

y entonces para este valor del tirante corresponde un valor de la plantilla

b



7 .

72 m

, a estas dimensiones hay que agregar un bordo libre y ajustar para efectos prácticos constructivos.

Sección de máxima eficiencia

Con este criterio se efectúa un proceso similar al anterior,

auxiliándose de las ecuaciones para el área y el radio hidráulico de secciones de máxima eficiencia.

Ejemplo II.12

Diseñar un canal para que funcionando en condiciones de máxima eficiencia conduzca un gasto de 90 m3_{/s , si el revestimiento será de}

mortero con un aplanado fino y la pendiente hidráulica es 0.0014 Solución: a) como n=0.012

28 .

86 )

0014

.

0 (

)

012 .

0 (

90

2 1 2 1 3 2



S

Qn

AR

Talud 1 1 Ancho superior B=15.44 m b = 7.72 Y=3.86 m Altura de bordo libre

(45)

c) Como es sección de máxima eficiencia, y siendo mortero el revestimiento lo mas conveniente es la geometría trapecial, se usan las expresiones correspondientes al área y al radio:

A



3y

2;

2 y

R



28 .

86

2

3

3 2 2

_













y

d) Al resolver la ecuación se obtiene un valor de y=3.42 m y por lo tanto la plantilla es de un ancho b= 3.95 m

Y= 3.42 m

b = 3.95 m 60°

(46)

Para el problema de diseño existen dos criterios; en uno lo importante es no rebasar el rango de velocidad permisible, para que no ocurra arrastre, del tipo de material que constituye el cuerpo del canal; En el otro se procura no rebasar el esfuerzo cortante superficial que soporta el material que constituye el lecho. Algunos valores de esta velocidad son los siguientes:

VELOCIDADES MAXIMAS PERMISIBLES SEGÚN ASCE(1926) En m/s

Material

excavado Agua libre De

sedimento Agua con Sedimento coloidal Agua con Arrastre grueso

Arena fina no coloidal 0.46 0.76 0.48

Arcilla arenosa 0.53 0.76 0.61 Sedimentos saturados 0.61 0.91 0.61 Sedimentos aluviales no Coloidales 0.61 1.07 0.61 Arcilla no consolidada 0.76 1.07 0.69 Ceniza volcánica 0.76 1.07 0.61 Grava fina 0.76 1.52 1.14

Arcilla consolidada muy

Coloidal 1.14 1.52 0.91

Material graduado de arcilla a

guijarros, no coloidal 1.14 1.52 1.52 Sedimentos aluviales, coloidales 1.14 1.52 0.91 Material graduado, de sedimentos a guijarros, coloidal 1.22 1.68 1.52

Grava gruesa, no coloidal 1.22 1.83 1.98

Guijarros y cascajos 1.52 1.68 1.98

Pizarras y conglomerados 1.83 1.83 1.52

En general, cuando se cuenta con suficiente información acerca de las características físicas del material, se pueden utilizar algunas fórmulas empíricas desarrolladas en la hidráulica fluvial para determinar la denominada velocidad crítica para la ocurrencia del arrastre de sedimentos.

(47)

En 1978 los ingenieros mexicanos J. Antonio Maza Alvarez y Manuel García Flores propusieron, para evaluar la velocidad media crítica la expresión: Uc=4.71 1/2D0.35RH0.15 en donde la velocidad media crítica

esta en m/s; El diámetro de la partícula D está en metros, con validez en el rango 0.0001m < D < 0.4m y con la sugerencia de usar D=Dm si la

distribución granulométrica del material tiene una distribución extendida, D=D90 si es distribución log-normal y D=D84 para todas las

demás; finalmente, la expresión:

a a s









_{; es decir la}

diferencia de pesos específicos del sedimento y el agua entre el peso específico del agua.

Otra opción es el uso de las tablas de Lischtvan y Levediev para suelos granulares.

VELOCIDADES MEDIAS ADMISIBLES EN SUELOS GRANULARES Ym D mm 0.40m 1.0m 2.0m 3.0m 5.0m Más de 10m 0.005 0.15 0.20 0.25 0.30 0.40 0.45 0.05 0.20 0.30 0.40 0.45 0.55 0.65 0.25 0.35 0.45 0.55 0.60 0.70 0.80 1.0 0.50 0.60 0.70 0.75 0.85 0.95 2.5 0.65 0.75 0.80 0.90 1.00 1.20 5 0.80 0.85 1.00 1.10 1.20 1.50 10 0.90 1.05 1.15 1.30 1.45 1.75 15 1.10 1.20 1.35 1.50 1.65 2.00 25 1.25 1.45 1.65 1.85 2.00 2.30 40 1.50 1.85 2.10 2.30 2.45 2.70 75 2.00 2.40 2.75 3.10 3.30 3.60 100 2.45 2.80 3.20 3.50 3.80 4.20 150 3.00 3.35 3.75 4.10 4.40 4.50 200 3.50 3.80 4.30 4.65 5.00 5.40 300 3.85 4.35 4.70 4.90 5.50 5.90 400 4.75 4.95 5.30 5.60 6.00 500 5.35 5.50 6.00 6.20