ENSAYO SOBRE TEORIA DE LA ELASTICIDAD

ENSAYO SOBRE TEORIA DE LA ELASTICIDAD

Por Javier de Montoliu Siscar, Dr. Ing. Ind. 3ª Edición. Noviembre 2000.

PROLOGO

Este ensayo ha tenido por objeto el comprobar la utilidad del método de cálculo tensorial desarrollado por el autor en "Algebra y Cálculo tensorial" en el cálculo ordinario y concretamente en el estudio de la mecánica elástica.

Este método es una ampliación natural del álgebra escalar corriente, que considera intrínsecamente vectores y tensores de cualquier orden y simplifica la mayor parte de operaciones habituales.

Con su aplicación a la teoría de la elasticidad, que lleva como es natural a las conclusiones de todos conocidas, creemos que ha demostrado su utilidad.

Independientemente de ello, en este trabajo se han hecho resaltar algunas circunstancias que inciden sobre el tema y que muchas veces se omiten. Señalamos principalmente las siguientes:

a) La velocidad de los puntos materiales es una magnitud vectorial de punto, pero no sucede siempre lo mismo con sus componentes velocidad relativa de rotación y velocidad relativa de deformación. En consecuencia lo mismo sucede con los desplazamientos.

b) El tensor deformación que normalmente se utiliza para deformaciones pequeñas y se define con los desplazamientos, pasa a ser considerado diferencial de un tensor magnitud de punto y se define con el campo de velocidades.

c) Se considera un vector desplazamiento como magnitud de punto, así como otro vector magnitud de punto que denominamos vector de posición original.

d) Las dos formas de las ondas materiales no son exactamente propias del movimiento de los puntos materiales. Una de las formas, las ondas de condensación, radican en el coefi-ciente de dilatación relativa, y la otra de las formas, las ondas de distorsión, en el rotacional de la velocidad, y actúan con independencia una de otra.

Esperamos de los lectores sus comentarios. Barcelona, Abril 1996.

MECANICA DE LOS CUERPOS ELÁSTICOS

A. INTRODUCCION

1.- Llamamos cuerpo elástico al cuerpo material que bajo solicitaciones exteriores se deforma y que, al cesar éstas, tiende a recuperar la forma primitiva. Si la recuperación del cuerpo es completa, lo llamamos perfectamente elástico, y si es parcial, parcialmente elástico.

2.- De ahora en adelante, de no indicar otra cosa, solo estudiaremos los cuerpos considerados perfectamente elásticos de un espacio tridimensional y admitiremos que se verifican las siguientes condiciones generales:

10. La materia de cada parte del cuerpo es conservati-va y la forma es conservati-variable. Los puntos materiales son identifica-bles y en todo momento se conoce la correspondencia de cada uno de ellos con un punto geométrico de un sistema de referencia.

20. Las velocidades materiales consideradas son despreciables respecto a la velocidad de la luz y los campos de fuerza no producen distorsión sensible en el espacio-tiempo. Por tanto podemos considerar que las medidas espaciales y temporales son independientes del punto de referencia. Se supondrá que el espacio es euclideo y tridimensional.

30. Son aplicables los métodos del cálculo diferencial e integral basados en la hipótesis de la continuidad de la materia ya que consideramos que las medidas de orden molecular de sus discontinuidades son suficientemente pequeñas para ello.

41. En cada momento y para cada parte material del cuerpo quedan determinados los valores de sus magnitudes de volumen (volumen, masa, peso, etc.) y a todo conjunto de partes corresponde un valor que es la suma (escalar, vectorial, etc.) de los valores de la magnitud relativas a cada parte en el mismo momento.

50. En cualquier sistema de referencia quedan determi-nados,para cada punto material y momento dados, los valores de las distintas magnitudes de punto. Entre ellas se incluyen las definidas por ser límites de la relación entre dos magnitudes distintas de volumen, cuando el volumen tiende a cero conservando siempre al punto en su interior.

60. Las magnitudes de punto, de no advertir lo contrario, supondremos que en cada momento son funciones regulares del vector de posición y en cada punto son funciones regulares del tiempo.

B. CINEMATICA

1. Magnitudes de punto en general. Velocidades.

1.01.- Sea τ→ una magnitud tensorial función regular de una variable vectorial r→. Sabemos por cálculo tensorial que la derivada de τ→ respecto a r→ se expresa por el tensor ∇⊗τ→.

Cuando →τ no solamente es función regular de una variable vectorial r→, sino que además es función regular de una variable escalar t independiente de r→ conocemos la siguiente expresión para dτ→ : (1) dt t + r d r = d ∂ ∂ ∂ ∂τ τ τ _rr r r r

en la que dr→ y dt son respectivamente las variaciones considera-das de r→ y de t, y también: rr r ∂ ∂τ

= Derivada parcial de τ→ respecto a r→ (∂_iτ_jk..)

t ∂ ∂τr

= Derivada parcial de →τ respecto a t

La magnitud tensorial ∇⊗τ→ cuyo orden es el de τ→ más uno,será ahora la derivada parcial de τ→ respecto a r→ o derivada espacial y, por lo tanto, podremos escribir

(2) dt;(dt = 0):d =( )dr t + ) r (d = dt t + r )d ( = dτr rτ r rτ r rτ rτ rτ ∇ ⊗ rτ r ∂ ∂ ∇ ∂ ∂ ⊗ ∇

Estos conceptos son evidentemente aplicables al sistema objeto de nuestro estudio. Basta para ello considerar como variable vectorial r→ a la magnitud vector de posición y como variable escalar t a la magnitud temporal.

Así pues, de ahora en adelante, r→ y t se considerará que tienen el significado antedicho.

Señalemos, para evitar confusiones, que, en las expresiones tensoriales de este texto, todos los símbolos, sean de tensores, vectores o escalares representan magnitudes de punto. Asimismo, decimos tensor para significar magnitud de punto tensorial y vector cuando es vectorial.

Llamaremos constantes las magnitudes que tienen igual valor en cualquier punto y momento (p.e. el escalar 4), y uniformes las que tienen igual valor en todos los puntos del espacio aunque este valor varíe con el tiempo.

expresarse en la forma σ→ =∇⊗τ→, es decir,no todas son integrables espacialmente con una integral τ→.

Vamos a recordar algunas características de la integración espacial o sea de la operación opuesta a la deriva-ción espacial.

a) El orden tensorial de la integral espacial de una magnitud de punto es inferior al de ésta en una unidad.

b) Si τ→ es una integral de σ→ también lo será τ→+α→, siendo α→ cualquier magnitud uniforme de punto de igual orden que τ→. Esta magnitud uniforme, corresponde a la constante de integración del cálculo escalar ordinario, y la denominaremos tensor uniforme de integración. Tendremos por consiguiente:

σ

→ _{= ∇ ⊗ (τ→ + α→) = ∇ ⊗ τ→}

c) Si σ→ es una magnitud uniforme, o sea de derivada espacial nula, siempre es integrable, y su integral es σ→r→ + α→. Puesto que su producto contracto con cualquier vector a→, sabiendo que ∇r→=3 y ∇⊗r→=I→ (I→=tensor fundamental), resulta:

σ

→_a→ _{= σ}→_[a→_{(∇⊗r→)] = σ→[(a→∇)r→] = (a→∇)(σ→r→) = [∇⊗(σ→r→)]a→}

d) Hay que tener en cuenta que, al hablar de una integral, sobreentendemos la existencia de una constante de integración. Así pues en el caso b) podemos decir que τ→ es la integral de σ→ y al hablar de la integral de una magnitud nula diremos que es 0→, entendiendose que se trata de una magnitud uniforme. e) En un espacio vectorial n-dimensional, sabemos por cálculo tensorial, que la condición de integrabilidad espacial de una magnitud tensorial σ→ es que su circulación sea nula para cualquier circuito cerrado,es decir:

∫

y que esta condición equivale a la siguiente:

∇⊗σ→ = Magnitud tensorial con simetría entre las posiciones 1-2 (incluído el valor nulo).

1.03.- Vamos a considerar el tensor derivada parcial respecto a r→ cuando la magnitud de punto que examinamos es un vector v→ . Este tensor se expresará pues por ∇⊗v→ y es de segundo orden.

A los tensores de segundo orden sabemos descomponerlos en forma única en dos sumandos, uno simétrico y otro antisimétri-co y procediendo así antisimétri-con esta derivada y llamando v→⊗∇ al tensor transpuesto, tendremos: (3) ∇⊗v→ = [( v)+(v )] 2 1 + )] v ( -) v [( 2 1 _{∇⊗r r⊗∇ ∇⊗r r⊗∇}

Es fácil comprobar que el primer sumando es antisimé-trico y que el segundo es siméantisimé-trico:

)] v ( -) v [( 2 1 -= ) v ( -) v [( 2 1 = )] v ( -) v [( 2 1 Transp ∇⊗r r⊗∇ r⊗∇ ∇⊗r ∇⊗r r⊗∇ )] v ( + ) v [( 2 1 = )] v ( + ) v [( 2 1 = )] v ( + ) v [( 2 1 Transp ∇⊗r r⊗∇ r⊗∇ ∇⊗r ∇⊗r r⊗∇

1.04.- Expresemos por (m→×) siendo × el signo de multiplicación vectorial y m→ y n→ vectores cualesquiera, el tensor de 21 orden que verifica

(m→×)n→ = m→×n→

y vamos a demostrar que siempre es antisimétrico.

Efectivamente, el producto contracto de (m→×) por cualquier tensor simétrico, que siempre se puede expresar por

) a a (r ⊗i ri

Σ es nulo, como vamos a ver:

(m→×)[Σ(_ar_i⊗_ar_i)]=Σ[(mr ×_ar_i)_ar_i] = 0 y por tanto (m→×) es un tensor antisimétrico.

1.05.- Sea ω→ un vector función de v→ definido por la relaciòn

(4) ω→ = 2(∇×v→)

y efectuemos el producto contracto de (ω→×) con un vector n→ cualquiera. Se verifica: ] n ) v ( -n ) v [( 2 1 = )] n v ( -v ) n [( 2 1 = n ) v ( 2 1 = n = n ) (ωr× r ωr×r ∇×r ×r r∇ r ∇ rr ∇⊗r r r⊗∇ r y por consiguiente: (5) [( v)-(v )] 2 1 = ) (rω× ∇⊗r r⊗∇

Si llamamos π→ al tensor componente simétrico de ∇⊗v→ tendremos también: (6) [( v)+(v )] 2 1 = ∇⊗r r⊗∇ rπ

y, por lo tanto, podemos simplificar así la expresión de ∇⊗v→: (7) ∇⊗vr =(ωr×)+ πr

La ecuación de las trazas, como sabemos que con I→ tensor fundamental, la traza de cualquier tensor σ→ de segundo orden es I→σ→ , que la traza de a→⊗b→ es a→b→ y que la traza de un

tensor antisimétrico es nula, resulta ser:

(8) ∇v→ = I→π→

1.06.- Los tensores simétricos de segundo orden tales como π→ también sabemos descomponerlos, asimismo en forma única, en la suma de dos tensores simétricos, el uno π→2 de igual traza y

el otro π→1 de traza nula, ambos ortogonales entre sí. Conocemos

por cálculo tensorial que cuando π→ es el componente simétrico del tensor ∇⊗v→ se verifica: (9) I ( v = traza de v y de ) 3 v = 2 π πr ∇rr ∇r ∇⊗r r y por tanto π π r r r r r r r r r _{= v = Traza de} 3 I I ) v ( = I 3 v I = de Traza 2 ∇ ∇ ∇

Por todo ello podremos escribir: (10) πr = πr₁ + πr₂; ∇⊗vr =(ωr×)+ πr₁ + rπ₂

1.07.- Integrabilidad espacial en tensores de 20 orden. Consecuencia de lo expuesto en ' 1.02 es que un tensor σ

→ _{de segundo orden es integrable espacialmente, es decir, puede} expresarse por ∇⊗w→ siendo w→ alguna magnitud de punto vectorial, si y solo si se verifica:

∇⊗σ→ = Tensor con simetría entre 10 y 20 posición. (Incluyendo el tensor nulo).

y la constante de integración es vectorial.

En nuestro espacio tridimensional, y siendo ε→ el tensor de Ricci, podemos expresar esta condición con notación einsteniana de la siguiente manera:

(11) εijk(∂_iσ_js) = 0

La condición necesaria y suficiente para que σ→ sea el transpuesto de una derivada o sea un tensor como s→⊗∇ será en consecuencia:

∇⊗σ→ = Tensor con simetría entre 10 y 30 posición, o sea:

εrst(∂

rσjs) = 0

A la vista de las condiciones anteriores resulta que la condición necesaria y suficiente para que σ→ pueda ponerse

como funcion lineal de las dos formas anteriores es evidentemente:

posición,

εijk

εrst(∂

i∂rσjs) = 0

ó condición de congruencia de St. Vénant.

Esta última condición es evidentemente la que debe cumplir todo tensor para ser función lineal de un tensor derivada y de su transpuesto, como es el caso de los componentes (ω→×) y π→ antes estudiados en '10.5. El primero exige además la antisimetría y el segundo la simetría.

1.08.- Integrabilidad espacial de una magnitud de punto σ

→ _{antisimétrica (en todo punto y momento).}

Sea el tensor σ→ de antisimetría constante. Su derivada espacial será ∇⊗σ→ con antisimetría 2-3.

La condición de integrabilidad de σ→ es que la derivada espacial tenga simetría 1-2 ('1.07) y como esta simetría es incompatible con la antisimetría anterior, la condición se reduce a que la derivada espacial sea nula y por tanto σ→ uniforme.

Entonces la integral sabemos por '1.02c que es σ→r→. 1.09.- Integrabilidad espacial de un tensor αI→ (α magnitud escalar; I→ tensor fundamental).

Vamos a ver que solo es integrable para α uniforme y entonces la integral es αr→.

La condición de integrabilidad espacial es ('1.07) que ∇⊗σ→ tenga simetría 1-2. Pero como por hipótesis σ→ es simétrico, tendrá también la simetría 2-3 con lo que será completamente simétrico, y por lo tanto se habrá de verificar:

∇ ⊗ αI→ = ∇α ⊗ I→ = I→ ⊗ ∇α

El producto contracto de los miembros 11 y 31 de la igualdad anterior por el tensor I→, sabiendo que I→I→=3, que si a→ y b

→

son vectores se verifica I→(a→⊗b→) = a→b→, y que I→∇=∇, es:

Miembro 11 _ I→(∇ ⊗ αI→) = (I→∇)(αI→) = (∇I→)α = ∇α Miembro 31 _ I→(I→ ⊗ ∇α) = (I→I→)(∇α) = 3∇α

y como estas expresiones deben tener igual valor y esto solo es posible para ∇α = 0→, la condición de integrabilidad se reduce a que α sea uniforme o sea αI→ uniforme, y por '1,02c conocemos que la integral es αI→r→ o sea αr→.

1.10.- Vamos a ver ahora la integrabilidad de los componentes π→ y (ω→×) de ∇⊗v→ dados por (5) y (6), si ninguno es nulo. El doble de su derivada espacial será:

b) 2 ∇⊗(rω×)= ∇⊗[(∇⊗vr)-(vr⊗∇)]= ∇⊗∇⊗vr - ∇⊗vr⊗∇

y como los tensores que resultan de permutar los términos 1-2 son a) ∇⊗∇⊗vr + vr⊗∇⊗∇

b) ∇⊗∇⊗vr - vr⊗∇⊗∇

la condición de integrabilidad indicada en '1.07 que es la simetría 1-2 resulta ser tanto para π→ como para (ω→×):

0 = )] v ( -) v [( v = vr⊗∇ r⊗∇⊗∇ ⇔ ⊗ ∇⊗r r⊗∇ r ⊗ ∇ ∆

Esto significa que la condición común para que (ω→×) y π→ no nulos sean integrables, es que (ω→×) sea uniforme, o sea ω→ uniforme.

Al mismo resultado podíamos haber llegado, a partir de que en '1.08 se ha visto que la condición de integrabilidad de cualquier tensor uniformemente antisimétrico es que sea uniforme, - condición que también concurre en el tensor nulo,- y de que consideramos que la suma de integrales de los sumandos es la integral de la suma. En nuestro caso la integral de la suma de π→ y (ω→×) es v→.

Podremos pues considerar los casos siguientes: 11.- (ω→×) uniforme (con integral ω→×r→).

a) π→ uniforme (con integral π→r→ = v→ - ω→×r→).

b) π→ integrable no uniforme (con integral v→ - ω→×r→). 21.- (ω→×) no uniforme (no integrable).

π

→ _{no integrable.}

Tendremos en cuenta para ∇⊗v→ igual a (ω→×) uniforme, que se verificará ω→×r→ = v→ y π→=0→, y para ∇⊗v→ igual a π→, que se verificará (ω→×)=0→, y si además π→ es uniforme, será π→r→=v→.

Observaremos que hay algunos casos imposibles:

11.- ∇⊗v→ antisimétrico y no uniforme. Pues su escritura indica que tiene una integral que es v→ y su descripción, según '1.08, es la de un tensor no integrable.

21.- (ω→×) integrable y π→ no integrable. No es posible, según se demuestra en '1.10.

31.- (ω→×) no integrable y π→ integrable. No es tampoco posible, por igual motivo.

41.- ∇⊗v→ y π→. Uno uniforme y el otro no. Si el primero es uniforme, lo es su transpuesto, y por la ecuación (6) lo es el otro. Si el segundo es uniforme, es integrable, y por '1.10 sabemos que (ω→×) también lo es. El primero tendrá que ser uniforme por ser la suma de dos tensores uniformes.

El tensor π→2, cuya expresión según (9) es 1/3 (∇v→)I→,

por lo que hemos visto en '1.09, será integrable espacialmente si y solo si ∇v→ es uniforme [∇(∇v→)=0]. π→2 entonces será uniforme y

de derivada espacial nula. Tendremos también ∇⊗π→2 = 0

→ _{⇒ 0→ = I→(∇⊗π→}

2) = (I→∇)π→2 = ∇π→2

Por otra parte en '1,09 hemos visto que la condición de integrabilidad espacial de un tensor simétrico es que su derivada sea completamente simétrica. Por consiguiente, si el tensor σ→ es integrable y simétrico y si I→ es el tensor fundamen-tal, dicha condición se puede expresar así:

∇⊗σ→= σ→⊗∇ ⇒ I→(∇⊗σ→)=I→(σ→⊗∇) ⇔ (I→∇)σ→=(I→σ→)∇ ⇔ ∇σ→=(I→σ→)∇ con I→∇=∇ y con I→σ→ = traza de σ→.

En '1.06 se ha visto que la traza de π→ es ∇v→ y que la traza de π→1 es 0, y por tanto, para π

→

1 y π

→ _{podremos escribir las} siguientes condiciones:

π

→ _{integrable: I}→_{(∇⊗π→) =I→(π→⊗∇) ⇒ ∇π→ = (I→π→)∇ = ∇(∇v→)} π → 1 integrable: I →_(∇⊗π→ 1)=I →_(π→ 1⊗∇) ⇒ ∇π→1 = (I→π→1)∇ = 0→

Si →π y π→₂ son integrables a la vez, deberá serlo π→₁. Tendremos ∇(∇v→)=0→ por serlo π→2 y por tanto ∇π=0→. Veremos que se

cumplen las condiciones necesarias anteriores: ∇π→ = ∇(∇v→) = 0→

∇π→₁ = ∇π→ - ∇π→₂ = 0→ - 0→ = 0→

Estamos en este caso siempre que π→ sea uniforme, pues entonces su traza ∇v→ es uniforme, con lo que π→2 resulta

integra-ble y uniforme y en consecuencia π→1 también.

Recordaremos que en ' 1.10 hemos visto que π→ es integrable si y solo si (ω→×) es integrable.

1.12.- Vamos ahora a representar los tensores de segundo orden estudiados, en formas no intrínsecas asociadas a sistemas coordenados ortonormales. En estos sistemas los conjuntos de coeficientes de cada uno de los cuatro tipos existentes coinciden en un conjunto único, ya que la altura de los índices no varía entonces el valor de los coeficientes. No obstante, con el conjunto único, siguen habiendo dos formas mutuamente transpuestas de representación matricial según se considere de un factor a la derecha o a la izquierda. Nosotros nos situaremos en este último caso. En dichos sistemas se verifica además que la representación de un tensor simétrico es simétrica y la de un tensor antisimétrico es antisimétrica.

v = ) v ( ; v v v v v v v v v = } v { j i j i z z z y z x y z y y y x x z x y x x ∂ ⊗ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ′ ⊗r ∆ r ∆ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ′ × 0 ) v -v ( 2 1 ) v -v ( 2 1 -v -v ( 2 1 -0 ) v -v ( 2 1 ) v -v ( 2 1 ) v -v ( 2 1 -0 = } { y z z y z x x z y z z y x y y x z x x z x y y x ωr ) v -v ( 2 1 = ) ( i j j i j i ∂ ∂ × r rω ( _v + _v) 2 1 = ; v ) v + v ( 2 1 ) v + v ( 2 1 ) v + v ( 2 1 v ) v + v ( 2 1 ) v + v ( 2 1 ) v + v ( 2 1 v = } { i j j i j i z z y z z y z x x z y z z y y y x y y x z x x z x y y x x x ∂ ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ′ _π πr y también tendremos: ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ′ × ⇒ ∂ − ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ′ 0 -0 -0 = } { ) v v ( 2 1 = ; ) v -v ( 2 1 ) v -v ( 2 1 ) v -v ( 2 1 = } { x y x z y z j k k j i x y y x z x x z y z z y ω ω ω ω ω ω ω ω ωr r r

Tomando como direcciones coordenadas las propias de π→ su representación matricial es más sencilla pues resulta una matriz diagonal. Tenemos así:

v = v ; v 0 0 0 v 0 0 0 v 3 1 = } { ; v 0 0 0 v 0 0 0 v = } { i i 2 z z y y x x ∂ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ′ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ ∂ ′ r r r r r r _∆ ∆ ∆ ∆ π π

1.13.- Hasta aquí hemos hablado de las magnitudes de punto refiriéndonos solamente a su correspondencia con puntos del espacio-tiempo de un sistema de referencia elegido. Desde ahora podremos referirnos además a otro sistema, esta vez de puntos llamados materiales, distinto del anterior, y tal que en cada momento se corresponden un punto espacial del sistema de referencia y un punto material, de manera que se verifica:

a) Si dos puntos materiales son distintos lo son en cualquier momento.

b) A dos puntos materiales distintos corresponden siempre dos puntos espaciales distintos y recíprocamente.

c) A una línea continua de puntos materiales corresponde una línea contínua de puntos espaciales y recíprocamente.

La variación, con el tiempo, de la correspondencia entre puntos materiales y puntos espaciales se interpreta como movimiento del sistema material respecto al espacial de referen-cia y define una nueva magnitud de punto: la velocidad de los puntos materiales. Aquí la consideraremos como función regular del radio de posición y del tiempo.

Por consiguiente, todo lo que hemos dicho acerca de las magnitudes vectoriales de punto tendrá validez para la velocidad material y más teniendo en cuenta que a estas magnitudes las hemos representado genéricamente con una v→, que es el símbolo corriente para la velocidad.

1.14.- Establecida como magnitud de punto la velocidad v

→ _{puntual de la materia, su conocimiento establece una ligadura} entre las magnitudes radio de posición y tiempo, que corresponde al movimiento del sistema material y que es la siguiente:

dr→ = v→dt

Esta ligadura nos permite hallar las variaciones de una magnitud de punto cualquiera cuando se refiera a un punto material.

Para ello utilizaremos la igualdad (2), en la que previamente habremos dividido cada miembro por dt. Se obtiene: (12) t + ) v ( = t + ) ( v = dt d ∂ ∂ ∇ ∂ ∂ ⊗ ∇ τ τ τ τ τ _{r r} r _{r r} r r

y en esta expresión no figura r→.

El primer miembro define ahora la que llamaremos derivada de τ→ sin más, y que representa la relación por cociente entre la variación de τ→, referida al mismo punto material de velocidad v→, y el tiempo transcurrido.

En cuanto a la derivada parcial de τ→ respecto a t significa lo mismo que en (2), es decir, la relación por cociente entre la variacion de τ→, referida al punto espacial fijo, y el tiempo transcurrido.

1.15.- Actos de movimiento.

un instante dado, al conjunto de velocidades que entonces tienen sus puntos. Bajo los supuestos de este estudio, siempre existe una función regular del vector de posición, que determina las distintas velocidades que corresponden a un momento considerado, función que define el acto de movimiento. Diremos que el sistema que estudiamos es un sistema regular y que todos los actos de movimiento del sistema son regulares.

1.16.- Acto de movimiento homográfico.

Decimos que es homográfico todo acto de movimiento que define las velocidades de los puntos materiales en función de los radios vectores con esta expresión:

(13) v→-v→₀ = τ→(r→-r→₀) ⇔ (-c→=τ→r→₀-v→₀): v→ = τ→r→ + c→

siendo v→₀ la velocidad del punto material situado en r→₀, →τ un tensor uniforme y c→ un vector uniforme.

Vamos a ver que en este acto de movimiento se conservan las alineaciones rectas. Efectivamente, en el tiempo dt el punto material r→ ha pasado a r→' y por tanto

r→' = r→ + v→dt = I→r→ + (τ→dt)r→ + c→dt = (I→+τ→dt)r→ + c→dt Sean ahora tres puntos r→₁, r→₂ y r→₃. Tendremos:

λ1r →_' 1 = (I → _{+ τ→dt)λ} 1r → 1 + λ1c →_dt λ2r →_' 2 = (I → _{+ τ→dt)λ} 2r → 2 + λ2c →_dt λ3r →_' 3 = (I → _{+ τ→dt)λ} 3r → 3 + λ3c →_dt y sumando miembro a miembro:

λ1r →_' 1+λ2r →_' 2+λ3r →_' 3 =(I →_+τ→dt)(λ 1r → 1+λ2r → 2+λ3r → 3)+(λ1+λ2+λ3)c →_dt

Si r→₁, r→₂ y r→₃ están en línea recta y λ₁+λ₂+λ₃ = 0 tendremos λ1r → 1 + λ2r → 2 + λ3r → 3 = 0 → y por tanto λ1r →_' 1 + λ2r →_' 2 + λ3r →_' 3 = 0 →

lo que significa que r→'₁, r→'₂ y r→'₃ están en línea recta, como queríamos demostrar.

Es fácil deducir de ello que también se conservan la

planitud y el paralelismo y que todas estas cualidades se mantienen con actos sucesivos de movimiento homográfico a través

del tiempo.

1.16.- La integral espacial de τ→ uniforme, sabemos por '1.02c que es τ→r→+c→ y por tanto v→ es la integral de τ→ y ∇⊗v→ coincide con τ→.

Así pues, todo acto de movimiento homográfico, es un acto de movimiento regular con ∇⊗v→ tensor uniforme.

En un sistema regular, en el entorno infinitesimal de un punto r→, sabemos que siempre se verifica:

(14) dv→ = (∇ ⊗ v→)dr→

y como ésta es la ecuación diferencial de la (13), podemos decir que todo acto de movimiento regular es localmente homográfico y que en el entorno infinitesimal de un punto material se conservan a través del tiempo la alineación recta, la planitud y el paralelismo.

Cuando ∇⊗v→ es un tensor uniforme, también podremos decir que todo acto de movimiento regular es homográfico.

1.17.- Como sabemos descomponer ∇⊗v→ según (7) y (10), la ecuación (13) se puede escribir en esta forma:

v → _{= (∇⊗v→)r→ + c→ = ω→×r→ +π→r→ + c→ = ω→×r→ + π→} 1r → _{+ π}→ 2r →_{+ c}→

con todos los tensores uniformes por serlo ∇⊗v→ y por tanto integrables y v→ resulta la suma vectorial de las velocidades parciales o integrales en la forma que corresponda a las ecuaciones anteriores.

Llamamos velocidad de rotación a ω→×r→, con ω→ vector de rotación o simplemente rotación, velocidad de deformación a π→r→, velocidad de deformación sin dilatación a π→1r

→ _{y velocidad de} dilatación a π→2r

→_{. Al vector uniforme de integración c}→ _{le llamamos} velocidad de traslación, y de acuerdo con lo formulado en (13), es la velocidad del punto material situado en el origen de coordenadas, dependiendo por tanto de éste.

Según los valores adoptados por los componentes de ∇⊗v→, podremos establecer distintos tipos de actos de movimiento homográficos. De momento consideraremos solamente el acto de movimiento rígido.

1.18.- Acto de movimiento rígido

Un acto de movimiento rígido es un acto de movimiento homográfico en el que π→ uniforme es nulo.

Tendremos →τ = ∇⊗v→=(ω→×), con lo que la forma de la ecuación (13) que corresponde al movimiento rígido es:

(15) v→ = ω→×r→ + c→

Así como cualquier acto de movimiento regular es localmente homográfico en el entorno infinitesimal de cada punto, será localmente rígido en dicho entorno sólo para los puntos en que π→ sea nulo.

El acto de movimiento rígido también puede definirse como el acto de movimiento homográfico que conserva la distancia entre un par cualquiera de puntos materiales. Es decir, que para dos puntos cualquiera r→₁ y r→₂, la velocidad relativa de uno respecto al otro ó diferencia entre sus velocidades, es un vector

ortogonal a la recta de unión de los puntos, ó sea a r→₁-r→₂.

Teniendo presente la ecuación (13) la condición anterior puede expresarse con la ecuación:

(∀r→1)(∀r→2): (τ →_r→ 1 - τ →_r→ 2)(r → 1 - r → 2) = 0 →

que, llamando a→ a la diferencia r→₁-r→₂, podemos escribir así: (∀a→): 0 = (τ→a→)a→ = τ→(a→⊗a→)

Si y sólo si el tensor τ→ es antisimétrico, verificará esta igualdad, ya que decir que un tensor es ortogonal a a→⊗a→ para cualquier a→, es lo mismo que decir que es ortogonal a cualquier tensor simétrico, pues Σ(a→i⊗a→i) es una representación

exclusiva de los tensores simétricos.

Como una forma de expresión propia de los tensores antisimétricos es la de (ω→×), esto nos conduce a la ecuación (15) y por tanto las dos definiciones son equivalentes.

1.19.- Por todo lo que antecede vemos que en todo acto de movimiento rígido, la velocidad de un punto material puede considerarse compuesta por una rotación ω→×r→ y una traslación c→. La rotación es la integral de (ω→×), y c→ es el vector uniforme de integración que depende del origen elegido para los vectores de posición.

Cuando se adopta como origen un punto espacial, si existe, correspondiente a un punto material inmóvil, el vector c→, que siempre es igual a la velocidad del punto material que coincide con el origen, es nulo.

Como ni las velocidades v→ ni los tensores ∇⊗v→ y (ω→×) varían con el origen o punto de referencia, con un cambio de origen, cambia solamente la distribución del valor de v→ entre los de las velocidades de rotación y traslación.

1.20.- Si y sólo si c→ es ortogonal a ω→ podremos anularlo con un cambio de origen. Si se cumple esta condición, el lugar geométrico de los orígenes que anulan a c→ es una línea recta, cuya dirección es la de ω→, que recibe el nombre de eje instantáneo de rotación. Decimos entonces que la materia gira, en este momento, alrededor de este eje.

Si r→' es un nuevo origen que anula a c→, es preciso que se verifique:

ω→×r→ + c→ = ω→×(r→-r→') ⇔ -c→ = ω→×r→'

y esto es imposible si c→ no es ortogonal a ω→, pero si lo es, siempre tendrá solución la última ecuación en r→' y entonces los puntos solución forman una línea recta paralela a ω→.

Hemos visto que a ∇⊗v→ uniforme corresponde un acto de movimiento homográfico, que incluye a los rígidos. Pero en general ∇⊗v→ no será uniforme y entonces, tal como hemos visto en '1.10, solo existen dos posibilidades en la integración:

a) (ω→×) y π→ integrables. Como la integral de ∇⊗v→ es v→, la de la velocidad de rotación (ω→×) es ω→×r→ y π→ no será uniforme. La integral de π→, ó velocidad de deformación total, valdrá:

v→ - ω→×r→ (≠ π→r→)

b) (ω→×) y π→ no integrables. No existen como magnitudes de punto ni la velocidad de rotación ni la de deformación, aunque se verifique en cada punto

dv→ = (∇⊗v→)dr→ = ω→×dr→ + π→dr→

sin que ω→×dr→ ni π→dr→ sean diferenciales espaciales de ninguna magnitud de punto.

1.22.- Sistemas coordenados euclidianos.

Los sistemas coordenados euclidianos tienen la misma característica que distingue a los cuerpos rígidos, que es que la distancia entre sus puntos es invariable con el tiempo. Se distinguen en que en un caso nos referimos a puntos espaciales y en el otro a puntos materiales.

Ello da lugar a la creación del concepto de sistema coordenado en movimiento tal como se utiliza en cinemática. Estos sistemas se mueven respecto al sistema coordenado original a la manera de cuerpos rígidos y la velocidad de los nuevos puntos de referencia se regirá por la ecuación (15) como si fueran puntos de un sistema rígido en movimiento.

Cada sistema coordenado en movimiento se caracteriza pues por una rotación ω→ y una traslación c→, y se puede conside-rar la suma de una rotación y de una traslacion sin que el orden de los sumandos influya en el resultado.

Si una magnitud de punto material es escalar o en su definición no interviene el tiempo, evidentemente no variará su valor para un punto material y momento dados, según nos refiramos al sistema original o al sistema en movimiento. Pero con la intervención del tiempo no es evidente que suceda lo mismo, por cuya razón habrá que examinar los efectos producidos.

1.23.- Sea una magnitud de punto material vectorial w→, y un sistema de referencia considerado fijo que llamaremos original ó 1 para distinguirlo de otro nuevo sistema de referen-cia ó sistema 2, móvil con rotación ω→ y traslación c→ respecto al 1, y vamos a ver qué sucede con la magnitud derivada según se considere en relación con el sistema 1 ó con el sistema 2.

Refiriéndonos a un determinado punto material, sean w→ y w

el sistema 1 y tracemos sus equipolentes desde el origen de vectores de posición de este mismo sistema.

Los vectores de la magnitud según el sistema 2, serán en general distintos a los anteriores y si trazamos sus equipo-lentes desde el mismo punto que antes, como siempre podremos hacer coincidir un vector 1 con un vector 2 relativos al mismo instante, lo haremos con los del instante t+dt.

De acuerdo con esta representación, la variación de w→ en el intervalo dt para el sistema 1 sigue siendo dw→ o sea la diferencia (w→ + dw→) - w→ entre los vectores correspondientes a t+dt y t en el sistema 1. Para el sistema 2, el minuendo será el mismo, pero el sustraendo es una teórica nueva posición del vector w→, supuesto formando parte integrante del sistema 2, al cabo del tiempo dt, y que podemos calcular con la ecuación (15) aplicada a sus puntos extremos w→ y 0→.

w →_{' = w+ (ω→×w→ + c→)dt - (0→ + c→)dt = w→ + (ω→×w→)dt} y por lo tanto dw→₂ = w→+dw→-[w→+(ω→×w→)dt] = dw→ - (ω×w→)dt ⇔ dw→ = (ω→×w→)dt + dw→2 de donde obtenemos (17) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ × ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ dt w d + w = dt w d 2 1 r r r r ω

De esta expresión deducimos:

a) La ecuación sigue válida si consideramos fijo el sistema 2, pues en este supuesto la rotación es inversa. Y es fácil ver que continúa así si el sistema fijo es un sistema 3 distinto del 1 y del 2 como se deduciría de las ecuaciones 1-3 y 3-2.

Para comparar la derivada en 1 con la derivada en 2, no es pues preciso saber si un determinado sistema es realmente fijo. Basta conocer la rotación relativa, y si es nula las derivadas son iguales.

b) Si la magnitud ω→ es variable, su variación es la misma en los dos sistemas. Puesto que ω→×ω→= 0→.

c) La aplicación de (17) a una magnitud vectorial de punto material obliga a tratar las derivadas obtenidas mediante el sistema 1, como pertenecientes a una magnitud distinta de la correspondiente a las derivadas obtenidas mediante el sistema 2. Sólo coinciden sus valores cuando la rotación relativa es nula. Debemos tener todo esto en cuenta si volvemos a aplicar la ecuación (17) a estas magnitudes derivadas

velocidades obtenidas según cada sistema, evidentemente los vectores de posición deberán corresponder a una misma magnitud y por tanto a un mismo origen en cada momento.

1.24.- Antes de pasar adelante recordaremos que el producto matricial de dos tensores de segundo orden τ→ y σ→, que se expresa por τ→∗σ→ con ∗ como signo de multiplicación matricial, es el que con cualquier vector n→ verifica

(τ→∗σ→)n→ = τ→(σ→n→)

1.25.- Cuando la magnitud de punto material que se deriva es un tensor empezaremos el estudio para el caso de que el tensor sea un producto tensorial de dos vectores y aplicaremos la regla hallada para los vectores a cada uno de los factores. Tendremos: ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⊗ ⊗ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⊗ ⊗ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⊗ dt b d + ) b x ( a + b dt a d + ) a x ( = dt b d a + b dt a d = dt ) b a d( 2 2 1 1 1 r r r r r r r r r r r r r r ω ω ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⊗ ⊗ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⊗ ⊗ dt b d a + b dt a d + ) b x ( a + b ) a x ( = 2 2 r r r r r r r r r r _ω ω

Efectuemos la multiplicación contracta del primer término del último miembro por un vector cualquiera m→:

[(ω→×a→)⊗b→]m→ =[(ω→×a→)m→]b→ =[a→(m→×ω→)]b→ =(a→⊗b→)(m→×ω→) = =-(a→⊗b→)(ω→×m→) = -[(a→⊗b→)∗(ω→×)]m→ ⇔ (ω→×a→)b→ = - (a→⊗b→)∗(ω→×)

Operando igual con el segundo término: [a→⊗(ω→×b→)]m→ =(a→m→)(ω→×b→) =ω→×[b→(a→m→)] =(ω→×)[(a→b→)m→ =

= [(ω→×)∗(a→⊗b→)]m→

⇔ a→⊗(ω→×b→) = (ω×)∗(a→⊗b→)

Para el tercero y el cuarto se tiene: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⊗ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⊗ ⊗ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ dt ) b a d( = dt b d a + b dt a d 2 2 2 r r r r r r

Efectuando sustituciones queda:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⊗ ⊗ ∗ × × ∗ ⊗ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⊗ dt ) b a d( + )] b a ( ) [( + )] ( ) b a [( -= dt b a d( 2 1 r r r r r r r r r r ω ω

y esto nos autoriza a escribir para cualquier tensor τ→ de segundo orden:

(18) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ × ∗ ∗ × ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ dt d + )] ( [ ] ) [( = dt d 2 1 τ ω τ τ ω τ _{r r r r} r r

1.26.- Sistema natural de referencia.

Sea, en un momento dado, un punto material de velocidad v→₀, con derivada espacial ∇⊗v→ = (ω→×)+π→, que tomaremos como origen de los vectores de posición r→. Para su entorno infinitesimal tendremos: r + r = r ) v ( = dt r dr _∇⊗r r _ω×r _{r πrr}

Si adoptamos un sistema de referencia 2, móvil respecto al sistema original o sistema 1, con rotación ω→ y traslación v→₀, a este último lo llamaremos sistema natural de referencia para el punto considerado. Según hemos visto, se ha de verificar la ecuación (17) que en este caso será

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ × ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ dt r d + r = dt r d 2 1 r r r r ω

y como también, al mismo tiempo, se verifica en aquel entorno la otra ecuación anterior, resulta para sus puntos:

(19) = r dt r d 2 r r r π ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

es decir, que π→r→ expresa la velocidad de los puntos del entorno infinitesimal del origen en el sistema natural de referencia.

2. Aceleraciones. Volumen y masa específica.

2.01.- Sabemos que la aceleración de un punto material es la variación de su velocidad por unidad de tiempo.

En consecuencia, podremos aplicar a la aceleración la ecuación (12) según lo visto en '1.14, y se verificará:

(20) t v + v ) v ( = t v + ) v ( v = dt v d = a ∂ ∂ ∇ ∂ ∂ ⊗ ∇ r r r r r r r r

2.02.- Sea el producto contracto de una magnitud tensorial de punto de cualquier orden tensorial por un tensor operador tal como ∇, (∇×) ó (∇⊗) que representaremos por φ→.

Siempre se verificará la igualdad

(21) ( ) t = t φτ τ φr r rr ∂ ∂ ∂ ∂

cuyos miembros son de igual orden y que expresa la permutabilidad entre derivadas parciales propia de un sistema euclidiano.

Vamos a demostrar que con v→=velocidad se verifica:

(22) ( )+ [v( )] dt d = dt d τ φ τ φ τ φr r rr r r ∇⊗r

en cuyo último término, φ→, como operador de derivación, actúa solo sobre v→.

Por regla general, en nuestros desarrollos, y cuando pueda haber duda, subrayaremos la magnitud sobre la que actúa un operador de derivación. En este mismo último término figura el operador de derivación ∇ aplicado a τ→ y no se ha efectuado indicación especial por considerar suficiente que τ→ se haya escrito a la derecha de ∇. Si lo considerásemos necesario se indicaría con algún signo la relación entre operador y el tensor sobre el que actúa.

Para demostrar (22), multiplicando por φ→ los dos miembros de la ecuación (12) tendremos:

] ) v [( + t = dt d τ _{φ τ} φ τ φr r r r r r∇r ∂ ∂

y desarrollando el primer término del 21 miembro por (21) y después por (12) considerando ϕ→τ→ en lugar de τ→

) )( v ( -) ( dt d = ) ( t = t φτ φτ φτ τ φr r rr rr r∇ rr ∂ ∂ ∂ ∂

y el segundo por cálculo diferencial (ϕ→ se refiere a τ→ y v→) ϕ→[(v→∇)τ→] = ϕ→[(v→∇)τ→] + ϕ→[(v→∇)τ→] = (v→∇)(ϕ→τ→) + ϕ→[v→(∇⊗τ→)] al sustituir en la ecuación primitiva, tendremos

) ( dt d = dt dτ _φτ φr r rr - (v→∇)(ϕ→τ→) + (v→∇)(ϕ→τ→) + ϕ→[v→(∇⊗τ→)]

y como los términos segundo y tercero del segundo miembro se anulan entre sí, queda la ecuación (22).

2.03.- La ecuación (22) evidentemente será válida cuando por tensor τ→ consideremos la velocidad v→, con lo que la escribiremos así:

(23) ϕ→a→ =

dt

d _{(ϕ→v→) + ϕ→[v→(∇⊗v→)]}

Sabiendo por (7) que se verifica v

→_{(∇⊗v→) = v→(ω→×) + vπ→ = ω×v→ + π→v→} también se puede escribir en esta otra forma:

(24) ϕ→a→ =

dt

d _{(ϕ→v→) + ϕ→(ω→×v→) + ϕ→(π→v→)}

y nos permitirá desarrollar las expresiones ∇a→,2∇×a→ y ∇⊗a→. 2.04.- Vamos a aplicar la ecuación (23) al desarrollo del tensor ∇⊗a→. Para ϕ→ igual a (∇⊗) podremos escribir:

)] v ( v [( + dt ) v d( = ar ∇⊗r ∇⊗ r ∇⊗r ⊗ ∇

Pero el primer término del 21 miembro con (7) verifica:

dt d + dt d = ] + ) [( dt d = ) v ( dt d ω π π ωr r r r r _⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _× × ⊗ ∇

y utilizando un vector auxiliar m→ cualquiera con el segundo término, tendremos

{∇⊗[v→(∇⊗v→)]}m→ =(m→∇)[v→(∇⊗v→)] =(∇⊗v→)[(m→∇)v→] =(∇⊗v→)[(∇⊗v→)m→] y por ser m→ un vector cualquiera y de acuerdo con '1.24, se tiene

∇⊗[v→(∇⊗v→)] = (∇⊗v→) ∗ (∇⊗v→)

Sustituyendo los dos términos por las expresiones halladas podremos escribir

(25) ( v)+[( v) ( v)] dt d = ar ∇⊗r ∇⊗r ∗ ∇⊗r ⊗ ∇

Por ser (∇⊗v→) igual a (ω→×)+π→ también se verificará:

(26) +[( )( )]+{[( ) ]+[ ( )]}+( ) dt d + dt d = ar ωr _⎟ πr ωr×∗ωr× ωr×∗πr πr∗ωr× πr∗πr ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _× ⊗ ∇ 2.05.- Cálculo de ∇a→.

Aplicando la ecuación (24) al caso ϕ→= ∇ tendremos: ) v ( + ) v ( + ) v ( dt d = ar ∇r ∇ωr×r ∇πrr ∇

y como ω→=2(∇×v→) por definición y (ω→×) y π→ son ortogonales por ser uno antisimétrico y el otro simétrico, y además (v→⊗∇) es el transpuesto de [(ω→×)+π→] se verifica: ∇(ω→×v→) = ω→(v→×∇) = -ω→(∇×v→) = -ω→(2ω→) = -2ω→2 ∇(π→v→) = π→(v→⊗∇) = π→[π→-(ω→×)] = π→π→ tendremos finalmente: (27) r ( vr)- 2_ωr + πrπr dt d = a _∇ 2 ∇ 2.06.- Expresiones de 2(∇×a→).

Antes de hacer este estudio, advertiremos que cuando usamos expresiones en que figuran dos operadores ∇ que afectan a dos vectores iguales a v→ en distinta situación, de manera que cada ∇ afecta a un solo v→, entenderemos que ∇ afecta solo a v→ y que ∇ sin subrayar afecta solo a v→ sin subrayar.

Sabiendo que ω→=2(∇×v→), aplicaremos las ecuaciones generales (23) y (7) al caso que nos ocupa, obteniendo:

(28) [v( v)] 2 1 + dt d = )] v ( v x[ 2 1 + ) v ( dt d 2 1 = ) a ( 2 1_{∇×r ∇×r ∇ r ∇⊗r} ωr _{∇× r ∇⊗r} (29) ∇×[vr(∇⊗vr)]= ∇×(ωr×vr)+ ∇×(πrvr)

Como el vector ∇×[∇(v→v→)] resulta idénticamente nulo, puesto que los dos factores v→ ocupan posiciones equivalentes y por tanto ∇×[∇(v→v→)] = 3(∇×∇)(v→v→) = 0→, y como ω→=2(∇×v→), al desarrollar el último término de la primera ecuación por una

conocida propiedad del doble producto vectorial,tendremos: ∇×2[v→(∇⊗v→)] = ∇×2[(v→∇)v→] = ∇×2[(v→∇)v→] - ∇×2[∇(v→v→)] = ∇×2[{(v→∇)v→} - {∇(v→v→)}] = ∇×2[(∇×v→)×v→] = ∇×(ω→×v→)

De acuerdo con esto y teniendo en cuenta la ecuación (29) podemos establecer:

(30) 2{∇×[v→(∇⊗v→)} = ∇×(ω×v→) = ∇×(πv→) con lo que la ecuación (28) se podrá ampliar así:

(31) + ( v) dt d = ) v ( + dt d = )] v ( v [ 2 1 + dt d = ) a ( 2 1 r r r r r r _r ωr _πrr ω ω ω _{∇× ∇⊗ ∇× × ∇×} × ∇

Si desarrollamos ∇×(ω→×v→) por la anterior propiedad del doble producto vectorial se verifica

∇×(ω→×v→) = ω→(∇v→) - (ω→∇)v→ y como

(ω→∇)v→= ω→(∇⊗v→) = (ω→×)ω→ + π→ω→ = π→ω→ sustituyendo en la anterior expresión obtenemos

∇×(ω→×v→) = (∇v→)ω→ - π→ω→ y finalmente tenemos: (32) ω ωr r πrωr r r _{+ ( v)} -dt d = ) a ( 2 1_{∇× ∇}

2.07.- La expresión (26) de ∇⊗a→ se compone de cinco términos, y es fácil comprobar que el primero y el cuarto son antisimétricos y que los demás son simétricos.

Siendo ∇a→ la traza de ∇⊗a→, es también igual a la suma de trazas de los términos simétricos

) ( I + )] ( ) [( I + dt d I = ) a ( I = ar r ∇⊗r r πr r ωr×∗ωr× r πr∗πr ∇

Para el primer término del segundo miembro, de acuerdo con (8), se verifica ) v ( dt d = ) I ( dt d = dt d Ir rπ rrπ ∇r

y para el tercer término, teniendo en cuenta que un tensor simétrico puede representarse siempre en la forma ∑(ai⊗ai) y que

I

→_{(π→∗π→) = ∑∑I→[(a→}

i⊗a→i)∗(a→j⊗a→j)] = ∑∑I→[(a→ia

→

j)(a

→

j⊗a→i) =

= ∑∑[(a→_ia→_j)(a→_ia→_j)] = ∑∑[(a→_i⊗a→_i)(a→_j⊗a→_j)] = π→π→ Sustituyendo queda π π ω ωr r rr r r r _{( v)+ I[( )( )]+} dt d = a ∇ ×∗ × ∇

Por otra parte, el tensor [2(∇×a→)×],que según (4) y (7) es la componente antisimétrica de ∇⊗a→, será igual a la suma de los términos antisimétricos, o sea:

)}] ( { + } ) [{( + dt d = ] ) a ( 2 1 [ ⎟ ×∗ ∗ × ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _× × × ∇ r ωr ωr πr πr ωr

Teniendo en cuenta estos resultados, de la comparación de las últimas expresiones de ∇a→ y [2(∇×a→)×] con las ecuaciones (27) y (31), resulta:

I→[(ω→×)∗(ω→×)] = - 2ω→2

[(ω→×)∗π + π→∗(ω→×)] = [∇×(π→v→)]× como se podría demostrar directamente.

2.08.- Movimiento en volumen

Sea un punto material O y en el sistema de referencia natural de este punto una superficie continua y cerrada que, conservando siempre el punto en su interior, tiende hacia cero al mismo tiempo que el volumen que determina.

Llamaremos ds→_i a los elementos vectoriales que corresponden a cada elemento de la superficie al adoptar para sentido positivo el centrífugo y r→_i a los vectores de posición con origen en O de tales elementos superficiales. Tendremos por hipótesis ∑ds→i=0

→_.

Refiriéndonos ahora a la materia encerrada en esta superficie y a su movimiento a través del tiempo, el incremento de su volumen dV en un tiempo dt será la suma de los espacios barridos por cada elemento de superficie ds→_i, desde la posición original de la materia a la posición posterior determinada por el vector velocidad v→_ri correspondiente y el tiempo dt, posición posterior que tiende a ser paralela a la primitiva al tender dt a cero.

Como el espacio barrido por un elemento de superficie es entonces dV_i= ds→_i(v→_ridt), al ser I→ el tensor fundamental y saber por (19) que v→_ri= π→r→_i, podremos escribir

dV_i = (I→ds→_i)(πr→_i)dt

el elemento de volumen V con el siguiente resultado: dV = (I→π→)V dt

y como I→π→ sabemos por (8) que es igual a la traza de ∇⊗v→ cuyo valor es ∇v→, escribiremos: dV = (∇v→)V dt ⇔ (33) ( V) dt d = v = dt V dV dt ) v ( = V dV l r r _{⇔ ∇} ∇ ⇔

Así pues, para cada punto, ∇v→ es igual a la velocidad relativa del aumento de volumen.

El sentido positivo adoptado para los vectores que representan los elementos de superficie, nos ha permitido hacer corresponder en el cálculo, una diferencial de volumen positiva con una dilatación y una negativa con una compresión.

El mismo resultado habríamos obtenido sin acudir al sistema de referencia natural del punto 0, pues aparecería entonces ∇⊗v→ en lugar de π→, pero I→π→=I→(∇⊗v→)=∇v→.

2.09.- Conservación de la masa.

Como cada partícula infinitesimal de materia con volumen V y masa específica ρ tiene una masa ρV, en Mecánica podemos expresar la ley de la conservación de la masa, con la condición Cte. = V + 0 = V dV + d 0 = V) d( _{lρ l} ρ ρ ρ ⇔ ⇔

para cualquier particula identificable, en cualquier cambio de situación espacio-temporal.

Por consiguiente, de acuerdo con (33) tendremos:

(34) = -( v) dt d dt ) d(-= v 0 = )dt v ( + d _∇r r _{⇔ ∇r l}ρ _⇔ ρ _ρ∇r ρ ρ

Como por otra parte por (12) se verifica

t + ) v ( = dt d ∂ ∂ ∇ρ ρ ρ _r

restando de esta ecuación la anterior miembro a miembro, tenemos ⇔ ∂ ∂ ∇ ∂ ∂ ∇ ∇ t + ) v ( = t + ) v ( + ) v ( = 0 r ρ ρ r ρ ρr ρ

(35) = - ( v) t r ρ ρ _∇ ∂ ∂

Esta igualdad es la que expresa normalmente la ley de conservación de la masa en un sistema material móvil regular.

2.10.- Podemos hallar una expresión de la condición anterior en función de cualquier magnitud tensorial τ→ de punto material, pues por cálculo diferencial sabemos que se verifica:

dt d + dt d = dt ) d( ρ τ τ ρ τ ρr r _r

y dando el valor de (34) a la derivada de ρ, se obtiene: (36) dt ) d( + ) v )( ( = dt d ) v )( ( -dt d = dt ) d( ρτ τ ρ τ ρ τ ρ τ ρ τ ρr r _{r ∇r ⇔} r _{r ∇r} r

2.11.- Finalmente hallaremos otra expresión interesante de la misma condición, referida a derivadas parciales. Para ello desarrollaremos los dos últimos términos de la última ecuación. El segundo término aplicando (2) a ρτ→.

ρτ→(∇v→) = ∇(v→⊗ρτ→)= ∇(v→⊗ρτ→)- ∇(v→⊗ρτ→) = ∇(ρv→⊗τ→)-(v→∇)(ρτ→) (37) t ) ( + ) )( v ( = dt ) d( ∂ ∂ ∇ ρτ ρτ τ ρr _{r r} r

Sustituyendo su suma en la 20 ecuación (36) y teniendo en cuenta que se anulan entre sí dos de los términos resultantes, obtenemos finalmente (38) t ) ( + ) v ( = dt d ∂ ∂ ⊗ ∇ρ τ ρτ τ ρ r r r r

2.12.- Deformaciones. Posición original.

Vamos a estudiar ahora los sistemas materiales en movimiento regular, haciendo referencia a una situación y a una distribución especial de sus puntos materiales estimadas posibles para un momento dado, y concretamente supondremos que esta distribución corresponde al estado natural o de no deforma-ción de la materia.

Admitida la posibilidad de tal estado, podremos considerar que cada punto material móvil corresponde a un punto espacial único y determinado del sistema de referencia que indica su posición en una distribución ideal de no deformación. Queda así definida una magnitud vectorial p→ de punto material que denominaremos punto o vector de posición original.

El valor de p→ es así una señal de identidad del punto material a través del tiempo, y se verifica siempre:

(39) = 0 dt

p dr r

En un instante dado y refiriéndonos a un punto en que la derivada espacial de p→ es ∇⊗p→, para otro punto material de su entorno infinitesimal tendremos según (2):

(40) dp→ = (∇⊗p→)dr→

o sea que ∇⊗p→ es el tensor de la aplicación lineal que en este momento hace corresponder al vector distancia actual dr→ entre dos puntos materiales el vector distancia natural dp→ entre los mismos. Su componente simétrica (∇⊗p→)s señala, por tanto, la

configuración estructural de la materia en el entorno infinitesi-mal común y su componente antisimétrica (∇⊗p→)a indica la rotación

efectuada respecto a la posición considerada como original. El núcleo del tensor ∇⊗p→ ha de ser únicamente el vector nulo, puesto que de lo contrario, a algún dr→ no nulo correspondería dp→=0→, o sea la existencia de un mismo punto material en dos puntos geométricos distintos, y esto se opondría a la hipótesis admitida sobre la naturaleza del cuerpo elástico. Esta característica se puede expresar así:

(41) El tensor ∇⊗p→ es un tensor regular.

Sólo en los puntos de una zona en estado natural se verificará pues:

(∇⊗p→)s = ∇⊗r→ = I→; ∇p→ = ∇r→ = 3;

2.13.- Vector desplazamiento.

Llamaremos así al vector diferencia entre el vector de posición r→ de un punto material y el vector p→ propio del punto y lo representaremos por s→. Así pues, para todo punto material se verificará; s → _{= r}→ _{- p}→ ∇⊗s→ = ∇⊗r→ - ∇⊗p→ = I→ - ∇⊗p→ ∇s→ = ∇r→ - ∇p→ = 3 - ∇p→ t p -= t s ; v = dt r d = dt s d ∂ ∂ ∂ ∂r r r r r

y en el estado natural, indicando con subíndice s el componente simétrico de un tensor, se verifica:

(∇⊗s→)s = 0

→_{; ∇s→ = 0→} 2.14.- Relación entre ∇⊗p→ y ∇⊗v→.

Teniendo en cuenta (39) al aplicar la ecuación (12) a la magnitud p→, obtenemos: t p + p ) v ( = 0 = dt p d ∂ ∂ ∇ r r r r r

Derivando espacialmente miembro a miembro se tiene: ) p ( t + ] p ) v [( + ] p ) v [( = t p + ] p ) v [( = 0r r r r r r r r ∇⊗r ∂ ∂ ∇ ⊗ ∇ ∇ ⊗ ∇ ∂ ∂ ⊗ ∇ ∇ ⊗ ∇

y desarrollando los tres últimos términos (ver apéndice), y sustituyendo por sus expresiones finales obtenemos:

) p ( dt d = ) v ( ) p ( ) p ( dt d + ) v ( ) p ( = 0r ∇⊗r ∗∇⊗r ∇⊗r ⇔ ∇⊗r ∗∇⊗r ∇⊗r

Si tenemos en cuenta que ∇⊗p→ según (41) es un tensor regular, tendrá inverso, y además su producto matricial por este inverso será el tensor fundamental I→.

Por consiguiente, al multiplicar matricialmente los dos miembros por el inverso de ∇⊗p→ se tendrá:

(42) dt ) p d( ) p ( = ) v ( -_∇⊗r _∇⊗r -1 _∗ ∇⊗r

y si, por similitud a las ecuaciones escalares, representamos la integral ε→ del último miembro por el logaritmo natural simbólico del tensor ∇⊗p→, tendremos finalmente:

(43) dt d = ) v ( ; )] p d( ) p [( = ) p ( = -1 ε εr _l∇⊗r

∫

Llamando (η→×) y ξ→ a los componentes antisimétricos y simétricos respectivamente de la magnitud tensorial -ε→, y recordando que dichos componentes para ∇⊗v→ son respectivamente (ω→×) y π→ podremos escribir: (44) dt d = ; dt ] d[ = ) ( dt ) + ] d([ = + ) (ω π η ξ ω η π ξ r r r r r r r r_× × _{⇒ ×} ×

Al tensor ξ→ lo denominamos tensor de deformación y nos indica la deformación de la materia en el entorno de un punto.

De la multiplicación contracta por I→ de las ecuaciones (43) y (44) resulta una ecuación entre trazas:

(45) dt ) I d( = dt ) I d( -= v ε ξ r r r r r ∇

y por otra parte, si V es el volumen y ρ la densidad de un elemento material determinado perteneciente al entorno infinite-simal de un punto material en movimiento, por las ecuaciones (33) y (34) tendremos: dt ) d( -= dt V) d( = vr l lρ ∇ y por consiguiente ) -( I = ) -( I -= V V = - 0 ₀ 0 0 ξ ξ ε ε ρ ρ r r _r r r r l l (46) = -d = d(I )= -d(I ) V dV ; e = = V V 0 _{I(- )} 0 0 ξ ε ρ ρ ρ ρ r _ξr _ξr rr r_r

El coeficiente de dilatación volumétrica, en el entorno del punto material en cuestión, es pues I→ξ→, o sea la traza de ξ→ y ésta coincide con la traza de -ε→.

2.16.- Matrices de ξ→ y dξ→.

Adoptando el sistema natural de referencia 2 de un punto material tomado como origen, sabemos por (19) que la velocidad del punto r→ de su entorno infinitesimal es π→r→. Por consiguiente, al sustituir π→ por el valor dado en (44) tendremos:

(47) r (dr) =(d )r dt d = r = dt r d 2 2 r r r r r r r r ξ ξ π ⇔ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

Por otra parte, si el sistema coordenado elegido es ortonormal, no habrá inconveniente en designar las matrices de ξ→ y de su diferencial de la siguiente manera:

(48) ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ e d d d d e d d d d e d = } {d ; e e e = } { z x y x y z y z x z x y x y z y z x γ γ γ γ γ γ ξ γ γ γ γ γ γ ξ r r

Sea en el espacio natural de un punto material, tomado como origen, un cubo de arista r escalar e infinitesimal, tal que el punto es uno de sus vértices y que sus aristas siguen las direcciones de un sistema coordenado ortonormal, de versores i→,j→ y k→, y vamos a hallar la significación de los términos de dξ→, con respecto al mismo.

r

→_=ri→ _{⇒ dr→=(dξ→)(ri→) = r[(dξ→)i→] = r(de}

xi →_+dγ zj →_+dγ yk →_{)= A}__A→ 3 r →_=rj→ _{⇒ dr→=(dξ→)(rj→) = r[(dξ→)j→] = r(dγ} zi →_+de yj →_+dγ xk →_{)= B}__B→ 3 Por consiguiente: de_x = AA₁/r; de_y = BB₁/r dγx = B2B3/r; dγy = A2A3/r dγz = A1A2/r = B1B2/r Como dξ→ es infinitamente pequeño también tendremos: dγz = A1OA2 = B1OB2 = αxy La deformación angular del primitivo ángulo recto AOB al pasar a ser A₃OB₃ será pues sensiblemente igual a A₂OB₂ y vale 2dγz en total.

Así pues dγz

representa la mitad de la deformación angular del angulo XOY, y análogamente sucede con dγy y dγx

Hacemos observar que, en general, el tensor deformación se define como función lineal de los desplazamientos infinitesi-males de los puntos materiales del entorno infinitesimal del punto de aplicación y en el sistema natural del punto, partiendo de la posición de no deformación. Coincide así pues con el tensor dξ→ aquí definido para ξ→=0→, y es equivalente a éste para pequeñas deformaciones.

Vemos que e_x, e_y y e_z son los coeficientes de dilatación lineales en sentidos OX, OY y OZ respectivamente y comprobamos así que la traza de ξ→, o sea la de su matriz, es el coeficiente de dilatación volumétrico.

2.17.- Tensor (η→×).

Por lo que respecta al tensor (η→×) definido por la ecuación (44), podríamos llamarlo tensor de desviación en la orientación, puesto que nos indica esta desviación respecto a una supuesta orientación original. Por consiguiente, η→ sería el ángulo de desviación, ya que su derivada respecto al tiempo es ω→, o sea la velocidad angular de rotación.

2.18.- Tensor _eεr

Llamamos así al tensor definido por la siguiente serie tensorial: A Figura 1 X Y O Z αxy αxy B A₁ A₂ A₃ B₃ B₂ B₁

(49) +.... n! + .... + 2! + 1! + I = e n ε ε ε ε ε r r r r r r ∗ ∗

en cuya expresión e es el número de Euler, ε→ una magnitud tensorial de 21 orden y ε ∗n el producto matricial de n factores iguales a ε→.

Este tensor tiene por inverso a _e-εr o sea el tensor expresado por la misma serie tensorial anterior en que figura -ε→ en lugar de ε→. Efectivamente, multiplicando matricialmente la serie tensorial de _eεr por la de _e-εr, obtenemos para cada término del producto los mismos coeficientes que se obtendrían multiplicando las series escalares eα y e-α y estos son todos nulos menos el primero que es la unidad resultando eαe-α=1. Por lo tanto _eεr∗e-εr= I→.

En consecuencia los tensores _eεr son regulares.

También tenemos que las series tensoriales que los definen son convergentes, por serlo las series matriciales correspondientes según el cálculo matricial.

Finalmente, definiremos como logaritmo natural de un tensor _eεr al exponente ε→ y escribiremos l(_eεr) = ε→.

2.19.- Teniendo en cuenta lo dicho en los párrafos anteriores y la analogía entre la serie exponencial tensorial aquí definida y la serie exponencial escalar ordinaria, vamos a sustituir en la ecuación (43) ∇⊗p→ por el tensor exponencial anteriormente definido.

El exponente ε→ coincidirá con la integral de (43) sólo en aquellos valores para los cuales se verifique

(50) dt d = dt )] e ( d[ = dt e d ) e ( ε-1 ε l ε εr r r r ∗

o sea que se verifique la ecuación equivalente que resulta de multiplicar matricialmente los miembros extremos por _eεr:

dt d ) e ( = dt e d εr _εr εr ∗

Para comprobar esta igualdad, habrá que derivar la serie tensorial término a término. Tomando como ejemplo el

término 41 tendremos:

(51) d(ε→∗3) = d(ε→∗ε→∗ε→) =(dε→)∗ε→∗ε→ + ε→∗(dε→)∗ε→ + ε→∗ε→∗(dε→) Pero es fácil ver que sólo si se verifica

(52) d(ε→∗n

) = nε→∗(n-1) ∗dε→

tendremos: dt d e = dt d + n! n ! 3 3 2! 2 + 1! I 1 + 0 = dt e d 2 (n-1) _{ε ε} ε ε ε _ε ε r r K r K r r r r r r ∗ ∗ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + ∗ ∗

Ahora bien, el verificarse (52) exige que el valor de ε→ sea un tensor escalar expresable por αI→ ó perteneciente a su entorno infinitesimal, con lo cual tendremos:

I ) e ( = + I 2! + I 1! + I = e 2 Ir r r r _K α r α α α

Esta exigencia se cumple también al considerar incluído entre los tensores escalares al tensor nulo, a cuyo entorno infinitesimal pertenecen las deformaciones infinitamente pequeñas con valores de ε→ infinitesimales. Pues tenemos entonces:

ε ε ε ε ε ε r r r r r r r d e = d = ) e d( ; + I = e ∗

Resumiendo, la magnitud ε→ que hemos utilizado en (49), se puede considerar como coincidente con la magnitud integral de la función (43) de ∇⊗p→ sólo cuando nos referimos a entornos infinitesimales de valores de ∇⊗p→ que comprendan algún tensor escalar, incluído el nulo, pues entonces dε→ coincide con la diferencial de una magnitud integral exacta.

Para la correcta expresión de esta integral exacta también estimamos interesante estudiar los valores que puede tomar dε→ para cada valor de ∇⊗p→ que sea compatible con la necesidad de que ∇⊗p→ sea regular. Aquí hemos considerado que para los valores correspondientes a tensores escalares no hay incompatibilidades.

2.20.- De todo lo que acabamos de exponer y de la ecuación (43) deducimos que para todo punto en cuyo entorno infinitesimal el estado de la materia sea compresión pura, dilatación pura o el estado natural (o sea ∇⊗p→=αI→) podemos aplicar la ecuación general:

dt d -= v ε ∆⊗r r

tomando como integral ε→, y solo para este caso, el tensor utilizado en la ecuación (49).

C.- ESTÁTICA Y DINÁMICA

1.- Magnitudes tensoriales de superficie. Tensión. l.01.- Análogamente a las magnitudes de volumen, las magnitudes de superficie son aquellas, tales que su valor para un conjunto de superficies es la suma de los valores de cada parte. Por lo tanto las tensoriales son las de expresión diferencial

dF→=τ→ds→ en que ds→ representa una superficie infinitesimal que rodea a un punto y τ→ el valor para este punto de alguna magnitud tensorial de punto.

La magnitud de superficie más sencilla es el vector superficie s→ utilizado en la fórmula de Stokes. Con él tenemos τ→=I→ (tensor fundamental) y I→ds→=ds→. Por cálculo tensorial sabemos que su integral sobre una superficie cerrada es nula.

Adoptaremos esta magnitud vectorial para representar las superficies en la ecuación diferencial general de las magnitudes tensoriales de superficie ya que, efectivamente, el producto contracto de ds→ por cualquier tensor τ→ resulta ser cualquier tensor de superficie. Así también, un diferencial de cualquier magnitud tensorial de superficie puede considerarse función lineal de ds→.

En una superficie cerrada y de no decir lo contrario, para los vectores de superficie consideraremos positivo el sentido de dentro a fuera.

1.02.- Estática de los sistemas regulares deformables. En la mecánica de los cuerpos rígidos, se denominan fuerzas exteriores los agentes causantes de sus variaciones de movimiento y se distinguen dos géneros de fuerzas:

a) Fuerzas de superficie. Actúan sobre la superficie exterior del cuerpo y son una magnitud vectorial de superficie de las que acabamos de definir.

b) Fuerzas de volumen o de campo. Actúan directamente sobre la materia del cuerpo en cada punto o elemento de volumen, y por tanto son magnitudes vectoriales de punto.

El único efecto que producen las fuerzas exteriores en un cuerpo perfectamente rígido depende solo de su resultante y de su momento resultante y es la mencionada variación en su estado

M ds→ dF→

de movimiento. Decimos que el cuerpo está en equilibrio cuando son nulos tanto la resultante como el momento resultante para todo punto y entonces, en un sistema inercial no se modifica la velocidad de traslación de los puntos del cuerpo.

Así pues, la introducción o retirada de un sistema de fuerzas elementales de superficie de resultante y momento nulos, en su aplicación a un cuerpo absolutamente rígido, no se manifiesta en su movimiento, pero en su aplicación a un cuerpo deformable se manifestará en movimientos internos.

Aplicadas a un cuerpo perfectamente elástico, como sus transformaciones son adiabáticas por definición, resulta de admitir el principio de la conservación de la energía, que los movimientos internos no cesarían nunca, y solo disminuirían por propagación de la energía al exterior.

Si el cuerpo deformable no es perfectamente elástico, al cabo de un tiempo de la aplicación de las fuerzas, desaparece-rán los movimientos internos por efecto de los rozamientos y quedará el cuerpo en equilibrio completo conservando el centro de gravedad su trayectoria uniforme primitiva.

El estudio de los cuerpos deformables continuos exige pues considerarlos como conjuntos de partes de su misma naturale-za. Dos partes contiguas tendrán una superficie común de separación. La superficie del cuerpo total se compone de las superficies exteriores de las partes.

Teniendo en cuenta que una deformación es un movimiento material, ampliaremos para ellos el concepto de fuerza al de agente inductor de movimientos materiales en general.

El equilibrio de un cuerpo deformable continuo consistirá evidentemente en el equilibrio de todas y cada una de sus partes, y una condición necesaria y no siempre suficiente para este equilibrio es que se cumplan las condiciones de equilibrio para el cuerpo supuesto rígido (postulado de las ligaduras adicionales).

1.03.- Las hipótesis de trabajo son las siguientes: HIPÓTESIS 11.- La acción sobre una parte, de las demás partes del cuerpo, a través de cada elemento de la superficie de separación, puede expresarse por una magnitud vectorial f→ de superficie, que llamamos tensión. Su asimilación a una fuerza exterior de superficie permite, al ser conocida, considerar el equilibrio de esta parte prescindiendo de las demás.

HIPOTESIS 20.- La acción a través de un elemento de superficie de una parte sobre otra, es igual y opuesta a la acción de la última sobre la primera (Principio de acción y reacción).

En virtud de estas hipótesis, la resultante de las fuerzas exteriores a un cuerpo es independiente de si es rígido o