DESCARGAR ANGULOS – GEOMETRIA TERCERO DE SECUNDARIA – Descarga Matematicas

GEOMETRÌA _AÑO3

Ángulos I

92°

¿Cuál es el menor ángulo que forman la Av. Tacna con la Av. Colmena y cuál es el menor ángulo que forman la Av. Garcilazo de la Vega con la avenida Tacna?

110°

In

t r odu cc i ó n :

Cuando manipulamos una tijera o usamos un compás de repente sin darnos cuenta nos encontramos con la idea de un ángulo geométrico.

Notación:

 Ángulo AOB

 AOB,  BOA

AOˆ B , BOˆ A

 O, Oˆ

En este capítulo nos dedicaremos a estudiar el ángulo geométrico, su clasificación y resolveremos problemas sencillos sobre medición, esto hará que entendamos mejor los capítulos posteriores como triángulos.

Observe las figuras de abajo:

 Medida del ángulo AOB = m  AOB

- B i s e c t r i z d e un á n g u l o :

Es el rayo cuyo origen es el vértice de un ángulo y divide a dicho ángulo en medidas iguales.

A

° O _°

M

B

El compás y la tijera, nos dan la idea de ángulos

Definición:

C

l a s i f i c a c i ó n

:

m  AOM = m  MOB

Un ángulo es la reunión de dos rayos mediante su origen. Su medida está dada por la abertura entre sus lados y se expresa en grados sexagesimales.

Elementos:

I. D e a cu e rdo a su me dida :

 Agudo: _°

A

0° < ° < 90°

A

O °

Vértice : O Convexo:  Recto: O B mAOB = 90°

Lados : OA y OB B

M

 Obtuso: ° _90° <



A

_Llano: 180°

III. Por s u s r e l a c io n e s gr á f i c a s

- s Consecutivos o adyacentes

No convexo: A

O  180° < ° < 360°

B _Q R _S C

P T

B O O

II. Por la s u m a de dos á n g u los

- s Complementarios: Son aquellos dos ángulos

que suman 90°.

- s Opuestos por el vértice

B P

°

O °

A Q

° ° °+ °= 90°

- s Adyacentes y suplementarios

- s Suplementarios: Son aquellos dos ángulos que suman 180°.

  += 180°

"Par lineal" _B

° °

°°180°

A O C

O

b s e rvac i ó n :

Sea: “x°” la medida de un

ángulo. Entonces:

Complemento de x° = (90° - x°) Suplemento de x° = (180° -x°)

 Problemas resueltos

1. Indique el triple de la mitad del complemento de 40°.

S o l uc i ó n :

Del enunciado planteamos:

Ejemplos:

1. Hallar el complemento de 36°.

 3 1 C

 2



40  

3

 50

2  75

Solución: 90° - 36° = 54°

2. Hallar el suplemento de 48°.

Solución: 180° - 48° = 132°

3. Hallar el complemento del suplemento de 100°.

Solución: 90° - (180° - 100°) 90° - 80° = 10°

4 Hallar el suplemento del complemento de 40°.

Solución: 180° - ( 90° - 40°) 180° - 50° = 130°

2. La suma del complemento y el suplemento de un ángulo es igual a 140°. Hallar la medida del ángulo.

S o l uc i ó n :

Sea "x" la medida del ángulo. Del dato:

C_x + S_x = 140°

(90° - x) + (180° - x) = 140°

a) 50° b) 60° c) 45° d) 40° e) 93°

3. Calcular "x", si OM es bisectriz del ángulo AOB.

S o l uc i ó n :

Graficando según los datos:

M _B

4x° _20°

A O C

B M

 _C



x

- x _A

Solución: O

M _B

4x° 4x° _20°

A O C

m  BOC - m  AOC = 40° Reemplazando ( + x) - ( - x) = 40°

2x = 40 x = 20°

Como OM es bisectriz del  AOB

  AOM =  MOB = 4x°

1. Calcular "x"

Problemas para la clase

 4x + 4x + 20° = 180°  x = 20° B

C

4. En la figura, calcular

"x". _A 68° _O x _D

2 3

x

a) 32° b) 22° c) 28° d) 20° e) 18°

2. Calcular "", siendo: m POR = 128°.

Solución: P _Q

Hallamos primero ""

2 + 3 = 90° 5 = 90°

= 18°

Por s opuestos por el vértice:

x = 2

x = 2(18°) x = 36°

5. En la figura, hallar " m MOC";

Si: m BOC - m AOC = 40°, además OM es bisectriz del ángulo AOB.

84°

°

O R

a) 44° b) 56° c) 46° d) 48° e) 50°

3. Calcular ""



120° 100°

B M

C

C M

 D



a) 160° b) 150° c) 170° d) 135° e) 75°

4. Si: OM es bisectriz del BOC, m BOC = 48°. Hallar: m AOM

A B 20°

10.OB y OC son bisec trices de  AOC y  AO D respectivamente. Si: m  AOD =

60°. Hallar: m  BOC.

A

B

O M O _C

C

a) 34° b) 42° c) 44° d) 38° e) 46°

5. Calcular ""

D

a) 20° b) 25° c) 15° d) 22° e) 10°

11.Hallar el suplemento del complemento de 80°.

A _B

32° 2

O C

12.Hallar el complemento del suplemento de 150°.

a) 50° b) 60° c) 30° d) 48° e) 75°

a) 24° b) 34° c) 30° d) 32° e) 29°

6. Hallar el suplemento de 126°.

a) 44° b) 54° c) 64°

13.Calcular "°"

º _{- 20}º

4º _{- }º º + º

d) 58° e) 48°

7. Hallar el complemento de 49°.

a) 51° b) 41° c) 61° d) 57° e) 47°

8. Si: m AOB = 100° y m BOC = 40°. Hallar : m MON

a) 15° b) 25° c) 20° d) 30° e) 35°

14.Calcular "x"

xº

O C

N 3xº

A _B

a) 40° b) 45° c) 36°

M d) 48° e) 35°

a) 60° b) 80° c) 70° d) 50° e) 75°

9. Calcular ""

15.Hallar: m MOE

B

38° O E

º

2º _A

a) 20° b) 18° c) 36° a) 64° b) 74° c) 58°

a) 140° b) 145° c) 125° d) 135° e) 120°

A

Autoevaluación

* Compruebe sus conocimientos adquiridos, resuelva:

1. Dos ángulos "x" e "y" son complementarios, si "x" es los tres medios de "y". ¿Cuánto mide cada ángulo?

a) 36° y 54 b) 30° y 60° c) 45° y 45° d) 20° y 70° e) 10° y 80°

2. La diferencia de dos ángulos suplementarios es 36°. Hallar la medida de dichos

ángulos.

a) 108° y 72° b) 110° y 70° c) 100° y 80° d) 120° y 60° e) 130° y 50°

3. Si: m AOC = 4(m AOB); hallar m: AOB.

A

B

36°

O C

4. Calcular "x", si: m AOD = 102°.

A B

C

x x+

O D

a) 28° b) 30° c) 34° d) 38° e) 36°

5. Según el gráfico, el ángulo AOC es agudo y BOD es un ángulo obtuso. Si "" es máximo y entero, calcular el máximo valor entero de "x".

D

C

x

 B



O

a) 25° b) 20° c) 15° d) 10° e) 12°

Claves

3 AÑO

Ca

lle

E

m

ili

o

Fe

rn

án

de

z

Ángulos II

Vía Expresa _72°

¿Cuál es el ángulo de inclinación entre el Estadio Nacional con la Avenida Petit Thouars?



Av. Petit Thouars

Introducción:

Cuando viajamos de Lima hacia Miraflores muchos hacemos uso de los colectivos que van por la Arequipa.

Don Jorgito tiene dos hijos: Luchito y Carlitos, el primero estudia en el Colegio "Trilce Roma" ubicado a la altura de la cuadra 9 de la Av. Arequipa y el segundo en el colegio "Trilce San Isidro" en la cuadra 35 de dicha avenida, mientras Don Jorgito labora en el colegio "Trilce Miraflores" en un alto cargo ejecutivo. En su diario recorrido Luchito s e b a j a e n l a c a l l e E m i l i o F e r n án d e z q u e e s PERPENDICULAR

a la Av. Arequipa y para llegar a su destino debe cruzar la Av. Petit Thouars que es una avenida

PARALELA a la Av. Arequipa, mientras Don Jorgito y Carlitos para llegar a sus respectivos centros de estudio y trabajo deben cruzar la congestionada Av. Javier Prado que es una TRANSVERSAL a la Av. Arequipa.

En este breve relato hemos usado términos que usaremos comúnmente en este capítulo donde hablaremos de rectas paralelas, rectas secantes y perpendiculares así como de los ángulos que se originan al cortar dos rectas paralelas con una tercera recta llamada secante o transversal.

Av. Petit Thouars

Rectas paralelas:

En el plano dos rectas son paralelas si no tienen puntos comunes.

L₁

L₁ L₂ L₂

Rectas secantes:

En el plano dos rectas son secantes si tienen un punto de intersección.

L₁

L₂ Punto de intersección

Rectas perpendiculares:

Son rectas secantes que forman un ángulo recto (90°).

Av. Arequipa

L₁

90°

L1 L2 L₂

L

L

Ángulos formados por dos rectas paralelas y una 2.

secante

1. Á n g u l o s c o r r e sp o n d i e n t e s

Siendo: L₁ // L₂

L₁

a°

b° L₁ L₂ L₂

° _L

1

° _L

2

L₁ L₂

° °

a° y b° son alternos internos pero a°  b°

3.

L_{1 }°

°

2. Á n g u l o s a l t e r n os i n t e r n os

Siendo: L₁ // L₂

 L1 L2

2

"" y "" son conjugados internos pero ° ° 

180°

Propiedad

L₁

°_{ Siendo: L}

1 L2 °

2

L₁

a° x° 3. Á n g u l os c o n j u g a d os i n t e r n o s

Siendo: L₁ // L₂

b° y° c° L₂ z°

L₁



L2   180

se cumple:

x° + y° + z° = a° + b° + c°

Caso particular:

Observación:

Si las rectas L₁ y L₂ no son paralelas la nomenclatura de los ángulos se mantiene pero las propiedades n o se c u mpl en .

Ejemplo:

1.

L₁

°

Siendo: L1 L2

L₁

L₂

 x°



 x° = ° + °

°

L L

L₂ 1 2

L

L

L

L

 Problemas resueltos

1. Si: L1 L2 ; calcular "x"

S o l uc i ó n :

Usando ángulos correspondientes colocamos los ángulos de tal manera que los tres estén alineados:

L₁ 40°

x

°

2x x

1

2x x

x + 2x + 60° = 180° 3x = 120° x = 40° 135

2 L2 2x

60°

S o l uc i ó n :

4. Si: L₁ L₂ , calcular “x”

L₁

40° x°

40°

°

x = 40° + 45° x° _{= 85}°

L_{1 110°}

x° 130° L2 L₂ 45° 135

Solución:

2. Si: L₁ L₂ ; calcular "x"

Trazamos una paralela L₃ a L₁ y L₂ criterio de conjugados internos.

para utilizar el

L₁ 60°

x° 50°

L_{1 110°}

70°

130° L2 x

50° 70°

3 30°

10° L₂

S o l uc i ó n :

Por la propiedad:

60° + 50° + 30° = x + 70° + 10°

140° = x + 80° 60° _{= x}

70° + x + 50° = 180°  x = 60°

5. Si: L1 L2 ; calcular "x"

L₁ 100°

L 2 x _150°

3. Si: L1 L2 ; calcular "x"

Solución:

L₁ 2x° x°

L₂

60°

Tra zamo s L3 p ara lel a a L1 y L2

conjugados internos L1 L3 .

L₁ 100°

L₂

y ap li cam os

x _{3 0 °}150°

100° + (x + 30°) = 180° 130° + x = 180°

a) 60° b) 80° c) 70° d) 50° e) 90°

L L

L

L

Problemas para la clase

1. Calcular "x", si: L1 L2 .

6. Si: a b , calcular "x".

xº _a

100º xº 1 56º 2 b 120º

a) 124° b) 114° c) 56° d) 120° e) 118°

2. Si: a b , calcular "".

2º _a

a) 120° b) 140° c) 150° d) 130° e) 115°

7. Si: L1 L2 , calcular "x".

L₁ 26° x° 48° 28° 110º

b L2

a) 30° b) 35° c) 40° d) 45° e) 32°

3. Si: L₁ L₂ , calcular "x".

a) 20° b) 25° c) 30° d) 35° e) 15°

8. Si: a b , calcular "x".

L₁

3xº 2

126º a 130

º

x º b

110º

a) 20° b) 18° c) 24° d) 25° e) 16°

4. Si: a b , hallar: m ABC.

a) 10° b) 20° c) 30° d) 15° e) 25°

A _a

44º B

26º _b

C

9. Calcular "x", si: L1 L2 .

x º

160 º 1

60 º L₂

5. Calcular "x", si: m n .

44º _m

a) 40° b) 50° c) 60° d) 45° e) 30°

10.Si: m n , calcular "x".

m 124 º

xº n

xº

138º

n

a) 46° b) 56° c) 44°

a) 40° b) 45° c) 60° d) 50° e) 65°



11.Si: m n , calcular "x". 14.Calcular "x", si: m // n .

m n

70 º

x  m



140°

x a) 140° b) 150° c) 160°

d) 130° e) 135°

12.Calcular "x", si: m n L .

m 4º _{+ 20}º x º

n

n

a) 55º _{b) 65}º _{c) 70}º d) 45° _{e) 75°}

15.Si: L1 L2 , calcular "x".

 L1

L 5º 2

x a) 70° b) 60° c) 80°

d) 65° e) 85°

13.Calcular "x", si: a b c .

a

2

 _L

2

68º

b

 x º _c

L

L

x

Autoevaluación

1. Calcular el valor de "", si: L₁ L₂ . 4. Si: L₁ L₂ ; calcular "x".

L₁

140°

150° 2

2°

L_{1 }

2

x 2

L_{2 }

a) 70° b) 45° c) 35° d) 60° e) 30°

2. Si: L1 L2 ; calcular "x".

a) 60° b) 50° c) 45° d) 40° e) 65°

5. Si: L₁ L₂ ; calcular "x".

x° 1

240°

°

20°

x

300°

310°

L₂ 40

a) 65° b) 45° c) 70° d) 60° e) 80°

3. Si: L1 L2 y a° + b° = 160°, calcular "x".

10°

a) 85° b) 75° c) 70° d) 80° e) 90°

a º L₁

L₂

b º

a) 50° b) 55° c) 45° d) 60° e) 61°

Claves