Fracciones algebraicas
Todos nosotros sabemos que los números naturales: 1; 2; 3; ..., nos sirven para contar, numerar y ordenar elementos. Sin embargo, estos números no son los únicos utilizados de esta manera.
Los números racionales también pueden usarse para numerar. Atención a lo siguiente:
Imagina que un informe de una oficina, está numerado así: 1; 2; 3; 4; ... etc. Llegas a ese lugar y coges el informe para leerlo, pero al tomarlo entre tus manos se caen todas las hojas. De pronto, oyes los pasos de alguien llegando a
Bueno pues, como has leído, los números racionales (entiéndase FRACCIONES) nos resultan tan útiles como los naturales.
Parte teórica
Fracciones algebraicas.- Son divisiones indicadas de polinomios donde por lo menos el denominador es diferente de una constante numérica.
x 4 3x 2 5
la oficina ... es tu jefe!! x 3 x 2
5 2x 2 3
6x 2 3x 9
7
sí es fracción
sí es fracción
no es fracción
• Signos de una fracción: Toda fracción posee tres clases de signos.
signo de la fracción
signo del numerador
+
N
+
+
D
signo del denominador
Entonces, rápidamente levantas las hojas caídas y observas que son 9. Las dejas sobre el escritorio y ... uff!!
... a tiempo!!
Después de darle una excusa a tu jefe ("entré por un cafecito"...) te retiras de ahí, aunque hay una pregunta que te haces ahora:
"¿Estarán completas las páginas del informe?" o "¿Serán sólo nueve páginas las que tenga el informe?" ... a lo mejor
Regla para simplificar fracciones
Debemos factorizar el numerador y denominador para luego eliminar los factores comunes.
* Ejemplo:
Simplificar:
x 2 5x 6
una o más páginas están por ahí ... bajo el escritorio ... bajo la mesa donde está el cafecito...
F
x 2 7x 12 ; x 4 x 3
¿Cómo hubieras sabido si el informe estaba
completo?, pues fácilmente. Si en vez de la numeración usual: 1; 2; 3;
... etc. estuviera numerado así:
Resolución:
Factorizando y simplificando:
1 2
10 (primera de diez hojas), 10
4
3 (segunda de diez),
10 , x 3
x 2
10 , ... etc. sabrías que en total son 10 hojas y por lo tanto
una de ellas se te habría escapado. Quizás por esta
razón te vi al
día siguiente
leyendo los
2 AÑO
mejor suerte la próxima!! x 2
5x 6
F
x 2 7x 12
x 4
x 3
(x 3)(x 2) (x 4)(x 3)
b
a
2
Operaciones con fracciones
1. Adición o Sustracción
Es preciso dar el mínimo común múltiplo (MCM) de los
2. Sumar:
S x
x y
y y x
a a b
b b a
denominadores. Se presentan los siguientes casos:
A. Para fracciones homogéneas:
donde: x y; a b
Resolución:
Ejemplo: S x
x y
y
(x y)
a
a b
b
(a b)
x
x 2
y
x 2
z
x 2
x y z
x 2 ; x -2 S x
x y y
x y
a
a b b a b
B. Para fracciones heterogéneas
fracciones homogéneas
fracciones homogéneas
a
c
b d
ad bc
bd ; b . d 0 S x x y y a a b b 1 1 2
2.
Multiplicación 3. Efectuar:
En este caso se multiplican numeradores entre sí, lo A x x 2 x 2 7x 12
; x - 3 ; x 1
mismo se hace con los
denominadores. x
2
2x 3 x 2 6x 9
a
c e a.c.e ; b . d . f 0
Resolución:
Factorizando cada uno de los polinomios: b d f
3. División
b.d.f
x 2
x 1
2
x 4
x 3
2
En este caso se invierte la segunda fracción, luego se A x x 2 x 7x 12
efectúa como una multiplicación. También se puede aplicar el producto de extremos entre el producto de medios.
x 2 2x 3
x 3
x 1
x 2 6x 9
x 3
x 3
a
c a d a.d ; b . c . d 0 A (x 2)(x 1) (x 4)(x 3)
b d b c b.c (x 3)(x 1) (x 3)(x 3)
Problemas resueltos Luego:
A x 2 x 4 x 2 x 4
1. Reducir: x 2
4
x 2
6
x 3 x 3 x 3
Resolución: M.C.M. (4; 6) =
12 A
2(x 3)
x 3 A 2
Luego: 3(x 2) 2(x 2)
12 4. Simplificar:
T a ab
2
1
; a b 0
Efectuando: 3x 6 2x 4
12
Resolución:
a b 2
Luego: x 10
2
2
2
a2 ab ab a2 b2 5. Reducir:
T
a b a2 A x 3
x
2x 4
x
x 1
x ; x 0
a2
(a b)(a b)
T 2 4
a) b) 4 c) x 1
a b a x x
Finalmente: T = a + b
5. Simplificar:
3
d) -8 e)
x
6. Simplificar: 4 3 2
B 42m n z
7mn2z ; mnz 0 R x 1
Resolución:
Dividiendo los términos convenientemente:
2x 2 2
a) x b) 2x c) 1
1
d) 2 e)
2
4 3 2
B 42 m n z 6m3nz
7 m n2 z 7. Reducir:
A x 2 5 4 x ; x 0
Problemas para la clase x x x
1
1
Bloque I a) x b) x c) x
1. Simplificar:
S x y 2
; x y
d) -x e) 0
8. Simplificar:
2
x y R 3x 3x
; x3 x2
a) x + y b) x - y c) 1
d) x e) x - 1
2x3 2x2
3 3 2
2. Reducir:
a)
x b) 2x
3
c) x
E x
x 1
1
x 1 ; x - 1
d) 3 e)
2
a) 1 b) x c) -1
d) 2 e) 0
3. Reducir:
9. Reducir:
x 2 4x 4
M x ; x 2
2
U x x 4 ; x - 2 a) 1 b) x - 2 c) x + 4
2
a) x - 1 b) x - 2 c) x + 2
d) x + 1 e) 1
d) x + 2 e) -1
10.Simplificar:
2 2
4. Simplificar:
M x 7 2x 3 2x 1
A x 2xy y
x y ; x - y
5 5 5 a) 1 b) x c) x + y
d) x - y e) y
a) x b) x + 1 c) 1
a) 4 b) 1 c) x
d) x + 1 e) 4x
2 11.Simplificar:
x 3 3x 2 y 3xy 2 y
3
E 2 2 ; x - y
x 2xy y
a) x + y b) x - y c) x
d) y e) 1
5. Reducir:
O
x 3
x 2 2x
x 2 6x 9
9 2x
x 2 9 6x ; x 3
x 3
12.Reducir:
a)
x 3 b) 1 c) x 3
x 2 xz
B ; x z
x 2 z2
3 x
d)
x e) 3
x 2 x x
a) b) c)
6. Efectuar la siguiente suma de fracciones:
z x x 1 x z J
x 10
2
2x 4
2 ; x2 4 x
d) x z
x 2 e)
x z
x 4 x 4x 4
1 3
Bloque II
1. Simplificar la expresión:
a) x - 2 b)
d) 1 e)
x 2
3 x 2
c) x 2
J 4x x 14 ; x 1
7. Reducir al efectuar lo siguiente:
4 x2 6x 9 x2 9
A 2
2. Reducir la expresión: x
2
9 2x2 18
2 ; x 9
A xm 2n xn 2m
2x 4 ; x - 2 x
2 a)
(x 3)2
x 2 9
b)
(x 3)2
9 c)
(x 3)2
a) m + n b) m n c) 1
2 2
d) 1 e) 0
8. Efectuar lo siguiente:
d) 1 e) 2
3. Simplificar la siguiente fracción: x 2
4x 4
x 2 9
I x 3 4 x 2 I x 2 ; x 3
2 4
x 3
a) 1 b) 2 x
2
x 1
c)
2 a) x 3 b) x 3 c) x 3
d) -1 e) -2 x 2 x 2 x 2
4. Reducir la siguiente
fracción: d) x x 23 e) x x 23
R x 1
x 1
x 1
x 1 ; x
2
1
9. Simplificar la expresión:
a) x2 1
2 b)
4x x2 1
c) 4x
(x 1)2
4 x 2
R 2 x 4
d) 2x 2 e) 0
x 2 4x 4
6
; x 2
2 2 2 2 3 a) x 2
3 b)
x 2 1
1 c)
x 2
x a)
a(2a 1)
1
ax 2 5
b) 2a
1
1
1 c)
2a2 a3
d) 1 e)
10.Reducir:
x 2 d) a2(2a
1) e) 2a 1
5. Simplificar:
x 2
2x x 4
16 12x 3 3
M
4 . .
x y y x
; x y xy 0
3x 12x x 4 x 4
4 x 8
x
2 y
xy 2
x 0 x -2
x 2 x 2 x 2
a) x - y b) xy c) x2 - y2
d) x + y e) 1
a)
x 2 b) x 2
7
c) 2(x 2) 6. Simplificar:
2n 1 2n
d) -1 e)
x 2 x x y ; xy 0 x y
Bloque III
1. Reducir:
A ab b
2
ab
ab b2
ab a2
; a b 0
x n 3
x n y
3
x 2 a)
x 2 xy y 2
xn c)
x 2 xy y 2
1 b) x 2
xy y 2
xn d)
x 2 xy y 2
a) a b)
b
b
c) a
a b
1 e)
xy
b
d) e) 1
a
7. Simplificar:
(3x 4 2y 3 )2 (3x 4 2y 3
)2 ; xy 0
2. Efectuar: (2x 3
3y 4 )2 (2x 3 3y 4 )2
B 2x x 3 x
2
10x 9 ; x - 4 x - 1 x
y
x 2 3x 4 x 2 5x 4 a) 1 b) y c)
x
a) -3 b) -2 c) 4
d) 2 e) 3
3. Reducir:
d) y e) -1
8. Simplificar:
n m n
2x 2a
x 2 2ax a2 x x a a
; x - a
T 1 mn 1 (m n)n 1 mn
; mn - 1
2 a)
x a
x a
b) x a
2 c)
x a
a) m-1 b) n-1 c) n
d) m e) 1
4. Efectuar:
x a
d)
2(x a) e) 1
P ax 5 a 3 x 2
5a
2
9. Simplificar:
Autoevaluación
x 2 y 2
x 2 y 2 ax ay ; x y x + y + a 0
1. Reducir: 3x 7
x 2x x5 1 x5x ; x 0
a) x y
x y a b) 1 1a c) 1
x y
a a) 1
x b)
2
x c)
3 x
d) x y
x y a e) 1
4 5
d) e)
x x
10.Simplificar: 2. Simplificar:
3x 15
2 ; x 5 a2 b2 c 2 2ab
a2 c 2 b2 2ac ; a + c ± b
a b c
3 a)
x 5
x 25
3 b)
x 5
5 c)
x 3
a) 0 b) -1 c) a
b c d) x 3
5
5
e) x 3
a b c
d)
a b c
a
e)
b 3. Reducir:
x 2 6x 9
x 3
x 2 9
x 3
; x ± 3
a) 0 b) 3 c) 6
d) 9 e) 1
4. Simplificar:
x 2 5x 14 x 2 4x 4 x 2 8x 7
x 2 4 .
x 2 49 .
x 2
x ±2 x ± 7
a) x + 1 b) 2 c) x + 2
d) 1 e) x + 3
5. Efectuar:
4x 8
x 2 25
4x 2 28x 40
x 2 10x 25
; x 5 ; - 2
a) x - 5 b)
1
1
x 5 c) x + 5
d)
x 5 e) 1 Claves