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DESCARGAR FRACCIONES ALGEBRAICAS – ÁLGEBRA SEGUNDO DE SECUNDARIA – Descarga Matematicas

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Academic year: 2020

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(1)

Fracciones algebraicas

Todos nosotros sabemos que los números naturales: 1; 2; 3; ..., nos sirven para contar, numerar y ordenar elementos. Sin embargo, estos números no son los únicos utilizados de esta manera.

Los números racionales también pueden usarse para numerar. Atención a lo siguiente:

Imagina que un informe de una oficina, está numerado así: 1; 2; 3; 4; ... etc. Llegas a ese lugar y coges el informe para leerlo, pero al tomarlo entre tus manos se caen todas las hojas. De pronto, oyes los pasos de alguien llegando a

Bueno pues, como has leído, los números racionales (entiéndase FRACCIONES) nos resultan tan útiles como los naturales.

Parte teórica

Fracciones algebraicas.- Son divisiones indicadas de polinomios donde por lo menos el denominador es diferente de una constante numérica.

x 4  3x 2  5

la oficina ... es tu jefe!! x 3  x  2

5 2x 2  3

6x 2  3x  9

7

 sí es fracción

 sí es fracción

 no es fracción

Signos de una fracción: Toda fracción posee tres clases de signos.

signo de la fracción

signo del numerador

+

N

+

+

D

signo del denominador

Entonces, rápidamente levantas las hojas caídas y observas que son 9. Las dejas sobre el escritorio y ... uff!!

... a tiempo!!

Después de darle una excusa a tu jefe ("entré por un cafecito"...) te retiras de ahí, aunque hay una pregunta que te haces ahora:

"¿Estarán completas las páginas del informe?" o "¿Serán sólo nueve páginas las que tenga el informe?" ... a lo mejor

Regla para simplificar fracciones

Debemos factorizar el numerador y denominador para luego eliminar los factores comunes.

* Ejemplo:

Simplificar:

x 2  5x  6

una o más páginas están por ahí ... bajo el escritorio ... bajo la mesa donde está el cafecito...

F 

x 2  7x  12 ; x  4  x  3

¿Cómo hubieras sabido si el informe estaba

completo?, pues fácilmente. Si en vez de la numeración usual: 1; 2; 3;

... etc. estuviera numerado así:

Resolución:

Factorizando y simplificando:

1 2

10 (primera de diez hojas), 10

4

3 (segunda de diez),

10 , x 3

x 2

10 , ... etc. sabrías que en total son 10 hojas y por lo tanto

una de ellas se te habría escapado. Quizás por esta

razón te vi al

día siguiente

leyendo los

(2)

2 AÑO

mejor suerte la próxima!! x 2

 5x  6

F  

x 2 7x 12

x  4

x  3

(x  3)(x  2)  (x  4)(x 3)

(3)

 b

 a

2

Operaciones con fracciones

1. Adición o Sustracción

Es preciso dar el mínimo común múltiplo (MCM) de los

2. Sumar:

S  x 

x  y

y y  x 

a a  b 

b b  a

denominadores. Se presentan los siguientes casos:

A. Para fracciones homogéneas:

donde: x  y; a  b

Resolución:

Ejemplo: S  x

x  y 

y

  (x  y)

a

a  b

b

 (a  b)

x

x 2

y

x 2

z

x  2

x  y  z

x 2 ; x -2 S  x

x  y  y

x  y

a

a  b b a  b

B. Para fracciones heterogéneas 

fracciones homogéneas

  fracciones homogéneas

a

 c 

b d

ad  bc

bd ; b . d  0 S  x x y y a a b b  1  1  2

2.

Multiplicación 3. Efectuar:

En este caso se multiplican numeradores entre sí, lo A x  x  2 x 2  7x  12

; x - 3 ; x 1

mismo se hace con los

denominadores. x

2

 2x  3 x 2  6x  9

a

 c  e  a.c.e ; b . d . f  0

Resolución:

Factorizando cada uno de los polinomios: b d f

3. División

b.d.f

x  2

x  1

2

x 4

x 3

2

En este caso se invierte la segunda fracción, luego se A  x  x 2  x 7x 12

efectúa como una multiplicación. También se puede aplicar el producto de extremos entre el producto de medios.

x 2 2x 3

x 3

x 1

x 2  6x 9

x 3

x 3

a

 c  a  d  a.d ; b . c . d 0 A  (x 2)(x 1)  (x  4)(x  3)

b d b c b.c (x 3)(x 1) (x 3)(x 3)

Problemas resueltos Luego:

A  x  2  x  4  x  2  x  4

1. Reducir: x  2 

4

x  2

6

x  3 x  3 x  3

Resolución: M.C.M. (4; 6) =

12 A 

2(x  3)

x  3  A  2

Luego: 3(x 2)  2(x  2)

12 4. Simplificar:

T  a  ab 

2

1  

; a  b 0

Efectuando: 3x  6  2x 4

12

Resolución:

a  b  2 

(4)

Luego: x 10

(5)

2

2

2

a2 ab  ab  a2 b2  5. Reducir:

T  

 a b  a2  A  x 3 

x

2x 4 

x

x 1

x ; x  0

a2

(a  b)(a b) 

T    2 4

a) b) 4 c) x 1

a b  a  x x

Finalmente: T = a + b

5. Simplificar:

3

d) -8 e)

x

6. Simplificar: 4 3 2

B  42m n z

7mn2z ; mnz  0 R  x  1

Resolución:

Dividiendo los términos convenientemente:

2x 2  2

a) x b) 2x c) 1

1

d) 2 e)

2

  4  3  2

B  42  m n z 6m3nz

7  m n2  z 7. Reducir:

A  x 2  5  4  x ; x  0

Problemas para la clase x x x

1

 1

Bloque I a) x b) x c) x

1. Simplificar:

S  x  y 2

; x  y

d) -x e) 0

8. Simplificar:

2

x  y R 3x 3x

; x3 x2

a) x + y b) x - y c) 1

d) x e) x - 1

2x3 2x2

3 3 2

2. Reducir:

a)

x b) 2x

3

c) x

E  x 

x 1

1

x 1 ; x  - 1

d) 3 e)

2

a) 1 b) x c) -1

d) 2 e) 0

3. Reducir:

9. Reducir:

x 2  4x  4

M  x ; x  2

 2

U  x x  4 ; x  - 2 a) 1 b) x - 2 c) x + 4

 2

a) x - 1 b) x - 2 c) x + 2

d) x + 1 e) 1

d) x + 2 e) -1

10.Simplificar:

2 2

4. Simplificar:

M  x 7  2x 3  2x 1

A  x  2xy  y

x  y ; x  - y

5 5 5 a) 1 b) x c) x + y

d) x - y e) y

a) x b) x + 1 c) 1

(6)

a) 4 b) 1 c) x

d) x + 1 e) 4x

2 11.Simplificar:

x 3  3x 2 y  3xy 2  y

3

E  2 2 ; x - y

x  2xy  y

a) x + y b) x - y c) x

d) y e) 1

5. Reducir:

O 

x 3

x 2  2x 

x 2  6x  9

9  2x

x 2  9  6x ; x  3

x 3

12.Reducir:

a)

x  3 b) 1 c) x 3

x 2  xz

B  ; x  z

x 2  z2

3 x

d)

x e) 3

x 2 x x

a) b) c)

6. Efectuar la siguiente suma de fracciones:

z  x x 1 x  z J

 x  10 

2

2x  4

2 ; x2  4 x

d) x  z

x 2 e)

x  z

x  4 x  4x  4

1 3

Bloque II

1. Simplificar la expresión:

a) x - 2 b)

d) 1 e)

x 2

3 x 2

c) x 2

J  4x x 14 ; x  1

7. Reducir al efectuar lo siguiente:

 4 x2  6x  9 x2  9 

A     2

2. Reducir la expresión:  x

2

 9  2x2  18  

2  ; x  9

A  xm  2n xn 2m

2x 4 ; x  - 2 x

2 a)

(x  3)2

x 2  9

b)

(x  3)2

9 c)

(x  3)2

a) m + n b) m n c) 1

2 2

d) 1 e) 0

8. Efectuar lo siguiente:

d) 1 e) 2

3. Simplificar la siguiente fracción: x 2

 4x  4

x 2  9

I  x 3  4 x 2 I  x  2 ; x  3

2 4

x  3

a) 1 b) 2  x

2

x 1

c)

2 a) x  3 b) x  3 c) x  3

d) -1 e) -2 x  2 x  2 x  2

4. Reducir la siguiente

fracción: d) x x 23 e) x x 23

R  x 1 

x 1

x 1

x 1 ; x

2

 1

9. Simplificar la expresión:

a) x2  1

2 b)

4x x2  1

c) 4x

(x  1)2

4  x 2

R  2 x 4

d) 2x  2 e) 0

x 2  4x  4

6

; x  2

(7)

2  2 2 2 3 a) x 2

3 b)

x  2 1

1 c)

x 2

x a)

a(2a  1)

1

ax 2  5

b) 2a

 1

1

1 c)

2a2  a3

d) 1 e)

10.Reducir:

x 2 d) a2(2a

1) e) 2a 1

5. Simplificar:

 x 2

 2x   x 4

 16   12x  3 3

M 

4  .   .  

x y  y x

; x  y  xy  0

3x  12x  x  4 x  4

 

4 x 8

 x

2 y

 xy 2

x  0  x  -2

x  2 x 2 x  2

a) x - y b) xy c) x2 - y2

d) x + y e) 1

a)

x 2 b) x 2

7

c) 2(x  2) 6. Simplificar:

2n 1 2n

d) -1 e)

x 2 x  x y ; xy  0  x  y

Bloque III

1. Reducir:

A  ab  b

2

ab

ab  b2 

ab  a2

; a  b  0

x n  3

 x n y

3

x 2 a)

x 2  xy  y 2

xn c)

x 2  xy  y 2

1 b) x 2

 xy  y 2

xn d)

x 2  xy  y 2

a)  a b)

b 

b

c) a

a b

1 e)

xy

b

d) e) 1

a

7. Simplificar:

(3x 4  2y 3 )2 (3x 4  2y 3

)2 ; xy  0

2. Efectuar: (2x 3

 3y 4 )2 (2x 3  3y 4 )2

B  2x  x  3  x

2

 10x  9 ; x - 4 x - 1 x

y

x 2  3x  4 x 2  5x  4 a) 1 b) y c)

x

a) -3 b) -2 c) 4

d) 2 e) 3

3. Reducir:

d) y e) -1

8. Simplificar:

n  m  n

2x  2a

x 2  2ax  a2  x x a a

; x  - a

T  1 mn 1  (m  n)n 1  mn

; mn  - 1

2 a)

x  a

x  a

b) x  a

2 c)

x  a

a) m-1 b) n-1 c) n

d) m e) 1

4. Efectuar:

x  a

d)

2(x  a) e) 1

P  ax  5 a 3 x 2

  5a

2

(8)
(9)

9. Simplificar:

Autoevaluación

x 2  y 2

x 2  y 2  ax  ay ; x  y  x + y + a  0

1. Reducir: 3x 7

x  2x x5  1 x5x ; x  0

a) x  y

x  y  a b) 1  1a c) 1 

x  y

a a) 1

x b)

2

x c)

3 x

d) x  y

x  y  a e) 1

4 5

d) e)

x x

10.Simplificar: 2. Simplificar:

3x  15

2 ; x  5 a2  b2  c 2  2ab

a2  c 2  b2  2ac ; a + c ± b

a  b  c

3 a)

x 5

x  25

3 b)

x 5

5 c)

x 3

a) 0 b) -1 c) a

 b  c d) x 3

5

5

e) x 3

a  b  c

d)

a  b  c

a

e)

b 3. Reducir:

x 2  6x  9 

x  3

x 2  9

x  3

; x  ± 3

a) 0 b) 3 c) 6

d) 9 e) 1

4. Simplificar:

x 2 5x 14 x 2 4x 4 x 2 8x 7  

 x 2 4 . 

x 2 49 .  

x 2 

x  ±2  x  ± 7

a) x + 1 b) 2 c) x + 2

d) 1 e) x + 3

5. Efectuar:

4x  8

x 2   25

4x 2  28x  40

x 2  10x  25

; x  5 ; - 2

a) x - 5 b)

1

1

x 5 c) x + 5

d)

x 5 e) 1 Claves

(10)

Referencias

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