Capítulo 5.2.1 - Inducción electromagnética

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(1)aletos. TEMA 2.1. Física para Ciencias e Ingeniería. INDUCCIÓN. 2.1. ELECTROMAGNÉTICA. 2.1 Fenómenos de inducción. A partir del año 1819, en el que el físico danés HANS CHRISTIAN OERSTED (1770-1851) observó y dio a conocer el hecho de que una corriente eléctrica creaba un campo magnético, se sucedieron diferentes descubrimientos en relación con la naturaleza y propiedades de los campos magnético y eléctrico y la interacción entre ellos. En los años que siguieron, tras varios intentos, Faraday y Henry observaron que un cambio en el flujo magnético inducía una fuerza electromotriz en un circuito. A partir de estos primeros experimentos se amplió la formulación teórica de los campos eléctrico y magnético, lo que impulsó extraordinariamente el desarrollo de las aplicaciones prácticas del electromagnetismo que dio lugar a la construcción de los actuales generadores de fuerza electromotriz, transformadores, etc. a. l.  v.   fB. dirigida a lo largo de la varilla en el sentido que va de a hacia b, como indica la figura 2-1, y cuyo módulo es fB = evB sen 90º = evB Bajo la acción de esta fuerza, un cierto número de electrones libres procedentes del extremo a de la varilla son desplazados hacia el extremo b, dejando abandonada una cierta cantidad de carga positiva en las proximidades del extremo superior a, y acumulando la misma cantidad de carga negativa en las proximidades del extremo inferior b. Tan pronto como se produce esta acumulación de carga, se origina de inmediato un campo electrostático cuyas líneas de fuerza están dirigidas de a hacia b, como indica la figura 2-2, y en el interior de la varilla está dirigido a lo largo de la misma. Por consiguiente, sobre cada electrón libre actúa, además de la fuerza de Lorentz, una fuerza electrostática,    fE = −e E. b FIG. 2-1 a. en la dirección y sentido indicados en la figura 2-3. De modo que el desplazamiento de los electrones libres tiene lugar hasta que la acumulación de carga positiva en a, y negativa en b, crea un campo electrostático tal que,     fE = −fB. b FIG. 2-2.   fE.  v   fB FIG. 2-3. Vamos a comenzar nuestro estudio analizando, en un caso sencillo, el método por medio del cual, la energía mecánica se puede convertir directamente en energía eléctrica. La figura 2-1 representa una delgada varilla metálica, de longitud l, apoyada sobre una superficie horizontal, sin rozamiento, vista desde arriba, en presencia de un campo magnético uniforme B perpendicular a dicha superficie, alejándose del lector. Si desplazamos la varilla hacia la derecha con una velocidad v, perpendicular a la misma, los electrones libres contenidos en ella son arrastrados con la misma velocidad en presencia del campo magnético exterior B. Por consiguiente, quedan sometidos a la fuerza de Lorentz,     [2.1] fB = −e v × B. en cuyo instante cesa el desplazamiento de los electrones libres por ser nula la fuerza resultante que actúa sobre ellos. El extremo a de la varilla se encuentra a un potencial positivo debido al exceso de carga positiva existente en dicho extremo, y el extremo b, a un potencial negativo, a causa del exceso de electrones libres. Se puede comprobar que estas acumulaciones de carga son reales, realizando el experimento de cortar la varilla por su punto medio mientras se encuentra en movimiento: La mitad correspondiente al extremo a queda cargada positivamente y la mitad correspondiente al extremo b, negativamente. Por consiguiente se ha inducido una diferencia de potencial Va –Vb entre los extremos de la varilla conductora. Esta diferencia de potencial persistirá mientras desplacemos la varilla.. Si cesa el movimiento de la misma dejan de producirse todos estos fenómenos y desaparece la acumulación de carga, tanto en a como en b, anulándose la diferencia de potencial, Va –Vb..

(2) 2.2. aletos. TEMA 2.1 INDUCCIÓN. Física para Ciencias e Ingeniería. ELECTROMAGNÉTICA. Esta diferencia de potencial se puede interpretar como la correspondiente a los bornes de una f.e.m. en circuito abierto cuyos bornes positivo y negativo son los extremos a y b, respectivamente. Veremos más adelante que esta interpretación queda plenamente justificada. Hay que admitir, por tanto, que el movimiento de la varilla en presencia del campo magnético exterior induce en ella una fuerza electromotriz cuyo valor vamos a deducir. En Electrocinética se establece que la fuerza electromotriz de un generador puede interpretarse de dos formas: a) Como la energía necesaria por unidad de carga que debe suministrar un generador a la carga que circula por un circuito, para reponer la energía cinética que pierden los portadores de carga debido a los choques inelásticos que efectúan con las moléculas y átomos del soporte conductor:. ε = dW. =. dq. dW Idt. de modo que la energía suministrada por el generador en un intervalo de tiempo dt, es dW = εIdt. b) Por definición,. ε= ∫. b a.   Eeq ⋅dl. donde Eeq, que se suele denominar campo equivalente o campo inducido, representa un campo eléctrico ficticio que produciría los mismos efectos eléctricos que los debidos a los agentes químicos, mecánicos o magnéticos que originan dicha f.e.m. Este campo equivalente no es un campo electrostático propiamente dicho por cuanto que no es originado por cargas eléctricas y, por tanto, no es conservativo. Por consiguiente, si se analiza detenidamente todo lo anterior, es evidente que la causa que determina realmente la acumulación de carga en los extremos de la varilla conductora es la fuerza de Lorentz [2.1] originada por el campo exterior,     fB = −e v × B de modo que si esta fuerza la interpretamos como si fuera debida a un campo eléctrico equivalente, tendremos que,    fB = −e Eeq y puesto que ambas expresiones de fB deben ser iguales, los segundos miembros deben ser asimismo iguales, y en consecuencia,    [2.2] Eeq =v × B Así que la f.e.m. inducida en la varilla, debida a su movimiento en presencia de un campo magnético exterior, se puede expresar por medio de    ε = ∫ ab v × B ⋅dl [2.3] A su vez esta f.e.m. se puede considerar que es la suma de las f.e.m. elementales inducidas en cada elemento infinitesimal de longitud dl de la varilla, de forma que, b. ε = ∫ dε a. Así pues, en cada elemento infinitesimal de longitud dl de la varilla se induce una f.e.m. elemental,    [2.4] dε = v × B ⋅dl En el caso que nos ocupa, la expresión anterior queda en la forma:      dε = v × B ⋅dl = v × B dl cos 0º = vB sen 90ºdl = v B dl y por lo tanto, b. b. a. a. ε = ∫ dε = ∫. v B dl = v B l. Antes de continuar nuestro estudio, hay que advertir que las expresiones anteriores, [2.3] y [2.4], son.

(3) aletos. TEMA 2.1. Física para Ciencias e Ingeniería. INDUCCIÓN. 2.3. ELECTROMAGNÉTICA. válidas únicamente para conductores que se encuentran en movimiento en presencia de un campo magnético exterior. Al aplicar las relaciones anteriores a la resolución de un problema determinado pueden surgir dudas acerca de las direcciones y sentidos de los vectores que intervienen en dichas expresiones, así como del sentido que le corresponde a la f.e.m. inducida. Por lo que respecta a los vectores v y B no hay ninguna dificultad puesto que, normalmente, están especificados en el problema. El vector resultante del producto vectorial v × B es el que determina el sentido de la f.e.m. inducida que, aunque no es una magnitud vectorial, debe interpretarse como el sentido en el que circularía la corriente eléctrica a su través si formase parte de un circuito cerrado.. No debe olvidarse que por el interior de una “pila”, cuando forma parte de un circuito cerrado, la corriente circula convencionalmente en el sentido que va del borne negativo hacia el borne positivo. En el ejemplo de la varilla que hemos utilizado, el sentido que le corresponde a la f.e.m. inducida es el del producto vectorial v × B que va del extremo b hacia el a. La varilla se comporta como una “pila” que estuviese colocada como indica la figura 2-4, y por la que circularía una corriente en el sentido indicado si formase parte de un circuito cerrado. a. a.   v ×B. b. b FIG. 2-4. I. Queda por especificar el sentido que debe asignarse al vector dl que representa vectorialmente, de una forma general, a un elemento del conductor de longitud infinitesimal. Hay diferentes criterios para ello. La única dificultad estriba en que, a diferencia de lo que ocurre con la velocidad del conductor y con el campo magnético, cuyas direcciones y sentidos suelen estar directamente especificados en el problema, el elemento de longitud dl no es intrínsecamente un vector y, por tanto, hay que determinar su dirección y atribuirle un sentido. Por lo que respecta a su dirección es la de la tangente al conductor móvil en el punto en que se toma el elemento de longitud dl. En el caso de la varilla, suponiendo que es muy delgada, la dirección es la determinada por la propia varilla. Por lo que respecta al sentido del elemento de longitud dl, la ley de Lenz, que se estudiará más adelante, produce una cierta confusión..     El sentido de dl debe tomarse de forma que el producto mixto v × B ⋅dl sea positivo. Es evidente que, en consecuencia, la f.e.m. inducida será positiva. El enunciado de la ley de Lenz parece indicar que la f.e.m. inducida es negativa y no es así. La ley de Lenz no expresa que la f.e.m. inducida sea negativa.. La ley de Lenz refleja el hecho, que explicaremos más adelante con mayor detalle, de que La fuerza electromotriz inducida es de un sentido tal, que se opone a la causa que la produce.. Por consiguiente, teniendo en cuenta todo lo anterior, el sentido del vector dl queda unívocamente determinado: Si su dirección es la misma que la del vector resultante del producto vectorial v × B, su sentido es el mismo que el de este vector. Es decir, si los vectores v × B y dl son de igual dirección, debe tomarse el vector dl de forma que su sentido sea el mismo que el del vector v × B. En este caso, el producto mixto queda en la forma:        v × B ⋅dl = v × B dl cos 0º = v × B dl > 0 Si los vectores v × B y dl son de distinta dirección, debe tomarse el vector dl de manera que forme un ángulo agudo con el vector v × B, para que el producto mixto sea positivo. En este caso, el producto mixto queda en la forma:      v × B ⋅dl = v × B dl cos θ > 0.

(4) aletos. TEMA 2.1. 2.4. INDUCCIÓN. ELECTROMAGNÉTICA. Física para Ciencias e Ingeniería. Conviene recordar que el producto mixto de tres vectores se puede expresar de seis formas diferentes:                   v × B ⋅dl = dl × v ⋅ B = B ×dl ⋅v = dl ⋅v × B = B ⋅dl × v = v ⋅ B ×dl No obstante, la expresión más adecuada es la primera de ellas, que es la que se ha utilizado en todas las relaciones anteriores. La razón es muy simple: Si se expresa la f.e.m. elemental inducida en la forma    dε = v × B ⋅dl nos obligamos a fijar la atención, en primer lugar, en el factor v × B que es el que determina el sentido del vector dl, y en consecuencia, el de la f.e.m. inducida. Desde otro punto de vista, hay que tener presente en el caso de la varilla conductora que hemos tomado como ejemplo para estudiar el fenómeno de la f.e.m. inducida, que, mientras ésta se encuentra en movimiento existen en su interior dos campo “eléctricos”: Uno, electrostático, originado por la acumulación real de carga, positiva en el extremo a y negativa en el b, cuyas líneas de fuerza van dirigidas, como ya se vio en la figura 2-2, del extremo a hacia el extremo b. Y otro, ficticio, por medio del cual interpretamos la fuerza de Lorentz, que en realidad es ejercida por el campo magnético, como si fuera originada por dicho campo ficticio o equivalente. Más adelante veremos la utilidad que tiene este campo eléctrico ficticio para explicar ciertos fenómenos debidos a la inducción magnética. Vamos a comprobar ahora que la varilla del ejemplo anterior se comporta realmente como una verdadera f.e.m. mientras se encuentra en movimiento en presencia del campo magnético exterior que actúa sobre ella. Para ello, imaginemos que formamos un circuito apoyando la varilla sobre un alambre conductor muy delgado, doblado en forma de U, fijo sobre una superficie horizontal, como indica la figura 2-5. I a. I v I b I FIG. 2-5. Los extremos a y b se apoyan sin rozamiento sobre los lados paralelos del alambre, que se suponen suficientemente largos, y hacemos deslizar la varilla con una cierta velocidad. Tan pronto como iniciamos el movimiento de la varilla se induce en la misma una f.e.m. cuyos “bornes” positivo y negativo corresponden a los extremos a y b, como se ha explicado anteriormente. Por consiguiente se origina una corriente eléctrica cuyo sentido es el indicado en la figura. Recuérdese que la corriente eléctrica circula por el interior de una “pila”, cuando forma parte de un circuito cerrado, en el sentido que va desde su borne negativo hacia el positivo. Por el exterior de la “pila” circula, evidentemente, desde el borne positivo hacia el negativo. Se puede comprobar experimentalmente la circulación de esta intensidad intercalando en el circuito un galvanómetro suficientemente sensible.. De modo que todo sucede como si se hubiese conectado un generador de f.e.m. continua cuyos bornes positivo y negativo corresponderían a los extremos a y b, respectivamente. a.   fE.  E.   fB b. FIG. 2-6.  v. Conviene revisar los cambios que se producen en la varilla a partir del instante en que se apoya sobre el alambre en forma de U. La circulación de electrones libres produce una disminución de la carga positiva acumulada en el extremo a de la varilla y de la carga negativa acumulada en el extremo b dando lugar a una disminución del campo electrostático en su interior. Por consiguiente, la fuerza electrostática que actúa sobre cada electrón no puede equilibrar la fuerza de Lorentz producida por el campo magnético, dando lugar a una fuerza resultante      ΣF = fB − fE dirigida de a hacia b, que produce un desplazamiento continuo de electrones libres por el interior de la varilla en este sentido, y continúan su recorrido a lo largo del alambre conductor desde el extremo b hacia el extremo a, dando lugar a una corriente eléctrica que se puede interpretar como originada por la diferencia de potencial entre los extremos a y b. Mientras mantengamos la varilla en movimiento se producirá un desplazamiento continuo de electrones libres en el sentido ya indicado, lo que se interpreta, como una circulación convencional de una corriente eléctrica en sentido contrario..

(5) aletos. TEMA 2.1 INDUCCIÓN. Física para Ciencias e Ingeniería. 2.5. ELECTROMAGNÉTICA. La varilla se comporta, pues, como un generador de f.e.m. y se interpreta este hecho admitiendo que en el interior de la varilla se induce una f.e.m. producida, en este caso, por su movimiento en presencia de un campo magnético exterior. Queda por explicar otro fenómeno magnético que aparece como consecuencia inmediata. I a.  dFB. I. I b I.  v. La varilla es ahora un conductor por el que circula una corriente eléctrica que se encuentra en presencia de un campo magnético exterior y, por lo tanto, cada elemento de longitud infinitesimal dl de la misma se encuentra sometido a una fuerza originada por dicho campo, cuya expresión es,    dFB = Idl × B en la dirección y sentido indicados en la figura 2-7, y cuyo módulo es, dFB = IdlB sen 90º = IdlB Puesto que en este caso se ha supuesto que el campo magnético exterior es uniforme, las fuerzas que actúan sobre los infinitos elementos de longitud que forman la varilla son todas de igual dirección y sentido, y, por consiguiente, el módulo de la fuerza resultante es la suma aritmética de sus módulos:. FIG. 2-7. lla.. FB =. ∫. b a. b. dFB = ∫ I dl B = I l B a. El punto de aplicación de esta fuerza resultante, por simetría, se encuentra en el punto medio de la vari-. En estas condiciones, la varilla es frenada por la acción del campo magnético exterior, de modo que si queremos mantenerla en movimiento con una velocidad constante debemos ejercer sobre ella una fuerza F tal, que la fuerza resultante de la fuerza debida al campo magnético y la fuerza aplicada sea nula. De modo que:   F = −FB Por consiguiente, debemos aplicar una fuerza en el punto medio de la varilla, en una dirección perpendicular a la misma, de sentido contrario a la fuerza ejercida por el campo magnético y cuyo módulo es, F = FB = IlB En un intervalo de tiempo dt, la varilla efectúa un desplazamiento, ds = vdt, y para ello debemos realizar un trabajo,    dW = F ⋅ds = Fds cos 0º = Fds = I l B ds =I l B v dt y asociando los factores I y dt se puede sustituir Idt = dq, siendo dq la carga elemental desplazada durante el intervalo de tiempo dt, quedando la expresión anterior en la forma dW = lBvdq de donde se obtiene dW dq. = lBv. y puesto que la energía suministrada a un circuito por unidad de carga es, por definición, la fuerza electromotriz, resulta que en este caso es. ε = dW dq. = lBv. expresión que concuerda con la obtenida anteriormente. 2.2 Flujo del campo magnético. Se puede representar el campo magnético, al igual que sucede con los campos gravitatorio y electrostático, por medio de líneas de fuerza denominadas, en este caso, líneas de inducción. Conviene recordar que las líneas de fuerza tienen la propiedad de que el correspondiente vector campo es tangente en cada punto a la línea de fuerza que pasa por el origen de dicho vector. Se puede dibujar una línea de inducción que pase por cada punto del espacio. Pero si se llevase a cabo esta representación, todo el esquema estaría lleno de líneas de fuerza y no se podría distinguir individualmente ninguna de ellas. Por consiguiente, se conviene en espaciarlas adecuadamente:.

(6) 2.6. aletos. TEMA 2.1 INDUCCIÓN. Física para Ciencias e Ingeniería. ELECTROMAGNÉTICA. Por convenio, se representan de forma que el número de líneas de fuerza que atraviesan la unidad de superficie normal a la dirección del campo en cada punto sea igual al módulo del campo en dicho punto.. Por consiguiente, en aquellas regiones del espacio donde el campo magnético sea intenso las líneas de fuerza estarán dibujadas muy apretadamente, e inversamente, en una región en la cual el campo magnético sea débil las líneas de fuerza estarán muy espaciadas. En consecuencia, el módulo del campo magnético se puede expresar en líneas de inducción por unidad de superficie. En el S.I. de unidades se denomina weber a una línea de inducción. El campo magnético se puede expresar, por tanto, en webers por metro cuadrado. De forma análoga a lo que ocurre con el campo eléctrico, se define el flujo magnético elemental, dΦ, del campo magnético a través de un elemento de área da, como,   [2.5] dΦ = B ⋅da = Bda cos θ donde el vector da y el ángulo θ tienen el mismo significado que en la definición del flujo del campo eléctrico. El flujo a través de una superficie finita es   Φ = ∫ dΦ = ∫ B ⋅da = ∫ Bda cos θ [2.6] S. S. S. Debido a la no existencia de monopolos magnéticos aislados, las líneas de inducción son líneas cerradas. Por consiguiente, El flujo del campo magnético a través de una superficie cerrada, es decir, de una superficie que encierra totalmente un cierto volumen, es nulo.. Es evidente que toda línea de inducción que “entre” en el volumen encerrado por dicha superficie debe salir de él ya que no puede terminar en un polo magnético sur situado en el interior; y toda línea de fuerza que “salga” de dicho volumen debe haber entrado previamente ya que no puede haberse originado en un polo magnético norte situado en el interior de dicho volumen. La unidad de flujo magnético en un punto del espacio, en el S.I. de unidades, se denomina weber, y corresponde a un campo magnético de 1 tesla que atraviesa normalmente a una superficie de 1 metro cuadrado. Se puede interpretar, por tanto, aunque este concepto no se utiliza apenas en la práctica, que El flujo magnético a través de una superficie es el número de lineas de fuerza del campo magnético que la atraviesan normalmente..

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