Matemática. Desafío. GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Conceptos generales de ángulos, polígonos y cuadriláteros GUICEN022MT22-A16V1

Mat

emática

Desafío

En la figura I se muestra una cartulina cuadrada PQRS de lado 1. Se doblan los lados SP

y RQ por las líneas punteadas, de manera que ambos lados quedan sobre la diagonal SQ, como muestra la figura II. ¿Cuál es el área del cuadrilátero FQGS?

R G P _F S Q Figura I R G F S P Q Figura II A)

�

2 – 1 B) 1₂ C) 2 –

�

2 D)

�

₂2 E) 2

�

2 – 2

Mis observaciones

Resolución

Marco teórico

Ángulos:

Existen tres sistemas angulares: grados sexagesimales (°), radianes (rad) y grados centesimales (g_{). La relación entre ellos es}

360° = 2π rad = 400g

El sistema utilizado en PSU es el de grados sexagesimales...

Un ángulo se llama... si su medida es... agudo 0° < α < 90° recto

α = 90

° obtuso 90° < α < 180° convexo 0° < α < 180° extendido

α = 180

° cóncavo 180° < α < 360° completo

α = 360

°

Relaciones angulares:

Si la suma de dos ángulos es 90°, se dice que son ángulos complementarios. Entonces, el complemento de α es (90° – α).

Si la suma de dos ángulos es 180°, se dice que son ángulos suplementarios. Entonces, el suplemento de α es (180° – α). L₂ L₁ y L₂ rectas L₁, L₂ y L₃ rectas L₁ // L₂ ⇔∢α≅∢b α b L₃ L₁ L₂ L₁, L₂, L₃ y L₄ rectas L

Polígonos:

Un polígono es una figura plana, cerrada y formada por segmentos rectos llamados lados. Se llama polígono convexo cuando todos sus ángulos interiores miden menos de 180°.

Si un polígono convexo tiene N lados... ...la suma de sus ángulos interiores es

180° · (N – 2)

...la suma de sus ángulos exteriores es 360°

...la cantidad de diagonales que se pueden trazar desde un vértice es

N – 3

...la cantidad total de diagonales que se pueden trazar en su interior es

N · (N – 3) 2 ángulo

exterior ángulo interior

α b lado diagonal vértice

Polígonos regulares

Un polígono regular tiene todos sus lados congruentes y todos sus ángulos interiores congruentes.

En un polígono regular, también se cumple que al trazar todas las diagonales que salen desde un vértice, el ángulo interior queda dividido en partes iguales.

Así, la medida de cada ángulo interior en un ...triángulo equilátero es 60°

...cuadrado es 90° ...pentágono regular es 108°

...hexágono regular es 120° Si un polígono regular tiene N

lados, entonces cada uno de sus ángulos interiores mide

180° · (N – 2) N

Por ejemplo, en un pentágono regular...

36° 36° 36°

Características generales y clasificación de cuadriláteros

En todos los cuadriláteros convexos se cumple que…

Los cuadriláteros se clasifican mediante el paralelismo de sus lados. Se llaman…

* Cuadrado * Rectángulo * Rombo * Romboide … la suma de sus ángulos interiores es 360º.

… la suma de sus ángulos exteriores es 360º.

… tienen dos diagonales que unen vértices opuestos.

… paralelógramos, si tienen sus dos pares de lados opuestos paralelos.

… trapecios, si tienen solo un par de lados opuestos paralelos.

… trapezoides, si no tienen pares de lados opuestos paralelos.

* Isósceles * Rectángulo * Escaleno * Simétrico (Deltoide) * Asimétrico

Paralelógramos

En todos los paralelógramos se cumple que…

… los lados opuestos son paralelos y congruentes. … los ángulos opuestos son congruentes.

… los ángulos consecutivos son suplementarios.

… la altura corresponde a la distancia perpendicular entre una pareja de lados paralelos.

… al dibujar las dos diagonales, estas se dimidian (se cortan mutuamente por la mitad) y dividen al paralelógramo en cuatro

Área = lado2

Área = (diagonal)₂ 2

Cuadrado Tiene 4 ejes de simetría

Sus cuatros lados son congruentes y sus cuatro ángulos interiores son rectos (iguales a 90º).

Sus diagonales miden lo mismo, son perpendiculares entre sí y son bisectrices de los ángulos interiores.

Área = base ⋅ altura

Rectángulo Tiene 2 ejes de simetría

Sus lados consecutivos son distintos y sus cuatro ángulos interiores son rectos (iguales a 90º).

Sus diagonales miden lo mismo, no son perpendiculares entre sí y no son bisectrices de los ángulos interiores.

Área = base ⋅ altura

Área = diagonal1₂

⋅

diagonal2

Sus cuatros lados son congruentes y sus ángulos interiores son oblicuos (distintos de 90º).

Sus diagonales tienen distintas medidas, son perpendiculares entre sí y son bisectrices de los ángulos interiores.

Tiene 2 ejes de simetría Rombo

α b

b α

Sus lados consecutivos son distintos y sus cuatro ángulos interiores son oblicuos (distintos de 90º).

Sus diagonales miden distinto, no son perpendiculares entre sí y no son bisectrices de los ángulos interiores.

No tiene ejes de simetría Área = base ⋅ altura

Romboide

b

b α

Elementos de trapecios

m = a + b₂

b a

Bases: par de lados paralelos. h Altura: distancia perpendicular entre las bases. m Mediana: segmento que une los puntos medios de los lados

no paralelos. El área de un trapecio es el producto de la mediana por la altura. A = m ⋅ h

Clasificación de trapecios

Los trapecios se clasifican en

Los ángulos interiores ubicados en cada base tienen igual medida.

Tiene un eje de simetría que pasa por el punto medio de las bases.

Las diagonales miden lo mismo y se intersectan sobre el eje de simetría. Trapecio rectángulo: uno

de los lados no paralelos es perpendicular a ambas bases. α b Trapecio isósceles: los lados no paralelos

tienen igual medida.

α

b b

α

Trapecio escaleno: todos sus ángulos interiores tienen distinta

medida.

d α

g

Trapezoides

Trapezoide asimétrico: no tiene ejes de simetría.

No tienen lados paralelos. Se clasifican en

Para calcular su área debe descomponerse en figuras conocidas.

Deltoide: es simétrico con respecto a solo una de sus

diagonales. A D C B Su área se calcula como el semiproducto de sus diagonales. A = AC₂⋅BD AD ≅ CD ≠ BA ≅ BC AC: base. BD: eje de simetría. AC ⊥ BD

Ejercicios PSU

1. En la recta L de la figura,

α

:

b

:

g

= 2 : 3 : 5, entonces el complemento del ángulo menor mide

b L α g A) 0º B) 36º C) 54º D) 144º

E) ninguna de las medidas anteriores.

2. La suma entre el suplemento de la mitad de 50º y el doble del complemento de 20º es A) 115º

B) 205º C) 240º D) 295º E) 385º

3. En la figura, L₁ // L₂, L₃ y L₄ son transversales, y L₁

⊥

L₃. Si

α

es la cuarta parte de

b

, entonces ¿cuánto mide

ε

? L₁ L_{2 α} b ε L₃ L₄ A) 36º B) 45º C) 54º D) 64º

4. En la figura, L₁ // L₂ // L₃, entonces la medida de x es L₁ L₂ L₃ 2x + 21° α x α – 12° 63° – x L₄ L₅ A) 10° B) 18° C) 24° D) 32° E) 75°

5. Si la cuarta parte del complemento de

α

es igual al 65% de

α

, entonces el suplemento de

α

mide A) 25°

B) 40° C) 65° D) 150° E) 155°

6. En un polígono regular de N lados, cada uno de sus ángulos interiores mide

α

. La expresión que permite calcular el valor de N en función de

α

es

A) 180°

_α

B) 360°

_α

C) 180° – ₂

α

D) 180° – _360°

α

E) _{180° –} 360°

rectángulo ABCD. Si el área del hexágono mide 48 cm , entonces el área del cuadrilátero AQTU mide _{T S} C D U R A _{P Q} B A) 21 cm2 B) 24 cm2 C) 28 cm2 D) 32 cm2 E) 48 cm2

8. En un polígono regular de más de 3 lados, siempre es posible afirmar que I) todas las diagonales tienen igual medida.

II) el número total de diagonales es mayor que el número de lados. III) la medida de cada diagonal es mayor que la medida de cada lado. Es (son) verdadera(s) A) solo II. B) solo III. C) solo I y III. D) I, II y III. E) ninguna de ellas.

9. En la figura se muestra un pentágono regular. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s) ?

α w

b

I) La medida de

α

es el 50% de la medida de

b

. II) La medida de

b

es el 50% de la medida de

w

. III)

α

+

b

=

w

.

A) Solo I D) Solo II y III B) Solo I y II E) Ninguna de ellas. C) Solo I y III

10. En la figura, sobre la diagonal del cuadrado ABCD se construye el cuadrado BEFD, y sobre la diagonal de este, se construye el cuadrado EGHD. Si P es el área del cuadrado ABCD y T el área del cuadrado EGHD, ¿qué relación hay entre P y T?

A D B C H F _G E A) P = 1₈ T B) P = 1₄ T C) P = 1₂ T D) P = 2T E) P = 4T

11. En la figura, si ABCD es un cuadrado de lado x y AEFC es un rectángulo, con B en el segmento

EF, entonces el área sombreada es

A D B C E F A) 2x2

_�

₂ B) x2

_�

₂ C) x2 D) x2₂

�

2 E) x2 2

12. El lado mayor de un rectángulo mide p metros más que el lado menor, que mide q metros. La expresión que representa su área, en metros cuadrados, es

A) p(q – p) B) p(p – q)

perímetro de la figura achurada? A) 54 cm

B) 90 cm C) 96 cm D) 144 cm

E) Ninguna de las medidas anteriores.

14. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Un rectángulo es un polígono regular.

II) Las diagonales de un cuadrado son perpendiculares entre sí.

III) Las diagonales de un rectángulo son bisectrices de sus ángulos interiores. A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

15. En un paralelógramo ABCD, cuyas diagonales son AC y BD, siempre se cumple que si I) AC

⊥

BD y AC ≠ BD, entonces el paralelógramo ABCD es un rombo.

II) AC

⊥

BD y AB

≅

BC, entonces el paralelógramo ABCD es un cuadrado. III) AC ≠ BD y AB ≠ BC, entonces el paralelógramo ABCD es un romboide. Es (son) verdadera(s) A) solo I. B) solo II. C) solo I y II. D) solo I y III. E) I, II y III.

16. En la figura, ABCD es un rectángulo, Q se ubica sobre CD y P se ubica sobre AB. Si AB = 18 cm y BC = 12 cm, entonces ¿cuál es la medida del lado del rombo APCQ?

A P B

D Q C

A) 3

�

17 cm D) 15 cm B) 13 cm E) 6

�

13 cm C) 6

�

6 cm

17. En la figura, los cuadrados APSD, PQRS y QBCR forman el rectángulo ABCD, cuyo perímetro mide n cm. La expresión que representa el perímetro del romboide AQCS, en cm, es

D S R C A P Q B A) n 4 · (1 +

�

2) D) 23n · (2 +

�

2) B) n₄ · (2 +

�

2) E) 2₃n · (3 +

�

2) C) 2n 3 · (1 +

�

2)

18. Si las diagonales de un rombo miden x cm y 2x cm, entonces la expresión que representa la altura de dicho rombo, en cm, es

A)

�

₁₀ 5 ·x D) 2

�

₃ 3 ·x

B)

�

₅ 5 ·x E) 4

�

₅ 5 ·x

C) 2

�

₅ 5 ·x

19. En la figura, ABCD es deltoide de base AC, de tal manera que DP : AP : BP = 5 : 12 : 9. Si el área del deltoide mide 336 cm2_{, ¿cuánto mide el perímetro del deltoide?}

D B C A _P A) 28 cm B) 28

�

2 cm C) 56 cm D) 56

�

2 cm E) 112 cm

20. En la figura, ABCD es deltoide de base AC y AD

⊥

AB. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

D I) DP · PB = AP · PC

isósceles. Si CE : ED : DA = 2 : 3 : 4, entonces el perímetro del trapecio ABCE mide D E C A B A) 70 cm B) 75 cm C) 85 cm D) 95 cm E) 100 cm

22. En la figura, ABCD es un trapecio, M y N son puntos medios de AD y BC respectivamente. ¿Cuál es la razón entre las áreas del trapecio MNCD y el trapecio ABCD?

A B C 6 cm D N 4 cm M A) 5 : 6 B) 5 : 12 C) 9 : 10 D) 9 : 20

E) Faltan datos para determinarla.

23. En la figura, el trapecio ABCD es isósceles de bases AB y DC , AD

≅

DC y DE

⊥

AC.

Si

la medida del ángulo

EDC es el quíntuple de la medida del ángulo DCA, ¿cuánto mide el ángulo ACB? A B D C E A) 90º B) 97,5º C) 120º D) 135º

E) Ninguna de las medidas anteriores.

24. En el deltoide ABCD de la figura, AC es base y DB = 12 cm. Si DE ≅ EF ≅ FB y CD = 5 cm, ¿cuánto mide el área del deltoide?

A B C D E F A) 12 cm2 B) 24 cm2 C) 36 cm2 D) 72 cm2

25. En el cuadrado ABCD de la figura, P y Q son los puntos medios de sus lados respectivos, y R

es un punto ubicado sobre el segmento DA, de tal manera que DR < RA. Se ubica un punto S

en una posición cualquiera del segmento CB, de tal manera que no coincide con C ni con B. ¿Cuál(es) de las siguientes condiciones permite(n) afirmar siempre que el cuadrilátero PSQR es un trapezoide? A P B C Q D R S I) CS

≅

DR II) SB

≅

CS III) SB

≅

DR A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III

26. En la figura, se muestra un cuadrilátero cuyas diagonales son perpendiculares. ¿Cuál es el valor de x? x 4 6 ₅ A) 3

�

3 B) 16₃ C) 3

�

5 D) 7 E) 15₂

27. Se puede determinar el total de diagonales trazadas desde un vértice en un polígono convexo si: (1) El polígono tiene 10 lados.

segmento DE, si: B D F E A C (1) AD = 4 cm y DC = 7 cm.

(2) El área del cuadrado EBCF es 16 cm2_.

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

29. En la figura, se puede determinar que L₁ // L₂, si:

b α L₁ L₂ L₃ (1)

α

es la mitad de

b

. (2)

α

y

b

son suplementarios. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

30. Es posible determinar el número de lados de un polígono convexo si: (1) En total, el polígono tiene más de 15 diagonales.

(2) En total, el polígono tiene menos de 25 diagonales. A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

Tabla de corrección



Ítem Alternativa Habilidad

1 Aplicación 2 Aplicación 3 Aplicación 4 Aplicación 5 Aplicación 6 Aplicación 7 ASE 8 ASE 9 ASE 10 ASE 11 ASE 12 Comprensión 13 Aplicación 14 ASE 15 ASE 16 Aplicación 17 Aplicación 18 ASE 19 Aplicación 20 ASE 21 ASE 22 ASE 23 Aplicación 24 Aplicación