1.1 Definición 1. Polígonos

1. Polígonos

1.1 Definición

Es toda figura plana, cerrada, limitada por un número finito de lados rectos.

De acuerdo al número de lados, los más utilizados se clasifican en:

Triángulos 3 lados

Cuadriláteros 4 lados

Pentágonos 5 lados

Hexágonos 6 lados

Octágonos 8 lados…

1.2 Clasificación de Polígonos

• Polígonos Regulares

Se denomina Polígono regular a aquel que tenga todos sus lados y ángulos interiores congruentes.

Ejemplos:

El triángulo Equilátero

El Cuadrado

• Polígonos Irregulares

Son aquellos que NO son regulares, es decir, no cumplen una o ambas condiciones de los polígonos regulares.

Ejemplos:

El

rectángulo El rombo

• Polígonos Convexos

Son aquellos polígonos que poseen todos sus ángulos interiores menores a 180°.

Ejemplo:

• Polígonos Cóncavos

Son aquellos polígonos que poseen, al menos, un ángulo interior que mide más de 180°.

Ejemplo:

Al menos un segmento que une un par de puntos de la región interior del polígono, no está enteramente incluido en dicha región.

Todo segmento que une a dos puntos de la región interior del polígono, está enteramente incluido ella.

1.3 Generalidades en un Polígono Convexo de “n” lados

• Número de diagonales desde un vértice (d)

Por ejemplo, en un octágono:

Si n es el número de lados de un polígono,

entonces el total de diagonales que se pueden trazar desde uno de sus vértices está dado por la fórmula:

d = n - 3

d = 5

• Número Total de diagonales (D)

Si n es el número de lados de un polígono,

entonces el total de diagonales que se pueden trazar está dado por la fórmula:

D = n (n – 3) 2

Por ejemplo, en un pentágono, el total de diagonales es:

D = 5 (5 – 3) 2 D = 5

• Suma de los ángulos interiores (Si)

Si n es el número de lados de un polígono,

entonces la suma de los ángulos interiores está dado por la fórmula:

Si = 180° (n – 2)

Si = 180° ∙ (5 – 2) Sⁱ = 180° ∙ (3) Si = 540°

Por ejemplo, en un pentágono, la suma de sus ángulos interiores es:

• Suma de los ángulos exteriores (Se)

La suma de los ángulos exteriores de un polígono es siempre 360°.

S^e = 360°

2.1 Definición

2. Triángulos

Es un polígono de tres lados.

2.2 Elementos primarios

Corresponde a la intersección de dos trazos, los que se identifican con letras mayúsculas.

En la figura, los vértices son A, B y C.

A B

C

• Vértices:

• Lados: En la figura, los trazos AB, BC y CA, corresponden a los lados del triángulo ABC, los que se identifican con letras minúsculas.

A B

C b a

c AB = c, BC = a, AC = b

Teorema: La suma de dos lados debe ser siempre mayor que el tercero.

a + b > c b + c > a a + c > b

Teorema: La diferencia positiva de dos lados debe ser siempre menor que el tercero.

a - b < c b - c < a a - c < b

• Ángulos interiores:

A B

C

α β

α, β _y γ γ

son los ángulos interiores del triángulo ABC.

Son aquellos que se forman por la intersección de dos lados, en el interior de la figura.

Teorema: La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º

α + β + γ = 180°

Teorema: En todo triángulo, a mayor ángulo, se opone mayor lado y viceversa.

Ejemplo:

A B

C

a b

c

En el triángulo de la figura,

c > a > b

• Ángulos exteriores:

α´, β´ y γ´

son los ángulos exteriores del triángulo de la figura.

Son los suplementos de los ángulos interiores.

Teorema: La suma de los ángulos exteriores de todo triángulo es 360º.

α´ + β´ + γ´ = 360°

Teorema:

Cada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores NO adyacentes a él.

α’ = β + γ

β’ = α + γ γ’ = α + β Ejemplo:

2.3. Elementos Secundarios

• Altura (h):

Es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación.

En la figura, CD es la altura (h_c) desde el vértice C.

Ortocentro (H): Es el punto de intersección de las alturas (h_c , h_a, h_b).

C

H

A B

C

hc

D

• Transversal de gravedad (t):

Es el segmento que une el vértice con el punto medio del lado opuesto.

t_c t_c: transversaldesde C

Centro de gravedad o baricentro(G):

Punto de intersección de las transversales.

El centro de gravedad (G), divide a cada transversal en razón 2:1.

D: Punto medio del lado AB

D, E y F: Puntos medios.

AE = t_a BF = t_b CD = t_c

G: Centro de gravedad

Ejemplo:

En la figura, G es centro de gravedad. Si BG = 8 cm, entonces GF = 4 cm.

A B C

S

• Simetral (S):

Es la perpendicular levantada desde el punto medio de un lado. En la figura, está representada la

simetral levantada desde D, punto medio del lado AB.

Circuncentro:

Punto de intersección de las simetrales y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

D, F y G: Puntos medios.

E: Circuncentro

• Bisectriz (b):

Es el segmento que “dimidia” un ángulo, es decir, lo divide en 2 partes iguales.

En la figura,

el ACD = DCB = α

B C

D A

b_c

Incentro:

Punto de intersección de las bisectrices, que

corresponde al centro de la circunferencia inscrita al triángulo.

Ejemplo:

E: Incentro

• Mediana:

Es el segmento que une los puntos medios de dos lados consecutivos.

La mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de él.

D, E y F: Puntos medios.

DF, DE y EF: Medianas

DE// BC y DE = BC 2 EF// AC y EF = AC

2 DF// AB y DF = AB

2

Al trazar las tres medianas de un triángulo, se forman 4 triángulos congruentes entre sí.

El área de cada uno, es ¼ del área total del triángulo original.

2.4. Generalidades en un triángulo cualquiera

• Área o Superficie (A):

Corresponde al semiproducto entre la base y la altura del triángulo.

Área = Base ∙ Altura 2

A =

A B

C

a b

c h_c h_a h_b

2 c∙ h_c a∙h_a

2 =

2 b∙h_b

=

Ejemplo:

Determinar el área del triángulo de la figura:

En este caso, se tiene el valor de la base AB = 8, y la altura que cae sobre su prolongación es CD = 3.

Luego su área es:

A =

2

8∙3 = 12

• Perímetro o longitud (P):

Corresponde a la suma de los lados del triángulo.

A B

C b a

c

P = a + b + c

Ejemplo:

P = 15 + 18 + 22 P = 55

2.5. Clasificación de triángulos

• Según sus ángulos:

-Acutángulo:

-Rectángulo:

-Obtusángulo:

Es aquel que tiene todos sus ángulos interiores agudos.

Es aquel que tiene un ángulo recto.

Es aquel que tiene un ángulo obtuso.

Ej.:

Ej.:

Ej.:

• Según sus lados:

-Escaleno:

Es aquel que tiene todos sus lados y ángulos distintos.

Ejemplo:

-Isósceles:

Es aquel que tiene sólo 2 lados congruentes y el lado distinto es la base.

Ejemplo:

Nota:

-Equilátero:

Es aquel que tiene todos sus

lados congruentes. (Base)

En la figura, el triángulo ABC es equilátero: AB = BC = AC.

Sus ángulos interiores también son congruentes.

Se dice que el triángulo de la

figura, es “isósceles de base AB”, o bien, “isósceles en C”.