GUIA No. 4 FECHA:
Abril 30 de 2020
TEMAS A TRABAJAR:
Variables aleatorias y Distribuciones de Probabilidad
ENCUENTRO VIRTUAL PARA LA CLASE NO PRESENCIAL
Los encuentros virtuales se realizan utilizando la herramienta TEAMS de Microsoft, esta herramienta está vinculada al correo institucional, por lo que es imprescindible que lo usen. A sus correos les llega recordatorio para ingresar a la clase, que se realiza en los mismos horarios de la clase presencial.
Martes y jueves de 20:00 a 22:00 pm
ACTIVIDADES DE TRABAJO INDEPENDIENTE
Material de consulta
Variables aleatorias Definición y - Ejemplos resuelto
Resumen de las Distribuciones de Probabilidad Discretas
PRIMERA PARTE: EJERCICIOS
En esta primera parte encontrarán una serie de ejercicios sobre los temas vistos. Estos ejercicios NO se entregarán, se trabajaran y revisaran durante la clase.
Variable aleatoria discreta y Valor Esperado
1.- Un inspector de aduanas decide revisar 2 de 6 embarques provenientes de Madrid por la vía aérea. Si la selección es aleatoria y 3 de los embarques contienen contrabando; Encuentre la distribución de probabilidad para X, donde X es la variable aleatoria que representa el número de embarques que el inspector podría encontrar con contrabando. Encuentre la función de probabilidad f(X), y el valor esperado E(X).
2.- En una lotería se venden 200 boletos, de los cuales uno gana $500.000, 2 son ganadores de $100.000, siete son ganadores de $50.000, cinco son ganadores de $20.000 y cincuenta de $5.000. Sea X la variable aleatoria que representa la ganancia del jugador, Determinar la función de probabilidad y el valor esperado del juego.
5.- Una variable aleatoria X representa el número de fallas que puede tener un estudiante que está asistiendo a un curso en la universidad. La tabla presenta la función de probabilidad de la variable aleatoria.
X 1 2 3 4 5
f (x) 0.01 0.60 0.22 0.15 0.02
a.- Encuentre el valor esperado y la desviación estándar de esta variable b.- Cual es la probabilidad de que el estudiante tenga máximo 3 fallas.
6.- Una urna contiene 4 balotas con los números 1, 3, 5 y 7 respectivamente. Si se toman dos bolas de la urna sin sustitución y X representa la suma de los números de las dos balotas extraídas. Determine la función de probabilidad f(X) y el valor esperado E(X) de la variable aleatoria
Distribuciones Discretas: Binomial, Binomial Negativa y Geométrica
1.- Según datos de la secretaria de movilidad, el 23% de los conductores de buses urbanos manejan con imprudencia. Calcule la probabilidad de que cuatro de los próximos 10 buses que pasen sean conducidos con imprudencia.
2.- Según un estudio publicado por un grupo de sociólogos de la Universidad de Massachusetts, aproximadamente el 60% de los consumidores del tranquilizante Valium en dicho estado, tomaron el fármaco por problemas psicológicos, Determine la probabilidad de que, entre los siguientes 8 consumidores entrevistados en este estado, máximo 3 hayan comenzado a tomarlo por problemas psicológicos.
3.- La oficina de atención al usuario de un banco determino que aproximadamente el 75% de las personas llenan bien el formato de solicitud para un crédito bancario. Si se revisan 10 solicitudes. Determine la probabilidad de que se encuentren máximo 2 que estén mal diligenciadas.
4.- Al revisar un autobús de turistas, un agente de migración sabe que el 80% de los ocupantes son extranjeros. ¿Cuál es la probabilidad de que el noveno turista al azar sea el sexto extranjero que entrevista?
5.- El futbolista Falcao convierte en gol el 40% de los tiros libres que ejecuta. Determine la probabilidad de que el décimo tiro libre que cobre en las eliminatorias para el mundial sea el tercero que convierta en gol
6.- En el metro de la ciudad de México, los trenes deben detenerse solo unos cuantos segundos en cada estación, pero por razones no explicadas, a menudo se detienen por intervalos de varios minutos. La probabilidad de que el metro se detenga en una estación más de tres minutos es de 0,20. Halle la probabilidad de que se detenga más de tres minutos por primera vez antes de la cuarta estación desde que un usuario lo abordo?
Distribuciones Discretas: Hipergeométrica, Poisson
2.- El propietario de una farmacia local sabe que, en promedio, llegan a su farmacia 8 personas cada hora. Encuentre la probabilidad de que en un periodo dado de 30 minutos entren más de 3 personas a la farmacia
3.- Un estudio sobre las filas en las cajas registradoras de un supermercado reveló que, durante un cierto periodo, en la hora más pesada, el número de clientes en espera era en promedio de cuatro. ¿Cuál es la probabilidad de que durante ese periodo no haya clientes esperando?
4.- Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra, tomada al azar, de dos calculadoras manuales, de cada lote que llega de 18, y acepta el lote si ambas están en buenas condiciones de trabajo; de otra manera, se inspecciona todo el lote y el costo se carga al vendedor, determine la probabilidad de que un lote se acepte sin inspección adicional, si contiene ocho calculadoras que no están en buenas condiciones de trabajo
5.- Un inspector de aduanas decide revisar 2 de 6 embarques provenientes de Madrid por la vía aérea. Si la selección es aleatoria y 3 de los embarques contienen contrabando. Cuál es la probabilidad de que el inspector encuentre que los 2 embarques llevan contrabando. ¿Cuál es la probabilidad que encuentre máximo 1 embarque con contrabando?
6.- Una mesera verifica al azar las identificaciones de 5 estudiantes de entre 10 estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que al revisar las identificaciones se rehúse a servir las bebidas alcohólicas pues tres de ellos no tienen la edad legal para comprar bebidas alcohólicas?
SEGUNDA PARTE: ESTUDIOS DE CASO
ESTRATEGIA DE APRENDIZAJE:
Trabajo en Grupo colaborativo de máximo cuatro (4) estudiantes
Cada uno de los integrantes del grupo debe resolver mínimo uno (1) de los estudios de caso Una vez resueltos deben discutir, revisar, corregir y complementar su informe con el aporte de
sus compañeros.
El grupo consolida y entrega los resultados de los cinco (5) estudios de caso
TRABAJO A ENTREGAR:
El Grupo entrega un UNICO trabajo que contiene el INFORME realizado con el desarrollo de los cinco (5) estudios de caso.
El trabajo debe estar COMPLETO, organizado y bien presentado
EVALUACIÓN:
50% Trabajo presentado
ESTUDIO DE CASO 11
Supongamos que X es una variable aleatoria discreta y que x es uno de sus valores posibles. La probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor específico x se representa por medio de P(X = x). La función de probabilidad de una variable aleatoria es una representación de las probabilidades de todos los resultados posibles. Esta representación podría ser algebraica, gráfica o tabular. En el
caso de las variables aleatorias discretas, un sencillo método es enumerar las probabilidades de todos los resultados posibles de acuerdo con los valores de x.
Una empresa nueva de buses del Sistema Integrado de Transporte de Bogotá (SITP) ha comenzado a dar servicio en un nuevo barrio. Se ha registrado el número de usuarios que hay en este barrio en el servicio a primera hora de la mañana (5:00 a.m.).
Número de usuarios 0 2 3 5 6 8 10 12 15
probabilidad 0.02 0.05 0.12 0.18 0.13 0.16 0.14 0.12 0.08
Si X es la variable que representa el número de usuarios que la empresa debe atender a la hora de inicio del servicio, con base en esta información y haciendo uso de los conceptos de variables aleatorias discretas y función de probabilidad, prepare un informe en el que debe incluir como mínimo lo siguiente
1. Probabilidad de que en un día seleccionado aleatoriamente haya exactamente ocho usuarios del barrio esperando el servicio
2. Probabilidad de que en un día seleccionado aleatoriamente haya más de seis usuarios del barrio esperando este servicio
3. Probabilidad de que en un día seleccionado aleatoriamente haya menos de cuatro usuarios del barrio en este servicio
4. El numero esperado de usuarios de este servicio y su desviación estándar
5. Con base en estos resultados, redacte un breve resumen de sus hallazgos para la empresa
ESTUDIO DE CASO 22
La distribución de probabilidad binomial es una distribución de probabilidad discreta que se presenta con mucha frecuencia.
Una de sus características consiste en que sólo hay dos posibles resultados en un determinado ensayo del experimento y los resultados son mutuamente excluyentes; Otra característica de la distribución binomial es el hecho de que la variable aleatoria es el resultado de conteos. Es decir, se cuenta el número de éxitos en el número total de ensayos. Una tercera característica de una distribución binomial consiste en que la probabilidad de éxito es la misma de un ensayo a otro.
Un estudio del Departamento de Transporte de Illinois concluyó que 78.5% de quienes ocupaban los asientos delanteros de los vehículos utilizaba cinturón de seguridad. Esto significa que los dos ocupantes de la parte delantera utilizaban cinturones de seguridad. Suponga que decide comparar la información con el uso actual que se da al cinturón de seguridad, para lo cual selecciona una muestra de 8 vehículos.
1Tomado y adaptado Newball P., Estadística para administración y economía. 6ª edición Pearson. 2008
Usando sus conocimientos sobre distribuciones discretas de probabilidad, presente un informe en el que como mínimo incluya:
1. Esta situación cumple con los supuestos de la distribución binomial. Identifíquelos 2. Diagrama de barras de la distribución de probabilidad
binomial que representa esta situación
3. Probabilidad de que los ocupantes de la parte delantera en exactamente 5 de los 8 vehículos seleccionados utilicen cinturones de seguridad
4. Probabilidad de que los ocupantes de la parte delantera de por lo menos 5 de los 8 vehículos utilicen cinturón de seguridad
5. Probabilidad de que los ocupantes de la parte delantera de máximo 5 de los 8 vehículos utilicen cinturón de seguridad 6. Número de vehículos esperado en los que los ocupantes de
la parte delantera utilizan el cinturón de seguridad.
ESTUDIO DE CASO 33
Baloto es un juego novedoso de tipo loto en línea, de suerte y azar, donde el jugador elige 5 números del 1 al 43 y una súper balota con números del 1 al 16 a través de una terminal de venta. El juego consiste en acertar 5, 4 o 3 números en cualquier orden de una matriz del 1 al 43 y otro número (superbalota) del 1 al 16.
El jugador señala en un tarjetón los 6 números que escoge. Los números están representados en 43 balotas amarillas numeradas del 1 al 43 y 16 balotas rojas numeradas del 1 al 16. Cada número aparece una sola vez y las balotas ganadoras se seleccionan sin reemplazo. El premio acumulado se entrega a quien haga coincidir los seis números. En la tabla aparecen las opciones para ganar
Usando sus conocimientos sobre distribuciones discretas de probabilidad, presente un informe en el que como mínimo incluya:
1. Esta situación cumple con los supuestos de la distribución Hipergeométrica. Identifíquelos
2. Probabilidad de obtener el “Gran acumulado” con los 6 números (5 números del 1 al 43 y la súper balota).
La empresa encargada del sorteo informa que, Hasta el sorteo anterior, la posibilidad de “pegarle al gordo” era de 1 en 8
millones, mientras que ahora será de 1 en 15 millones. Explique esta afirmación.
3. El sorteo también otorga otros premios (ver tabla). Presente la probabilidad de obtener los premios que incluyen acertar la súper balota.
4. Presente la probabilidad de obtener los premios que no incluyen acertar la súper balota. 5. Con base en los resultados obtenidos, ¿usted invertiría dinero en el BALOTO?
ESTUDIO DE CASO 44
La distribución de probabilidad de Poisson describe el número de veces que se presenta un evento durante un intervalo específico. El intervalo puede ser de tiempo, distancia, área o volumen. La distribución se basa en dos supuestos. El primero consiste en que la probabilidad es proporcional a la longitud del intervalo. El segundo supuesto consiste en que los intervalos son independientes. En otras palabras, cuanto más grande sea el intervalo, mayor será la probabilidad; además, el número de veces que se presenta un evento en un intervalo no influye en los demás intervalos.
Esta distribución posee diversas aplicaciones. Se le utiliza como modelo para describir la distribución de errores en una entrada de datos, el número de rayones y otras imperfecciones en las cabinas de automóviles recién pintados, el número de partes defectuosas en envíos, el número de clientes que esperan mesa en un restaurante, el número de accidentes en una carretera en un periodo determinado.
Los padres preocupados porque sus hijos son “propensos a accidentes” pueden estar tranquilos, de acuerdo a un estudio realizado por el Departamento de Pediatría de la Universidad de California, San
Francisco. Los niños que se lesionan dos o más veces tienden a sufrir estas lesiones durante un tiempo relativamente limitado, por lo general un año o menos. El estudio determinó que el número promedio de lesiones por año para niños en edad escolar es de dos.
Usando sus conocimientos sobre distribuciones de probabilidad discretas, presente un informe que como mínimo contenga:
1. Esta situación cumple con los supuestos de la distribución Poisson. Identifíquelos 2. Probabilidad de que un niño sufra tres lesiones durante el año
3. Probabilidad de que un niño sufra más de tres lesiones durante el año
4. Probabilidad de que un niño sufra una lesión en los siguientes tres meses del año
5. Número de lesiones esperado por año y su desviación estándar. Dentro de que limites se espera entonces que caiga el número de lesiones por año.
6. ¿Realmente, pueden estar tranquilos los padres? Sustente su opinión en los resultados obtenidos
ESTUDIO DE CASO 55
La distribución de probabilidad de Poisson describe el número de veces que se presenta un evento durante un intervalo específico. El intervalo puede ser de tiempo, distancia, área o volumen. La distribución se basa en dos supuestos. El primero consiste en que la probabilidad es proporcional a la longitud del intervalo. El segundo supuesto consiste en que los intervalos son independientes. En otras palabras, cuanto más grande sea el intervalo, mayor será la probabilidad; además, el número de veces que se presenta un evento en un intervalo no influye en los demás intervalos.
La compañía de aviación Delta Airlines, se caracteriza por su responsabilidad y cuidado con el equipaje de sus pasajeros, por lo que pocas veces se pierde equipaje. En la mayoría de los vuelos no se pierden maletas; en algunos se pierde una; en unos cuantos se pierden dos; pocas veces se pierden tres, etc. Suponga que una muestra aleatoria de 1 000 vuelos arroja un total de 400 maletas perdidas. De esta manera, el número promedio de maletas perdidas por vuelo es de 0.4.
Prepare un informe en el que como mínimo, incluya:
1. ¿Esta situación cumple con los supuestos de la distribución Poisson? Identifíquelos 2. Determine cuál es la probabilidad de que en un vuelo no se pierda ninguna maleta 3. Determine cuál es la probabilidad de que en un vuelo se pierda exactamente una maleta 4. Determine cuál es la probabilidad de que en un vuelo se pierdan entre dos y cuatro maletas 5. Podría establecer cuál es la probabilidad de que se pierdan en un vuelo más de cuatro maletas 6. ¿En qué momento debe sospechar el supervisor de la Aerolínea que en un vuelo se están
