CIENCIA. Predicción de: períodos de cometas mareas

(1)

(2)

CIENCIA

CIENCIA EFECTO Predicción de: eclipses eclipses períodos de cometas mareas Etc Etc.

(3)

MAREAS (predecibles)

CLIMA (predecible?)

(p )

Tablas para varios años (p ) Horizonte de predectibilidad? V i bl V i bl Variables. Temperatura S li id d Variables. Temperatura Hh d d Salinidad Presión Ondas superficiales Sol y Luna Hhumedad Presión Viento Nubosidad Sol y Luna Forma costera profundidad Nubosidad

(4)

Para describir lo que no entendemos introducimos el azar AZAR P tid d Partida de dados Mov de un globo que se desinfla clima desinfla Paradigma clásico Más y mejor información predectibilidad

(5)

Teoría del Caos (Caos = impredectibilidad) Si t Sistemas simples con reglas deterministas impredictibilidad deterministas Más información información Aleatoriedad es Fundamental El caos puede ser ser determinista?

(6)

Visión clásica

pasado _futuro Caos Caos Futuro 1 F t 2 incertezas pasado Futuro 2 Futuro 3 incertezas minúsculas p Futuro N Futuro M

(7)

Reducción histórica del universo del Caos al

C

Cosmos

Más leyes físicas

Menos caos

verificadas Menos caos

Galileo Newton Newton Leibniz

Maxwell… _{Futuro sin caos?}

Una conciencia capaz de conocer las posiciones y velocidades exactas Demonio de

Laplace

las posiciones y velocidades exactas de todos los objetos del universo en

un instante dado, así como las fuerzas que los afectan puede fuerzas que los afectan, puede calcular cualquier evento pasado o

(8)

Atentados al Determinismo

Cuando conocemos el presente Podemos calcular el futuro

Heisemberg premisa

falsa

Heisemberg

No podemos conocer todos los detalles del presente p

(9)

El Determinismo no se rinde

Lewis F. Richardson, 1922

“Wheather Prediction by Numerical Process”

ENIAC, 1940

(10)

ENIAC

(11)

(12)

El Determinismo no se rinde

Admisión de las incertezas pero Admisión de las incertezas, pero…

Causas casi iguales Efectos casi iguales iguales iguales P P Incerteza del d Δe_P _Δ_e F T T estado Hum Hum presente futuro

(13)

Leyes físicas MegaCálculos en ordenadores

Misiones espaciales

(14)

T

í

d l C

Teoría

del Caos

Chaos theory is a field of study in mathematics, physics, and philosophy

studying the behavior of dynamical systems that are highly sensitive to initial conditions. This sensitivity is popularly referred to as the y p p y butterfly effecty .

Small differences in initial conditions (such as those due to rounding errors in numerical computation) yield widely diverging outcomes for chaotic systems, rendering long-term prediction impossible in general. This happens even

though these systems are deterministic, meaning that their future behaviour is fully determined by their initial conditions, with no random elements

involved. In other words, the deterministic nature of these systems does not make them predictable. This behavior is known as deterministic chaos, or simply chaos.

(15)

F

t l

Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular se repite a diferentes escalas El término fue propuesto por el

Fractales

o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el

matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características: •Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos

tradicionales.

•Posee detalle a cualquier escala de observación •Posee detalle a cualquier escala de observación. •Es autosimilar (exacta, aproximada o estadística).

•Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su

dimensión topológica dimensión topológica.

(16)

Este enunciado NO tiene validez GENERAL

(17)

(18)

(19)

P

li

t d

Procesos realimentados

(20)

(21)

No se puede mostrar la imagen. Puede que su equipo no tenga suficiente memoria para abrir la imagen o que ésta esté dañada. Reinicie el equipo y, a continuación, abra el archivo de nuevo. Si sigue apareciendo la x roja, puede que tenga que borrar la imagen e insertarla de nuevo.

…

(22)

No se puede mostrar la imagen. Puede que su equipo no tenga suficiente memoria para abrir la imagen o que ésta esté dañada. Reinicie el equipo y, a continuación, abra el archivo de nuevo. Si sigue apareciendo la x roja, puede que tenga que borrar la imagen e insertarla de nuevo.

(23)

El proceso de retroalimentación puede describirse como una reducción de la El proceso de retroalimentación puede describirse como una reducción de la imagen hacia un punto interior de la pantalla. Si acercamos la cámara lo

suficiente como para que desde su visor sólo observemos pantalla

observaremos lo contrario. La imagen se expandirá. Para conseguir imágenes obse a e os o co t a o a age se e pa d á a a co segu áge es que le resultarán hipnóticas atenuaremos el brillo del televisor y aumentaremos el contraste. Tras apagar la luz de la habitación, ajustaremos el zoom de la

cámara de modo que la pantalla del televisor quede perfectamente encuadrada q p q p sin que aparezca el marco del televisor. Es decir nos encontramos en la región ni demasiado lejos para que la imagen se contraiga, ni demasiado cerca para que la imagen se expanda. En este sencillo sistema se pueden modificar muchas variables como el zoom, el foco o el ángulo con que encaramos la pantalla del televisor.

1. La pantalla se vuelve totalmente blanca o se fija una mancha de luz estable. Este resultado es, en lenguaje de los sistemas dinámicos, un punto fijo.

2. Aparece una mancha de luz pulsante (estado estacionario periódico).

3. Asistimos a una frenética aparición y desaparición de manchas de luz sin orden ni concierto (caos determinista).

4. Nuestra pantalla exhibe un patrón organizado o complejo de manchas, de

i i i á i d l i

reminiscencias orgánicas, que parecen crecer, decrecer y evolucionar (dinámica compleja o auto-organizada).

(24)

(25)

1:1 cámara – monitor rotados

Space-time dynamics in video feedback Space time dynamics in video feedback

Pages 229-245

(26)

(27)

Reducción realimentada

caso trivial

Gauss

(28)

Un caso no trivial

(29)

Y conduce a un patrón interesante

(30)

Gasket de Sierpinski

Independientemente de la figura inicial, el proceso iterativo lleva

siempre al mismo patrón: Gasket de Sierpinski

p

(31)

(32)

Este es un proceso de realimentado lineal e isótropo

Otros procesos realimentados

ejemplo

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

+ n n

a

x

2

1

⎟

⎠

⎜

⎝

x

n

2

(33)

Supongamos que

a = 2

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛

+

=

+ n n

a

x

₁

1 Damos valor inicial de

x

₀

= 3

833333

1

2

3

1 ⎟

⎞

⎜

⎛

⎟

⎠

⎜

⎝

+ n n n

x

2

1

833333

.

1

3

2

1

⎟

=

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

x

2

1 ⎛

⎞

46212121

.

1 833333

.

1

2 833333

.

1

2

1

2

⎟

=

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

=

x

41499843

.

1 46212121

1

2 46212121

.

1

2

1

3

⎟

=

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

=

x

46212121

.

1

2 ⎝

⎠

41421378

1

2 41499843

1

1 ⎟

⎞

⎜

⎛

₊

41421378

.

1 41499843

.

1 41499843

.

1

2

4

⎟

=

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

=

x

⇒

= 41421356

1 .

2 Se aproxima a

estabilidad

(34)

Realimentación en dos etapas

Corresponde a la expresión

(

₁

)

1

,

− +

=

n n n

g

x

Por ejemplo,

(

)

(

x

_n

,

x

_n₋₁

)

=

x

_n

+

x

_n₊₁

g

(F)

Esta serie tiene propiedades y aplicaciones interesantes

Por ejemplo, comenzando con

1 ;

0

₁ 0

= x

=

x

Da lugar a la secuencia

(35)

...

,

377 ,

233 ,

144 ,

89 ,

55 ,

34 ,

21 ,

13 ,

8 ,

5 ,

3 ,

2 ,

1 ,

0 De la cual se sigue que las razones

/

_n

n

x

₊₁

/

Se aproximan cuando n →∞ al número

p

2

5

1 ...

61803398

,

1 =

+

2

(36)

Esta realimentación en dos etapas en verdad no difiere demasiado de la

Iteración en una etapa En realidad es la iteración en una etapa de un vector

Iteración en una etapa. En realidad es la iteración en una etapa de un vector

de dos componentes

Llamando:

(

_n _n

)

_n _n n

g

x

y

x

y

x

₊₁

=

,

=

+

Llamando:

n n

x

y

₊₁

=

Obtenemos el siguiente proceso de una etapa y dos variables:

(37)

Otro ejemplo

( )

⎩

⎨

⎧

+

=

impar

x

si

x

par

x

si

x

f

_n n n

1

3

2 /

⎩

3 x

_n

+

1 si

x

_n

impar

Secuencias para diferentes x

₀

0

x

...

,

1 ,

2 ,

4 ,

1 ,

2 ,

4 STOP

=

A

t

t l

i

l

(38)

27

0

=

x

₀

27 x

!

oops

(39)

negativo

x

para

₀

0

=

x

para

(40)

sorteo

La Máquina de la Rueda de la Fortuna…

(41)

…y el juego del Caos

Marcar tres puntos en una hoja

1

3 2

x

Usar un dado para seleccionar 1, 2 ó 3

Marcar un punto inicial x

2 3

Trazar un nuevo punto en el medio del segmento entre el punto inicial

y el seleccionado

Reiterar los últimos dos pasos usando el último punto en lugar del punto

inicial

(42)

(43)

juego del Caos

j

g

(44)

Iteradores cuadráticos

ejemplo

5 .

0 ;

2

₀

=

−

=

x

c

16 d

i

l

16 decimales

Importa?

(45)

Heinz-Otto Peitgen

Cada vez más decisiones en el desarrollo de la ciencia y la tecnología

y también en economía y política se basan en cálculos y simulaciones a

gran escala

(46)

Problemas con poblaciones

Suponemos un medio ambiente constante

N es la máxima población que admite el medio ambiente

P

_n

es la población al tiempo n

P

_n

= P

_n

/N

T

d

i i

t

Tasa de crecimiento

n n n n

P

p

P

−

=

−

₊ +1 1 n n

p

P

postulamos

(

_n

)

n n

p

r

p

₊

−

₌

₋

1

postulamos

Tasa de crecimiento

Proporcional a la

n

p

_{Diferencia entre N y P}

n

(

_n

)

n n n

p

rp

p

₊₁

=

+

1 −

Proceso realimentado

(47)

Proceso realimentado

Medidas de p

_n

a lo largo del tiempo

Medidas de p

_n

a lo largo del tiempo

p_n

(48)

(

)

01 .

0 ;

3

₀

=

p

r

(

_n

)

n n n

p

rp

p

₊₁

=

+

1 −

;

p

₀

más de 12 decimales

(49)

Interludio: el experimento de Lorenz

Sin parar

1956

Parando y reiniciando

diferencia

(50)

el experimento de Lorenz aplicado a

poblaciones

(

p

)

rp

p

=

+

1

01 .

0 ;

3

₀

=

p

r

(

_n

)

n n n

p

rp

p

₊₁

=

+

1 −

(51)

(52)

Más confusión?

(

1 p

)

rp

p

+

(

−

)

(

)

2 1

1

n n n n n n

rp

p

r

p

rp

p

−

+

=

+

Es lo mismo!

Casio

(53)

Mediante cálculos de precisión

finita

no hay cura para los efectos

dañinos

del caos

Tarde o temprano la predictibilidad

se pierde

Nota:

Es simple demostrar la equivalencia entre las expresiones:

(

1 )

(

_n

)

n n n

p

rp

p

₊₁

=

+

1 −

C

x

_n₊₁

=

_n2

+

Mediante la transformación lineal

r

+

1 ₁

2

r

Cambio de

n n

rp

r

x

=

+

−

2

1

4 1 r

C

=

−

Cambio de

_escala

(54)

(55)

La culpa la tiene el cuadrado?

2 1

=

+

x

c

x

_n _n

caótico

5 .

0 ;

2

₀

=

−

=

x

c

caótico

1 ;

2

₀ 2 1

=

−

=

+

=

+

x

c

x

_n _n

no caótico

2 1

=

+

x

c

x

_n _n

óti

2 ;

2

₀ 1

=

−

=

+

x

c

n n

no caótico

999999

,

1 ;

2

₀ 2 1

=

−

=

+

=

+

x

c

x

_n _n

caótico!

(56)

La culpa la tiene el cuadrado?

2 1

=

+

x

c

x

_n _n

5 .

0 ;

1

₀ 1

=

−

=

+

x

c

x

_n _n

Caótico?

Predecible!

(estable)

(57)

Causal

Predecible!

Pequeños

errores decaen

Pueden

despreciarse

(estable)

en el proceso

despreciarse

Cáótico

Pequeños

errores se

No pueden

Impredecible!

(inestable)

errores se

amplifican en

el proceso

despreciarse

Error

∼

Señal

(58)

Realimentación gráfica

(

x

)

ax

x

_n

ax

_n

(

1 x

_n

)

x

₊₁

=

1 −

(

)

parábola

(

x

)

ax

y

=

1 −

(59)

estable

inestable

a = 4

(60)