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Guía Matemática
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
1.
Rectas en el espacio
Anteriormente estudiamos las rectas en el plano cartesiano por medio de su ecuaci´on general (L1 :
ax + by + c = 0) y su ecuaci´on principal (L1 : y = mx + n). A continuaci´on estudiaremos la ecuaci´on
vectorial de una recta en el plano y en el espacio.
Para determinar la ecuaci´on vectorial de una recta en el plano cartesiano es necesario tener un punto conocido por el que pasa la recta, en este caso lo hemos simbolizado con la letra A y sus coordenadas son A(a1, a2). Adem´as se necesita un vector director, que corresponde a un vector que tiene la misma
direcci´on que nuestra recta, vale decir, son paralelas, en este caso lo hemos simbolizado como ~v y sus coordenadas son ~v = (v1, v2).
Como muestra la siguiente figura a partir de un punto A y de un vector posici´on ~v que ha sido tras-ladado de tal forma que el origen de este coincida con el punto A se puede obtener gr´aficamente la recta L que estamos buscando.
Ahora, para deducir la ecuaci´on matem´atica que me permite identificar todos los puntos de la recta, debemos razonar de la siguiente forma. Primero identificamos uno de los infinitos puntos no conocidos de la recta, en este caso lo hemos simbolizado con la letra P y sus coordenadas son P (x, y) y luego trazamos los dos vectores de posici´on de los puntos A y P los cuales corresponden a dos vectores cuyo origen coincide en el punto O(0, 0) y cuyos extremos son A(a1, a2) y P (x, y).
De acuerdo al esquema de vectores realizado anteriormente tenemos lo siguiente: −−→ OP =−→OA +−→AP −−→ OP =−→OA + λ~v con λ ∈ R (x − 0, y − 0) = (a1− 0, a2− 0) + λ(v1, v2) con λ ∈ R (x, y) = (a1, a2) + λ(v1, v2) con λ ∈ R
De este modo la ecuaci´on vectorial de una recta en el plano queda expresada por: ~
p = ~a + λ~v con λ ∈ R
(x, y) = (a1, a2) + λ(v1, v2) con λ ∈ R
Donde ~a corresponde al vector posici´on de un punto perteneciente a la recta, ~v corresponde al vector director, paralelo a la recta, y λ es un par´ametro que al tomar distintos valores nos entrega diferentes puntos que forman la recta.
Desaf´ıo 1
Dada la ecuaci´on vectorial de la recta determina la correspondiente ecuaci´on princi-pal.
Respuesta
Ahora bien, si queremos conocer la ecuaci´on vectorial de una recta en el espacio basta con generalizar la ecuaci´on vectorial de una recta en el plano deducida anteriormente. De esta forma, si A(a1, a2, a3) es un punto perteneciente a la recta y ~v = (v1, v2, v3) es el vector director de dicha recta,
~
p = ~a + λ~v con λ ∈ R
(x, y, z) = (a1, a2, a3) + λ(v1, v2, v3) con λ ∈ R
. Ejemplo
Determinar la ecuaci´on vectorial de la recta que pasa por los puntos P (−2, 5, −4) y Q(−1, 13, 9). Soluci´on: Para obtener la ecuaci´on vectorial de la recta debemos primero obtener el vector director de ´
esta, en este caso, un vector director es ~v =−P Q. De este modo tenemos que:−→ −−→
P Q = (−1 − −2, 13 − 5, 9 − −4) −−→
P Q = (1, 8, 13)
Ahora si reemplazamos el vector director−P Q y cualquiera de los dos puntos, por ejemplo, P (−2, 5, −4),−→ en la ecuaci´on vectorial ~p = ~a + λ~v obtenemos:
(x, y, z) = (−2, 5, −4) + λ(1, 8, 13)
- Ejercicios 1
1. Determina la ecuaci´on vectorial de la recta que pasa por los puntos A(3, 6) y B(−2, 0). 2. Determinar la ecuaci´on principal de la recta (x, y) = (5, 12) + λ(9, −2) con λ ∈ R.
3. Determina la ecuaci´on vectorial de la recta que pasa por el origen y cuyo vector director es ~t = (−12, 7).
4. Determina la ecuaci´on vectorial de la recta que pasa por el punto P (3, 7, −10) y que es paralela a la recta L : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(2, −6, 0) con λ ∈ R.
5. Determina la ecuaci´on vectorial de la recta que pasa por el punto (3, 3) y que es paralela a la recta y = 5x − 1
2.
6. Determina la ecuaci´on vectorial de la recta cuyo vector posici´on es ~b = (25, 16, −32) y cuyo vector director es ~p = (−11, −5, 17).
7. Determina la ecuaci´on vectorial de la recta que es perpendicular a la recta L2 : (x, y) = (2, 6) +
λ(−4, 4) con λ ∈ R.
2.
Planos en el espacio
El plano, al igual que el punto y la recta, es un concepto primitivo de la geometr´ıa por lo que no se define por si solo sino que es descrito a trav´es de otros elementos.
Un plano es un objeto geom´etrico que posee s´olo dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas.
Para determinar la ecuaci´on vectorial de una plano en el espacio es necesario tener un punto cono-cido que pertenece al plano, en este caso lo hemos simbolizado con la letra A y sus coordenadas son A(a1, a2, a3). Adem´as se necesita dos vectores directores no paralelos, en este caso los hemos simbolizado
como ~v y ~u y sus coordenadas son ~v = (v1, v2, v3) y ~u = (u1, u2, u3).
Ahora, para deducir la ecuaci´on matem´atica que me permite identificar todos los puntos del plano, debemos razonar de la siguiente forma. Primero realizamos la suma de los vectores directores del plano ~v y ~u obteniendo el vector ~AP y luego trazamos los dos vectores de posici´on de los puntos A y P los cuales corresponden a dos vectores cuyo origen coincide en el punto O(0, 0, 0) y cuyos extremos son A(a1, a2, a3)
De acuerdo al esquema de vectores realizado anteriormente tenemos lo siguiente: −−→ OP =−→OA +−→AP −−→ OP =−→OA + (λ~v + µ~u) con λ, µ ∈ R (x − 0, y − 0, z − 0) = (a1− 0, a2− 0, a3− 0) + λ(v1, v2, v3) + µ(u1, u2, u3) con λ, µ ∈ R (x, y, z) = (a1, a2, a3) + λ(v1, v2, v3) + µ(u1, u2, u3) con λ, µ ∈ R
De este modo la ecuaci´on vectorial de un plano en el espacio queda expresada por: ~
p = ~a + λ~v + µ~u con λ, µ ∈ R
(x, y, z) = (a1, a2, a3) + λ(v1, v2, v3) + µ(u1, u2, u3) con λ, µ ∈ R
Donde ~a corresponde al vector posici´on de un punto perteneciente al plano, ~v y ~u corresponden a los vectores directores del plano y λ y µ son par´ametros que al tomar distintos valores nos entrega diferentes puntos que forman el plano.
. Ejemplo
Determinar la ecuaci´on vectorial del plano que pasa por los puntos M (1, 3, 7), N (−2, 3, −4) y Q(5, 8, −3). Soluci´on: Para obtener la ecuaci´on vectorial del plano debemos primero obtener dos vectores directores de ´este, en este caso, los vectores directores pueden ser ~v =−−→N Q y ~u =−−→N M . De este modo tenemos que:
−−→ N M = (1 − −2, 3 − 3, 7 − −4) −−→ N M = (3, 0, 11) −−→ N Q = (5 − −2, 8 − 3, −3 − −4) −−→ N Q = (7, 5, 1)
Ahora si reemplazamos los vectores directores−−→M N y−−→N Q y cualquiera de los tres puntos que pertenecen al plano, por ejemplo, M (1, 3, 7), en la ecuaci´on vectorial ~p = ~a + λ~v + µ~u obtenemos:
(x, y, z) = (1, 3, 7) + λ(3, 0, 11) + µ(7, 5, 1)
- Ejercicios 2
1. Determina la ecuaci´on vectorial del plano que pasa por los puntos A(30, 25, 10), B(−7, −3, −8) y C(9, 12, −18).
2. Determina la ecuaci´on vectorial del plano que pasa por el punto P (−5, 2, 3) y contiene a la recta L : (x, y, z) = (−1, 1, −1) + λ(12, 4, 16) conλ ∈ R
3. Determina la ecuaci´on vectorial del plano que contiene a las rectas L1 : y =
5
2x − 12 y L2 : (x, y, z) = (10, −7, 9) + λ(−8, 0, 15) conλ ∈ R.
4. Determina la ecuaci´on general del plano ax + by + cz + d = 0 que pasa por los puntos M (−1, 2, −3), P (17, 21, 5) y Q(−5, 0, −11).
5. A partir del paralelep´ıpedo recto de la figura situado en un sistema cartesiano tridimensional cal-cular:
a) La ecuaci´on vectorial de las diagonales del paralelep´ıpedo.
b) La ecuaci´on vectorial de los planos portadores de las caras del cuerpo geom´etrico. c) La ecuaci´on vectorial de las rectas portadores de las aristas del paralelep´ıpedo.
Desaf´ıos resueltos
3 Desaf´ıo I: Desarrollemos la siguiente ecuaci´on vectorial (x, y) = (x1, y1) + λ(v1, v2) con λ ∈ R:
(x, y) = (x1, y1) + λ(v1, v2) (x, y) = (x1+ λv1, y1+ λv2) x = x1+ λv1−→ x − x1 v1 = λ y = y1+ λv2 −→ y − y1 v2 = λ
Si igualamos los valores de λ obtenemos finalmente la ecuaci´on principal de la recta de la siguiente forma: x − x1 v1 = y − y1 v2 (x − x1) v2 v1 = y − y1 xv2 v1 + y1− x1 v2 v1 = y x v2 v1 + y1v1− x1v2 v1 = y De esta forma la ecuaci´on principal de la recta es y = x v2
v1 + y1v1− x1v2 v1 donde v2 v1 corresponde a la pendiente de la recta y y1v1− x1v2
v1
al intercepto. Volver
Bibliograf´ıa
[1 ] Manual de preparaci´on PSU Matem´atica, Quinta Edici´on,
