Concavidad y punto de inflexión

 

    

    Concavidad y punto de inflexión 

 

 

por Oliverio Ramírez 

Otra característica de una función que ayuda a conocer su comportamiento es la concavidad pero ¿Qué significa concavidad?

El diccionario de la Real Academia Española (2010) dice que

“Cóncavo: Dicho de una curva o de una superficie que se asemeja al interior de una circunferencia o esfera”.

En el análisis de una función, la concavidad indica hacia dónde “abre” la gráfica de la función, de esta forma utilizaremos los términos Cóncava hacia arriba y Cóncava hacia abajo como se indica a continuación:

Término Gráfica Notación

Cóncava hacia arriba CH↑

Cóncava hacia abajo CH↓

Para ejemplificar este concepto usemos la función

_{( )}

3 2

5

7

+

−

−

=

x

x

x

x

f

cuya gráfica es : Figura 1. Funciones

En la gráfica se ha señalado que en cierta porción de la gráfica, ésta se comporta con una concavidad hacia abajo y en otra sección con concavidad hacia arriba, pero…

¿En qué punto exactamente ocurre este cambio?, ¿matemáticamente cómo se puede determinar el intervalo de concavidad?

La concavidad de la gráfica de una función puede definirse mediante la primera derivada de la siguiente manera:

Sea diferenciable en

(i)

Si es una función creciente en entonces la gráfica de es cóncava hacia arriba en el intervalo.

(ii)

Si es una función decreciente en , entonces la gráfica de es cóncava hacia

abajo en el intervalo. Zill (1987, p.217),

La interpretación de la definición anterior, se puede realizar a partir del significado geométrico de la derivada,

“El valor de la derivada en cualquier punto de una curva, es igual a la pendiente de la tangente a la curva en ese punto”. Fuenlabrada (2001, p. 54)

Además, considerando que una tangente con pendiente negativa se inclina a la izquierda y una tangente positiva a la derecha como muestra Ibarra Mercado (2006, p. 407) e integrando los anteriores conceptos resulta que:

Figura 2. Tipos de rectas

1)

Si es creciente el valor de la pendiente de la recta tangente va de un valor negativo hacia un valor positivo (figura 1) y la gráfica es cóncava hacia arriba.

2)

Si es decreciente el valor de la pendiente de la recta tangente va de un valor positivo hacia un valor negativo (figura 2) y la gráfica es cóncava hacia abajo.

Figura 3. Cóncava hacia arriba _{Figura 4. Cóncava hacia abajo}

Recta con pendiente cero. Recta con pendiente indefinida. Recta con pendiente positiva. Recta con pendiente positiva.

La figura muestra cuatro tipos de rectas; dos de ellas son casos especiales, la recta con pendiente cero (recta horizontal) y la recta con pendiente indefinida (recta vertical), además muestra una recta inclinada a la izquierda (pendiente negativa) y una recta inclinada a la derecha (pendiente positiva).

Siguiendo con este análisis y considerando que una función es creciente si su derivada es positiva y decreciente si su derivada es negativa (Fuenlabrada, 2001), y tomando en cuenta que la derivada de la primera derivada es f’’ (segunda derivada) entonces el signo de la segunda derivada es una condición para establecer la concavidad de la gráfica de una función. Zill (1987, p. 217) establece lo anterior en el siguiente criterio:

“Criterio de concavidad

Sea una función para la cual existe en (a, b,)

i)

Si f’’(x)>0 para todo x en (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a, b).

ii)

Si f’’(x)<0 para todo x en (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (a, b).”

De acuerdo con Leithold (1998), al punto en donde la gráfica cambia de concavidad, es decir, cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o viceversa, se le llama punto de inflexión.

Por otro lado Zill (1987, p. 219) menciona que: “Un punto de inflexión (c, f(c)) ocurre en un número c para el cual fʼʼ(c)=0 o bien fʼʼ(c) no existe.”

Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1

Determina la concavidad y el punto de inflexión, si existe, de la función .

Solución:

Paso Acción Operaciones

1

Calcula la primera y segunda derivada de la función.

2

Identifica si f’’(x) no existe para algún valor o iguala f’’(x) con cero.

3

Resuelve la ecuación

4

Genera intervalos utilizando el valor o valores críticos.

5

Elige un número cualquiera que pertenezca

al intervalo.

0

1

6

Sustituye los valores elegidos en el paso 5 en la segunda derivada y observa el signo de ésta.

7

Interpreta los resultados con base en el criterio de concavidad.

Como , la función es cóncava hacia abajo en el intervalo .

Como , la función es cóncava hacia arriba en el intervalo .

8

Determina las

coordenadas del punto de inflexión sustituyendo el valor o valores críticos.

Sustituyendo en tenemos

Por lo que son las coordenadas del punto de inflexión

Te recomiendo que practiques en tu cuaderno:

Construye la gráfica de la función, de esta forma complementarás tu comprensión de los intervalos de concavidad así como la localización del punto de inflexión.

Ejemplo 2

Determina los intervalos de concavidad y puntos de inflexión (si existen) de la función

f

(

x

)

=

2

x

2/3.

Solución:

Paso Acción Operaciones

1

Calcula la primera y segunda derivada de la función.

2

Identifica si f’’(x) no existe para algún valor o iguala f’’(x) con cero.

Debido a que la segunda derivada no existe para x=0, éste es un valor crítico (y un posible punto de inflexión).

3

4

Genera intervalos utilizando el valor o valores críticos.

5

Elige un número cualquiera que pertenezca

al intervalo.

-1

1

6

Sustituye los valores elegidos en el paso 5 en la segunda derivada y observa el signo de ésta.

7

Interpreta los resultados con base en el criterio de concavidad.

Como en ambos intervalos, la función es cóncava hacia abajo en el intervalo .

8

Determina las

coordenadas del punto de inflexión sustituyendo el valor o valores críticos.

Al no existir un cambio en la concavidad de la gráfica se concluye que no existe punto de inflexión

Ejemplo 3

Determina los intervalos de concavidad y puntos de inflexión (si existen) de la función

4

)

(

2

−

=

x

x

f

. Solución.

La primera y segunda derivada de

(

)

2

4

−

=

x

x

f

son,

Se observa que es constante y positiva, por lo que la función es cóncava hacia arriba en todo su dominio y no tiene punto de inflexión. Si graficamos la función

(

)

2

4

−

=

x

x

f

se observa lo anterior.

Figura 5. Cóncava hacia arriba

Criterio de la segunda derivada para extremos relativos

El siguiente teorema, aplica la segunda derivada para definir la existencia de un extremo relativo (máximo o mínimo) como sigue:

“Sea f una función para la cual f’’ existe en un intervalo (a, b) que contiene al número crítico c.

(i)

Si f’’(c)>0, entonces f(c) es un mínimo relativo.

(ii)

Si f’’(c)<0, entonces f(c) es un máximo relativo.” (Zill, 1987, 220)

Veamos el siguiente ejemplo,

Cóncava hacia arriba

Ejemplo 4

Determina los extremos relativos (si existen) de la función .

Solución.

Calculando la primera y segunda derivada tenemos,

Igualando con cero se obtiene,

Por lo que, los valores críticos de la función son:

; ;

Evaluando los valores críticos encontrados en la segunda derivada se obtiene,

Analizando los signos de la segunda derivada se puede concluir que se tienen mínimos relativos en

y en

; y un máximo relativo en x=0. Para hallar las coordenadas de los puntos

máximos y mínimos se sustituyen los valores críticos en la función. La gráfica de la función es:

Figura 6. Gráfica de la función

 

Referencias 

Concavidad. (n.d.). En Real Academia de la lengua Española diccionario online. Recuperado el 10 de agosto de 2010 de

http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=concavi dad

Cruz, L.; Prado, C.; Vallejo, F. (2006). Cálculo diferencial para ingeniería [libro en

línea]. México: Pearson Educación. Recuperado el 17 de agosto de 2010 de

http://www.bibliotechnia.com/bibliotechnia20/index.php?option=com_libr os&task=preview&id=2541&Itemid=5. Recurso disponible en Biblioteca Digital UVEG.

Fuenlabrada, S. (2001). Cálculo Diferencial. México: McGraw-Hill Interamericana.

Leithold, L. (1998). El cálculo. México: Oxford University Press.

Purcell, E. (2001). Cálculo [libro en línea]. México: Pearson Educación.

Recuperado el 17 de agosto de 2010 de

http://www.bibliotechnia.com/bibliotechnia20/index.php?option=com_libr os&task=preview&id=1280&Itemid=5. Recurso disponible en la Biblioteca Digital UVEG.

Zill, D. (1987). Cálculo con Geometría Analítica (Ojeda, E. Trad.). México: Grupo

Editorial Iberoamérica.

Gráfica

1 De “Cálculo diferencial Educación Superior”, por O. Ramírez, 2010, Profesor Experto en Contenido, Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

Figuras

1-2 De “Cálculo diferencial Educación Superior”, por O. Ramírez, 2010, Profesor Experto en Contenido, Universidad Virtual del Estado de Guanajuato,