Algoritmos para el análisis
de redes.
El disponer de herramientas computacionales que resuelvan sistemas de ecuaciones no lineales dinámicos y que permitan desplegar las formas de ondas de las respuestas, puede llevar a desconocer la forma en que estas herramientas ocupan los conceptos y teorías en que están basadas.
Se desea usar herramientas computacionales para resolver los problemas matemáticos asociados a la teoría de redes y a la vez ilustrar en qué aspectos de la teoría están basados los programas y aplicaciones de análisis de redes de tipo electrónicas.
A partir de la teoría básica de las redes eléctricas se modelará la red en términos de un sistema de ecuaciones. Debido a los diferentes modelos matemáticos de representación, primero se expondrán los algoritmos numéricos simplificados, para resolver:
un sistema algebraico de ecuaciones,
un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, un sistema de ecuaciones no lineales,
la linealización de un sistema no lineal para señales pequeñas en comparación con los valores de polarización.
A través de Maple se ilustrarán algoritmos simplificados que realizan las mismas funciones que los sofisticados algoritmos internos que emplea SPICE para los diferentes análisis que efectúa.
La reproducción de los ejemplos propuestos frente a un computador permite la asimilación más rápida de los conceptos que se exponen.
1. Métodos de análisis para redes estáticas.
Están basados en resolver un sistema lineal de ecuaciones.1.1. Formulación de ecuaciones.
La siguiente red se estudia en condiciones estacionarias. Si existieran condensadores éstos se reemplazan por circuitos abiertos; los inductores por cortocircuitos. Las resistencias se consideran elementos lineales.
2
v4
4 I(R2) 3R
3R
5R
4R
6E
v
1v2
v3
R
1 1 0R
2 i01Figura 1. Red resistiva.
Aplicando método nodal, considerando una incógnita adicional por cada fuente de tensión se obtienen:
01 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 3 3 3 2 3 3 4 3 4 5 4 3 5 4 6
(
) /
0
(
) /
/
(
) /
0
(
) /
/
(
) /
0
(
) /
/
0
i
v
v
R
v
E
v
v
R
v
R
v
v
R
v
v
R
v
R
v
v
R
v
v
R
v
R
Además de las cuatro incógnitas de los voltajes de nodos, aparece la corriente i01 en la fuente de tensión.
1 1 01 1 1 1 2 3 3 2 3 3 3 4 5 5 4 5 5 6
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
R
R
i
v
E
R
R
R
R
R
v
v
R
R
R
R
R
v
R
R
R
La matriz de coeficientes resulta no simétrica y no densa (sparse en inglés); es decir, con numerosos elementos con valor cero.
1.2. Modelo matemático.
Si se aplica método nodal con modificaciones, para tratar fuentes de voltajes controladas e independientes, se obtiene un sistema de ecuaciones, del tipo:
A x b
Donde A es la matriz nodal aumentada, x es el vector de incógnitas y b el vector de excitaciones.
Existen dos esquemas generales para resolver sistemas lineales de ecuaciones: Métodos de eliminación directa y Métodos Iterativos. Los métodos directos, están basados en la técnica de eliminación de Gauss, que mediante la aplicación sistemática de operaciones sobre los renglones transforma el problema original de ecuaciones en uno más simple de resolver.
De entre los variados esquemas, basados en la eliminación de Gauss, el método de descomposición en submatrices triangulares (LU, de Lower y Upper) es preferentemente empleado en implementaciones computacionales, para sistemas de menos de 300 ecuaciones.
Para sistemas de un mayor número de ecuaciones se emplean métodos iterativos.
La mayoría de estos procedimientos están basados en el método de Gauss Seidel, con aceleraciones para la convergencia.
1.3. Descomposición LU.
Está basado en descomponer la matriz de coeficientes en dos matrices triangulares L y U, según:
A L U
Donde L es una matriz triangular inferior (lower), y U es una matriz triangular superior (upper).
El sistema original de ecuaciones, queda:
L U x b
Que puede ser interpretado como dos sistemas de ecuaciones:
L d
b
U x
d
Los dos sistemas anteriores son sencillos de resolver, como se verá más adelante. El sistema con matriz L, puede ser resuelto por substituciones hacia adelante; el sistema con matriz U se resuelve por substituciones hacia atrás.
El procedimiento está basado en obtener las matrices L y U, a partir de A; luego en obtener el vector d; y finalmente en calcular la solución en el vector x.
Existen varias formas de efectuar la descomposición, el método de Doolittle asigna unos a los elementos de la diagonal principal de L.
Veremos a través de un ejemplo, las principales ideas, intentando obtener un algoritmo para el cálculo.
11 12 13 14 11 12 13 14 21 22 23 24 21 22 23 24 31 32 33 34 31 32 33 34 41 42 43 44 41 42 43 44
1
0
0
0
1
0
0
0
1 0
0
0
1
0
0
0
a
a
a
a
u
u
u
u
a
a
a
a
l
u
u
u
A
a
a
a
a
l
l
u
u
a
a
a
a
l
l
l
u
Efectuando la multiplicación de las matrices L y U, se obtiene: 11 12 13 14 21 11 21 12 22 21 13 23 21 14 24 31 11 31 12 32 22 31 13 32 23 33 31 14 32 24 34 41 11 41 12 42 22 41 13 42 23 43 33 41 14 42 24 43 34 44
u
u
u
u
l u
l u
u
l u
u
l u
u
A
l u
l u
l u
l u
l u
u
l u
l u
u
l u
l u
l u
l u
l u
l u
l u
l u
l u
u
El primer renglón de A permite, por comparación, determinar el primer renglón de U.11 11 12 12 13 13 14 14 u a ; u a ; u a ; u a
Una vez conocido u11, la primera columna de A permite determinar el primer renglón de L, se obtienen:
21 21/ 11; 31 31/ 11; 41 41/ 11
l a u l a u l a u
El segundo renglón de A, permite calcular el segundo renglón de U, una vez conocidos los elementos del primer renglón de U, se tienen:
21 12 22 22; 21 13 23 23; 21 14 24 24
l u u a l u u a l u u a
Despejando los elementos del segundo renglón de U, se obtienen: 22 22 21 12 23 23 21 13
u
a
l u
u
a
l u
u
a
l u
La segunda columna de A, permite calcular la segunda columna de L.
31 12 32 22 32; 41 12 42 22 42
l u l u a l u l u a
Despejando los elementos de la segunda columna de L. se obtienen: 32 32 31 12 22 42 42 41 12 22 ( ) / ( ) / l a l u u l a l u u
Del tercer renglón de A, resultan:
31 13 32 23 33 33; 31 14 32 24 34 34
l u l u u a l u l u u a
Las que permiten despejar los elementos del tercer renglón de U:
33 33 31 13 32 23 34 34 31 14 32 24
u a l u l u
u a l u l u
De la tercera columna de A, se puede calcular la tercera columna de L:
43 ( 43 41 13 42 23) / 33
l a l u l u u
Finalmente, el cuarto renglón de A, permite calcular el cuarto renglón de U.
44 44 41 14 42 24 43 34
u a l u l u l u
Si bien se ha desarrollado para una matriz de 4x4, de las expresiones obtenidas puede inducirse que el n-avo renglón de U se obtiene según: ,
1
n nl
1 , , , , 1 n n i n i n k k i ku
a
l
u
Para:i
n
,...,
N
;
1 , , , , , 1
/
n j n j n j k k n n n kl
a
l
u
u
Para:j
n
1,...,
N
Donde N es el número de renglones y columnas de A. De la relación: L d b Se obtiene: 11 1 1 21 22 2 2 31 32 33 3 3 41 42 43 44 4 4
0
0
0
d
b
0
0
d
b
0
d
b
d
b
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
Efectuando las multiplicaciones, en el lado derecho, se tiene:
11 1 1 21 1 22 2 2 31 1 32 2 33 3 3 41 1 42 2 43 3 44 4 4
b
b
b
b
l d
l d
l d
l d
l d
l d
l d
l d
l d
l d
Las componentes del vector d, se obtienen según:
1 1 11 2 2 21 1 22 3 3 31 1 32 2 33 4 4 41 1 42 2 43 3 44
/
(
) /
(
) /
(
) /
d
b l
d
b
l d
l
d
b
l d
l d
l
d
b
l d
l d
l d
l
Una vez obtenido d1, se substituye en la expresión siguiente para calcular d2; con d1 y d2, se puede calcular d3; y así sucesivamente. Por esta razón, al procedimiento se lo denomina substitución hacia adelante (forward).
de las operaciones, los valores de b; el efectuar cálculos con b variable lo realiza con ventajas el método de descomposición triangular.
La relación anterior, permite deducir una expresión para calcular los di, en una matriz de orden N.
1
(
) /
i l i i ij j ii jd
b
l d
l
Para: i 1, 2, ,NPara la triangular superior:
U x d Se tiene: 11 12 13 14 1 1 22 23 24 2 2 33 34 3 3 44 4 4
x
d
0
x
d
0
0
x
d
0
0
0
x
d
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
Efectuando las multiplicaciones, se obtiene:
11 1 12 2 13 3 14 4 1 22 2 23 3 24 4 2 33 3 34 4 3 44 4 4
d
d
d
d
u x
u x
u x
u x
u x
u x
u x
u x
u x
u x
Despejando los xi, se obtienen:
4 4 44 3 3 34 4 33 2 2 23 3 24 4 22 1 1 12 2 13 3 14 4 11
/
(
) /
(
) /
(
) /
x
d
u
x
d
u x
u
x
d
u x
u x
u
x
d
u x
u x
u x
u
Que entrega la solución del sistema de ecuaciones. Nótese que primero se obtiene x4; y luego x3, que se calcula en
términos de x4; y así sucesivamente. Por esta razón a este algoritmo se lo denomina substitución hacia atrás (back).
En general: 1
/
N N NN N i ij j j i i iix
d
u
d
u x
x
u
Para: i (N 1), (N 2), ,3, 2,11.4. Implementación en Maple.
De las ecuaciones generales desarrolladas antes, se puede traducir la descomposición LU, mediante:
Para:
n
1,...,
N
;
> for n from 1 to N dol[n,n]:=1:
for i from n to N do Para:
i
n
,...,
N
;
s:=0; for k from 1 to (n-1) do s:=s+l[n,k]*u[k,i]: od: u[n,i]:=a[n,i]-s: #print(u[n,i]): od:
for j from (n+1) to N do Para:
j
n
1,...,
N
s:=0: for k from 1 to (n-1) do s:=s+l[j,k]*u[k,n]: od: l[j,n]:=(a[j,n]-s)/u[n,n]: #print(l[j,n]): od: od:
Se han colocado a la derecha las sumatorias obtenidas antes.
El código para la substitución hacia adelante:
1 , , 1 n n k k i k
s
l
u
, , n i n iu
a
s
,1
n nl
1 , , 1 n j k k n k s l u , ( , ) / , j n j n n n l a s u> for i from 1 to N do Para:
i
1, 2,
,
N
s:=0:
for j from 1 to (i-1) do s:=s+l[i,j]*d[j]: od:
d[i]:=(b[i]-s)/l[i,i]: #print(d[i]);
od:
El código para la substitución hacia atrás:
> x[N]:=d[N]/u[N,N]:
Para:
for i from (N-1) by -1 to 1 do s:=0;
for j from (i+1) to N do s:=s+u[i,j]*x[j]:
od:
x[i]:=(d[i]-s)/u[i,i]: #print(x[i]):
od:
Para probar los algoritmos pueden definirse, antes de los códigos anteriores, en forma simbólica los coeficientes, según:
> N:=3:
a[1,1]:=a11:a[1,2]:=a12:a[1,3]:=a13: a[2,1]:=a21:a[2,2]:=a22:a[2,3]:=a23: a[3,1]:=a31:a[3,2]:=a32:a[3,3]:=a33: b[1]:=b1:b[2]:=b2:b[3]:=b3:
Y sacando los comentarios (#) se pueden observar la generación de las fórmulas, para el caso N=3.
Si se dan valores numéricos a los coeficientes de la matriz A, y al vector de excitaciones:
> datos:={a11=1,a12=2,a13=3,
a21=3,a22=2,a23=1, a31=1,a32=-1,a33=-2, b1=1,b2=2,b3=3}:
Se obtienen los valores de las incógnitas: 1 i l ij j j
s
l d
,(
) /
i i i id
b
s l
( 1), ( 2), , 3, 2,1 i N N / N N NN x d u 1 N ij j j is
u x
( ) / i i ii x d s u> for i from 1 to N do
print(eval(x[i],datos)): od:
Para los valores anteriores, se obtienen:
1 2 3
13
21
11
,
,
4
4
4
x
x
x
En Maple, está implementado el algoritmo para resolver un sistema de ecuaciones lineales, con el comando solve. Para el mismo sistema anterior:
>
ecs:={x1+2*x2+3*x3=1,3*x1+2*x2+x3=2,x1-x2-2*x3=3}: > solve(ecs,{x1,x2,x3});{
x3
11
,
,
}
4
x2
-21
4
x1
13
4
Dando iguales resultados.1.5. Comandos Maple de álgebra lineal.
En el paquete de álgebra lineal, se tienen comandos para la descomposición y las substituciones hacia adelante y hacia atrás. Para la red de la Figura 1, se tienen:
> restart;with(linalg): > A := array(1..5,1..5,[ [1,-1/R1,1/R1,0,0], [0,1,0,0,0], [0,-1/R1,1/R1+1/R2+1/R3,-1/R3,0], [0,0,-1/R3,1/R3+1/R4+1/R5,-1/R5], [0,0,0,-1/R5,1/R5+1/R6] ]): > b:=vector([0,E,0,0,0]): > LUdecomp(A,L='l',U='u'): d := forwardsub(l,b): x := backsub(u,d):
Con los datos para la red de la Figura 1:
> datos:={R1=1, R2=5, R3=3,R4=4, R5=1,R6=3, E=10}: Se obtienen:
>i01:=eval(x[1],datos);v1:=eval(x[2],datos); v2:=eval(x[3],datos); v3:=eval(x[4],datos);
1.6. Solución usando ecuaciones de la red y
solve de Maple.
Se plantean las ecuaciones de equilibrio de las componentes, LVK en las mallas y LCK en los nodos, y se emplea el comando solve, para resolver para todos los voltajes y corrientes de la red. Para la red de la Figura 1, se tienen:
ecs:={v1=E, v12=R1*i12, v2=i20*R2, v23=i23*R3, v3=R4*i30, v34=R5*i34, v4=R6*i40, v1=v12+v2,v2=v23+v3,v3=v34+v4,
i01=i12,i12=i20+i23,i23=i30+i34,i34=i40}; incognitas:={v1,v12,i12,v2,i20,v23,i23,v3,i30,v34,i34, v4,i40,i01}
sol:=solve(ecs, incognitas);
#Se asignan valores a las componentes:
valores:={E=10, R1=1, R2=5, R3=3, R4=4, R5=1, R6=3}; subs(valores, sol);
Se obtiene la solución para todas las variables de la red:
{i01 = 2.857142857, i40 = .7142857143, i30 = .7142857143, v23 = 4.285714286, i20 = 1.428571429, v34 = .7142857143,
v2 = 7.142857143, v4 = 2.142857143, i23 = 1.428571429,
v3 = 2.857142857, v12 = 2.857142857, i12 = 2.857142857, i34 = .7142857143, v1 = 10.};
1.7. Solución SPICE.
Se describe la red de la Figura 1, mediante un netlist, y se emplea el modo .op, que resuelve el sistema de ecuaciones.
Red simple
*Descripción de la red.
V1 1 0 DC 10.0V ; Fuente de voltaje:
* Comienza con V. Polaridad de 1 a 0 R1 1 2 1.0 ; Resistencias comienzan con R R2 2 0 5.0
R3 2 3 3.0 R4 3 0 4.0 R5 3 4 1.0 R6 4 0 3.0
.OP ; Cálculo punto de operación. .END
Se obtienen los valores en el archivo de salida .out:
SMALL SIGNAL BIAS SOLUTION TEMPERATURE =27.000 DEG C ******************************************************************** NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE ( 1) 10.0000 ( 2) 7.1429 ( 3) 2.8571 NODE VOLTAGE
( 4) 2.1429
VOLTAGE SOURCE CURRENTS NAME CURRENT
V1 -2.857E+00
TOTAL POWER DISSIPATION 2.86E+01 WATTS
Los resultados son similares a los obtenidos antes.
1.8 Métodos iterativos.
Para deducir expresiones generales que permitan escribir algoritmos iterativos, consideremos el sistema lineal de tres ecuaciones: 11 12 13 1 1 21 22 23 2 2 31 32 33 3 3
a
a
a
x
b
a
a
a
x
b
a
a
a
x
b
Despejando de la primera ecuación, la variable x1; de la segunda x2; y de la tercera x3, obtenemos:
1 1 12 2 13 3 11 2 2 21 1 23 3 22 3 3 31 1 32 2 33
(
) /
(
) /
(
) /
x
b
a x
a x
a
x
b
a x
a x
a
x
b
a x
a x
a
Si consideramos conocidos los valores de las variables del lado derecho, podremos estimar un nuevo valor para las variables del lado izquierdo de las ecuaciones. Podemos anotar lo anterior, mediante:
1 1 12 2 13 3 11 2 2 21 1 23 3 22 3 3 31 1 32 2 33
[
1]
(
[ ]
[ ]) /
[
1]
(
[ ]
[ ]) /
[
1]
(
[ ]
[ ]) /
x n
b
a x n
a x n
a
x n
b
a x n
a x n
a
x n
b
a x n
a x n
a
Durante el proceso iterativo se verifica la convergencia calculando el mayor cambio relativo entre una iteración y la siguiente, y comparando el valor absoluto de esta diferencia con la tolerancia deseada.
| [x ni 1] x ni[ ] | tolerancia
Si el error es menor que la exactitud requerida el proceso termina; en caso contrario se realiza una nueva iteración.
Si se tienen N variables, pueden generalizarse las iteraciones según: 1 1 1
[
1]
(
[ ]
[ ]) /
j i j N i i ij j ij j ii j j ix n
b
a x n
a x n
a
El esquema anterior se reconoce como método de Jacobi. Si el cálculo de las variables se realiza en orden, desde x1 hasta xN, puede observarse que una vez obtenido x1 puede usarse este valor para calcular x2; y así sucesivamente. Entonces en el cálculo xi se pueden emplear los nuevos valores de las variables desde x1 hasta xi 1.
Entonces el esquema iterativo puede plantearse: 1 1 1
[
1]
(
[
1]
[ ]) /
j i j N i i ij j ij j ii j j ix n
b
a x n
a x n
a
El que se denomina método de Gauss Seidel.
Mejores resultados se logran calculando las variables en orden decreciente de los valores de la diagonal principal.
Una mejora notable de la convergencia se logra empleando un promedio ponderado de los resultados de las dos últimas iteraciones para obtener el nuevo valor. Esto se denomina método de sucesivas sobre relajaciones (SOR Successive Over-Relaxation).
[
1]
[
1] (1
) [ ]
i i i
x n
ax n
a x n
Con:
0
a
2
Si a es 1, se tiene la fórmula de Gauss Seidel. Con a>1, el nuevo valor, en la iteración (n+1), tiene mayor importancia. Con a<1, se tiene subrelajación. La elección de este valor, y su influencia en la convergencia debería aclararse en un curso de análisis numérico.
Ejemplo.
Para el siguiente sistema lineal de ecuaciones:
1 2 3
1
2
3
1
3
2
1
2
1
1
2
3
x
x
x
Las siguientes líneas implementan el algoritmo de Gauss Seidel con sucesivas subrelajaciones.
> x1[0]:=0:x2[0]:=0:x3[0]:=0:nmax:=300: err:=1e-6:alpha:=0.69:
> for n from 0 to nmax do
x1[n+1]:=(2-2*x2[n]-x3[n])/3; x3[n+1]:=(1-x1[n+1]-2*x3[n])/3; x2[n+1]:=(-3+x1[n+1]-2*x3[n+1])/2; x1[n+1]:=(alpha*x1[n+1]+(1-alpha)*x1[n]): x2[n+1]:=(alpha*x2[n+1]+(1-alpha)*x2[n]): x3[n+1]:=(alpha*x3[n+1]+(1-alpha)*x3[n]): if (abs(x1[n+1]-x1[n])<err) and (abs(x2[n+1]-x2[n])<err) and (abs(x3[n+1]-x3[n])<err) then
# solución dentro de la tolerancia break ;
Se obtiene la respuesta en 13 iteraciones con el factor a=0,69. Si se aplica factor a=1, se logra el resultado en 83 iteraciones. Con factor a sobre 1,05 se requieren más de 300 iteraciones; con valores del factor un poco mayores el algoritmo no converge.
2. Métodos de análisis para redes dinámicas.
Los diferentes métodos generales de análisis de redes permiten generar sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden, en términos de los voltajes en los condensadores y las corrientes en los inductores.Para esto basta plantear los sistemas de ecuaciones en algún conjunto de variables independientes, y luego expresar en términos de las variables de las componentes dinámicas. Se ilustra la metodología empleando el método de mallas y luego el método mixto.
2.1. Método de mallas.
Analizar la siguiente red, aplicando método de mallas a la red de la Figura 2. vf(t) if(t) L ic C R kic a b c d
Figura 2. Diagrama de la red.
2.1.1. Identificación de las corrientes de
mallas.
vf(t) if(t) L ic C R kic a b c d i1 i2 i3 vi vC vic Figura 3. Mallas.
La red es dinámica de segundo orden por lo cual las variables de interés son el voltaje en el condensador, y la corriente en el inductor.
2.2.2. Ecuaciones:
LVK en mallas: 2 2 3 3 2;
(
)
;
(
);
i f C C icdi
v
v
v L
R i
i
v v
R i
i
dt
Ecuaciones de equilibrio: 1 2;
1;
3(
1 2)
C fdv
C
i
i i
i i
k i
i
dt
Hasta aquí la formulación del problema empleando la teoría de redes. Se ha logrado un sistema de 6 ecuaciones independientes en 6 incógnitas. Lo que resta es resolver el sistema, y éste es un problema matemático.
2.1.3. Un método para papel y lápiz:
Deben eliminarse todas las variables, que no sean las de interés.
Se reemplazan las ecuaciones de equilibrio en las de mallas, resultando un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden:
2 2 2 2
(
( (
f))
C C fdi
L
R i
k i
i
v
dt
dv
C
i
i
dt
En caso de redes no planas la formulación es similar. Pero debe usarse en forma explícita LCK.
Podría discutirse si es mejor exponer un método de análisis en lugar de varios. Algunos opinan que el método nodal podría ser suficiente, ya que el de mallas no puede emplearse en redes no planas.
Pero en el método nodal se tiene que resolver: el tratamiento de fuentes de tensión, el caso transitorio y la introducción de elementos no lineales controlados por corrientes.
Sin embargo, el método que mejor se adapta a todo tipo de situaciones es el método mixto. Consiste en escoger como variables independientes: las corrientes de cuerdas y los voltajes de ramas. La adecuada elección del árbol permite la formulación dinámica de la red, en forma de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.
2.2. Método mixto.
Analizar la siguiente red, aplicando método mixto a la red de la Figura 4. vf(t) if(t) L ic C R kic a b c d
2.2.1. Elección de un árbol.
Se identifican las variables, empleando un árbol.
3
1
a
b
c
d
4
5
6
2
Figura 5. Árbol y variables.
La red es dinámica de segundo orden por lo cual las variables de interés son el voltaje en el condensador, y la corriente en el inductor.
2.2.2. Ecuaciones:
LCK. Corrientes de ramas en función de corrientes de cuerdas:
3 4;1 2 4;5 2 6
i i i i i i i i
LVK. Voltajes de cuerdas en función de voltajes de ramas.
4 1 3; 2 1 5; 6 5 v v v v v v v v Ecuaciones de equilibrio: 5 1 2 1
;
2;
3 f;
4 f;
5;
6 1v
dv
di
i
C
v
L
v
v i
i i
i
ki
dt
dt
R
Hasta aquí la formulación del problema empleando la teoría de redes. Se ha logrado un sistema de 12 ecuaciones independientes en 12 incógnitas. Lo que resta es resolver el sistema, y éste es un problema matemático.
2.2.3. Un método para papel y lápiz:
Deben eliminarse todas las variables, que no sean las de interés.
Se reemplazan las ecuaciones de equilibrio en LCK y LVK:
5 1 1 3 2 2 2 4 1 1 5 6 5
;
;
;
;
f f fv
dv
dv
i
i C
i
i
i
kC
dt
R
dt
di
v
v
v L
v
v v
v
dt
Se elimina v5 resultando las ecuaciones de estado:
1 2 2 1 2
;
(1
)
;
f fdv
C
i
i
dt
di
L
v
R
k i
Rki
dt
Que resultan iguales a las obtenidas empleando el método de mallas, salvo que se ha empleado v1, en lugar de vC.
Las ecuaciones que quedan, permiten calcular el resto de las variables. 1 3 f
;
4 1 f;
5 2;
6 5;
dv
i
i v
v
v v
Ri
kRC
v
v
dt
Se ha logrado un modelo matemático que describe la conducta dinámica de la red, y resta resolver el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden en las variables de interés (variables de estado).
2.3. Solución Maple, para obtener las
ecuaciones de estado, y resolver las
ecuaciones diferenciales.
> restart; LCK > lck:={i3=14, i1=i2-i4,i5=-i2-i6}: LVK: > lvk:={v4=v1-v3,v2=v5-v1,v6=v5}: Ecuaciones de equilibrio: > eq:={i4=ift,v3=vf,i1=C*DV1,v2=L*DI2,v5=R*i5,i6=k*i1}:
> ecs:= lck union lvk union eq:
> ec1:=eliminate(ecs,{i1,i3,i4,i5,i6,v2,v3,v4,v5, v6}): > ec2:=solve(ec1[2], {DV1,DI2}): >ecestado:=subs(v1=v1(t),i2=i2(t),DV1=diff(v1(t),t), DI2=diff(i2(t),t),ec2): > solresto:=subs(v1=v1(t),i2=i2(t),DV1=diff(v1(t),t), DI2=diff(i2(t), t),ec1[1]): > varestado:={v1(t), i2(t)}: estadoinicial:={v1(0)=2, i2(0)=1}:
>estado1:=dsolve(estadoinicial union ecestado, varestado);
Resultan las soluciones en forma simbólica:
estado1 i2 t( ) C 1 4(R k C R C R ) 2k2C2 2 R2k C2 R2C2 4 L C := e (R k C R C R2k2C2 2 R2k C2 R2C2 4 L C t) 2 L C 2 ift L R2C ift 2 R C ( R2k C ift 2 R k C R2k2C2 2 R2k C2 R2C2 4 L C R ift 2 R2k2C2 2 R2k C2 R2C2 4 L C 2 L ) (L C R2k2C2 2 R2k C2 R2C2 4 L C ) 1 4 (R k C R C R2k2C2 2 R2k C2 R2C2 4 L C) e (R k C R C R2k2C2 2 R2k C2 R2C2 4 L C t) 2 L C 2 ift L R2C ift 2 R C ( R2k C ift 2 R k C R2k2C2 2 R2k C2 R2C2 4 L C R ift 2 R2k2C2 2 R2k C2 R2C2 4 L C 2 L ) (L C R2k2C2 2 R2k C2 R2C2 4 L C ) ift,v1 t( ) 1
e
t (R k C R C C (R2C k2 2 R2C k R2C 4 L)) 2 L C2 ift L
R
2C ift
2 R C
(
R
2k C ift
2 R k C
R
2k
2C
22 R
2k C
2R
2C
24 L C R ift
2 R
2k
2C
22 R
2k C
2R
2C
24 L C
2 L )
R2k2C2 2 R2k C2 R2C2 4 L C 1 2 e t (R k C R C C (R2C k2 2 R2C k R2C 4 L)) 2 L C 2 ift L R2C ift 2 R C ( R2k C ift 2 R k C R2k2C2 2 R2k C2 R2C2 4 L C R ift 2 R2k2C2 2 R2k C2 R2C2 4 L C 2 L ) R2k2C2 2 R2k C2 R2C2 4 L C R iftSi se desea efectuar cálculos numéricos, se asignan valores a los datos. En el caso del ejemplo, se emplea una fuente continua y una sinusoidal, para ilustrar lo general de la solución.
> datos:={R=1, L=1, C=1, vf=2, ift=5*cos(2*t),k=3}:
>estado:=dsolve(estadoinicial union
eval(ecestado, datos), varestado); Ahora se tienen soluciones específicas.
estado i2 t( ) 2 e( 2 t t 3) 45 3 73 211 146 e ( 2 t t 3) 45 3 73 211 146 3 { := 2 e( 2 t t 3) 45 3 73 211 146 e ( 2 t t 3) 45 3 73 211 146 3 130 73 sin 2 t( ) 225 73 cos 2 t( ) v1 t( ) e ( 2 t t 3) 45 3 73 211 146 e ( 2 t t 3) 45 3 73 211 146 , 65 73cos 2 t( ) 70 73sin 2 t }( )
Si se desean formas numéricas, se evalúa con flotantes:
> assign(estado):
> evalf(i2(t));
0.673331677 e( 0.267949192 t) 1.408860100 e( 3.732050808 t) 1.780821918 sin 2. t( ) 3.082191781 cos 2. t( )
Si se desea visualizar las soluciones:
> plot({i2(t),v1(t)},t=0..10);
Figura 6. Formas de ondas.
2.4. Solución de las ecuaciones
diferenciales usando SPICE.
Vf
If(t)
L
i
cC
R
F1=ki
c1
2
0
3
4
VCFigura 7. Diagrama de la red.
2.4.1. Netlist y estímulos transitorios.
Con: vf(t)=2, if(t)=5cos(2t), R=1, C=1, L= 1, vC(0)=2, iL(0)=1, k=3.
2
2
1
0.31832
f
f
Como la excitación es coseno, al seno se le suman 90 grados de desfase. Con offset cero ioff=0, sin retardo td=0, y sin amortiguamiento exponencial df=0)
Resulta: SIN(0, 5, 0.31832 , 0, 0, 90)
Para la fuente de corriente controlada por corriente F1, se define una fuente de tensión continua de 0 volts, Vc, que se emplea para definir la corriente de control.
2.4.2. Análisis transitorio
* R 2 3 1 C 4 0 1 IC=2 L 3 0 1 IC=1 Vf 1 2 2 If 1 0 SIN(0, 5, 0.31832 , 0, 0, 90) F1 2 3 Vc 3 Vc 2 4 DC 0 .TRAN 0s 10s 0 0.1s .probe .end2.4.3. Formas de ondas.
El modo transitorio de análisis genera la solución como series de puntos, con los que pueden dibujarse las formas de ondas.
Figura 8. Variables de estado, en el tiempo.
3. Solución numérica de sistemas de
ecuaciones diferenciales.
Una ecuación diferencial de primer orden puede resolverse numéricamente mediante integración.
Si se tiene:
( )
( )
dr t
F t
dt
Entonces: 0( )
(0)
( )
tr t
r
F
d
( )
F t
considera la variación de r(t) y de las excitaciones queproducen la respuesta r(t).
Una manera simple y aproximada de realizar la integración es calcular el área mediante la suma de rectángulos, que estudiaremos como el método de Euler.
Una mejor aproximación se logra sumando trapecios con la regla de Simpson; y si se desea mayor precisión y la no acumulación de errores se emplea aproximación por segmentos polinomiales mediante el método de Runge-Kutta.
3.1. Formulación de ecuaciones de estado.
La formulación de las ecuaciones de una red eléctrica en términos de las variables de estado permite encontrar la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden en el dominio del tiempo. La solución numérica, que veremos a continuación, puede aplicarse a sistemas no lineales. La representación se logra con un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden:dx
Ax
Bu
dt
Donde x es el vector de estado, u es el vector de entrada o de excitaciones.
El resto de las variables del sistema puede expresarse en términos del estado, según:
y
Cx
Du
Donde y es el vector de salida.
A se denomina matriz de estado del sistema, B es la matriz de entrada, C es la matriz de salida, y D se denomina matriz de alimentaciones directas (feedforward).
Veamos un ejemplo: C b v L R a i(t) L v(t) Figura 9. Red RLC.
0
di
v
Ri
L
dt
dv
i
C
dt
Con las condiciones iniciales: v(0) e i(0).
Del modelo de ecuaciones de estado pueden obtenerse las ecuaciones diferenciales, de mayores órdenes, para cada una de las variables de la red, por ejemplo para el voltaje en el condensador, se obtiene eliminando i:
2 2
0
dv
d v
v
RC
LC
dt
dt
Arreglando: 2 21
0
d v
R dv
v
dt
L dt
LC
Con C=1, R=2/3 y L=1/3, v(0)=1, i(0)=0, se tiene una ecuación diferencial de segundo grado, sin excitaciones:
2
3
0
1
(0) 1, v(0)
(0)
0
v
v
v
v
i
C
Volviendo al problema de calcular soluciones numéricas en el dominio de tiempo, se desea obtener la solución v(t) para el intervalo desde t=0 hasta t=6.
A partir de las ecuaciones de estado, con los valores de los parámetros, se tiene:
3
2
dv
i
dt
di
v
i
dt
0
1
3
2
dv
v
dt
di
i
dt
3.2. Método de Euler.
A partir de la expansión en serie de Taylor, para una variable escalar y, se tiene: 2 2 2
( )
1
( )
(
)
( )
....
2
dy t
dy t
y t
t
y t
t
t
dt
dt
La relación anterior, puede generalizarse considerando y como un vector. Pueden calcularse, aproximadamente, los valores en el instante siguiente (k+1) a partir de los valores en el instante k-ésimo, mediante:
1 1
( )
( )
k k k k k kdv t
v
v
t
dt
di t
i
i
t
dt
Este procedimiento iterativo se denomina esquema simple de Euler.
Los valores de las derivadas, en un instante determinado, se obtienen mediante la matriz de estado.
A partir de la ecuación de estado se determina el valor de las derivadas en un punto.
(0)
0
1
(0)
0
1
1
0
(0)
3
2
(0)
3
2
0
3
dv
v
dt
di
i
dt
Sea t 0.1, entonces los valores en t=0.1 se obtienen mediante:
(0)
(0.1)
(0)
(0.1)
(0)
(0)
dv
v
v
dt
t
i
i
di
dt
Numéricamente, se obtiene:Para el siguiente punto, se efectúan los siguientes cálculos:
0.2
(0.1)
0
1
(0.1)
0
1
1
0.3
(0.1)
3
2
(0.1)
3
2
0.3
2.4
(0.2)
1
0.3
0.97
0.1
(0.2)
0.3
2.4
0.54
t
dv
v
dt
di
i
dt
v
i
Y así sucesivamente, hasta llegar al valor final de t deseado. La solución exacta de la ecuación de segundo orden, obtenida por un método analítico es:
2
3
0
(0) 1, v(0)
0
1
( )
(cos 2
sin 2 )
2
tv
v
v
v
v t
e
t
t
3.3. Solución analítica.
El siguiente segmento Maple, obtiene la solución de las ecuaciones de estado y los diagramas temporales de v(t) e i(t).
(0.1) 1 0 1
0.1
(0.1) 0 3 0.3
v i
Figura 10. Solución transitoria analítica. > restart; with(plots): > ci:= {v(0)=1,i(0)=0}; := ci {v 0( ) 1 ( ),i 0 0} > ed:={diff(v(t),t)=i(t),diff(i(t,t)=-2*diff(v(t),t)- 3*v(t)}; := ed { , } d d tv t( ) i t( ) d d ti t( ) 2 d d tv t( ) 3 ( )v t
El conjunto de ecuaciones diferenciales y de condiciones iniciales, se resuelve para el conjunto de funciones que se coloca como último argumento (El conjunto: v(t), i(t) en este caso). dsolve resuelve un conjunto de ecuaciones diferenciales.
> sol:= dsolve(ed union ci, {v(t),i(t)}); := sol {v t( ) 1 , } 3e ( t) 3 2 2 sin( 2 t) 3cos( 2 t) i t( ) 3 2e ( t) 2 sin( 2 t) > assign(sol);
Se almacena gráfica de v(t) en la variable exacta; y se efectúan las gráficas de v e i, que se muestran en la Figura 2.
> exacta:=plot(v(t), t=0..6, thickness=2, color=red):
> plot([v(t),i(t)],t=0..6,thickness=2,color=[red, blue]);
3.4. Solución numérica.
La obtención de una solución numérica puede obtenerse de la siguiente forma:
Primero se establecen los valores iniciales de las variables: v(t
)
> v[0]:=1: i[0]:=0: t[0]:=0: Delta:=0.1:
La generación de los puntos se almacena en listas, usando notación de arreglos. Las ecuaciones de recurrencia se resuelven mediante una iteración.
Si Delta disminuye, la solución aproximada de Euler es más exacta.
Se repite desde n igual 0 hasta 60 lo que está entre do y od, mediante el comando for.
> for n from 0 to 60 do t[n+1]:=t[n]+ Delta:
i[n+1]:=i[n]+(-3*v[n]-2*i[n])*Delta: v[n+1]:=v[n]+i[n]*(Delta):
od:
Se genera secuencia de puntos, como pares ordenados (t, v) mediante seq.
> S:=[seq([t[k],v[k]], k=0..60)]:
La gráfica formada por los puntos de la lista S, se genera empleando pointplot.
> puntos:=pointplot(S,symbol=circle):
Display muestra los dos gráficos simultáneamente.
> display(exacta, puntos);
Figura 11. Solución transitoria numérica.
La solución aproximada, por el esquema simple de Euler, puede ser suficiente en muchos casos. Existen numerosos
dv
i
dt
3
2
di
v
i
dt
crecimientos o cambios muy grandes entre los intervalos en que se calculan los puntos.
En Sistemas Lineales se estudian métodos que permiten pasar de la representación de variables de estado a funciones de transferencia. Las funciones de transferencia modelan la representación de sistemas en el dominio de la frecuencia.
Pueden obtenerse importantes propiedades del comportamiento del sistema en el espacio de estado. Esto se logra dibujando los valores de las variables de estado en términos del parámetro tiempo.
La secuencia de puntos (v, i) se logra con:
> espacio:=[seq([v[k],i[k]],k=0..60)]:
> pointplot(espacio,symbol=circle);
Figura 12. Espacio de estado.
4. Redes No Lineales.
Las redes que se estudian en cursos básicos de electrónica usan componentes no lineales; para su análisis se requiere disponer de una herramienta especializada para este tipo de redes.
t=0 t=
Se ilustra el uso de SPICE en diferentes situaciones de análisis de redes sencillas en base a diodos y transistores.
SPICE posee modelos internos con las características no lineales, tanto estáticas como dinámicas, de diversas componentes semiconductoras, incluidos diodos y transistores. Los modelos pueden ser ajustados cambiando sus parámetros internos.
4.1. Redes con diodos.
4.4.1. Característica.
Una configuración simple permite visualizar la característica del modelo de un diodo.
Vin +
0 1
D1
Figura 13. Característica exponencial de diodo. Característica exponencial
*diodo
Vin 1 0 DC 0 D1 1 0 mod1
.model modelo D (IS=1e-14 ) .DC Vin 0.60 0.85 .1
.probe I(D1) .end
Al efectuar un análisis en modo DC se calcula la corriente en el diodo para cada uno de los voltajes de los voltajes de entrada, desde 0,65V hasta 0,85V, en incrementos de 0,1V. El comando probe almacena los valores de la corriente en el diodo para los diferentes valores del voltaje de entrada.
Figura 14. Análisis DC.
Puede visualizarse el crecimiento exponencial aumentando el barrido hasta 950 mV, el simulador muestra que la corriente que circulará en el diodo es de tipo 15 A. Si se aumenta aún más el voltaje en la fuente, el simulador calculará corrientes enormes. Este sencillo ejemplo muestra que los analizadores de redes no lineales deben emplearse con criterios adicionales, para obtener resultados que puedan ser útiles en el laboratorio.
En cursos de electrónica se ilustran las mejores prácticas de diseño empleando componentes como diodos y transistores; ellas resumen la experiencia acumulada por los ingenieros y diseñadores en muchos años de creativos aportes y constituyen los criterios de diseño.
Puede refinarse el modelo propuesto, que ha idealizado la fuente de tensión al asumir que éste no tiene una pequeña resistencia interna, y también puede mejorarse el modelo del diodo, considerando una pequeña resistencia interna.
Si se agrega en el modelo del diodo una resistencia serie de 1 ohm, RS=1, en la lista de parámetros del modelo, mediante:
.model modelo D (IS=1e-14 RS=1)
La nueva simulación se muestra en la Figura 15, si bien las corrientes no son tan elevadas, podrían exceder las máximas corrientes de conducción soportadas por el diodo. Los valores de éstas dependen del tipo de diodo que se esté empleando; en diodos rectificadores y de potencia las corrientes suelen ser mucho mayores que las empleadas en dispositivos de conmutación o que los usados en diseños con diodos de pequeña señal.
Figura 15. Efecto de la resistencia interna del diodo.
4.4.2. Diodo con resistencia limitadora de
corriente.
Un circuito que limita la máxima corriente que circula en un diodo se muestra en la Figura 16.
Vin + 0 D1 2 R 1
Figura 16. Resistencia para limitar la corriente en el diodo. Limitación de corriente en diodo
Vi 1 0 2V
R 1 2 100 ; Resistencia serie. D1 2 0 mod1
.model mod1 D (IS=1e-14 EG=0.7 RS=0.01 CJO=100pF) *Comandos de análisis:
.DC Vi 0V 2.5V 10mV .op
.probe .end
Un cálculo simplificado de la corriente se logra asumiendo que el diodo en conducción tiene un voltaje de 0,7 V, entonces:
0, 7
2 0, 7
( 1)
13
100
Vin
I D
mA
R
Se ha calculado la corriente para Vin=2.
Los valores que da el comando .op, que calcula el punto de operación, son: V(2) = 0,7211 e I(D1)= 1.279E-02 = 12,8 mA. Nótese que .op considera Vi con el valor que ha sido definido 2V; las variaciones de Vi que se establecen en el comando DC son para este comando.
El barrido DC, entrega la gráfica que se muestra en la Figura 17. Muestra 720 mV y 12,5 mA para Vin =2 V.
Figura 17. Corriente y Voltaje en el diodo.
4.4.3. Simulación paramétrica.
Puede visualizarse el efecto de cambiar un parámetro mediante los comandos .param y .step. En el ejemplo se define el valor del parámetro Rlim, por defecto en 100; luego en el valor de la resistencia R, se coloca, entre paréntesis cursivos, el parámetro Rlim. Finalmente se efectúan 5 simulaciones variando en pasos de 100 el parámetro Rlim, a partir de un valor inicial 100 y uno final de 500.
* se analiza efecto de limitación de corriente. .PARAM Rlim = 100
Vi 1 0 2V R 1 2 {Rlim} D1 2 0 mod1
.model mod1 D (IS=1e-14 RS=0.01 VJ=0.7 CJO=100pF) .STEP PARAM Rlim 100, 500, 100
.DC Vi 500mV 2500mV 100mV .probe
.end
Si la resistencia aumenta, la corriente disminuye, se obtienen:
Figura 18. Simulación paramétrica.
4.4.5. Rectificador de media onda.
En la Figura 19, se muestra una red no lineal cuyo propósito es rectificar una onda sinusoidal. En la resistencia de carga Rc, circula corriente cuando el diodo conduce.
Vin + 0 D1 2 R Rc 3 1 R=200 ohms
Media Onda
Vi 1 0 SIN(0, 10, 1, 0 , 0, 0) R 1 2 100
D1 2 3 mod1 Rc 3 0 1000
.model mod1 D (IS=1e-14 CJO=100pF) .tran 0 3 0.1ms
.probe .end
Se ha utilizado un estímulo sinusoidal, sin offset, con amplitud 10 y una frecuencia de 1 Hertz. Se efectúan cálculos en el tiempo con incrementos de 0.1mseg desde 0 a 3 segundos, mediante el comando .tran.
Figura 20. Respuesta transitoria.
4.4.5. Red no lineal dinámica.
Si agregamos un condensador en paralelo con la resistencia de carga se mejora el valor medio de la señal rectificada. Para lograr esto, el condensador se descarga cuando el diodo no conduce; si la descarga es lenta, mayor será el valor medio.
El modelo matemático es una red no lineal dinámica, que difícilmente puede ser estudiada con modelos para papel y lápiz.
Vin + 0 D1 2 R Rc 3 C 1
Figura 21. Simulación transitoria con condensador. Media Onda con condensador.
Vi 1 0 SIN(0, 10, 1, 0 , 0, 0) R 1 2 100
D1 2 3 mod1 Rc 3 0 1000 C 3 0 1000u
.model mod1 D (IS=1e-14 CJO=100pF) .tran 0 3 0.1ms
.probe .end
Cuando el diodo conduce, se carga el condensador; cuando el diodo no conduce, el condensador se descarga a través de la resistencia.
Figura 22. Efecto del condensador.
4.4.6. Característica de transferencia de
circuitos con diodos.
Vin + 0 D1 2 R 3 V1 D2 V2 4 1
Figura 23. Limitador en base a diodos. Limitador con diodos.
Vi 1 0 5V R 1 2 1 D1 2 3 mod1 V1 3 0 10V
D2 4 2 mod1 ;de ánodo a cátodo V2 4 0 6
Ro 2 0 100
.model mod1 D (IS=1e-14 RS=.01 VJ=0.7V CJO=100pF) .DC Vi 0V 15V 1V
.probe .end
El barrido DC, permite obtener la característica de transferencia de un circuito limitador en base a diodos. Cambiando los valores de V1 y V2, se modifica la característica.
4.2. Redes con transistores.
4.2.1. Modelos del transistor.
Lo primero es visualizar las características no lineales del transistor. Es un dispositivo de tres terminales, y sus características suelen representarse por las curvas:
Ib(Vbe, Vce) y Ic(Vce, Ib)
Debido a que son superficies en un espacio tridimensional, suelen dibujarse empleando Vce como parámetro para la característica de entrada, e Ib para la característica de salida.
4.2.2. Característica de entrada.
NPN Vce + 2 1 0 Vbe +Figura 25. Medición Ib(Vbe) con Vce constante. Para el transistor bipolar se emplea el modelo npn. Características Ib(Vbe) en BJT
Vce 1 0 DC 10V Vbe 2 0 DC 0; * C B E
Q1 1 2 0 transistor
.model transistor NPN (Is=1.8104e-15A Bf=100 VAf=35V) *Análisis DC
*Vbe varía desde 0.7V a 0.85V en incrementos de 10mV .DC Vbe 700mV 850mV 10mV
.probe ; se visualiza la corriente en la base .end
Figura 26. Característica Ib(Vbe) con Vce constante. Si se efectúa una simulación paramétrica variando Vce, se visualiza que esta característica no varía prácticamente con Vce.
4.2.3. Característica de salida.
NPN Vce + 2 1 0 IbFigura 27. Medición Ic(Vce) con Ib constante. Características Ic(Vce) en BJT
Vce 1 0 DC 0V
Ib 0 2 DC 10uA ; SE INYECTA CORRIENTE CONSTANTE EN LA BASE * C B E
Q1 1 2 0 transistor
.model transistor NPN (Is=1.8104e-15A Bf=100 VAf=35V) * Análisis DC Vce
.DC Vce -2V +10V 100mV
.probe ; se visualiza la corriente en el colector .end
Figura 28. Característica de salida Ic(Vce) con Ib constante. Para estudiar la influencia de la corriente de base, en la característica de salida, se efectúa una simulación paramétrica.
Características Ic(Vce) en BJT con Ib como parámetro. .PARAM IbVAL = 10uA
Vce 1 0 DC 0V Ib 0 2 DC {IbVal} ;
.step param IbVal 10uA 2mA 500ua * C B E
Q1 1 2 0 transistor
.model transistor NPN (Is=1.8104e-15A Bf=100 VAf=35V) .DC Vce -2V +10V 100mV
.probe ; se visualiza la corriente en el colector .end
Se aprecia para corrientes muy bajas en la base que la corriente en el colector es cero (zona de corte). Para valores mayores de la corriente de base, la de colector es tipo 100 veces mayor que la de base, para voltajes Vce mayores que 0.7 (zona lineal). También se aprecia que, prácticamente independiente de la corriente de base, el transistor se comporta como una fuente de voltaje de 0,2 V (zona de saturación); en la Figura 29, esta zona está representada por los segmentos prácticamente verticales en Vce=0,2.
Figura 29. Influencia de la corriente de base.
4.2.4. Punto de operación.
Aplicando método de mallas, a la red de la Figura 30, se tienen:
ce c c cc
b b bp be
V R I V
V I R V
La intersección de estas rectas con las características no lineales de entrada y de salida del transistor son la solución del sistema no lineal de ecuaciones; los valores de la solución suelen denominarse punto de operación. La solución simultánea son los cuatro valores: (Ib,Vb) (Ic, Vce); un punto en la característica de entrada, el otro en la de salida.
De la familia de rectas de salida del transistor, debe considerarse sólo la correspondiente al valor actual de la corriente en la base. La resistencia Rbp y Vb fijan la corriente de base.
Ib=1,5 mA
NPN Vb +Vcc Rc 2 4 3 Rbp 0 + 6
Figura 30. Punto de operación.
Se estudia la variación del punto de operación, cambiando los valores de la fuente de polarización de la base Vb.
Punto de operación Vcc 4 0 10 Vcb 6 0 10 Rc 4 3 1k Rbp 6 2 19.85k Q1 3 2 0 npn-trans .DC Vcb .45 +5.V 10mV ;
.model npn-trans npn (is=2e-15 bf=50 vaf=200) .op ; calcula punto operación
.probe .end
El cálculo .op obtiene el punto de operación para los valores de las fuentes y resistencias, se obtienen:
V(2)=0.7574 V(3)=0.0959 V(4)=10.0000 V(6)=10.0000
La variación de Vb muestra el lugar geométrico de los puntos de operación del voltaje colector-emisor. En la Figura 31, se muestran las zonas de funcionamiento denominadas: corte, lineal y saturación. La zona lineal es la comprendida entre las zonas de corte y saturación.
Puede estudiarse las variaciones del punto de operación variando las resistencias de polarización.
Figura 31. Variación del punto de operación.
En amplificadores se ubica el punto de trabajo en la zona lineal; en dispositivos de conmutación el punto de operación se alterna entre las zonas de corte y saturación.
La Figura 32, ilustra en diversas escalas para la magnitudes, la variación de la ganancia de corriente del colector versus la corriente de la base, y las corrientes de base y colector.
Figura 32. Corrientes en las zonas. saturación Zona lineal corte
Nótese la variación prácticamente lineal de la corriente de base, y la abrupta caída de la ganancia en la zona de saturación; lo cual se refleja en la saturación de la corriente de colector. Se denomina saturación ya que la corriente de colector no sigue aumentando a pesar del aumento de la corriente de base.
4.2.5. Característica de transferencia.
Colocar al transistor en un punto de operación a través de las mallas de polarización, permite obtener la característica de transferencia entre el voltaje de salida y el voltaje o señal de entrada Vin. NPN Vb +Vcc Rc 2 1 4 3 Rb Rbp 0 Vin + + 6
Figura 33. Característica de transferencia. Característica de transferencia
Vcc 4 0 10
*Vcb 6 0 5.45 ; desplaza característica. Fijando umbrales. Vcb 6 0 10
Rc 4 3 1k
Rbp 6 2 19.85k ; 19.85k a Vcc produce Vo=5 para Vi=0 Rb 1 2 2k
Q1 3 2 0 npn-trans Vin 1 0
.DC Vin -.5 +.5V 10mV ; calcula transferencia con barrido DC
.model npn-trans npn (is=2e-15 bf=50 vaf=200) .op ;calcula punto operación
.probe .end
Figura 34. Característica Vce versus Vin.
4.2.6. Pequeña señal.
De la característica de la Figura 34, puede observarse que si se elige una señal sinusoidal de entrada de amplitud no mayor a 150 mV se tendrá en la salida una señal sinusoidal amplificada, con offset de 5 V y una amplitud cercana a los 3,5V.
Podemos visualizar esto mediante una simulación transitoria.
Pequeña señal alterna en la entrada. Vcc 4 0 10
Vcb 6 0 10 Rc 4 3 1k
Rbp 6 2 19.85k ; 19.85k a Vcc produce Vo=5 para Vi=0 Rb 1 2 2k
Q1 3 2 0 npn-trans
Vin 1 0 SIN(0, 150mV, 1k, 0, 0, 0) .tran 0 2.0m 0.1u
.model npn-trans npn (is=2e-15 bf=50 vaf=200) .op ;calcula punto operación
.probe .end
La Figura 35, muestra en escalas diferentes, los voltajes sinusoidales de entrada y de salida. Observando con atención los máximos y mínimos del voltaje de salida puede concluirse
que se produce una pequeña distorsión debido a las no linealidades del transistor.
Figura 35. Amplificación.
Obteniendo la transformada rápida de Fourier, se aprecia la aparición de componentes de segunda armónica en el voltaje de salida.
Figura 36. Distorsión de segunda armónica.
Si la amplitud de la señal de entrada se aumenta a 350mV, la salida será claramente no sinusoidal. Debido a las no linealidades de la característica de transferencia, el amplificador genera nuevas frecuencias; en el caso del ejemplo, en la Figura 38, se muestra que la salida contiene ahora una componente importante de tercera armónica.
Segunda Armónica
Figura 37. Distorsión por no linealidad.
Figura 38. Distorsión de tercera armónica.
4.2.7. Amplificador.
De las experiencias acumuladas en el diseño de amplificadores, un circuito típico es el que se muestra en la Figura 39. Las razones de la configuración corresponden a cursos de diseño electrónico; lo que nos interesa es analizar la red no lineal con componentes dinámicas y sometida a estímulos variables en el tiempo.
Las redes de polarización se separan de las señales alternas de entrada y de salida mediante los condensadores C1 y C2. Nótese que se ha agregado una resistencia en el emisor, y que
se emplea solamente una fuente para la polarización del transistor. NPN Rs +Vcc Rc 3 2 0 1 6 C2 4 C1 RL 7 R1 R2 RE 5
Figura 39. Amplificador en base a transistor bipolar. Amplificador en base a transistor bipolar.
Vin 1 0 SIN(0V 0.1V 440Hz 0 0 0) Rs 1 2 10 Rc 6 4 1K R1 6 3 10K R2 3 0 1K Re 5 0 47 C1 2 3 10e-6 C2 4 7 10e-6 RL 7 0 1k Vcc 6 0 dc 12 q1 4 3 5 npn-trans
.model npn-trans npn (is=2e-15 bf=100 vaf=200) .op ;calcula punto operación
.tran 50us 6e-3s 0s 50us .probe
.end
Se efectúa un análisis transitorio para generar la forma de onda de la salida. El estímulo transitorio es una señal sinusoidal en el rango de frecuencia audible.
La salida no tiene una componente continua, debido al condensador C2. Se tiene también una pequeña distorsión, lo cual puede observarse ya que el máximo positivo y negativo son levemente diferentes.
Figura 40. Entrada y salida sinusoidal.
Si se aumenta la frecuencia de la señal de entrada la amplificación de la salida tenderá a disminuir. Para simular esto puede modificarse los parámetros del transistor, para considerar las capacidades de las junturas, o bien colocar un condensador pequeño en paralelo con la resistencia de salida. Un amplificador real tendrá un ancho de banda de frecuencias a las cuales les proporciona una amplificación constante. Éste y otros aspectos del diseño de amplificadores se cubren en cursos de electrónica.
4.2.8. Inversor lógico.
El ejemplo anterior empleaba el transistor en la zona lineal de operación. Otro importante uso de los transistores es en circuitos de conmutación, en los cuales el transistor opera en las zonas de saturación o corte.
NPN Rb Vc +Vcc Rc 3 2 0 1 4 C
En estos dispositivos digitales, las entradas se consideran 0 ó 1 lógicos dependiendo de sus niveles.
Inversor simple *
Rb 1 2 10k ; influye en el rise-time
Rc 4 3 4k ; si se aumenta Rc aumenta rise-time C 3 0 10n ; condensador de la línea. * C B E Q1 3 2 0 Q2N2222 Vcc 4 0 5V Vs 1 0 PULSE(0V 3.5V 0s 1ms 1ms .5ms 4ms ) *Vs 1 0 SIN(0V 2.7V 100Hz 0 0 0) .model Q2N2222 npn (BF=80 CJE=0.6p CJC=0.58p CJS=2.8p + VJE=0.715) *Comandos de análisis: .TRAN 0ms 3ms 0 0.01ms .probe .end
Se aplica un pulso en la entrada. Para voltajes de entrada menores que 0,8V la salida es mayor que 3 V. Para voltajes de entrada mayores que 1,2V la salida es menor que 0,3V.
Figura 42. Conmutación.
Cuando la salida está en 1 lógico el transistor está cortado; cuando la salida está en 0 lógico el transistor está saturado. La
