Solución del ejercicio 3 de aplicación
Planteamiento
Con los datos tenemos que generar un triángulo oblicuángulo que nos permita determinar los valores restantes. Nuevamente hay que entender en enunciado y transformarlo en información que nos sirva para generar nuestro triángulo deseado.
Diagrama esquemático
Opcionalmente podemos generar un esquema que nos permita entender el problema:
Suponiendo que ambas ciudades están a la misma altura porque desconocemos ese dato.
Triángulo oblicuángulo
Con la información anterior generemos nuestro triángulo: 340 km
60° 75°
Satélite
Puebla Distrito Federal
A B C a = 340 α β = 60° γ = 75° c b
Tenemos el lado A, pero no el ángulo opuesto α, lo cual no es un inconveniente puesto que lo calculamos por la Propiedad de los ángulos interiores de un triángulo:
α = 180° - 60° - 75° α = 45°
Sustituimos los datos conocidos en la fórmula de la Ley de Senos:
a Sen α= b Sen β= c Sen γ 340 Sen 45°= b Sen 60°= c Sen 75°
Trabajamos primero para el lado b:
340 Sen 45°=
b Sen 60°
Despejando tenemos que b = 416.413 Ahora vamos a calcular el lado c:
416.413 Sen 60° =
c Sen 75°
Finalmente despejando tenemos que c = 464.448
Esto significa que la distancia entre la ciudad de Puebla y el satélite es de 464.448 km, y la del Distrito Federal y el satélite es de 416.413 km.
Con eso queda resuelto el problema empleando la Ley de Senos. Se le propone verificar los despejes para practicar dichas operaciones.
Más ejemplos de la utilización de la Ley de Senos
La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuángulos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.
En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c, entonces .
Para usar la ley de los senos necesita conocer ya sea dos ángulos y un lado del triángulo (AAL o ALA) o dos lados y un ángulo opuesto de uno de ellos (LLA). Dese cuenta que para el primero de los dos casos usamos las mismas partes que utilizó para probar la congruencia de triángulos en geometría, pero en el segundo caso no podríamos probar los triángulos congruentes dadas esas partes. Esto es porque las partes faltantes podrían ser de diferentes tamaños. Esto es llamado el caso ambiguo y lo discutiremos más adelante.
Ejemplo 1: Dado dos ángulos y un lado no incluido (AAL)
Dado ∆ABC con A = 30°, B = 20° y a = 45 m. Encuentre el ángulo y los lados faltantes.
El tercer ángulo del triángulo es
C = 180° – A – B = 180° – 30° – 20 ° = 130° Por la ley de los senos,
Ejemplo 2: Dado dos ángulos y un lado incluido (ALA)
Dado A = 42°, B = 75° y c = 22 cm. Encuentre el ángulo y los lados faltantes.
El tercer ángulo del triángulo es:
C = 180° – A – B = 180° – 42° – 75° = 63° Por la ley de los senos,
Por las propiedades de las proporciones
y
Ejemplo 4. En el triángulo ABC, b = 15 cm, <B = 42°, y <C = 76°. Calcula la medida de los
lados y ángulos restantes
Solución: Si observamos, podemos ver que nuestro triángulo tiene dos ángulos y un solo lado, por lo cual podemos aplicar la ley de senos, sin embargo, podemos realizar un análisis sencillo para hallar el otro ángulo desconocido, tomando en cuenta que; la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo deben sumar 180°.
Colocando, los datos que tenemos en nuestro triángulo.
Por lo que el ángulo en A, es de 62 grados.
Ahora tenemos que encontrar el valor de las longitudes de a y c, para ello recurriremos a la fórmula:
Si observamos, nos interesa encontrar el valor del lado a y c, y ya tenemos a nuestra disposición cuanto equivalen los ángulos opuestos a esos lados, por lo cual, puedo tomar la igualdad que yo desee.
Supongamos que necesito encontrar el lado a entonces, hacemos:
Por lo que sustituyendo procedemos a despejar.
Listo, hemos encontrado el valor del lado a. Ahora encontremos el lado restante.
despejando a “c”
realizando la operación:
por lo que el lado restante “c” mide 19.75 cm. Problema resuelto.
Ejemplo 5. En el triángulo ABC, b = 15 cm, <B = 42°, y <C = 76°. Calcula la medida de los
lados y ángulos restantes
En este ejemplo a diferencia del anterior, no disponemos de dos ángulos, solamente de dos lados, por lo cual no podemos sumar los ángulos internos, e iniciar el proceso como se hizo anteriormente.
Pero el problema nos proporciona un lado p = 12cm, y el ángulo opuesto a éste de 76°, por lo que podemos obtener otro ángulo, mediante la fórmula de senos.
despejando a Sen M
Sustituyendo nuestros valores en la fórmula, obtenemos:
sacando la inversa del seno, para encontrar el ángulo, tenemos:
Ahora, como sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°, encontremos el ángulo faltante.
Por lo que el ángulo restante, es de 63.42°
El siguiente lado que nos falta por encontrar, lo volveremos hacer con la ley de senos.
Sustituyendo nuestros valores en la fórmula:
Por lo que el valor de n = 11.09 cm. y con eso se da por resuelto el problema.
Casos especiales
Si dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos es dado, tres posibilidades pueden ocurrir. (1) No existe tal triángulo.
(2) Dos triángulos diferentes existen. (3) Exactamente un triángulo existe.
Considere un triángulo en el cual se le da a, b y A. (La altitud h del vértice B al lado , por la definición de los senos es igual a b sin A.)
(1) No existe tal triángulo si A es agudo y a < h o A es obtuso y a ≤ b.
(2) Dos triángulos diferentes existen si A es agudo y h < a < b.
Ejemplo 1: No existe solución
Dado a = 15, b = 25 y A = 80°. Encuentre los otros ángulos y el lado. h = b sin A = 25 sin 80° ≈ 24.6
Dese cuenta que a < h. Así parece que no hay solución. Verifique esto usando la ley de los senos.
Esto contrae el hecho de que –1 ≤ sin B ≤ 1. Por lo tanto, no existe el triángulo.
Ejemplo 2: Dos soluciones existen
Dado a = 6. b = 7 y A = 30°. Encuentre los otros ángulos y el lado. h = b sin A = 7 sin 30° = 3.5
Por la ley de lo senos,
Hay dos ángulos entre 0° y 180° cuyo seno es aproximadamente 0.5833, 35.69° y 144.31°.
Si B ≈ 35.69° Si B ≈ 144.31°
C ≈180° – 30° – 35.69° ≈ 114.31° C ≈ 180° – 30° – 144.31° ≈ 5.69°
Ejemplo 3: Una solución existe
Dado a = 22, b =12 y A = 40°. Encuentre los otros ángulos y el lado. a > b
Por la ley de lo senos,
B es agudo.
C ≈ 180° – 40° – 20.52° ≈ 119.48° Por la ley de lo senos,
Si se nos dan dos lados y un ángulo incluido de un triángulo o si se nos dan 3 lados de un triángulo, no podemos usar la ley de los senos porque no podemos establecer ninguna proporción donde información suficiente sea conocida. En estos dos casos debemos usar la ley de los cosenos.
