ejercicios para entrenarse

E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E Fracciones algebraicas equivalentes

Determina el valor numérico de estas fracciones algebraicas para x 1 e y 2.

a) —

x2 2

xy y2

— b) —3x

x

2

y y

— c) —

5x 4x

2_y

y —

a) 2 12

1 (

( 2)

2

2

)

4₅ b) 31 1

2 (

2

( )

2)

1 c) 5

4 1

1

2₍

(

2) 2) 8₃

Halla los valores de x para los cuales el valor numérico de la fracción algebraica es

inde-terminado.

Las raíces del denominador 3 y 2. Vemos qué ocurre con estos valores cuando los sustituimos en el numerador.

Si x3,3

3

3

2

7 3 3

6 6

0₀. Indeterminado

Si x 2, 0

0. Indeterminado

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

a) —

x x

2

1 1

— c) —

x x

2 2

2

x x

2 3

—

b) —x

2

x2 4

x

4

4

— d)

a) x

x 2

1

1

_(xx_{1)( x}1_{1) x}1₁ c) ( ( x x

1 1 ) ) ( ( x x

2 3 ) )

x_x2₃

b) x

2

x2

4

x 4 4

_(x(x_2)(x2)

2

2)

x_x2₂ d) x5

x2

x4 x

2 2

x3

_x3 x (x

2

2

x x

2 2)

x 1

3

Reduce a común denominador estas fracciones algebraicas.

—x x

1 2

— —x

x

1 2

— —

x2 3

2

x x 8

—

x_x1₂

x_x1₂

x2

3 2

x x8

_(x 4

3 )(

x

x 2)

3x2

6x

x3

4x2

4x 16 3x(x2)

_(x2

2x 8)(x2) x3 _7x2 _{14x 8}

x3 _4x2 _4x16

(x1)(x2)(x4) _(x

2)(x2)(x4)

x3_x2_{10x 8}

x3 _4x2 _4x16

(x1)(x2)(x4) _(x

2)(x2)(x4) 6.32

x2_{x 2}

x2 _{2x 3}

x2 _{x 2}

—— x5 _x4 _2x3

6.31

(2)3_{7 (2) 6}

₍₂₎2_{(2) 6}

x3 _{7x 6}

—— x2 _{x 6}

6.30 6.29

Indica qué pares de fracciones algebraicas son equivalentes.

a) —x

x

1 1

— y b) —

2x

x

—1 y —2x2

x

2

3x

x

1

— c) —(

x x

2

3 9

)2

— y

a) Sí son equivalentes, tanto el numerador como el denominador de la segunda coinciden con el de la primera multiplicados por (x2_2).

b) No son equivalentes. Si x2, 22 2

1

2₃ y 222

2

2

3 2

2 1

6₃ 2.

c) No son equivalentes. El denominador de la segunda es la factorización del denominador de la primera, y en los numerado-res no se establece la relación de igualdad porque el numerador del segundo no coincide con el desarrollo del numerador de la primera fracción.

Operaciones con fracciones algebraicas

Opera y simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

a) —

x x

1

— —

x

1 1

— b) —a

a

2 2

— —a a

2 2

—

a) x

x 1

_x1 ₁ x2 x

x 2

x 1

1

x2 x2

2

x 1 1

b) a a

2 2

a_a2₂ 2 a

a 2 2

4 8

Opera y simplifica, reduciendo previamente a común denominador.

a) —

x x

2

— —2 x

x

2 1

— —

x2 1

—4 b) —3x2 1

3

— —

2x 2

—2 —

x x

5 1

— c) —

x

1 2

— —3 x

x

3 1

—

a) x

x 2

2_xx ₂1 x2

1 4

3x2 x

2 x

4 3

b) 3x2

1 3

_2x2 ₂ x_x 5₁ 3(x2

1 1)

2(x 2

1) x x

51

3x2

3 (x2

9

x 1)

11

c) x

x

1 x3

4x3

2x

2

9x 5

x

1 6

Opera y simplifica las siguientes fracciones algebraicas, calculando previamente las áreas de las figuras geométricas que aparecen en los numeradores y en los denominadores.

3 x

2

1

x(x 2

2

3) x4

10x 5x

3

18 6x2

3(x 2)(x 3) x(x 3) 4x(x 2)

_x2_(x2)(x3)

1₂2 _x(x2) 6.36

x(x2)(x3) (x 1)(x3) (3x 1)(x2)

_(x

1)(x2)(x3) 3x 1

_{x 3} 1

_{x 2}

2 2 3(x1) 6(x 5)(x1)

6(x2 ₁₎ x(x 2) (2x1)(x 2) 1

_x2₄

x —

x 1

6.35

a2 _{4a4 a}2_{4a 4}

a2 ₄

(a 2)2 _(a2)2

_a2 ₄ x(x 1) (x 1) _x2

1 6.34

x2 _{3x 9}

———

(x 3) (x 3)

x3 _x2 _{2x 2}

——— x3

x2

2x 2

6.33

—————— + ——————— – ————————3 1

x

x

2

x + 3 1

2

x

Realiza estas operaciones y simplifica el resultado.

a) —

x x

2

2 1

x

— —4x x2

3

x x3

—

b) —

x x

2

2 9

— —x x

2

3 4

—

a) x

x 2₂

1 x 4x

x2

3 x

x3

(₍x_x2

1 2 )( x 4 ) x

(x

2

3x

x 3

) )

(_xx_(x

1) 2

x ) ( x 4 (x

3x 1

2

) )

_x4_(x

3x 2

2

)

b) x

x 2

2

9

x_x2 ₃4 _(x(x2

2 9 ) ) ( ( x x2

3 4 ) )

Opera y simplifica.

a)

—1 x— —2

1

x — —

3 1

x —

—

x

1 2

— —1 x— —2

1

x —

b)

x —1

x—

x —

1

x—

(x 1)

c)

—

(

x x

1

1 )2

— —x

2

x

1

—

—

(x

x

1 1 )2

—

a)

1 x 2

1 x

₃1_x

_x1 2

1 x 2

1 x

₆1_x

2_2x2

2

_6x(22x 2 _{x) 6} x_3x

b)

x 1 x

x

1

x

(x 1)

x2

x 1

x2_x1

(x 1) ( ( x x 2

2

1 1 ) ) x

x (x 1) x

x 2

1 1

c)

( ( x x

1 1 ) ) x 2

(₍x_x 1 1 ) )

2

( (

x x

1 1

) ) x

2

x2_x1

Expresiones radicales equivalentes

Halla el valor numérico de estas expresiones radicales para los valores x 2 e y 1.

a)

—

x2 2

xy y2

— b)

x

3_y2

_{5 c)}

_2x

_3y

₁

a)

2 22

2 12

1

4₅ b)

23₁2

₅

₁₃

_c)

₂

₂

_{3 1}

₁

₆

Calcula las posibles raíces de estas expresiones radicales.

a)

144 x

4 _c)

3_64x

6

b)

81x

4 _d)

5_32x

25

a)

144

x4 _12x2 _c)

3₆₄

_x6 _4x2

b)

81

x4 _9x2 _d)

5₃₂

_x25 _2x5

6.40 6.39

x 1 _(x

1)2 x 1

_(x 1)2

(x1)(x2 ₁₎

_(x 1)2_x x1

_(x 1)2 x2₁

_x x 1

_(x 1)2

6.38

1 _{(x 3)(x 2)} 6.37

Indica qué pares de expresiones radicales son equivalentes.

a)

4x

2 _y

3

_8x3 _b)

3_8x

6 _y

9_512x

18

_c)

_9x4 _y

4_81x

12

a) No lo son, para x 1,

4

12

2 (cuando no se indica el signo, se considera signo positivo), y

38

13 _2.

b) Sí, ya que

33

(

8x6

₎

2

9₅₁₂

_x18

c) No, ya que

9

x4

22

₍

_9x4

₎

2

481

x8

4₈₁

_x12

Escribe tres radicales equivalentes a cada uno de los siguientes.

a)

4x

2_y8 _b)

3_ab

a)

4 x

2_y8

_xy

4

8_x

4_y16

6 _x

3_y12 _b)

3_ab

9_a

3_b3

15_a

5_b5

21_a

7_b7

Reduce estos radicales a índice común:

3x

2

_x

3

6_x

5

3 x2

6 x

4

_x

3

6_x

9

6_x

5

Simplifica los siguientes radicales.

a)

16a

8_b4 _c)

15_x

12_y18

b)

12

(

x2_y2

₎

3

d)

20

(

x2_y4

₎

5

a)

16a

8_b4

4 a

2_{b c)}

15_x

12_y18

5 x

4_y6

b)

12

(x

2_y2

₎

3

xy

d)

20

(x

2_y4

₎

5

xy

2

Utilizando el teorema de Pitágoras, calcula la diagonal del campo de fútbol.

Si x 100 metros e y 80 metros, ¿cuál sería la longitud de dicha diagonal?

d

x2

y

2

Si x100 metros e y80 metros;d

1002

802

10

164

20

41

metros

Operaciones con expresiones radicales

Realiza estas operaciones con radicales.

a)

x

12_y

6 _c)

3_x

2_y

3_x

4_y2

b)

x

5_y

xy

d)

xy

4

a)

x

12_y6

4

_x12_y6_x3_y

_y

_c)

3_x

2_y

3

_x4_y2

3 _x

6_y3 _x2_y

b)

x

5_y

_xy

_x5_yxy

_x4_x2 _d)

_xy

4

_x

4_y4_x2_y2

6.46 6.45 6.44 6.43 6.42 6.41

x

Extrae factores de los siguientes radicales.

a)

464x

8 _b)

3

_x4_yz5 _c)

1

b

6a 3 6

a)

464

x8

4

₂6_x8_2x2

4₄

b)

3 x

4_yz5

xz

3xyz

2

c)

1 b 6

3 a6

24 b

3 a6

4_ba3

_b1 b

4

a3

b

Efectúa estas operaciones con expresiones radicales.

a)

3x

2

_x

3 _b)

_x

2_y3

5_xy

_c)

_x

3

3_x

2 _d)

3_xy

2

4_x

3_y5

a)

3 x

x 2

3

6

6 x x

9

4

₆ x

x 4

9

6 x 1

5

6

1 x5

b)

x

2_y3

5

_xy

10_x

10_y15

10_x

2_y2

10

_x12_y17_xy

10_x

2_y7

c)

x

3

3

_x2

6_x

9

6

_x4

6

_x13 _x2

6_x

d)

4 3

x x

3 y

y 2

5

1 1

2 2

x x

9 4

y y

1 8

5

12 x5

1 y7

12 x 1

5_y7

Opera las siguientes expresiones radicales.

a)

12x

75x

27x

48x

b)

3a

3ab

3

3_ab

6

3_ab

9

c) 5

xy

2

16x

3_y

4

9xy

6

a)

12

x

75

x

27x

48

x

2

2_3x

₅

2_3x

₃

3_x

₂

4_{3x 8}

₃

_x

b)

3 a

3ab

3

3ab

6

3 ab

9

(1 b b2

b3₎

3_a

c) 5

xy

2

₁₆

_x3_y4

_9xy6_(5y4xy2_3y3₎

_x

Realiza estas operaciones.

a)

3xy

3

_xy

4_x

5_{y b)}

3

x

6

x

4

5

x3

a)

3 xy

3

_xy

4 _x

5_y

12

(xy

3

₎

4

(xy

)6

_(x

5_y)3

12x

25_y21 _x2_y

12_xy

9

b)

3 x

6

x

4

5 x3

15

x 3 5

x

2

x9

₁₅ x

x 1

1 4

0

15x

4

6.50 6.49 6.48 6.47