ejercicios 2

Depar t ament o de T ec nol ogí a El ec t r óni c a e I ngeni er í a de Si s t emas y Aut omác a

J os é Ramón L l at a Gar c í a Es t her Gonz ál ez Sar abi a Dámas o Fer nández Pér ez

Car l os T or r e Fer r er o

Mar í a Sandr a Robl a Gómez

Capí t ul o 2. Aut Di agr amas Ej omác er de c i c Bl i os oques y a Fl uj ogr amas

EJERCICIO 2.1.

Obtener la función de transferencia del siguiente diagrama de bloques:

G1 G2 G3 G4

H1 H2

H3

+ _ + + _

_

G1 G2 G3 G4

H1 H2

H3/G4

+ _ + + _

_

1 4

3 2 4 3

4 3 1

2 1

2 1

2 4 3

4 3 1

2 1

2 1

G G

H H G G 1

G G H

G G 1

G 1 G

H G G 1

G G H

G G 1

G G















 

















_ G1 G2 G3 G4

H1 H2

H3/(G4·G1)

+ _ + _

_ +

1 2 1

2 1

H G G 1

G G









2 4 3

4 3

H G G 1

G G







 H3/(G4·G1)

_ +

4 3 2 1

H H G G G G H G G H G G H G G 1

G G G G









EJERCICIO 2.2.

Obtener la función de transferencia global del sistema mediante el movimiento de bloques.

G3

G2

G1

c

d b

a

_ C(s) + +

+ R(s)

+ _

H1

H2

La señal en el punto d será:

2 1 1 2

1 cH aG bG cH

G ) b a (

d     

Se mueve el bloque restador cuya salida es el punto d hasta situarlo a continuación del punto de suma a:

G3

G2

G1

c

d b

a _ C(s)

+ +

+ R(s)

+ _

H1

H2

Se analiza ahora de que está formada la señal que llega al punto d:

1 2 1 1 1

2 b)G aG bG cH G

cH a (

d      

Con respecto al valor inicial de la señal se puede observar que sobra G1 en el último sumando. Para resolver esto se dividirá el bloque H2 entre G1.

G3

G2

G1

c

d b

a _ C(s)

+ +

+ R(s)

+ _

H1

H2/G1

Resolviendo el bucle interno:

1 2 1

2 1 1

H G G 1

G ) G

s (

M  

Con lo que el diagrama de bloques ahora será:

G G G G G H

1 2 3

1 2 1

1

c

a _ C(s) R(s) +

+ _

H2/G1

Resolviendo el lazo interno entre a y c:

2 3 2 1 2 1

3 2 1

1 2 1 2 1

3 2 1

1 2 1

3 2 1

2 1 G G H G G H

G G G G

H H G G 1

G G 1 G

H G G 1

G G G )

s (

M   

 



 

G G G

G G H G G H

1 2 3

1 2 1 2 3 2

1 

C(s) R(s)

+ _

Y resolviendo el último lazo:

3 2 1 2 3 2 1 2 1

3 2 1

2 3 2 1 2 1

3 2 1

2 3 2 1 2 1

3 2 1

3 1 G G H G G H G G G

G G G H

G G H G G 1

G G 1 G

H G G H G G 1

G G G )

s (

M    



 



 

3 2 1 2 3 2 1 2 1

3 2 1

G G G H G G H G G 1

G G G







C(s) R(s)

Otra posible forma de resolver sería moviendo la señal de realimentación tomada a la salida del bloque G2 hasta la salida del bloque G3. De esta forma modificando los bloques afectados se tendría:

G3

G2

G1

_ C(s) + +

+ R(s)

+ _

H1/G3

H2

Resolviendo el bloque más interno:

2 3 2

3 1 2

H G G 1

G ) G

s (

M  

G G G G H

2 3

2 3 2

1 G1

+ C(s) + R(s)

+ _

H1/G3

Resolviendo el lazo más interno nuevamente:

1 2 1 2 3 2

3 2 1

3 1 2 3 2

3 2 1

2 3 2

3 2 1

2 1 G G H G G H

G G G G

H H G G 1

G G 1 G

H G G 1

G G G )

s (

M   

 



 

G G G

G G H G G H

1 2 3

2 3 2 1 2 1

1 

C(s) R(s)

+ _

Y resolviendo el último lazo:

3 2 1 1 2 1 2 3 2

3 2 1

1 2 1 2 3 2

3 2 1

1 2 1 2 3 2

3 2 1

3 1 G G H G G H G G G

G G G H

G G H G G 1

G G 1 G

H G G H G G 1

G G G )

s (

M    



 



 

EJERCICIO 2.3.

Para el diagrama de bloques de la figura encontrar Geq y Heq de forma analítica y gráfica.

1 s 2

3 s 1

10 s K

w

v e u

r z

Y(s) R(s)

+ +

+ + + _

0.1

Analíticamente:





 



  





















 v

s 1 u s

1 . 0 r ) sv v 1 u 1 . 0 ( r ) w u 1 . 0 ( r z r e

10 e s

K ) 3 s ( s

) 1 s ( 1 2 . 0 r ) u

3 s ( s

) 1 s ( 1 2 . 0 r 3u s

2 s

1 u s

1 . 0

r 

 



 







 









 







 







 





 

 





10 e s

K ) 3 s ( s

) 1 s ( 1 2 . 0 r

e 

 



 







 





) r 10 s )(

3 s ( s

) 1 s ( K 2 10 s

K 1 . 1 0

e 

 









 

 

r )

10 s )(

3 s ( s

) 1 s ( K 2 ) 3 s ( Ks 1 . 0 ) 10 s )(

3 s ( s r 1 ) 10 s )(

3 s ( s

) 1 s ( K 2 10 s

K 1 . 1 0

e 1 















 







 

 



K r 2 s ) K 3 . 2 30 ( s ) K 1 . 0 13 ( s

) 10 s )(

3 s (

e ₃ s ₂ 













 

Por otro lado, la función de transferencia de lazo directo es directa:

) e 10 s )(

3 s ( s

K

y 2 



 

) 10 s )(

3 s ( s

K 2 e

) y s (

G    

Entonces, la función de transferencia de lazo cerrado es:

) e 10 s )(

3 s ( s

K 2 s ) K 3 . 2 30 ( s ) K 1 . 0 13 ( s

) e 10 s )(

3 s ( s

K 2 )

s ( R

) s ( ) Y s (

M _{3 2}

 













 

 



K 2 s ) K 3 . 2 30 ( s ) K 1 . 0 13 ( s

K ) 2

s (

M _{3 2}









 

Se busca ahora descomponer dicha función de lazo cerrado en las funciones correspondientes a la cadena directa, cuyo valor ya se conoce, y la realimentación.

) s ( H ) s ( G 1

) s ( ) G

s (

M  

Para este sistema, sustituyendo el valor de la cadena directa:

) s ( H K 2 s 30 s 13 s

K 2 )

s ( H K 2 ) 10 s )(

3 s ( s

K 2 )

s ( )H 10 s )(

3 s ( s

K 1 2

) 10 s )(

3 s ( s

K 2 )

s (

M _{3 2}







 







 



 



 

Luego igualando los denominadores de las dos expresiones obtenidas para M(s):

) s ( H K 2 s 30 s 13 s K 2 s ) K 3 . 2 30 ( s ) K 1 . 0 13 (

s³   ²     ³  ²   

) s ( H K 2 s 30 s 13 s K 2 Ks 3 . 2 Ks 1 . 0 s 30 s 13

s³  ²   ²    ³  ²   

) s ( H K 2 K 2 Ks 3 . 2 Ks 1 .

0 ²    

1 s 15 . 1 s 05 . 0

H_eq  ²  

2 3 10

K s s(  )(s )

C(s) R(s)

+ _

0 05. s² 115. s1

Resolviendo ahora de forma gráfica:

1 s 2

3 s 1

10 s K

w

v e u

r z

Y(s) R(s)

+

+ +

+ + _

0.1

Pasando el último bloque delante del punto de bifurcación v:

2 3 s s(  ) 1

10 s K

w

v e u

r z

Y(s) R(s)

+ +

+ + + _

0.1 s

Agrupando las funciones de transferencia del último sumador:

2 3 s s(  ) K

s 10

w

v e u

r z

Y(s) R(s)

+ + + _

0.1 s+1

Moviendo el bloque 2 3

s s(  ) delante del punto de bifurcación u:

2 3 10

K s s(  )(s )

w

v e u

r z

Y(s) R(s)

+ + _

01 3

2 . (s s )

s+1

Agrupando los dos elementos del sumador:

2 3 10

K s s(  )(s ) e

r z

Y(s) R(s)

+ _

0 05. s² 115. s1

EJERCICIO 2.4.

Para el diagrama de bloques mostrado en la figura calcular las funciones de transferencia G(s) y H(s) equivalentes de forma analítica y gráfica. Calcular también la función de transferencia G(s) equivalente para que el sistema tenga realimentación unitaria.

1 s 10

1 s e v

r y

z

Y(s) R(s)

+ + + _

2

Analíticamente:

1e s

10 s 2 1 r s v 2 1 r sv v 1 2 r ) y v 2 ( r z r

e  



 

 



 



 

 







 



 















1 e s

10 s 2 1 r

e 



 





 



 

 





1 r s

10 s

1 s 1 2

e 

 



 



 





 



 



 



10 r s 21 s

) 1 s ( r s

10 s 21 s

s s s

s 10 s 1 20

e r _{2 2}

2

2

 



 

 



 



 



La función de transferencia de cadena directa se obtiene de forma directa:

) 1 s ( s

10 e

) y s (

G   

)e 1 s ( s y 10

 

Y la función de transferencia de lazo cerrado es:

10 s 21 s

10 ) e

1 s ( s

10 s 21 s

)e 1 s ( s

10 r

) y s (

M _{2 2}



 







 



Sabiendo que:

) s ( H ) s ( G 1

) s ( ) G

s (

M  

) s ( H 10 s s

10 )

s ( ) H 1 s ( s 1 10

) 1 s ( s

10 )

s (

M ₂





 

 



 

Igualando los denominadores de las dos funciones de transferencia M(s) obtenidas:

) s ( H 10 s s 10 s 21

s²    ²    ) s ( H 10 10 s

20   

1 s 2 ) s (

H  

10 1 s s(  )

Y(s) R(s)

+ _

2s+1

Resolviendo el diagrama de bloques de forma gráfica:

1 s 10

1 s e v

r y

z

Y(s) R(s)

+ + + _

2

Moviendo el último bloque delante del punto v:

10 1 s s(  ) e v

r y

z

Y(s) R(s)

+ + + _

2s

Uniendo los elementos del sumador:

10 1 s s(  ) R(s) Y(s)

+ _

2s+1 Si se desea que Heq sea 1:

R(s) Y(s)

+ _ G’(s)

Como la función de transferencia de lazo cerrado es:

10 s 21 s ) 10 s (

M ₂



 

Dividiendo el numerador y denominador de M(s) entre s² 21s se tiene:

) s ( ' G 1

) s ( ' G s 21 s 1 10

s 21 s

10

s 21 s

10 s

21 s

s 21 s

s 21 s

10 )

s ( M

2 2

2 2

2 2

 

 

 

 





 

R(s) Y(s)

+ _ s(s 21) 10



De forma gráfica partiendo de la función obtenida con Geq y Heq: 10

1 s s(  ) R(s) Y(s)

+ _

2s+1

10 1 s s(  ) R(s) Y(s)

+ _

1 2s

) 21 s ( s

10 s

21 s

10 )

1 s ( s

s 20 s s

) 1 s ( s

10

s ) 2 1 s ( s 1 10

) 1 s ( s

10 )

s ( '

G _{2 2}

 

 







 

 



 

R(s) Y(s)

+ _ s(s 21) 10



EJERCICIO 2.5.

Resolver el siguiente diagrama de bloques de forma gráfica y mediante la técnica de los flujogramas.

C(s) R(s)

+ + + _

G1 G2

+ -

G3 G4 G5

G8

G6 G7

Resolviendo primero gráficamente:

En primer lugar se ha ordenado el diagrama de bloques de la forma típica:

R(s) C(s)

+ +

+ _ G2 G1

+ _ G3 G5

G4

G8

G6

G7

Ahora los bloques G5 y G2 se mueven delante del punto de bifurcación:

R(s) C(s)

+ +

+ _ G1

+ _ G3

G4 2

5 8G G G

G6

2 5

7

G G

G

Se agrupan los bloques de la realimentación interna:

R(s) C(s)

+ _ G1

+ _ G3



 



  ₄

2 5

6 7 G

G G G G

2 5 8G G G

R(s) C(s)

+ _ G1

+ _ G3 G8G5G2

2 5

2 5 4 7 6

G G

G G G G (

G 

Agrupando en un único bloque la realimentación interna:

) G G G G ( G G 1

G G G G

G

G G G G ( G G G G 1

G G ) G

s ( ' G

2 5 4 7 6 8

2 5 8

2 5

2 5 4 7 2 6

5 8

2 5 8



 

 



R(s) G1 C(s)

+ _ G3

) G G G G ( G G 1

G G G

2 5 4 7 6 8

2 5 8





Agrupando finalmente los elementos restantes:

) G G G G ( G G 1

G G G G 1 G

) G G G G ( G G 1

G G G G G

)G G G G G ( G G 1

G G G G

1

)G G G G G ( G G 1

G G G G

) s ( M

2 5 4 7 6 8

2 5 8 3 1

2 5 4 7 6 8

2 5 8 3 1

1 2 5 4 7 6 8

2 5 3 8

1 2 5 4 7 6 8

2 5 3 8



 



 



 



 

2 5 8 3 1 2 5 4 7 6 8

2 5 8 3 1

G G G G G ) G G G G ( G G 1

G G G G ) G

s (

M    

8 5 3 2 1 8 6 5 4 2 8 7 6

8 5 3 2 1

G G G G G G G G G G G G G 1

G G G G ) G

s (

M    

Aplicando la técnica de los flujogramas:

Se construye en primer lugar el flujograma correspondiente al sistema:

G3 G8 G2G5 G1 1

1

G4

-G6

-1 G7

R C

Se resuelve aplicando la regla de Mason:

La relación entre la salida C(s) y la entrada R(s), viene dada por:



 





kTk k

) s ( ) M s ( R

) s ( C siendo:

 (Determinante del flujograma.) = 1-i+ij-ijk+…

Trayectos directos: "aquellos que partiendo de un nodo fuente llegan a un nodo final sin pasar dos veces por el mismo nodo"

i: ganancia de cada lazo.

i igual a la suma de ganancias de los bucles que tienen algún nodo común con cualquier trayecto directo.

ij igual a la suma de productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de dos bucles disjuntos.

TK es la ganancia del k-ésimo trayecto directo.

 se calcula igual que , pero eliminando los bucles que tienen algún nodo común

con el k-ésimo trayecto directo.

Trayectos directos:

1 5 2 8 3

1 G G G G G

T  Lazos:

1 5 2 8 3

1 G G G G G



6 7 8 2 G G G



6 4 5 2 8

3 G G G G G





^{i 123 G3G8G2G5G1G8G7G6G8G2G5G4G6}

No existen lazos disjuntos.



^{        }





 1 _i 1 _{1 2 3} 1 G₃G₈G₂G₅G₁ G₈G₇G₆ G₈G₂G₅G₄G₆

11



6 4 5 2 8 6 7 8 1 5 2 8 3

1 5 2 8 3

k k k

G G G G G G G G G G G G G 1

G G G G T G

) s ( ) M s ( R

) s ( C





 



 





EJERCICIO 2.6.

Calcular la función de transferencia ) s ( R

) s (

C del siguiente flujograma:

1 1 G1 G2 G3 1

-H2

H1 -1

R(s) C(s)

Trayectos Directos: P₁ G₁G₂G₃ Lazos Independientes: L₁ G₁G₂H₁

2 2 2

2 G G H

L 

3 2 1

3 GG G

L  

Determinante:  1



L_a 



L_bL_c 



L_dL_eL_f ...



G₁G₂H₁ G₂G₃H₂ G₁G₂G₃



1  





Cofactor: P₁ G₁G₂G₃

1 1

 Entonces:

k k

Pk

) 1 s (

M 

 



3 2 1 2 3 2 1 2 1

3 2 1

G G G H G G H G G 1

G G ) G

s (

M    

EJERCICIO 2.7.

Calcular la función de transferencia ) s ( R

) s (

Y del siguiente flujograma:

1 1

R(s) 1

-3 s+1

6

-4 s s+2 -5 1 3

1 Y(s)

Trayectos Directos:

) 2 s )(

1 s (

s P₁ 3



 

) 1 s ( P₂ 4



 

6 P₃  Lazos Independientes:

) 1 s ( L₁ 3



 

) 2 s (

s L₂ 5



  Pares de lazos:

) 2 s )(

1 s (

s L 15

L_{1 2}



  Determinante:

...

L L L L

L L

1   





  

) 2 s )(

1 s (

s 15 )

2 s (

s 5 ) 1 s ( 1 3



 



 





 



 





Cofactores:

) 2 s )(

1 s (

s P₁ 3



 

1 1



) 1 s ( 4 P₂  

) 2 s (

s 1 5

2   



6 P₃ 

) 2 s )(

1 s (

s 15 )

2 s (

s 5 ) 1 s ( 1 3

3   

 





 



 





Entonces:

k k

Pk

) 1 s (

M 

 



 





 



 





 



 



 





 



 







 



 







 

) 2 s )(

1 s (

s 15 )

2 s (

s 5 ) 1 s ( 1 3

) 2 s (

s 1 5 1 s 1 4 ) 2 s )(

1 s (

s 3 )

s ( M

) 2 s )(

1 s (

s 15 )

2 s (

s 5 ) 1 s ( 1 3

) 2 s )(

1 s (

s 15 )

2 s (

s 5 ) 1 s ( 1 3 6



 



 





 



 



 







 

 

 

8 s 26 s 6

40 s 135 s

) 36 s (

M ₂

2







 

EJERCICIO 2.8.

Calcular la función de transferencia del siguiente flujograma:

1G1 G2 G3 1

H1 H2

R(s) G4 C(s)

G5

G6 G7

G8

H3 H4

Trayectos Directos:

4 3 2 1

1 G G G G

P 

8 7 6 5

2 G G G G

P  Lazos Independientes:

1 2

1 G H

L 

2 3

2 G H

L 

3 6

3 G H

L 

4 7

4 G H

L  Pares de lazos:

4 7 1 2 4

1L G HG H

L 

3 6 2 3 3

2L G H G H

L 

Determinante:

...

L L L L

L L

1 _a  _{b c}  _{d e f} 





  



  









 1 G₂H₁ G₃H₂ G₆H₃ G₇H₄



G₂H₁G₇H₄ G₃H₂G₆H₃



Cofactores:

4 3 2 1

1 G G G G

P 



_{6 3 7 4}



1 1 G H G H



8 7 6 5

2 G G G G

P 



_{2 1 3 2}



2 1 G H G H

 Entonces:

k k

Pk

) 1 s (

M 

 



3) 6H 2G 3H 4 G 7H 1G 2H G ( 4) 7H 3 G 6H 2 G 3H 1 G 2H G ( 1

2)) 3H 1 G 2H G ( 1 8)(

7G 6G 5G G ( 4)) 7H 3 G 6H G ( 1 4)(

3G 2G 1G G ) ( s (

M      









 

EJERCICIO 2.9.

Calcular las funciones de transferencia indicadas para el siguiente flujograma:

R1(s) 1 1 C1(s)

R2(s) 1 s s+2s 1 C2(s) s+3

-4

1 10 1

) s ( R

) s ( T C

1 11 1

) s ( R

) s ( T C

1 21  2

) s ( R

) s ( T C

2 21  1

) s ( R

) s ( T C

2 22  2

1- T₁₁ C₁(s) R₁(s)

R1(s) 1 1 C1(s)

s s+2s s+3 -4

1 10 1

   



 







 



 







 



 





 



 





 

) 3 s ( s

40 2

s s 1 4

) 1 3 s ( s 1 10 2 s

s ) s ( T₁₁

80 s 46 s 17 s 5

20 s 10 s 3 ) s

s (

T_{11 3}^{3 2}₂











 

2- T₂₁ C₂(s) R₁(s)

R1(s) 1

1 C2(s) s s+2s

s+3 -4

1 10 1

 



 







 



 







 



 





 

) 3 s ( s

40 2

s s 1 4

) 1 3 s ( s

1 )

s ( T₂₁

80 s 46 s 17 s 5

2 ) s

s (

T_{21 3 2}







 

3- T₂₁ C₁(s) R₂(s)

1 C1(s)

R2(s) 1 s s+2s s+3 -4

1 10 1

 



 







 



 







 



 





 

) 3 s ( s

40 2

s s 1 4

) 1 3 s (

10 )

s ( T₁₂

80 s 46 s 17 s 5

s 2 s ) 10

s (

T_{12 3 2}²









4- T₂₂ C₂(s) R₂(s)

R2(s) 1 s s+2s 1 C2(s) s+3

-4

1 10 1



 







 



 







 



 







 



 





 

) 3 s ( s

40 2

s s 1 4

) 3 s ( s 1 40 ) 3 s (

1 )

s ( T₂₂

80 s 46 s 17 s 5

s 2 s ) 5

s (

T _{3 2}

2

22   

 

EJERCICIO 2.10.

Calcular las funciones de transferencia del siguiente flujograma:

R1(s) 1

R2(s) R3(s)

Y1(s)

Y2(s) s -2

6 -3

1 -4

1 1 1

s 1 1

) s ( R

) s ( T Y

1 11  1

) s ( R

) s ( T Y

2 12  1

) s ( R

) s ( T Y

3 1 13 

) s ( R

) s ( T Y

1 2 21 

) s ( R

) s ( T Y

2 22  2

) s ( R

) s ( T Y

3 23  2

1- T₁₁Y₁(s) R₁(s)

R1(s) 1 s Y1(s)

-2

6 -3

-4

1 s1 1

 

2 2

11

s 6 s 24 s 3 s 1 2

s 1 6 )

s ( T











 







6 s 29 s ) 6 s ( T_{11 2}



  2- T₁₂ Y₁(s) R₂(s)

R2(s)

Y1(s) s

-2

6 -3

-4 1 1

s 1 1

 

2 11

s 6 s 24 s 3 s 1 2

s 1 6 )

s ( T











 







6 s 29 s

s ) 6

s ( T_{11 2}



 

3- T₁₃  Y₁(s) R₃(s)

R3(s)

Y1(s) s

-2

6 -3

-4

1 1

s 1 1

 

2 13

s 6 s 24 s 3 s 1 2

s 1 2 1 )

s ( T











 

 



6 s 29 s

) 2 s ( ) s s ( T_{13 2}





 

4- T₂₁  Y₂(s) R₁(s)

R1(s) 1

Y2(s) s -2

6 -3

1 -4

1 s1

 

2 21

s 6 s 24 s 3 s 1 2

s 24 s 1 3 1 ) s ( T











 



  



6 s 29 s

) 27 s ( ) s s ( T_{21 2}





 

5- T₂₂  Y₂(s) R₂(s)

R2(s)

Y2(s) s -2

6 -3

1 -4

1 1

s1

 

2 22

s 6 s 24 s 3 s 1 2

s 1 3 2 )

s ( T











 

 





6 s 29 s

) 6 s 2 ( ) s

s ( T_{22 2}







 

6- T₂₃ Y₂(s) R₃(s)

R3(s)

Y2(s) s -2

6 -3

1 -4

1 1

s1

  

2 23

s 6 s 24 s 3 s 1 2

1 ) 8

s ( T











6 s 29 s

s ) 8

s (

T ₂

2

23   

EJERCICIO 2.11.

La función de transferencia G(s) viene definida por el siguiente diagrama de flujo:

Donde: G1 = 1 G2 = 1/s G3 = 1/s G4 = 1/s G5 = 4 G6 = 1 G7 = -1 G8 = -2 G9 = -3 G10 = 1 G11 = 2.

Calcular, mediante Mason, la función de transferencia de G(s).



^

 

K

K

TK

) 1 s ( G Trayectos directos:

6 3 5 4 3 2 1

1 s

1 4 s 4 1 s 1 s 1 1 G G G G G G

T             

s 1 1 s 1 1 1 G G G G

T₂  ₁ ₂ ₁₀ ₆     

6 2 11 3 2 1

3 s

1 2 s 2 1 s 1 1 G G G G G

T           

Determinante del sistema:

...

L L L

1^



_a ^



_{b c}





3 9 2

4 3 2 8 3 2 7

2 s

3 s

2 s 1 1 G G G G G G G G G

1            





Cofactores:

1 1

 ₂ 1 ₃ 1 Función de transferencia:

3 2 3

3 2

3 2

2 3

s

3 s 2 s s

s s s 2 4

s 3 s

2 s 1 1

s 2 s 1 s

4 ) s (

G   



















3 s 2 s s

4 s 2 ) s

s (

G _{3 2}

2









 

EJERCICIO 2.12.

Calcular la función de trasferencia del sistema de la figura mediante la aplicación de la regla de Mason:

1 2

s ) 1 s (

G  G₂(s)(s1) G₃(s) 5 G₄(s)s

s ) 1 s (

G₅  G₆(s) 1

1 s ) 1 s ( G₇

  G₈(s)s









^Tn  ⁿ )

s ( T Trayectos:

G G G G G T 

- -

+ + +

+

Y(s)

G1(s) G2(s)

G3(s) G4(s) G5(s)

G6(s) G7(s) G8(s)

R(s)

Lazos:

1 2 5 8 3

1 G G G G G

L 

6 4 2 5 8

2 G G G G G

L 

6 7 8

3 G G G

L 

) G G G G G G G G G G G G G (

1  _{3 8 5 2 1} _{8 5 2 4 6} _{8 7 6}





) G G G G G G G G G G G G G ( 1

G G G G ) G

s ( T

6 7 8 6 4 2 5 8 1 2 5 8 3

1 2 5 8 3







 



 



 

 









































1 1 s s 1 1 s ) 1 s s ( s 1 s ) 1 1 s s ( s 1 5 1

s ) 1 1 s s ( s 1 5 )

s ( T

2

2

5 s 10 s 6 s 3 s 2 s

) 1 s ( ) 5

s (

T _{5 4 3 2}

2











  EJERCICIO 2.13.

G(s) está definida por el diagrama de flujo:

2 1/s 1 1/s

-5 3

-4

U(s) Y(s)

Obtener la función de transferencia.

Aplicando la regla de Mason:









^Tn ⁿ T

Trayectos directos:

T¹ s

 3 ₁ 1

T² s²

 2 ₂ 1

Lazos independientes:

L 4

 

L² s²

  5

   1 4 5 s s2

5 s 4 s

2 s 3 s

5 s 4 s

s 2 s 3

s 5 s 1 4

s 2 s 3 ) s (

G ₂

2 2

2

2 2





 

















5 s 4 s

) 66 . 0 s ( ) 3 s (

G ₂





 

EJERCICIO 2.14.

Obtener la función de transferencia de una planta que viene definida por el siguiente flujograma:

3 1

1 7 4 2

5

6 1

/

_(s+1)

1

/

_(s+1)

R'(s)

C'(s)

La relación entre la salida C'(s) y la entrada R'(s), viene dada por:



 





kTk k

) s ( ' ) M s ( ' R

) s ( ' C

10 5 2

T₁    ₁ 1

18 6 3

T₂    ₂ 1

28 7 4

T₃    ₃ 1

1 s 6 12 1 s 2 1 T₄

 

 



 ₄ 1

5 2

) 1 s ( 7 14 1 s

1 1 s 2 1

T   

 

 

 ₅ 1

1 s 7 21 1 s 3 1 T₆

 

 



 ₆ 1

Bucles: No hay

Bucles disjuntos: No hay.

Luego, sustituyendo:

. = 1-i+ij-ijk+… = 1 - 0= 1 Se tiene entonces:

1

T ...

T T T

) s ( '

M ^{k k k 1}¹ ²²  ⁶⁶

 







2

2 (s 1)

14 1

s 56 33 1 s

21 )

1 s (

14 1

s 28 12 18 10 ) s ( '

M  

 

 

 

 









2 2

) 1 s (

14 33 s 33 56 s 112 s

) 56 s ( '

M 









 

2 2

) 1 s (

103 s 145 s

) 56 s ( '

M 



 

EJERCICIO 2.15.

Para el sistema del ejercicio 1.14. hallar la función de transferencia que relaciona la altura del líquido en el depósito h(t) y la tensión de referencia u(t), mediante la técnica de flujogramas. En el ejercicio 1.14. el sistema quedó definido por el siguiente diagrama de bloques:



 

  s

2 . 1 0

10 10

+ _ s

1 + _

U(s) E(s) V(s)

F(s)

Qe(s)

Qs(s)

H(s)

0.009

Obtener en primer lugar el flujograma correspondiente al diagrama de bloques mostrado en la figura.

1

U E 



 

 

 s

2 . 1 0

10 V 10 Qe 1

-1

-0.009

H H

s 1

Aplicando la Regla de Mason se obtendrá la función de transferencia:







^Tnⁿ T



^



^





 1 L₁ L₂

s 10 1 s

2 . 1 0 10

T₁  



 

 





1 1



) 1 s ( 10 1 s

2 . 1 0 10

L₁    



 

 



) 009 . 0 s( L₂ 1 



 



      



 

 





 ( 0.009)

s ) 1 1 s ( 10 1 s

2 . 1 0 10 1

s 009 . 0 s

2 . 0 100s 1

s 2 . 0 100s )

s ( U

) s ( T H

2 2

 









s 009 . 0 20 s 100 s

) 2 . 0 s ( 100 )

s ( U

) s (

T H ₂







 



20 s 009 . 100 s

) 2 . 0 s ( 100 )

s ( U

) s (

T H ₂





 



EJERCICIO 2.16.

Dado un sistema de control representado por el siguiente diagrama de bloques:

G1(s) G2(s)

H2(s) H1(s)

H3(s)

R1(s) R2(s)

+ -

+

+ -

Y(s)

1.- Dibujar el flujograma correspondiente.

2.- Si se hace R2(s) = 0, hallar mediante la regla de Mason, M(s) )

s ( R

) s ( Y

1

 3.- Si en M(s), hacemos H2(s) = H3(s) = 1; H1(s) =

s

1; G1(s) = K y G2(s) =

) 6 )(

4 (

1



 s

s .

Obtener la función de transferencia G3(s) para que M(s) sea equivalente al sistema de la figura:

R(s)

G3(s)

s 1

C(s)

+ -

1. Flujograma: Sustituyendo el diagrama de bloques:

-1 -H1(s) R1(s)

G1(s) -1 1

R2(s)

Y(s) 1

G2(s)

H₂(s)

-H3(s) 1 2

0

4

3 5 6

1

2- Ahora R2(s) = 0. La función de transferencia global del sistema será:





 





^{K K}

1

T )

s ( R

) s ( ) Y s ( M

Trayectos directos: 0 – 1 – 2 – 3 – 5 – 6 : G1(s)G2(s) Bucles: B1: 1 – 2 – 3 – 5 – 1 : G1(s)G2(s)[-H3(s)]

B2: 1 – 2 – 3 – 5 – 4 – 1: G1(s)G2(s)[-H1(s)]H2(s) B3: 2 - 3 – 5 – 4 –2 : G2(s)[-H2(s)]

Bucles disjuntos: No hay.

Luego, sustituyendo:

. = 1 – [G1(s)G2(s)[-H3(s)] + G1(s)G2(s)[-H1(s)]H2(s) +G2(s)[-H2(s)]] + 0 =

= 1 + G2(s)[G1(s)[-H3(s)] + G1(s)[-H1(s)]H2(s) + H2(s)]

K = 1 = 1 – 0 = 1 T1 = G1(s)G2(s) Se tiene entonces:



G (s) H (s) G (s) H (s) H (s) H (s)



) s ( G 1

) s ( G ) s ( T G

) s ( R

) s ( ) Y s ( M

2 2

1 1 3

1 2

2 K 1

K

1       

 





 





3. Ahora,

) 6 s )(

4 s ( ) 1 s ( G

; K ) s ( G s; ) 1 s ( H

; 1 ) s ( H ) s (

H_{2 3 1 1 2}



 









sustituyendo en la ecuación anterior de M(s), se tiene:

K s ) K 25 ( s 10 s

Ks K

) 1 K ( s ) 6 s )(

4 s ( s

Ks )

s 1 K K ) ( 6 s )(

4 s ( 1 1

) 6 s )(

4 s (

K )

s (

M _{3 2}







 









 





 

 



 

K s K s

s

Ks







10 ² (25 )

3

R1(s) Y(s)

 G3(s)

s 1

R(s) C(s)

M(s)

) K 25 ( s 10 s

K )

s ( M s

) s ( M ) s

s ( ) G

s ( G s

) s ( G s s ) 1 s ( G 1

) s ( ) G

s (

M _{3 2}

3 3

3 3





 



 

 

 







Luego la función de transferencia en lazo abierto del nuevo sistema, teniendo en cuenta que K = 1000, será:

) s ( G s K .' 1 A . L . T .

F    ₃

) 1025 s

10 s ( s .' 1000 A . L . T .

F ₂



 

EJERCICIO 2.17.

G(s) es la función de transferencia de una planta, de la que se conoce su flujograma, que es el siguiente:

-4

-6 -7

1 2

3

5

6

10 9

4

8

s s

1

2 +1

4 s

1

2  1 s

1



8 s

8

 s

1 s

1 3 s

3

 2

s 2



+10

-s

+1

7

Calcular la función de transferencia de la planta, aplicando la regla de Mason.

Trayectos directos:

) 1 s )(

s s ( s

10 s

1 s 10 1 s s

1 1 s P 1 7 6 10 9 4 3 2

1 _{1 2 2 2}



 





 

 



















) 8 s )(

4 s ( s

8 s

1 s 1 8 s

8 4 s P 1 7 6 10 9 8 2

1 _{2 2 2 2}



 



 

 

















Lazos disjuntos:

s ; 6 s 6 1 L 8; s

56 8

s 7 8 L

; s L s; s

L_{1 2} 4 _{2 3 4} 







 

 

 







 

 

) 3 s )(

2 s ( s

30 2

s s 3 s

3 s 1 s 10 1 L₅



 

 

 







Determinante del flujograma:



L₁ L₂ L₃ L₄

 

L₁L₂ L₁L₃ L₁L₄ L₂L₃ L₂L₄

 

L₁L₂L₃ L₁L₂L₄



1          







 



 





 

 



 



 

 





 



 







 









 





 









 



 











 



 









 



 



 

 

 

 





s ) 6 s s ( s

4 8

s ) 56 s s ( s

4 s

) 6 ( s 8

s ) 56 ( s

) s s ( s

) 6 ( 4 )

8 s )(

s s (

) 56 ( 4 s

s ) s ( 4 s

6 8 s s 56 s s 1 4

2 2

2 2

2 2

) 8 s )(

1 s ( s

192 s 520 s

450 s

193 s

72 s

2

2 3

4 5













 

 Cofactores:

) 1 s ( s

4 s 5 s 2 s s s

s ) 4

s s ( s 1 4 L L ) L L ( 1

s 1 ) s ( 1 L 1

2 3 2

2 2 1 2 1 2

2 1







 



 





 



 



  



 































Luego,











 P¹ ¹ P^{2 2} )

s ( G

Y sustituyendo los valores queda:

) 192 s 520 s

450 s

193 s

72 s )(

4 s ( s

352 s 80 s 96 s ) 18

s (

G _{2 5 4 3 2}

2 3

















 