Facultad de Ingeniería
Recuperatorio 2° parcial ÁLGEBRA A 13 de julio de 2015
APELLIDO Y NOMBRE:………. DNI Nº:………..
1 2 3 4 5 Nota
a b a b a b a b a b
Nota: escriba la resolución de los ejercicios con bolígrafo (no use lápiz). Todos los ejercicios deben tener su resolución analítica.
1 a) -Analice la verdad o falsedad de la siguiente afirmación y justifique su respuesta:
“Sea P(x)= a3.x3 + a2.x2 + a1.x + a0 tal que grP(x)=3, con raíces k1 ,k2 ,k3 ,entonces el producto
de las raíces es igual a 3 0
a
a
−
“b) Determine el valor de k ∈ IR para que P ( x ) = 6 + x + 2 x 3 – x 2 + ( k + 1 ) x , tenga dos raíces cuya suma sea
2 1 − .
2) a ) Demuestre la siguiente proposición: “Sea P(x) =
∑
=
n 0 i
ai.xi de grado ‘n’ con ai entero para i = 0, 1,..., n. Si p y q son enteros no nulos
primos entre sí y q p
es raíz de P(x), entonces a0 es múltiplo entero de p”
b) Calcule R (x) sabiendo que P(x)= ( x-1)2n
+
2
, que R ( x ) es el resto de la división de P (x ) por Q ( x ) = 2x3+x-5x2+2, y que P (2 1
− ) = 1.
3) Complete con el resultado numérico y justifique en cada caso: a) Sea m =
d c
b a
/ det ( m ) = 4 ,
entonces det ( 3 mt) = --- y
c 3 d 3
a 2 b 2
−
− = ---
b) Sea c una matriz cuadrada e inversible tal que c−1= ct entonces detc = ---
4 a) - Defina el concepto de matriz inversible, y demuestre que si a∈Knxn es inversible su determinante es distinto de cero.
b) Dadas las matrices c =
− −
4 3 2 1
1 1
y d =
− − −
2 1 1
1 2
halle todas las matrices b ∈ IR 2 x 2
que conmutan con a ∈ IR 2 x 2 sabiendo que a + 2 c = d
5) a) Escriba el enunciado del Teorema de Rouché-Fröbenius y las condiciones necesarias y suficientes para que un sistema de m ecuaciones con n incógnitas sea compatible
determinado, compatible indeterminado o incompatible.
b) Analice la compatibilidad del siguiente sistema para los distintos valores de m
+
=
−
+
4
2
m
6
3
z
y
x
.
2
m
1
m
0
m
3
2
1
2
1
RECUPERATORIO 2 do PARCIAL
Resolución teoría:
1-a) Verdadero, demostración con las Fórmulas de Vieta.
a3.x3 + a2.x2 + a1.x + a0 = a3 (x-k1).(x-k2) (x-k3)
Luego, dividir ambos miembros por a3
≠
0, efectuar el producto de los binomios del segundo miembro, asociar los términos semejantes y estudiar la conformación de sus coeficientes. Usando la definición de igualdad de polinomios, quedarán establecidas las Fórmulas de Vietadonde : = k1 . k2 . k3 , luego - = k1 . k2 . k3 ,
2-a) Demostración:
q p
es una fracción irreducible no nula, y es raíz de P(x). Luego:
P
q p
= 0 ⇒
∑
=
n 0 i
ai. i
q p
= 0 ⇒
∑
=
n 0 i
i i i
q p . a
= 0
Multiplicando en ambos miembros de la igualdad por qn resulta:
Separando el primer término de la sumatoria y extrayendo factor común “p” de los restantes,
resulta: a0.qn + p.
∑
=
− −
n
1 i
1 i i n i.q .p
a = 0 ; o sea que: a0.qn = p
−
∑
=
− −
n 1 i
1 i i n i.q .p
a
Número entero k
Luego a0.qn =p.k, dice que p divide al producto a0.qn. Como p y q son primos entre sí por hipótesis, p y qn también lo son. Luego, p divide a a0, o lo que es lo mismo, a0 es múltiplo de p.
3-b)
⟹ det
( )
c−1 = det ( ) ⟹ ⟹ 1 = , luego det c = 1 o det c = -1 Se aplican propiedades de los determinantes. det c−1=c det
1
; det ct = det c
4-a) Definición:
Una matriz a ∈ IKnxn se dice inversible , si existe una matriz b∈ IKnxn tal que a.b = b.a = Id.
Sea a ∈ IKnxn, si a es inversible entonces det a ≠ 0.
Demostración: Si a es inversible entonces existe a-1 tal que a-1 . a = a . a-1 = id y se cumple además que det a.det(a-1 ) = det Id = 1.Luego det a ≠ 0 .
5-a) Teorema de Rouché-Fröbenius (Teorema de compatibilidad)
Un sistema de “m” ecuaciones lineales con “n” incógnitas de la forma A.X=B es compatible si y sólo si el rango de la matriz de los coeficientes (A) es igual al rango de la matriz ampliada (A’) rg(A)=rg(A´).
rg(A)=rg(A´)=n, si y sólo si el sistema es compatible determinado
rg(A)=rg(A´)<n, si y sólo si el sistema compatible indetermina-do, con n-rg(A) grados de libertad
rg(A) ≠ rg(A´) si y sólo si el sistema es incompatible. RECUPERATORIO 2do PARCIAL
∑
=
=
n
i
i i n iq p
a
0 _
Resolucion de la Practica
1) b) Determinar el valor de k ∈ IR para P ( x ) = 6 + x + 2 x 3 – x 2 + ( k + 1 ) x , tenga dos raíces cuya suma sea
2 1 − .
Resolución:
Si las raíces son x 1 ; x 2 y x 3 ; según el enunciado podemos considerar que
x 1 + x 2 = 2 1
− ⇒ x 2 = 2 1
− – x 1 ( 1 )
Utilizando la fórmula de Vieta :
x 1 + x 2 + x 3 = 2 1
⇒ según ( 1 ) 2 1
− + x 3 = 2 1
de donde se deduce que x 3 = 1
x 1 . x 2 + x 1 . x 3 + x 2 . x 3 = 2
2 k+
( 2 )
x 1 . x 2 . x 3 = – 3 sustituyendo por x 3 = 1 se obtiene que x 1 . x 2 = – 3 ; como x 3 = 1
sustituyendo en ( 2 ) se obtiene : - 3 + x 1 + x 2 = 2
2 k+
además x 1 + x 2 = 2 1 −
⇒
+ = − −
2 2 k 2 1 3
2 7 − =
2 2 k+
de donde se obtiene k = – 9
2) b )Sabiendo que P(x)= ( x-1)2n + 2 y R ( x ) el resto de la división de P (x ) por Q ( x ) = 2x3+x - 5x2+2 si P(
2 1
− )= 1 Calcular R ( x )
Solución :
Si llamamos C(x) al cociente de la división deberá cumplirse que: P ( x ) = C ( x) . Q ( x ) + R ( x ) ( * )
Donde, como Q ( x ) es un polinomio de grado 3 , R ( x ) debe ser de grado menor o igual que 2 ( o bien R(x)=0), por lo tanto puede expresarse en la forma R ( x ) = a x2+ b x + c .
Si calculamos las raíces de Q (x ) son 1, 2 y 2 1
− luego
Q ( x ) = 2 ( x -1 ) ( x – 2 ) ( x + 2 1
) además
P ( 1 ) = 2 P ( 2 ) = 3 y P ( -2 1
) = 1 entonces en ( * ) P( 1 ) = 2 = C ( 1 ) Q ( 1 ) + a + b + c ⇒ a + b +c = 2 ( 1 )
P( 2 ) = 3 = C ( 2 ) Q ( 2 ) +4 a +2 b + c ⇒4 a + 2b + c = 3 ( 2 )
P( 2 1
− ) = 1 = C ( -2 1
) Q ( -2 1
) + 4 1
a - 2 1
b + c ⇒ 4 1
a - 2 1
b + c=1 ( 3 )
( 1 ) – ( 2 ) -3 a – b = -1 ⇒ b = -3a + 1 b = 5 3
En ( 3 ) = − (−3a+1)+c⇒ 2
1 a 4 1
1 a
4 7 2 3 c 1 c 2 1 a 2 3 a 4
1 + − + = ⇒ = −
En ( 1 )
15 2 a 2 a 4 7 2 3 ) 1 a 3 (
a+ − + + − = ⇒ = 15 19
c=
Luego R ( x ) =
15 19 x 5 3 x 15
3) Completar justificando en cada caso
a) Si mtes la matriz traspuesta de m, siendo m =
d c
b a
/ det ( m ) = 4
Entonces, det ( 3 mt) es 9 det m = 36 y
c 3 d 3
a 2 b 2
−
− es 2. ( -3 ) (-1) . det m = 24
Propiedades utilizadas : det a = det at
det (k a)= kn.det a
Si se intercambian 2 filas o 2 columnas = -1 det a Si se multiplica una fila o columna por k = k . det a
4 ) b) Dadas las matrices c =
− −
4 3 2 1
1 1
y d =
− − −
2 1 1
1 2
hallar todas las matrices b ∈ IR 2 x 2
que conmutan con a ∈ IR 2 x 2 sabiendo que a + 2 c = d Resolución:
De a+2c=d se puede despejar a:
a = d –2 c ⇒ a =
− − −
2 1 1
1 2
– 2
− −
4 3 2 1
1 1
a =
− − −
2 1 1
1 2
–
− −
2 3 1
2 2
a =
−
1 0
3 0
para hallar b sabiendo que conmutan :
−
1 0
3 0
.
q p
n m
=
q p
n m
.
−
1 0
3 0
, siendo b =
q p
n m
Resolviendo el producto de matrices en ambos miembros y aplicando la definición de igualdad se obtiene el sistema:
- 3 p = 0 de donde p = 0 p=0
- 3 q = - 3 m + n ( ** ) equivalente a -3q+3m-n=0 homogéneo con 2 grados de libertad p = 0
q = - 3 p + q
Luego, p=0 y por ( ** ) q = m - 3 1
n , por lo tanto b =
− n 3 1 m 0
n m
∀ m , n ∈ IR
valores de m
+
=
−
+
4
2
m
6
3
z
y
x
.
2
m
1
m
0
m
3
2
1
2
1
. Resuelva el sistema
para m= 1
Sol :
+
−
+
1
m
2
|
4
2
m
m
0
6
|
m
3
2
3
|
1
2
1
F2
→
F2 -2F1
+
−
+
−
−
m
2
4
|
2
m
1
m
0
0
|
2
m
1
0
3
|
1
2
1
F3
→
F3+ (m+1)F2
+
+
−
−
−
m
2
4
|
)
2
m
)(
2
m
(
0
0
0
|
2
m
1
0
3
|
1
2
1
Si m = 2 el sistema es incompatible pues rg a =2 y rg a`= 3
Si m = - 2 el sistema es compatible indeterminado pues rg a = rg a`= 2<3
Si m
≠
2 y m≠
-2 el sistema es compatible determinado pues rg a = rg a`= 3Si m= 1
−
−
−
6
|
3
0
0
0
|
1
1
0
3
|
1
2
1
-3 z = 6 z = - 2
