Forcing con coideales semiselectivos

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FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICAS

TRABAJO DE GRADO:

FORCING CON COIDEALES

SEMISELECTIVOS

Trabajo elaborado para obtener el t´ıtulo de Mag´ıster en

matem´

aticas en la Universidad de los Andes Colombia

Presentado por:

W. Leonardo Pacheco Tobo

Orientador:

Carlos Di Prisco

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Forcing con coideales semiselectivos

William Leonardo Pacheco Tobo

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1.. Introducci´on . . . 4

2.. Notaci´on y definiciones b´asicas . . . 6

3.. Preliminares . . . 8

3.1. Coideales y Lema de Nash-Williams, Galvin . . . 8

3.1.1. Coideales . . . 8

3.1.2. Coideales selectivos . . . 9

3.1.3. Coideales semiselectivos . . . 11

3.1.4. Lema de Nash-Williams,Galvin . . . 12

3.2. Forcing . . . 15

3.2.1. Colapso de Levy . . . 16

3.2.2. Forcing de Mathias . . . 18

3.3. Grandes cardinales . . . 22

4.. Propiedades del forcing con coideales semiselectivos . . . 25

5.. Conjuntos Ramsey respecto a un coideal semiselectivo . . . . 32

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1. INTRODUCCI ´

ON

El objetivo de este trabajo es presentar una prueba del Teorema 5.0.6:Sea

λ un cardinal Π1₁−indescriptible. Sea M[G] la extensi´on gen´erica dada por

Col(ω, < λ). Entonces, siHes un coideal semiselectivo enM[G], todo conjunto de n´umeros reales enL(R)deM[G] esH-Ramsey.

La prueba fue publicada en [D] en el año 2012, dónde además se plantea el pro-blema de aclarar si se puede o no, debilitar la hipótesis de la existencia de un cardinal Π1

1−indescripitibley obtener el mismo resultado. Por eso ha sido

nece-sario estudiar conceptos, como la noción deCoideal semiselectivo (sección 3.1), la técnica del Forcing(sección 3.2),cardinales Π1

1−indescriptibles (secci´on 3.3 )

y el modelo L(_R) (sección 3.2.1). Al explorar cada uno de los temas anteriores y teniendo siempre en mente la prueba del Teorema 5.0.6, se hace imposible seguir adelante sin antes entender resultados, tales como, el lema combinatorio de Nash-Williams, Galvin (Lema 3.1.4), y algunas propiedades de las nociones de Forcing de Levy y de Mathias. Por esta razón se ha elaborado toda una sec-ción (Preliminares), donde se prueban resultados relevantes a la demostración del Teorema 5.0.6.

Debido a la escasez literaria acerca de algunos de los temas tratados en este documento, el camino a tomar deb´ıa pasar por el art´ıculo de Ilijas Farah [F] de 1997. Varios de los resultados probados en este documento fueron tomados de ese art´ıculo, sin embargo, en la prueba de Farah de la propiedad de Mathias para un coideal semiselectivo hemos encontrado algunos inconvenientes, al re-construir tal prueba hallamos un argumento de Fahra que no es muy claro. Lo anterior nos llev´o a buscar una prueba diferente a la publicada por Farah. En este trabajo presentamos una demostraci´on alternativa, que sigue los argumen-tos utilizados por Mathias (en [M]) en la prueba de la misma propiedad para coideales selectivos (Cap´ıtulo 4).

Otras de las referencias bibliográficas que necesariamente debimos consultar fueron el art´ıculo de Carlos Di Prisco, Mijares y Uzcátegui [D], donde está el Teorema 5.0.6 y la referencia principal Happy Families de Mathias [M]. Adicionalmente, con el ánimo de motivar al lector, se han agregado ideas y

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segmentos del libro de Stevo Todorcevic [T]1 _{, donde se relaciona la teor´ıa de}

Ramsey con los temas estudiados a continuaci´on.

Dentro de lo posible se ha tratado de crear un documento que sirva de gu´ıa para lectores interesados en conocer una introducci´on a los temas estudiados: coideales semiselectivos, la t´ecnica de Forcing, cardinales Π1

1-indescriptibles y

el modelo L(R). Por obvias razones hay detalles sobre algunos temas, como el

Forcing, que no est´an en este documento, y para los cuales se invita al lector a consultar las referencias citadas.

1_{Hemos traducido del ingl´}_{es al espa˜}_{nol partes que se encuentran en [T] y las copiamos en}

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2. NOTACI ´

ON Y DEFINICIONES B ´

ASICAS

En este documento trabajamos en ZFC (la teor´ıa de Zermelo Frenkel con el axioma de elección) a menos que se especifique lo contrario. La notación introducida a continuación será utilizada en todo el documento. Como es usual

ω denota el conjunto de los n´umeros naturales{0,1,2,3...}. Para cada conjunto

A y cardinalκ, definimos:

[A]κ:={S⊆A:|S|=κ},

[A]<κ:={S⊆A:|S|< κ},

donde|S|es el cardinal deS.

Para todoS ⊆ωel m´ınimo deSserá denotado pormin(S) y si existe el máximo, se denotará pormax(S) .

Para cada D⊆ωy cadas∈[ω]<ω _{el s´ımbolo}_D/s_{representa el conjunto:}

{d∈D:d > max(s)}

y escribiremosD/npara referirnos aD/{n}.

Dadoss∈[ω]<ω yS∈ P(ω) escribimoss_@S si existen∈ωtal ques=S∩n. En ocaciones escribiremosven vez de_@, pues la igualdad se puede dar cuando

S ∈[ω]<ω_.

Los conjuntos definidos a continuaci´on, con s∈[ω]<ω _y_A_∈_[_ω_]ω_{, forman una} base para una topolog´ıa en [ω]ω_{, llamada la topolog´ıa de Ellentuck}

[s, A] :={B∈[ω]ω:s_@B∧B⊆A∪s},

una topolog´ıa m´as fina que la topolog´ıa heredada de la topolog´ıa producto en el cubo de Cantor, 2ω_.

Para cada conjuntoS, el conjunto P(S) representa el conjunto de partes deS, es decir:

P(S) :={T :T ⊆S}.

Sea H ⊆ P(ω), para cadaA∈ Hdefinimos

HA:={B⊆A:B∈ H}.

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para cada S ∈ P(ω) existe W ∈ P(ω) tal que SRW. Existe una funci´on

f :ω−→ P(ω) tal que para cadai∈ω, f(i)Rf(i+ 1).

ZF-P es la teor´ıa que consiste de los axiomas de existencia, extencionali-dad,fundamentación, esquema de especificación,pares, unión, esquema de reem-plazo y el axioma de el infinito(ver [K]).

Dado que en los cap´ıtulos siguientes trabajaremos con la t´ecnica de Forcing, se hace necesario introducir algunos conceptos relacionados con ordenes parcia-les.

Para (P,≤) un conjunto parcialmente ordenado (i.e≤es una relaci´on binaria,

reflexiva, transitiva y antisim´etrica en P) abreviado porc.p.o:

Definici´on 2.0.1. Diremos que

D⊆P esdenso, si para cadap∈Pexisteq∈D tal queq≤p,

D⊆_Pesabiertosi para cada parp, q∈_Ptal quep∈Dyq≤p, entonces

q∈D,

p, q∈_Pson incompatibles (en s´ımbolos p⊥q) si no exister∈_Ptal que

r≤pyr≤q, y

r∈Pes un ´atomo si no existenp, q≤r tales quep⊥q.

Definici´on 2.0.2. Decimos que G⊆Pes un filtro si

para todo parp, q∈P, tal quep∈Gyp≤qentoncesq∈G,

para cada parp, q∈Gexister∈Gtal quer≤pyr≤q.

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3. PRELIMINARES

3.1. Coideales y Lema de Nash-Williams, Galvin

3.1.1. Coideales

Es necesario familiarizarnos con la noci´on decoideal sobreω.

Definici´on 3.1.1. Decimos queH ⊆ P(ω) es uncoidealsi satisface lo siguien-te:

i. ω∈ Hpero para cadax∈ω se tiene que{x} 6∈ H

ii. A⊆B⊆ω yA∈ HimplicaB∈ H

iii. A∪B∈ HimplicaA∈ Ho B∈ H.

La primera condici´on y la tercera implican queHno tiene subconjuntos fi-nitos, en particularHcontiene todos los conjuntos cofinitos deP(ω).

Según Stevo Todorcevic (ver [T]), los coideales son nociones de tamaño para familias de subconjuntos de ω que t´ıpicamente tienen alguna estructura, y el propósito de la teor´ıa de Ramsey es descubrirlos y organizarlos, como también levantarlos a dimensiones superiores1_{. Consideremos ahora algunos ejemplos.}

Ejemplo 3.1.1. Todo Ultrafiltro en [ω]ω_{es un coideal.}

Ejemplo 3.1.2. El conjunto [ω]ω _{es un coideal.}

Es muy sencillo verificar que [ω]ω _{es un coideal. Existen otros ejemplos de} coideales pero con respecto a conjuntos de ´ındices distintos aω. Dado un con-junto S de indices arbitrario, podemos definir un coideal con respecto aS. Tal definición es análoga a la definición 3.1.1, de hecho bastar´ıa cambiarωporSen todas la apariciones de ω en la definición 3.1.1 para obtener la definición más general2. Sin embargo existe otro ejemplo famoso debido a Mathias.

1_{Si el lector desea entender la noci´}_{on de dimensi´}_{on mencionada puede remitirse a [T]1.2} 2_{En [T] pag 3. se puede encontrar la definici´}_{on m´}_{as general de coideal junto con los ejemplos}

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Ejemplo 3.1.3 (Mathias). Sea Auna familia infinita casi disjunta de subcon-juntos infinitos de ω, es decir,A∩B es finito para cada parA, B∈ A. SeaHla colecci´on de todos los conjuntos que no pueden ser cubiertos salvo un conjunto finito por finitos elementos de A, entonces H es un coideal (ver ejemplo 7.1.2 en [T]).

Los coideales son muy importantes en la teor´ıa local de Ramsey (ver [T] sección 7). Cuando consideramos coloraciones de [ω]ω _{uno quisiera encontrar} un cubo monocrómatico, un [M]ω _(con _M _⊆ _ω_{) de una forma especial. Una} situación t´ıpica en la que tal necesidad aparece es la siguiente, seanXun espacio topológico,x∈X y (xn) unaω-sucesión de elementos deX\ {x}, tales que para cada vecindad V de x, existe n tal que xn ∈ V, y supongamos que queremos encontrar una subsucesión (xnk) que converja ax. Esto es equivalente a estudiar la siguiente coloración de [ω]ω_:

C0 := {M ∈[ω]ω:x∈ {xn:n∈M}}

C1 := {M ∈[ω]ω:x /∈ {xn:n∈M}}.

Note que (xn)n∈M converge a xsi y s´olo si [M]ω ⊆ C0. Quiz´as sirve esta

teor´ıa para estudiar convergencia de sucesiones en an´alisis o topolog´ıa.

Todorcevic afirma que la teor´ıa local de Ellentuck (ver [T] 7.1) nos da unM tal que [M]ω _{es monocrom´}_{atico, si la coloraci´}_{on tiene cierta complejidad. La teor´ıa} desarrollada a continuaci´on sobre coideales selectivos y semiselectivos nos per-mite encontrar unM alternativo (a elM dado por la teor´ıa local de Ellentuck). La diferencia es que en vez de trabajar en [ω]ω, consideraremosH ⊂[ω]ω con algunas propiedades que definimos a continuaci´on.

3.1.2. Coideales selectivos

Para definir la noci´on de selectividad es necesario introducir el siguiente concepto.

Definici´on 3.1.2. Dada una sucesi´on {Fn :n∈ω} ⊆[ω]ω, decimos queD ∈ [ω]ω_{la diagonaliza}_{si para cada}_n_∈_D_,_D/n_⊆_F_n.

Definici´on 3.1.3. Un coideal H esselectivosi para toda cadena F1 ⊇F2...

de elementos de H, existeD∈ Hque la diagonaliza.

Los coideales selectivos fueron introducidos por Mathias quien los llama happy families en [M].

Sin embargo en [M] se define la selectividad de un coideal de una forma distinta. Mathias define que X es una diagonalizaci´on de {Xs : s∈ [ω]ω} (familia ele-mentos de [ω]ω) si para cadas∈[ω]ωtal que max(s)∈X vale queX/s⊆Xs.

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3. Preliminares 10

Despu´es (Mathias) define que H es una happy family si para toda colecci´on

{Xs : s ∈ [ω]<ω} tal que el filtro generado por esta colección está contenido en H, existeX que diagonaliza a{Xs :s∈ [ω]<ω} (en el sentido mencionado arriba). La equivalencia de las dos definiciones, se debe, básicamente a que si

{Xs :s∈[ω]ω} es tal que el filtro generado por esta familia est´a contenido en

Hentonces la sucesi´on

(Fn :=

\

max(s)≤n

Xs)n∈ω,

es decreciente y una diagonailización de esta sucesión (en el sentido de la defini-ción 3.1.2) ser´ıa también una diagonalización de{Xs:s∈[ω]ω}. Por otra parte si (Fn)n∈ωes una sucesión decreciente enHentonces podemos definir para cada

s∈[ω]<ω

Xs:=

\

n≤max(s) Fn,

as´ı una diagonalización de{Xs:s∈[ω]<ω}también es una diagonalización de (Fn)n∈ω.

En la sección 4 trabajamos con Ultrafiltros selectivos (llamados por Mat-hias Ultrafiltros de Ramsey), por esta razón conviene introducir la sieguiente definición.

Definici´on 3.1.4. U es un Ultrafiltro selectivo, si U es un ultrafiltro respecto al orden (P(ω),⊆) y adem´as es selectivo.

El primer ejemplo que consideramos es [ω]ω_.

Ejemplo 3.1.4. [ω]ω_{es un co-ideal selectivo:}_{Ya sabemos que es un coideal.} Adem´as para cada cadena F0 ⊇ F1... de elementos de [ω]ω, podemos encon-trar una diagonalizaci´on inductivamente: Seleccionamos n0∈F0/0, escogemos

n1 ∈ Fn0/n0 y en general si ya hemos escogido nk elegimos nk+1 ∈ Fnk/nk. EntoncesD ={nk :k∈ω} es una diagonalizaci´on. Para ver esto, seannl∈D y nk ∈ D/nl, entonces por construcci´on de D necesariamente l ≥ k+ 1, en consecuencia nl ∈ Fnk/nk ⊆ Fnk. Luego para cada m ∈ D vale D/m ⊆ Fm como se quer´ıa.

El ejemplo 3.1.3 tambi´en es selectivo.

Antes de definir loscoideales semiselectivos conviene conocer las siguientes de-finiciones.

Definici´on 3.1.5. Sea H un coideal, entonces X ⊆ [ω]ω _es _H−_Ramsey_{, si} para cada [a, A]6=∅ tal queA∈ H existeB ∈[a, A]∩ H, tal que [a, B]⊆ X o [a, B]∩ X =∅.

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Definici´on 3.1.6. SeaHun coideal, entoncesX ⊆[ω]ω_{tiene la}_{propiedad de}

H−Baireabstracta, si para cada [a, A]6=∅ tal queA∈ Hexiste [b, B]⊆[a, A] con B∈[a, A]∩ H, tal que [b, B]⊆ X o [b, B]∩ X =∅.

Resulta que siHes selectivo entonces:

X tiene la propiedad deH-Baire⇐⇒ X es H-Ramsey.

Es apenas natural preguntarse en este punto, qué tipo de coideales satisfacen la anterior equivalencia, es decir para qué tipo de coidealH, vale queX ⊆[ω]ω es H−Ramsey si y sólo si X tiene la propiedad de H-Baire . Pues bien, a continuación los definimos.

3.1.3. Coideales semiselectivos

Definición 3.1.7. Sea Hun coideal. Dada una colección{Dn}n∈ω de densos abiertos (ver definición 2.0.1) en (H,⊆), un conjuntoB es una diagonaliza-ciónde{Dn}n∈ω si y sólo siB/n∈ Dn para cadan∈B.

El lector notará que hemos definido dos nociones de diagonalización, una para sucesiones decrecientes arbitrarias y otra para sucesiones de densos abier-tos (definiciones 3.1.2 y 3.1.7). Al igual que la primera definición se utilizó para definir un coideal selectivo, la segunda se utilizará para definir un coideal semi-selectivo.

Definición 3.1.8. Un co-idealHes semiselectivo si para toda sucesión{Dn}n∈ω de subconjuntos densos abiertos deH, la colección de todas sus diagonalizaciones es densa enH(con el orden⊆) .

Teorema 3.1.1. Todo coideal selectivo es semiselectivo.

Demostración. Sea Hun coideal selectivo y sea{Dn}n∈ω una sucesión de sub-conjuntos densos de H. Sea A ∈ H, entonces (por densidad de D0) existe D0∈ D0 tal queA⊇D0, en general si ya hemos elegidoDn ∈ Dn para algún

n∈ω, existe (por densidad deDn+1)Dn+1∈ Dn+1 tal queDn⊇Dn+1. Como

{Dn :n∈ ω} es una sucesión decreciente (de elementos en H) y H es selecti-vo, tenemos que existe una diagonalización de tal sucesión en H, llam´ emos-la B. Para cada n ∈ B vale que B/n ⊆ Dn, luego B/n ∈ Dn (pues Dn es abierto) para cada n ∈ B, esto termina la prueba, pues A era arbitrario,

B/min(B)⊆Dmin(B) ⊆A, m´as a´unB/min(B)∈ H, entonces B/min(B) es

una diagonalizaci´on de{Dn}n∈ω contenida enA, c´omo se requer´ıa.

El siguiente ejemplo muestra que la noci´on de semiselectividad no implica la de selectividad.

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3. Preliminares 12

Ejemplo 3.1.5 (Farah). Sea f : ω −→ ω×ω una biyecci´on y seaI el ideal de todos los conjuntos S ∈ P(ω) tales que|f[S]∩({n} ×ω)|< ω. Afirmamos que H=P(ω)\ I es semiselectivo pero no es selectivo. Para ver que Hno es selectivo, consideramos la sucesi´on decreciente de conjuntos enH

(An:=f−1[[n, ω)×ω])n∈ω.

Sea D una diagonalizaci´on de la anterior sucesi´on, entonces para cada n ∈D

vale queD/n ⊆An. En particular para cadak∈ω vale quef[D]∩({k} ×ω) es finito, pues si d=min{x∈ D : x > k}3 _entonces _f_[_D/d_]_⊆ _[_{d, ω}₎_×_ω_{. Lo}

anterior implica que D∈ I, luegoHno puede ser selectivo.

Veamos ahora que H es semiselectivo, sean {Dn}n∈ω una sucesión de densos abiertos en H y A∈ H. Naturalmente, existen∈ ω tal que f[A]∩({n} ×ω) es infinito. Más aúnB :=f−1_[_f_[_A_]_∩₍_{_n_{} ×}_ω_)]_{∈ H}

A, y utilizando la den-sidad de D0 existe D0 ∈ D0 tal que B ⊇D0, en general si ya hemos escogido Dn ∈ Dn podemos elegirDn+1 ∈ Dn+1 tal queDn ⊇Dn+1. Ahora

selecciona-mosn0∈D0, luegon1∈Dn0+1, de igual manera si ya hemos elegidonk ∈Dnk

tomamosnk+1∈Dnk+1. As´ıC:={nk :k∈ω} ∈ HB (puesf[C] es infinito y est´a contenido en{n} ×ω) y para cadank∈Cvale queC/nk⊆Dnk,en conse-cuenciaC/nk∈ Dnk para cadak∈ω, esto es, existeC∈ HAdiagonalizaci´on de{Dn}n∈ω, comoAera arbitrario, podemos concluir que Hes semiselectivo.

3.1.4. Lema de Nash-Williams,Galvin

En esta secci´on se demuestra un lema combinatorio que ser´a de gran utilidad. El Lema de Nash-Williams, Galvin fue probado originalmente para el coideal selectivo [ω]ω_{, a continuaci´}_{on se prueba una versi´}_{on m´}_{as general para coideales} semiselectivos, siguiendo la prueba de Ilijas Farah [F].

Lema 3.1.1. SeaHun coideal semiselectivo. Para cadaF ⊆[ω]<ω_{\ {∅}}_, a) existe un conjuntoB ∈ Htal que[B]<ω_{∩ F} ₌_∅_{, o}

b) existe un conjuntoB∈ Htal que todoC∈[B]ωtiene un segmento inicial propio enF.

Si se da la condici´onb. decimos queF tiene una barrera contenida en

B.

Demostraci´on. Diremos que A∈ H acepta s, si todo elemento de [s, A] tiene un segmento inicial en F; A rechaza s si ning´un elemento de H A acepta a s. Decimos que A decide a s si A acepta o rechaza as. Con las anteriores definiciones a la mano obtenemos las siguientes afirmaciones:

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1) SiAacepta (rechaza)sentonces todoB∈ HA, acepta (rechaza)s. 2) Dadoss∈[ω]<ω _y_A_{∈ H}_{, existe}_B_{∈ H}

Aque decide as. 3) SiAacepta s, entoncesAacepta s∪ {n}para cadan∈A/s.

Necesitaremos las siguientes dos proposiciones para culminar la prueba. Proposici´on 1: Si A rechaza s, entonces el conjuntoB de los n ∈A/s tales queAacepta s∪ {n}, no est´a en H.

Demostraci´on: Supongamos por contradici´on que B ∈ H. Sean C ∈ [s, B] y

n=min(C/s), como Aacepta s∪ {n}, todo elemento de [s∪ {n}, A] tiene un segmento inicial en F, en particularC. Entonces (dado queC era abitrario)B

acepta s, contradiciendo 1. y nuestra hipótesis. Proposición 2: ExisteB∈ Hque decide cada uno de sus subconjuntos finitos. Demostración: Sea

Ds:={C∈ H:C decide as}.

Note que (1) y (2) arriba implican, respectivamente, que Dses abierto y denso. Veamos que los conjuntosDn _:=T

max(s)≤nDsson abiertos densos enH. Para ver la densidad, sean A∈ H y s1, s2, ...s2n+1 una enumeraci´on de los

subcon-juntos de {0,1, ..., n}. Por (2) existe B1 ∈ (H A)∩ Ds1 , de nuevo por (2)

existe B2 ∈ (H B1)∩ Ds2 (como Ds1 es abierto entonces B2 ∈ Ds1) ,

ar-gumentando de esta manera tenemos que para cada k ∈ {3,4, ...,2n+1} existe

Bk∈(HBk−1)∩ Dsk. EntoncesB2n+1∈(HA)∩ D

n _{, luego}_Dn _{es denso en}

H. En segundo lugar al serDn _intersecci´_{on finita de abiertos es abierto.} Ahora bien, sea B una diagonalizaci´on de {Dn_}

n∈ω y s ∈ [B]<ω, entonces si

n =max(s) como B ∈ Dn _{⊆ D}

s tenemos que B decide a s, esto termina la prueba puessera arbitrario.

DadoB como en la Proposici´on 2 arriba, siB acepta a ∅ entonces (b) del enunciado del lema vale, luego podemos asumir que B rechaza a∅. Para cada

s∈[B]<ω _{rechazado por}_B _sea

Es:={C∈ HB:C rechazas∪ {n}para cadan∈C/s},

de lo contrario definimos Es := H B. Por la Proposici´on 1, los conjuntos Es son densos bajoB enH. SiEs:=HB esto es claro; de lo contrarioBrechaza a s, sea A ∈ H B y C el conjunto de los n ∈ A tales que A no acepta a

s∪ {n}. Por la Proposici´on 1, C ∈ H. Adem´as, como B decide cada uno de sus subconjuntos finitos, en este contexto no aceptar es lo mismo que rechazar,

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3. Preliminares 14

luego C∪srechaza as∪ {n} para cada n∈(C∪s)/s, esto es (C∪s)∈ Es y (C∪s)⊆A). Utilizando la semiselectividad deHencontramosD∈ Htal que

D/s∈ Espara cadas∈[B]<ω,

entonces se sigue (por inducci´on en la longitud de s)4 _que_D _{rechaza todos sus}

subconjuntos finitos; en particular todo s⊆D no est´a enF, luego si tomamos

D =B tenemos que (a) en el enunciado del lema vale, esto termina la prueba.

4_{El caso base ser´ıa el siguiente, sea}_d_∈_D_{, como}_D_{∈ E}

∅, entoncesDrechaza a{d}. Para el

paso inductivo, tomamoss∈[D]n+1_{y suponemos que}_D_{rechaza cada elemento de [}_D_]<n+1_.

Searel conjunto de losnprimeros elementos des, entoncesDrechaza aryD/rrechaza as, seaC∈[s, D]∩ H, entoncesC∈[s, D/r]∩ H, luegoCno acepta as. ComoCera arbitrario

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3.2. Forcing

El Forcing es un herramienta muy poderosa para construir modelos de la teor´ıa de conjuntos, inventada en 1963 por Paul Cohen, quien la utiliz´o para probar la independencia de la hip´otesis del continuo (CH)5_{, construyendo un}

modelo de la teor´ıa de conjuntos donde CH falla. Demostrando as´ı que CH no puede ser probada con los axiomas de ZFC.

La idea ingenua es empezar con un modelo M (el modelo base) y extenderlo añadiendo un nuevo conjunto G. El modelo resultante M[G], es grosso modo una colección minimal de conjuntos que contiene tanto aM como aGy, lo más importante, también satisface ZFC. Para una mejor comprensión del método es conveniente definir algunos conceptos.

Definición 3.2.1. Un orden parcial de forcing es una tripla (_P,≤,1), tal que≤es un preorden (i.e una relación binaria reflexiva y transitiva ) sobre_Py 1es el elemento más grande (∀p∈_Pp≤1).

A los elementos de_Plos llamamos condiciones de forcing. La genialidad de Cohen fue introducir condiciones de forcing que dan información parcial sobre un objeto ideal Gy después demostrar que un talG“genérico” existe:

Definici´on 3.2.2. Un filtroG⊆P esP−gen´erico sobreM si para todo denso D elemento deP(P)∩M vale queD∩G6=∅.

La construcci´on es t´ıpicamente de la siguiente forma: fijamos un orden parcial de forcingPque pertenece aM (modelo base), escogemosGun filtroP−gen´

eri-co sobre M (existe por el Lemma IV.2.3 en [K]), si P no tiene ´atomos (ver

definición 2.0.1) G6∈M (por Lemma IV.2.4 en [K]) . InformalmenteM[G] es la colección de todos los conjuntos que pueden ser construidos a partir deGy elementos deM utilizando “procesos sencillos de la teor´ıa de conjuntos”. Todo elemento deM[G] va a tener unnombreenM que describe cómo es construido. Por ejemplo, el filtroGtiene un nombre canónico Γ tal que su valor segúnGen el modeloM[G] esG(en s´ımbolosval(Γ, G) =G, ver definición IV.2.6 y Lemma IV 2.12 ), en consecuenciaG∈M[G]. Más aún, todo elementox∈M tiene su nombre ˇxtal queval(ˇx, G) =x, entoncesM ⊆M[G] (ver Lemma I.V.2.10). En otras palabras, M[G] es la colección de todas las evaluaciones de nombres que se pueden crear conGy elementos deM.

Los siguientes dos lemas solamente los enunciaremos, pero el lector puede en-contrar sus pruebas en la secci´on IV en [K].

AunqueM 6=M[G], tienen algunas cosas en com´un:

Lema 3.2.1. SiM es un modelo transitivo de ZF-P conP∈M yGes un filtro

sobre Pentonces:

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3. Preliminares 16

1. M y M[G]tienen los mismos ordinales. 2. |M|=|M[G]|.

Definición 3.2.3. Para un c.p.oP, el lenguaje de forcing F LP es la clase de fórmulas lógicas formadas usando la relación binaria∈ y todos los nombres en

VP_{, como s´ımbolos de constante.}6

Antes de enunciar el siguiente lema, necesitaremos la definici´on que funda-menta el forcing:

Definici´on 3.2.4. SeanM un modelo contable y transitivo de ZF-P,_P∈M un c.p.o de forcing, y ψ una sentencia del lenguajeF L_P∩M. Entonces p_P,M ψ si y solamente si : M[G] |=ψ para todo G filtro_P−gen´erico sobre M tal que

p ∈ G. Omitiremos el sub´ındice P, M en el s´ımbolo cuando sean claros del

contexto. “pψ”se lee “pfuerza aψ”.

Lema 3.2.2. (Lema de la verdad)SeaM un modelo contable y transitivo de ZF-P, seaP∈M un orden parcial de forcing, seaψuna sentencia enF LP∩M, y seaG P−gen´erico sobreM. EntoncesM[G]|=ψsi y s´olo si existe p∈G tal

que pψ.

Siempre que _P, G ∈M sean un orden parcial y un filtro _P−gen´erico sobre

M, respectivamente; existe un modeloM[G] cuya estructura está determinada por_P. Por cada_Ptenemos una noción de forcing diferente. En este documento estudiamos tres nociones de forcing, incluyendo el Forcing de Levy y el de Mat-hias, expuestos a continuación.

El Teorema 5.0.6 es válido en la extensión genérica resultante de forzar con el Colapso de Levy y en la demostración se utiliza que en la extensión gen´ eri-ca M[G] hay genéricos correspondientes a el orden de Mathias en M. Por lo anterior debemos familiarizarnos con estas dos nociones de Forcing.

3.2.1. Colapso de Levy

El colapso de Levy es un orden parcial de forcing de gran importancia. En Julio de 1970 Solovay [S] publicó un art´ıculo en el que muestra la existencia de un modelo de ZF con propiedades muy interesantes, tales como que en ese mo-delo todo conjunto de reales tiene la propiedad de Baire, es Lebesgue medible, y no es contable contiene un conjunto perfecto. La construcción de tal modelo utiliza la técnica del Forcing con respecto al colapso de Levy. A continuación se define y se exponen algunas propiedades de esta noción de Forcing.

Definici´on 3.2.5. Sea λ un ordinal. Definimos Col(ω, < λ) como el conjunto de todas las funciones tales que:

(17)

1. dom(f)∈[λ×ω]<ω_; 2. rang(f)⊆λ;

3. f((α, n))< α siempre que (α, n)∈dom(f). Ordenamos a Col(ω, < λ) por⊇.

El c.p.o Col(ω, < λ) se conoce como colapso de L´evy, el siguiente lema justifica tal nombre.

Lema 3.2.3. SeaGun filtroM-gen´erico sobreCol(ω, < λ). Seaα < λ. Enton-ces el conjunto:

fα:={(n, β) :{((α, n), β)} ∈G}, es una funci´on sobreyectiva deω enα.

Demostraci´on. En primer lugar fα es una funci´on, pues si (n, β) y (n, η) ∈

fα, entonces ((α, n), β) y ((α, n), η) ∈ G. Dado que G es un filtro existe una condici´onq(funci´on) que extiende a ambas condiciones, luego:

β=η=q((α, n)).

En segundo lugardom(fα) =ω, para cadan∈ω el conjunto

{p∈Col(ω, < λ) : (α, n)∈dom(p)}

es denso, as´ı para alg´un q ∈ G la dupla (α, n) ∈ dom(q), consecuentemente

q≤ {((α, n), q((α, n))} ∈G, esto implica n∈dom(fα).

Por ´ultimo fα es sobreyectiva, pues siβ < α, entonces el conjunto:

{p∈Col(ω, < λ) :∃n∈ω((α, n)∈dom(p)∧p(α, n) =β)}

es denso, de esta manera para alg´unq∈Gexisten∈ω tal queq((α, n)) =β, en consecuenciaq≤ {((α, n), β)} ∈G. Concluimosβ∈rang(fα).

Corolario 3.2.1. SeaGun filtroM-gen´erico sobreCol(ω, < λ). Entoncesλ≤ ℵM₁ [G].

Demostraci´on. Por el lema anterior para cadaα∈[ω, λ) existe una sobreyecci´on

fα:ω−→αenM[G].

En este contexto si λ es inaccesible (ver secci´on 3.3), el modelo M[G] es llamado el modelo de Levy.

Teorema 3.2.1. (Solovay)En el modelo de Levy, todo conjunto de reales en

L(R)es Lebesgue medible.

.

Para el lector que no este familiarizado con la definici´on deL(R) la damos

(18)

3. Preliminares 18

L(_R)el modelo interno más pequeño que contiene todos los reales Un modelo interno de ZF es una clase transitiva que contiene todos los ordinales y satisface todos los axiomas de ZF. El universo de los conjuntos constructibles a partir deR, es decir el modelo interno más pequeño que contiene

al conjuntoRes denotado porL(R). La construcci´on de este modelo se basa en la

construcción deL, el universo construible de Gödel, la ilustramos a continuación. En primer lugar, para un conjunto M definimos:

def(M) :={X ⊆M :X es definible sobre (M,∈)},

dondeXes definible sobre (M,∈) si y s´olo si existenϕuna f´ormula del lenguaje de la teor´ıa de conjuntos (i.e del lenguaje {∈}) ya1, ...an∈M, tales que

X ={x∈M : (M,∈)|=ϕ[x, a1, ..., an]}.

Sea T la clausura transitiva de{_R} 7 _{. Entonces definimos inductivamente} L0(R) = T

Lα+1(R) = def(Lα(R)) Lλ(R) =

[

α<λ

Lα(R) (λordinal l´ımite)

L(R) = [

α∈Ord

Lα(R).

L(R) satisface ZF pero no el axioma de elecci´on.

3.2.2. Forcing de Mathias

El forcing de Mathias es una noci´on estrechamente relacionada con la Teor´ıa de Ramsey, su nombre se debe a que fue introducida por A.R.D Mathias en 1977 [M].

Sea Hun coideal, el forcing de Mathias asociado aHes el c.p.oMH, com-puesto de condiciones (s, A)∈[ω]<ω× Htales quemax(s)< min(A), ordenado de tal manera, que una condición (s, A) es más fuerte que otra condición (t, B) si:

i. swt

ii. A∪(s\t)⊂B

7_{Informalmente la clausura transitiva de un conjunto}_A_{es el conjunto que contiene a los}

elementos deA, los elementos de los elementos deA, los elementos de los elementos de los elementos deA, etc.

(19)

La idea es que la condici´on (s, A), determina un segmento inicialsde un nuevo subconjunto de ω en H, con “ra´ız”s y “tallo¸contenido en A. Si (s, A)6⊥(t, B) (i.e son compatibles) entonces A∩B∈ Hysdetermina un segmento inicial de

t o viceversa. As´ı si Ges_MH-gen´erico, entonces Gdetermina un subconjunto deω (real de Mathias):

xG:=

[

{s:∃A((s, A)∈G)},

Dado que G es MH−genérico sobre M si y sólo si para todo denso D ∈ M existe (sD, SD)∈G∩D, es apenas natural, decir que xG ∈[ω]ω es un real de Mathias genérico si y sólo si para cada denso D∈M, existe (sD, SD)∈D tal quexG∈[sD, sD].

A su vez, de manera naturalxG determina aG. En efecto, si

H ={(s, A)∈MH:xG∈[s, A]} entonces:

a) G⊆H y

b) H es_MH-gen´erico.

Note que (a) y (b) implicanH =G, pues para cada condici´on (s, A) el conjunto:

{(t, B)∈MH: (t, B)≤(s, A)∨(t, B)⊥(s, A)}

es denso en MH. De esta manera si (s, A) ∈ H \G entonces por genericidad de G, existe (t, B) ∈ G tal que (t, B) ⊥ (s, A), adem´as (por (a)) (t, B) ∈ H

contradiciendo (b) (con mayor presici´on, se niega la genericidad deH), en con-secuenciaH ⊆G.

Veamos que (a) y (b) valen. En primer lugar, si (s, A)∈G, entonces para cual-quier elemento (t, B) ∈G (por compatibilidad ) svt o t vs, luego svxG. Adem´as sin∈xG\sentonces existe (u, C)∈Gtal quen∈u, necesariamente

u w s y existe (v, D) testigo de la compatibilidad de (u, C) y (s, A). De esta manera n∈v\s⊆A, luegon∈A; concluimosG⊆H.

Ahora, para verificar (b), afirmamos que si (s, A),(t, B) ∈ H, entonces (s∪t, A∩B) es un predecesor común de las anteriores dos condiciones. Pa-ra justificar esto probamos primero que las dos condiciones son compatibles. Observamos lo siguiente, al ser s y t segmentos iniciales de xG, uno debe ser segmento inicial del otro, sin perder generalidadsvt(luegos∪t=t). Además por la siguiente proposiciónA∩B∈ H.

(20)

3. Preliminares 20

Demostraci´on: Trabajamos todo el tiempo en el modelo baseM. Dej´amos que

Hdecida,X ∈ H (en este caso ya est´a) oZ :=ω\X ∈ H. El caso interesante es el ´ultimo. Consideramos el siguiente conjunto denso enM del orden_MH:

D:={(e, E) : (∅, Z)⊥(e, E)∨(e, E)≤(∅, Z)}

Ahora utilizando la genericidad de G, sabemos que existe (r, R)∈ D ∩G. Hay dos casos (r, R)≤(∅, Z) o (r, R) ⊥(∅, Z). Con el primer caso llegamos a una contradici´on pues tendr´ıamosxG⊆r∪R⊆Z (la primera contenencia se tiene porque (r, R) ∈ G) y xG ⊆ A∩B(= ω\Z). Ahora bien, en el segundo caso no existe (j, J)∈MH testigo de la compatibilidad entre (∅, Z) y (r, R), adem´as

R = (R\Z)∪(B∩Z), entonces R∩(A∩B) = R\Z ∈ H (de lo contrario (r, R∩Z) ser´ıa t´estigo de la compatibilidad de las dos condiciones). Lo anterior implica X∈ Hpor la definici´on de un coideal. En cualquier casoX ∈ H

Trivialmente (t, A∩B)≤(t, B), por otra partet\s⊆xG\s⊆A, entonces (A∩B)∪(t\ s) ⊆ A, esto es (t, A∩B) ≤ (s, A). Ahora probamos que H

es cerrado hacia arriba, si (s, A) ≤ (u, C) entonces u v s _@ xG y xG\u = (xG\s)∪(s\u)⊆A∪(s\u)⊆C. Lo anterior muestra que H es filtro. Por ´

ultimo H intersecta todos los densos en_MHpues a. vale yGesMH-gen´erico. Acabamos de mostrar que V[G] =V[xG]. Llamamos a xG un real de Mathias, m´as precisamente, siM es un∈-modelo transitivo deZF C yx⊆ω :

xes unreal de Mathias sobreM ⇔x=xG para alg´unG,MMH-gen´erico sobreM

El siguiente teorema fue demostrado por Mathias paraHun coideal selectivo. Teorema 3.2.2. Sea Hun coideal semiselectivo entonces:

1) Para cada condici´on (s, A) ∈ MH y toda f´ormula ϕ en el lenguaje de forcing, existeB∈ HAtal que(s, B)decideϕ(en s´ımbolos (s, B)kϕ) es decir o bien(s, B)ϕ o(s, B)¬ϕ.

2) Si x es un real de Mathias sobre M, entonces cada elemento y ∈ [x]ω tambi´en es un real de Mathias sobre M.

En la literatura (1) y (2) se conocen como lapropiedad de Prikryypropiedad de Mathias, respectivamente.

Demostraci´on. Veamos que (1) vale, sea (s, A) ∈ MH y ϕ una f´ormula en el lenguaje de forcing. Para cada twsdefinimos

(21)

Los conjuntosDtson abiertos densos en (HA,⊆∗). SeaBuna diagonalizaci´on de{Dn :=Tmax(t)≤nDt}n∈ω.Definimos

F1:={t∈[ω]<ω: (s∪t, B)ϕ},F2:={t∈[ω]<ω: (s∪t, B)¬ϕ}.

Aplicando el lema 3.1.4 de Nash- Williams, Galvin para coideales semiselectivos a F1 y despu´es aF2, obtenemosC∈ HB tal queF1 tiene una barrera enC

o Cno contiene subconjuntos finitos enF1yF2 tiene una barrera enC oCno

contiene subconjuntos finitos enF2.

Afirmamos que (s, C)kϕ. De lo contrario existen (t1, C1),(t2, C2)≤(s, C) tales que (t1, C1)ϕy (t2, C2)¬ϕ.

Parai= 1,2 vale queti\s∈ Fi∩[C]<ω(puesB ∈ Dti), as´ı siO∈[C]ω, entonces

Oposee un segmento inicialui∈ Fi(parai= 1,2). Por lo tanto (s∪ui, B)(para

i= 1,2) son condiciones compatibles (pues (s∪u1∪u2, O) es predecesor com´un)

tales que una fuerza ϕy otra ¬ϕ; una contradicci´on. .

La demostración de (2) se dará en el cap´ıtulo 4. Estudiando la prueba Ilijas Farah de esta afirmación en [F], encontramos algunos inconvenientes. Presenta-mos una prueba alternativa que sigue la dePresenta-mostración de Mathias de la misma propiedad para coideales selectivos.

(22)

3. Preliminares 22

3.3. Grandes cardinales

En esta sección se presentan algunos cardinales que se denominan grandes, esto debido en parte a que tienen la propiedad que su existencia es indemostrable en ZFC y son cardinales que tienen propiedades que los sitúan por encima de cardinales menores de modo que resultan inalcanzables mediante operaciones aplicadas a esos cardinales más pequeños. Recordemos, por el segundo Teorema de incompletitud de Gödel, si ZFC es consistente, entonces

ZFC6`“ZFC es consistente”.

La existencia de un cardinal fuertemente inaccesible (ver definición 3.3.5) im-plica que existe un modelo de ZFC, as´ı, asumir su existencia conlleva a estudiar otra teor´ıa más rica que (de nuevo por el segundo Teorema de incompletitud de Gödel) “hereda la misma enfermedad”, es decir no puede probar su propia consistencia. En ZFC no se puede entonces probar que exista un cardinal fuer-temente inaccesible, pues ZFC no puede deducir que tiene modelos.

Admitir la existencia de un cardinal fuertemente inaccesible, nos permite definir nuevos cardinales m´as grandes, como los cardinalesMahlo(ver definici´on 3.3.6) introducidos por Paul Mahlo.

La hipótesis más fuerte que consideraremos será la existencia de un cardinal Π1₁−indescriptible (ver definición 3.3.2).

Decimos que una f´ormulaφes Π11, si es de la forma

∀Xϕ,

dondeX es una variable de orden 2 (i.eX hace referencia a un subconjunto del universo, que puede ser una clase propia de ese universo). Por ejemplo, si ψ(X) es una fórmula que dice “X es un nombre para una sucesión de densos abiertos de ˙H”, la fórmula

∀D˙∀τ(pcol(ω,<λ)(ψ( ˙D)∧τ∈H˙)−→(∃x(x∈H˙, x⊆τ, xdiagonaliza ˙D)))

es Π1

1. En este casoϕtiene ap,H˙ como par´ametros. Este ejemplo, aunque parece

un poco esotérico, será útil en la prueba del Teorema 5.0.6.

Definición 3.3.1. Sea α un ordinal. Una fórmula φ describe a α con pa-ramétrosU1, ..., Uk⊆Vα, si

(Vα, E(Vα))|=φ(U1, ..., Uk), pero para cadaβ < α

(23)

Ahora, si Ω es una colecci´on de f´ormulas definimos:

Definición 3.3.2. αes Ω−indescriptible si ninguna fórmula en Ω describe aα. Un caso particular de la anterior definición, se da cuando Ω es la colección de las fórmulas Π1

1, de ser esta la situaci´on decimos queαes Π11−indescriptible.

Para entender mejor el tama˜no de los ordinales que acabamos de definir, es ´

util introducir los siguientes conceptos.

Definici´on 3.3.3. Sea β un ordinal, definimos

cof(β) :=min{κ:κes ordinal l´ımite y∃(ξα∈β)α∈κ(

[

α∈κ

ξα=β)}

Definici´on 3.3.4. Un cardinalκes regular sicof(κ) =κ. Si un cardinalκno es regular decimos que essingular.

Definici´on 3.3.5. Un cardinalκes fuertemente inaccesible si es regular y para cadaη < κ vale que 2η < κ.

Definición 3.3.6. κesMahlo si y sólo si toda función normal sobreκtiene un punto fijo fuertemente inaccesible.

Teorema 3.3.1. SiκesΠ1

1indescriptible entoncesκes fuertemente inaccesible.

Demostraci´on. Supongamos que κ no es fuertemente inaccesible. Entonces o bien κes sucesor, oκes singular, o existeα < κ tal queκ≤2α_.

En el primer caso si existe γ ordinal tal que κ = γ+ 1 entonces si A1 es el s´ımbolo del predicado unario{γ}, tenemos

(Vκ, E(Vκ),{γ})|=∃x(A1(x)), pero para cadaβ < κvaleVβ∩ {γ}=∅, luego

(Vβ, E(Vβ), Vβ∩ {γ})|=¬∃x(A1(x)).

Entonces existe una f´ormula Π11 que describe κ, contradiciendo la hip´otesis.

Ahora, siκes singular, existenγ < κyf :γ−→κno acotada enκ. Entonces si tomamos{γ}yfcomo param´etros conA1yA2como s´ımbolos correspondientes,

tenemos

(Vκ, E(Vκ),{γ}, f)|=∃x(A1(x)∧A2:x−→Ord).

Sin embargo siβ < κ

(24)

3. Preliminares 24

pues siβ ≤γ entonces Vβ∩ {γ}=∅ y si β > γ existe η ∈γ tal quef(η)> β luego η no tiene im´agen en Vβ, esto implica quedom(f)6=γ enVβ. De nuevo llegamos a queκes Π1

1−descriptible, una contradicci´on.

Finalmente, si se da el ´ultimo caso, seaf :P(α)−→κsobre. Tomamos {α} y

f como param´etros con s´ımbolos de predicadosA1 yA2, respectivamente, as´ı (Vκ, E(Vκ),{α}, f)|=∃x(A1(x)∧A2:P(x)−→Ord).

Pero si β ≤ αentonces Vβ∩ {α} =∅ y si α < β < κ como f es sobre en κ muchos elementos deP(α) no tienen im´agen enVβ, entoncesf no ser´ıa funci´on. Lo anterior muestra que para cadaβ < κ

(Vβ, E(Vβ),{α} ∩Vβ, f∩Vβ)|=¬∃x(A1(x)∧A2:P(x)−→Ord), igualmente una contradicci´on.

Teorema 3.3.2. Si κesΠ1

1−indescriptible, entonces κes Mahlo.

Demostraci´on. Tenemos que probar que si f : κ−→κ es una funci´on normal (i.e creciente y continua) entonces existe β < κfuertemente inaccesible tal que

f(β) = β. Primero notamos que la inaccesibilidad fuerte puede ser expresada por la f´ormula Π1

1

∀X[(F U N C(X)∧ ∃x(x=dom(X)∨ P(x) =dom(X))→ ∃y(y=rang(X))] (dondeX es una variable de segundo orden yxuna variable de primer orden), llamaremos a la anterior f´ormulaInac. Entonces

((Vβ, E(Vβ))|=Inac)⇐⇒βes fuertemente innaccesible.

SeaB:=rang(f), yAsu s´ımbolo de predicado unario, entonces por el Teorema 3.3.1

(Vκ, E(Vκ), B)|=Inac∧Aes no acotado. Ahora utilizando queκes Π1

1−indescriptible, sabemos que existeβ < κtal que

(Vβ, E(Vβ), B∩Vβ)|=Inac∧Aes no acotado.

Entonces β es fuertemente inaccesible y comoB∩Vβ ={f(α) :α < β} es no acotado en β, tenemos queβ =supα<βf(α) =f(β), luegoβ es un punto fijo fuertemente inaccesible de f.

(25)

SEMISELECTIVOS

El prop´osito de este cap´ıtulo es probar la propiedad de Mathias deMH pa-ra Hun coideal semiselectivo (ver Teorema 4.0.5). Informalmente la idea de la prueba es la siguiente: se muestra que al forzar con el orden (H,⊆∗_{) se agrega}

U un ultrafiltro selectivo (Lema 4.0.2), y no se agregan nuevos reales (Corola-rio 4.0.1 ). Dado que U es un ultrafiltro selectivo, podemos considerar el orden

MU en la extensión genérica. Resulta que para cadaGfiltroMH−genérico so-bre M, existen un ultrafiltro selectivo U (agregado por (H,⊆∗_{)) y} _H _{un filtro}

MU−gen´erico sobre M[U], tales queM[G]=M[U][H] (Teorema 4.0.4). Con los anteriores ingredientes a la mano, es muy sencillo probar que _MH tiene la pro-piedad de Mathias (Teorema 4.0.5).

Comenzamos probando unos lemas:

Aunque el rec´ıproco del siguiente lema también es cierto (ver 0.10 Proposi-ción en [M]), no lo probaremos, pues no lo necesitaremos en la demostración del teorema principal de esta sección (Teorema 4.0.5).

Lema 4.0.1. Sea U un ultrafiltro no principal en [ω]ω, supongamos que para toda coloraci´on [ω]2 =C1∪ C2 existe un conjunto homog´eneo B ∈ U, entonces

U es un ultrafiltro selectivo1 .

Demostraci´on. Sea (An)n∈ω una sucesi´on decreciente (respecto al orden⊇) de elementos deU. Para cada conjuntoAi definimos:

Oi:={{i, a}:a∈Ai/i},

y consideramos la coloraciónC1=Si∈ωOi,C2= [ω]2\ C1. Por hipótesis existe B ∈ U homogéneo asociado a esta coloración. Hay dos casos, el primero es [B]2 _{⊆ C}

1, en este caso escogemos n∈ B ym ∈ B/n, entonces {n, m} ∈ On,

esto implica m∈An/n, es decirB diagonaliza a (An)n∈ω . El segundo caso es [B]2_{⊆ C}

2, pero esto no se da pues [B]2⊆Tn∈ω[ω]2\Onimplica queB/n∩An=

∅, contradiciendo queU es ultrafiltro no principal.

(26)

4. Propiedades del forcing con coideales semiselectivos 26

Lema 4.0.2. Sea H un coideal semiselectivo entonces al forzar con el orden parcial _P:= (H,⊆∗₎_{se a˜}_{nade un ultrafiltro selectivo del orden contenido en}_H_. De hecho si U es _P-gen´erico entonces U es un ultrafiltro selectivo.

Demostración. Sea U un filtro_P−genérico, veamos que U es un ultrafiltr, note que la relación⊆está contenida en⊆∗_{, as´ı, si}_A_{∈ U} _y_A_⊆_B _entonces _B_{∈ U}_. Por otra parte, siA, B∈ U, entonces existeC∈ U tal queC⊆∗_A_∩_B_{(pues son} compatibles), luegoA∩B∈ U; esto es,U es un filtro del orden (H,⊆). Además, si A ∈ [ω]ω_{, sabemos que} _H _decide, _A _{∈ H} _o _ω_\_A _{∈ H}_{, en consecuencia el} conjunto

{X∈ H:X⊆A∨X ⊆ω\A}

es denso enP. Concluimos por la genericidad deU queU es un ultrafiltro.

Ahora para ver queU es selectivo, observamos que toda coloraci´on [ω]2₌_C 1∪C2

tiene un conjunto homog´eneo enU. En efecto siC ∈ H, por el lema de Nash-Williams, Galvin aplicado a la familia C1 y al coideal semiselectivo H C ,

tenemos que existeBC∈ HCtal queC1tiene una barrera contenida enBC o [BC]<ω∩ C1=∅ , en el primer caso [BC]2⊆ C1 y en el segundo [BC]2⊆ C2. Lo

anterior muestra que el conjunto {BC :C∈ H} es denso en (H,⊆∗), entonces por genericidad deU existeB ∈ U homog´eneo, tal como lo hab´ıamos afirmado. Por ´ultimo el lema 4.0.1 implica queU es selectivo.

En teor´ıa de conjuntos se dice que un orden parcial de forcing esσ−distributivo si toda colecci´on{Dn}n∈ω de conjuntos densos abiertos en este orden, tiene la propiedad queT

n∈ωDn tambi´en es denso abierto.

El orden (H,⊆∗_{) es} _σ₋_{distributivo, pues si}_D _{es denso abierto en (}_H_,_⊆∗₎ tambi´en es denso abierto en (H,⊆), as´ı si{Dn}n∈ω es una colecci´on de densos abiertos en (H,⊆∗_{), para cada}_k_∈_ω _definimos:

Dk:= \ i≤k

Di.

Naturalmente para cada k∈ω vale que Dk _{es denso abierto en (}_H_,_⊆_), enton-ces como H es semiselectivo, el conjunto de diagonalizaciones de {Dk_}

k∈ω es denso en (H,⊆). Más aún, si B es una diagonalización de {Dk_}

k∈ω y n ∈ ω, tenemos que para alg´unk∈ B vale que k > n, entonces B/k ∈T

i≤kDi; esto es, B/k ∈ Dn, y comoDn es denso abierto en (H,⊆∗) es cierto que B ∈ Dn. Lo anterior muestra que el conjunto de todas las diagonalizaciones de{Dk_}

k∈ω est´a contenido enT

n∈ωDn, en consecuencia la intersección es densa abierta. El siguiente teorema lo enunciamos sin demostrarlo en su versión más gene-ral, de todos modos el lector puede encontrar su prueba en [J] Thm 15.6.

(27)

Teorema 4.0.3. Sea _Pun orden parcial de forcingσ−distributivo, entonces si

G es_P−gen´erico sobre M y f ∈M[G] es una funci´on de ω en M se tiene que

f ∈M.

Demostraci´on . Sea ˙f un nombre para la funci´onf, entonces por el lema 3.2.2 existen p0∈_P, yA∈M tales que:

p0f˙: ˇω→Aˇes una funci´on.

Adem´as, por propiedades generales de forcing, para cadan≤ω el conjunto

Dn:={p≤p0:∃x∈A(pf˙(ˇn) = ˇx)},

es denso abierto bajop02. Entonces comoPesσ−distributivoD:=Tn∈ωDnes denso abierto bajop0. De esta manera, por la genericidad deGexisteq∈G∩ D

tal que para cada n∈ω existexn∈Ay

qf˙(ˇn) = ˇxn.

Definimos g : ω → A de manera natural g(n) = xn. Sea n ∈ ω entonces

g(n) =xn=val(ˇxn, G) =val( ˙f(ˇn), G) =f(n); esto es,f ∈M.

Corolario 4.0.1. SeaHun coideal semiselectivo, entonces al forzar con(H,⊆∗₎ no se a˜naden nuevos reales.

Demostraci´on. Es inmediato del teorema anterior, pues como observamos arri-ba, (H,⊆∗_{) es}_σ₋_{distributivo, y todo subconjunto de}_ω _est´_{a codificado por su} funci´on caracter´ıstica.

Para probar el Teorema 4.0.4 necesitamos introducir algo de notaci´on y enunciar un lema probado por Mathias en [M].

Definici´on 4.0.7. SeanU un ultrafiltro selectivo,D⊆MU ys∈[ω]<ω. Dire-mos queX capturaal parhs, Di, si

1. X∈ U ymax(s)≤min(X)

2. ∀Y ∈[X]ω_∃_t_v_Y₍₍_s_∪_{t, X/max}₍_t₎₎_∈_D₎

Lema 4.0.3. SeanU un ultrafiltro selectivo yD⊆MU denso abierto. Entonces para cada s∈[ω]<ω _existe_X _{que captura a}_h_{s, D}_i_.

La siguiente prueba ha sido modificada de [M], la mayor diferencia es que Mathias no utiliza el Lema 3.1.4.

(28)

Demostraci´on. DefinimosZ :=ω/s, para cadat∈[ω]<ω _escogemos_Y

t∈ U tal que (s∪t, Yt)∈Dsi existe, de lo contrarioYt=Z/t. SeaY una diagonaliaci´on de {Yt}t∈[ω]<ω, as´ı para cada t ∈ [Y]<ω, si existe Y0 tal que (s∪t, Y0) ∈ D

entonces (s∪t, Y /t)≤(s∪t, Yt)∈D, luego (s∪t, Y /t)∈D. Consideramos la siguiente familia

F:={t∈[Y]<ω:∃Y0((s∪t, Y0))∈D},

aplicamos el Lema 3.1.4 (Nash-Williams, Galvin) a el coideal semiselectivo U; existe X ∈ U tal que [X]<ω_{∩ F} ₌ _∅ _{o para cada} _W _∈ _[_X_]ω _existe _t _v _W tal que t ∈ F. Si se da el segundo caso abr´ıamos acabado la prueba, pues

X/s capturar´ıa a hs, Di. Dado que existe (a, A)∈D tal que (a, A)≤(s, X/s) entoncesa\s∈[X]<ω∩F, en consecuencia el primer caso no se da, esto termina la prueba.

Lema 4.0.4. SeaD∈M denso enMH, entonces

D0 := {(s, A)∈D:A∈ U } ∈M[U]y

D00 := {S:∃s((s, S)∈D)}

son densos, respectivamente, en _MU y(H,⊆∗).

Demostraci´on. Dado que M ⊆M[U] y D ∈ M tenemos que D ∈ M[U], na-turalmente tambi´en U ∈M[U], entonces D0 ∈M[U]. Queremos ver que D0 es denso en MU, para esto sea (s, A) ∈ MU, si encontramos (t, B) ∈ D0 tal que (t, B)≤(s, A) acabar´ıamos la prueba. Consideremos el conjunto

X :={X ∈ H:∃tws((t, X)∈D)}.

Veamos que X es denso bajoA respecto al orden (H,⊆∗). Sea C ∈ Htal que

C⊆∗_A_{, definimos}

R:=C∩A⊆A,

note que siC=R∪rdonde|r|< ω entoncesR∈ H. Adem´as por la densidad de D, existe (t, X)∈ D tal que (t, X)≤(s, R) luego X ∈ X yX ⊆R ⊆∗ _C_; esto es, X es denso.

Ahora bien, dado que U es (H,⊆∗_)-gen´_{erico sobre M, existe} _B _{∈ X ∩ U}_, _esto implica que existe t ws tal que (t, B)∈D∩D0 =D0 y (t, B)≤(s, A), como fue anunciado, lo anterior concluye la prueba paraD0.

Por otra parte siX∈ H, existe (s, S)∈Dtal que (s, S)≤(∅, X) luegoS⊆∗_X yS∈D00.

El siguiente teorema ha sido adaptado de [M] a nuestra notaci´on.

Teorema 4.0.4. Sean M un modelo transitivo de ZF+DCR, y H un coideal semiselectivo en M.

(29)

i. Si x es _MH gen´erico sobre M y U := {X ∈ ([ω]ω)M : |x\X| < ω}, entonces U es un ultrafiltro selectivo en M[U] y es gen´erico sobre M con respecto al orden(H,⊆∗_{). M´}_{as a´}_un _x_es

MU−gen´erico sobreM[U]. ii. Si U es (H,⊆∗₎₋_gen´_{erico sobre} _M_{, y} _x _es

MU−gen´erico sobre M[U], entoncesxes _MH−gen´erico sobreM.

Demostraci´on de (i). Sea xMH−gen´erico. Como para cadaY ∈([ω]ω)M \ H el conjunto

{(s, S)∈MH:S∩Y =∅},

es denso, necesariamente Y ∩x es finito. En consecuencia al ser la siguiente igualdad verdadera

x= (x\Y)∪(Y ∩x),

U ⊆ H. SeaD ∈M denso abierto en (H,⊆∗_{), definimos}

D0:={(s, S)∈MH:S∈ D};

para cada (s, S) ∈ _MH existe A ∈ D tal que A ⊆∗ S, por este motivo existe

k∈ω tal que (s, A/k)≤(s, S), y como Des abierto (s, A/k)∈ D0_{; esto es,} _D0 es denso. Adem´as D0_∈_M_{, entonces por genericidad de}_x_{existe (}_{s, S}₎_{∈ D}0 _tal quex∈[s, S], entonces|x\S|< ω; es decir,S ∈ U ∩ D. Ya queDera arbitraio

U es (H,⊆∗₎₋_gen´_{erico sobre} _M_{. Por el corolario 4.0.1 [}_ω_]ω_∩_M_[_U_] _⊆_M_{, en} consecuencia tenemos la siguiente proposici´on

Proposici´on xesMU−gen´erico sobreM[U].

Demostraci´on: Sea D ⊆ MU denso abierto en M[U]. Por el lema 4.0.3, para cadas∈[ω]<ω∩M[U] podemos escogerXsque capture ahs, Di(existe por ser

U selectivo). Sea X ∈ U una diagonalizaci´on de{Xs}s∈[ω]<ω. Por definici´on de

U sabemos que|x\X| < ω, entonces existen ∈xtal quex\X ⊆x∩n. Sea

s=x∩(n+ 1), as´ımax(s)∈X, luegox/max(s)⊆X/max(s)⊆Xs; ya queXs captura a hs, Dientonces X/max(s) tambi´en captura a hs, Di. De lo anterior sabemos que la siguiente afirmaci´on es cierta enM[U]:

∀Y ⊆X/max(s)∃tvY((s∪t, X/max(t∪s))∈D). (4.1) Sea O:={t∈[ω]<ω _:_t_⊂_X/max₍_s₎_,₍_s_∪_{t, X/max}₍_s_∪_t₎₎_6∈_D_}_{, y ordenemos} a O port ≺r si y sólo si rvt yt 6=r. Entonces (O,≺)∈M[U] y está bien fundamentado, pues para cada condiciónt ∈ O existe r tal que t v r 6∈ O y ningúns wr está en O, esto último implica que no pueden haber ≺cadenas descendentes infinitas.

(30)

ZF-P3_{, en}_M_[_x_{] el orden}_O_tambi´_{en est´}_{a bien fundamentado. En consecuencia}

la afirmaci´on 4.1 tambi´en vale en M[x], esto es, existe t _@x/max(s) tal que (s∪t, X/max(s∪t))∈D, entoncessvx⊆(X/max(s∪t))∪(s∪t), luegox

es_MU−gen´erico sobreM[U].

Falta mostrar queU es un ultrafiltro, pero esto es sencillo, siX, Y ∈ U entonces

x\(X∩Y) = (x\X)∪(x\Y), luego X∩Y ∈ U, adem´as siX ⊆Z tenemos quex\X ⊇x\Z, luegoZ ∈ U, esto muestra queU es filtro. Para ver queU es un ultrafiltro, seaX ∈[ω]ω _{observe que}

{(s, S) :S⊆X∨S⊆ω\X},

es denso enMH, entoncesX ∈ U oω\X ∈ U.

Demostraci´on de ii. Por genericidad deU, P(ω)∩M[U]⊆M yU ⊆ H. Proposici´on U ⊆ {X∈M :|x\X|< ω}

Demostraci´on: Basta probar que para cadaX ∈ U;x\X es finito yxes infinito. Para mostrar esto ´ultimo, observamos que el conjunto

{(s, S)∈_MU:|s| ≥n},

es denso abierto, entoncesn≤ |x|para cadan∈ω: es decirxes infinito. Ahora, para mostrar lo primero, sea X∈ U; el conjunto

D:={(s, S)∈MU:S⊆X},

es denso, pues para cada condici´on (t, T)∈MU vale que (t, T)≥(t, T∩X)∈D. Entonces existe (s, S)∈D tal quesvx⊆S∪sentoncesx/max(s)⊆X, esto esx\X es finito. Esto termina la demostraci´on.

SeaD⊆MH denso abierto, definamos

D0:={(s, S)∈D:S ∈ U },

entonces por el lema 4.0.4, D0 es denso en _MU sobre M[U]. Entonces existe (s, S)∈D0⊆D tal quesvx⊆S∪s, luegoxes_MH−gen´erico sobreM.

3_{Se puede mostrar que en modelos de ZF-P si R es una relaci´}_{on binaria sobre un conjunto}

A, entonces “A está bien fundamentado por R” es una noción absoluta. Ver [K] Lema II.4.7. En este caso, la fórmula ϕ(A, R) = “A está bien fundamentado por R” es absoluta para

M[x] yM[U]; esto es,M[x]|=ϕ(X, Y)⇔M[U]|=ϕ(X, Y) para todas las asignaicones de

(31)

Mathias probó que el forcing que lleva su nombre, con respecto a un coideal selectivo U tiene la propiedad de Mathias, es decir si x es _MU-genérico sobre el modelo base, entonces todo y ⊆xinfinito también lo es. A continuación se prueba el mismo resultado para un coideal semiselectivo.

Teorema 4.0.5(Propiedad de Mathias, coideales semiselectivos). Sean

H semiselectivo y xMH−gen´erico sobre M, entonces todo elemento de[x]ω es

MH−gen´erico sobre M.

Demostraci´on. Sea y ∈[x]ω _{y sea} _D_∈_M _{denso, entonces por el lema 4.0.4 el} conjunto D0 es denso en MU, adem´as por el Teorema 4.0.4 sabemos que xes

MU-gen´erico sobreM[U]. ComoMUtiene la propiedad de Mathias, sabemos que

y esMU-gen´erico sobreM[U]. Lo anterior implica que existe (s, A)∈D0 ⊆D tal que svy⊂s∪A. ComoD era arbitrario, y esMH-gen´erico.

(32)

5. CONJUNTOS RAMSEY RESPECTO A UN

COIDEAL SEMISELECTIVO

Necesitamos la siguiente definición para entender el teorema de esta sección. Definición 5.0.8. Sea H un coideal,X ⊆ [ω]ω _es _H−_Ramsey _{si para cada} [a, A]6=∅tal queA∈ HexisteB∈[a, A]∩Htal que [a, B]⊆ X o [a, B]∩X =∅. Teorema 5.0.6. Sea λ un cardinalΠ1

1−indescriptible. Sea M[G] la extensi´on

gen´erica dada por Col(ω, < λ). Entonces, si H es un coideal semiselectivo en

M[G], todo conjunto de n´umeros reales en L(R)deM[G]es H-Ramsey.

Demostración. Sea Hun coideal semiselectivo enM[G]. SeaAun conjunto de reales en L(R)M[G], entonces A está definido en M[G] por una fórmula ϕ con

una sucesión de ordinales como parámetros. Sea [a, A] una condición del forcing de MathiasMH. Finalmente, sea ˙Hun nombre para H. Note que ˙H ⊆Vλ. Dado queM[G] satisface queHes semiselectivo, la siguiente afirmación vale en

M[G]: para toda suceciónD= (Dn:n∈ω) de subconjuntos densos abiertos en (H,⊂) y para todoA∈ H, existeB∈ Htal queB⊆AyB diagonaliza aD. Por el lema de la verdad (ver lema 3.2.2 ), siψ(X) es una fórmula que dice “Xes un nombre para una sucesión de densos abiertos de ˙H”, la anterior afirmación implica que existe unp∈Gtal que la siguiente aserción vale enM:

∀D∀˙ τ(pcol(ω,<λ)(ψ( ˙D)∧τ∈H˙)−→(∃x(x∈H˙, x⊆τ, xdiagonaliza ˙D))).

Note que cada real enM[G] tiene un nombre enVλ, y nombres de subconjuntos deHestán contenidos enVλ. Además,Col(ω, < λ)⊆Vλ. Por lo tanto la misma afirmación es válida en la estructura (Vλ,∈,H˙, Col(ω, < λ)). Más aún, al ser

ψ una f´ormula Π1

1, sabemos que existeκ < λ tal que la estrucutra (Vκ,∈,H ∩˙

Vκ, Col(ω, < λ)∩Vκ) satisface

∀D∀˙ τ(pcol(ω,<κ)(ψ( ˙D)∧τ ∈H∩˙ Vκ)−→(∃x(x∈H∩˙ Vκ, x⊆τ, xdiagonaliza ˙D))). Dado que λes Π1

1−indescriptible podemos asumir que κes fuertemente

inac-cesible, porque la fórmula que define a un cardinal fuertemente inaccesible es Π1₁. Ahora, definimosGκ:=G∩col(ω, < κ), entoncesGκescol(ω, < κ)−genérico sobre M. Además p∈Gκ. En este contexto, ˙H ∩Vκ es uncol(ω, < κ)−nombre

(33)

enM que es interpretado enM[Gκ] comoH ∩M[Gκ]. Lo anterior provoca que

H ∩M[Gκ]∈M[Gκ]. Más aún, debido a que cada subconjunto (o sucesión de subconjuntos) deH ∩M[Gκ] que está enM[Gκ] tiene un nombre contenido en

Vκ, tenemos que en M[Gκ] el conjuntoH ∩M[Gκ] es semiselectivo; en conse-cuencia, tiene tanto la propiedad Mathias como la de Prikry.

Finalmente, sea ˙r el nombre can´onico para un real MH∩M[Gκ]−gen´erico y

consideremos la f´ormula ϕ( ˙r) en el lenguaje de forcing de M[Gκ]. Por la pro-piedad de Prikry de H ∩M[Gκ], existe A0 ∈ H ∩M[Gκ] A, tal que (a, A0) decide aϕ( ˙r). Dado que 22ω calculado enM[Gκ] es enumerable enM[G], existe (en M[G] ) x un real MH∩M[Gκ]−gen´erico sobre M[Gκ], tal que x ∈ [a, A0].

Para ver que existe ese real, se argumenta como en 5,5 de [M] utilizando la semiselectividad de Hy el hecho que H ∩M[Gκ] es enumerable enM[G] para obtener un elemento de Hque es gen´erico. Por la propiedad de Mathias para

H ∩M[Gκ], todo y ∈ [a, x/a] también es MH∩M[Gκ]−genércio sobre M[Gκ], también y ∈[a, A0]. Entoncesϕ(x) si y sólo si (a, A0)ϕ( ˙r) si y sólo si ϕ(y). De esta manera [a, x\a] está contenido enAo es disjunto deA.

(34)

6. CONCLUSIONES

Ser´ıa bueno encontrar una prueba alternativa de la propiedad de Mathias para coideales semiselectivos utilizando alguna t´ecnica diferente a la presentada en este documento. En particular arreglar la prueba de Farah.

No se sabe si las hipótesis del Teorema 5.0.6 son óptimas. Más precisamente, no se sabe si la hipótesis referente a un cardinal Π1

1 indescriptible es necesaria

(35)

[D] C. Di Prisco, J. Mijares, C. Uzc´ategui.Ideal games and Ramsey sets.Proc. Amer. Math. Soc.,Volume 140, Num-ber 7, July 2012, MR2898689

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[J] Jech, T.,Set Theory. Springer Verlag, 2003.

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