Maestría en Educación. Mención Matemáticas
Centro de Investigación y Estudios Avanzados del IPN Departamento de Matemática Educativa
Evaluación de la Competencia Matemática en el Informe PISA Luis Rico
El Programa Internacional de Evaluación de Estudiantes (PISA) es un programa cooperativo, de carácter cíclico, con un sistema internacional de control y gestión desarrollado por la OCDE.
The OCDE Programme for International Student Assessment PISA 2003
La educación expresa el desarrollo de una sociedad.
El capital social en educación lo constituyen los conocimientos, destrezas, competencias y otros rasgos individuales de sus
La información procede de los resultados obtenidos en pruebas estandarizadas de papel y lápiz, que proporcionan los estudiantes de 15 años.
Las pruebas son comunes, siguen procedimientos de aplicación comunes y se llevan a cabo por evaluadores externos.
Se propone establecer en qué medida los jóvenes de 15 años al fin de la escolaridad obligatoria están preparados para satisfacer los desafíos de las sociedades de hoy.
La evaluación PISA permite obtener indicadores sobre
alfabetización de los escolares en términos de los conocimientos y destrezas necesarios para la vida adulta.
Las evaluaciones se llevan a cabo cada tres años.
• Ofrecen a los responsables de la política educativa de los países participantes información relevante.
• Dan seguimiento a los resultados de los estudiantes a lo largo del tiempo.
• Evalúan las fortalezas y debilidades de sus propios sistemas.
La evaluación se orienta a valorar el rendimiento acumulado de los sistemas educativos; pone su foco en la alfabetización o formación básica en los dominios cognitivos de lectura, matemáticas y ciencias.
La finalidad de la evaluación PISA/OCDE consiste en establecer indicadores que expresen el desarrollo de una sociedad al
Algunos datos de PISA 2003:
Han participado 273. 566 alumnos de 42 países
Entre 5.000 y 10.000 alumnos por país de, al menos, 150 centros diferentes
Cuatro puntos fundamentales del marco para matemáticas 1. Dominio que se evalúa:
Alfabetización Matemática de los estudiantes (no el currículum). 2. Componentes que establecen el dominio:
Contenido, Contexto,
Competencias.
3. Variables y Niveles de complejidad en los instrumentos.
I Definición del Dominio
El dominio sobre matemáticas que se estudia en el proyecto PISA 2003 se conoce como Alfabetización Matemática (Mathematical Literacy),
también como Competencia Matemática.
Este dominio se refiere a la capacidades de los estudiantes para: analizar, razonar y comunicar eficazmente
Para el estudio OCDE/PISA:
Alfabetización o Competencia Matemática es la capacidad de un individuo para identificar y entender el papel que las matemáticas tienen en el mundo, hacer juicios bien fundados y usar e implicarse con las matemáticas en aquellos momentos en que se presenten necesidades para su vida individual como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo.
Hay una apuesta considerable por entender las matemáticas como un proceso que proporciona respuestas a problemas.
En sus relaciones con el mundo real los ciudadanos se enfrentan regularmente a situaciones matemáticas cuando compran, viajan, cocinan, gestionan sus finanzas y juzgan cuestiones.
En estas y muchas otras ocasiones usan el razonamiento
cuantitativo o espacial y muestran su competencia matemática para clarificar, formular y resolver problemas.
La competencia en matemáticas se considera parte principal de la preparación educativa, puesto que ideas y conceptos
matemáticos son herramientas para actuar sobre la realidad. Por ello, la evaluación en matemáticas se centra sobre estas
El término “alfabetización” se ha elegido para subrayar que el
conocimiento matemático y las destrezas, tal como están definidos en el currículo tradicional de matemáticas, no constituyen el foco principal de atención.
Por supuesto, para que este uso sea posible y viable, son necesarios una buena cantidad de instrumentos matemáticos básicos y de
destrezas; tales conocimientos y destrezas forman parte de esta definición de alfabetización.
Por el contrario, el énfasis en el proyecto PISA se pone en el conocimiento matemático puesto en funcionamiento en una
Para ayudarnos a entender PISA vamos a considerar el marco curricular que sustenta el estudio.
La pregunta ¿Por qué enseñamos matemáticas? hace referencia al objetivo del estudio, a su finalidad.
El estudio PISA sostiene que el fin prioritario de la enseñanza de las matemáticas consiste en desarrollar la competencia
matemática de los escolares, su alfabetización.
El Marco Matemático toma posición y da respuesta a los interrogantes básicos de cualquier plan de formación:
• ¿Por qué enseñar matemáticas?
• ¿Qué matemática enseñar?
El objetivo general del estudio PISA 2003 consiste en determinar
cómo los estudiantes pueden utilizar lo que han aprendido en
situaciones usuales de la vida cotidiana y no sólo, ni principalmente, en conocer cuáles contenidos del currículo han aprendido.
Alfabetización o competencia matemática se refiere a las
capacidades de los estudiantes para analizar, razonar y comunicar eficazmente cuando enuncian, formulan y resuelven problemas matemáticos en una variedad de dominios y situaciones.
Un buen nivel en el desempeño de estas capacidades muestra que un estudiante está matemáticamente alfabetizado o letrado.
Atreverse a pensar con ideas matemáticas es la descripción de un ciudadano matemáticamente ilustrado.
PISA destaca las ideas y conceptos matemáticos como
herramientas, susceptibles de una pluralidad de significados, según el contexto de uso y según su modo de representación
Los conocimientos y destrezas evaluados no proceden,
prioritariamente, del núcleo común de los currículos nacionales sino de aquello que los expertos juzgan esencial para la vida adulta.
PISA proporciona también respuesta a la cuestión
Modelo funcional
La consideración de las matemáticas como “modo de hacer” y la noción de alfabetización responden a un modelo funcional sobre aprendizaje de las matemáticas.
Este modelo postula:
• unas tareas,
• unas herramientas conceptuales,
• un sujeto.
La cuestión ¿Cómo enseñar matemáticas? se aborda
atendiendo a que las tareas propuestas se fundamentan en los procesos de modelización y resolución de problemas, presentados bajo el epígrafe común de matematización.
El marco matemático del estudio PISA se sostiene en la
creencia de que aprender a matematizar debe ser un objetivo básico para todos los estudiantes.
Esto se refiere a la actividad de los matemáticos, que se puede caracterizar como compuesta por tres fases distintas.
La primera fase implica traducir problemas desde el mundo real al Matemático, proceso que se denomina Matematización Horizontal Hacer matemáticas horizontalmente incluye actividades como:
•Identificar las matemáticas que pueden ser relevantes en un contexto general.
•Plantear interrogantes.
•Enunciar problemas.
•Representar un problema de un modo diferente.
•Comprender la relación entre el lenguaje natural, el lenguaje simbólico y el formal.
•Encontrar regularidades, relaciones y patrones.
•Reconocer isomorfismos con problemas ya conocidos.
•Traducir el problema a un modelo matemático.
Una vez traducido el problema a una expresión matemática el
proceso puede continuar. El estudiante puede plantearse cuestiones en las que utiliza conceptos y destrezas matemáticas.
Esta segunda fase del proceso se denomina Matematización Vertical.
La matematización vertical incluye:
•Usar diferentes representaciones.
•Usar el lenguaje simbólico, formal y técnico y sus operaciones.
•Refinar y ajustar los modelos matemáticos; combinar e integrar modelos.
•Argumentar.
La última fase en la resolución de un problema implica reflexionar sobre el proceso completo de matematización y sus resultados.
Los estudiantes deben interpretar los resultados con actitud crítica y validar el proceso completo.
Algunos aspectos de este proceso de validación y reflexión son:
•Entender la extensión y límites de los conceptos matemáticos
•Reflexionar sobre los argumentos matemáticos y explicar y justificar los resultados.
•Comunicar el proceso y la solución.
La estructura curricular del estudio PISA se esquematiza así:
Evaluación:
Tareas que destacan el carácter funcional de las matemáticas; con
diversos niveles de complejidad
Metodología: resolución de problemas y procesos
de modelización
Objetivos: desarrollo de Competencias, dominio
de procesos cognitivos Contenidos: Conceptos y
Competencias o dominio de procesos cognitivos de los estudiantes Los estudiantes, cuando resuelven problemas matemáticos ponen en juego diversos tipos de competencias, capacidades de análisis, razonamiento y comunicación, que activan procesos y conectan el mundo real, donde surgen los problemas, con las matemáticas
para resolver la cuestión planteada.
Estas competencias o procesos establecen distintos valores de la tercera dimensión del modelo funcional, aquella que afecta a los modos en que el sujeto se enfrenta a un problema.
En un caso el foco de atención está en los propios procesos,
mientras que en el otro parece destacarse al sujeto que los pone en práctica, pero en todo caso expresan el aprendizaje en su
proyección social.
Las competencias que establece un plan de formación se constituyen en elementos determinantes para establecer su calidad y permiten llevar a cabo su evaluación.
La calidad de un programa de formación viene dada por la
relevancia de las competencias que se propone, mientras que su eficacia responde al modo en que se logran a medio y largo plazo.
El proyecto PISA enfatiza que la educación debe centrarse en la adquisición por los alumnos de 15 años de unas competencias generales determinadas, al término del periodo de la educación obligatoria, competencias que tienen por finalidad formar
ciudadanos alfabetizados matemáticamente.
Las competencias elegidas por el proyecto PISA son: Pensar y razonar
Argumentar Comunicar Modelizar
Plantear y resolver problemas Representar
Las competencias o procesos dan concreción a la competencia global o alfabetización matemática inicialmente descrita.
Las personas trabajan las matemáticas en contextos en los que es necesario mostrar su riqueza cognitiva, no sólo información y dominio mecánico de herramientas.
Cuando los sujetos actúan en cada fase de la matematización, muestran sus capacidades y habilidades cognitivas.
Los objetivos de aprendizaje expresan de manera concreta las habilidades que se necesitan para un determinado tema y en un determinado momento. Son expectativas que establece la
escuela, el departamento de matemáticas o el profesor
Los objetivos contribuyen a la consecución de una o varias competencias; son expresión de las prioridades formativas en un determinado momento, establecidas por el profesor.
Las competencias marcan metas a largo plazo, que responden a ciclos formativos más amplios y comprensivos y expresan
expectativas sociales sobre el aprendizaje de los escolares.
La evaluación del sistema educativo se centra así en el estudiante, en su aprendizaje y en su significado funcional, que se expresa
COMPETENCIAS
COMPETENCIAS
Ejemplo de
Ejemplo de
Objetivo
Objetivo
X
LS
LS
R
R
RP
RP
M
M
C
C
AJ
AJ
PR
PR
X
Capacidad para elaborar
argumentos que acoten el extremo
de una función cuadrática.
X
Al desarrollo de qu
Al desarrollo de qu
é
é
competencias contribuye
competencias contribuye
esa capacidad
Contenidos Matemáticos y Matemáticas Escolares
Las ideas, estructuras y conceptos matemáticos se han inventado como herramientas para organizar los fenómenos de los mundos natural, social y mental.
Las escuelas organizan el currículo de matemáticas mediante contenidos temáticos: aritmética, geometría, álgebra, etc, y sus tópicos que reflejan ramas bien establecidas del pensamiento
matemático y facilitan el desarrollo estructurado de un programa.
La estrategia asumida consiste en definir el rango del contenido que puede evaluarse haciendo uso de una aproximación fenomenológica para describir las ideas, estructuras y conceptos matemáticos.
El objetivo de la evaluación PISA consiste en medir hasta qué punto los alumnos a los que se les presentan problemas pueden activar sus conocimientos y competencias matemáticas para resolverlos con éxito.
Evaluación: Instrumentos
El programa OCDE/PISA ha elegido preparar un conjunto de ítems que evalúen diferentes partes del proceso de matematización. Cada uno de estos ítems, o grupo de ellos, propone una tarea vinculada a un contexto y que puede tratarse como un problema matemático.
La estrategia escogida para construir ítems que contemplen el dominio general tiene en cuenta las tres componentes que
II Componentes que caracterizan el dominio
1. El contenido matemático que se debe utilizar para resolver el problema, que ya hemos enunciado y ahora describimos.
2. La situación o contexto en que se localiza el problema.
3. Las competencias que deben activarse para conectar el mundo real, donde surge el problema, con las matemáticas.
1. Contenidos matemáticos:
Las ideas fundamentales que satisfacen las condiciones de respetar el desarrollo histórico, cubrir el dominio y contribuir a la reflexión
de las líneas principales del currículo escolar son:
Incertidumbre Cantidad
Espacio y forma
Cambios y relaciones
Estos cuatro grandes campos de herramientas matemáticas son los escogidos por el Proyecto PISA para estudiar la competencia matemática de los estudiantes al término de la educación
Cantidad.
Estas herramientas responden a las necesidades de cuantificar, medir, ordenar, simbolizar y operar como vías para entender y organizar el mundo.
Incluye la comprensión de tamaños relativos, reconocimiento de patrones numéricos, uso de números para representar cantidades y atributos cuantificables de los objetos del mundo real.
La cantidad se refiere al reconocimiento, procesamiento y comprensión de números, que se presentan de varios modos.
El razonamiento cuantitativo incluye el sentido numérico,
Espacio y forma
Las formas pueden considerarse como patrones. Los patrones
geométricos sirven como modelos relativamente simples de muchos tipos de fenómenos.
El estudio de las formas y construcciones requiere buscar similitudes y diferencias, analizar los componentes de las formas y reconocer formas en diferentes representaciones y diferentes dimensiones.
El estudio de las formas está relacionado con el concepto de espacio cercano, requiere de la comprensión de las propiedades de los
objetos y de sus posiciones relativas.
También significa entender relaciones entre formas e imágenes o representaciones visuales; igualmente entender como los
Cambios y relaciones
Cada fenómeno natural es una manifestación del cambio; el mundo en nuestro entorno muestra una multitud de relaciones temporales y
permanentes entre fenómenos.
Algunos de los procesos de cambio pueden ser descritos y modelados directamente mediante funciones matemáticas: lineales,
exponenciales, periódicas o logísticas, discretas o continuas.
Las relaciones matemáticas tienen usualmente la forma de ecuaciones o de desigualdades, pero también se
presentan relaciones de naturaleza mas general.
El pensamiento funcional, es decir, pensar en términos de y
Incertidumbre.
Por incertidumbre se quieren entender dos tópicos relacionados: tratamiento de datos y azar. Estos fenómenos son la materia de estudio de la estadística y de la probabilidad, respectivamente.
EXAMEN DE CIENCIAS
Pregunta 1: EXAMEN DE CIENCIAS M468Q01
En el colegio de Irene, su profesora de ciencias les hace
exámenes que se puntúan de 0 a 100. Irene tiene una media de 60 puntos de sus primeros cuatro exámenes de ciencias. En el quinto examen saca 80 puntos.
¿Cuál es la media de las notas de Irene en ciencias tras los cinco exámenes?
2. Situaciones y Contextos que caracterizan las tareas
Utilizar y hacer matemáticas en una variedad de situaciones y contextos es aspecto importante de la Alfabetización Matemática. Trabajar con cuestiones que llevan por sí mismas a un
tratamiento matemático, a la elección de métodos matemáticos y representaciones depende frecuentemente de las situaciones en las cuales se presentan los problemas.
La situación es aquella parte del mundo del estudiante en la cual se sitúa la tarea.
• Personales,
• Educativas y Ocupacionales,
• Públicas,
• Científicas.
La segunda variable se refiere a la situación y toma cuatro valores, que se identifican en la delimitación de tareas
Las situaciones personales están relacionadas con las actividades diarias de los alumnos. Se refieren a la forma en que un problema matemático afecta inmediatamente al individuo y al modo en que el individuo percibe el contexto del problema.
Las situaciones educativas, ocupacionales o laborales las encuentra el alumno en el centro escolar o en un entorno de trabajo.
Se refieren al modo en que el centro escolar o el lugar de trabajo proponen al alumno una tarea que le impone una actividad
Las situaciones públicas se refieren a la comunidad local u otra más amplia, con la cual los estudiantes observen un aspecto
determinado de su entorno.
Requieren que los alumnos activen su comprensión, conocimiento y habilidades matemáticas para evaluar los aspectos de una
situación externa con repercusiones importantes en la vida pública.
Finalmente, las situaciones científicas son más abstractas y
3. Competencias en las tareas
El proyecto PISA considera que para alcanzar el logro en la resolución de problemas que se presentan en las tareas de evaluación, los estudiantes deben dominar un conjunto de competencias matemáticas generales.
El concepto de competencia pone el acento en lo que el alumno es capaz de hacer con sus conocimientos y destrezas matemáticas, más
que en el dominio formal de dichos conceptos y destrezas.
III Complejidad en las Competencias
Los ítems que se diseñan proponen tres clases de tareas, que se diferencian por el grado de complejidad que requieren en las competencias.
Primera clase: Reproducción y procedimientos rutinarios.
Segunda clase: Conexiones e integración para resolver problemas estandarizados.
Los indicadores para la complejidad de las tareas en cada una de las categorías se resumen en la siguiente tabla:
• Tareas que requieren comprensión y reflexión • Creatividad
• Ejemplificación y uso de conceptos
• Relacionar
conocimientos para resolver problemas complejos
• Generalizar y justificar resultados obtenido
• Contextos menos familiares
• Interpretar y explicar • Manejar y relacionar diferentes sistemas de representación
• Seleccionar y usar
estrategias de resolución de problemas no
rutinarios • Contextos familiares
• Conocimientos ya practicados
• Aplicación de
algoritmos estándar • Realización de
operaciones sencillas • Uso de fórmulas elementales.
REFLEXIÓN CONEXIÓN
En este caso la competencia hace relación a la complejidad de la tarea.
El requerimiento de procesos mas complejos, creativos o
estructurados delimita distintos tipos de competencias en los estudiantes que, en principio, se concretan en esas tres clases.
Alumnos más competentes llevarán a cabo procesos de mayor
complejidad; alumnos menos competentes sólo trabajarán procesos de complejidad menor.
En este caso la competencia de los estudiantes se refiere a las capacidades individualmente desarrolladas, que se ponen de manifiesto por el tipo de tareas abordadas con éxito
¿Cómo determinar entonces el nivel de competencia matemático alcanzado por un estudiante concreto?
¿Y por un grupo de estudiantes?
¿Y por los estudiantes de un país?
La respuesta del Informe PISA es una respuesta empírica.
Establece los niveles de complejidad de acuerdo con los resultados de la evaluación realizada; las tareas más complejas tienen una doble caracterización: teórica y empírica.
Los mejores alumnos muestran en su actividad distintos niveles de dominio en la ejecución de las tareas.
De este modo se determinan empíricamente seis niveles de
competencia, que admiten una descripción general y también una descripción por cada uno de los campos de contenido.
Cada nivel de competencia se caracteriza por lo que saben hacer los alumnos, en grupos de tareas de dificultad creciente.
Esto se confirma con el escalamiento que se produce en las respuestas de los estudiantes: alumnos que resuelven
problemas de mayor complejidad también responden a los problemas de complejidad inferior.
Los datos empíricos muestran mayor riqueza de niveles que el planteamiento teórico en tres categorías. Los mejores alumnos muestran en su actividad distintos niveles de dominio en la
ejecución de las tareas.
De este modo se determinan empíricamente seis niveles de
Comunicar conclusiones con precisión Realizar explicacio nes sencillas Describir resultados obtenidos Comunicar Elaborar argumentos desde su propia reflexión Formular razonamientos desarrollados Elaborar argumentos basados en acciones Argumentar y Justificar Responder a cuestiones complejas en multitud de contextos Responder a cuestiones en contextos poco familiares Responder a cuestiones en contextos muy conocidos Pensar y razonar 6 5 4 3 2 1 Niveles Competencias
Desarrollar y usar modelos en múltiples situaciones Usar modelos explícitos en situaciones concretas Modelizar Generalizar resultados de problemas Seleccionar, comparar y evaluar estrategias Seleccionar y aplicar estrategias sencillas Resolver con datos sencillos Resolver problemas Relacionar y traducir con fluidez diferentes sistemas Vincular diferentes sistemas, incluido el simbólico Conocer y usar diferentes sistemas Usar un único
tipo de
representación Leer datos
de tablas o figuras Representar
Dominar con rigor el lenguaje simbólico Representar
por
símbolos situaciones reales Aplicar procedi-mientos descritos con claridad Usar algoritmos y fórmulas elementales Realizar operaciones básicas
Tres nociones centrales en el Informe PISA
Concepción instrumental de las matemáticas escolares, como modo de entender el hacer matemáticas y la propia naturaleza del conocimiento Matemático.
Noción de Competencia, con cuatro significados diferentes
La noción de competencia es central en el estudio PISA y desempeña diferentes funciones:
• Expresa una finalidad prioritaria en la enseñanza de las matemáticas.
• Expresa un conjunto de procesos cognitivos que caracterizan un esquema pragmático de entender el hacer matemáticas.
• Concreta variables de tarea para los ítems en la evaluación; destaca por los grados de complejidad.
Marco curricular del estudio.
Atiende a las cuestiones básicas:
• ¿por qué enseñar matemáticas?
• ¿qué matemáticas hay que aprender y enseñar?
• ¿cómo enseñar y aprender matemáticas?
• ¿cómo evaluar el aprendizaje ?
El marco matemático de PISA se sustenta en una propuesta curricular, basada en un modo singular de interpretar el conocimiento matemático y sostenida por una noción amplia de competencia
